反比例函数知识点归纳和典型例题

反比例函数知识点归纳和典型例题（一）知识结构（二）（三）（二）学习目标（四）1．理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式（k为常数，），能判断一个给定函数是否为反比例函数．（五）2．能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点．（六）3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数（k为常数，）的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题．（七）4．对于实际问题，能“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型．（八）5．进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法．（九）（三）重点难点（十）1．重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用．（十一）2．难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握．（十二）二、基础知识（十三）（一）反比例函数的概念（十四）1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；（十五）2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；（十六）3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（十七）（二）反比例函数的图象（十八）在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（十九）（三）反比例函数及其图象的性质（二十）1．函数解析式：（）（二十一）2．自变量的取值范围：（二十二）3．图象：（二十三）（1）图象的形状：双曲线．（二十四）越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（二十五）（2）图象的位置和性质：（二十六）与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．（二十七）当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；（二十八）当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（二十九）（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．（三十）图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．（三十一）4．k的几何意义（三十二）如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA 的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．（三十三）如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．（三十四）（三十五）图1 图2（三十六）5．说明：（三十七）（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（三十八）（2）直线与双曲线的关系：（三十九）当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（四十）（3）反比例函数与一次函数的联系．（四十一）（四）实际问题与反比例函数（四十二）1．求函数解析式的方法：（四十三）（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．（四十四）2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．（四十五）（五）充分利用数形结合的思想解决问题．（四十六）三、例题分析（四十七）1．反比例函数的概念（四十八）（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．（四十九）A．y=3x B．C．3xy=1 D．（五十）（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．（五十一）A．B．C．D．（五十二）答案：（1）C；（2）A．（五十三）2．图象和性质（五十四）（1）已知函数是反比例函数，（五十五）①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．（五十六）②若y随x的增大而减小，那么k=___________．（五十七）（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（五十八）（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（五十九）（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，（六十）则直线不经过的象限是（）．（六十一）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（六十二）（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，（六十三）则一次函数y=kx+m的图象经过（）．（六十四）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限（六十五）C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限（六十六）（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．（六十七）（六十八）A．B．C．D．（六十九）答案：（1）①②1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B．（七十）3．函数的增减性（七十一）（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．（七十二）A．正数B．负数C．非正数D．非负数（七十三）（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．（七十四）A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜（七十五）（3）下列四个函数中：①；②；③；④．（七十六）y随x的增大而减小的函数有（）．（七十七）A．0个B．1个C．2个D．3个（七十八）（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．（七十九）答案：（1）A；（2）D；（3）B．（八十）注意，（3）中只有②是符合题意的，而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小．（八十一）4．解析式的确定（八十二）（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（）．（八十三）A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定（八十四）（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．（八十五）（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．（八十六）（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．（八十七）①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．（八十八）（八十九）（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题：（九十）①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．（九十一）②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；（九十二）③ 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效为什么？（九十三）答案：（1）B；（2）4，8，（，）；（九十四）（3）依题意，且，解得．（九十五）（4）①依题意，解得（九十六）②一次函数解析式为，反比例函数解析式为．（九十七）（5）①，，；（九十八）②30；③消毒时间为（分钟），所以消毒有效．（九十九）5．面积计算（一○○）（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．（一○一）A．B．C．D．（一○二）（一○三）第（1）题图第（2）题图（一○四）（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x轴，△ABC的面积S，则（）．（一○五）A．S=1 B．1＜S＜2C．S=2 D．S＞2（一○六）（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．（一○七）（一○八）第（3）题图第（4）题图（一○九）（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．（一一○）（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．（一一一）（一一二）第（5）题图第（6）题图（一一三）（6）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x 轴于B且S△ABO=．（一一四）①求这两个函数的解析式；（一一五）②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．（一一六）（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P （m，n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．（一一七）① 求B点坐标和k的值；（一一八）② 当时，求点P的坐标；（一一九）③ 写出S关于m的函数关系式．（一二○）答案：（1）D；（2）C；（3）6；（一二一）（4），，矩形O Q 1P1 R 1的周长为8，O Q 2P2 R 2的周长为，前者大．（一二二）（5）1．（一二三）（6）①双曲线为，直线为；（一二四）②直线与两轴的交点分别为（0，）和（，0），且A（1，）和C（，1），（一二五）因此面积为4．（一二六）（7）①B（3，3），；（一二七）②时，E（6，0），；（一二八）③．（一二九）6．综合应用（一三○）（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数（k2 ≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（）．（一三一）A．互为倒数B．符号相同C．绝对值相等D．符号相反（一三二）（2）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B 两点：A（，1），B（1，n）．（一三三）① 求反比例函数和一次函数的解析式；（一三四）② 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．（一三五）（3）如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．（一三六）① 求点A、B、D的坐标；（一三七）② 求一次函数和反比例函数的解析式．（一三八）（4）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．（一三九）① 利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；（一四○）② 双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（一四一）（5）不解方程，判断下列方程解的个数．（一四二）①；②．（一四三）（2）① 反比例函数为，一次函数为；（一四四）②范围是或．（一四五）（3）①A（0，），B（0，1），D（1，0）；（一四六）②一次函数为，反比例函数为．（一四七）（4）①反比例函数为，；（一四八）②存在（2，2）．（一四九）（5）①构造双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；（一五○）②构造双曲线和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．。

