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第五章--统计推断

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5第五章(二)统计推断概述2假设检验基本原理

5第五章(二)统计推断概述2假设检验基本原理

13:06:12
16
统计结论：
1 检验统计量绝对值 <临界值0.05，则相伴概 率 P>0.05，接受H0 ，差异不显著；
2 临界值0.05<检验统计量绝对值 <临界值0.01， 则相伴概率 0.01<P<0.05，否定H0 ，差异 显著； 3 检验统计量绝对值 >临界值0.01，则相伴概 率 P<0.01，否定H0 ，差异极显著；
（2）相伴概率P：是指在原假设成立时检验统计 量值及所有比它更极端的可能值出现的概率之 和(P---)
13:06:12 15
假设检验的基本步骤
统计结论：
－ 差异不显著：在＝5％水平下， 检验统计量的观察值落在接受域中， － 差异显著：在＝5％水平下，检 验统计量的观察值落在否定域中 － 差异极显著：在＝1％水平下， 检验统计量的观察值落在否定域中
Biostatistics and Experimental Design
畜牧、兽医专业
生物统计 附 试验设计
13:06:12
1
统计推断概述内容1小节
一 二 三 四 五 统计推断的概念 抽样分布的概念 统计量的概率分布-抽样分布 正态总体样本平均数的抽样分布 参数估计
13:06:12
2
统计推断概述内容2
13:06:12
18
举例说明
（2）计算检验统计量
Z=
x- m
8.7 - 9 = = - 3.162 2 s n 2.5/ 10
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19
（3）确定否定域：
若取 ＝5％，否定域为Z > 1.96 或 Z < 1.96,临界值U0.05=1.96 ，Z = -3.162 < -1.96，统 计量Z落入否定区，否定H0，相伴概率P<0.05 结论：该场猪的平均背膘厚与9mm差异显著

统计推断

统计推断
（2）选取显著水平 =0.05。 （3）检验计算： 1.58 0.158 X n 100
0。
u
x

X
7.65 7.25 2.532 0.158
0.05 1.96 (4) 推断：u分布中，当 =0.05时， 。实 得 u 1.96, P 0.05 ，故可在0.05显著水平 上否定H0，接受HA，认为新育苗方法的一月 龄体长与常规方法有显著差异。
x1 x 2 u sx1 x 2
例3.某杂交黑麦从播种到开花的天数的标 准差为6.9天，现在相同试验条件下采取 两种方法取样调查，A法调查400株，得 出从播种到开花的平均天数为69.5天；B 法调查200株，得出从播种到开花的平 均天数为70.3天，试比较两种调查方法 所得黑麦从播种到开花的天数有无显著 差别。
1 2
x1 x 2
2 12 2 2
n1
n2
1 1 x1 x2 n1 n2 n1 n2 n
x x
1 2
2 12 2
n
2 n
2 12 2 2 , n1 n2 n
x x
1 2
x x u值的计算公式： 假设H0: 1 2 ， u x1 x 2 x x
例1.某鱼场按常规方法所育鲢鱼苗一月龄 的平均体长为7.25cm,标准差为1.58cm， 为提高鱼苗质量，现采用一新方法进行 育苗，一月龄时随机抽取100尾进行测 量，测得其平均体长为7.65cm，试问新 育苗方法与常规方法有误显著差异？
这里 1.58 ， 2 为已知，故采用u检验，又新育苗 方法的鱼苗体长可能高于常规方法，也可能低 于常规方法，故进行双侧检验（双尾检验）， 检验步骤： 0 7.25cm ，即新育苗方法与 （1）假设H0： 常规方法所育鱼苗一月龄体长相同。对HA：

统计学 第五章

统计学 第五章

第五章 抽样推断抽样推断定义：是一种非全面调查，是按随机原则，从总体中抽取一部分单位进行调查，并以其结果对总体某一数量特征作出估计和推断的一种统计方法。

（一） 总体和样本在抽样推断中面临两个不同的总体，即全及总体和样本总体，全及总体也叫母体，简称总体。

全及总体的单位数用N 表示全及总体⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧属性总体有限总体无限总体变量总体样本总体又叫抽样总体、子样，简称样本，样本总体的单位数称样本容量，用n 表示。

