2006典型例题解析--第1章 几何组成分析

结构工程师结构力学几何组成分析例题(二)几何组成分析例题[例1-1] 分析图1-4(a)所示体系的几何组成。

[解] 体系的自由度W=3×3-2×2-5=0。

根据两元片规则，将地基延伸至固定铰A、C处，并将地基作为刚片I，将杆件BEFG作为刚片Ⅱ(图1-4(b))，刚片I和Ⅱ由支座链杆B、等效链杆AE、CG相连接，这三根链杆不相交于一点，体系是几何不变的，且无多余约束。

[例1-2] 分析图1-5(a)所示体系的几何组成。

[解] 体系的自由度W=3×10—2×12—6=0。

将地基并连同杆件ACG、BFJ作为刚片I、杆件DH、EI作为刚片Ⅱ、Ⅲ(图1-5(b))，则刚片I、Ⅱ、Ⅲ由三个虚铰(IⅡ)、(IⅢ)、(ⅡⅢ)两两相连，其中虚铰(ⅡⅢ)由一组平行链杆形成，而虚铰(IⅡ)、(IⅢ)的连接线平行于形成虚铰(ⅡⅢ)的两根平行链杆，可视为三虚铰在同一直线上，体系为瞬变体系。

[例1-3] 分析图1-6(a)所示体系的几何组成。

[解] 体系的自由度W=3×8—2×10-4=0。

根据两元片规则，将地基延伸至固定铰A处，并将地基作为刚片I，将CEF作为等效刚片Ⅱ，DB杆作为刚片Ⅲ，这三个刚片由三个虚铰(IⅡ)、(IⅢ)、(ⅡⅢ)两两相连，如图1-6(b)所示。

因形成无穷远处的两个虚铰(IⅢ)、(ⅡⅢ)的两组平行链杆不相互平行，故体系是无多余约束的几何不变体。

[例1-4] 分析图1-7(a)所示体系的几何组成。

[解] 体系的自由度W=3×9—2×12—3=0。

根据一元片规则，去除图1-7(a)所示体系的一元片，得图1-7(b)所示体系。

再将杆件AB、CE、DF分别作为刚片I、Ⅱ、ⅡⅢ，这三个刚片由三组平行链杆形成的三个无穷远处的虚铰(IⅡ)、(IⅢ)、(ⅡⅢ)两两相连，根据三刚片连接规则，体系为无多余约束的几何可变体系(无穷远处的三个点在一广义直线上)。

《结构力学习题集》1几何组成分析第一章平面体系的几何组成分析一、是非题1、在任意荷载下，仅用静力平衡方程即可确定全部反力和内力的体系是几何不变体系。

2、图中链杆1和2的交点o可视为虚铰。

3、在图示体系中，去掉1—5，3—5， 4—5，2—5，四根链杆后，得简支樑12 ，故该体系为具有四个多余约束的几何不变体系。

4、几何瞬变体系产生的运动特别微小并很快就转变成几何不变体系，因而可以用作工程结构。

5、有多余约束的体系肯定是几何不变体系。

6、图示体系按三刚片法则分析，三铰共线，故为几何瞬变体系。

7、计算自由度w小于等于零是体系几何不变的充要条件。

8、两刚片或三刚片组成几何不变体系的规则中，不仅指明了必需的约束数目，而且指明了这些约束必须满足的条件。

9、在图示体系中，去掉其中任意两根支座链杆后，所余下局部都是几何不变的。

二、选择题图示体系的几何组成为：a．几何不变，无多余约束； b．几何不变，有多余约束；c．瞬变体系d．常变体系。

12、34、三、分析题：对以下平面体系进行几何组成分析。

12、34、56、78、910、1112、1314、1516、1718、1920、2122、2324、2526、2728、2930、3132、3334、四、在以下体系中新增支承链杆或支座，使之成为无多余约束的几何不变体系。

12、3、第一章平面体系的几何组成分析（参*）一、是非题：1、（o）2、（x）3、（x）4、（x）5、（x）6、（x）7、（x）8、（o）9、（x）二、选择题：1、（b）2、（d）3、（a）4、（c）三、分析题：3、6、9、10、11、12、14、17、18、19、20、22、23、25、27、28、30、31、32、33、34均是无多余约束的几何不变体系。

