初中反比例函数习题集合(经典) (1)下列函数,① 1)2(=+y x ②. 11 += x y ③21x y = ④.x y 21-=⑤2 x y =-⑥13y x = ; 其中是y 关于x 的反比例函数的有:_________________。 (2)函数2 2 )2(--=a x a y 是反比例函数,则a 的值是( ) A .-1 B .-2 C .2 D .2或-2 (3)如果y 是m 的反比例函数,m 是x 的反比例函数,那么y 是x 的( ) A .反比例函数 B .正比例函数 C .一次函数 D .反比例或正比例函数 (4)如果y 是m 的正比例函数,m 是x 的反比例函数,那么y 是x 的( ) (5)如果y 是m 的正比例函数,m 是x 的正比例函数,那么y 是x 的( ) (6)反比例函数(0k y k x = ≠) 的图象经过(—2,5)和(2, n ), 求(1)n 的值;(2)判断点B (24,2-)是否在这个函数图象上,并说明理由 (7)已知函数12y y y =-,其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例,且当x =1时,y =1; x =3时,y =5.求:(1)求y 关于x 的函数解析式; (2)当x =2时,y 的值. (8)若反比例函数2 2)12(--=m x m y 的图象在第二、四象限,则m 的值是( ) A 、 -1或1; B 、小于 1 2 的任意实数; C 、-1; D、不能确定 (9)已知0k >,函数y kx k =+和函数k y x =在同一坐标系内的图象大致是( ) (10)正比例函数2x y = 和反比例函数2 y x =的图象有 个交点. (11)正比例函数5y x =-的图象与反比例函数(0)k y k x =≠的图象相交于点A (1,a ), 则a = . (12)下列函数中,当0x <时,y 随x 的增大而增大的是( ) A .34y x =-+ B .123y x =-- C .4 y x =- D .12y x =. x y O x y O x y O x y O A B C D
高考数学-指数函数图像和性质及经典例题 【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>; (3)s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>. 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 二、指数函数 1.指数函数的概念:一般地,函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 2.指数函数的图象和性质 1.在同一坐标系中画出下列函数的图象: (1)x )31(y = (2)x )2 1 (y = (3)x 2y = (4)x 3y = (5)x 5y =
【指数函数性质应用经典例题】 例1.设a 是实数, 2 ()()21 x f x a x R =- ∈+,试证明:对于任意,()a f x 在R 上为增函数. 证明:设1212,,x x R x x ∈<,则 12()()f x f x -12 22()()2121 x x a a =- --++ 21222121 x x = - ++ 121 22(22)(21)(21) x x x x -=++, 由于指数函数2x y =在R 上是增函数, 且12x x <, 所以1222x x < 即1 2220x x -<, 又由20x >, 得1 1 20x +>,2120x +>, ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <, 所以,对于任意,()a f x 在R 上为增函数. 例2.已知函数2 ()1 x x f x a x -=+ +(1)a >, 求证:(1)函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数;(2)方程()0f x =没有负数根.
第十二讲 基本初等函数 一:教学目标 1、掌握基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数)的基本性质; 2、理解基本初等函数的性质; 3、掌握基本初等函数的应用,特别是指数函数与对数函数 二:教学重难点 教学重点:基本初等函数基本性质的理解及应用; 教学难点:基本初等函数基本性质的应用 三:知识呈现 1.指数与指数函数 1).指数运算法则:(1)r s r s a a a +=; (2)()s r rs a a =; (3)()r r r ab a b =; (4)m n m n a a =; (5)m n n m a a -= (6),||,n n a n a a n ?=??奇偶 2). 指数函数:形如(01)x y a a a =>≠且 2.1)对数的运算: 1、互化:N b N a a b log =?= 2、恒等:N a N a =log 3、换底: a b b c c a log log log = 指数函数 01 图 象 表达式 x y a = 定义域 R 值 域 (0,)+∞ 过定点 (0,1) 单调性 单调递减 单调递增
推论1 a b b a log 1log = 推论2 log log log a b a b c c ?= 推论3 log log m n a a n b b m =)0(≠m 4、N M MN a a a log log log += log log log a a a M M N N =- 5、M n M a n a log log ?= 2)对数函数: 3.幂函数 一般地,形如 a y x =(a R ∈)的函数叫做幂函数,其中 a 是常数 1)性质: (1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都通过点(1, 1); 对数函 数 01 图 象 表达式 log a y x = 定义域 (0,)+∞ 值 域 R 过定点 (1,0) 单调性 单调递减 单调递增
指数函数及其基本性质 指数函数的定义 一般地,函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R . 问题:指数函数定义中,为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况? (1)若a<0会有什么问题?(如2 1 ,2= -=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在) (2)若a=0会有什么问题?(对于0≤x ,x a 无意义) (3)若 a=1又会怎么样?(1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.) 师:为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 指数函数的图像及性质 函数值的分布情况如下:
指数函数平移问题(引导学生作图理解) 用计算机作出的图像,并在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数y =x 2的图象的关系(作图略), ⑴y =1 2+x 与y =2 2+x . ⑵y =12 -x 与y =2 2 -x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x +a )的图象; 向右平移a 个单位得到f (x -a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )+a 的图象; 向下平移a 个单位得到f (x )-a 的图象.
