教师用书高中数学 四种命题 四种命题间的相互关系教案 新人教a版选修

§1．1.2 四种命题间的相互关系五．体验与运用例1:设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假解：逆命题“当时，若，则”．否命题“当时，若，则”．否命题为真．逆否命题“当时，若，则”．逆否命题为真．课堂练习写出命题：“若xy = 6则x = 3且y = 2”的逆命题否命题逆否命题，并判断它们的真假例2：证明：若022=+yx，则0==yx。

练习：已知a,b两直线是异面直线,且点A与B,C与D分别是直线a,b 上的相异点求证:直线AC与BD必异面通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依据六、小结与反思课堂小结1．写一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键是分清楚原命题的条件和结论,一般大前提不变．2．在命题真假性的判断中,要借助原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假,学会利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依据．通过学生自己的小结，将新知识系统化、重点化。

通过学生的反思，使学生意识重点和难点，提高学习效率。

课后练习1．如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是（）A．真命题，B．假命题，C．不一定是真命题，D．不一定是假命题。

2．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（）A．真命题的个数一定是奇数B．真命题的个数一定是偶数C．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数D．上述判断都不正确3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( )A．逆命题、否命题、逆否命题都为真B．逆命题为真，否命题、逆否命题为假C ．逆命题为假，否命题、逆否命题为真D ．逆命题、否命题为假，逆否命题为真 4．有下列四个命题：①“若1,xy =则,x y 互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题③“若0b ≤，则关于若x 的方程若2220x bx b b -++=有实根”的逆否命题 ④“A B B =U ，则A B ⊇”的逆否命题其中，真命题的个数是（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ．35．用反证法证明命题“a 、b ∈N *，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设内容是（ ）A ．a 、b 都能被5整除B ．a 、b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a 、b 有一个不能被5整除 6．下列4个命题是真命题的是（ ）①“若022=+y x 则x 、y 均为零”的逆命题 ②“相似三角形的面积相等”的否命题 ③“若B A I A =则B A ⊆”的逆否命题④“末位数字不是零的数可被3整除”的逆否命题A. ①②B. ②③C. ①③D. ③④7、命题“若a ＞b ,则ac 2＞bc 2(a 、b ∈R )”与它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（ ）A.3B.2C.1D.0 8．“在整数范围内，a ，b 是偶数，则b a +是偶数”的逆否命题是 。

课题： 命题及其关系一、课标要求：了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义，会分析四种命题之间的关系．二、知识与方法回顾：1、命题：2、四种命题之间的关系3、化归思想：互为逆否的两个命题是等价的（同真同假）。

