知识点梳理-简单几何体
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图形与⼏何知识内容梳理⼩学阶段图形与⼏何知识内容梳理图形与⼏何包括四个⽅⾯:⼀、图形的认识⼆、测量三、图形的运动四、图形与位置⼀、图形的认识第⼀学段:1、能通过实物和模型辨认长⽅体、正⽅体、圆柱和球等⼏何体。
2、能根据具体事物、照⽚或直观图辨认从不同⾓度观察到的简单物体。
3、能辨认长⽅形、正⽅形、三⾓形、平⾏四边形、圆等简单图形。
4、通过观察、操作,初步认识长⽅形、正⽅形的特征。
5、会⽤长⽅形、正⽅形、三⾓形、平⾏四边形或圆拼图。
6、结合⽣活情境认识⾓,了解直⾓、锐⾓和钝⾓。
7、能对简单⼏何体和图形进⾏分类。
第⼆学段:1、结合实例了解线段、射线和直线。
2、体会两点间所有连线中线段最短,知道两点间的距离。
3、知道平⾓与周⾓,了解周⾓、平⾓、钝⾓、直⾓、锐⾓之间的⼤⼩关系。
4、结合⽣活情境了解平⾯上两条直线的平⾏和相交(包括垂直)关系。
5、通过观察、操作,认识平⾏四边形、梯形和圆,知道扇形,会⽤圆规画圆。
6、认识三⾓形,通过观察、操作,了解三⾓形两边之和⼤于第三边、三⾓形内⾓和是180°。
7、认识等腰三⾓形、等边三⾓形、直⾓三⾓形、锐⾓三⾓形、钝⾓三⾓形。
8、能辨认从不同⽅向(前⾯、侧⾯、上⾯)看到的物体的形状图。
9、通过观察、操作,认识长⽅体、正⽅体、圆柱和圆锥,认识长⽅体、正⽅体和圆柱的展开图。
⼆、测量第⼀学段:1、结合⽣活实际,经历⽤不同⽅式测量物体长度的过程,体会建⽴统⼀度量单位的重要性。
2、在实践活动中,体会并认识长度单位千⽶、⽶、厘⽶,知道分⽶、毫⽶,能进⾏简单的单位换算,能恰当地选择长度单位。
3、能估测⼀些物体的长度,并进⾏测量。
4、结合实例认识周长,并能测量简单图形的周长,探索并掌握长⽅形、正⽅形的周长公式。
5、结合实例认识⾯积,体会并认识⾯积单位厘⽶2、分⽶2、⽶2,能进⾏简单的单位换算。
6、探索并掌握长⽅形、正⽅形的⾯积公式,会估计给定简单图形的⾯积。
第⼆学段:1、能⽤量⾓器量指定⾓的度数,能画指定度数的⾓,会⽤三⾓尺画30°,45°,60°,90°⾓。
一、知识梳理一.几种常见的几何体1.柱体①棱柱体:〔如图(1)(2)〕,图中上下两个面称棱柱的底面,周围的面称棱柱的侧面,面与面的交线是棱柱的棱.其中侧面与侧面的交线是侧棱,棱与棱的交点是顶点.点拨:正方体和长方体是特殊的棱柱,它们都是四棱柱.正方体是特殊的长方体.②圆柱:图(3)中上下两个圆面是圆柱的底面,这两个底面是半径相同的圆,周围是圆柱的侧面.点拨:棱柱和圆柱统称柱体.2.锥体①圆锥:〔如图(4)〕图中的圆面是圆锥的一个底面,中间曲面是圆锥的侧面,圆锥只有一个顶点.②棱锥:〔如图(5)〕图中下面多边形面是棱锥的一个底面,其余各三角形面是棱锥的侧面.点拨:棱锥和圆锥统称锥体.3.台体①圆台:〔如图(6)〕图中上下两个大小不同的圆面是圆台的底面,中间曲面是圆台的侧面.②棱台:〔如图(7)〕图中上下两个大小不同的多边形是棱台的底面,其余四边形是棱台的侧面.4.球体:〔如图(8)〕图中半圆绕其直径旋转而成的几何体,球体表面是曲面.二.几何体的展开图1. 圆柱、圆锥、正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥、正三棱柱的展开图:2. 正方体的平面展开图(有11种):三.用平面截一个几何体出现的截面形状1.用一个平面去截正方体,可能出现下面几种情况:三角形正方形长方形梯形五边形六边形点拨:用平面去截几何体,所得的截面就是这个平面与几何体每个面相交的线所围成的图形.正方体只有六个面,所以截面最多有六条边,即截面边数最多的图形是六边形.2. 几种常见的几何体的截面:点拨:用平面去截圆柱体,可以与圆柱的三个面(两个底面,一个侧面)同时相交,由于圆柱侧面为曲面,相交得到是曲线,无法截出三角形.四.识别物体的三视图1.主视图、左视图、俯视图的定义从不同方向观察同一物体,从正面看图叫主视图,从左面看图叫左视图,从上面看图叫做俯视图.2.几种几何体的三视图(1)正方体:三视图都是正方形.(2)球体:三视图都是圆.(3)圆柱体:(4)圆锥体:点拨:圆锥的主视图、左视图都是三角形,而俯视图的图中有一个点表示圆锥的顶点,因为从上往下看圆锥时先看到圆锥的顶点,再看到底面的圆.3.用若干个小正方体搭成几何体的三视图如图:从正面看2列每列1层;从左面看2列每列1层;从上面看2列左列2层右列1层.则三视图是:点拨:①主视图与俯视图列数相同,俯视图中每列的方框内的最大数字即为主视图本列的层数.②左视图的列数与俯视图的行数相同,俯视图每一横行的方框内的最大数字即为左视图中的列的层数.五.生活中的平面图形1.多边形的定义三角形、四边形、五边形等都是多边形,它们都是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形.边长都相等的多边形叫正多边形.2.多边形的分割设一个多边形的边数为n(n≥3) ,从这个n边形的一个顶点出发,分别连接这个顶点与其余各顶点,可以得到(n-3)条线段,这些线段又把这个n边形分割成(n-2)个三角形.3.扇形与弧的定义及区别(1)弧:圆上两点之间部分叫弧.(2)扇形:由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形.(3)扇形与弧的区别:弧是一段曲线,而扇形是一个面.重点:。
第四章基本平面图形知识点梳理
第四章基本平面图形知识点梳理
本章主要介绍基本的平面图形知识,包括几何体、平行四边形、多边形和圆。
一、几何体
几何体是构成物体形状的基本结构,可用平面图进行表示。
常见的几何体有正方形、矩形、多边形、三角形、圆形、椭圆形、棱形等,都有边和面。
二、平行四边形
平行四边形是指具有两条对角线的四边形,其四边相互平行。
可分为矩形和菱形,其中矩形是平行四边形中最常见的,它拥有两条相等的对角线,四个角都是直角;而菱形则是一种特殊
的平行四边形,它也具有两条对角线,不过这两条对角线是相等的,四个角都是锐角。
三、多边形
多边形是由多条线段构成的封闭图形,定义中指出“多”即多边形必须有3条或3条以上的线段才能算作一个多边形。
常见的多边形有三角形、四边形、五边形、六边形等,它们也可以分为凸多边形和凹多边形。
四、圆
圆是由一个中心点和相同半径的线段构成的一种图形,它是由圆上的所有点,距离圆心等距离构成的,因此圆也可以称为一种“完整”的图形。
圆的重要性在于不论在几何中,还是我们的日常生活中都会大量的使用,从标准的圆形工具,到日常中的化妆品,都常常使用圆形做为外形,这说明了圆形的有效性和重要性。