反比例函数知识点总结典型例题大全一、反比例函数的基本概念反比例函数是一种特殊的函数，其函数关系为y=k/x(k≠0)。

其中，k被称为反比例函数的比例常数，x和y分别为自变量和因变量。

反比例函数的图像是一个开口朝下（或者朝上）的双曲线，在直角坐标系中呈现为一组对称性质。

二、反比例函数的特征1. 反比例函数的图像反比例函数的图像是一个以原点为中心对称的双曲线，图像的形状取决于比例常数k的正负和大小。

当k>0时，图像开口朝上；当k<0时，图像开口朝下。

2. 反比例函数的定义域和值域反比例函数的定义域是除去x=0的所有实数集，值域是除去y=0的所有实数集。

3. 反比例函数的性质反比例函数的性质主要包括：随着x的增大，y值逐渐减小；当x趋近于0时，y值趋近于无穷大（或者负无穷大）；同理，当x趋近于无穷大时，y值趋近于0。

三、反比例函数的典型例题1. 已知反比例函数y=k/x(k≠0)的图象关于x轴对称，求该反比例函数的解析式。

解：由于函数图象关于x轴对称，所以当x不等于0时，k/x和-k/x的图象关于x轴对称。

由此可得k/x=-k/x，即k=-k。

解得k=0。

所以该反比例函数的解析式为y=0，即y=0。

2. 若y是反比例函数y=k/x的函数，且满足y=2时，x=4。

求k的值。

解：根据反比例函数的定义，y=k/x。

已知y=2，x=4。

将这组值代入反比例函数的定义中，得到2=k/4，解得k=8。

所以k=8。

3. 如果反比例函数y=k/x的图象经过点(2, 6)，求k的值。

解：根据反比例函数的定义，点(2, 6)满足y=k/x。

将点(2, 6)代入反比例函数的定义中，得到6=k/2，解得k=12。

所以k=12。

四、反比例函数的应用反比例函数在实际生活中有许多应用。

在电阻和电流的关系中，电阻是和电流成反比例关系的。

又在人口和土地的关系中，人口密度和土地面积也呈现出反比例关系。

五、个人观点和理解反比例函数作为数学中的重要概念，对于学习数学的同学来说是一个非常基础和重要的内容。

初中数学反比例函数知识点及经典例题反比例函数是数学中常见的一类函数，它是由一元二次函数反过来得到的。

反比例函数的特点是，自变量的增大导致函数值的减小，自变量的减小导致函数值的增大。

本文将介绍反比例函数的定义、性质、图像、经典例题以及解题思路。

一、反比例函数的定义反比例函数是指当两个变量之间满足一个恒等关系时，这个关系可以用一个反比例关系式表示。

一般地，反比例关系式可以表示为：y=k/x，其中k为常数。

二、反比例函数的性质1.反比例函数的定义域是非零实数集。

2.反比例函数的值域是非零实数集。

3.反比例函数的图像是一个经过原点的开口向右下方的双曲线。

4.当自变量等于1时，反比例函数的值等于常数k。

5.反比例函数的平行于y轴的渐近线是x=0。

三、反比例函数的图像反比例函数的图像是一个经过原点的开口向右下方的双曲线。

当自变量趋于正无穷时，函数值趋近于0；当自变量趋于负无穷时，函数值趋近于无穷大。

反比例函数的图像与x轴和y轴均不相交，且在第一象限和第三象限上。

四、反比例函数的经典例题及解题思路解题思路：根据题意可得到等式3=k/2，解方程可得到k=6、因此，此反比例函数为y=6/x。

例题2：证明反比例函数y=3/x与y=4/x在坐标原点处相交。

解题思路：将两个函数分别带入坐标原点，可得到y1=3/0=0，y2=4/0=0，因此，两个函数在坐标原点处相交。

例题3：如果一个反比例函数的变量x增加了50%，那么函数值y会发生什么变化？解题思路：根据反比例函数的定义可以得到y=k/x，将x增加了50%相当于原来的x增加了1.5倍，那么y就变成了原来的1.5倍。

例题4：如果一个反比例函数的函数值y减少了60%，那么自变量x会发生什么变化？解题思路：根据反比例函数的定义可以得到y=k/x，将y减少了60%相当于原来的y减少了0.6倍，那么x就变成了原来的0.6倍。

总结：反比例函数是一类常见的函数，它的特点是自变量的增大导致函数值的减小，自变量的减小导致函数值的增大。

八年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题反比例函数是数学中的一个重要概念，也是学生在八年级学习数学的一部分。

本文将对八年级数学中的反比例函数知识点进行归纳和解析，并给出一些典型例题进行讲解。

一、反比例函数的定义和性质反比例函数，也称为倒数函数，是指在定义域内，变量的值和函数的值成反比关系，即一个变量的增大导致函数值的减小，而变量的减小导致函数值的增大。

