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第4章 幂函数、指数函数和对数函数4.1 实数指数幂和幂函数4.1.1 有理数指数幂 4.1.2 无理数指数幂必备知识基础练1.(天津滨海新区高一期中)下列运算正确的是( ) A.a 2·a 3=a 6 B.(3a)3=9a 3 C.√a 88=aD.(-2a 2)3=-8a 62.若a<0,则化简a √-1a得( ) A.-√-a B.√-a C.-√aD.√a3.(福建福州三中高一期中)已知x 2+x -2=3,则x+x -1的值为( ) A.√5B.1C.±√5D.±14.(112)0-(1-0.5-2)÷(278)23的值为( )A.-13B.13C.43D.735.若√4a 2-4a +1=1-2a,则a 的取值范围是 .关键能力提升练6.(河北张家口张垣联盟高一联考)将根式√a √a √aa(a>0)化简为指数式是( ) A.a -18B.a 18C.a -78D.a -347.已知x 2+x -2=2√2,且x>1,则x 2-x -2的值为( ) A.2或-2 B.-2 C.√6D.28.(多选题)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A.-√x =(-x )12B.√y 26=y 12(y<0)C.x-13=√x3(x≠0)D.[√(-x )23]34=x 12(x>0)9.若a>0,b>0,则化简√b 3a√a2b6的结果为 .10.化简:(2-a)[(a-2)-2(-a )12]12= . 11.化简求值:(1)0.125-13−(98)0+[(-2)2]32+(√2×√33)6;(2)(5116)0.5+√(-10)2-2√3×√276-4π0÷(34)-1.学科素养创新练12.(黑龙江大庆实验中学高一期末)已知实数x 满足3×16x +2×81x =5×36x ,则x 的值为 . 答案：1.D a 2·a 3=a 5,故A 错误;(3a)3=27a 3,故B 错误;√a 88=|a|={a ,a ≥0,-a ,a <0,故C错误;(-2a 2)3=-8a 6,故D 正确.故选D.2.A ∵a<0,∴a √-1a=-√a 2×√-1a=-√a 2(-1a)=-√-a .故选A.3.C 由(x+x -1)2=x 2+x -2+2=5,可得x+x -1=±√5.故选C.4.D 原式=1-(1-22)÷(32)2=1-(-3)×49=73.故选D.5.(-∞,12] ∵√4a 2-4a +1=√(2a -1)2=|2a-1|=1-2a,∴2a-1≤0,即a≤12.6.A√a √a √aa=a 12+14+18-1=a -18,故选A.7.D (方法1)∵x>1,∴x 2>1. 由x -2+x 2=2√2,可得x 2=√2+1, ∴x 2-x -2=√2+1-√2+1=√2+1-(√2-1)=2.(方法2)令x 2-x -2=t,① ∵x -2+x 2=2√2,②∴由①2-②2,得t 2=4.∵x>1,∴x 2>x -2, ∴t>0,于是t=2,即x 2-x -2=2,故选D. 8.CD 对于选项A,因为-√x =-x 12(x≥0), 而(-x )12=√-x (x≤0),所以A 错误;对于选项B,因为√y 26=-y 13(y<0),所以B 错误; 对于选项C,x-13=√x3(x≠0),所以C 正确;对于选项D,[√(-x )23]34=x 2×13×34=x 12(x>0),所以D 正确.9.1 √b 3a√a 2b 6=√b 3a(a 2b 6)12=√b 3a ab 3=1. 10.(-a )14由已知条件知a≤0, 则(a-2)-2=(2-a)-2,所以原式=(2-a)[(2-a)-2·(-a )12]12=(2-a)(2-a)-1(-a )14=(-a )14.11.解(1)根据指数幂与根式的运算,化简可得0.125-13−(98)0+[(-2)2]32+(√2×√33)6=[(2)-3]-13−(98)0+(22)32+(212×313)6=2-1+8+(212)6(313)6=2-1+8+8×9 =81.(2)由分数指数幂及根式的运算,化简可得(5116)0.5+√(-10)2-2√3×√276-4π0÷(34)-1=[(32)4]0.5+10-2√3×(33)16-4×34=94+10-2√3×√3-3 =94+10-6-3=134.12.0或12因为3×16x +2×81x =5×36x ,所以3×24x +2×34x =5×(2×3)2x ,则3×24x +2×34x =5×22x ×32x ,所以3×24x +2×34x -5×22x ×32x =0,即(3×22x -2×32x )(22x -32x )=0,所以3×22x -2×32x =0,或22x -32x =0,解得x=12或x=0.。
