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第三章布朗运动2.

第三章布朗运动2.

令 n s n Fn s s ,
则
E n s n EFn s s 0 D n s
n
2
Nn s D( ) s (1 s ) n
x, lim P n s x
的极限分
过程:4：几何布朗运动（指数布朗运动）
B =exp(Bt
ge t
, 2
)
t 0, R, >0
2
均值函数
mB ge (t )=E[exp(Bt , )]=exp{( +
2
2
2
)t}, t 0
相关函数
RB ge (s,t )=e
(t +s ) 2 2 s 2
mab (t )=a+(b-a)t t [0,1]
C ab (s,t )=E[(Bsab -mab (s))(Btab -mab (t)) = min{s,t}-st t [0,1]
补充 ：布朗桥在统计中的应用
布朗桥在研究经验分布函数中起着非常重要的 作用。设X1,X2, …Xn, …独立同分布，Xn~U(0,1) ， 对0<s<1,记
Nn s I Xi s
i 1 n
Nn(s)表示前n个X1,X2, …Xn 中取值不超过s的个数，
Fn s 1 Nn s n
称Fn(s)为经验分布函数。 显然Nn(s)~B(n,s)，由强大数定理有
P lim Fn s s 1
n


由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果， 1 P lim sup F s s 0 n n 0 s 1 即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
布朗运动的计算

布朗运动的计算


Btge =exp(Bt,2 ) t 0, R, 2 >0
均值函数
mBge
(t)=E[exp(Bt, 2
)]=exp{( +
2
2
)t},
t 0
相关函数
RBge
(s,t
)=e
(t
+s
)e2
2s
2
e2
(t
-s
)
,
s,t 0
股票价格服从几何布朗运动的证明 谢惠扬
语言优教资源PPT
10
m B
ge
对任意自然数 n 2, 不是一般性，取n个不同
的时间指标 0=t0 <t1< <tn <, 定义增量
=B -B , , 2 , 2
k
tk
tk -1
k =1,
,n
则 k ~N ((tk -tk -1), 2 (tk -tk -1))
(Bt1 , 2 , ,Btn , 2 )=(1, ,n ) Mnn
其中 (t)= t e2sds= 1 (e2t -1)
0
2
均值函数
mBou (t)=E[e-tW( (t)）]=0, t 0
相关函数
RBou (s,t)=min{ (s), (t)}e-(s+t), s,t 0
语言优教资源PPT
15
补充： 随机变量序列或随机过程 均方极限 均方连续 均方可导 均方可积
Fn
s
1 n
Nn
s
称Fn(s)为经验分布函数。
显然Nn(s)~B(n,s)，由语言强优教大资源数PP定T 理有
6
P
lim
n
Fn
s
布朗运动

布朗运动


分子热运动的激烈程度与
温度越高，分子运动越
温度 激烈
有关。
。
5.通过学习布朗运动以及对 布朗运动发现过程的了解， 你应向科学家学习什么优秀 的品质？
作业：
1.P179 （1）、（2） 2.课外活动：用显 微镜观察布朗运动
第二节
分子的热运动
布朗运动
布朗是英国的一位植物学家。1827年布朗 用显微镜观察植物的花粉微粒悬浮在静止水面 上的形态时，却惊奇地发现这些花粉微粒在不 停地作无规则运动。布朗经过反复观察后，写 下了这样的一段文字：“我确信这种运动不是 由于液体的流动所引起，也不是由于液体的逐 渐蒸发所引起，而是属于粒子本身的运动。” 为了进一步证实这种看法，布朗把观察的 对象扩大到一切物质的微小颗粒，结果发现，一切悬浮在液体中 的微小颗粒，都会作无休止的不规则运动。 布朗的发现一经公布，就引起了科学界的轰动，在以后的 几十年里，众多的物理学家经过大量的观测和研究，终于科学 的解释了布朗运动，揭示了自然界普遍存在的分子运动的奥秘， 使人类认识产生了飞跃。人们为了纪念这个发现，便把悬浮在 液体中的花粉的无规则运动命名为布朗运动。
C：布朗运动是液体分子无规则运动的反映； D：在室内看到的尘埃不停的运动是布朗运动；
B、C ） 3.对布朗运动的下列说法中正确的是：（ A：课本中图6-4的折线是颗粒的运动路径； B：颗粒越小，布朗运动越明显； C：温度升高，布朗运动加剧； D：布朗运动是微粒内部分子运动的宏观表现；
4.分子的热运动是指 分子的无规则运动 ，
运动状态难改变
布朗运动的激烈程度与什么因素有关？
布朗运动的激烈程度
与液体的温度有关
温度越高，布朗运动越激烈
我们把分子的无规 则运动叫做热运动
布朗运动