指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2.值域y >0且y ≠1. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为y ≥0. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 (1)4 12-=x y ; (2)|| 2()3 x y =; (3)1241++=+x x y ; 【例2】指数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图像如图2.6-2所示,则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A .a <b <1<c <d B .a <b <1<d <c C . b <a <1<d <c D .c <d <1<a <b 解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 及时演练
反比例函数经典中考例题解析一 一、 填空题(每空3分,共36分) 1、任意写出一个图象经过二、四象限的反比例函数的解析式:__________ 2、若正比例函数y =mx (m ≠0)和反比例函数y =n x (n ≠0)的图象有一个交点为点(2,3),则m =______,n =_________ . 3、已知正比例函数y=kx 与反比例函数y= 3 x 的图象都过A (m ,1)点,求此正比例函数解析式为________,另一个交点的坐标为________. 4、已知反比例函数2k y x -=,其图象在第一、三象限内,则k 的值可为 。 (写出满足条件的一个k 的值即可) 5、已知反比例函数x k y = 的图象经过点)2 1 4(,,若一次函数1+=x y 的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B (2,m ),求平移后的一次函数图象与x 轴的交点坐标为______________ 6、已知双曲线x k y = 经过点(-1,3),如果A (11,b a ),B (22,b a )两点在该双曲线上,且1a <2a <0,那么1b 2b . 7、函数y=x 2的图象如图所示,在同一直角坐标系内,如果将直线y=-x+1沿y 轴向上平 移2个单位后,那么所得直线与函数y= x 2 的图象的交点共有 个 8、已知函数y kx =- (k≠0)与y=4x -的图象交于A 、B 两点,过点A 作AC 垂直于y轴,垂足为点C ,则△BOC 的面积为____ (第9题)
9.如图,11POA V 、 212P A A V 是等腰直角三角形,点1P 、2P 在函数4 (0)y x x =>的图象上,斜边1OA 、12A A 都在x 轴上,则点2A 的坐标是____________. 10. 两个反比例函数x y 3= ,x y 6 =在第一象限内的图象如图 所示, 点P 1,P 2,P 3,…,P 2 005在反比例函数x y 6 = 图象上,它们的横坐标分别是x 1,x 2,x 3,…,x 2 005,纵坐标分别是1,3,5,…,共2 005个连续奇数,过点P 1, P 2,P 3,…,P 2 005分别作 y 轴的平行线,与x y 3 = 的图象交点依次是Q 1(x 1,y 1),Q 2(x 2,y 2),Q 3(x 3,y 3),…,Q 2 005(x 2 005,y 2 005),则 y 2 005= . 二、选择题(每题3分,共30分) 11、反比例函数k y x = 与直线2y x =-相交于点A ,A 点的横坐标为-1,则此反比例函数的解析式为( ) A .2y x = B .12y x = C .2y x =- D .12y x =- 12、如图所示的函数图象的关系式可能是( ). (A )y = x (B )y =x 1 (C )y = x 2 (D) y = 1x 13、若点(3,4)是反比例函数2 21m m y x +-=图象上一点,则此函数图象必须经过点 ( ). O x y (第12题) 第10
反比例函数经典中考例题解析二 一、选择题(每小题3分,共30分) 1、反比例函数y = x n 5 图象经过点(2,3),则n 的值是( ). A 、-2 B 、-1 C 、0 D 、1 2、若反比例函数y = x k (k ≠0)的图象经过点(-1,2),则这个函数的图象一定经过点( ). A 、(2,-1) B 、(- 2 1 ,2) C 、(-2,-1) D 、( 2 1 ,2) 3、(08双柏县)已知甲、乙两地相距s (km ),汽车从甲地匀速行驶到乙地,则汽车行驶的时间t (h )与行驶速度v (km/h )的函数关系图象大致是( ) 4、若y 与x 成正比例,x 与z 成反比例,则y 与z 之间的关系是( ). A 、成正比例 B 、成反比例 C 、不成正比例也不成反比例 D 、无法确定 5、一次函数y =kx -k ,y 随x 的增大而减小,那么反比例函数y = x k 满足( ). A 、当x >0时,y >0 B 、在每个象限内,y 随x 的增大而减小 C 、图象分布在第一、三象限 D 、图象分布在第二、四象限 6、如图,点P 是x 轴正半轴上一个动点,过点P 作x 轴的垂 线PQ 交双曲线y = x 1 于点Q ,连结OQ ,点P 沿x 轴正方向运动时, Rt △QOP 的面积( ). A 、逐渐增大 B 、逐渐减小 C 、保持不变 D 、无法确定 Q p x y o t /h v /(km/ O t /h v /(km/ O t /h v /(km/ O t /h v /(km/ O A . B . C . D .