2020-2020学年高一数学必修一第一册提优卷第4章指数函数对数函数（二）(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(其中i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x ，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x2.下列各函数中，值域为(0,)+∞的是（）A ．22xy -=B．y =C ．21y x x =++D ．113x y +=3.已知2log 3x =，则13x -等于（）A ．2B ．12C．D4．已知a ＝512，函数f(x)＝a x ，若实数m 、n 满足f(m)>f(n)，则m 、n 的关系为()A ．m ＋n<0B ．m ＋n>0C ．m>nD ．m<n5．已知函数12log ,0()2,0xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，若关于x 方程()f x k =有两不等实数根，则k 的取值范围（）A ．（0，+∞）B ．（,0-∞）C ．（1，+∞）D ．(0,1]【6.若函数(01,1)x y a a a m =>-≠+的图像在第一、三、四象限内，则（）A ．1a >B ．1a >，且0m <C ．01a <<，且0m >D ．01a <<7．若1x 是方程4x xe =的解，2x 是方程ln 4x x =的解，则12x x 等于（）A ．4B ．2C ．eD ．18.（2020全国III 卷）.已知5458<，45138<.设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，则（）A ．a b c<<B ．b a c<<C ．b c a<<D ．c a b<<9.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）A ．1033B ．1053C ．1073D ．109310.若函数()1,121,14xxx f x a x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩的值域为(),+∞a ，则a 的取值范围为（）A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,14⎛⎤⎥⎝⎦11．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减12．设a 、b 、c 依次表示函数()121f x x x =-+，()12log 1g x x x =-+，()112xh x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点，则a 、b 、c 的大小关系为（）．A ．a b c<<B ．c b a<<C ．a c b<<D ．b c a<<二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．．若lg 2m =，31log 10=n，则用m ，n 表示5log 6等于________.14．已知函数())()1ln31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭则________.15.当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减.按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了_____个“半衰期”.（提示：910.001952=）16．若函数()2,1,x a x af x x x a +≥⎧=⎨-<⎩只有一个零点，则实数a 的取值范围为_______.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求函数f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2的零点个数．18.(本小题满分12分)．已知函数()2x f x =，x A ∈的值域为，函数2222()(log )log g x x x =-.（1）求集合A ；（2）求函数()y g x =，x A ∈的值域.19(本小题满分12分)．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >．（1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422xxf -<．20(本小题满分12分)．已知函数()()lg 101xf x =-.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域和值域；（Ⅱ）设函数()()()lg 101xg x f x =-+，若关于x 的不等式()g x t <恒成立，求实数t 的取值范围.21(本小题满分12分).某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a 亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年.（1）求森林面积的年增长率；（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？（3）为使森林面积至少达到6a 亩至少需要植树造林多少年？（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）22.（本小题满分12分）已知函数xy a =（0a >且1a ≠）在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为20，记()2xxa f x a =+．（1）求a 的值；（2）证明：()(1)1f x f x +-=；（3）求1232016()()()()2017201720172017f f f f ++++ 的值．