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山东省汶上县第五中学2015届高三第一次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案

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2015届山东省汶上县第五中学高三第一次模拟考试数学试题（理）（满分150分，考试时间120分钟）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如果复数()2bib R i-∈的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（ ）A B ．C ．2-D ．22．已知集合{}sin ,,M y y x x R ∈=={}0,1,2N=，则MN =A ．{}1,0,1-B ．[]0,1C ．{}0,1D ．{}0,1,23．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．过点（－2，0）的直线l 与抛物线y ＝x 22相交于两点，且在这两个交点处抛物线的切线互相垂直，则直线l 的斜率k 等于 A ．－16B ．－14C ．14D ．125．如图所示的程序框图运行的结果是（ ）A ．20112012B ．12012C ．20122013D ．120136．已知等比数列{}n a ,且480,a a +=⎰则62610(2)a a a a ++的值为A ．2πB ．4C ．πD ．9π-7．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数: 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为A ．0.852B ．0.8192C ．0.8D ．0.758．已知0a >,,x y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若2z x y =+的最小值为1，则a =A ．12B ．13C ．1D ．29．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()23,xf x x =+-则()f x 的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．410．已知直线,m l ，平面,,αβ且,,m l αβ⊥⊂给出下列命题：①若α∥β，则m l ⊥； ②若αβ⊥，则m ∥l ； ③若m l ⊥，则αβ⊥；④若m ∥l ，则αβ⊥。

其中正确的命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．411．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC，,1,AC BC AC BC PA ⊥===，则该三棱锥外接球的表面积为A ．5πBC ．20πD ．4π12．ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且3450OA OB OC ++=，则OC AB ⋅的值为A ．15-B ．15C ．65-D ．65二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知0m >,6260126(1),mx a a x a x a x +=++++若12663a a a +++=，则实数m =14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为15．如图，在ABC ∆中，45,B D ∠=是BC 边上一点，5,7,3AD AC DC ===，则AB 的长为16．已知函数2()43,f x x x =-+集合{}(,)|()()0M x y f x f y =+≤，集合{}(,)|()()0N x y f x f y =-≥，则集合M N 的面积为三、解答题（本大题共8小题，共70分，解答题应写出必要的文字证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，770,S =且126,,a a a 成等比数列。

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设248,n n S b n +=数列{}n b 的最小项是第几项，并求出该项的值。

18．（本小题满分12分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)80,75， [)85,80，[)90,85，[)95,90，[]100,95（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（1）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；（2）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ.19．（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，O 是AC 的中点，O A 1⊥平面ABC ，︒=∠90BCA ，BC AC AA ==1． （Ⅰ）求证：11AC B A ⊥；（Ⅱ）求二面角C BB A --1的余弦值.20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线2212yx-=的焦点重合，过点(4,0)P且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于,A B两点。

（1）求椭圆C的方程；（2）求OA OB⋅的取值范围。

21．（本小题满分12分）已知函数()sinxf x e x=（1）求函数()f x的单调区间；（2）当[0,]2xπ∈时，()f x kx≥，求实数k的取值范围。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22．（本小题满分10分）选修4—1，几何证明选讲如图所示，圆O的两弦AB和CD交于点E，EF∥CB，EF交AD的延长线于点F，FG 切圆O于点G.（1）求证：△DEF∽△EFA；（2）如果1FG=，求EF的长．23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为3cos2sinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换⎪⎩⎪⎨⎧==yyxx21'31'得到曲线C'．（1）求曲线C'的普通方程；（2）若点A在曲线C'上，点B (3,0)，当点A 在曲线C '上运动时，求AB 中点P 的轨迹方程． 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知()11f x x x =++-,不等式()4f x <的解集为M .（1）求M ；（2）当,a b M ∈时,证明:24a b ab+<+.2015届山东省汶上县第五中学高三第一次模拟考试数学试题（理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．1m = 14．10 1516．π三、解答是（本大题共8小题，共70分，解答题应写出必要的文字、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）设公差为d ，则有1221672170a d a a a +=⎧⎨=⎩， 即11211131013()(5)a d a d a d a a d +==⎧⎧⇒⎨⎨=+=+⎩⎩或1100a d =⎧⎨=⎩（舍），32n a n ∴=- （2）23[1(32)]22n n n nS n -=+-=， 23484831123n n n b n n n -+∴==+-≥-=，当且仅当483n n =时取=号，即 4n =时取=号。