反比例函数的一般形式可以表示为 y = k/x ，其中 k 是非零常数。

反比例函数的性质如下：1. 函数图像：反比例函数的图像通常是一个经过原点的开口向上的函数。

2. 定义域和值域：反比例函数的定义域是除去 x = 0 的所有实数，值域是除去 y = 0 的所有实数。

3. 单调性：反比例函数在其定义域内是单调递减的。

4. 零点：当x ≠ 0 且 y = 0 时，我们可以得到反比例函数的一个零点。

二、反比例函数的典型例题下面我们将通过一些典型例题来帮助理解反比例函数的性质和应用。

例题1：已知函数 y = 3/x ，求当 x = 2 时，函数的值 y 是多少？解析：根据反比例函数的定义，当 x = 2 时，y = 3/2。

所以函数在 x = 2 时的值为 3/2。

例题2：若反比例函数 y = k/x 的图线经过点 (2, 6)，求常数 k 的值。

解析：将点 (2, 6) 代入反比例函数的表达式，得到 6 = k/2。

解方程可以得到 k = 12，因此常数 k 的值为 12。

例题3：已知 y 和 x 成反比例关系，且 y = 15 当 x = 3，求 y = 2 时x 的值。

解析：由反比例函数的性质可知，在反比例关系中，y 和 x 是互相倒数的关系，即 y = 1/x。

根据已知条件可得 15 = 1/3，所以当 y = 2 时，x =1/2，即反比例函数的值。

例题4：若反比例函数 y = 4/x 经过点 (3, 2)，求函数的值域。

解析：将点 (3, 2) 代入反比例函数的表达式，得到 2 = 4/3x。

反比例函数一、基础知识1. 概念：一样地，形如xk y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。

x k y =还能够写成kx y =1- 2. 反比例函数解析式的特点：⑴等号左侧是函数y ，等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1.⑵比例系数0≠k⑶自变量x 的取值为一切非零实数。

⑷函数y 的取值是一切非零实数。

3. 反比例函数的图像⑴图像的画法：描点法① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边别离取三对或以上互为相反的数）② 描点（有小到大的顺序）③ 连线（从左到右滑腻的曲线） ⑵反比例函数的图像是双曲线，xk y =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，因此双曲线是不通过原点，断开的两个分支，延伸部份慢慢靠近坐标轴，可是永久不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。

⑷反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xk y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。

45. k ）6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不必然是反比例函数,可是反比例函数xk y =中的两个变量必成反比例关系。

7. 反比例函数的应用二、例题【例1】若是函数222-+=k k kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数x k y =，（0≠k ）即kx y =1-（0≠k ）又在第二，四象限内，则0<k 能够求出的值【答案】由反比例函数的概念，得：⎩⎨⎧<-=-+01222k k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧<=-=0211k k k 或 1-=∴k1-=∴k 时函数222-+=k k kx y 为xy 1-= 【例2】在反比例函数xy 1-=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。

九年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题一、基础知识（一）反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系．（四）实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．（五）充分利用数形结合的思想解决问题．三、例题分析1．反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3x B．C．3xy=1 D．（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．B．C．D．答案：（1）C；（2）A．2．图象和性质（1）已知函数是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．②若y随x的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过（）．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．A．B．C．D．答案：（1）①②1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B．3．函数的增减性（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．A．正数B．负数C．非正数D．非负数（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜（3）下列四个函数中：①；②；③；④．y随x的增大而减小的函数有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．答案：（1）A；（2）D；（3）B．注意，（3）中只有②是符合题意的，而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小．4．解析式的确定（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（）．A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x 成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题：①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？答案：（1）B；（2）4，8，（，）；（3）依题意，且，解得．（4）①依题意，解得②一次函数解析式为，反比例函数解析式为．（5）①，，；②30；③消毒时间为（分钟），所以消毒有效．5．面积计算（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．A．B．C．D．第（1）题图第（2）题图（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x 轴，△ABC的面积S，则（）．A．S=1 B．1＜S＜2C．S=2 D．S＞2（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．第（3）题图第（4）题图（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x 轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．第（5）题图第（6）题图（6）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．①求这两个函数的解析式；②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P （m，n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．①求B点坐标和k的值；②当时，求点P的坐标；③写出S关于m的函数关系式．答案：（1）D；（2）C；（3）6；（4），，矩形O Q 1P1 R 1的周长为8，O Q 2P2 R 2的周长为，前者大．（5）1．（6）①双曲线为，直线为；②直线与两轴的交点分别为（0，）和（，0），且A（1，）和C（，1），因此面积为4．（7）①B（3，3），；②时，E（6，0），；③．6．综合应用（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数（k2 ≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（）．A．互为倒数B．符号相同C．绝对值相等D．符号相反（2）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A（，1），B（1，n）．①求反比例函数和一次函数的解析式；②根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．（3）如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．①求点A、B、D的坐标；②求一次函数和反比例函数的解析式．（4）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．①利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；②双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（5）不解方程，判断下列方程解的个数．①；②．（2）①反比例函数为，一次函数为；②范围是或．（3）①A（0，），B（0，1），D（1，0）；②一次函数为，反比例函数为．（4）①反比例函数为，；②存在（2，2）．（5）①构造双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；②构造双曲线和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．。

