布朗运动的计算
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布朗运动及其应用
随机过程在金融领域的作用14王颖浅谈布朗运动在金融领域的应用悬浮微粒永不停息地做无规则运动的现象叫做布朗运动例如，在显微镜下观察悬浮在水中的藤黄粉、花粉微粒，或在无风情形观察空气中的烟粒、尘埃时都会看到这种运动。
温度越高，运动越激烈。
它是1827年植物学家R.布朗首先发现的。
作布朗运动的粒子非常微小，直径约1~10微米，在周围液体或气体分子的碰撞下，产生一种涨落不定的净作用力，导致微粒的布朗运动。
如果布朗粒子相互碰撞的机会很少，可以看成是巨大分子组成的理想气体，则在重力场中达到热平衡后，其数密度按高度的分布应遵循玻耳兹曼分布。
.佩兰的实验证实了这一点，并由此相当精确地测定了阿伏伽德罗常量及一系列与微粒有关的数据。
1905年A.爱因斯坦根据扩散方程建立了布朗运动的统计理论。
布朗运动的发现、实验研究和理论分析间接地证实了分子的无规则热运动，对于气体动理论的建立以及确认物质结构的原子性具有重要意义，并且推动统计物理学特别是涨落理论的发展。
由于布朗运动代表一种随机涨落现象，它的理论对于仪表测量精度限制的研究以及高倍放大电讯电路中背景噪声的研究等有广泛应用。
这是1826年英国植物学家布朗（1773-1858）用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现的。
后来把悬浮微粒的这种运动叫做布朗运动。
不只是花粉和小炭粒，对于液体中各种不同的悬浮微粒，都可以观察到布朗运动。
布朗的发现是一个新奇的现象，它的原因是什么人们是迷惑不解的。
在布朗之后，这一问题一再被提出，为此有许多学者进行过长期的研究。
一些早期的研究者简单地把它归结为热或电等外界因素引起的。
最早隐约指向合理解释的是维纳(1826——1896)，1863年他提出布朗运动起源于分子的振动，他还公布了首次对微粒速度与粒度关系的观察结果。
不过他的分子模型还不是现代的模型，他看到的实际上是微粒的位移，并不是振动。
到了70——80年代，一些学者明确地把布朗运动归结为液体分子撞击微粒的结果，这些学者有卡蓬内尔、德尔索和梯瑞昂，还有耐格里。
胶体化学(物化重难点)
电势的值小于热力学电势且受外加电解质的影响很大；决定胶粒电泳速度的物理量是
电势，而不是热力学电势；向溶胶中加入电解质，可改变 电势，但对热力学电势无影响；
电势等于零的状态称为等电态，在等电态，扩散层厚度为零，胶粒不带电，在电场作用
下，无电泳现象。 10.2.7 胶团结构 溶胶的胶团结构分为胶核、 胶粒及胶团三个层次。 以AgCl溶胶为例， 当用KCl与AgNO 3 制备AgCl溶胶时，胶粒和胶团的组成、结构与KCl和AgNO 3 相对用量有关，若AgNO 3 过量， 则胶粒与胶团结构如图 2，即 胶体粒子 滑动面
10.2.1 胶体定义：分散相粒子在某维上的线度为 1 nm～100nm 时的高分散系统称为胶 体。按分散相粒子线度分类：分子分散系统（真溶液，如乙醇水溶液） 、胶体分散系统（如 碘化银溶胶） 、粗分散系统（如牛奶） 。 10.2.2 按胶体系统稳定性分类 憎液溶胶： 分散相不能溶于分散介质中所形成的胶体系统。 对于由金属及难溶于水的卤 化物、硫化物或氢氧化物等在水中形成的胶体称憎液溶胶（简称为胶体） 。憎液溶胶的粒子 均是由数目众多的分子构成，存在着很大的相界面，因此憎液溶胶具有高分散性、多相性以 及热力学不稳定性的特点。如氢氧化铁溶胶、碘化银溶胶等。 形成憎液溶胶的必要条件是： （1）分散相的溶解度要小； （2）必须有稳定剂存在，否则 胶粒易聚结而聚沉。 