18．（本小题满分12分）解：（1）根据题意，参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为 2000.060560⨯⨯=（人），参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人． 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为6020802.2002005P +=== （2）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小 时的概率为2.5由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．所以00332327(0)()()55125P C ξ==⋅=；11232354(1)()()55125P C ξ==⋅=； 22132336(2)()()55125P C ξ==⋅=；3303238(3)()()55125P C ξ==⋅=．随机变量ξ的分布列为因为ξ～2(3,)5B ，所以26355E np ξ==⨯=19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为1AO ⊥平面ABC ，所以1AO BC ⊥.又BC AC ⊥，1AO AC A=,所以BC ⊥平面11A ACC ，所以1AC BC ⊥.因为1AA AC =，所以四边形11A ACC 是菱形，所以11AC AC ⊥，1BC AC C =,所以1AC ⊥平面1A BC ，所以11A B AC ⊥． （Ⅱ）以12AA =，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则1(0,1,0),(2,1,0),(0,1,0),(0,A B C C -，11(2,2,0),AB BB CC ===设(,,)m x y z =是面1ABB 的一个法向量，则10m AB m BB ⋅=⋅=，即2200x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1z =，取(3,m =. 同理面1CBC 的一个法向量为(0,3,1)n =-．因为27cos ,||||m n m n m n ⋅<>==⋅.所以二面角1A BB C --． 20．（本小题满分12分）解：（1）由题意知22222211,24c c a b e e aa a -==∴===， 2243a b =。

又双曲线的焦点坐标为(0,b =224,3a b ∴==，∴椭圆的方程为22143x y +=。

（2）若直线l 的倾斜角为0，则(2,0),(2,0),4A B OA OB -⋅=-， 当直线l 的倾斜角不为0时，直线l 可设为4x my =+，22224(34)243603412x my m y my x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩，由 2220(24)4(34)3604m m m ∆>⇒-⨯+⨯>⇒> 设1122(4,),(4,)A my y B my y ++，1212222436,3434m y y y y m m +=-=++，21212121212(4)(4)416OA OB my my y y m y y my y y y ⋅=+++=+++2116434m =-+，2134,(4,)4m OA OB >∴⋅∈-，综上所述：范围为13[4,)4-，21．（本小题满分12分）解：（1）()sin cos (sin cos )xxxf x e x e x e x x '=+=+，令sin cos ),4y x x x π=+=+当'3(2,2),()0,()44x k k f x f x ππππ∈-+>单增，'37(2,2),()0,()44x k k f x f x ππππ∈++<单减（2）令()()sin x g x f x kx e x kx =-=-，即()0g x ≥恒成立， 而'()(sin cos )xg x e x x k =+-，令'()(sin cos )()(sin cos )(cos sin )2cos x x x xh x e x x h x e x x e x x e x =+⇒=++-= '[0,],()0()2x h x h x π∈≥⇒在[0,]2π上单调递增，21()h x e π≤≤， 当1k ≤时，'()0,()g x g x ≥在[0,]2π上单调递增，()(0)0g x g ≥=，符合题意； 当2k e π≥时，'()0()g x g x ≤⇒在[0,]2π上单调递减，()(0)0g x g ≤=，与题意不合； 当21k e π<<时，'()g x 为一个单调递增的函数，而''2(0)10,()02g k g e k ππ=-<=->，由零点存在性定理，必存在一个零点0x ，使得'0()0g x =，当0[0,)x x ∈时，'()0,g x ≤从而()g x 在0[0,)x x ∈上单调递减，从而()(0)0g x g ≤=，与题意不合，综上所述：k 的取值范围为(,1]-∞ 22．证明：（本小题满分10分） （1）//EF BC DEF EBC DEF BAD DEFBCD BAD ⇒∠=∠⎫⇒∠=∠⇒∆⎬∠=∠⎭∽EFA ∆（2）EFA ∆∽2EFD FE FD FA ∆⇒=⋅又因为FG 为切线，则2FG FD FA =⋅ 所以，1EF FG ==. 23．（本小题满分10分）（1）C :3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩ ⇒ 22:194x y C +=，将1312x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩ ⇒32x x y y '=⎧⎨'=⎩代入C 的普通方程得221x y ''+=，即22:1C x y '+=； （2）设(,),P x y 00(,)A x y ， 则003,22x yx y +==所以0023,2x x y y =-=，即(23,2)A x y -代入22:1C x y '+=，得22(23)(2)1x y -+=，即2231()24x y -+=AB 中点P 的轨迹方程为2231()24x y -+=. 24．（本小题满分10分） （1）解不等式：114x x ++-<124x x ≥⎧⎨<⎩ 或1124x -≤<⎧⎨<⎩ 或124x x <-⎧⎨-<⎩⇒12x ≤<或11x -≤<或21x -<<-， ⇒22x -<<⇒()2,2M =-.（2）需证明：22224(2)816a ab b a b ab ++<++， 只需证明222244160a b a b --+>，即需证明22(4)(4)0a b -->。