生活中的立体图形(知识梳理与考点分类讲解)【知识点1】常见的几何体及分类⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎩圆柱:两个底面平行并且大小相同的圆,侧面是曲面柱体棱柱:两个底面平行并且大小相同的多边形,侧面是平行四边形圆锥:底面是圆,侧面是有一个顶点的曲面几何体锥体棱锥:底面是多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形球如图所示,请将下列几何体分类.【答案】答案不唯一,见解析【分析】对于立体图形的分类,可按照不同标准进行,①按照立体图形的种类分类;②根据立体图形包含的平面类型分类.解:方法一:(1)、(3)、(5)是一类,都是柱体;(2)是锥体;(4)是球体.方法二:(1)、(3)是一类,全是由平面构成的;(2)、(5)是一类,既有平面,又有曲面;(4)是一类,只有曲面.【点拨】本题考查立体图形的认识,掌握分类时的标准选择是解题关键. 【变式】下列是我们常见的几何体,按要求将其分类(只填写编号).(1)如果按“柱”“锥球”来分,柱体有______,椎体有______,球有______;(2)如果按“有无曲面”来分,有曲面的有______,无曲面的有______.【答案】(1)①②⑥;③④;⑤;(2)②③⑤;①④⑥【分析】(1)根据立体图形的特点从柱体的形状特征考虑.(2)根据面的形状特征考虑.(1)解:∵(1)是四棱柱,(2)是圆柱,(3)是圆锥,(4)是棱锥,(5)是球,(6)是三棱柱,∴柱体有(1),(2),(6),锥体有(3),(4),球有(5),故答案为:(1),(2),(6);(3),(4);(5);(2)∵(2)(3)(5)有曲面,其它几何体无曲面,∴按“有无曲面”来分,有曲面的有(2),(3),(5),无曲面的有:(1),(4),(6),故答案为:(2),(3),(5);(1),(4),(6).【点拨】本题考查了认识立体图形,解决本题的关键是认识柱体的形状特征.【知识点2】利用几何的定义认识几何体【例2】写出下图中各个几何体的名称.①__________;②__________;③__________;④__________;⑤__________;⑥__________.【答案】①圆柱;②圆锥;③四棱锥;④五棱柱;⑤三棱锥;⑥长方体(或四棱柱)【分析】分别根据圆柱、圆锥、四棱锥、五棱柱、三棱锥、四棱柱的基本特点即可进行判断得出.解:圆柱的侧面展开图是一个长方形,两个底面是圆形,由此可得①为圆柱;圆锥的侧面展开图是一个扇形,底面是一个圆形,可得②为圆锥;四棱锥的侧面是四个三角形,底面是一个四边形,可得③为四棱锥;五棱柱的侧面是五个长方形,底面是两个五边形,可得④为五棱柱;三棱锥的侧面是三个三角形,底面也是一个三角形,可得⑤为三棱锥;四棱柱的侧面是四个长方形,底面是两个四边形,可得⑥为四棱柱或长方体.【点拨】题目主要考查基本立体图形的特点,熟练掌握多种常见的几何体的特点是解题关键.【变式】把图中的几何图形与它们相应的名称连接起来.【分析】根据常见立体图形的特征直接连线即可.解:如图所示,即为所求.【点拨】本题考查几何体的识别,解题的关键是掌握基本几何体的特征.【知识点3】棱柱的相关概念及特征1、相关概念:在棱柱中,相邻两个面的交线叫做棱,相邻的两个侧面的交线叫做侧棱。
考点梳理一 、空间几何体(一) 空间几何体的类型1.多面体:由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.2. 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体.其中,这条直线称为旋转体的轴.(二)空间几何体的表面积与体积1. 空间几何体的表面积圆柱的表面积 :222Srl r ππ=+ 圆锥的表面积:2Srl r ππ=+ 圆台的表面积:22Srl r Rl R ππππ=+++ 球的表面积:24S R π=2. 空间几何体的体积柱体的体积 :VS h =⨯底 锥体的体积 :13V S h =⨯底 台体的体积:1)3V S S h =+⨯下上( 球体的体积:343V R π= (三)空间几何体的三视图和直观图1. 三视图: 正视图, 侧视图, 俯视图.2. 直观图:斜二测画法二 、直线与平面的位置关系(一)线面平行1.判定定理:////a b b a a ααα⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭2.性质定理:////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭(二)线面垂直1. 判定定理:,a b a b O l a l a l b ααα⊂⎫⎪=⎪⎪⊄⇒⊥⎬⎪⊥⎪⊥⎪⎭2.性质定理:(1)若直线垂直于平面,则它垂直于平面内任意一条直线.即:,l a l a αα⊥⊂⇒⊥(2)垂直于同一平面的两直线平行.即:,//ab a b αα⊥⊥⇒(三)面面平行1.判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,这两个平面平行.2.性质定理:垂直于同一条直线的两个平面平行.(四)面面垂直 1.判定定理:a a ααββ⊂⎫⇒⊥⎬⊥⎭2.性质定理:AB l l l ABαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭。
高中数学几何知识点在高中数学的学习中,几何部分是一个重要的组成部分,它不仅能够培养我们的空间想象力和逻辑思维能力,还在实际生活中有着广泛的应用。
下面就让我们一起来梳理一下高中数学几何的主要知识点。
一、平面几何1、直线与方程直线的倾斜角和斜率是描述直线倾斜程度的重要概念。
倾斜角是直线与 x 轴正方向的夹角,范围是0, π)。
斜率则等于倾斜角的正切值。
直线的方程有多种形式,如点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式等。
2、圆与方程圆的标准方程为(x a)²+(y b)²= r²,其中(a, b) 是圆心坐标,r 是半径。
圆的一般方程为 x²+ y²+ Dx + Ey + F = 0 ,需要通过配方判断其是否表示圆以及圆心和半径。
直线与圆的位置关系可以通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断。
3、三角形三角形的内角和为 180°,正弦定理和余弦定理是解决三角形问题的重要工具。
正弦定理:a/sinA = b/sinB = c/sinC;余弦定理:a²= b²+ c² 2bc cosA 等。
二、立体几何1、空间几何体常见的空间几何体有柱体(圆柱、棱柱)、锥体(圆锥、棱锥)、台体(圆台、棱台)和球体。
要掌握它们的结构特征、表面积和体积的计算公式。
2、点、直线、平面的位置关系公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
平面与平面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