2020-2020学年高一数学必修一第一册提优卷第4章指数函数对数函数（二）(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(其中i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x ，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x【答案】D 【解析】由函数的增长趋势可知，指数函数增长最快，所以最终最前面的具有的函数关系为()42xf x =，故选D ．2.下列各函数中，值域为(0,)+∞的是（）A ．22x y -=B ．y =C ．21y x x =++D ．113x y +=【答案】A 【解析】A ，y ＝(22)x的值域为(0，＋∞)．B ，因为1－2x ≥0，所以2x ≤1，x ≤0，y (－∞，0]，所以0＜2x ≤1，所以0≤1－2x ＜1，所以y [0,1)．C ，y ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34的值域是[34，＋∞)，D ，因为11x +∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以y ＝113x +的值域是(0,1)∪(1，＋∞)．选A ．3.已知2log 3x =，则13x -等于（）A ．2B ．12C．D【答案】B 【解析】由2log 3x =知328x ==，所以()1131331222x---===，故选B ．4．已知a＝12，函数f(x)＝a x ，若实数m 、n 满足f(m)>f(n)，则m 、n 的关系为()A ．m ＋n<0B ．m ＋n>0C ．m>nD ．m<n【答案】D 【解析】∵0＜512-＜1∴f （x ）=a x 在R 上单调递减，又∵f （m ）＞f （n ），∴m ＜n ，故选D ．5．已知函数12log ,0()2,0xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，若关于x 方程()f x k =有两不等实数根，则k 的取值范围（）A ．（0，+∞）B ．（,0-∞）C ．（1，+∞）D ．(0,1]【答案】D 【解析】作出函数()y f x =和y k =的图象，如图所示由图可知当方程()f x k =有两不等实数根时，则实数k 的取值范围是(0,1]故选D6.若函数(01,1)x y a a a m =>-≠+的图像在第一、三、四象限内，则（）A ．1a >B ．1a >，且0m <C ．01a <<，且0m >D ．01a <<【答案】B 【解析】因为函数x y a =的图像在第一、二象限内，所以欲使其图像在第三、四象限内，必须将x y a =向下移动，因为当01a <<时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，所以只有当1a >时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限，故1a >，因为图像向下移动小于一个单位时，图像经过第一、二、三象限，而向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限，所以欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故11m -<-，0m <，故选：B ．7．若1x 是方程4x xe =的解，2x 是方程ln 4x x =的解，则12x x 等于（）A ．4B ．2C ．eD ．1【答案】A 【解析】因为1x 是方程4x xe =的解，所以1x 是函数x y e =与4y x=交点P 的横坐标；又2x 是方程ln 4x x =的解，所以2x 是函数ln y x =与4y x=交点Q 的横坐标；因为函数x y e =与ln y x =互为反函数，所以函数x y e =与ln y x =图像关于直线y x =对称，又4y x=的图像关于直线y x =对称，因此，P ，Q 两点关于直线y x =对称，所以有1221x y x y =⎧⎨=⎩，因此12114==x x x y .故选：A8.（2020全国III 卷）.已知5458<，45138<.设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A 【解析】：：易知,,(0,1)a b c ∈，由2225555558log 3(log 3log 8)(log 24)2log 3log 8log 54144a b +==⋅<==<知a b <，因为8log 5b =，13log 8c =，所以85,138b c ==，即554485,138b c ==，又因为544558,138<<，所以445541385813c b b =>=>，即b c <，综上所述：a b c <<.故选：A ．9.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093【答案】D【解析】：设36180310M x N ==，两边取对数，36136180803lg lg lg 3lg10361lg 38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即MN最接近9310，故选D ．10.