因此证明一个命题的真假，也可以转化为证明它的逆否命题的真假4、反证法：用反证法证明一个命题的步骤是：（1）否定结论；（2）导出矛盾；（3）肯定结论。

三、基础训练：1、判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题．（1）若△ABC 与△A 1B 1C 1的三边对应相等，则它们是全等三角形；（2）若直线a // b ，则直线a 与b 无公共点；（3）6是方程（x －5）（x ―6）=0的一个解；2、已知M ，N 为两个集合，下列命题中，真命题是 （ ）A ．若M N ⊆，则M N M =B ．若M N N =，则M N ⊆C ．若M N ⊆，则M N M =D ．若M N N =，则N M ⊆3、已知命题“若﹁p 则q ” 是真命题，则下列命题中一定是真命题的为 （ ）A ．若p 则﹁qB ．若q 则﹁pC ．若﹁q 则pD ．若﹁q 则﹁p4、命题“△ABC 中，若∠C = 90°，则△ABC 是直角三角形”的否命题是 ．四、例题讲解例1 下列语句中，是命题的个数为 （ ）①空集是任何集合的子集；②把门关上；③垂直于同一条直线的两条直线不一定平行；④偶数一定是自然数吗？⑤地球是太阳的一颗行星；⑥0∈N ；A ．2B ．3C ．4D ．5变式：判断下列语句是不是命题：（1 （ ）（2）一个正整数不是质数就是合数； （ ）（3）x R ∀∈，都有x 2+x +1 > 0． （ ）例2 写出下列命题“如果一个四边形是正方形，那么它的四条边都相等”的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断其真假：例3 把下列命题改写成 “若p 则q ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假：（1）两个全等三角形的三边对应相等； （2）当2x =时，2320x x -+=；例4 已知函数()f x 是R 上的增函数，如果对于任意的,a b R ∈，都有 ()()()()f a f b f a f b +≥-+-，求证：0a b +≥．五、课堂练习1、给出四个命题：①命题“若p ，则q ”与命题“若﹁q ，则﹁p ”互为逆否命题；②“矩形的对角线相等”的否定为假命题；③命题“{1,2}∅⊆或2{1,2}∉”为真命题；④命题“若22am bm <，则a b <”的否命题，其中真命题的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42、,m n 是空间两条不同的直线，,αβ是空间两个不同的平面，有下列四个命题： ①,//,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥；②,,////m m n n ααββ⊥⊥⇒；③,,//,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥；④,//,//m m n n ααββ⊥⇒⊥，其中真命题的序号是 （ ）A ．①②B ．③④C ．②③D ．①④六、课堂小结：七、教学后记：课堂练习1、下列命题：①若220x y +≠，则,x y 不全为零；② “正多边形都相似”的否命题；③ 若1a >，则22(1)30ax a x a -+++>的解集为R ；④“若a 是有理数，则a 是无理数”的逆否命题，其中正确的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．42、用反证法证明命题：“如果整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么,,a b c 中至少有一个偶数”，下列假设正确的是 （ ） A ．假设,,a b c 都是偶数 B ．假设,,a b c 都不是偶数C ．假设,,a b c 中至多有一个是偶数D ．假设,,a b c 中至多有两个是偶数3、 若命题p 的否命题是r ，命题r 的逆命题是s ，则s 是p 的逆命题e 的 （ ）A ．逆否命题B ．逆命题C ．否命题D ．原命题4、 下列各命题中，真命题是 （ ）A ．若AB =∅，则A =∅或B =∅B ．两条对角线相等的四边形是正方形C ．若A B U =（U 为全集），则A U =或B U =D ．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补5、有下列四个命题：①“若1xy =，则x,y 互为倒数”的逆命题；②“全等三角形的周长相等”的否命题；③“若A B B =，则A B ⊆”的逆否命题；④“若1b ≤-，则方程2220x bx b b -++=有实根”的否命题，其中真命题的序号是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．③④6、已知,,a b c 都是正实数，则三个数111,,a b c b c a+++的值 （ ） A ．都大于2 B ．至少有一个不大于2 C ．都小于2 D ．至少有一个不小于2 7、命题“△ABC 中，若∠C = 90°，则222c a b =+”的逆否命题是 ；8、命题“若a b >，则221a b >-”的否命题是 ； 9、写出命题：“若0c >，则函数2y x x c =+-的图象与x 轴有两个交点”的逆否命题，判断其真假，并说明理由；10、已知,,x y z 均为实数，且2222,2,2236a x y b y z c z x πππ=-+=-+=-+，求证：,,a b c 中至少有一个大于0；11、设有两个命题：①关于x 的不等式2250x ax ++>对一切x R ∈恒成立；②函数()(52)x f x a =-在R 上是减函数，若它们都是真命题，求实数a 的取值范围．。