（二） 参数和统计量参数亦称全及指标，由于全及总体是唯一确定的，故根据全及总体计算的参数也是个定值 对于属性总体，可以有如下参数，全及总体成数p ，全及总体标准差)(2p p σσ方差 属性总体标准差：()p p p-=1σ统计量即样本指标设样本总体有n 个变量：n x x x x ,...,,,321 则：样本平均数 nx x ∑=（三） 样本容量与样本个数样本容量是指一个样本所包含的单位数，用n 来表示，一般地，样本单位数达到或超过30个的样本称为大样本，而在30个以下称为小样本。

社会经济统计的抽样推断多属于大样本，而科学实验的抽样观察则多取小样本。

样本个数又称样本可能数目，是指从全及总体中可能抽取的样本的个数。

一个总体可能抽取多少样本，与样本容量大小有关，也与抽样的方法有关。

在样本容量确定之后，样本的可能数目便完全取决于抽样方法。

抽样误差是抽样调查自身所固有的，不可避免的误差，虽然不能消除这种误差，但有办法进行计算，并能对其加以控制。

抽样平均误差越大，表示样本的代表性越低；抽样平均误差越小，表示样本的代表性越高。

在重复简单随机抽样时，样本平均数的抽样分布有数学期望值E(a)=a（a代表全及总体平均数，即X）X⇔。

样本平均数的平均数=总体平均数抽样平均误差=抽样标准误差=样本平均数的标准差（它反映抽样平均数与总体平均数的平均误差程度）例题：某班组4个工人的月工资（N=4）分别是：1400元，1500元，1600元，1700元，现用重复简单随机抽样的方法从全及总体中抽选出容量大小为2的样本（n=2），求抽样平均误差？解：全及总体平均工资)(15501700160015001400元=+++=X全及总体标准差()4500002=-=∑NX Xσ抽样平均误差x μ=nnσσ=2=)(0569.792*450000元=例题：某班组4个工人的月工资（N=4）分别是：1400元，1500元，1600元，1700元，现用不重复简单随机抽样的方法从全部总体中抽选容量大小为2的样本（n=2），求抽样平均误差？解：全及总体平均工资)(155041700160015001400元=+++==∑NXX全及总体标准差()4500002=-=∑NX Xσx μ=⎪⎭⎫ ⎝⎛--∙12N n N n σ=)(55.6414244*250000元=--∙例题：某电子元件厂，生产某型号晶体管，按正常生产试验，产品中属于一级品的占70%，现在从10000件晶体管中，抽取100件进行抽查检验，求一级品率的抽样平均误差？ 解：已知：P=0.7 ， P(1-P)=0.21在重复抽样的情况下，抽样平均误差为：()np p p -=1μ=%58.410021.0=在不重复抽样的情况下，抽样平均误差为：()⎪⎭⎫⎝⎛-∙-=N n n p p p 11μ=%56.410000*********.0=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙参数估计()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧→-==+≤≤是概率度是置信度，极限误差）样本指标总体指标极限误差—（样本指标区间估计：求不高的情况准确程度与可靠程度要点估计：适用于推断的t t F t F P α1例题：已知某车间某产品的合格率在某个置信度下的估计区间是（85%，95%），还已知样本容量为100，求置信度？解：显然p p ∆-=85%，p p ∆+=95%，即p=90%，p ∆=5%p ∆=μ⋅t μpt ∆=⇒=()()67.1100%901%90%51=-∙=-∆np p p ()t F =0.9052即置信度为90.51% ★求置信度，只需要求出t影响抽样数目的因素⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∆样本单位不重置抽样可以少抽些单位，抽样需要多抽一些样本、在同等条件下，重置单位，则反之值越大，则多抽些样本、概率度则反之单位，的值大可以少抽些样本）、允许误差（极限误差越多，则反之值越大，必要抽样数目、总体标准差4321t x σ例题：某城市组织职工家庭生活抽样调查，职工家庭平均每户每月收入的标准差为11.50元，要求把握程度为95.45%，允许误差为1元，问需抽选多少户？ 解：()t F =0.95452=⇒t ， 元元，150.11=∆=x σxt n 222∆=σ=()户529150.1142=∙。