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2015届山东省汶上县第五中学高三第一次模拟考试数学试题（文）（满分150分，考试时间120分钟）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如果复数()2bib R i-∈的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（ ）A B ．C ．2-D ．22．已知集合{}sin ,,M y y x x R ∈=={}0,1,2N=，则MN =A ．{}1,0,1-B ．[]0,1C ．{}0,1D ．{}0,1,23．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．过点（－2，0）的直线l 与抛物线y ＝x 22相交于两点，且在这两个交点处抛物线的切线互相垂直，则直线l 的斜率k 等于 A ．－16B ．－14C ．14D ．125．如图所示的程序框图运行的结果是（ ）A ．20112012B ．12012 C ．20122013 D ．120136．已知等比数列{}n a ,且482,a a +=则62610(2)a a a a ++的值为A ．4B ．6C ．8D ．107．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次,至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为A ．0.852B ．0.8192C ．0.8D ．0.758．已知0a >,,x y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若2z x y =+的最小值为1，则a =A ．12 B ．13C ．1D ．29．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()23,xf x x =+-则()f x 的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．410．已知直线,m l ，平面,,αβ且,,m l αβ⊥⊂给出下列命题：①若α∥β，则m l ⊥； ②若αβ⊥，则m ∥l ； ③若m l ⊥，则αβ⊥；④若m ∥l ，则αβ⊥。

2015年高考数学模拟试题及答案

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2 2
（1）求数列 a n 的通项公式； （2）设 bn
1 ,数列 bn 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn 2 . 2 an
20． （本小题共 13 分） 若双曲线 E :
x2 y 2 1(a 0, b 0) 的离心率等于 2 ，焦点到渐近线的距离为 1，直线 y kx 1 与双 a 2 b2
D C
A．
3 10 10
B．
10 10
C．
5 10
D．
5 15
E
B A 7． 已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，AB 2, CC1 2 2 ，E 为 CC1 的中点， 则直线 AC1 与平面 BED
的距离为 A．2 B．
3
C． 2
D．1
8．将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级，每个年级 2 人，要求甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高 三年级，则不同的安排种数为
(2)由（1）可知 bn 20． （本小题共 13 分）
c a 2 1 2 解： （1）由 a 得 b2 1 b 1
设 A x1 , y1 , B x2 , y2 ， 由
故双曲线 E 的方程为 x y 1
2 2
y kx 1 得 1 k 2 x 2 2kx 2 0 2 2 x y 1




x 1 0 ， 则 A B x 3
2 3
D． (, 1)
A． (3, )
B． (1, )
2 3
C． ( ,3)
2
2. 设 x R ， i 是虚数单位，则“ x 3 ”是“复数 z ( x 2 x 3) ( x 1)i 为纯虚数” 的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示，则该几何体的俯视图不可能是
2015年全国各地高考模拟试题_山东省高三上学期期中考试数学(理)卷