⎧⎨⎩⎧⎨⎩人教版七年级数学上册第四章《几何图形初步》知识点汇总一、知识结构框图二、具体知识点梳理(一)几何图形(是多姿多彩的)立体图形:棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.1、几何图形平面图形:三角形、四边形、圆等.主(正)视图---------从正面看;2、几何体的三视图 侧(左)视图-----从左面边看;俯视图---------------从上面看.(1)会判断简单物体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图.(2)能根据三视图描述基本几何体或实物原型.3、立体图形的平面展开图(1)同一个立体图形按不同的方式展开,得到的平面图形不一样的.(2)了解直棱柱、圆柱、圆锥的平面展开图,能根据展开图判断和制作立体模型.4、点、线、面、体(1)几何图形的组成点:线和线相交的地方是点,它是几何图形最基本的图形.线:面和面相交的地方是线,分为直线和曲线.面:包围着体的是面,分为平面和曲面.体:几何体也简称体.(2)点动成线,线动成面,面动成体.(二)直线、射线、线段1、基本概念图形直线射线线段端点个数无一个两个表示法直线a直线AB(BA)射线AB线段a线段AB(BA)作法叙述作直线AB作直线a 作射线AB作线段a作线段AB、连接AB延长叙述不能延长反向延长射线AB延长线段AB反向延长线段BA 2、直线的性质经过两点有一条直线,并且只有一条直线. 简称:两点确定一条直线.3、画一条线段等于已知线段(1)度量法(2)用尺规作图法4、线段的大小比较方法(1)度量法(2)叠合法5、线段的中点(二等分点)、三等分点、四等分点等定义:把一条线段平均分成两条相等线段的点叫做线段的中点.图形:A M B符号:若点M 是线段AB 的中点,则AM=BM=AB ,AB=2AM=2BM.126、线段的性质:两点的所有连线中,线段最短.简称:两点之间,线段最短.7、两点的距离:连接两点的线段长度叫做这两点的距离.8、点与直线的位置关系 (1)点在直线上; (2)点在直线外.(三)角1、角:由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角.2、角的表示法(四种):∠1 ; ; ; .α∠β∠ABC ∠3、角的度量单位及换算4、角的分类:锐角、直角、钝角、平角、周角.5、角的比较方法 (1)度量法 (2)叠合法6、角的和、差、倍、分及其近似值7、画一个角等于已知角(1)借助三角尺能画出15°的倍数的角,在0~180°之间共能画出11个角.(2)借助量角器能画出给定度数的角.(3)用尺规作图法,可以作出任意给定的角.8、角的平线线定义:从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线.图形: 符号:9、互余、互补(1)若∠1+∠2=90°,则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角,∠2是∠1的余角.(2)若∠1+∠2=180°,则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角,∠2是∠1的补角.(3)余(补)角的性质:同(等)角的余角相等. 同(等)角的补角相等.10、方向角(1)正方向;(2)北(南)偏东(西)方向;(3)东(西)北(南)方向.。
第二节简单几何体的表面积和体积复习目标学法指导1.柱、锥、台体的表面积和体积公式.2.球的表面积和体积公式.3.一些简单组合体表面积和体积的计算.4.柱、锥、台体之间关系.(发展要求)1.搞清楚几何体的表面积包括侧面积和底面积.2.求侧面积时,往往需要研究侧面展开图.3.会分解简单组合体为常见的柱、锥、台,进一步求出面积、体积.4.所有公式均不要求记忆.空间几何体的表面积和体积公式如下表面积体积S表=S侧+2S底表面积即空间几何体暴露在外的所有面的面积之和棱柱的底面积为S,高为h,V=S·hV柱=S·hS=S′V台=13(S′+S S +S)h S表=S侧+S底棱锥的底面积为S,高为h,V=13S ·h S ′=0 V 锥=13S ·hS 表=S 侧+ S 上底+S 下底棱台的上、下底面 面积分别为S ′,S,高为h, V=13(S ′+ S S+S)h圆柱的底面半径和母线长分别为r,lS 表=2πr 2+2πrl 圆柱的高为h,V=πr 2h圆锥的底面半径和母线长分别为r,l S 表=πr 2+πrl 圆锥的高为h,V=13πr 2h圆台的上、下底面半 径和母线长分圆台的高为h,V=13π(r ′2+别为r,r′,l,S表=π(r′2+r2+r′l+rl)r′r+r2)h球球半径为R,S球=4πR2V球=43πR31.概念理解(1)表面积应为侧面积和底面积的和,要注意组合体中哪些部分暴露或遮挡.(2)求空间几何体体积的常用方法①公式法:直接根据相关的体积公式计算.②等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易,或是求出一些体积比等.③割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算体积的几何体.2.求面积或体积中相关联的结论几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,①正方体的外接球,则3②正方体的内切球,则2R=a;③球与正方体的各棱相切,则2(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=222a b c ++.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.1.圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么圆柱的侧面积是( A )(A)4πS (B)2πS (C)πS (D)23πS 解析:由πr 2=S 得圆柱的底面半径是πS , 故侧面展开图的边长为2π·πS =2πS,所以圆柱的侧面积是4πS.故选A.2.正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为2,侧棱长为3,D为BC 的中点,则三棱锥A-B 1DC 1的体积为 . 解析:如图,在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中, 因为AD ⊥BC,AD ⊥BB 1, BB 1∩BC=B,所以AD ⊥平面B 1DC 1. 所以11A B DC V-=1113B DC S ∆·AD=13×12×233=1. 答案:13.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为 cm 3,表面积为 cm 2.解析:由三视图可得该几何体为二分之一圆锥, 圆锥的底面半径为1,高为2,所以可得该几何体的体积为12×13×π×12×2=π3, 该几何体的表面积为12×π×12+12π×114++12×2×2=)51π2+2.答案: π3)51π2+24.已知正四棱锥O-ABCD 32,3,则以O 为球心,OA 为半径的球的表面积是 . 解析:设O 到底面的距离为h,则13×3×32,解得32()()2233+62262h ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭6故球的表面积为4π×62=24π.答案:24π5.(2019·浙江宁波模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形,侧视图为直角三角形,则该三棱锥的表面积为,该三棱锥的外接球体积为.解析:由三视图得几何体的直观图如图.