反比例函数知识点归纳和典型例题反比例函数是数学中的一个重要概念，它在实际问题的建模和解决中起着重要作用。

本文将对反比例函数的知识点进行归纳，并给出一些典型例题进行解析。

一、定义和性质反比例函数又称为倒数函数，其定义如下：设x和y是实数，且y ≠ 0，若存在一个实数k，使得y = k/x，那么称y是x的反比例函数。

反比例函数的图象通常是一个拋物线的两支或一支，不包括原点。

其一般形式为y = k/x，其中k为常数。

反比例函数具有以下重要性质：1. 定义域：定义除数x不能为0，所以反比例函数的定义域为x ≠ 0。

2. 值域：值域取决于常数k的正负，当k > 0时，值域为(0, +∞)，当k < 0时，值域为(-∞, 0)。

3. 对称性：反比例函数关于两个坐标轴都具有对称性。

二、图象和特殊情况反比例函数的图象通常是一个拋物线的两支或一支，不包括原点。

当常数k > 0时，反比例函数的图象在第一象限和第三象限，当常数k< 0时，反比例函数的图象在第二象限和第四象限。

对于一些特殊情况，我们有以下例子：1. 当k > 0时，反比例函数的图象经过点(1, k)，且在x轴和y轴上有渐进线。

2. 当k < 0时，反比例函数的图象经过点(-1, k)，且在x轴和y轴上有渐进线。

三、典型例题解析下面通过几个典型例题来进一步理解反比例函数的应用。

例题1：已知y和x成反比例关系，且当x = 2时，y = 5，求当x =4时，y的值。

解析：根据反比例函数的定义，有y = k/x。

代入已知条件x = 2时，y = 5，得到5 = k/2，解得k = 10。

因此，当x = 4时，y = 10/4 = 2.5。

例题2：如果一根细木杆以每分钟1.5cm的速度缩短，那么多少分钟后长度为60cm？解析：设时间为t分钟，根据题意可以列出反比例函数y = k/x。

已知当t = 0时，y = 100，即杆子的初始长度是100cm。

反比例函数一、基础知识1. 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。

还可以写成2. 反比例函数解析式的特征：⑴等号左边是函数，等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1.⑵比例系数⑶自变量的取值为一切非零实数。

⑷函数的取值是一切非零实数。

3. 反比例函数的图像⑴图像的画法：描点法1 列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）2 描点（有小到大的顺序）3 连线（从左到右光滑的曲线）⑵反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或）。

⑷反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线（）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。

4．反比例函数性质如下表：的取值图像所在象限函数的增减性一、三象限在每个象限内，值随的增大而减小二、四象限在每个象限内，值随的增大而增大5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。

7. 反比例函数的应用二、例题【例1】如果函数的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数，（）即（）又在第二，四象限内，则可以求出的值【答案】由反比例函数的定义，得：解得时函数为【例2】在反比例函数的图像上有三点，，，，，。

若则下列各式正确的是（）A． B． C． D．【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。

解法一：由题意得，，，所以选A解法二：用图像法，在直角坐标系中作出的图像描出三个点，满足观察图像直接得到选A解法三：用特殊值法【例3】如果一次函数相交于点（），那么该直线与双曲线的另一个交点为（）【解析】【例4】如图，在中，点是直线与双曲线在第一象限的交点，且，则的值是_____.图解:因为直线与双曲线过点,设点的坐标为.则有.所以.又点在第一象限,所以.所以.而已知.所以.。

反比率函数一、基础知识1. 定义：一般地，形如 yk〔 k 为常数， k o 〕的函数称为反比率函数。

ykxx还可以够写成 y kx 12. 反比率函数剖析式的特色：⑴等号左边是函数 y ，等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数 k 〔也叫做比率系数 k 〕，分母中含有自变量 x ，且指数为 1. ⑵比率系数 k 0⑶自变量 x 的取值为所有非零实数。

⑷函数 y 的取值是所有非零实数。

3. 反比率函数的图像⑴图像的画法：描点法① 列表〔应以 O 为中心，沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数〕 ② 描点〔有小到大的序次〕③ 连线〔从左到右圆滑的曲线〕 ⑵反比率函数的图像是双曲线，yk〔 k 为常数， k 0 〕中自变量 x 0 ，x函数值 y0 ，所以双曲线是不经过原点， 断开的两个分支， 延伸局部逐渐凑近坐标轴，但是永远不与坐标轴订交。

⑶反比率函数的图像是是轴对称图形〔对称轴是y x 或 y x 〕。

⑷反比率函数 yk〔 k 0 〕中比率系数 k 的几何意义是：过双曲线 ykxx〔 k 0 〕上任意引 x 轴 y 轴的垂线，所得矩形面积为 k 。

4．反比率函数性质以下表：k 的取值 图像所在象限函数的增减性ko 一、三象限在每个象限内， y 值随 x 的增大而减小ko二、四象限在每个象限内， y 值随 x 的增大而增大5. 反比率函数剖析式确实定：利用待定系数法〔只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出 k 〕6．“反比率关系〞与“反比率函数〞 ：成反比率的关系式不用然是反比率函数 ,但是反比率函数 y k中的两个变量必成反比率关系。

x7. 反比率函数的应用二、例题【例 1】若是函数 y kx2k2k 2的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？【剖析】有函数图像为双曲线那么此函数为反比率函数y k，〔 k0〕即y kx1 x（k 0 〕又在第二，四象限内，那么 k 0能够求出的值【答案】由反比率函数的定义，得：2k 2k21解得 k1或 k12 k0k0k1k1时函数 y kx2 k2k 2为 y1x【例 2】在反比率函数 y 1 的图像上有三点x1， y1， x2， y2， x3， y3。

初中数学反比例函数知识点及经典例题一、反比例函数的定义反比例函数是指形如y=k/x的函数，其中k是一个非零常数，x和y 是实数。

二、反比例函数的图像特征1.当x=0时，反比例函数无定义；2.当x≠0时，随着x的增大，函数值y逐渐减小；3.反比例函数的图像通常是一条平面上的双曲线。

三、反比例函数的性质1. 对于反比例函数 y = k/x，k 是一个非零常数，任意给定的 x 和y，都有 xy = k 成立；2.如果反比例函数过点(x1,y1)，则对于任意其它点(x2,y2)，都有x1y1=x2y2成立；3.反比例函数的图像关于原点对称；4.反比例函数的导数为负。