憎液溶胶的制备：分散法包括研磨法、胶溶法（如 Fe(OH)3 溶胶的制备） 、超声分散法、电 弧法； 凝聚法包括化学凝聚法 （如水解反应制氢氧化铁溶胶） 和物理凝聚法 （如更换溶剂法、 蒸气骤冷法等） 。 憎液溶胶的净化：目的是除去对新制备的溶胶的稳定性不利的过多的电解质或其它杂 质。净化的方法主要有渗析法和超过滤法。 亲液溶胶： 半径落在胶体粒子范围内的大分子溶解在合适的溶剂中所形成的系统。 高分 子溶液为亲液溶胶。将溶剂蒸发，大分子化合物凝聚，再加入溶剂，又可形成溶胶。因此，
几何布朗运动模型和蒙特卡洛模拟的关系
几何布朗运动模型和蒙特卡洛模拟的关系
几何布朗运动是一种描述微粒在连续介质中随机运动的数学模型，而蒙特卡洛模拟则是一种基于随机抽样的计算方法。
在几何布朗运动模型中，粒子的位移是由随机扰动项和扩散项决定的。
而蒙特卡洛模拟可以通过随机抽样和统计分析来模拟复杂的物理过程。
几何布朗运动模型可以使用蒙特卡洛模拟方法来模拟，其中随机扰动项可以通过随机数生成器来生成随机数，并通过它来模拟分子碰撞和其他随机事件。
扩散项可以通过数值积分的方法进行模拟，将时间离散化成小的时间步长，然后根据粒子速度和位置的变化进行更新。
通过重复这个过程，并使用统计分析来获得粒子在空间中的分布和演化规律。
因此，蒙特卡洛模拟可以用于模拟几何布朗运动模型，提供了对粒子运动行为的预测和分析。
同时，蒙特卡洛模拟还可以用于模拟其他复杂的物理过程，如分子动力学模拟、物理场的传播等，为科学研究和工程应用提供重要的计算方法。
胶体与表面化学2-2
已知t1、t2时刻粒 子位置x1、x2，可求r
3、超离心机中粒子沉降
以1mol为基准，M(摩尔质量)； V（摩尔体积） 即：F1=F2 NA ×F1 ： NA×F1=NA×F2
4 3 N A r ( 0 ) 2 x V ( 0 ) 2 x 3
M 1 2 = ( r - r 0 )w x = M (1 - r 0 )w2 x r r
2、布朗运动示意图
3、布朗运动的研究
1903年发明了超显微镜，为研究布朗运动提供了物质 条件。用超显微镜可以观察溶胶粒子作不规则运动，从而
能够测出在一定时间内粒子的05年和1906年爱因斯坦（Einstein)和斯莫鲁霍夫 斯基（Smoluchowski)分别阐述了Brown运动的本质：
3、 Einstein第一扩散公式
Einstein第一扩散公式
RT 1 D= NA 6 r
介质粘度（η ）；半径（r） D
已知
扩散系数（D）；粘度（η ） 体系：T 由上式： 胶粒：r 介质：η
求
r 扩散快 扩散能力强、快 扩散速度快
4、公式的相关研究
测定扩散系数D的方法 孔片法 自由交界法 光子相关谱法(快、准)
NA ×F2 ：
由Einstein 第一扩散公式：
dx N A F2 N A 6 r dt RT 1 D N A 6 r
RT dx N A F2 D dt
3、超离心机中粒子沉降
即：
RT dx M (1 V 0 ) x D dt
2
积分：
M (1 V 0 )
2
t2
t1
RT dt D
x2
x1
负压吸力计算
负压吸力计算
负压吸力是指一种吸附现象，即在一定的负压条件下，气体分子被吸附在固体表面上。
在工程应用中，负压吸力广泛应用于气体处理、气体分离、多孔材料的制备等领域。
本文将介绍负压吸力的计算方法。
在负压吸力的计算中，最常用的方法是使用布朗运动模型和Langmuir方程。
布朗运动是指在气体中，小颗粒受到气体分子的碰撞和扰动而发生的无规则运动。
Langmuir方程则是描述吸附现象的经典方程，它将吸附现象的热力学特性和表面化学特性联系在一起。