所以S表=2×12×2×2+12×3512×3 1153如图,作DE⊥DB,以D为原点,DB所在直线为x轴,DE所在直线为y 轴,DA所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,则3设球心坐标为(x,y,z),因为(x-2)2+y2+z2=x2+y2+z2,①x2+y2+(z-2)2=x2+y2+z2,②(x+1)23)2+z2=x2+y2+z2,③所以x=1,y=3,z=1,所以球心的坐标是(1,3,1), 所以球的半径是()222131++=5.所以球的体积是43π×(5)3=2053π.答案:4+15+32053π考点一几何体的表面积[例1] (1)(2018·金丽衢十二校联考)某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图都是腰长为2的等腰直角三角形,俯视图是边长为2的正方形,则此四面体的最大面的面积是( )(A)2 23(D)4(2)(2019·湖州模拟)某几何体的三视图如图所示,其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧,则该几何体的表面积为( )(A)4π3(B)5π3(C)4π3(D)5π3(3)若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π,则其母线与轴的夹角的大小为;(4)四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形,若四棱锥S-ABCD的体积取值范围为4383],则该四棱锥外接球表面积的取值范围是.解析:(1)因为几何体为一个四面体,六条棱长分别为2223所以四面体的四个面的面积分别为12×2×2=2,12×2×2212×2×221 2×22sin π33因此四面体的最大面的面积是3.故选C.(2)由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体,三棱柱的两个侧面面积之和为2×4×2=16,两个底面面积之和为2×12×2×3=23;半圆柱的侧面积为π×4=4π,两个底面面积之和为2×12×π×12=π,所以几何体的表面积为5π+16+23,故选D.(3)设圆锥底面半径为r,母线长为l,母线与轴夹角为θ, 则=22π122rl r l r⋅-2π,r l=3,即sin θ=3,θ=π3. 解析:(4)四棱锥S-ABCD 中,可得AD ⊥SA,AD ⊥AB ⇒AD ⊥平面SAB ⇒平面SAB ⊥平面ABCD,过S 作SO ⊥AB 于O,则SO ⊥平面ABCD, 设∠SAB=θ, 故S ABCDV-=13S 四边形ABCD ·SO=83sin θ, 所以sin θ∈[3,1]⇒θ∈[π3,2π3]⇒-12≤cos θ≤12, 在△SAB 中,SA=AB=2, 则有SB=221cos θ-,所以△SAB 的外接圆半径r=2sin SBθ=21cos θ-,将该四棱锥补成一个以SAB 为一个底面的直三棱柱,得外接球的半径R=21r +⇒S=4πR2=4π(21cos θ++1), 所以S ∈[28π3,20π]. 答案:(1)C (2)D (3)π3答案:(4)[28π3,20π] (1)已知几何体的三视图求其表面积,一般是先根据三视图判断空间几何体的形状,再根据题目所给数据与几何体的表面积公式,求其表面积.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积应注意重合部分的处理.(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展开成平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.1.(2019·浙江十校联盟)如图所示,已知某几何体的三视图及其尺寸(单位:cm),则该几何体的表面积为( C )(A)15π cm2(B)21π cm2(C)24π cm2(D)33π cm2解析:由三视图可知,则该几何体是一个圆锥,圆锥的底面半径为3,母线长为5,故该几何体的表面积为S表=πr2+πrl=π×32+π×3×5=24π(cm2).故选C.2.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( A )(A)81π4(B)16π(C)9π(D)27π4解析:易知球心在正四棱锥的高上,设球的半径为R,则(4-R)2+(2)2=R2, 解得R=94,所以球的表面积为4π×(94)2=814π.故选A.考点二几何体的体积[例2] (1)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )(A)12cm3(B)1 cm3(C)16 cm3 (D)13cm3(2)(2018·天津卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD 外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H, M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为.解析:(1)由题意,根据给定的三视图可知,该几何体表示一个底面为腰长为1的等腰直角三角形,高为1的三棱锥, 如图所示,所以该三棱锥的体积为V=13×12×1×1×1=16(cm 3),故选C.解析:(2)依题意,易知四棱锥M-EFGH 是一个正四棱锥,且底面边长为2,高为12. 故M EFGHV=13×(2)2×12=112. 答案:(1)C 答案:(2)112(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,则可直接利用公式进行求解,其中,等积转换法多用来求三棱锥的体积.(2)若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体,再利用公式求解.(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( D )(A)60 (B)30 (C)20 (D)10解析:如图,把三棱锥A-BCD 放到长方体中,长方体的长、宽、高分别为5,3,4,△BCD 为直角三角形,直角边分别为5和3,三棱锥A-BCD 的高为4,故该三棱锥的体积V=13×12×5×3×4=10.故选D.考点三 与面积、体积相关的综合问题[例3] (1)若一个正四面体的表面积为S 1,其内切球的表面积为S 2,则12S S = ;(2)将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,点A,B,C,D 折叠后对应点为A ′,B ′,C ′,D ′,使B ′D ′=a,则三棱锥D ′-A ′B ′C ′的体积为 .解析:(1)设正四面体棱长为a,则正四面体的表面积为 S 1=43a 23a2,正四面体的高2233a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭6a,由13r ·S 1=1332·h 知r=146a. 因此内切球的表面积为S 2=4πr 2=2π6a,则12S S 2236a a 63.