布朗运动

布朗运动定义悬浮微粒不停地做无规则运动的现象叫做布朗运动例如，在显微镜下观察悬浮在水中的藤黄粉、花粉微粒，或在无风情形观察空气中的烟粒、尘埃时都会看到这种运动。

温度越高，运动越激烈。

它是1827年植物学家R.布朗首先发现的。

作布朗运动的粒子非常微小，直径约1~10纳米，在周围液体或气体分子的碰撞下，产生一种涨落不定的净作用力，导致微粒的布朗运动。

如果布朗粒子相互碰撞的机会很少，可以看成是巨大分子组成的理想气体，则在重力场中达到热平衡后，其数密度按高度的分布应遵循玻耳兹曼分布。

J.B.佩兰的实验证实了这一点，并由此相当精确地测定了阿伏伽德罗常量及一系列与微粒有关的数据。

1905年A.爱因斯坦根据扩散方程建立了布朗运动的统计理论。

布朗运动的发现、实验研究和理论分析间接地证实了分子的无规则热运动，对于气体动理论的建立以及确认物质结构的原子性具有重要意义，并且推动统计物理学特别是涨落理论的发展。

由于布朗运动代表一种随机涨落现象，它的理论对于仪表测量精度限制的研究以及高倍放大电讯电路中背景噪声的研究等有广泛应用。

这是1826年英国植物学家布朗（1773-1858）用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现的。

后来把悬浮微粒的这种运动叫做布朗运动。

不只是花粉和小炭粒，对于液体中各种不同的悬浮微粒，都可以观察到布朗运动[1]。

那么，布朗运动是怎么产生的呢？在显微镜下看起来连成一片的液体，实际上是由许许多多分子组成的。

液体分子不停地做无规则的运动，不断地抓高年级微粒。

悬浮的微粒足够小时，受到的来自各个方向的液体分子的撞击作用是不平衡的。

在某一瞬间，微粒在另一个方向受到的撞击作用强，致使微粒又向其它方向运动。

这样，就引起了微粒的无规则的布朗运动。

1827年，苏格兰植物学家R·布朗发现水中的花粉及其它悬浮的微小颗粒不停地作不规则的曲线运动，称为布朗运动。

人们长期都不知道其中的原理。

50年后，J·德耳索提出这些微小颗粒是受到周围分子的不平衡的碰撞而导致的运动。

SP(Lecture6) 布朗运动

SP(Lecture6) 布朗运动


命题 5 对任意的 t ∈ [0, 1]， Sn (t ) − → S(t ) = S(0)eσB(t )− 2 σ t ,
d
1 2
其中 B(t ) ∼ N (0, t )，称 S(t ) 为对数正态分布。 证明: 只需证明 log Sn (t ) 依分布收敛于 log S(t )，而 1 log S(t ) = log S(0) + σB(t ) − σ2t , 2 1 σ 1 σ log Sn (t ) = logS(0) + (nt + Mnt ) log(1 + √ ) + (nt − Mnt ) log(1 − √ ). 2 n 2 n 由 Taylor 公式可得 1 log(1 + x) = x − x2 + O(x3 ), 2 因此我们有 σ σ σ2 log(1 + √ ) = √ − + O(n−3/2 ), n n 2n σ σ σ2 log(1 − √ ) = − √ − + O(n−3/2 ). n n 2n
2 BROWNIAN 运动的定义及性质
6-6
（2）任意的 m ≥ 1 以及 0 = t0 < t1 < . . . < tm ，随机向量 (B(t1 ), . . . , B(tm ))t 为联合正态 分布，其均值为 0，协方差阵为 t1 t1 . . . t1
+1 Skm−1 是相互独立的，称 Ski+1 − Ski = ∑ ji= ki +1 X j 为随机游动 {Sn } 的增量，容易知道
k
E (Ski+1 − Ski ) = Var(Ski+1 − Ski ) = E (
第三章 布朗运动