1.1.3 四种命题间的相互关系一、学习内容、要求及建议二、预习指导1．预习目标(1)了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．(2)感悟四种命题真假性的判断方法：直接判断、利用等价性判断．2．典型例题(1)如何判断一个命题的真假?例1 判断下列语句是不是命题?若是，判断其真假，若不是，请说明理由．①x2－5x+6=0；②当x=4时，2x<0；③垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?④一个数不是合数就是质数；⑤求证：若x∈R，方程x2+x+1=0无实根．(2)如何写出四种命题，它们的真假关系如何?例2 已知命题:有一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形．请判断这个命题和它的否命题的真假．例3 原命题“若xy=1，则x，y互为倒数”，请写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．3．自我检测1.命题“如果x≥a2+b2,那么x≥2ab”的等价命题是()A.如果x<a2+b2,那么x<2abB.如果x≥2ab,那么x≥a2+b2C.如果x<2ab,那么x<a2+b2D.如果x≥a2+b2,那么x<2ab2.若命题p的等价命题是q,q的逆命题是r,则p与r是()A.互逆命题B.互否命题C.互逆否命题D.不确定3.在命题“若函数f(x)是偶函数,则f(x)的图象关于y轴对称”的逆命题,否命题,逆否命题中结论成立的是()A.都真B.都假C.否命题假,逆命题真D.逆否命题假4.关于命题:“设a,b为实数,若ab=0,则a,b至少有一个为0.”有下列说法: ①原命题为真命题;②逆命题为真命题;③否命题为“设a,b为实数,若ab≠0,则a,b不都为0”;④逆否命题为“设a,b为实数,若a,b都不为0,则ab≠0”.其中,说法不正确的个数是()A.0B.1C.2D.35.关于原命题“在△ABC中,若cos A=2sin B sin C,则△ABC是钝角三角形”的叙述:①原命题是假命题;②逆命题为假命题;③否命题是假命题;④逆否命题为真命题.其中,正确的个数是()A.1B.2C.3D.4三、拓展视野我们规定真命题赋值为1，假命题赋值为0，“1”或“0”均称作命题的“真值”．命题A：“在同一个直角坐标系中，曲线y = a x(a > 0)的图象与y = x的图象至多有一个交点．”那么，命题A的真值是_______．——★参考答案★——例1 【分析】可以判断真假的语句叫做命题，命题非真即假，二者必居其一．对于不含逻辑联结词的简单命题，可直接判断其真假．[答案]解:①不是命题，因为语句中含有变量x，在不给定变量的值之前，我们无法确定该语句的真假(这种含有变量的语句叫“开语句”)；②是命题，它是能作出真假判断的语句，它是一个假命题；③不是命题，因为没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，疑问句不是命题；④是命题，假命题，因为数1既不是质数也不是合数；⑤不是命题，它是祈使句，没有作出判断．【点评】开语句、疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．例2 【分析】我们先要把命题写成为“若p则q”的形式，然后写出命题的逆命题、否命题与逆否命题．[答案]解：等腰梯形的一组对边平行，另一组对边相等，但等腰梯形不是平行四边形，故原命题是假命题．又平行四边形的一组对边平行，另一组对边相等，即逆命题是真命题，据逆命题和否命题的等价性知，否命题是真命题．【点评】直接举反例可知原命题为假命题．而否命题的真假难判定，则通过判定其等价命题－－逆命题的真假来推得结论．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价命题，它们同真或同假．例3 【分析】因为互为逆否命题的两个命题同真或同假，所以要判断四种命题的真假，只需判断其中两个的真假，然后利用等价性得到另两个命题的真假．[答案]解：原命题“若xy=1，则x，y互为倒数”是真命题，逆否命题：“若x，y不互为倒数，则xy≠1”，因为原命题与逆否命题是等价命题，它们同真或同假，所以逆否命题是真命题；逆命题：“若x，y互为倒数，则xy=1”，是真命题，否命题：“若xy≠1，则x，y不互为倒数”，因为逆命题与否命题是等价命题，它们同真或同假，所以否命题是真命题．因此原命题、逆命题、否命题、逆否命题都是真命题．【点评】本题是利用四种命题的关系判断四种命题的真假．自我检测1.[答案]C[解析]等价命题即为原命题的逆否命题,故选C.2.[答案]B[解析]因为p与q的条件与结论既互换又否定,且q与r的条件与结论互换,所以p与r的条件与结论是相互否定的,故p与r是互否命题.3.[答案]A[解析]因为f(x)是偶函数,与f(x)的图象关于y轴对称是等价的,故四种命题均为真命题.4.[答案]B[解析]①原命题为真命题;②逆命题为“设a,b为实数,若a,b至少有一个为0,则ab=0”,真命题;③否命题为“设a,b为实数,若ab≠0,则a,b都不为0”,故③不正确;④正确.5.[答案]C[解析]在△ABC中,若cos A=2sin B sin C,则-cos(B+C)=2sin B sin C,得cos B cos C+sin B sin C=0,得cos(B-C)=0,故B-C=90°或B-C=-90°,即B=C+90°或C=B+90°,故△ABC是钝角三角形,原命题与逆否命题为真命题.逆命题和否命题互为逆否命题,是假命题,如在钝角△ABC中,A=15°,B=15°,C=150°,cos A=cos15°=4,sin B=sin15°=4,sin C=sin150°=12,2sin B sin C=4≠cos A.三、拓展视野[答案]解：当a =1和0 <a < 1时，y = a x与y = x的图象有且仅有一个交点；而当a > 1时，若取a =2，则x =1时，y = a x= 2>1，(1，2)在直线y =x的上方；当x =2时，y = a x =2，(2，2)是两曲线的一个交点，当x = 3时，y = a x= 22< 3，(3，22)在直线y = x 的下方；当x = 4时，y = a x= 4，(4 ，4)是两曲线的另一个交点；当x> 4时，(2)x>x，两曲线再无交点．所以，当a = 2时，y = a x的图象与y =x的图象有两个交点，故命题A是假命题，其真值为0．【点评】题中当0 < a ≤1时两曲线只有一个公共点，但当a> 1且a比较接近1时，如解中的a =2，或a = 1．1等，两曲线有两个公共点．而当a较大时，如a =2，a =3等时，两曲线无公共点．判断一个命题为假，只需找出一个反例．故A是假命题．。