解析:(2)如图所示,正方形ABCD 及折叠后的直观图.易知在直观图中,A ′B ′=B ′C ′=C ′D ′=D ′A ′=a, 且A ′D ′⊥D ′C ′,A ′B ′⊥B ′C ′, 取A ′C ′的中点E,连接D ′E,B ′E, 则D ′E ⊥A ′C ′,D ′E=EB ′=2a,所以D ′E ⊥EB ′,所以D ′E ⊥平面A ′B ′C ′. D ′E 即为三棱锥D ′-A ′B ′C ′的高. 故D A B C V''''-=13S △A ′B ′C ′·D ′E =13×12×a ×a ×2a=2a 3.答案:(1)63 答案:(2)2a 3(1)①解决与球有关问题的关键是球心及球的半径,在球中球心与截面圆圆心的连线、截面圆圆心与截面圆周上一点、该点与球心的连线构成一个直角三角形.②解决多面体(或旋转体)的外接球、内切球问题的关键是确定球心在多面体(或旋转体)中的位置,找到球半径(或直径)与几何体相关元素之间的关系.有时将多面体补形为正(长)方体再求解.(2)求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开,转化为求平面上两点间的最短距离.1.已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB=3,AC=4,AB ⊥AC,AA 1=12,则球O 的半径为( C ) (A)3172 (B)210(C)132(D)310解析:如图,由球心作平面ABC 的垂线, 则垂足为BC 的中点M.又AM=12BC=52,OM=12AA 1=6, 所以球O 的半径 R=OA=22562⎛⎫+ ⎪⎝⎭=132. 故选C.2.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 ,体积是 .解析:本题考查空间几何体的三视图、体积和表面积的计算.由三视图得该几何体为底面是以上底为1,下底为3,高为3的直角梯形,高为3的直四棱柱,则其表面积为2×3×1+32+3×3+1×3+3×3+3×13=33+313,体积为3×3×1+32=18.答案:33+31318考点四易错辨析[例4] (2019·浙江绍兴模拟)如图是由半球和圆柱组合而成的几何体的三视图,则该几何体的体积为( )(A)5π3 (B)8π3(C)10π3(D)12+2π3解析:由题得,几何体是水平放置的一个圆柱和半个球,所以该几何体的体积为V=43π×13×12+π×12×2=83π,故选B.正确解决此类问题应注意确认几何体的形状时,要紧扣三视图,不能凭感觉去确定.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为4,且底面是边长为2的正三角形,用一平面截此棱柱,与侧棱AA1,BB1,CC1分别交于三点M,N,Q,若△MNQ 为直角三角形,则该直角三角形斜边长的最小值为( C ) 2(B)3 3(D)4解析:如图,不妨设N在B处,AM=h,CQ=m,则有MB2=h2+4,BQ2=m2+4,MQ2=(h-m)2+4,由MB2=BQ2+MQ2,得m2-hm+2=0.则Δ=h2-8≥0,即h2≥8,所以该直角三角形的斜边MB≥23.故选C.类型一几何体的表面积1.如图是一个封闭几何体的三视图,则该几何体的表面积为( C )(A)7π cm2(B)8π cm2(C)9π cm2(D)11π cm2解析:依题意,题中的几何体是从一个圆柱中挖去一个半球后所剩余的部分,其中圆柱的底面半径是1 cm、高是 3 cm,球的半径是1 cm,因此该几何体表面积等于12×(4π×12)+π×12+2π×1×3=9π(cm2).故选C.2.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( B )(A)28+65(B)30+65(C)56+125(D)60+125解析:根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图如图,此几何体为一个底面为直角三角形,高为4的三棱锥,因此表面积为S=12×(2+3)×4+12×4×5+12×4×(2+3)+12×5415 5故选B.类型二几何体的体积3.某几何体的三视图如图所示,它的体积为( C )(A)72π(B)48π(C)30π(D)24π解析:由三视图知该几何体是由一个半球和一个圆锥构成的组合体,所以其体积为V=12×43π×33+13π×32×4=30π.故选C.4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( D )(A)π2(B)1+π2(C)1+π(D)2+π解析:由三视图可得,该几何体是一个长方体和半个圆柱的组合体,则该几何体的体积为V=12×2+12×π×12×2=2+π,故选D.5.(2018·全国Ⅲ卷)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为3则三棱锥D-ABC体积的最大值为( B )3333解析:由等边△ABC的面积为3323,所以AB=6,所以等边△ABC的外接圆的半径为r=33AB=23.设球的半径为R,球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d,则d=22R r-=1612-=2.所以三棱锥D-ABC高的最大值为2+4=6,所以三棱锥D-ABC体积的最大值为13×93×6=183.故选B.6.(2019·名校协作体模拟)某几何体的三视图(单位:mm)如图所示,则它的体积是cm3,表面积是cm2.解析:由三视图得该几何体底面是一个以上底为2,下底为4,高为3的直角梯形,高为33的四棱锥,则其体积为13×33×2+42×3=93(cm3),表面积为1 2×3×33+2+42×3+12×3×2+12×3×4+12×5×33=(18+63)(cm2).答案:93(18+63)7.(2018·江苏卷)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.解析:由题意知所给的几何体是棱长均为2的八面体,它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的,正四棱锥的高为1,所以这个八面体的体积为2V 正四棱锥=2×13×(2)2×1=43.答案:43类型三 面积、体积综合问题8.(2018·浙江绍兴质量调测)已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( A )(A)83 (B)8 (C)203(D)6 解析:如图所示,在棱长为2的正方体中,题中的三视图对应的几何体为四棱锥P-ADC 1B 1,其中P 为棱A 1D 1的中点,则该几何体的体积11P ADC B V -=211P DB C V -=211D PB C V-=2×13×11PB C S∆×DD 1=83. 故选A.9.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=3,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥S-ABC的体积为( C )(A)33(B)23(C)3 (D)1解析:由题意知,如图所示,在棱锥S-ABC中,△SAC,△SBC都是有一个角为30°的直角三角形,且3,SC=4,所以3作BD⊥3×3)2×3. SC于D点,连接AD,易证SC⊥平面ABD,因此V=13故选C.。