第三章 布朗运动

br
性质，从0到0的布朗桥是高斯过程 (留证)
定义从a到b的布朗桥：
Bta →b =a +(b-a )t +Btbr t ∈ [0,1]
a →b 1
a,b ∈ R,
性质： (1)
B
a →b
a →b 0
=a, B
=b
(2) 从a到b的布朗桥是高斯过程, 且
m
C
a →b
(t )=a +(b-a )t
a →b s
k =1
差（或称全变差）。
二 、Brown运动样本轨道的不可微性 定理3.2.1 设
∆t >0, 对于固定的时刻t>0,定义增量
∆W (t )=W (t +∆t )-W (t ), 那么对于任意固定的 x >0,
和时刻 t >0, 有
∆W (t ) P ( lim+ >x)=1 ∆t → 0 ∆t
第三章 布朗运动
主讲人：李伟 西安电子科技大学数学与统计学院 2013年秋季
本章主要内容 •Brown运动的性质 •Brown运动轨道的不可微性 •Brown有关的随机过程 •Brown的仿真
Brown 运动的背景介绍 1827年英国植物学家发现花粉颗粒在静止液面中 做无规则运动 1905年由爱因斯坦基于物理定律导出这个 现象的数学描述. 1900年巴舍利耶在他的博士论文中推测到布 朗运动的一些结果 1918年Wiener在的博士论文以及后来的文章中给出 该理论简明的数学公式
2 { W ( t ), t ≥ 0} 是参数为 σ 的Wiener过程. 定义 设
如果存在实随机过程以 σ 2δ ( s − t ) 为其相关函数， 则称该过程为Wiener 过程 {W (t ), t ≥ 0} 的导数过 程．记为 {W ′(t ), t ≥ 0}. 从而
布朗运动的计算详细版.ppt

布朗运动的计算详细版.ppt


1 n
E
Nn
s
Nn
t
ntE
Fn
s
nsE
Fn
t
nst
1 E[E n
Nn
s
Nn
t
Nn
t
]
nst
1 n
E[Nn
t E
Nn s Nn t ] nst
1 n
E[ N n
t
s t
Nn
t
]
nst
1 n
s t
nt n(n 1)t 2
nst
s 1 t
优选
8
所以当n→∞时，
n(s),0 s 1
显然Nn(s)~B(n,s)，由强优大选 数定理有
6
P
lim
n
Fn
s
s
1
由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果，
P
lim
n
sup
0s1
Fn s s
0 1
即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
令n s n Fn s s, 则
E n s n EFn s s 0
Dn s
n
2
D(
的极限过程即为布朗桥过程。
一般的，设X1,X2, …Xn, …独立同分布，F(x) 为分布函数，则随机变量F(Xi)~U(0,1)。记
n
Nn s IF Xi s i 1
类似可讨论 n sup Fn X F X 的极限分
布。
x
优选
9
过程:4：几何布朗运动（指数布朗运动）
Btge =exp(Bt,2 ) t 0, R, 2 >0
)=t
R, >0
相关函数
第三章 布朗运动

第三章 布朗运动

∆tk = tk − tk −1 如果
n n →∞ k =1
lim π n = 0
n →∞
则
2
lim E[ ∑ (∆Wk ) 2 − t ] = 0
2 { ( ∆ W ) : n ∈ N } 均方收 k 定理说明：随机变量序列 ∑ k =1 敛到常数t n
证明 随机变量∆W1 , ∆W2 ,L , ∆Wn 是相互独立的，且
t ∈ [0,1]
a →b t
(s,t )=E[(B
-m
a →b
(s ))(B
-m
a →b
(t))
= min{s,t}-st
t ∈ [0,1]
过程:4：几何布朗运动
B =exp(Bt
均值函数
ge t
µ ,σ 2
)
t ≥ 0, µ ∈ R, σ >0
2
mB ge (t )=E[exp(Bt
相关函数
µ ,σ
=p(| Wt |≤ x ) = p ( − x ≤ W ≤ x ) = ∫ ϕ t ( y )dy
−x x
1 其中ϕ t ( y ) = e 2π t
y2 − 2t
过程6：奥恩斯坦-乌伦贝克过程 （Ornstein-Uhlenbeck）
B =e
其中
t 0
ou t
-α t
W (γ (t )） t ≥ 0， α >0
µ ,σ 2
,L ,Btn
µ ,σ 2
)=(ξ1 ,L ,ξ n ) × M n×n
过程3：布朗桥
Btbr =W (t )-tW (1) t ∈ [0,1]
B br ={Btbr , t ∈ [0,1]} 为从0到0的布朗桥
第七章 布朗运动