四、反比例函数的应用反比例函数在实际生活中有很多应用，例如：1.工程中的消耗问题：项工程需要的材料数量与施工时间成反比；2.速度和时间的关系：当物体行驶的速度越快时，到达目的地所需时间越短；3.汽车的油耗问题：汽车行驶的路程与每升汽油的价格呈反比；4.人口增长与资源消耗：人口越多，资源消耗越快。

五、经典例题1.小明开车从A地到B地，全程360公里。

如果他保持每小时60公里的速度，需要多长时间到达目的地？解答：根据题意可知，小明的速度和到达目的地所需的时间成反比。

设到达目的地所需的时间为t，则有60t=360，解得t=6、所以小明需要6小时到达目的地。

2.水龙头4分钟可以装满一个水箱，水箱在3分钟内漏掉了60%的水，那么继续放水多少分钟可以装满这个水箱？解答：设继续放水的时间为t。

根据题意可知，放水的时间t和装满水箱的时间成反比。

所以有4×(1-60%)=(3+t)×100%，化简得到t=1.2、所以继续放水1.2分钟可以装满水箱。

3.假设一个圆的周长和面积的比值为k，如果圆的半径扩大3倍，求此时新圆的周长和面积的比值。

解答：设新圆的半径为r，则原圆的半径为(1/3)r。

原圆的周长和面积的比值为k，即2π(1/3)r/π((1/3)r)²=k。

反比例函数讲义第1节 反比例函数■例1下列函数中是反比例关系的有___________________填序号; ①3x y -= ②131+=x y ③x y 2-= ④2211x y -= ⑤xy 23-= ⑥21=xy ⑦28xy = ⑧1-=x y ⑨2=x y ⑩x ky =k (为常数,)0≠k■ 例2由欧姆定律可知,电压不变时,电流强度I 与电阻R 成反比例,已知电压不变,电阻R=欧姆,电流强度I=安培;（1） 求I 与R 的函数关系式； （2） 当R=5欧姆时,求电流强度;本节作业：1、小明家离学校,小明步行上学需x min,那么小明的步行速度min)/(m y 可以表示为xy 1500=；水名地面上重1500N 的物体,与地面的接触面积为x 2m ,那么该物体对地面的压强)/(2m N y 可以表示为x y 1500=;函数表达式xy 1500=还可以表示许多不同情境中变量之间的函数关系,请你再列举一例; 2、某工人打算利用一块不锈钢条加工一个面积为2m 的矩形模具,假设模具的长与宽分别为y 与x ;1你能写出y 与x 之间的函数表达式吗 变量y 与x 之间是什么函数2若想使模具的长比宽多,已知每米这种不锈钢条6元钱,求加工这个模具共花多少钱3、若函数满足023=+xy,则y 与x 的函数关系式为______________,你认为y 是x 的______________函数;4、已知y =21y y +,1y 与x 成正比例,2y 与x 成反比例,并且当x =2时,y = —4；当x = —1时,y =5,求出y 与x 的函数关系式;5、已知y 是x 的函数,且其对应数据如下表所示,你认为y 是x 的正比例函数还是反比例函数你能写出函数的表达式,并填上表格中的空缺吗6、函数xky =的图象经过点A1,—2,则k 的值为 ; A ．21 B. 21- C. 2 D. —27、若函数132)1(+++=m mx m y 是反比例函数,则m 的值为 ;A ．m = —2 B. m = 1 C. m = 2或m = 1 D. m = —2,或m = —1 8、若甲、乙两城市间的路程为1000千米,车速为每小时x 千米,从甲市到乙市所需的时间为y 小时,那么y 与x 的函数表达式是_______________________不必写出x 的取值范围,y 是x 的__________函数;9、已知y 是x 的反比例函数,当x =5时,y = —1,那么,当y =3时,x =_________；当x =3时,y =________;第2节 反比例函数的图象与性质1、 反比例函数的图象及其画法 反比例函数图象的画法——描点法：（1） 列表——自变量取值应以0但)0(≠x 为中心,向两边取三对或三对以上互为相反数的数,再求出对应的y 的值；（2） 描点——先描出一侧,另一侧可根据中心对称点的性质去找；（3） 连线——按照从左到右的顺序连接各点并延伸,注意双曲线的两个分支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不与坐标轴相交;反比例函数xky =的图象是由两支曲线组成的;当0>k 时,两支曲线分别位于第一、三象限内,当0<k 时,两支曲线分别位于第二、四象限内;小注：1这两支曲线通常称为双曲线;2这两支曲线关于原点对称; 3反比例函数的图象与x 轴、y 轴没有公共点; 例1：画出反比例函数x y 6=与xy 6-=的图象; 解：1列表：2描点：（3） 连线;1 反比例函数的性质反比例函数 xky =)0(≠k k 的符号k >0k<0图象 双曲线x 、y 取值范围 x 的取值范围x ≠0 y 的取值范围y ≠0 x 的取值范围x ≠0 y 的取值范围y ≠0 位置第一,三象限内第二,四象限内增减性 每一象限内,y 随x 的增大而减小 每一象限内,y 随x 的增大而增大渐近性 反比例函数的图象无限接近于x,y 轴,但永远达不到x,y 轴,画图象时,要体现出这个特点.