在使用Langmuir方程计算负压吸力时，需要确定吸附平衡常数K和吸附表面积S。
K值可以通过实验测定得到，而S值则可以通过表面积测量仪或其他方法测得。
一旦得到了K和S值，就可以使用Langmuir方程计算出气体分子在固体表面上的吸附量。
除了Langmuir方程外，还有其他一些计算负压吸力的方法，如Temkin方程、Dubinin-Radushkevich方程等。
这些方程也可以用于描述吸附现象，并计算出吸附量。
总之，负压吸力的计算是一个复杂的过程，需要考虑到多种因素的影响。
通过合理选择模型和方程，并结合实验数据进行计算，才能得到准确可靠的结果。
- 1 -。
维纳过程
例 5 定义从a到b的布朗桥 ： B
ab tΒιβλιοθήκη a+ (b- a)t B , t [0,1]
br t
其 中 a和 b为 实 数 试 计 算 其 数 字 特 征 ， 并 验 证 它 也 是 正 态 过 程
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
多元特征函数
设n维随机变量X=(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数为 F(x1,x2,…,xn),则称
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
补例1 设 W={Wt,t≥0}是参数为σ2的布朗运动. 验证 W是一个正态过程.
证明 则由定义，对任意的n≥1,及任意的 0 t1 t2 tn
W
W
所以
t1
tk
,W
t2
W t1 ,
t k 1
,W
tn
W
2
t n 1
相互独立且
W
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
自相似性 即对任意常数a>0固定的t>0， 有 Wat a1/2Wt
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
时间逆转性 即对固定的T>0，定义: Bt =WT –WT-t 0≤t ≤ T 则B ={Bt 0≤t ≤ T}也是标准布朗运动. (称为W的时间逆转过程).
N ( 0， (t k t k 1 ))
（ W
t1
,W
t2
W t1 ,
,W
tn
W
t n 1
） 是n维正态变量.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
又由于
(W
t1
,W
t2
,
,W
布朗运动和扩散现象
布朗运动和扩散现象
引言
•描述布朗运动和扩散现象的意义和背景
•引出文章将探讨的主题
布朗运动的定义与特征
1.布朗运动的概念解释
2.布朗运动的基本特征
–随机性
–持续性
–不可逆性
布朗运动的理论解释
1.布朗运动与分子运动的关系
2.扩散过程与布朗运动的关联
–扩散的定义与机制
–扩散与布朗运动的对应关系
布朗运动的观察与实验
1.历史上对布朗运动的观察与测量方法
2.现代实验中对布朗运动的验证
–光学显微镜观察
–时间序列分析
–计算模拟方法
扩散现象的定义与意义
1.扩散现象的概念解释
2.扩散现象在不同领域中的应用
–化学反应中的扩散
–生物学中的扩散
–材料科学中的扩散
扩散现象的数学模型与解析解
1.菲克定律与扩散方程
2.解析解的求解方法
–分离变量法
–拉普拉斯变换法
–线性变换法
–核函数法
扩散现象的数值模拟与计算方法
1.数值求解的原理与方法
2.常用的数值模拟和计算技术
–有限差分法
–有限元法