第05章 统计推断

第05章 统计推断

单侧检验 α=0.05或0.01 统计推断 第五章
§5.1 单个样本的统计假设检验
5.1.2 单个样本的显著性检验程序
统计假设检验的三步曲： 1、建立零假设(null hypothesis)——假设差异不显著或无关； 2、计算统计量（u-检验，t-检验，x2-检验，F-检验）；
3、判断假设。 对于带备择假设的零假设：需根据备择假设的拒
F
s , df n 1, df n 1 s
下侧临界点F1-α的 值，按右式计算
解释： F< F0.05，或P>0.05，接受H0； F> F0.05，或P<0.05，拒 Fdf1,df2,α，df 1附表7中没有给出 df 2为分母自由度 为分子自由度， 1 绝H0， ② F < F 1-α
s ③HA：μ≠μ0，包括μ＞μ0和μ＜μ0 此时相应各备择假设的H0的拒绝域分别为：
①t > tα解释： t<t0.05，接受H0； t>t0.05，拒绝H0 ②t < -tα ③|t| > tα/2，或表示为|t| > tα(两侧)
t n 1
n
第五章 统计推断
§5.1 单个样本的统计假设检验
379.2 377.2 u 1.82 3. 3 n 9 由于u 1.82 u0.05 1.645 ，所以拒绝H0假设、接受HA。
即栽培条件的改善显著地提高了豌豆籽粒重量。
x 0
第五章 统计推断
§5.1 单个样本的统计假设检验
5.1.4 σ未知时平均数的显著性检验——t 检验（t-test） 检验的程序： (1)零假设H0：μ=μ0 备择假设：①HA：μ＞μ0，若已知μ不可能小于μ0 (2)计算统计量： x 0 (3)判断统计量： ②HA：μ＜μ0，若已知μ不可能大于μ0

《统计学原理》第5章：抽样推断

《统计学原理》第5章：抽样推断

σ
n )
抽样推断的基本原理
抽样推断的优良标准
设θ 为待估计的总体参数， θ为样本统计量，则 θ的优良标 准为： １若 E(θ ) =θ ，则称 θ为 θ 的无偏估计量（无偏性）
更有效的估计量（有效性） ２若σθ1 < σθ2，则称θ1为比θ2
３若 越大σθ 越小，则称 θ 为θ 的一致估计量（一 致性）
即中选成分相同但中选顺序不同的视为同一样本
抽样推断的一般问题
抽样组织方式
简单随机抽样 类型抽样 整群抽样 等距抽样 多阶段抽样 多重抽样
抽样推断的一般问题
样本可能数目
按照一定的抽样方法和组织方式,从总体N中抽取n个 单位构成样本,一共可以抽出的不同样本的数量,一般 用M表示. 考虑顺序的不重复抽样 考虑顺序的重复抽样 不考虑顺序的不重复抽样 不考虑顺序的重复抽样
抽样推断的一般问题
全及总体指标：参数 （未知量） 统计推断 样本总体指标：统计量 （已知量）
抽样推断的一般问题
抽样推断的特点 按随机原则抽取样本 运用概率论的理论和方法，用样本指标来推断 总体指标。 推断的误差可以事先计算和控制。
抽样推断的一般问题
抽样推断的应用 无法或 很难进行全面调查而又需要了解 其全面情况时 某些可以采用全面调查的社会经济现象， 也可采用抽样推断。 可用于生产过程的质量控制 进行假设检验
抽样推断的基本原理
抽样推断的优良标准——有效性 中位数的抽样分布
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 45 50 55 60 65 70 75
平均数的抽样 分布
E(x) =
E ( me ) =
e
σx <σm
抽样推断的基本原理