若函数()1,121,14xxx f x a x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩的值域为(),+∞a ，则a 的取值范围为（）A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,14⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】当1x <时，()1,212xf x ⎛⎫∈+∞⎛ ⎪⎝⎫= ⎪⎭⎭⎝当1≥x 时，()114,4xf x a a a ⎛⎤∈+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ⎥⎝⎦ 函数()f x 的值域为(),+∞a 114212a a ⎧+≥⎪⎪∴⎨⎪≤⎪⎩，即11,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故选：B11．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D ．12．设a 、b 、c 依次表示函数()121f x x x =-+，()12log 1g x x x =-+，()112xh x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点，则a 、b 、c 的大小关系为（）．A ．a b c <<B ．c b a<<C ．a c b<<D ．b c a<<【答案】D 【解析】依题意可得，12121,log ,()2xy x y x y ===的图象与1y x =-的图象交点的横坐标为,,a b c ，作出图象如图：由图象可知，b c a <<，故选：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．．若lg 2m =，31log 10=n，则用m ，n 表示5log 6等于________.【答案】1+-m n m【解析】因为31log 10=n，所以11lg 3=n ，得到lg3n =.5lg 6lg 2lg 3log 6lg 5lg10lg 21++===--m nm .故答案为：1+-m n m14．已知函数())()1ln 31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭则________.【答案】2【解析】设lg 2a =，则1lgln 22a =-=-，()())ln 31f a f a a +-=++()22ln 31ln 1992ln122a a a ⎫++=+-+=+=⎪⎭，所以()1lg 2lg 22f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以答案为215.当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减.按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了_____个“半衰期”.（提示：910.001952=）【答案】10【解析】设生物组织内原有的碳14含量为x ，需要经过n 个“半衰期”才不能测到碳14，则1121000n x x ⋅<，即10.0012n<，由参考数据可知，910.001950.0012=>，10110.001950.0009750.00122=⨯=<，所以10n =，故答案为：10.16．若函数()2,1,x a x a f x x x a +≥⎧=⎨-<⎩只有一个零点，则实数a 的取值范围为_______.【答案】(](],10,1-∞- 【解析】函数21y x =-的零点为±1.①当1a ≤-时，函数()y f x =在区间(),a -∞上无零点，则函数()y f x =在区间[),a +∞上有零点a -，可得a a -≥，解得0a ≤，此时1a ≤-；②当11a -<≤时，函数()y f x =在区间(),a -∞上有零点1-，则函数()y f x =在区间[),a +∞上无零点，则a a -<，解得0a >，此时01a <≤；③当1a >时，函数()y f x =在区间(),a -∞上的零点为±1，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是(](],10,1-∞- .故答案为：(](],10,1-∞- .三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求函数f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2的零点个数．【解析】解法一：∵f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (2)＝4＋lg 3－2>0由零点存在性定理，f (x )在(0,2)上存在实根又f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2在(0，＋∞)为增函数，故f (x )有且只有一个零点．解法二：(数形结合)在同一坐标系中作出g (x )＝2－2x 和h (x )＝lg(x ＋1)的图象(如图所示)，由图象可知有且只有一个交点，即函数f (x )有且只有一个零点．18.(本小题满分12分)．已知函数()2x f x =，x A ∈的值域为[2,16]，函数2222()(log )log g x x x =-.（1）求集合A ；（2）求函数()y g x =，x A ∈的值域.