1.1.2 四种命题1.1.3四种命题间的相互关系学习目标核心素养1.了解命题的四种形式，能写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点)2．理解并掌握四种命题之间的关系及其真假性之间的关系．(易混点)3．能够利用命题的等价性解决有关问题．(难点)借助命题的等价性解题培养数学抽象、逻辑推理素养.1．四种命题的概念及结构(1)四种命题的概念对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫做互逆命题，如果恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题，如果恰好是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．(2)四种命题结构2．四种命题间的相互关系(1)四种命题之间的关系(2)四种命题间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真 假 假 真 假 真 真 假 假假假假①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 思考：(1)“a ＝b ＝c ＝0”的否定是什么？(2)在原命题、逆命题、否命题和逆否命题四个命题中，真命题的个数会是奇数吗？ [提示] (1)“a ＝b ＝c ＝0”的否定是“a ，b ，c 至少有一个不等于0”． (2)真命题的个数只能是0,2,4，不会是奇数．1．命题“若m ＝10，则m 2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )A ．原命题、否命题B ．原命题、逆命题C ．原命题、逆否命题D ．逆命题、否命题C [原命题正确，则逆否命题正确，逆命题不正确，从而否命题不正确．故选C ．] 2．给出以下命题：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②若一个四边形的对角互补，则它内接于圆； ③正方形的四条边相等； ④圆内接四边形的对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有______；互为逆否命题的有________． ③和⑥，②和④ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤ [互为逆命题有③和⑥，②和④；互为否命题有①和⑥，②和⑤；互为逆否命题有①和③，④和⑤.]3．已知命题p ：若x ＝π3，则cos x ＝12，则命题p 的逆命题为________；命题p 的否命题为________；命题p 的逆否命题为________．[答案] 若cos x ＝12，则x ＝π3 若x ≠π3，则cos x ≠12若cos x ≠12，则x ≠π3写出原命题的其他三种命题(1)若sin α＝12，则tan α＝3；(2)若a ＋b 是偶数，则a ，b 都是偶数； (3)等底等高的两个三角形是全等三角形； (4)当1<x <2时，x 2－3x ＋2<0； (5)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0.[解] (1)逆命题：若tan α＝3，则sin α＝12.否命题：若sin α≠12，则tan α≠ 3.逆否命题：若tan α≠3，则sin α≠12.(2)逆命题：若a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数． 否命题：若a ＋b 不是偶数，则a ，b 不都是偶数． 逆否命题：若a ，b 不都是偶数，则a ＋b 不是偶数． (3)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高． 否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等． 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高． (4)逆命题：若x 2－3x ＋2<0，则1<x <2. 否命题：若x ≤1或x ≥2，则x 2－3x ＋2≥0. 逆否命题：若x 2－3x ＋2≥0，则x ≤1或x ≥2. (5)逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0. 否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0. 逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0.1．写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．2．写否命题时应注意一些否定词语，列表如下：原词语等于(＝)大于(>)小于(<)是都是至多有一个否定词语不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是不都是至少有两个原词语至少有一个至多有n个任意的任意两个所有的能否定词语一个也没有至少有(n＋1)个某一个(确定的)某两个某些不能[跟进训练]1．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(1)正数a的立方根不等于0；(2)在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行．[解](1)原命题：若a是正数，则a的立方根不等于0，是真命题．逆命题：若a的立方根不等于0，则a是正数，是假命题．否命题：若a不是正数，则a的立方根等于0，是假命题．逆否命题：若a的立方根等于0，则a不是正数，是真命题．(2)原命题：在同一平面内，若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行，是真命题．逆命题：在同一平面内，若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线，是真命题．否命题：在同一平面内，若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行，是真命题．逆否命题：在同一平面内，若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线，真命题．四种命题的关系及真假判断否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个(2)判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假． [思路点拨] (1)只需判断原命题和逆命题的真假即可． (2)思路一写出原命题的逆否命题→判断其真假思路二原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)→判断原命题的真假→得到逆否命题的真假(1)C [当c ＝0时，ac 2>bc 2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac 2>bc 2，则a >b ”是真命题，从而否命题也是真命题，故选C ．](2)[解] 法一：原命题的逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0. ∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a <0，解得a <－14<0，∴原命题的逆否命题为真命题．法二：∵a ≥0，∴4a ≥0，∴对于方程x 2＋x －a ＝0，根的判别式Δ＝1＋4a >0，∴方程x 2＋x －a ＝0有实根，故原命题为真命题．∵原命题与其逆否命题等价，∴原命题的逆否命题为真命题．判断命题真假的方法(1)解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证.(2)原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可.[跟进训练]2．判断下列四个命题的真假，并说明理由． (1)“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的否命题； (2)“若x >y ，则x 2>y 2”的逆否命题； (3)“若x ≤3，则x 2－x －6>0”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题．[解](1)命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题．(2)令x＝1，y＝－2，满足x>y，但x2<y2，所以“若x>y，则x2>y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x>y，则x2>y2”的逆否命题也是假命题．(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，令x＝4，满足x>3，但x2－x－6＝6>0，不满足x2－x－6≤0，则该否命题是假命题．(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角．等价命题的应用1．命题“若x≠1，则x2－2x－3≠0”的等价命题是什么，其命题真假如何？提示：等价命题为“若x2－2x－3＝0，则x＝1”，其为假命题．2．当一个命题的条件与结论以否定形式出现时，为了研究方便，我们可以研究哪一个命题？提示：一个命题与其逆否命题等价，我们可研究其逆否命题．【例3】证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.[思路点拨]证明其逆否命题成立⇒原命题成立．[证明]原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a ＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．若a＋b<0，则a<－b，b<－a.∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．1．若一个命题的条件或结论含有否定词时，直接判断命题的真假较为困难，这时可以转化为判断它的逆否命题．2．当证明一个命题有困难时，可尝试证明其逆否命题成立．[跟进训练]3．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a<2”的真假．[解]原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x ＋a2＋2≤0的解集不是空集”．判断真假如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，根的判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，因为a≥2，所以4a－7>0，即抛物线与x轴有交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真，从而原命题为真．1．写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否定¬p和结论q的否定¬q；(3)按照四种命题的结构写出所求命题．2．每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论．3．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．1．判断正误(1)命题“若p，则q”的否命题为“若¬p，则¬q”．( )(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题．()(3)命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是“若A∪B≠B，则A∩B≠A”．[答案](1)×(2)√(3)√2．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．1B．2C．3 D．4B[原命题是真命题，从而其逆否命题是真命题，其逆命题是“若a>－6，则a>－3”，是假命题，从而其否命题也是假命题，故真命题的个数是2.]3．命题“若m＞1，则mx2－2x＋1＝0无实根”的等价命题是________．若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1[原命题的等价命题是其逆否命题，由定义可知其逆否命题为：“若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1”．]4．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．(1)若a>b，则ac2>bc2；(2)在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，若b2－4ac<0，则该函数的图象与x轴无交点．[解](1)逆命题：若ac2>bc2，则a>b，真命题．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2，真命题．逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b，假命题．(2)逆命题：在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，若图象与x轴无交点，则b2－4ac<0，真命题．否命题：在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，若b2－4ac≥0，则图象与x轴有交点，真命题．逆否命题：在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，若图象与x轴有交点，则b2－4ac≥0，真命题．。