计数资料的统计描述与统计推断

计数资料的统计描述与统计推断

2 nnARn2C 1
(一) 多个样本率的比较：
表3.8 三种药物治疗高血压的疗效
处理
有效
无效
合计
有效率%
复方哌唑嗪 35
5
40
87.50
复方降压片 20
10
30
66.67
安慰剂
7
25
32
21.88
合计
62
40
102
60.78
38
H0:三种处理方法的有效率相等, 即π1= π2= π3 H1:三种处理方法的有效率不等或不全相等
某类死因构某 成同 年 比年 某死 类亡 死总 因人 死 1数 亡 0% 0人数
8
（二）疾病统计指标
某 病 发病 一率 定 该时 期期 间内 新可 病 发能 的 生 例发 平 的 数生 均 某 某 人 K病
某病患病率 某该时时点点某受病检现人患口病 K数例数
某
病
病死同 因率期 某某 病
死亡人数 病病 10人 % 0 数
29
31
（三）四格表χ2检验的专用公式
2
(ad b)c2n
(ab)c(d)a (c)b (d)
两组人群尿棕色素阳性率比较
组别
阳性数
阴性数
合计
铅中毒病人 对照组
29（a) 9(c)
7(b) 28(d)
36(a+b) 37(c+d)
合计
38(a+c)
35(b+d)
73(n)
阳性率（%） 80.56 24.32 52.05
712 142 185
61
1100
4
0.6
9
6.3

统计学第5章抽样推断

统计学第5章抽样推断
就 是 由 样 本 指 标 直 接 代 替 全 及 指 标 ， 不 考 虑
任 何 抽 样 误 差 因 素 。 即 用 x直 接 代 表 X ， 用 p 直 接 代 表 P。
例 在 全 部 产 品 中 ， 抽 取 100件 进 行 仔 细 检 查 ， 得 到 平 均 重 量 x1002克 ， 合 格 率 p98% ， 我 们 直 接 推 断 全 部 产 品 的 平 均 重 量 X 1002克 ， 合 格 率 P 98% 。
(1)
2
n
(1 )
12 2 (1
100
) 1.19 (千克 )
x
n
N
100 10000
(2) 若以概率 95.45%(t 2)保证，该农场 10000 亩小麦的平均
亩产量的可能范围为：
X : x 400 2 1.19 x
X （: 397 .62 ，402.38 ） (3) 若以概率 99.73%(t 3)保证，该农场 10000 亩小麦的平均
在重复抽样情况下：
p (1 p )
p
n
在不重复抽样情况下：
p (1 p ) n
(1 )
p
n
N
例
某玻璃器皿厂某日生产15000只印花玻璃 杯，现按重复抽样方式从中抽取150只进行 质量检验，结果有147只合格，其余3只为不 合格品，试求这批印花玻璃杯合格率(成数) 的抽样平均误差。
N15000n150
二、区间估计
根据样本指标和抽样误差去推断全及 指标的可能范围，它能说清楚估计的准 确程度和把握程度。
总体平均数和总体成数的估计
X :(x x, x x)
1的概率保证下：x tx
P:(pp, pp)
1的概率保证下： p tp

应用统计学(第五章 统计推断)

应用统计学(第五章 统计推断)
差与已知总体的方差存在显著差异
检验统计量： χ2 (n 1) s2 σ02
例题5 已知某农田受到重金属污染，抽样测定其镉含量
(μg/g)分别为：3.6、4.2、4.7、4.5、4.2、4.0、3.8、
3.7，试检验污染农田镉含量的方差与正常农田镉含量的方 差0.065是否相同。
解：假设 H0：σ 2 σ02 , H A：σ 2 σ02
P(μ-1.960 σ x ≤ x < μ+1.960 σ x)=0.95
否定区
接受区
否定区
左尾
0.025
μ-1.960σ x
0.95
0.025
0 μ+1.960σ x
右尾
临界值： ± uσ x= ± 1.960σ x
双尾检验 = 0.01
P(μ-2.576 σ x ≤ x < μ+2.576 σ x)=0.99
解： 假设： H0： μ ≤ μ0， HA ： μ > μ0 确定显著水平：α＝0.05 检验统计量：u x μ0 379.2 377.2 1.818 σ n 3.3 9 u0.05=1.645，计算得：u=1.818>u0.05，P<0.05
推断：否定H0，接受HA。
即：栽培条件的改善，显著提高了豌豆籽粒重量。
4)推断
接受/否定H0(HA，实际意义)
例题1 正常人血钙值服从的正态分布，平均值为2.29 mM，标准差为 0.61mM。现有8名甲状旁腺减退患者经治疗后，测得其血钙值平均为 2.01mM，试检验其血钙值是否正常。
1)提出假设 2)确定显著水平 3)计算概率 4)推断
1)提出假设
H0
零假设 /无效假设
对 /检验假设