7、在一个可以改变容积的密闭容器内,装有一定质量 m 的某种气体,当改变容积V 时,气体的密度ρ也随之改变. ρ与V 在一定范围内满足ρ= V m ,它的图象如图所示,则该 气体的质量m 为( ). A 、1.4kg B 、5kg C 、6.4kg D 、7kg 8、若A (-3,y 1),B (-2,y 2),C (-1,y 3)三点都在函数y =-x 1的图象上,则y 1,y 2,y 3的大 小关系是( ). A 、y 1>y 2>y 3 B 、y 1<y 2<y 3 C 、y 1=y 2=y 3 D 、y 1<y 3<y 2 9、已知反比例函数y = x m 21-的图象上有A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)两点,当x 1<x 2<0时,y 1<y 2,则m 的取值范围是( ). A 、m <0 B 、m >0 C 、m <2 1 D 、m > 2 1 10、如图,一次函数与反比例函数的图象相交于A 、B 两 点,则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围 是( ). A 、x <-1 B 、x >2 C 、-1<x <0或x >2 D 、x <-1或0<x <2 二、填空题(每小题3分,共30分) 11.某种灯的使用寿命为1000小时,它的可使用天数y 与平均每天使用的小时数x 之间的函数关系式 为 . 12、已知反比例函数 x k y = 的图象分布在第二、四象限,则在一次函数b kx y +=中,y 随x 的增大而 (填“增大”或“减小”或“不变”). 13、若反比例函数y =x b 3 -和一次函数y =3x +b 的图象有两个交点,且有一个交点的纵坐标为6,则b = . 14、反比例函数y =(m +2)x m 2 - 10的图象分布在第二、四象限内,则m 的值为 .
实用标准 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】(基础题)求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}.值域{y|y >0且y ≠1}. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为{|y|y ≥0}. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 1.指数函数Y=ax (a>0且a ≠1)的定义域是R ,值域是(0,+∞) 2. 求定义域的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母不为0③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围)
【例2】(基础题)指数函数y=a x,y=b x,y=c x,y=d x的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C.b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b 解选(c),在x轴上任取一点(x,0),则得b<a<1<d<c.
【例3】(基础题)比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<<<.22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859=====
一、简答题 1、设. (1)判断函数的奇偶性; (2)求函数的定义域和值域. 2、设函数 (Ⅰ)讨论的单调性; (Ⅱ)求在区间的最大值和最小值. 3、已知函数f(x)=x2+2ax+1(a∈R),f′(x)是f(x)的导函数. (1)若x∈[-2,-1],不等式f(x)≤f′(x)恒成立,求a的取值范围; (2)解关于x的方程f(x)=|f′(x)|; (3)设函数g(x)=,求g(x)在x∈[2,4]时的最小值. 4、经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以30天计),旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)=4+,人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)=115-|t-15|. (1)求该城市的旅游日收益w(t)(万元)与时间t(1≤t≤30,t∈N*)的函数关系式; (2)求该城市旅游日收益的最小值(万元). 5、某商场对A品牌的商品进行了市场调查,预计2012年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是: P(x)=x(x+1)(41-2x)(x≤12且x∈N*)
(1)写出第x月的需求量f(x)的表达式; (2)若第x月的销售量g(x)= (单位:件),每件利润q(x)元与月份x的近似关系为:q(x)=,问:该商场销售A品牌商品,预计第几月的月利润达到最大值?月利润最大值是多少?(e6≈403) 6、已知函数f(x)=x2-(1+2a)x+a ln x(a为常数). (1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在x=1处切线的方程; (2)当a>0时,讨论函数y=f(x)在区间(0,1)上的单调性,并写出相应的单调区间. 7、某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得10万元到1 000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:资金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过9万元,同时奖金不超过投资收益的20%. (1)若建立函数y=f(x)模型制定奖励方案,试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的基本要求,并分析函数y=+2是否符合公司要求的奖励函数模型,并说明原因; (2)若该公司采用模型函数y=作为奖励函数模型,试确定最小的正整数a的值. 8、已知函数图象上一点P(2,f(2))处的切线方程为. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若方程在内有两个不等实根,求的取值范围(其中为自然对数的底,); (Ⅲ)令,如果图象与轴交于,AB中点为,求 证:. 9、已知命题p:函数y=log a(1-2x)在定义域上单调递增;命题q:不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对任意实数x 恒成立.若p∨q是真命题,求实数a的取值范围.