–蒙特卡洛方法
–分子动力学模拟
结论
•总结布朗运动和扩散现象的重要性和应用前景•指出相关研究的局限性和发展方向
参考文献
•列出相关的参考文献条目（格式根据要求调整）。
摩擦力生热是怎么计算的？
摩擦力生热是怎么计算的？在学习高中物理的时候往往会遇到很多关于物理问题，上课觉着什幺都懂了，可等到做题目时又无从下手。
以至于对于一些意志薄弱、学习方法不对的同学就很难再坚持下来。
过早的对物理没了兴趣，伤害了到高中的学习信心。
收集整理下面的这几个问题，是一些同学们的学习疑问，小编做一个统一的回复，有同样问题的同学，可以仔细看一下。
【问：摩擦力生热是怎幺计算的？】答：我们一对互为作用力反作用力的摩擦力做的总功，用来量度该过程系统由于摩擦而减小的机械能，依据能的转化与守恒定律，这部分能量也就是系统增加的内能。
计算式fd=q（d为这两个物体间相对运动的路程）【问：布朗运动是液体分子运动吗？】答：悬浮在液体中的小微粒，在液体中的无规则运动形式，我们称之为布朗运动。
注意，布朗运动本身并非分子的运动，但布朗运动的动力源，是由液体分子对微粒的碰撞，所以，布朗运动反映了分子的无规则运动，是液体分子运动的外在表现。
随着温度的提升，布朗运动越明显。
【问：处于基态的氢原子怎样才能跃迁？】答：基态氢原子核外电子在向外跃迁的过程中需要吸收能量，吸收能量的常见方式有两种，一种是捕获外界的光子（光子的能量全部被原子吸收）；另一种外界的电子对原子进行碰撞，外界的电子的能量完全（或部分）转移到处于基态的氢原子，使其向更高的能态进行跃迁。
【问：处于基态的氢原子怎样才能跃迁？】答：处于基态氢原子，其核外电子需要吸收定量的能量才会跃迁到激发态，氢原子吸收能量进行跃迁的方式，最常见的有如下两种：一种是吸收外来的光子（其能量全部被吸收）；另一种外界的电子对原子进行碰撞，电子能量中一部分（或全部）迁移到基态的氢原子中。
【问：物理题中有哪些常用的数学知识？】答：耐心寻找规律、选取相应的数学方法是关键。
求解物理问题，。
布朗运动理论简介
我们计算 E[V (t)] 和 RV (t1 , t2) .
布朗运动理论简介
E[V (t)] = exp( −αt / 2) E[X(exp(αt))] = 0 t1 < t2 时
桑峰(SY0802206) ⎧0 t ≠ 0 ∞ ⎪ ; δ(t) = ⎨ δ(t)dt = 1 ⎩ ⎪∞ t = 0 ∫−∞ 可以发现,当 h→0 时,
{ X(t), t ≥ 0} 是参数为 σ 2 的布朗运动,则
b b ⎡ b ⎤ E ⎢ f(t)X ′(t)dt g(t)X ′(t)dt⎥ = σ 2 g(t)f (t)dt ∫a ∫a ⎣∫ a ⎦
任意布朗运动 X(t) 都可以令 B(t) = 为标准布朗运动.
4
布朗运动与平稳随机过程、白噪声的关系
由前讨论 , 布朗运动的 n 维分布函数不满足严格
X(t) 而转化 σ
平稳随机过程的定义,其 2 维分布函数也不满足广义 平稳随机过程的要求,故布朗运动不是广义平稳的,自 然也不是严格平稳的.但我们可以计算一下布朗运动 的自相关函数[2]. 设 { X(t), t ≥ 0} 是参数为 σ 的布朗运动, t1 < t2 , 则
中,并且令 ∆t → 0 ,得到
∂f (x, t) ∂2 f (x, t) =D ∂t ∂x 2
(2)
(6)
上式中 , D 为扩散系数 , D = 2 RT / Nf , R, N 均为常 数, f 是反映液体性质的常量, T 是温度. 可以验证式
(5) 是方程 (6) 的解 , 已经证明 , 若 X(t) 在 t = 0 连续 (依概率连续)的条件下式(6)的解是唯一的.