高中数学必修二立体几何知识点梳理立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征1) 棱柱:定义为有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。
按底面多边形的边数分类,可分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示可用各顶点字母,如五棱柱ABCDE或用对角线的端点字母,如五棱柱AD''''。
几何特征为两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
2) 棱锥:定义为有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体。
按底面多边形的边数分类,可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
表示可用各顶点字母,如五棱锥P-ABCDE。
几何特征为侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
3) 棱台:定义为用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分。
按底面多边形的边数分类,可分为三棱台、四棱台、五棱台等。
表示可用各顶点字母,如五棱台P-ABCDE。
几何特征为上下底面是相似的平行多边形;侧面是梯形;侧棱交于原棱锥的顶点。
4) 圆柱:定义为以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。
几何特征为底面是全等的圆;母线与轴平行;轴与底面圆的半径垂直;侧面展开图是一个矩形。
5) 圆锥:定义为以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体。
几何特征为底面是一个圆;母线交于圆锥的顶点;侧面展开图是一个扇形。
6) 圆台:定义为用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分。
几何特征为上下底面是两个圆;侧面母线交于原圆锥的顶点;侧面展开图是一个弓形。
7) 球体:定义为以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体。
几何特征为球的截面是圆;球面上任意一点到球心的距离等于半径。
棱柱,棱锥与球知识梳理棱柱,棱锥与球是最常见的几何体,绝大多数的立体几何问题都依托以上三类几何体设置,因此,掌握好相关的基础知识显得十分重要,以下对对应的一级知识点和二级知识点分别加以梳理.一、一级知识点课本上正文的黑体字结论,是可以直接利用的知识点,我们不妨称为一级知识点,对于棱柱,棱锥和球,又可以进行以下分类.1.定义类知识点这部分的概念比较多,要注意掌握,因为概念是思维的细胞.可以根据概念的包含关系分析,一般的将几何体分为多面体与旋转体,多面体分为凸多面体与凹多面体,常见的凸多面体分为棱柱与棱锥,棱柱分为斜棱柱与直棱柱,棱锥分为正棱锥与其它棱锥等;旋转体主要是球,注意球面距离,是与前面学过的距离定义不同的独特的距离形式,是弧长而不是线段长.同学们可以将几何体的名称写下来,看名称,想定义如何叙述,再想图形如何画,利用尝试记忆法加强对概念的理解.2.性质类知识点根据定义可以得到对应几何体的基本性质,对于三类几何体,主要学习以下方面的性质.2.1侧棱与侧面方面注意对比棱柱与棱锥在侧棱与侧面方面的性质,通过对比,加深对各自特征的理解,把对图形的直观认识上升到理性认识.一些长度关系的性质(如棱柱的侧棱都相等)对于计算类问题的解答有一定作用,而一些形状类或位置类结论(如直棱柱的各个侧面都是矩形等)对于证明类问题的解答起重要作用.关于正棱锥的两类直角三角形,其中正棱锥的高,斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形,涉及到侧面与底面所成的角;而正棱锥的高,侧棱和侧棱在底面内的射影组成一个直角三角形,则涉及到侧棱与底面所成的角,在解相关题时注意运用.2.2截面方面涉及棱柱的两类截面,一是平行于底面的截面,二是过棱柱不相邻的两条侧棱的截面(也叫对角面),注意它们的形状,特别是对角面,一些题目会给出对角面的形状进行解题;而棱锥主要是平行于底面的截面,注意初中学过的相似形知识的运用;球的截面是一个圆面,注意截面圆圆心与球心的距离,球的半径及截面圆半径之间的关系.截面问题也是立体几何中常见的重要问题,解题的关键往往是从确定截面形状入手.3.其它类知识点三类几何体还有其它类型的结论.如平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处互相平分;长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和;球的体积公式343R V , 球的表面积公式24S R 等.二、二级知识点 还有一些知识点是隐藏在课本的习题中的,需要挖掘后作为间接结论加以利用.特别是课本习题中的证明题目.1.棱柱与棱锥类知识点如习题9.9第4题,求证对角线相等的平行六面体是长方体;第14题,以正多面体的各面的中心为顶点的多面体都是几面体?不难得到正方体各面中心为顶点的多面体是正八面体等.2.球类知识点习题9.11前的练习3,一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm ,求这个球的体积.本题是典型的与球综合的组合体问题,需要熟练掌握,对于本题,由正方体的体对角线是球的直径切入解答即可.本题也可以变式为球与正方体的面都相切,或与棱都相切;或者将正方体改为棱长分别为1cm ,2cm ,3cm 的长方体等,但解题的关键都是找球心位置或球半径.我们一般可以把知识分为陈述性知识和程序性知识,前者是关于“是什么”的知识,就想我们前面归纳的知识点;后者则是关于“如何做”的知识,也被称为“技能”,在学习过程中,请同学们将“知识”与“技能”有机结合,熟练掌握.。