对称性 反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形.反比例函数的图象也是轴对称图形.例2 已知 2(1)m y m x -=+是反比例函数,则函数的图象在A 、一、三象限B 、二、四象限C 、一、四象限D 、三、四象限例3 函数2y kx =-与ky x=k ≠0在同一坐标系内的图象可能是例4 已知反比例函数xky =的图象经过点P 一l,2,则这个函数的图象位于 A ．第二、三象限 B ．第一、三象限 C ．第三、四象限 D ．第二、四象限3反比例函数xky =)0(≠k 中的比例系数k 的几何意义难点k 的几何含义：反比例函数y ＝k x k ≠0中比例系数k 的几何意义,即过双曲线y ＝kxk ≠0上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线,设垂足分别为A 、B,则所得矩形OAPB 的面积为 .例5 A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意两点,BC ∥x 轴,AC ∥y 轴,△ABC 的面积记为S ,则A ． 2S =B ． 4S =C ．24S <<D ．4S >例6如图A 在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上,AM x ⊥轴于点M ,AMO △的面积为3,则k =4反比例函数与正比例函数图象的交点凡是交点问题就联立方程例7如图,一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于(21)(1)A B n -，，，两点．1试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； 2求AOB △的面积．O BxyC A 图1OyxBA本节练习一、选择题每小题6分,共36分1. 已知2(1)my m x-=+是反比例函数,则函数的图象在A、一、三象限B、二、四象限C、一、四象限D、三、四象限2.若反比例函数kyx=的图象经过点(12)-，,则这个函数的图象一定经过点Ａ、(21)--，Ｂ、122⎛⎫-⎪⎝⎭，Ｃ、(21)-，Ｄ、122⎛⎫⎪⎝⎭，3.反比例函数5nyx+=的图象经过点2,3,则n的值是A、－2B、－1C、0D、14.反比例函数1kyx-=的图象在每个象限内,y随x的增大而减小,则k的值可为A、1- B、0 C、1 D、25.如果两点1P1,1y和2P2,2y都在反比例函数1yx=的图象上,那么A．2y＜1y＜0B．1y＜2y＜0C．2y＞1y＞0 D．1y＞2y＞06.函数(0)ky kx=≠的图象如图所示,那么函数y kx k=-的图象大致是A B C D二、填空题每小题6分,共24分7.如果反比例函数kyx=0k≠的图象经过点1,－2,则这个函数的表达式是_________.当0x<时,y随x的增大而______ 填“增大”或“减小8.如图7,双曲线xky=与直线mxy=相交于A、B两点,B点坐标为－2,－3,则A点坐标为_________．9. 如图8,点A 在反比例函数xky =的图象上,AB 垂直于x 轴,若4=∆AOB S ,那么这个反比例函数的解析式为__________.图810.老师给出一个函数,甲、乙各指出了这个函数的一个性质：甲：第一、三象限有它的图象； 乙：在每个象限内,y 随x 的增大而减小． 请你写一个满足上述性质的函数______________________三、解答题每小题,共40分11. 20分如图,一次函数b kx y +=的图象与反比例函数xmy =图象交于A －2,1、B1,n 两点．1求反比例函数和一次函数的解析式；2根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．12. 20分如图,已知反比例函数1(0)my m x=≠的图象经过点(21)A -，,一次函数2(0)y kx b k =+≠的图象经过点(03)C ，与点A ,且与反比例函数的图象相交于另一点B ．1分别求出反比例函数与一次函数的解析式；2求点B 的坐标．第3节 反比例函数的应用 本节内容：运用函数的图象和性质解答实际问题例题1 .面积一定的梯形,其上底长是下底长的21,设下底长x =10 cm 时,高y =6 cm 1求y 与x 的函数关系式； 2求当y =5 cm 时,下底长多少16.一定质量的二氧化碳,当它的体积V=6 m 3时,它的密度ρ= kg/m 3. 1求ρ与V 的函数关系式.2当气体体积是1 m 3时,密度是多少3当密度为 kg/m 3时,气体的体积是多少例题2如图,Rt △AOB 的顶点A 是一次函数y =－x +m +3的图象与反比例函数y =xm的图象在第二象限的交点,且S △AOB =1,求点A 的坐标.