由布朗运动的性质(2),布朗运动是独立增量过程
P{ X(t) ≥ a} = P{ X(t) ≥ a | Ta ≤ t} P{ Ta ≤ t} + P{ X(t) ≥ a | Ta > t} P{ Ta > t}
布朗运动理论简介
E[V (t)] = exp( −αt / 2) E[X(exp(αt))] = 0 t1 < t2 时
桑峰(SY0802206) ⎧0 t ≠ 0 ∞ ⎪ ; δ(t) = ⎨ δ(t)dt = 1 ⎩ ⎪∞ t = 0 ∫−∞ 可以发现,当 h→0 时,
{ X(t), t ≥ 0} 是参数为 σ 2 的布朗运动,则
b b ⎡ b ⎤ E ⎢ f(t)X ′(t)dt g(t)X ′(t)dt⎥ = σ 2 g(t)f (t)dt ∫a ∫a ⎣∫ a ⎦
任意布朗运动 X(t) 都可以令 B(t) = 为标准布朗运动.
4
布朗运动与平稳随机过程、白噪声的关系
由前讨论 , 布朗运动的 n 维分布函数不满足严格
X(t) 而转化 σ
平稳随机过程的定义,其 2 维分布函数也不满足广义 平稳随机过程的要求,故布朗运动不是广义平稳的,自 然也不是严格平稳的.但我们可以计算一下布朗运动 的自相关函数[2]. 设 { X(t), t ≥ 0} 是参数为 σ 的布朗运动, t1 < t2 , 则
中,并且令 ∆t → 0 ,得到
∂f (x, t) ∂2 f (x, t) =D ∂t ∂x 2
(2)
(6)
上式中 , D 为扩散系数 , D = 2 RT / Nf , R, N 均为常 数, f 是反映液体性质的常量, T 是温度. 可以验证式
(5) 是方程 (6) 的解 , 已经证明 , 若 X(t) 在 t = 0 连续 (依概率连续)的条件下式(6)的解是唯一的.
由布朗运动的性质(2),布朗运动是独立增量过程
P{ X(t) ≥ a} = P{ X(t) ≥ a | Ta ≤ t} P{ Ta ≤ t} + P{ X(t) ≥ a | Ta > t} P{ Ta > t}
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Btge =exp(Bt,2 ) t 0, R, 2 >0
均值函数
mBge
(t)=E[exp(Bt, 2
)]=exp{( +
2
2
)t},
t 0
相关函数
RBge
(s,t
)=e
(t
+s
)e2
2s
2
e2
(t
-s
)
,
s,t 0
股票价格服从几何布朗运动的证明 谢惠扬
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10
m B
ge
对任意自然数 n 2, 不是一般性，取n个不同
的时间指标 0=t0 <t1< <tn <, 定义增量
=B -B , , 2 , 2
k
tk
tk -1
k =1,
,n
则 k ~N ((tk -tk -1), 2 (tk -tk -1))
(Bt1 , 2 , ,Btn , 2 )=(1, ,n ) Mnn
其中 (t)= t e2sds= 1 (e2t -1)
0
2
均值函数
mBou (t)=E[e-tW( (t)）]=0, t 0
相关函数
RBou (s,t)=min{ (s), (t)}e-(s+t), s,t 0
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15
补充： 随机变量序列或随机过程 均方极限 均方连续 均方可导 均方可积
Fn
s
1 n
Nn
s
称Fn(s)为经验分布函数。
显然Nn(s)~B(n,s)，由语言强优教大资源数PP定T 理有
6
P
lim
n
Fn
s
s
1
由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果，
P
lim
n
sup
0s1
Fn s s
0 1
即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
令n s n Fn s s, 则
E n s n EFn s s 0
性质，从0到0的布朗桥是高斯过程
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4
例 设常数 a,b R, 定义从a到b的布朗桥：
Bab t
=a+(b-a)t
+Btbr
t [0,1]
证明 ： (1)
B0ab =a,
B a b 1
=b
(2) 从a到b的布朗桥是高斯过程,且
mab (t)=a+(b-a)t t [0,1]
Cab (s,t)=E[(Bsab -mab (s))(Btab -mab (t))
= min{s,t}-st
t [0,1]
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5
补充 ：布朗桥在统计中的应用