f第五章 统计推断

f第五章 统计推断
双侧检验：在拒绝H0之后，接受HA:μ≠μ0 的检验称为双侧检验。 由专业知识确定单、双侧检验。
【例5.1-1b】
用 实 验 动 物 做 实 验 材 料 ， 要 求 动 物 平 均 体 重 μ=10.00g， 若 μ<10.00g需再饲养，若μ>10.00g则应淘汰。已知总体标准差 σ=0.40g。从实验动物群体中，随机抽取含量n=10的样本， 样本平均数y=10.23g。这批动物实际饲养的时间比根据以往 经验所需饲养的时间长。问这批动物能否用于实验。
n 10
若假设成立，则得到实际样本这一事件为小概率事件。 假设不成立，拒绝零假设，接受备择假设。
在假设H0正确的情况下，计算样本实际发 生的概率P，若P>α，接受H0 ；若P<α， 拒绝H0 ，接受HA 。在实际应用时，并 不直接求出具体的概率值，而是建立在α 水平上H0的拒绝域和接受域。
拒绝域（rejection region）：在上尾、或下尾、 或双侧检验中，U > uα、或U < -uα、或|U| > uα/2的区域，称为在α水平上H0的拒绝域。 接受域(acceptance region)：相应的U < uα， 或U > -uα ，或-uα/2 < U < uα/2的区域，称为 在α水平上H0的接受域。 临界值（critical value）：接受域的端点称为 临界值。
用实验动物做实验材料 ， 要求动物平均体重 μ=10.00g，若 μ<10.00g需再饲养，若μ>10.00g则应淘汰。已知总体标准 差σ=0.40g。从实验动物群体中，随机抽取含量n=10的样本， 样本平均数y=9.77g。这批动物实际饲养时间比根据以往经 验所需饲养的时间短。问这批动物能否用于实验。

统计推断原理

统计推断原理

统计推断原理统计推断是指根据样本数据对总体特征进行推断的一种统计方法。

它是基于概率理论和数理统计学的基本原理，通过对样本数据的分析和推断，来对总体的特征进行估计和推断。

统计推断在科学研究、社会调查、经济预测等领域都有着广泛的应用，是一种非常重要的统计方法。

统计推断的原理可以分为参数估计和假设检验两个方面。

参数估计是指根据样本数据对总体参数进行估计，常见的参数包括总体均值、总体方差等。

而假设检验则是根据样本数据对总体特征进行检验，判断某种假设是否成立。

在进行参数估计和假设检验时，我们通常会使用一些统计量来进行推断，如样本均值、标准差、t 值、F值等。

统计推断的原理主要包括抽样理论、估计理论和假设检验理论。

抽样理论是统计推断的基础，它研究如何从总体中抽取样本，并对样本数据进行分析和推断。

估计理论则是研究如何根据样本数据对总体参数进行估计，包括点估计和区间估计两种方法。

假设检验理论则是研究如何根据样本数据对总体特征进行检验，判断某种假设是否成立。

在统计推断中，我们通常会使用一些统计分布来进行推断，如正态分布、t分布、F分布等。

这些统计分布在进行参数估计和假设检验时起着非常重要的作用，它们可以帮助我们进行推断，并且在一定条件下具有一定的稳定性和可靠性。

统计推断的原理在实际应用中有着广泛的应用。

在医学研究中，我们可以通过对样本数据的分析和推断，来对某种药物的疗效进行评估；在市场调查中，我们可以通过对样本数据的分析和推断，来对市场需求进行预测；在质量控制中，我们可以通过对样本数据的分析和推断，来对产品质量进行检验。