简单几何体1.概念:2.结构特征:(1)两底面互相平行;(2)侧面是平行四边形;(3)侧棱互相平行.3.分类一:三棱柱、四棱柱、五棱柱……分类二:斜棱柱、直棱柱、正棱柱.斜棱柱正四棱柱正六棱柱直棱柱:侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱.正棱柱:底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体.1.概念:2.结构特征:(1)有一个面是多边形(包括三角形);(2)其余各面是有一个公共顶点的三角形.3.分类:一般棱锥、正棱锥.棱锥正四棱锥正四面体正棱锥:底面为正多边形,公共顶点在底面的投影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.正四面体:各面都是等边三角形的三棱锥叫做正四面体. 1.概念:2.结构特征:(1)侧棱的延长线相交于一点;(2)侧面是梯形;(3)两底面互相平行,两底面相似. 1.概念:2.结构特征:(1)两底面互相平行;(2)任意两条母线都平行;(3)母线与底面垂直;(4)轴截面为矩形;(5)侧面展开图是矩形. 1.概念:正四棱台四棱台2.结构特征:(1)所有母线相交于一点;(2)旋转轴与底面垂直;(3)轴截面为等腰三角形;(4)侧面展开图是扇形.1.概念:2.结构特征:(1)两底面互相平行;(2)母线的延长线相交于一点;(3)轴截面为等腰梯形;(4)侧面展开图是扇环.1.概念:2.结构特征:(1)球面是曲面,不能展开成平面图形;(2)球面上任一点与球心的连线都是半径.大圆:经过球心的截面去截球面所得的圆称为大圆.小圆:不经过球心的截面去截球面所得的圆称为小圆.3.球的截面的性质:(1)球的截面是圆面;(2)球心和截面圆心的连线垂直于截面;(3)球心到截面的距离d与球半径R及截面圆半径r的关系是r=4.两点间的球面距离:在球面上,两点之间的最短路线,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,这个弧长叫做两点间的球面的距离.一、选择题 1.如果一个圆锥的侧面展开图恰是一个半圆,那么这个圆锥轴截面三角形的顶角为( )A .6πB .4πC .3π B .2π 2.如图8-22,用一个平面去截一个正方体,得到一个三棱锥.在这个三棱锥中,除截面外的三个面的面积分别为S 1、S 2、S 3,则这个三棱锥的体积为( )A .V =32321S S S B .V =32321S S S C .V =32321S S S D .V =6321S S S 3.一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面( )A .必定都不是直角三角形B .至多有一个直角三角形C .至多有两个直角三角形D .可能都是直角三角形4.长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6,这个长方体的顶点都在同一个球面上,则这个球面的表面积为( )A .27πB .56πC .14πD .64π5.把一个半径为R 的实心铁球熔化铸成两个小球(不计损耗),两个小球的半径之比为1∶2,则其中较小球半径为( )A .31RB .333RC .5253RD .33R 6.棱锥被平行于底面的平面所截,当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时,相应的截面面积分别为S 1、S 2、S 3,则( )A .S 1<S 2<S 3B .S 3<S 2<S 1C .S 2<S 1<S 3D .S 1<S 3<S 27.图8-23中多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD 的顶点A 作截面AB 1C 1D 1而截得的,且B 1B=D 1D.已知截面AB 1C 1D 1与底面ABCD 成30°的二面角,AB=1,则这个多面体的体积为( )A .26B .36C .46D .66 8.设地球半径为R ,在北纬30°圈上有甲、乙两地,它们的经度差为120°,那么这两地间的纬线之长为( )A .33πRB .3πRC .πRD .2πR9.如图8-24,在一个倒置的正三棱锥容器内,放入一个钢球,钢球恰好与棱锥的四个面都接触上,经过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是( )10.如图8-25,在三棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ,Q ,且满足A 1P =BQ ,过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分,则其体积之比为( )A .3∶1B .2∶1C .4∶1D .3∶111.如图8-26,下列四个平面形中,每个小四边形皆为正方形,其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个立方体的图形是( )12.已知A 、B 、C 、D 为同一球面上的四点,且连接每点间的线段长都等于2,则球心O 到平面BCD 的距离等于( )A .36B .66C .126D .186 二、填空题13.命题A :底面为正三角形,且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥.命题A 的等价命题B 可以是:底面为正三角形,且的三棱锥是正三棱锥.14.如图8-27,在三棱锥S —ABC 中,E 、F 、G 、H 分别是棱SA 、SB 、BC 、AC的中点,截面EFGH 将三棱锥分割为两个几何体AB —EFGH 、SC —EFGH ,其体积分别是V 1、V 2,则V 1∶V 2的值是 .15.已知三棱锥的一条棱长为1,其余各条棱长皆为2,则此三棱锥的体积为16.已知正四棱柱的体积为定值V ,则它的表面积的最小值为 .三、解答题17.正四棱台上、下底面边长分别为a 和b ,上、下底面积之和等于侧面积,求棱台体积.18.一个正三棱柱的三视图如图所示,求这个正三棱柱的表面积.19.如图8-29,半球内有一内接正方体,正方体的一个面在半球的底面圆内,若正方体的一边长为6,求半球的表面积和体积.20.用一块钢锭浇铸一个厚度均匀,且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图8-30),设容器的高为h 米,盖子边长为a 米.(1)求a关于h的函数解析式;(2)设容器的容积为V立方米,则当h为何值时,V最大?求出V的最大值. (求解本题时,不计容器的厚度)【综合能力训练】1.C2.B3.D4.C5.B6.A7.D8.A9.B 10.B 11.C 12.B 13.侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/……14.1∶1 15. 611 16.632V 17.解:V=)(3b a ab +(a 2+ab+b 2). 18:解析:由三视图知正三棱柱的高为2 cm,由侧视图知正三棱柱的底面三边形的高为cm. 设底面边长为a ,则,∴a=4.∴正三棱柱的表面积S=S 侧+2S 底 =3×4×2+2××4×=8(3+)(cm)答案:8(3+)(cm).19.解 设球的半径为r,过正方体与半球底面垂直的对角面作截面α,则α截半球面得半圆,α截正方体得一矩形,且矩形内接于半圆,如图所示,则矩形一边长为6,另一边长为2·6=23,∴r 2=(6)2+(3)2=9,∴r=3,故S 半球=2πr 2+πr 2=27π,V 半球=32πr 3=18π,即半球的表面积为27π,体积为18π. 注:本题是正方体内接于半球问题,它与正方体内接于球的问题是有本质差别的,请注意比较.20.