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页眉内容2015届高三数学模拟测试理 科 数 学第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知a,b 均为单位向量，它们的夹角为3π，则a b +=A.1 D.2 2.已知全集U=R ，集合{}{}2320,0U A x x x B x x a C B A =-+>=-≤⊆，若，则实数a 的取值范围是A.()1-∞，B.(]2-∞，C.[)1+∞，D.[)2+∞， 3.“=2πθ”是“曲线()sin y x θ=+关于y 轴对称”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 4.在等差数列{}()()135792354n a a a a a a ++++=中，，则此数列前10项的和10S =A.45B.60C.75D.905.下列函数中，既是奇函数又在区间()0,+∞上单调递增的是 A.1y x x=+ B.x x y e e -=- C.3y x x =- D.ln y x x = 6.函数()22x f x x =-零点的个数为A.1B.2C.3D.47.下列命题中的假命题是A.0,32x x x ∀>>B.()0,,1xx e x ∀∈+∞>+ C.()0000,,sin x x x ∃∈+∞<D.00,lg 0x R x ∃∈< 8.若实数11.ea dx x=⎰则函数()sin cos f x a x x =+的图象的一条对称轴方程为A.0x =B.34x π=-C.4π- D.54x π=- 9.已知函数()y xf x '=-的图象如图（其中()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中，()y f x =的图象可能是10.直线1y x =+与曲线()ln y x a =+相切时，a=A.1-B.1C.2-D.2 11.对于函数()22cos sin 11212f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列选项中正确的是 A.()42f x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在，内是递增的 B.()f x 的图象关于原点对称C.()f x 的最小正周期为2πD.()f x 的最大值为1 12.定义全集U 的子集P 的特征函数()1,0,p U U x P f x C P x C P∈⎧=⎨∈⎩，这里表示集合P 在全集U的补集.已知,P U Q U ⊆⊆，给出下列命题：①若P Q ⊆，则对于任意()()P Q x U f x f x ∈≤，都有；②对于任意()(),1U p x U fC p x f x ∈=-都有；③对于任意()()(),P Q p Q x U f x f x f x ⋂∈=⋅都有；④对于任意()()(),P Q p Q x U f x f x f x ⋃∈=+都有.A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④第II 卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案填写在答题纸给定的横线上.）13.已知,sin 2cos tan 22R αααα∈+==__________. 14.定义在R 上的函数()()()12,10f x f x f x x -=-≤≤满足若当时，()f x = ()1x x +；则当()01x f x ≤≤=时，______________________.15.正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()22210n n S n n S n n -+--+=，则数列{}n a 的通项公式n a =_________.16.在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A,B 满足2OA OB OA OB ==⋅=，则点集{},0,0,1p op OA OB λμλμλμ=+≥≥+≤所表示区域的面积为_________.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）设向量)(),sin ,cos ,sin ,0,2a x x b x x x π⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭其中. （I ）若//a b ，求x 的值；（II ）设函数()()(),f x a b b f x =+⋅求的最大值.18.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为,,,sin sin sin sin cos21,a b c A C B C C ++=且 10.a b +=（I ）求c 的值；（II ）若23B π=，求△ABC 的面积. 19.（本小题满分12分）某厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得的利润是310041x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元. （I ）要使生产该产品1小时获得的利润不低于1200元，求x 的取值范围；（II ）要使生产120千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.20.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1111,.22n n n a a a n ++== （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设(){}**2,,n n n b n S n N M n b n N λ=-∈=≥∈，若集合恰有4个元素，求实数λ的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数()2ln 1x f x a x x a a =+->，其中.（I ）求函数()f x 的单调区间；（II ）若方程()0f x m -=在区间[]1,1-上有两个不相等实数根，求实数m 的取值范围.22.（本小题满分14分）已知()03x a a f x x a->=+，函数. （I ）记()f x 在区间[]0,9上的最大值为()g a ，求()g a 的表达式；（II ）是否存在a ，使函数()y f x =在区间（0，9）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.。