统计推断的原理为我们提供了一种科学的方法，来对未知总体特征进行推断，它具有着重要的理论和实际意义。

总之，统计推断的原理是一种基于概率理论和数理统计学的推断方法，它通过对样本数据的分析和推断，来对总体特征进行估计和推断。

统计推断的原理包括参数估计和假设检验两个方面，它在实际应用中有着广泛的应用，为我们提供了一种科学的方法，来对未知总体特征进行推断。

《统计学原理》第5章：抽样推断

《统计学原理》第5章：抽样推断
lim P( x X ) 1
n
抽样推断的基本原理
统计推断的理论基础—样本的概率分布
按一定方法随机抽取样本时，所有可能样本的 特征值及其所对应的概率分布情况
学生 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ Ｇ 成绩 30 40 50 60 70 80 90
按随机原则考虑顺序重复抽样抽选出４名学生。
抽样推断的一般问题
样本可能数目
按照一定的抽样方法和组织方式,从总体N中抽取n个 单位构成样本,一共可以抽出的不同样本的数量,一般 用M表示.
考虑顺序的不重复抽样 考虑顺序的重复抽样
M N! (N n)!
M Nn
不考虑顺序的不重复抽样 不考虑顺序的重复抽样
M N! n!(N n)!
全及指标与样本指标
•根据全及总体中各单位的标志值或标志属性计算得 来，反映总体某种特征的指标 •根据样本总体中各单位的标志值或标志属性计算得 来的综合指标.
抽样推断的一般问题
抽样方法
•重复抽样和不重复抽样
•考虑顺序的抽样和不考虑顺序的抽样
抽样推断的一般问题
抽样方法—重复抽样
从总体N个单位中随机抽取一个容量为n的样本,每 次抽取一个单位,把结果登记后再放回到总体中,重新 参加下一次的抽取.
抽出个体
登记特征
放回总体
继续抽取
抽样推断的一般问题
抽样方法—不重复抽样
从总体N个单位中随机抽取一个容量为n的样本, 每次抽取一个单位,把结果登记后不再放回到 总体参加下一次的抽取.
抽出 个体
登记 特征
继续 抽取
抽样推断的一般问题
抽样方法—考虑顺序的抽样
从总体N个单位中抽取n个单位构成样本,不但考虑样本 各单位成分的不同,而且还要考虑样本各单位的中选顺 序.

统计推断是根据样本和假定模型对总体作出的以概率形式

统计推断是根据样本和假定模型对总体作出的以概率形式
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若|t|< t0.05 ，则说明试验的表面效应属于试验误差的概率P>0.05，即表面效 应属于试验误差的可能性大，不能否定 ： = ，统计学上把这一检验结果表 述为：“两个总体平均数 与 差异不显著”，在计算所得的t值的右上方标记 “ns”或不标记符号；
H 0 1 2
(n1 1) (n2 1)
n1 n2
S x1x2
上一张 下一张 主 页 退 出
所得的统计量 t服从自由度 df =（n1-1）+(n2-1)的t分布。 根据两个样本的数据，计算得： - =11-9.2=1.8；
x1 x2
S x1x2
(x1 x1 )2 (x2 x2 )2 ( 1 1 )
平均数
xi i
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
i
x1 x2 xn
x xi n （ i）/ n
上一张 下一张 主 页 退 出
说明样本平均数并非总体平均数，它还包含试验 误差的成分。
对于接受不同处理的两个样本来说，则有：
x1 1 =1 +x2 ，2 =2 +
x1 x2 (1 2 ) (1 2 )
这说明两个样本平均数之差（ x1 - x2 ）也包括了两
对（ - ）进行显著性检验就是要分析：
x x 试1验的表2面效应（ - ）主要由处理效应（1
要 由试验误差所造成。
- 2 ）引起的 ，还 是 主
x1 x2 x1 x2
1 2
x1 x2
上一张 下一张 主 页 退 出
虽然处理效应（ - ）未知，但试验的表面效应是可以计算的，借助数理
统计方法可以对试验误差作出估计。所以1 ，可从2 试验的表面效应与试验误差的权衡比

概率论与数理统计第五章知识点

概率论与数理统计第五章知识点

概率论与数理统计第五章知识点第五章的概率论与数理统计的知识点主要涉及到概率函数、统计推断、分布函数和多元正态分布等内容，这其中包括了多项式概率分布、超几何分布、二项分布、线性回归、假设检验、多重切线回归、卡方检验、小抽样检验、检验均值和协方差等内容。

首先，多项式概率分布是一种特殊的概率分布，它建立了在有限次试验中某个事件出现次数的概率，它由定义性的概率空间和一组完备的事件集合组成，并可以使用不同的统计技术来计算它们。

其次，超几何分布是一种分布，用于计算取样观测中某种特征发生次数的概率，它与多项式分布有着很大的不同，它建立了一个独立的取样模型，它是一种独立取样模型，它利用概率论中的概率空间来分析一个独立取样实验中观测到一个特征发生次数的概率。