【答案】（1）1[,4]2；（2）[1,3]-【解析】（1）因为函数()2xf x =的值域为⎤⎦216x ≤≤，所以142x ≤≤，即函数()f x 的定义域1,42A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.（2）令2log t x =，因为142x ≤≤，所以21log 2x -≤≤，即12t -≤≤，所以函数()y g x =，x A ∈可以化为()22u t t t =-（12t -≤≤），所以()()min 11u t u ==-，()()max 13u t u =-=，即函数()y g x =，x A ∈值域为[]1,3-.19(本小题满分12分)．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >．（1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422x x f -<．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）{}|1x x <【解析】（1）证明：令0m n ==，则()()()()000020f f f f +=+=，∴()00=f .（2）证明：令n m =-，则()()()f m m f m f m -=+-，∴()()()00f f m f m =+-=，∴()()f m f m -=-，∴对任意的m ，都有()()f m f m -=-，即()y f x =是奇函数．在(),-∞+∞上任取1x ，2x ，且12x x <，则210x x ->，∴()()()()()2121210f x x f x f x f x f x -=+-=->，即()()12f x f x <，∴函数()y f x =在(),-∞+∞上为增函数.（3）原不等式可化为()()()()4211112x x f f f f -<+=+=，由（2）知()f x 在(),-∞+∞上为增函数，可得422x x -<，即()()12022x x +<-，∵210x +>，∴220x -<，解得1x <，故原不等式的解集为{}|1x x <.20(本小题满分12分)．已知函数()()lg 101x f x =-.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域和值域；（Ⅱ）设函数()()()lg 101x g x f x =-+，若关于x 的不等式()g x t <恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】（Ⅰ）定义域为()0,x ∈+∞.值域为R .（Ⅱ）0t ≥【解析】（Ⅰ）∵1010x ->，∴01010x >，∴()f x 的定义域为()0,x ∈+∞.又∵1010x ->，∴()f x 的值域为R .（Ⅱ）()()()()()lg lg 1101l 0101g 1x x xg x f x =-+=--+1012lg lg 1101101x x x ⎛⎫-⎛⎫==- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.∵100x >，∴1011x +>，∴202101x <<+，∴220101x -<-<+，∴2011101x <-<+，∴2lg 10101x ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，∴()g x 的值域为(),0-∞.∵关于x 的不等式()g x t <恒成立，∴0t ≥.21(本小题满分12分).某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a 亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年.（1）求森林面积的年增长率；（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？（3）为使森林面积至少达到6a 亩至少需要植树造林多少年？（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）【答案】（1）11021x =-；（2）5年；（3）至少还需要26年.【解析】解：（1）设增长率为x ，依题意可得()1012a x a +=所以()1110101012x ⎡⎤+=⎣⎦即11012x +=，解得11021x =-（2）设已经植树造林n 年，则110121n a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭即1110222n =解得5n =，故已经植树造林5年.（3）设至少还需要m 年，则1101216m a a ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭即11026m ≥即2221log 6log 2log 310m ≥=+解得lg 3101025.8lg 2m ≥+≈故至少还需要26年22.（本小题满分12分）已知函数x y a =（0a >且1a ≠）在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为20，记()2xx a f x a =+．（1）求a 的值；（2）证明：()(1)1f x f x +-=；（3）求1232016()()()()2017201720172017f f f f ++++ 的值．