1、2、4、8、13、29 均是几何瞬变体系。

5、15 均是几何可变体系。

7、21、24、26 均是有一个多余约束的几何不变体系。

16 是有两个多余约束的几何不变体系。

第一章 集合与简易逻辑1．（2006年福建卷）已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于(C) （A ）[1,4)- （B ）(2,3) （C ）(2,3] （D ）(1,4)-【答案】 C【分析】：()()(),13,,2,4,A B =-∞-+∞=则[]()(]()1,32,42,3U C A B =-=【高考考点】绝对值不等式、集合的交集与补集运算 【易错点】：有关集合运算中的区间端点的取舍，常常出现失误【备考提示】 在这类运算中采用集合的区间表示或数轴表示，易于避免失误2．（2006年安徽卷）设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B 等于（ ）A ．RB ．{},0x x R x ∈≠ C ．{}0 D ．∅ 【答案】 B【分析】：A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |－4≤y ≤0}，则A ∩B ＝{0}，故ðU (A ∩B )＝{x ｜x ∈R ，x ≠0}，而选(B)．【高考考点】集合的运算：交集、补集 【备考提示】： 对集合的交集、并集、补集等运算要熟练．3．（2006年陕西卷）已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤集合{}2|60,Q x R x x =∈+-=则P Q 等于（B ）（A ）{}1,2,3 （B ）{}2,3 （C ）{}1,2 （D ）{}2【答案】：B 【分析】： Q={ x ∈R|-3≤x ≤2}，所以P ∩Q 等于{1,2} 【高考考点】：一元二次不等式的解法，集合的运算性质 【易错点】：忽视集合P 的取值范围 【备考提示】正确和熟练掌握集合的运算性质以及不等式的解法，在复习中注意和三角函数，一元二次不等式等知识的结合使用4．( 2006年重庆卷)已知集合U ={1,2,3,4,5,6,7}, A ={2,4,5,7},B ={3,4,5},则(u A )∪(u B )=( D)(A){1,6} (B){4,5}(C){1,2,3,4,5,7} (D){1,2,3,6,7} 【答案】：D 【分析】：用文恩图或直接计算：{1,3,6}A =U ð，{1,2,6,7}B =U ð，所以()(){1,2,3,6,7}A B =U U 痧，故选D ； 【高考考点】：集合的交、并、补运算。

第1章几何组成分析§1 – 1 基本概念1-1-1 名词解释●几何不变体系——结构（静定或超静定）在不考虑材料变形情况下,几何形状和位置不变的体系，称为几何不变体系。

●几何可变体系在不考虑材料变形情况下,形状或位置可变的体系，称为几何可变体系。

●刚片在平面上的几何不变部分。

●自由度确定体系位置所需的独立坐标数目。

●约束（联系）能够减少自由度的装置。

减少自由度的个数为约束个数。

①链杆——相当1个约束②铰——相当2个约束③虚铰——相当2个约束④复铰——相当n-1个单铰的作用●多余联系不能减少自由度的联系，称Array为多余联系。

●必要联系去掉时能够增加自由度（或维持体系不变性必须）的联系。

●瞬变体系几何特征：几何可变体系经过微小位移后成为几何不变体系。

静力特征：受很小的力将产生无穷大内力，因此不能作结构。

1-1-2 分析规则在不考虑材料应变所产生变形的条件下，构成无多余约束几何不变体系（静定结构）的基本规则如下：●三刚片规则三个刚片用不在同一条直线上的三个铰（或虚铰）两两相联。

●二刚片规则2结构力学典型例题解析两个刚片用不交于一点也不全平行的三根链杆相联；或：两个刚片用一个铰和不通过该铰心的链杆相联。

●二元体规则什么是二元体（二杆结点）：两根不在同一条直线上的链杆联接一个新结点的装置，称为二元体。

在一个体系上增加或减少二元体不影响其几何不变性。

1-1-3 几何组成分析一般方法（步骤）(1)去二元体（二杆结点）。

(2)分析地基情况：上部体系与地基之间●当有满足二刚片规则的三个联系时，去掉地基，仅分析上部体系；●当少于三个联系时，必为几何常变体系；●当多于三个联系时，将地基当作一个刚片进行分析。

(3)利用规则找大刚片(最简单情况为:三个铰接杆件为刚片)。

(4)使用几何组成规则进行分析。

利用三刚片规则分析时：首先找出三个刚片，（满足三刚片规则的连接条件，即每两个刚片间有一个铰（或虚铰），然后再标出虚铰位置，最后看三个铰是否构成三角形。

平面杆件体系的几何组成分析典型例题【例1】对如图1(a)示体系作几何组成分析。

图1【解】（1）对如图1(a)所示体系依次拆除二元体后如图1(b)所示。

（2）选取三个刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，它们由三个虚铰O1、O2、O3两两相连，其中虚铰O1、O3的连线与形成无穷远虚铰O2的两平行链杆不平行。

（3）结论：无多余约束的几何不变体系。

【例2】对如图2(a)所示体系作几何组成分析。

图2【解】（1）根据二元体规则先将结点G固定在基础上，选扩大的基础作为刚片Ⅰ，如图2-(b)所示。

（2）选折杆AF为刚片Ⅱ，两刚片由三根链杆（DE、FG及A处支座链杆）相连，且不交于一点也不互相平行，满足两刚片规则。

（3）结论：无多余约束的几何不变体系。

【例3】对如图3(a)所示体系作几何组成分析。

图3【解】（1）对如图3(a)所示体系依次拆除二元体后如图3(b)所示。

（2）选取三个刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，它们由三个铰O1、O2、O3两两相连，其中铰O1、O2的连线与形成无穷远虚铰O3的两平行链杆不平行。