再次，二项分布也是一种概率分布，它用来计算一系列试验中出现某种特征的次数的概率。

它是一种特殊的多项式分布，可以使用概率论的工具来应用二项式分布，以确定两个不同事件之间的概率。

此外，线性回归也是第五章概率论与数理统计中一个重要的概念，它是一种统计方法，用来预测一个变量的变化可能会导致另一个变量的变化。

线性回归的基本原理是拟合两个变量的关系，使回归线能够最佳地拟合所有数据，以找到其中的趋势。

另外，假设检验是一种重要的统计技术，在假设检验中，需要使用概率空间，以便计算假设检验中备择假设的概率，并判断假设是否成立。

另外，多重切线回归也是一种重要的统计方法，它是以多元关系作为因变量和因变量之间的关系来拟合数据，以确定多元回归线的最佳拟合方式，让其效果最好。

此外，卡方检验、小抽样检验和检验均值和协方差等也是第五章概率论与数理统计的重要内容。

其中，卡方检验是一种特殊的假设检验，用来判断一组数据的差异是否大于预期，以确定数据的分布情况。

而小抽样检验是一种统计方法，用于给出总体参数的精确估计，以帮助确定相关的总体统计量，用来估计总体参数。

最后，检验均值和协方差也是一种重要的统计方法，它可以帮助分析两个变量之间的关系，以确定两个变量之间的相关程度。

第五章 统计推断

第五章 统计推断

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本章习题
3. 某种产品生产过程设计规格为每批平均生产 120 个，超过或低于这个标准都是不合理的。有10批 产品组成的样本中，每批生产的产品数量如下： 108 118 120 122 119 113 124 122 120 123。 检验样本结果能否表示该生产过程运作正常？ （假定总体服从正态分布，α=0.05。）
6
1、假设检验问题
【例5.1】 在超市上出售的某种品牌方便面，按规定每
包净重少于 100 克的比例不得超过 1%。技术监督部门 从某超市的货架上任意抽取 200包该种品牌的方便面， 经检验发现有 3包（1.5%）重量少于 100克，试问：超 市出售的这种方便面是否符合质量标准？
在本例中，超市上出售的这种方便面的不合格率是未 知的，我们关心的问题是：如何根据这 200 包方便面 （样本）的不合格率 p=1.5% 来判断超市上出售的这种 品牌的方便面（总体）的不合格率 P≤1% 是否成立？
并非因为它存在逻辑的绝对错误，只是因为它存
在的可能性很小。
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6、假设检验的一般步骤
（ 1 ）根据所研究的问题，提出原假设 H0 和备择 假设H1；
（2）构造检验统计量；
（ 3 ）计算检验统计量的值和检验统计量观测值 发生的概率； （4）给定显著性水平α（即发生第一类错误的最 大允许概率），并做出统计决策。
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5.2 单样本 t 检验
单样本的 T 检验，是一个正态总体在方差未知时，总体 均值与某一已知数是否有显著性差异的假设检验；检验 统计量为（该统计量服从自由度为n-1的t分布）：
t
x 0 s/ n
x 0

第五章 统计推断

第五章 统计推断

为研究电渗处理对草莓果实中钙离子含量的影响, 选用10个草莓品种来进行电渗处理与对照的对比试验, 结果如下,问电渗处理对草莓钙离子含量是否有影响?
电渗处理草莓果实钙离子含量
品种号
1
2
3
4
5
6
7
8
910电渗ຫໍສະໝຸດ 理22.2323.42
23.25
21.38
24.45
22.42
24.37
21.75
19.82
三,假设测验的基本方法 ①对所研究的总体首先提出一个无效假设 ②规定测验的显著水平α(一般α=0.05有时α=0.01) ③在承认上述无效假设正确的前提下,获得平均数的抽样分布,计 算假设正确的概率 ④根据"小概率事件实际上不可能发生"的原理接受或否定无效假 设 如小麦品种 旧品种:0=300kg/亩 σ=75kg 新品种:1=330kg/亩 y=330kg 第一步:首先提出假设: HA:1≠0 第二步:平均数的抽样分布,计算概率: = 15 ( kg ) σ y = σ / n = 75 / 25 样本容量n=25 H0:1=0=300kg
135.2
135.2
133.5
(二),成对资料平均数的假设测验
若试验设计是将性质相同 若试验设计是将性质相同的两个供试单位配成一对, 性质相同的两个供试单位配成一对 配成一对, 并设多个配对,然后对每一配对的两个供试单位分别随机 成对数据. 地给予不同处理,所得的观察值为成对数据 地给予不同处理,所得的观察值为成对数据.
1.提出假设.H0:1-2=0,即两条生产线的平均日产量无显著 差异.对HA:1-2≠0,即两条生产线上的平均日产量有显著差 异. 2.确定显著水平.α=0.01. .确定显著水平.α 0.01. 3.检验计算. y1 = 65 . 83 S 2 = 59.7299 y 2 = 59 .77 S 2 2 = 42.8747