第七章 布朗运动

LOGO
第六章 布朗过程
布朗运动，有时称为维纳过程，是应用概率论中最有用 的随机过程之一，以发现它的英国植物学家罗伯特.布朗 命名，是悬浮微粒不停地做无规则运动的现象。首次解 释是爱因斯坦于1905年给出，他证明，假设浸没的粒子 连续不断受到周围介质的分子的冲击，布朗运动即可解 释。1918年，维纳给出了布朗运动的简介定义。 自它被发现以来以来，有效的应用于一些领域，如拟合 优度的统计检验，分析股票市场的价格水平及量子力学。 迄今，普遍的观点仍认为，股票市场是随机波动的，随 机波动是股票市场最根本的特性，是股票市场的常态。
若X (t )为布朗运动，均值为0，方差为t，
f ( x1,, xn ) ft1 ( x1 ) ft2 t1 ( x2 x1 ) ftn tn1 ( xn xn1 )

LOGO
例2：设X (t )为布朗运动，均值为0，方差为t， 求X(t) B给定时，X(s)的条件分布，其中s t.
Y(t)可以有效地用方差参数为 2 的布朗运动建模。求： （1）如果在赛道的中点，内道竞赛者领先 胜的概率是多少？ （2）如果内道竞赛者在竞赛中领先 秒获胜，问他在竞赛

秒，问他取
中点领先概率是多少？

LOGO
解：（1）
P{Y (1) 0 | Y (1 / 2) } P{Y (1) Y (1 / 2) | Y (1 / 2) } P{Y (1) Y (1 / 2) } P{Y (1 / 2) } Y (1 / 2) P{ 2} ( 2 ) 0.9213 / 2
证明：由于{Z (t ), t 0}显然是高斯过程，需要验证的只是 E(Z(t) 0及s t时，Cov(Z(s),Z(t)) s(1 t).
标准布朗运动