1．1.2 & 1.1.3四种命题四种命题间的相互关系预习课本P4～8，思考并完成以下问题1．一个命题的四种形式分别是什么？它们之间的相互关系分别是什么？2．什么样的两个命题有相同的真假性？3．两个互逆命题或互否命题，它们之间的真假性有没有关系？[新知初探]1．四种命题的概念一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫做互逆命题，如果是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题，如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．2．四种命题结构3．四种命题之间的关系4．四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一个命题的否命题和逆命题有相同的真假性( ) (2)原命题与逆命题之间的真假性没有关系( ) 答案：(1)√ (2)√2．已知a ，b ∈R ，命题“若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2≥12”的否命题是( )A ．若a 2＋b 2<12，则a ＋b ≠1B ．若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2<12C ．若a ＋b ≠1，则a 2＋b 2<12D ．若a 2＋b 2≥12，则a ＋b ＝1答案：C3．若a ≠0，则ab ≠0的逆命题是________． 答案：若ab ≠0，则a ≠04．命题p ：若a ＝1，则a 2＝1；命题q ：若a 2＝1，则a ＝1，则命题p 与q 的关系是________． 答案：互逆命题四种命题的概念[典例] 否命题．(1)全等三角形的对应边相等； (2)当x ＝2时，x 2－3x ＋2＝0.[解] (1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等； 逆命题：若两个三角形三边对应相等，则这两个三角形全等； 否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形三边对应不相等； 逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等． (2)原命题：若x ＝2，则x 2－3x ＋2＝0； 逆命题：若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝2；否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0；逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2.(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆否命题．(2)如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．[活学活用]写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；(2)如果x>10，那么x>0.解：(1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面；逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线．(2)逆命题：如果x>0，那么x>10；否命题：如果x≤10，那么x≤0；逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.四种命题真假的判断[典例(1)“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题．(2)“正三角形都相似”的逆命题．(3)“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．[解](1)原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题．(2)原命题的逆命题为“若三角形相似，则这些三角形是正三角形”．假命题．(3)原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．因为方程x2＋x－m＝0无实根，所以判别式Δ＝1＋4m<0，解得m<－1 4，故m≤0，为真命题．[一题多变]1．[变设问]若本例(3)改为判断“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题的真假，则结果如何？解：原命题的逆命题为“若x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．因为方程x 2＋x －m ＝0有实根，所以判别式Δ＝1＋4m ≥0，所以m ≥－14，故逆命题为假命题．2．[变条件]若本例(3)改为判断“若m >0，则mx 2＋x －1＝0有实根”的逆否命题的真假，则结论如何？解：原命题的逆否命题为“若mx 2＋x －1＝0无实根，则m ≤0”． 因为方程mx 2＋x －1＝0无实根，则m ≠0， 所以判别式Δ＝1＋4m <0，则m <－14，故m ≤0，为真命题．解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念，原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与逆命题也互为逆否命题，同真同假，故只判断二者中的一个即可．等价命题的应用[典例] b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.[证明] 法一：原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”．若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )， ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )． 即原命题的逆否命题为真命题． ∴原命题为真命题．法二：假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )． ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．这与已知条件f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )相矛盾．因此假设不成立，故a＋b≥0.由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．[活学活用]证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.证明：将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”．由于m＋n>2，则m2＋n2≥12(m＋n)2>12×22＝2，所以m2＋n2≠2.故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．层级一学业水平达标1．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题解析：选C因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题．2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是() A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3解析：选A a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A．