反比例函数知识点归纳总结与典型例题 (一)反比例函数的概念: 知识要点: 1、一般地,形如 y = x k ( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。 注意:(1)常数 k 称为比例系数,k 是非零常数; (2)解析式有三种常见的表达形式: (A )y = x k (k ≠ 0) , (B )xy = k (k ≠ 0) (C )y=kx -1 (k ≠0) 例题讲解:有关反比例函数的解析式 (1)下列函数,① 1)2(=+y x ②. 11+= x y ③21x y = ④.x y 21 -=⑤2 x y =-⑥13y x = ;其中是y 关 于x 的反比例函数的有:_________________。 (2)函数2 2)2(--=a x a y 是反比例函数,则a 的值是( ) A .-1 B .-2 C .2 D .2或-2 (3)若函数1 1-= m x y (m 是常数)是反比例函数,则m =________,解析式为________. (4)反比例函数(0k y k x = ≠) 的图象经过(—2,52, n ), 求1)n 的值; 2)判断点B (24,2- (二)反比例函数的图象和性质: 知识要点: 1、形状:图象是双曲线。 2、位置:(1)当k>0时,双曲线分别位于第________象限内;(2)当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。 3、增减性:(1)当k>0时,_________________,y 随x 的增大而________; (2)当k<0时,_________________,y 随x 的增大而______。 4、变化趋势:双曲线无限接近于x 、y 轴,但永远不会与坐标轴相交 5、对称性:(1)对于双曲线本身来说,它的两个分支关于直角坐标系原点____________;(2)对于k 取互为相反数的两个反比例函数(如:y = x 6 和y = x 6 -)来说,它们是关于x 轴,y 轴___________。 例题讲解: 反比例函数的图象和性质: (1)写出一个反比例函数,使它的图象经过第二、四象限 . (2)若反比例函数 2 2 )12(--=m x m y 的图象在第二、四象限,则m 的值是( ) A 、 -1或1; B 、小于 1 2 的任意实数; C 、-1; D、不能确定 (3)下列函数中,当0x <时,y 随x 的增大而增大的是( ) A .34y x =-+ B .123y x =-- C .4 y x =- D .12y x =.
反比例函数知识点归纳和典型例题 知识点归纳 (一)反比例函数的概念 1.()可以写成()的形式,注意自变量x的指数为,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件; 2.()也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k,从而得到反比例函数的解析式; 3.反比例函数的自变量,故函数图象与x轴、y轴无交点. (二)反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,且x应对称取点(关于原点对称). (三)反比例函数及其图象的性质 1.函数解析式:() 2.自变量的取值范围: 3.图象: (1)图象的形状:双曲线. 越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直. 越小,图象的弯曲度越大. (2)图象的位置和性质: 与坐标轴没有交点,称两条坐标轴是双曲线的渐近线. 当时,图象的两支分别位于一、三象限; 在每个象限内,y随x的增大而减小; 当时,图象的两支分别位于二、四象限; 在每个象限内,y随x的增大而增大. (3)对称性:图象关于原点对称,即若(a,b)在双曲线的一支上, 则(,)在双曲线的另一支上.
图象关于直线对称,即若(a,b)在双曲线的一支上, 则(,)和(,)在双曲线的另一支上.4.k的几何意义 如图1,设点P(a,b)是双曲线上任意一点,作PA⊥x轴于A点,PB⊥y轴于B点,则矩形PBOA的面积是(三角形PAO和三角形PBO的面积都是). 如图2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称 点Q也在双曲线上,作QC⊥PA的延长线于C,则有三 角形PQC的面积为. 图1 图2 5.说明: (1)双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个分支分别讨论,不能一概而论. (2)直线 与双曲线的关系: 当 时,两图象没有交点; 当 时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称.