【答案】（1）20；（2）见答案（3）1008【解析】（1）函数x y a =（0a >且1a ≠）在[1,2]上的最大值与最小值之和为20，∴220a a +=，得4a =或5a =-（舍去）．（2）由（1）知4()42xx f x =+，∴1144444()(1)442424224x x xx x x x x f x f x --+-=+=+++++2044421422444242x x x x x x =+=+=+⋅+++．（3）由（2）知12016(()120172017f f +=，22015()(120172017f f +=， ，10081009()(120172017f f +=，∴123201612016(()(([()(201720172017201720172017f f f f f f ++++=+ 2201510081009[(()][(()]11110082017201720172017f f f f +++++=+++=。
第4章函数学习目标◆了解函数的定义与声明◆掌握函数的调用方式◆掌握外部函数与内部函数◆掌握局部变量与全局变量在前面的章节中已经接触过一些简单的函数，如程序的主函数main()、标准输出函数printf()。
在C语言中，大多数功能都是依靠函数来实现的。
本章将针对函数的定义、内部函数与外部函数等相关知识进行详细地讲解。
4.1 初识函数4.1.1函数的定义假设有一个游戏程序，程序在运行过程中，要不断地发射炮弹。
发射炮弹的动作需要编写100行的代码，在每次实现发射炮弹的地方都需要重复地编写这100行代码，这样程序会变得很臃肿，可读性也非常差。
为了解决代码重复编写的问题，可以将发射炮弹的代码提取出来放在一个{}中，并为这段代码起个名字，这样在每次发射炮弹的地方通过这个名字来调用发射炮弹的代码就可以了。
上述过程中，所提取出来的代码可以被看作是程序中定义的一个函数，程序在需要发射炮弹的地方调用该函数即可。
在C语言中，定义一个函数的具体语法格式如下：返回值类型函数名([[参数类型参数名1],[参数类型参数名2],……,[参数类型参数n]]){执行语句………return 返回值;}为了让读者更好地理解函数的各个组成部分，接下来对上述语法格式进行简要说明，具体如下：●返回值类型：用于限定函数返回值的数据类型；●函数名：表示函数的名称，该名称可以根据标识符命名规范来定义；●参数类型：用于限定调用方法时传入参数的数据类型；●参数名：用于接收调用方法时传入的数据；●return关键字：用于结束函数，并返回函数指定类型的值；1返回值：被return 语句返回的值，该值会返回给调用者。
如果函数没有返回值，则返回值类型要声明为void ，此时，函数体中的return 语句可以省略不写。
在上面的语法格式中，函数中的“[[参数类型 参数名1],[参数类型 参数名2],…,[参数类型 参数n]]”被称作参数列表，它用于描述函数在被调用时需要接收的参数。
如果函数不需要接收任何参数，则参数列表为空，这样的函数被称为无参函数。
相反地，参数列表不为空的函数就是有参函数。
接下来分别讲解这两种函数。
1、无参函数在C 语言中，无参函数的定义很简单，先来看一个定义无参函数的示例代码，具体如下：void func() { printf("这是我的第一个函数！\n");}上述示例代码中，func()函数就是一个无参函数，在定义时参数列表为空。
要想执行这个函数，需要在main()函数中调用它，接下来通过一个案例来演示，如例4-1所示。
例4-11#include <stdio.h> 2 void func() 3 { 4 printf("这是我的第一个函数！\n");5 }6 void main()7 {8 func();9 }运行结果如图4-1所示。
图4-1 运行结果从图4-1中可以看出，func()函数被成功调用了。
在程序中，第2行代码定义了一个无参函数func()，第4行代码将字符串打印到控制台，第8行代码在main()函数中调用该无参函数。
下面通过一张流程图来说明上面例子中函数的调用过程，具体如图4-2所示。
图4-2 主函数中调用子函数func()的流程图3从图4-2可以看出程序是由上至下按顺序执行的，程序首先从主函数开始执行，遇到“func();”语句后跳转到func()函数，执行func()函数体。
执行完func()函数后返回到原来的调用点（即“func()”语句），接着执行调用点后面的其他语句，如果后面没有其他语句，则主函数执行结束。
2、有参函数与无参函数相比，有参函数需要在函数定义时，在函数名称后面的括号中填写参数。
所谓的参数是一个变量，用于接收调用函数传入的数据。
定义有参函数的示例代码如下：void func(int x,int y) { int sum=x+y;printf("x+y=%d\n",sum);}上述代码中，定义了一个实现加法运算的函数func()，并指定了两个int 类型的参数。
为了让读者更好地掌握有参函数的用法，接下来在main()函数中调用func(int x,int y)函数，如例4-2所示。
例4-21 #include <stdio.h> 2void func(int x, int y) 3 { 4 int sum = x + y;5 printf("x+y=%d\n", sum);6 }7 void main() 8 { 9 func(3, 5); 10 }运行结果如图4-3所示。