能被3整除的整数，一定能被6整除B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D．不能被6整除的整数，能被3整除解析：选B即写命题“若一个整数能被6整除，则一定能被3整除”的逆否命题．4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是()A．互逆命题B．互否命题C ．互为逆否命题D ．以上都不正确解析：选A 设p 为“若A ，则B ”，那么q 为“若綈A ，则綈B ”，r 为“若綈B ，则綈A ”．故q 与r 为互逆命题．5．原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假解析：选B 因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z 1|＝|z 2|，当z 1＝1，z 2＝－1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题是假的，故否命题也是假的．故选B.6．命题“若x ≠1，则x 2－1≠0”的真假性为________．解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“若x 2－1＝0，则x ＝1”，因为x 2－1＝0，x ＝±1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题．答案：假命题7．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．解析：由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2.∴1≤m ≤2. 答案：[1,2] 8．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②若一个四边形对角互补，则它内接于圆； ③正方形的四条边相等； ④圆内接四边形对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有_______；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________． 解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．答案：②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤ 9．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假．(1)等高的两个三角形是全等三角形；(2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．解：(1)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题；否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题；逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题．(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题；否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题；逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题．10．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．解：原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x ＋a2＋2≤0的解集为空集”．判断其真假如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.因为a<1，所以4a－7<0.即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象与x轴无交点．所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真命题．层级二应试能力达标1．命题“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有()A．0个B．1个C．2个D．4个解析：选C若c＝0，则ac2>bc2不成立，故原命题为假命题．由等价命题同真同假，知其逆否命题也为假命题．逆命题“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”为真命题，由等价命题同真同假，知原命题的否命题也为真命题，所以共有2个真命题，故选C.2．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．无关命题解析：选A由于这两个命题的关系是一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，所以互为逆命题，故选A.3．原命题“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是()A．原命题是真命题B．逆命题是假命题C．否命题是真命题D．逆否命题是真命题解析：选C 原命题是假命题，所以逆否命题是假命题，逆命题“等腰梯形是圆内接四边形”是真命题，所以否命题是真命题，故选C.4．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：选C 否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知C 正确．5．命题“若x >1，则x >0”的逆命题是________________，逆否命题是________________． 答案：若x >0，则x >1 若x ≤0，则x ≤16．在原命题“若A ∪B ≠B ，则A ∩B ≠A ”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．解析：逆命题为“若A ∩B ≠A ，则A ∪B ≠B ”； 否命题为“若A ∪B ＝B ，则A ∩B ＝A ”； 逆否命题为“若A ∩B ＝A ，则A ∪B ＝B ”； 全为真命题． 答案：47．已知a ，b ，c ∈R ，证明：若a ＋b ＋c <1，则a ，b ，c 中至少有一个小于13.证明：原命题的逆否命题为：已知a ，b ，c ∈R ，若a ，b ，c 都不小于13，则a ＋b ＋c ≥1.由条件a ≥13，b ≥13，c ≥13，三式相加得a ＋b ＋c ≥1， 显然逆否命题为真命题． 所以原命题也为真命题．即已知a ，b ，c ∈R ，若a ＋b ＋c <1， 则a ，b ，c 中至少有一个小于13.8．已知函数f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，若命题：对于任意的x 1∈[－1,2]，存在x 2∈[－1,2]使f (x 1)＝g (x 2)为真命题，求实数a 的取值范围．解：对于任意的x 1∈[－1,2]，存在x 2∈[－1,2]使f (x 1)＝g (x 2)，则{f (x )|x ∈[－1,2]}⊆{g (x )|x ∈[－1,2]}．又f (x )＝x 2－2x 在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，所以－1≤f (x )≤3.因为g (x )＝ax ＋2(a >0)在[－1,2]上单调递增，所以－a ＋2≤g (x )≤2a ＋2，于是有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2≤－1，2a ＋2≥3，即a ≥3. 故实数a 的取值范围为[3，＋∞)．。