布朗桥在研究经验分布函数中起着非常重要的 作用。设X1,X2, …Xn, …独立同分布，Xn~U(0,1) ， 对0<s<1,记
n
Nn s IXi s i 1
Nn(s)表示前n个X1,X2, …Xn 中取值不超过s的个数，
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3
过程3：布朗桥
Btbr =W (t)-tW (1) t [0,1]
则称 Bbr ={Btbr , t [0,1]} 为从0到0的布朗桥 均值函数 mBbr (t)=E[W (t)-tW (1)]=0, t [0,1] 相关函数 RBbr (s,t)=min{s,t}-st, s,t [0,1]
1 n
E
Nn
s
Nn
t
ntE
Fn
s
nsE
Fn
t
nst
1 E[E n
Nn
s
Nn
t
Nn
t
]
nst
1 n
E[Nn
t E
Nn s Nn t ] nst源自1 nE[ N n
t
s t
Nn
t
]
nst
1 n
s t
nt n(n 1)t 2
nst
s 1 t
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8
所以当n→∞时，
mBre (t)=E[ W (t) ]=
, t 0
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13
mBre (t)=E[ W(t) ]
+
=x -
1
- x2
e 2t dx
2 t
=
2t
- x2 +
( -e 2t )
2 t
0
= 2t , t 0
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14
过程6：奥恩斯坦-乌伦贝克过程
Btou =e -t W ( (t)） t 0， >0
n(s),0 s 1
的极限过程即为布朗桥过程。
一般的，设X1,X2, …Xn, …独立同分布，F(x) 为分布函数，则随机变量F(Xi)~U(0,1)。记
n
Nn s IF Xi s i 1
类似可讨论 n sup Fn X F X 的极限分
布。
x
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9
过程:4：几何布朗运动（指数布朗运动）
Dn s
n
2
D(
Nn
s
)
s(1
s)
n
x,
lim P
n
n
s
x
1
2 s 1 s
e du x
u2 2 s (1 s )
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7
所以 n s,0 s 1 的极限过程是一正态过程。 可以证明 n s,n t 的联合分布趋于二维正
态分布。
0 s t 1
covn s,n t E n sn t nE Fn s sFn t t
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16
1．均方极限的定义
定义 设 X , X n H , n 1, 2, 如果
=e Ee (s+t) [W (s)+(W (t )-W (s))+W (s)]
=e Ee E (s+t) 2W (s) [W (t)-W (s)]
2
=e(t+s)e2 2se 2
(t -s )
,s,t
0
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12
过程5：反射布朗运动
Btre = W (t) t 0
均值函数
2t
(t
)=E[exp(Bt
,
2
)]
= e + t+ x -
1
- x2
e 2t dx
2 t
=et + -
1
- x2 -2t x
e 2t dx
2 t
=et + -
1 -(x-t )2 (t )2
e e dx 2t
2t
2 t
=exp{(+ 2 )t}, t 0
2
语言优教资源PPT
11
RBge (s,t)=Ees+W (s)et+W (t) =Ee(s+t)+ (W (s)+W (t)) =e Ee (s+t) (W (s)+W (t))
§2. 与布朗运动有关的随机过程
过程1：d维布朗运动
若 W 1(t),W 2 (t), ,W n (t) 是 d SBM，则称
W=(W 1(t), ,W d (t))
是 d 维标准布朗运动.
个相互独立的
语言优教资源PPT
1
过程2：(, 2 ) 布朗运动
Bt, 2 =t+W (t), t 0
均值函数
m B
,
2
(t
)=t
R, >0
相关函数
R B
,
2
(s,t
)=
2
st
+
2
min
(s,t
)
性质 (, 2 ) 布朗运动是一个高斯过程
带漂移的布朗运动的民用航空发动机实时性能可
靠性预测，航空动力学报
2009，Vol.1,No.12.任语言淑优教红资源PPT
2
证明 (, 2 ) 布朗运动是一个高斯过程