2015年山东省济宁市高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2015年山东省济宁市高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2015年山东省济宁市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i是虚数单位，复数z＝，则|z﹣2|＝（）A．2B．2C．D．12．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x||x﹣1|≤2}，∁U B＝（﹣∞，1）∪[4，+∞），则A∪B＝（）A．[1，3]B．（1，3]C．[﹣1，4]D．[﹣1，4）3．（5分）已知||＝1，||＝2，•（﹣）＝﹣2，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．4．（5分）已知f（x）＝2sin（2x+），若将它的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）图象的一条对称轴的方程为（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝5．（5分）函数f（x）＝2cos x（x∈[﹣π，π]）的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）当输入的实数x∈[2，30]时，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为（）A．18B．24C．30D．368．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z＝2x﹣2y的取值范围为（）A．[4，32]B．[，8]C．[8，16]D．[，4] 9．（5分）已知抛物线y＝x2与双曲线﹣x2＝1（a＞0）有共同的焦点F，O 为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，则•的最小值为（）A．2﹣3B．3﹣2C．D．10．（5分）已知定义在R上奇函数f（x）满足①对任意x，都有f（x+3）＝f（x）成立；②当时，则在[﹣4，4]上根的个数是（）A．4B．5C．6D．7二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）若a＝cos xdx，则二项式（a﹣）4的展开式中的常数项为．12．（5分）某企业对自己的拳头产品的销售价格（单位：元）与月销售量（单位：万件）进行调查，其中最近五个月的统计数据如下表所示：由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是：＝﹣3.2x+40，则n＝．13．（5分）某单位用3.2万元购买了一台实验仪器，假设这台仪器从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元，若使用这台仪器的日平均费用最少，则一共使用了天．14．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．15．（5分）以下四个命题：①设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c）＝P（ξ＜c﹣2），则常数c的值是2；②若命题“∃x0∈R，使得x02+ax0+1≤0成立”为真命题，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）；③圆（x﹣1）2+y2＝1被直线x﹣y＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为1：4；④已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（2，+∞）．其中真命题的序号是（把你认为真命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知向量＝（sin，1），＝（cos，cos2），记f（x）＝•．（Ⅰ）若f（x）＝1，求cos（x+）的值；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cos B＝b cos C，求f（2A）的取值范围．17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ADC＝60°，侧面PDC是正三角形，平面PDC⊥平面ABCD，CD＝2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：P A⊥平面CDM；（Ⅱ）求二面角D﹣MC﹣B的余弦值．18．（12分）现有甲、乙、丙三人参加某电视的一档应聘节目，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为（0＜t＜2），且三人是否应聘成功是相互独立的．（Ⅰ）若乙、丙有且只有一人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求t的值；（Ⅱ）若t＝，求三人中恰有两人应聘成功的概率；（Ⅲ）记应聘成功的人数为ξ，若当且仅当ξ＝2时对应的概率最大，求E（ξ）的取值范围．19．（12分）已知等比数列{a n}的公比为q，a1＝，其前n项和为S n（n∈N*），且S2，S4，S3成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝S n﹣（n∈N*），求b n的最大值与最小值．20．（13分）平面内动点M（x，y）与两定点A（﹣，0），B（，0）的连线的斜率之积为﹣，记动点M的轨迹为C．