原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互第二课时 1.1.2-1.1.3 四种命题及其关系教学要求：进一步理解命题的概念，了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.教学重点：四种命题的概念及相互关系. 教学难点：四种命题的相互关系. 教学过程：一、复习准备：指出下列命题中的条件与结论，并判断真假： （1）矩形的对角线互相垂直且平分； （2）函数232y x x =-+有两个零点. 二、讲授新课：1. 教学四种命题的概念：（师生共析→学生说出答案→教师点评）②例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假： （1）同位角相等，两直线平行； （2）正弦函数是周期函数；（3）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. （学生自练→个别回答→教师点评） 2. 教学四种命题的相互关系：①讨论：例1中命题（2）与它的逆命题、否命题、逆否命题间的关系. ②四种命题的相互关系图：③讨论：例1中三个命题的真假与它们的逆命题、否命题、逆否命题的真假间关系. ④结论一：原命题与它的逆否命题同真假；结论二：两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.⑤例 2 若222p q +=，则2p q +≤.（利用结论一来证明）（教师引导→学生板书→教师点评）3. 小结：四种命题的概念及相互关系.三、巩固练习：1. 练习：写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假. （1）函数232y x x =-+有两个零点；（2）若a b >，则a c b c +>+； （3）若220x y +=，则,x y 全为0；（4）全等三角形一定是相似三角形； （5）相切两圆的连心线经过切点.2. 作业：教材P9页 第2（2）题 P10页 第3（1）题。