图4-3 运行结果在例4-2中，第2~6行代码定义了一个函数func()，该函数包含两个参数，分别是x和y 。
当在main()函数中调用func()函数时，由于传入的参数是3和5，因此，程序打印的结果为“x+y=8”。
下面通过一张图来描述func()函数的调用过程，具体如图4-4所示。
图4-4 主函数中调用子函数func()的流程图从图4-4可以看出，有参函数和无参函数的调用过程类似，只不过在调用有参函数时，需要传入实参，并将传入的实参赋值给形参，然后在函数体中执行x+y操作，最终将结果输出到控制台。
值得一提的是，在定义有参函数时指定的参数x和y是形式参数，简称形参，它们只在形式上存在，并不是真正存在的参数。
调用函数时传入的参数（如案例中的3和5）是实际参数，简称实参，与形参相对，实参则是指实际存在的参数。
4.1.2函数的返回值通过前面的讲解可知，函数的返回值是指函数被调用之后，返回给调用者的值。
函数返回值的具体语法格式如下：return 表达式;对于返回值为空的函数，可以直接在return语句后面加分号，具体语法格式如下：return;为了让读者更好的学习如何使用return语句，接下来对例4-2进行改写，使func(int x, int y)函数能够返回求和计算的结果，修改后的具体代码如例4-3所示。
例4-31#include <stdio.h>2int func(int x, int y)3{4int sum = x + y;5return sum;6}7void main()8{9int sum = func(3, 5);10printf("x+y=%d\n", sum);11}运行结果如图4-5所示。
图4-5运行结果从图4-5中可以看出，例4-3与例4-2实现了同样的功能。
接下来通过一个图例来演示func()函数的整个调用过程以及return语句的返回过程，如图4-6所示。
图4-6func()函数的调用过程从图4-6可以看出，在程序运行期间，参数x和y相当于在内存中定义的两个变量。
当调用func(int x,int y)函数时，传入的参数3和5分别赋值给变量x和y，并将x+y的结果通过return语句返回，整个方法的调用过程结束，变量x和y被释放。
需要注意的是，return后面表达式的类型和函数定义返回值的类型应保持一致。
如果不一致，就有可能会报错。
如果函数没有返回值，返回值类型要声明为void。
为保证程序的可读性和逻辑性，没有返回值的函数都应定义为void。
4.1.3printf()函数和scanf()函数在C语言开发中，经常会进行一些输入输出操作，为此，C语言提供了printf()和scanf()函数，其中，printf()函数用于向控制台输出字符，scanf()函数用于读取用户的输入，下列将分别讲解这两个函数的用法。
1、printf()函数在前面的章节中，经常使用printf()函数输出数据，它可以通过格式控制字符输出多个任意类型的数据。
表4-1列举了printf()函数中常用的格式控制字符。
表4-1常用printf()格式字符表4-1中列举了很多格式控制字符，使用这些格式控制符可以让printf()输出指定类型的数据，接下来通过一个具体的案例来演示这些格式控制符的使用，如例4-4所示。
例4-41#include <stdio.h>52void main()3{4printf("%c %c", 'H', '\n');5printf("%s", "Hello, world!\n");6printf("%d %d %d \n", 1, 2, 3);7printf("%f %f \n", 2.1, 2.2);8}运行结果如图4-7所示。
图4-7运行结果在例4-4的printf()函数中，通过格式控制字符“%c”、“%s”、“%d”、“%f”，分别输出了字符、字符串、整数、浮点数。
2、scanf()函数scanf()函数负责从控制台上接收用户的输入，它可以灵活接收各种类型的数据，如字符串、字符、整型、浮点数等，scanf()函数也可以通过格式控制字符控制用户的输入，其用法与printf()函数一样。
接下来，通过一个获取字符串的案例讲解scanf()函数的用法，如例4-5所示。
例4-51#include <stdio.h>2void main()3{4char str[256]; // 字符数组保存得到的字符串5scanf("%s", str);6printf("%s\n", str);7}运行结果如图4-8所示。
图4-8运行结果在例4-5中，首先定义了一个长度为256的字符数组str，然后利用scanf()函数获得用户从控制台输入的字符，最后使用printf()函数将得到的字符串打印在控制台上。
本例中用户从控制台上输入了Helloworld，并按回车符，此时scanf()函数会把回车符看做是字符串终止的标志（也称为终止符），将整个Helloworld 读取到str字符数组中。
脚下留心：C语言中的终止符在使用scanf()函数获取用户输入的信息时，如果输入的信息中包含某个终止符，scanf()函数就认为输入结束，接下来就列举一些常见的终止符，具体如表4-2所示。
7表4-2scanf()输入字符串的终止符接下来，以例4-5为例，当程序运行后，如果输入的字符串包含空格，例如“Hello world ”，此时程序的运行结果如图4-9所示。
图4-9 运行结果从图4-9可以看出，尽管输入的字符串是Hello world ，但是程序只打印了Hello 。
这是因为Hello world 中包含一个空格，空格也是一个终止符，因此scanf()只能读到空格之前的内容。