（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）定点F（﹣2，0），T为直线x＝﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交曲线C于点P，Q．（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；（ii）当最小时，求点T的坐标．21．（14分）已知函数f（x）＝e x﹣ax﹣a（其中a∈R，e是自然对数的底数，e ＝2.71828…）．（I）当a＝e时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当0≤a≤1时，求证f（x）≥0；（Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有（1+）（1+）…（1+）＜e．2015年山东省济宁市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i是虚数单位，复数z＝，则|z﹣2|＝（）A．2B．2C．D．1【解答】解：∵z﹣2＝﹣2＝，∴|z﹣2|＝．故选：C．2．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x||x﹣1|≤2}，∁U B＝（﹣∞，1）∪[4，+∞），则A∪B＝（）A．[1，3]B．（1，3]C．[﹣1，4]D．[﹣1，4）【解答】解：∵∁U B＝（﹣∞，1）∪[4，+∞），∴B＝{x|1≤x＜4}，又∵集合A＝{x||x﹣1|≤2}＝{x|﹣1≤x≤3}，∴A∪B＝{x|﹣1≤x≤3}∪{x|1≤x＜4}＝{x|﹣1≤x＜4}．故选：D．3．（5分）已知||＝1，||＝2，•（﹣）＝﹣2，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：因为||＝1，||＝2，•（﹣）＝﹣2，所以＝﹣2，所以＝﹣2+1＝﹣1，所以向量与的夹角的余弦值为＝，所以向量与的夹角为；故选：B．4．（5分）已知f（x）＝2sin（2x+），若将它的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）图象的一条对称轴的方程为（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝【解答】解：f（x）＝2sin（2x+），若将它的图象向右平移个单位，得到函数g（x）＝2sin[2（x﹣）+）]＝2sin（2x﹣）的图象，令2x﹣＝kπ+，k∈z，求得x＝+，故函数的图象的一条对称轴的方程为x＝，故选：C．5．（5分）函数f（x）＝2cos x（x∈[﹣π，π]）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（﹣x）＝2cos（﹣x）＝2cos x＝f（x），∴f（x）为偶函数，则图象关于y轴对称，排除A、D，把x＝π代入得f（π）＝2﹣1＝0.5，故图象过点（π，0.5），C选项适合，故选：C．6．（5分）当输入的实数x∈[2，30]时，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设实数x∈[2，30]，经过第一次循环得到x＝2x+1，n＝2经过第二循环得到x＝2（2x+1）+1，n＝3经过第三次循环得到x＝2[2（2x+1）+1]+1，n＝4此时输出x输出的值为8x+7，∴当输入x∈[2，30]时，输出x∈[23，247]，数集的长度为224；输出x不小于103，则x∈[103，247]，数集的长度为144．∴输出的x不小于103的概率为．故选：A．7．（5分）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为（）A．18B．24C．30D．36【解答】解：∵每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C42，元素还有一个排列，有A33种，而甲乙被分在同一个班的有A33种，∴满足条件的种数是C42A33﹣A33＝30故选：C．8．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z＝2x﹣2y的取值范围为（）A．[4，32]B．[，8]C．[8，16]D．[，4]【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令t＝x﹣2y，化为直线方程的斜截式得：，联立，解得A（﹣2，﹣2），联立，解得C（﹣1，2）．由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，t最大，最大值为2；当直线过C时，直线在y轴上的截距最大，t最小，最小值为﹣5．则t∈[﹣5，2]，由z＝2x﹣2y＝2t t∈[﹣5，2]，得z∈．故选：D．9．（5分）已知抛物线y＝x2与双曲线﹣x2＝1（a＞0）有共同的焦点F，O 为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，则•的最小值为（）A．2﹣3B．3﹣2C．D．【解答】解：抛物线y＝x2的焦点F为（0，2），则双曲线﹣x2＝1的c＝2，则a2＝3，即双曲线方程为＝1，设P（m，n），（n），则n2﹣3m2＝3，则•＝（m，n）•（m，n﹣2）＝m2+n2﹣2n＝﹣1+n2﹣2n＝﹣2n﹣1＝（n﹣）2﹣，由于区间[，+∞）在n＝的右边，则为增区间，则当n＝时，取得最小值，且为＝3﹣2．故选：B．10．（5分）已知定义在R上奇函数f（x）满足①对任意x，都有f（x+3）＝f（x）成立；②当时，则在[﹣4，4]上根的个数是（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：∵f（x+3）＝f（x）成立，∴奇函数f（x）是周期等于3的周期函数．当0≤x≤时，f（x）＝．