例题3某厂要制造能装250mL1mL=1 cm 3饮料的铝制圆柱形易拉罐,易拉罐的侧壁厚度和底部厚度都是 cm,顶部厚度是底部厚度的3倍,这是为了防止“砰”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来,设一个底面半径是x cm 的易拉罐用铝量是y cm 3.用铝量=底面积×底部厚度+顶部面积×顶部厚度+侧面积×侧壁厚度,求y 与x 间的函数关系式.综合检测题一、填空题：1、u 与t 成反比,且当u ＝6时,81=t ,这个函数解析式为 ； 2、函数2x y -=和函数xy 2=的图像有 个交点； 3、反比例函数x k y =的图像经过－23,5点、a ,－3及10,b 点,则k ＝ ,a ＝ ,b ＝ ；4、若函数()()414-+-=m x m y 是正比例函数,那么=m ,图象经过 象限；5、若反比列函数1232)12(---=k kx k y 的图像经过二、四象限,则k = _______6、已知y -2与x 成反比例,当x =3时,y =1,则y 与x 间的函数关系式为 ；7、已知正比例函数kx y =与反比例函数3y x=的图象都过A m ,1,则m ＝ ,正比例函数与反比例函数的解析式分别是 、 ； 8、 设有反比例函数y k x=+1,(,)x y 11、(,)x y 22为其图象上的两点,若x x 120<<时,y y 12>,则k 的取值范围是___________9、右图3是反比例函数xk y =的图象,则k 与0的大小关系是k 0.10、函数xy 2-=的图像,在每一个象限内,y 随x 的增大而 ； 11、反比例函数()0>=k xky 在第一象限内的图象如图,点M 是图像上一点,MP 垂直x 轴于点P,如果△MOP 的面积为1,那么k 的值是 ； 12、()7225---=m mx m y 是y 关于x 的反比例函数,且图象在第二、四象限,则m 的值为 ；二、选择题： 分数3分×14=42分,并把答案填在第12题后的方框内 1、下列函数中,反比例函数是 A 、 1)1(=-y x B 、 11+=x y C 、 21xy = D 、 x y 31=2、已知反比例函数的图像经过点a ,b ,则它的图像一定也经过yO PMA 、 －a ,－bB 、 a ,－bC 、 －a ,bD 、 0,0 3、如果反比例函数xky =的图像经过点－3,－4,那么函数的图像应在 A 、 第一、三象限B 、 第一、二象限C 、 第二、四象限D 、 第三、四象限 4、若y 与－3x 成反比例,x 与z4成正比例,则y 是z 的 A 、 正比例函数B 、 反比例函数C 、 一次函数 D 、 不能确定 5、若反比例函数22)12(--=m x m y 的图像在第二、四象限,则m 的值是A 、 －1或1B 、小于21的任意实数 C 、 －1 Ｄ、 不能确定 6、函数x k y =的图象经过点－4,6,则下列各点中不在xky =图象上的是A 、 3,8B 、 3,－8C 、 －8,－3D 、 －4,－67、正比例函数kx y =和反比例函数ky =在同一坐标系内的图象为8、如上右图,A 为反比例函数xky =图象上一点,AB垂直x 轴于B 点,若S △AOB ＝3,则k的值为 A 、6B 、3C 、23 D 、不能确定9、如果矩形的面积为6cm 2,那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数关系用图象表示大致A10、在同一直角坐标平面内,如果直线x k y 1=与双曲线xk y 2=没有交点,那么1k 和2k 的关系一定是 A 1k <0,2k >0B 1k >0,2k <0C 1k 、2k 同号D 1k 、2k 异号11、已知变量y 与x 成反比例,当x =3时,y =―6；那么当y =3时,x 的值是 A 6 B ―6 C 9 D ―912、当路程s 一定时,速度v 与时间t 之间的函数关系是A 正比例函数B 反比例函数C 一次函数D 二次函数 13、2001北京西城在同一坐标系中,函数x ky =和3+=kx y 的图像大致是14、已知反比例函数)0(<=k xky 的图像上有两点A 1x ,1y ,B 2x ,2y ,且21x x <,则21y y -的值是A 、 正数B 、 负数C 、 非正数D 、 不能确定 三、解答题：第1、2小题各7分、第3小题8分,共22分1、在某一电路中,保持电压不变,电流I 安培与电阻R 欧姆成反比例,当电阻R=5欧姆时,电流I=2安培;1求I 与R 之间的函数关系式 2当电流I=安培时,求电阻R 的值；2、如图,Rt △ABO 的顶点A 是双曲线xky =与直线)1(+--=k x y 在第二象限的交点, AB ⊥x 轴于B 且S △ABO =23 1求这两个函数的解析式2求直线与双曲线的两个交点A,C 的坐标和△AOC 的面积;3、如图,一次函数b kx y +=的图像与反比例函数xmy =的图像相交于A 、B 两点, 1利用图中条件,求反比例函数和一次函数的解析式2根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围2001江苏苏州。