标准布朗运动

标准布朗运动布朗运动是指微观粒子在液体或气体中因受到分子碰撞而呈现出的无规则运动。

在标准布朗运动中，微粒的位移随时间的增加呈现出均方根位移与时间成正比的关系，即随机游走的性质。

这一现象最早由英国植物学家罗伯特·布朗在1827年观察到，随后由爱因斯坦在1905年用统计力学的方法进行了解释，成为了证明原子存在的重要实验证据之一。

在标准布朗运动中，微粒在液体或气体中受到来自周围分子的不断撞击，这些碰撞力的方向和大小是随机的，因此微粒的运动轨迹也是无规则的。

根据统计力学的理论，可以得出微粒的均方根位移与时间的关系为：⟨x^2⟨ = 2Dt。

其中⟨x^2⟨表示微粒的均方根位移，D为扩散系数，t为时间。

这个关系式表明，微粒的位移随时间的增加呈现出线性增长的趋势，这也是布朗运动的一个重要特征。

布朗运动的研究不仅对于理解微观粒子在流体中的运动行为具有重要意义，还在许多领域有着广泛的应用。

例如，在纳米技术领域，研究布朗运动可以帮助科学家们更好地理解纳米粒子在流体中的扩散行为，从而指导纳米材料的设计和制备。

此外，在生物学和医学领域，布朗运动也被用来研究细胞内的分子扩散和运动规律，为疾病诊断和药物传递等方面的研究提供了重要参考。

除此之外，布朗运动还被广泛应用于金融领域的随机漫步模型中。

随机漫步模型是描述金融资产价格变动的一种数学模型，它假设资产价格的变动是由一系列随机事件所引起的，而这些随机事件的性质与布朗运动的性质相似。

通过对布朗运动的研究，可以更好地理解金融市场中资产价格的波动规律，为投资决策提供理论支持。

总之，布朗运动作为一种无规则的微观粒子运动现象，不仅具有重要的理论意义，还在纳米技术、生物学、医学和金融等领域有着广泛的应用价值。

通过对布朗运动的深入研究，我们可以更好地理解自然界中微观粒子的运动规律，为科学研究和实际应用提供重要的支持。

布朗运动的计算ppt课件

布朗运动的计算ppt课件


均值函数
mBge
(t)=E[exp(Bt, 2
)]=exp{( +
2
2
)t},
t 0
相关函数
RBge
(s,t
)=e
(tΒιβλιοθήκη +s)e22
s
2
e2
(t
-s
)
,
s,t 0
股票价格服从几何布朗运动的证明 谢惠扬
10
m B
ge
(t
)=E[exp(Bt
,
2
)]
= e + t+ x -
1
- x2
e 2t dx
2 t
显然Nn(s)~B(n,s)，由强大数定理有
6
P
lim
n
Fn
s
s
1
由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果，
P
lim
n
sup
0s1
Fn
s s
0 1
即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
令n s n Fn s s, 则
E n s n EFn s s 0
Dn s
n 2 D( Nn s) s(1 s)
, t 0
13
mBre (t)=E[ W(t) ]
+
=x -
1
- x2
e 2t dx
2 t
=
2t
- x2 +
( -e 2t )
2 t
0
= 2t , t 0
14
过程6：奥恩斯坦-乌伦贝克过程
Btou =e -t W ( (t)） t 0， >0
其中 (t)= t e2sds= 1 (e2t -1)

第三章布朗运动(维纳过程)-Xidian

随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
¾ 布朗运动{Wt,t≥0} 的轨道是连续的 事实上，利用布朗运动定义中 的（2）（3）两条 件，可以验证布朗运动满足随机过程的柯尔莫哥洛 夫（轨道）连续性判断准则。
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
布朗运动的仿真样本轨道
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
布朗运动定义 称实随机过程{Wt,t≥0}是参数为σ2的布朗运动,如果
(1) W0 = 0
(2) {Wt ,t ≥ 0} 是平稳的独立增量过程．
(3) ∀0 ≤ s < t,Wt −Ws ~ N (0,σ 2 (t − s))
σ2 =1时，称为标准布朗运动
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
2. ( µ,σ 2 ) −布朗运动
设µ ∈ R, σ > 0, 定义
Bµ ,σ 2 t
=
µt
+ σWt ,
t ≥0
则称随机过程Bµ,σ 2 ={Btµ,σ 2 ,t ≥ 0}为(µ,σ 2 )-布朗运动
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
例1 计算(µ,σ 2 )-布朗运动的均值函数和相关函数
¾ 布朗运动{W(t),t≥0} 的轨道是不可微的
事实上，有
P ( lim ∆t →0
∆Wt ∆t
> x) = 1
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
与布朗运动的相关的随机过程 设W= {Wt,t≥0}是标准布朗运动， 1. d-维标准布朗运动
如果W1,…,Wd,是d个相互独立的标准布朗运动， 则称(W1,…,Wd)是d-维标准布朗运动.

布朗运动的计算

和速度。
该方法适用于研究布朗运动的宏 观性质和统计规律，如均方位移、
扩散系数等。
扩散系数法需要确定扩散系数和 其他相关参数，这些参数的准确
性对计算结果的影响较大。
04 布朗运动的应用
在物理领域的应用
分子扩散
布朗运动是分子扩散的主要原因 之一，通过布朗运动，分子在液 体中不断进行无规则的随机运动， 从而实现物质传递和混合。
03 布朗运动的计算方法
直接模拟法
01
直接模拟法是一种基于物理原 理的布朗运动计算方法，通过 模拟布朗粒子的运动轨迹来计 算布朗运动的位移和速度。
02
该方法需要跟踪每个布朗粒子 的运动轨迹，因此计算量大， 计算时间长，但结果准确可靠 。
03
直接模拟法适用于研究布朗运 动的微观机制和特性，如布朗 粒子的扩散系数、碰撞频率等 。
热传导
布朗运动可以影响物质的热传导 性能，通过研究布朗运动对热传 导的影响，有助于理解物质的热 性质和设计更高效的热管理材料。
光学性质
布朗运动可以影响物质的光学性 质，如散射和吸收等，通过研究 布朗运动对光学性质的影响，有 助于理解物质的光学性质和应用。
在化学领域的应用
化学反应动力学
布朗运动可以影响化学反应的速 率和机理，通过研究布朗运动对 化学反应的影响，有助于理解化
学反应的动力学和机理。
催化剂设计
布朗运动可以影响催化剂的活性， 通过研究布朗运动对催化剂活性的 影响，有助于设计更高效的催化剂。
药物传递
布朗运动可以用于药物传递系统中， 通过控制药物的布朗运动，可以实 现药物的定向传递和释放。
在生物学领域的应用
细胞生物学
布朗运动是细胞内分子运动的主要方式之一，通过研究细 胞内分子的布朗运动，有助于理解细胞的功能和代谢机制。