（3）结论：无多余约束的几何不变体系。

【例4】对如图4所示体系作几何组成分析。

图4【解】对如图4(a)体系进行几何组成分析如下：（1）选取如图4(a)所示的两个刚片Ⅰ、Ⅱ，它们由三根链杆AC、EF及BD相连，且这三根链杆不交于一点也不互相平行，满足两刚片规则，因此上部体系是没有多余约束的几何不变部分。

（2）上部体系与基础间由四根支座链杆相连接。

（3）结论：有一个多余约束的几何不变体系（四根支座链杆中任一根均可看作多余约束）。

对如图4(b)体系进行几何组成分析如下：（1）先根据两刚片规则将杆123及结点7固定在基础上，再根据二元体规则依次固定结点4、5，扩大的基础刚片即刚片Ⅰ。

（2）固定结点6时，由于结点5、6、7共线，结论：几何瞬变体系。

【例5】对如图5(a)所示体系作几何组成分析。

图5【解】选取三个刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，如图5(b)所示，它们由三个铰O1、O2、O3两两相连，其中铰O1、O2的连线与形成无穷远虚铰O3的两平行杆不平行。

第1章几何组成结构分析1.1 基础知识回顾1.1.1 几何组成结构分析的前提不考虑结构由于材料应变而引起的结构形状的改变，将所有杆件当做刚性构件处理。

1.1.2 几何结构的分类在不计算材料应变的前提下，体系形状及杆件的相对位置不发生变化的结构称为几何不变体系，如图1.1为几何不变体系。

如果体系的形状或者杆件的相对位置发生变化，那么就称为几何可变体系，如图1.2为几何常变体系。

瞬变体系：结构不缺少必要约束，本身是几何可变的，但是经过微小的位移后变为几何不变体系，这种结构称为几何瞬变体系，图1.3为瞬变体系。

几何结构的分类可以概括为：⎧⎧⎨⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩有多余约束的几何不变体系几何不变体系无多余约束的几何不变体系常变体系几何可变体系瞬变体系 考试中最常见考瞬变体系，记住常见的几种瞬变体系，常见的几何瞬变体系（图1.8-1.9）：注：1、图1三根链杆交于一点，具备一个瞬铰，因此可以产生位移，当机构发生微小位移后，链杆1与2交于一个瞬铰，链杆2与3交于一个瞬铰，两个瞬铰不是重合的，因此，结构变为了几何不变体系，故原结构为几何不变体系。

2、这里的两刚片是广义的刚片，可以是扩大的刚片，很多题目是这两个题目的变式！1.1.3 自由度与约束物体或者运动时，彼此可以独立改变的几何参数的个数称为该物体或者体系的自由度。

注意在结构力学考试中，所有体系都是考虑平面体系。

一个刚片在平面上包含三个自由度，,y,x θ。

平面中一个刚节点可以约束3个自由度，一个铰接点可以约束2个自由度，一个链杆可以约束1个自由度。

平面中往往存在多个杆件共用一个节点，故这类复刚（铰）节点计算为：N 个杆件所组成的单刚（铰）节点可以看做由（N-1）个单刚（铰）节点组成。

对于整体结构体系而言，假如结构有n 个杆件，其中包含m 个刚节点，s 个铰接点，p个链杆，那么结构的自由度可以表示为：w n m s q=---332例：计算所示体系的自由度。

本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考 本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考2006年全国中考数学压轴题全解全析1、（北京课改B 卷）我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60 时，这对60 角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论． [解] （1）答案不唯一，如正方形、矩形、等腰梯形等等．（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60 时，这对60 角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．已知：四边形A B C D 中，对角线A C ，B D 交于点O ，A C B D =， 且60AOD ∠= ． 求证：B C A D A C +≥．证明：过点D 作D F AC ∥，在D F 上截取D E ，使D E AC =． 连结C E ，B E ．故60EDO ∠= ，四边形A C E D 是平行四边形． 所以B D E △是等边三角形，C E A D =． 所以D E B E A C ==．①当B C 与C E 不在同一条直线上时（如图1）， 在B C E △中，有B C C E B E +>．所以B C A D A C +>．②当B C 与C E 在同一条直线上时（如图2）， 则BC C E BE +=．因此B C A D A C +=．综合①、②，得B C A D A C +≥．即等对角线四边形中两条对角线所夹角为60时，这对60角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长．[点评]本题是一道探索题，是近年来中考命题的热点问题，在第2小题中要求学生先猜想可能的结论，再进行证明，这对学生的确有较高的能力要求，而在探索结论前可以自己先画几个草图，做到心中有数再去努力求证；很多学生往往会忽略特殊情况没有进行讨论，应当予以关注，总之这是一道新课标形势下的优秀压轴题。