则在[﹣4，4]上根的个数就是函数f（x）与函数y＝的交点的个数，如图所示：故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）若a＝cos xdx，则二项式（a﹣）4的展开式中的常数项为24．【解答】解：∵a＝cos xdx＝sin x＝sin﹣sin（）＝2∴a＝2∴二项式（2﹣）4的展开式中项为：T r+1＝•24﹣r•（﹣1）•x2﹣r，当2﹣r＝0时，r＝2，常数项为：•4×1＝6×4＝24故答案为：2412．（5分）某企业对自己的拳头产品的销售价格（单位：元）与月销售量（单位：万件）进行调查，其中最近五个月的统计数据如下表所示：由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是：＝﹣3.2x+40，则n＝10．【解答】解：由题意，＝＝10，＝＝，因为线性回归直线方程是：＝﹣3.2x+40，所以＝﹣32+40，所以n＝10，故答案为：10．13．（5分）某单位用3.2万元购买了一台实验仪器，假设这台仪器从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元，若使用这台仪器的日平均费用最少，则一共使用了800天．【解答】解：日平均费用设为y，据题意得：f（n）＝＝×＝×（n++99）≥×（2+99）当且仅当n＝即n＝800时取等号．故答案为：80014．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为8．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的棱锥，其底面面积S＝×（2+4）×4＝12，高h＝2，故棱锥的体积V＝Sh＝8，故答案为：8．15．（5分）以下四个命题：①设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c）＝P（ξ＜c﹣2），则常数c的值是2；②若命题“∃x0∈R，使得x02+ax0+1≤0成立”为真命题，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）；③圆（x﹣1）2+y2＝1被直线x﹣y＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为1：4；④已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（2，+∞）．其中真命题的序号是②④（把你认为真命题的序号都填上）【解答】解：①设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c）＝P（ξ＜c ﹣2），c﹣2＝2﹣（c﹣2），解得c＝3，则常数c的值是3，因此不正确；②若命题“∃x0∈R，使得x02+ax0+1≤0成立”为真命题，则△≥0，解得a≥2或a≤﹣2，因此实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），正确；③圆（x﹣1）2+y2＝1被直线x﹣y＝0分成两段圆弧，圆心C（1，0）到直线x＝y的距离d＝＝r，∴较短弧所对的圆心角为，∴较短弧长与较长弧长之比为1：3，因此不正确；④已知p：x≥k，q：＜1，解得x＞2或x＜﹣1，∵p是q的充分不必要条件，则实数k＞2，因此k的取值范围是（2，+∞），正确．其中真命题的序号是②④．故答案为：②④．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知向量＝（sin，1），＝（cos，cos2），记f（x）＝•．（Ⅰ）若f（x）＝1，求cos（x+）的值；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cos B＝b cos C，求f（2A）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）向量＝（sin，1），＝（cos，cos2），记f（x）＝•＝sin cos+cos2＝sin+cos+＝sin（）+，因为f（x）＝1，所以sin（）＝，所以cos（x+）＝1﹣2sin2（）＝，（Ⅱ）因为（2a﹣c）cos B＝b cos C，由正弦定理得（2sin A﹣sin C）cos B＝sin B cos C 所以2sin A cos B﹣sin C cos B＝sin B cos C所以2sin A cos B＝sin（B+C）＝sin A，sin A≠0，所以cos B＝，又0＜B＜，所以B＝，则A+C＝，即A＝﹣C，又0＜C＜，则＜A＜，得＜A+＜，所以＜sin（A+）≤1，又f（2A）＝sin（A+），所以f（2A）的取值范围（]．17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ADC＝60°，侧面PDC是正三角形，平面PDC⊥平面ABCD，CD＝2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：P A⊥平面CDM；（Ⅱ）求二面角D﹣MC﹣B的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：取DC中点O，连结PO，∵侧面PDC是正三角形，平面PDC⊥平面ABCD，∴PO⊥底面ABCD，∵底面ABCD为菱形，且∠ADC＝60°，DC＝2，DO＝1，OA⊥DC，以O为原点，分别以OA，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），P（0，0，），B（），C（0，1，0），D（0，﹣1，0），∴M（），∴＝（），＝（），＝（0，2，0），∴＝0，＝0，∴P A⊥DM，P A⊥DC，又DM∩DC＝D，∴P A⊥平面CDM．（Ⅱ）解：＝（），＝（），设平面BMC的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣，﹣1），由（Ⅰ）知平面CDM的法向量为＝（），∴cos＜＞＝＝＝﹣，由图象得二面角D﹣MC﹣B是钝角，∴二面角D﹣MC﹣B的余弦值为﹣．