布朗运动的均值和方差

布朗运动的均值和方差布朗运动是一种随机过程，它的均值和方差是随机变量的统计特征。

布朗运动的均值和方差可以通过数学公式计算得出。

首先，我们需要了解布朗运动的定义和性质。

布朗运动是一种连续时间的随机过程，其数学模型可以表示为：dB(t) = σdW(t)其中，B(t)是布朗运动在时间t时的取值，W(t)是标准布朗运动（也称为Wiener 过程），σ是常数，表示布朗运动的波动率。

标准布朗运动具有以下性质：1. W(0) = 02. W(t)的取值是连续的3. W(t)的增量W(t+Δt) - W(t)服从均值为0，方差为Δt的正态分布根据布朗运动的定义和性质，我们可以得出布朗运动的均值和方差。

1. 均值布朗运动的均值是随机变量B(t)的期望值，可以表示为：E[B(t)] = E[∫₀ᵗσdW(s)] = ∫₀ᵗ E[σdW(s)] = 0其中，E[σdW(s)] = 0是由于标准布朗运动的均值为0。

因此，布朗运动的均值为0。

2. 方差布朗运动的方差是随机变量B(t)的方差，可以表示为：Var[B(t)] = E[(B(t) - E[B(t)])²] = E[B(t)²]根据布朗运动的定义，我们可以将B(t)表示为：B(t) = ∫₀ᵗσdW(s)因此，B(t)²可以表示为：B(t)²= (∫₀ᵗσdW(s))²= ∫₀ᵗ∫₀ᵗσdW(u)σdW(v)根据标准布朗运动的性质，W(u)和W(v)的协方差为min(u,v)，因此：E[B(t)²] = E[∫₀ᵗ∫₀ᵗσdW(u)σdW(v)] = ∫₀ᵗ∫₀ᵗE[σdW(u)σdW(v)] = ∫₀ᵗ∫₀ᵗmin(u,v)σ²du dv通过计算可以得出：E[B(t)²] = σ²t³/3因此，布朗运动的方差为σ²t³/3。

综上所述，布朗运动的均值为0，方差为σ²t³/3。

第七章 布朗运动.

Y(t)可以有效地用方差参数为 2 的布朗运动建模。求： （1）如果在赛道的中点，内道竞赛者领先 胜的概率是多少？ （2）如果内道竞赛者在竞赛中领先 秒获胜，问他在竞赛

秒，问他取
中点领先概率是多少？

LOGO
解：（1）
P{Y (1) 0 | Y (1 / 2) } P{Y (1) Y (1 / 2) | Y (1 / 2) } P{Y (1) Y (1 / 2) } P{Y (1 / 2) } Y (1 / 2) P{ 2} ( 2 ) 0.9213 / 2
2
（2）{X (t ),t 0}有独立增量（因为随机 游动在不重叠时间内变 化独立） （3）
{X (t ), t 0}有平稳增量（因为随机游动任一时间区间内变化分布只依赖于区间长度）

LOGO
ห้องสมุดไป่ตู้

LOGO
LOGO
因此，P{Y (1/ 2) 0 | Y (1) } P{N ( / 2, 2 / 4) 0} (1) 0.8413
显然，条件分布是正态分布，均值和方差为
E[ X (s) | X (t ) B] Bs / t Var ( X (s) | X (t ) B) s(t s) / t

LOGO
例3：在有两人比赛的自行车赛中，以Y(t)记当100t％的竞
赛完成时，从内道出发的竞赛者领先的时间秒数，且假设
E( X i ) 0,Var( X i ) 1
若令Δx Δt ,可得
t E ( X (t )) 0, Var ( X (t )) (x) [ ] t
2
E(X(t)) 0, Var(X(t)) 2t