高中数学《四种命题间的相互关系》教案一、教学目标1. 了解四种命题（命题、肯定命题、否定命题、疑问命题）的定义及其相互关系。

2. 掌握使用逆否命题、转化命题、等价命题的方法，判断命题的真假并进行推理。

3. 能够通过推理得出含有复合命题的命题的真假。

二、教学重点1. 掌握四种命题的定义及其相互关系。

2. 掌握逆否命题、转化命题、等价命题的方法，判断命题的真假并进行推理。

三、教学难点1. 掌握含有复合命题的命题的真假推理方法。

2. 能够根据实际问题判断、转化、等价、逆否命题。

四、教学方法运用讲授、举例、实践等方法。

五、教学过程Step 1 引入新知教师将以下命题逐个呈现给学生：A：上学期数学我没有及格。

B：你不是数学系的学生。

C：你可以给我一些做题的建议吗？D：今天下雨了。

请学生分别判断这些命题的类型，并解释其判断依据。

Step 2 讲解四种命题的相互关系1. 命题：有明确意义的陈述语句，有真假之分。

2. 肯定命题：断言事件一定会发生的命题，其真假值为真。

3. 否定命题：断言事件一定不会发生的命题，其真假值为假。

4. 疑问命题：询问事件是否会发生的命题，无法判断其真假值。

5. 说明四种命题的关系：命题 +肯定命题否定命题疑问命题Step 3 运用逆否命题、转化命题、等价命题进行推理1. 逆否命题：在肯定命题的基础上，将主语和谓语都进行否定得到的命题。

例如：肯定命题“如果A成立，则B成立”的逆否命题是“如果B不成立，则A不成立”。

2. 转化命题：将两个命题的主语或谓语交换位置得到的命题，其真假值与原命题相同。

例如：命题“如果A成立，则B成立”转化为“如果B不成立，则A不成立”。

3. 等价命题：在不改变命题真假性的前提下，将一些命题组合成一个命题表示。

例如：命题“如果A成立，则B成立”和命题“如果B不成立，则A不成立”是等价命题。

Step 4 操练应用请学生以具体的实例来判断、转化、等价、逆否一些命题，提高学生的综合能力。

《四种命题的相互关系》教学设计大方三中万开平教学重点四种命题间的真假关系教学难点用反证法证明命题板书设计教学反思通过本节课的学习，充分的调动了学生学习的主动性、在板书的设计运用了思维导图的新模式，充分激发了学生的兴趣。

但是在运用新模式上还有待加强。

课堂教学设计案合作探究2021合作探究点拨提升10分逆命题:否命题:逆否命题: 。

【探究一】观察与思考1、若f是正弦函数，则f是周期函数。

2、若f是周期函数，则f是正弦函数。

3、若f不是正弦函数，则f不是周期函数。

4、若f不是周期函数，则f不是正弦函数。

思考：你能说出其中任意两个之间的关系吗？谈一谈你的收获。

4、四种命题之间的相互关系：三、合作探究小游戏游戏规则：1、老师选定某一个组作为第一组回答指定问题2、若回答正确，则由该组选定下一组回答指定问题；若回答不正确，则由上一组选定下一组回答指定问题；3、本组回答对一个问题本组得2分，选定该的小组得1分组回答；4、回答问题以以下为主：5、活动结束后得分最高的小组为本节课的最佳小组。

【探究二】合作与讨论设计小游戏，让学生在小组内设计问题，准备提问其它小组问题和自己要回答的问题学生分组讨论完成，教师在小组个别指导。

完成的小组通过游戏展示自己小组的讨论结果。

未完成的小组先由学生补充，教师做适当点评。

让单调的数学问题具有活力，提高学生参与度，增强学生学习情趣。

通过思考有利于学生掌握与记忆让学生明确本课堂小结2分布置作业1写出下列四个命题的逆命题、否命题、逆否命题，判断真假并填真值表（1）若一个角是直角，则它等于90°（2）负数的平方是正数（3）如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面．（4）质数都是奇数。

原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？小故事（二）路边苦李王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李思考：王戎是怎样知道李子是苦的呢他运用了怎学生阅读故事，体会数学思想，教师在过程中适当指导。