18．（12分）现有甲、乙、丙三人参加某电视的一档应聘节目，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为（0＜t＜2），且三人是否应聘成功是相互独立的．（Ⅰ）若乙、丙有且只有一人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求t的值；（Ⅱ）若t＝，求三人中恰有两人应聘成功的概率；（Ⅲ）记应聘成功的人数为ξ，若当且仅当ξ＝2时对应的概率最大，求E（ξ）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为（0＜t＜2），且三人是否应聘成功是相互独立的．乙、丙有且只有一人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，∴由题意得，解得t＝1．（Ⅱ）t＝时，甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为，∴三人中恰有两人应聘成功的概率：P＝+＝．（Ⅲ）由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝，P（ξ＝1）＝+＝，P（ξ＝2）＝++（1﹣）×＝，P（ξ＝3）＝＝，∴ξ的分布列为：Eξ＝+＝t+，由题意知P（ξ＝2）﹣P（ξ＝1）＝＞0，P（ξ＝2）﹣P（ξ＝0）＝＞0，P（ξ＝2）﹣P（ξ＝3）＝，又0＜t＜2，∴1＜t＜2，∴（ξ）＜．19．（12分）已知等比数列{a n}的公比为q，a1＝，其前n项和为S n（n∈N*），且S2，S4，S3成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝S n﹣（n∈N*），求b n的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，q≠1，则∵S2，S4，S3成等差数列，∴2S4＝S2+S3，又数列{a n}为等比数列，∴4（a1+a1q+a1q2+a1q3）＝（a1+a1q）+（a1+a1q+a1q2），整理得：2q2﹣q﹣1＝0，解得：q＝1或q＝﹣，∴a n＝；（Ⅱ）S n＝1﹣，n为奇数时，S n＝1+，随着n的增大而减小，所以1＜S n≤S1＝，因为y＝x﹣在（0，+∞）上为增函数，b n＝S n﹣（n∈N*），所以0＜b n≤；n为偶数时，S n＝1﹣，随着n的增大而增大，所以S2≤S n＜1，因为y＝x﹣在（0，+∞）上为增函数，b n＝S n﹣（n∈N*），所以﹣≤b n＜0；所以﹣≤b n＜0或0＜b n≤，所以b n的最大值为，最小值为﹣．20．（13分）平面内动点M（x，y）与两定点A（﹣，0），B（，0）的连线的斜率之积为﹣，记动点M的轨迹为C．（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）定点F（﹣2，0），T为直线x＝﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交曲线C于点P，Q．（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；（ii）当最小时，求点T的坐标．【解答】解：（I）由已知可得k MA•k MB＝＝﹣，化为，∴动点M的轨迹C的方程为；（II）（i）证明：设T（﹣3，m），则直线TF的斜率k TF＝＝﹣m．当m≠0时，直线PQ的斜率k PQ＝，直线PQ的方程为：x＝my﹣2，当m＝0时，PQ的方程为：x＝﹣2，也满足上述方程．设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，化为（3+m2）y2﹣4my﹣2＝0，△＝16m2+8（m2+3）＞0，∴y1+y2＝，y1y2＝，∴x1+x2＝m（y1+y2）﹣4＝．∴PQ的中点N．∴直线ON的斜率k ON＝﹣．又直线OT的斜率k OT＝﹣．∴点N在直线OT上，∴OT平分线段PQ．（ii）由（i）可得|TF|＝．|PQ|＝＝＝．∴＝＝＝，当且仅当m＝±1时取等号．∴当最小时，点T的坐标为（﹣3，±1）．21．（14分）已知函数f（x）＝e x﹣ax﹣a（其中a∈R，e是自然对数的底数，e ＝2.71828…）．（I）当a＝e时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当0≤a≤1时，求证f（x）≥0；（Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有（1+）（1+）…（1+）＜e．【解答】解：（Ⅰ）当a＝e时，f（x）＝e x﹣ex﹣e，f′（x）＝e x﹣e，当x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0；所以函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以函数f（x）在x＝1处取得极小值f（1）＝﹣e，函数f（x）无极大值；（Ⅱ）由f（x）＝e x﹣ax﹣a，f′（x）＝e x﹣a①当a＝0时，f（x）＝e x≥0恒成立，满足条件，②当0＜a≤1时，由f′（x）＝0，得x＝lna，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，∴函数f（x）在x＝lna处取得极小值即为最小值，f（x）min＝f（lna）＝e lna﹣alna﹣a＝﹣alna∵0＜a≤1，∴lna≤0，∴﹣alna≥0，∴f（x）min≥0，∴综上得，当0≤a≤1时，f（x）≥0；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a＝1时，f（x）≥0 恒成立，所以f（x）＝e x﹣x﹣1≥0恒成立，即e x≥x+1，∴ln（x+1）≤x，令x＝（n∈N+），得，∴≤＝＝1﹣，∴（1+）（1+）…（1+）＜e．。