反比例函数 姓名：__________一、知识点及考点：（一）反比例函数的概念： 知识要点：1、一般地，形如 y =xk( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。

注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；（2）解析式有三种常见的表达形式：（A ）y =xk （k ≠ 0） ， （B ）xy = k （k ≠ 0） （C ）y=kx -1（k ≠0） 例题讲解：有关反比例函数的解析式 （1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11+=x y ③21x y = ④.x y 21-=⑤2x y =-⑥13y x = ；其中是y关于x 的反比例函数的有：_________________。

（2）函数22)2(--=ax a y 是反比例函数，则a 的值是（ ）A ．－1B ．－2C ．2D ．2或－2 （3）若函数11-=m xy (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________．（4）如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 练习：（1）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） （2）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的（ ）（3）反比例函数(0ky k x=≠）的图象经过（—2，5 n ），求：1）n 的值； 2）判断点B（24，（4）已知y 与2x －3成反比例，且41=x 时，y ＝－2，求y 与x 的函数关系式．（5）已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）当x ＝2时，y 的值．(二)反比例函数的图象和性质： 知识要点：1、形状：图象是双曲线。

反比例函数知识点归纳和典型例题一、基础知识（一）反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质（四）1．函数解析式：（）（五）2．自变量的取值范围：（六）3．图象：（七）（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系．（四）实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．（五）充分利用数形结合的思想解决问题．三、例题分析1．反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3x B．C．3xy=1 D．（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．B．C．D．2．图象和性质（1）已知函数是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．②若y随x的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过（）．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限】（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．A．B．C．D．3．函数的增减性（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．（2）A．正数B．负数C．非正数D．非负数（3）（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．（4）A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜（5）（3）下列四个函数中：①；②；③；④．y随x的增大而减小的函数有（）．（6）A．0个B．1个C．2个D．3个（7）（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．（8）4．解析式的确定（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（）．（2）A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=_______，它们的另一个交点为________．（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．（4）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题：①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；③ 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效为什么5．面积计算1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．2）A．B．C．D．3）4）第（1）题图第（2）题图5）（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x轴，△ABC的面积S，则（）．6）A．S=1 B．1＜S＜2C．S=2 D．S＞27）（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．8）9）第（3）题图第（4）题图10）（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．11）（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．12）13）第（5）题图第（6）题图14）（6）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．15）①求这两个函数的解析式；16）②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．17）（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P （m，n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．① 求B点坐标和k的值；② 当时，求点P的坐标；③ 写出S关于m的函数关系式．：6．综合应用（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数（k2≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（）．A．互为倒数B．符号相同C．绝对值相等D．符号相反（2）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A（，1），B（1，n）．（3）① 求反比例函数和一次函数的解析式；（4）② 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．（3）如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．① 求点A、B、D的坐标；② 求一次函数和反比例函数的解析式．（4）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．① 利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；② 双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．。

变式1 如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 变式2 若函数11-=m xy (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________．题型二：反比例函数解析式例3 已知A （﹣1，m ）与B （2，m ﹣3）是反比例函数图象上的两个点．则m 的值 ．例4 已知y 与2x －3成反比例，且41=x 时，y ＝－2，求y 与x 的函数关系式．变式3已知y 与x 成反比例，当x ＝2时，y ＝3．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)当y ＝－23时，求x 的值．变式4 已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝2时，y 的值．1、反比例函数的图像（1）形状与位置：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。

（2）变化趋势：由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

2、反比例函数的性质（1）对称性：反比例函数的图像是关于原点对称的中心对称图形，同时也是轴对称图形，有两条对称轴，分别是一、三象限和二、四象限的角平分线，即直线y x =±。

（注：过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称）（2）双曲线的位置：当k>0时，双曲线位于一、三象限（x ，y 同号）；当k<0时，双曲线位于二、四象限（x ，y 同号异号），反之也成立。

（3）增减性： 当k>0时，双曲线走下坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，双曲线走上坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而增大。

反比例函数知识点归纳总结与典型例题(一)反比例函数的概念：知识要点：1、一般地，形如y = — ( k是常数,k = 0 )的函数叫做反比例函数。

x注意：(1)常数k称为比例系数，k是非零常数；(2)解析式有三种常见的表达形式：(A) y = k (k w 0) , (B) xy = k (k 丰 0) (C) y=kx-1 (kw0)x例题讲解：有关反比例函数的解析式1 1 1 x 1 (1)下列函数，① x(y 2) 1②.y ——③y /④.y ——⑤y —⑥y —；其中是y关x 1 x 2x 2 3x 于x的反比例函数的有：。

a2 2 ....... …(2)函数y (a 2)x 是反比例函数,则a的值是( )A.—1B. — 2C. 2D.2 或—21 .................(3)若函数y 七彳勤是常数)是反比例函数，则m=,解析式为 .xk(4)反比例函数y — (k 0)的图象经过(一2, 5)和(J2 , n),x求1) n的值；2)判断点B ( 4J2 , 短)是否在这个函数图象上，并说明理由(二)反比例函数的图象和性质：知识要点：1、形状：图象是双曲线。

2、位置：(1)当k>0时双曲线分另位于第象限内；(2)当k<0时，双曲线分另位于第象限I 3、增减性：(1)当k>0 时,,y 随x的增大而 ;(2)当k<0时,,y随x的增大而。

4、变化趋势：双曲线无限接近于x、y轴，但永远不会与坐标轴相交5、对称性：(1)对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点; (2)对于k取互为相反数的两个反比例函数(如：y = 6和丫= ―)来说，它们是关于x轴，y轴。

x x例题讲解：反比例函数的图象和性质：(1)写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限m2 2⑵若反比例函数v (2m 1)x的图象在第二、四象限，则m的值是( )A—1或1； B、小于-的任意实数；C、一1; D、不能确定2(3)下列函数中，当x 0时，y随x的增大而增大的是( )1 一一4 _ 1A y 3x 4B y - x 2 C. y - D. y ——.3 x 2x2 ____ ,. 一 . 一(4)已知反比例函数y ——的图象上有两点A ( x1，y1)，B ( x2, y2),且x1 x2,则y i y 的值是（）A.正数B.负数C.非正数D.不能确定2 .（5）右点（x i, y 1）、（X 2, y 2）和（X 3,y 3）分别在反比例函数 y —的图象上，且X iX 2 0 X 3,x则下列判断中正确的是（）A . y i y y 3B . y 3 y i y 2C . y 2 y 3 y iD . y 3 y y ik 1 ................... 一 ...（6）在反比例函数 y --- 的图象上有两点（x1，y 1）和（x 2, y 2）,右x 10 x 2时，y i y 2 ,则k 的x取值范围是.（7）老师给出一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第二象限；乙:函数的图象经过第四象限；丙:在每个象限内，y 随x 的增大而增大.请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数 ：.（三）反比例函数与面积结合题型。