解(1)设h′为正四棱锥的斜高,由已知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=⋅+,'41,2'2142222h a h a h a解得a=112+h (h>0). (2)V=31ha 2=)1(32+h h (h>0), 易得V=)1(31h h +,因为h+h 1≥2hh 1⋅=2,所以V≤61, 等号当且仅当h=h1,即h=1时取得. 故当h=1米时,V 有最大值,V 的最大值为61立方米.奇偶性练习1.已知函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)是偶函数,那么g (x )=ax 3+bx 2+cx ( )A .奇函数B .偶函数C .既奇又偶函数D .非奇非偶函数2.已知函数f (x )=ax 2+bx +3a +b 是偶函数,且其定义域为[a -1,2a ],则( )A .31=a ,b =0 B .a =-1,b =0 C .a =1,b =0 D .a =3,b =0 3.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 2-2x ,则f (x )在R 上的表达式是( )A .y =x (x -2)B .y =x (|x |-1)C .y =|x |(x -2)D .y =x (|x |-2)4.已知f (x )=x 5+ax 3+bx -8,且f (-2)=10,那么f (2)等于( )A .-26B .-18C .-10D .105.函数1111)(22+++-++=x x x x x f 是( )A .偶函数B .奇函数C .非奇非偶函数D .既奇又偶函数6.若)(x ϕ,g (x )都是奇函数,2)()(++=x bg a x f ϕ在(0,+∞)上有最大值5,则f (x )在(-∞,0)上有( )A .最小值-5B .最大值-5C .最小值-1D .最大值-37.函数2122)(x x x f ---=的奇偶性为________.8.若y =(m -1)x 2+2mx +3是偶函数,则m =_________.9.已知f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,若11)()(-=+x x g x f ,则f (x )的解析式为_______.10.已知函数f (x )为偶函数,且其图象与x 轴有四个交点,则方程f (x )=0的所有实根之和为_______.11.设定义在[-2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减,若f (1-m )<f (m ),求实数m 的取值范围.12.已知函数f (x )满足f (x +y )+f (x -y )=2f (x )·f (y )(x ∈R ,y ∈R),且f (0)≠0,试证f (x )是偶函数.13.已知函数f (x )是奇函数,且当x >0时,f (x )=x 3+2x 2—1,求f (x )在R 上的表达式.14.f (x )是定义在(-∞,-5] [5,+∞)上的奇函数,且f (x )在[5,+∞)上单调递减,试判断f (x )在(-∞,-5]上的单调性,并用定义给予证明.15.设函数y =f (x )(x ∈R 且x ≠0)对任意非零实数x 1、x 2满足f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2),求证f (x )是偶函数.奇偶性练习 参考答案1.解析:f (x )=ax 2+bx +c 为偶函数,x x =)(ϕ为奇函数,∴g (x )=ax 3+bx 2+cx =f (x )·)(x ϕ满足奇函数的条件. 答案:A 2.解析:由f (x )=ax 2+bx +3a +b 为偶函数,得b =0.又定义域为[a -1,2a ],∴a -1=2a ,∴31=a .答案:A . 3.解析:由x ≥0时,f (x )=x 2-2x ,f (x )为奇函数,∴当x <0时,f (x )=-f (-x )=-(x 2+2x )=-x 2-2x =x (-x -2).∴,,)0()0()2()2()(<≥---=⎩⎨⎧x x x x x x x f 即f (x )=x (|x |-2) 答案:D4.解析:f (x )+8=x 5+ax 3+bx 为奇函数,f (-2)+8=18,∴f (2)+8=-18,∴f (2)=-26. 答案:A5.解析:此题直接证明较烦,可用等价形式f (-x )+f (x )=0. 答案:B6.解析:)(x ϕ、g (x )为奇函数,∴)()(2)(x bg x a x f +=-ϕ为奇函数.又f (x )在(0,+∞)上有最大值5,∴f (x )-2有最大值3.∴f (x )-2在(-∞,0)上有最小值-3,∴f (x )在(-∞,0)上有最小值-1. 答案:C7.答案:奇函数8.答案:0 解析:因为函数y =(m -1)x 2+2mx +3为偶函数,∴f (-x )=f (x ),即(m -1)(-x )2+2m (-x )+3=(m —1)x 2+2mx +3,整理得m =0.9.解析:由f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,可得11)()(--=-x x g x f ,联立 11)()(-=+x x g x f ,得11)1111(21)(2-=----=x x x x f .答案:11)(2-=x x f 10.答案:011.答案:21<m 12.证明:令x =y =0,有f (0)+f (0)=2f (0)·f (0),又f (0)≠0,∴可证f (0)=1.令x =0, ∴f (y )+f (-y )=2f (0)·f (y )⇒f (-y )=f (y ),故f (x )为偶函数.13.解析:本题主要是培养学生理解概念的能力.f (x )=x 3+2x 2-1.因为f (x )为奇函数,∴f (0)=0.当x <0时,-x >0,f (-x )=(-x )3+2(-x )2-1=-x 3+2x 2-1, ∴f (x )=x 3-2x 2+1.因此,.)0()0()0(12012)(,,2323<=>+--+=⎪⎩⎪⎨⎧x x x x x x x x f 点评:本题主要考查对奇函数概念的理解及应用能力.14.解析:任取x 1<x 2≤-5,则-x 1>-x 2≥-5.因为f (x )在[5,+∞]上单调递减,所以 f (-x 1)<f (-x 2)⇒f (x 1)<-f (x 2)⇒f (x 1)>f (x 2),即单调减函数. 点评:此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性,并及时转化.15.解析:由x 1,x 2∈R 且不为0的任意性,令x 1=x 2=1代入可证, f (1)=2f (1),∴f (1)=0.又令x 1=x 2=-1,∴f [-1×(-1)]=2f (1)=0, ∴f (-1)=0.又令x 1=-1,x 2=x ,∴f (-x )=f (-1)+f (x )=0+f (x )=f (x ),即f (x )为偶函数. 点评:抽象函数要注意变量的赋值,特别要注意一些特殊值,如,x 1=x 2=1,x 1=x 2=-1或x 1=x 2=0等,然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可.。