布朗运动数学

布朗运动数学
布朗运动数学是19世纪末和20世纪初期理论物理学家和数学家研究
和发明的一个与物体运动有关的独立学科。

在布朗运动（或布朗移动）的过程中，物体在运动的直线上如椭圆的弯曲轨迹上按照确定的规律
移动，其轨迹的一个特点是，物体在其行进路线上的最大和最小到达点，也就是所谓的极点，距离初始点的距离是相等的，可以运用计算
机进行研究。

布朗运动数学被用来描述物体在外力驱使下绕着固定轴线旋转运
动的情况，如行星在引力场中运动，可以用布朗运动模型来近似描述
它们的运动。

在计算机模拟中，布朗运动常被应用来表示像游玩的棋
子运动，旋转的车轮，心脏的搏动等等。

布朗运动的数学公式是由英国数学家兼物理学家霍布森和他的学
生理查德来美发明的。

他们发现，如果一个物体以一定的角速度在外
力驱使下绕某一轴旋转，将会在重力场中守恒它的能量。

在布朗运动
的公式中，用到的数学方法包括诸如微积分、级数理论、动力学以及
随机运动等等。

布朗运动数学对物体运动的研究有着重要的意义，其实质和应用
大大提高了物理特性的理解，为解决许多实际问题提供了理论和计算
的方法。

它的研究应用还在学术或工程等方面得到了广泛的应用，包
括空间技术、航天工程、太空航行等等。

布朗运动 PPT课件 课件 人教课标版


23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。
•
24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。
•
25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。
•
26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。
•
27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。
•
28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。
•
29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。
•
30、经验是由痛苦中粹取出来的。
•
31、绳锯木断，水滴石穿。
•
32、肯承认错误则错已改了一半。
•
33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。
•
34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。
•
35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。
•
36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。
•
37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。
•
61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。
•
62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。
•
63、彩虹风雨后，成功细节中。
•
64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。
•
65、只要有信心，就能在信念中行走。
•
66、每天告诉自己一次，我真的很不错。
布朗运动
在初中我们已经学过，不同的物质 相互接触时，可以彼此进入到对方中 去，这种现象就是扩散
1827年英国植物学家布朗用显微镜 观察水中悬浮的花粉，发现这些花粉 颗粒不停地做无规则的运动。
显微镜物镜 盖玻璃
载物玻璃
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s,t
?
0
过程5：反射布朗运动
Btre = W(t) t ? 0
均值函数
mBre (t)=E[ W(t) ]=
2t , ? t ? 0
?
mBre (t)=E[ W(t) ]
=e Ee ? (s+t ) ? (W (s)+W (t))
=e Ee ? (s +t ) ? [W (s )+(W (t )-W (s))+W (s)]
=e Ee E ? (s +t ) 2? W (s ) ? [W (t )-W (s )]
?2
=e?
e (t +s) 2?
e2s
2
(t -s )
,?
I?F ?Xi ?? s?
i ?1
类似可讨论 n sup Fn ?X ?? F ?X ? 的极限分
布。
x
过程:4：几何布朗运动（指数布朗运动）
Btge =exp(Bt? ,? 2 )
t ? 0, ? ? R, ? 2 >0
均值函数
mBge
(t )=E[exp( Bt?
,?
2
)]=exp{(?
+
?2
P
???
lim
n??
sup
0? s?1
Fn
?s ??
s
?
0 ??? ?
1
即Fn(s)以概率1一致地收敛于 s.
令? n ?s?? n ?Fn ?s?? s?, 则
E ?? n ?s??? n ?EFn ?s?? s?? 0
? ? D ?? n ?s???
n
2
D(
Nn
?s?
)
?
s(1?
s)
n
? ? ? ?? x,
C a? b (s,t)=E[(Bsa ? b -ma? b (s))(Bta? b -ma? b (t))
= min{s,t}-st
t ? [0,1]
补充 ：布朗桥在统计中的应用
布朗桥在研究经验分布函数中起着非常重要的 作用。设X1,X2, …Xn, …独立同分布， Xn~U(0,1) ， 对0<s<1, 记
?
1 n
E ?Nn
?s ?Nn
?t ???
ntE ?Fn
?s???
nsE ?Fn
?t ???
nst
? ? ? ? ?
1 E[E n
Nn ?s?Nn ?t ?Nn ?t ?] ? nst ?
1 n
E[Nn
?t
?E
Nn ?s?Nn ?t ?] ? nst
? ? ?
1 n
E[Nn
?t ?s
t
Nn
?t ?] ?
2
)t},
?t?0
相关函数
?2
RBge
(s,t)=e? (t +s)e2?
2se
2
(t -s )
,
? s,t ? 0
股票价格服从几何布朗运动的证明 谢惠扬
mBge (t )=E[exp(Bt? ,? 2 )]
?= e +? ?t +? x -?
1
x2 -
e 2t dx
2? t
? =e? t +? -?
n
? ? ? Nn s ? I?Xi ? s? i ?1
Nn(s)表示前n个X1,X2, …Xn 中取值不超过 s的个数，
Fn
?s ??
1 n
Nn
?s?
称Fn(s)为经验分布函数。
显然Nn(s)~B(n,s) ，由强大数定理有
? ? P
lim
n??
Fn
?s ??
s
?1
由格利汶科 -康泰利定理可以得到更强的结果，
过程3：布朗桥
Btbr =W(t)-tW(1) t ? [0,1]
则称 Bbr ={Btbr , t ? [0,1]} 为从0到0的布朗桥 均值函数 mBbr (t)=E[W(t)-tW(1)]=0, ? t ? [0,1] 相关函数 RBbr (s,t)=min{s,t}-st, ? s,t ? [0,1]
lim P
n??
? n ?s?? x
?
1
e du x
? u2 2s (1? s )
2? s ?1? s? ??
所以 ?? n ?s?,0 ? s ? 1? 的极限过程是一正态过程。 可以证明 ?? n ?s?,? n ?t ?? 的联合分布趋于二维正
态分布。
?0? s?t?1
cov?? n ?s?,? n ?t ??? E ?? n ?s?? n ?t??? nE ???Fn ?s?? s??Fn ?t ?? t ???
1
x2 -2 t? x
-
e 2t dx
2? t
? =e?t +? -?
1
(x-t? )2 (t? )2
-
e 2t e 2t dx
2? t
=exp{(? + ? 2 )t}, ? t ? 0
2
RBge (s,t)=Ee? s+? W(s)e?t +? W(t) =Ee? (s+t )+? (W (s)+W(t ))
§2. 与布朗运动有关的随机过程
过程1：d维布朗运动
若 W1(t),W 2 (t ),L ,W n (t) 是 d SBM，则称
W =(W1 (t),L ,W d (t))
是 d 维标准布朗运动 .
个相互独立的
过程2：(? ,? 2 ) 布朗运动
Bt? ,? 2 =? t+? W(t), ? t ? 0
均值函数
m B?
,?
2
(t)=?
t
? ? R, ? >0
相关函数 RB? ,? 2 (s,t)=? 2st+? 2 min (s,t)
性质 (? ,? 2 ) 布朗运动是一个高斯过程
带漂移的布朗运动的民用航空发动机实时性能可 靠性预测，航空动力学报 2009，Vol.1,No.12. 任淑红
证明 (? ,? 2 ) 布朗运动是一个高斯过程
对任意自然数 n ? 2, 不是一般性，取 n个不同
的时间指标 0=t0 <t1<L <tn <? , 定义增量
? =B -B , ? ,? 2 ? ,? 2
k
tk
tk -1
k=1,L ,n
则
?k ~N (? (tk -tk-1),? 2 (tk -tk-1))
(Bt?1 ,? 2 ,L ,Bt?n ,? 2 )=(?1,L ,?n ) ? M n?n
nst
?
1 n
s t
nt ? n(n ? 1)t2
? nst
? s?1? t ?
所以当 n→∞时，
?? n (s),0 ? s ? 源自?的极限过程即为布朗桥过程。
一般的，设 X1,X2, …Xn, …独立同分布， F(x) 为分布函数，则随机变量 F(Xi)~U(0,1)。记
n
? ? ? Nn s ?
性质，从 0到0的布朗桥是高斯过程
例 设常数 a,b ? R, 定义从a到b的布朗桥：
Bta? b =a +(b-a )t +Btbr
t ? [0,1]
证明 ： (1) B0a ? b =a , B1a ? b =b
(2) 从a到b的布朗桥是高斯过程 ,且
ma? b (t)=a +(b-a )t t ? [0,1]