第五章 统计推断5-2 - 新

第五章 统计推断5-2 - 新

第五章 统计推断统计推断的意义和内容统计推断是据统计数的分布和概率理论，由样本统计数推论总体参数的方法。

先根据试验目的，对试验总体提出两种彼此对立的假设，然后由样本的实际结果，经过一定的估算，做出在概率意义上应接受那种假设的推断。

由于种测验首先对总体提出假设又叫统计假设测验。

统计推断的前提条件：资料必须来自随机样本；统计数的分布规律必须已知。

&5.1 统计假设测验概述统计假设：在科学研究中，往往首先要提出一个有关某一总体参数的假设。

这种假设称为统计假设。

一、数据结构从服从正态分布N(μ0=300，σ=75)的原品种总体中，随机抽取n 个个体构成样本，则样本观察值可表示为 xi = μ0 + εi (i=1，2 ，… ，n)而从新品系总体中随机抽取的样本观察值，则为 xi = μ + εi (i=1，2 ，… ，n) (5.2) 新品系与原品种的产量差异为τ = μ - μ0 (5.3) 将(5.3)代入(5.2)得xi = μ0 + τ + εi (i=1，2 ，… ，n) (5.4) 二、统计假设测验的基本原理 对一个样本的n 个观察值xi 求平均数因x i = μ0 + τ + εi (i=1，2 ，… ，n)iix x εμμμετμ+-=-++=∴)()(0上式说明，x 与 μ0的表面差异(x - μ0)是由真实差异(μ- μ0 )和试验误差εi 构成。

小机率原理:概率很小的事件，在一次试验中是不至于发生的。

统计假设测验:是指据某种需要，对末知的或不完全清楚的总体提出一些假设，由样本实际结果经过一定的概率测验，作出接受或否定假设的推论。

三、统计假设测验的基本步骤例5.1 设某地区的当地小麦品种一般亩产300kg ，多年种植结果获得标准差为75kg 。

现有某新品种n=25,平均数330kg ，问新品种样本所属总体与当地品种这个总体是否差异显著。

第一步 统计假设H0:0μμ=第二步 计算统计量225/75300330/0=-=-=n x u σμu=2> u0.05=1.96，即对应的概率p ＜0.05。

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第五章统计推断•总体与样本之间的关系-从总体到样本的研究。

-由样本推断总体：样本统计量的分布规律一般是正态分布、t 分布、χ2分布和F分布。

•对总体做统计推断的两种途径–先对所估计的总体做一假设,然后通过样本数据推断这个假设是否接受,这种途径称为统计假设检验（statisｔiｃal teｓt of hypothｅsis)–通过样本统计量估计总体参数，称为总体参数估计(esｔimation of ｐoｐｕlation ｐaramｅtｅｒ)•本章重点讲解统计推断的一般原理以及对总体平均数及标准差的推断。

一、假设检验假设检验就是根据总体的理论分布和小概率原理,对未知或不完全知道的总体提出两种被此对立的假设,然后由样本的实际结果，经过一定的计算,作出在一定概率意义上应该接受的那种假设的推断。

如果抽样结果使小概率发生,则拒绝假设，如抽样结果没有使小概率发生,则接受假设。

小概率原理在一次试验中,某事件几乎是不会发生的,若根据一定的假设条件计算出来的该事件发生的概率很小,而在一次试验中它竟然发生了,则可认为原假设条件不正确，给予否定。

在生物统计的显著性检验中，通常取5%或1%小概率为显著性水平,记为“α”例5.1 根据以往的经验，用一般疗法治疗某种疾病，其死亡率为4０%,治愈率为60％。

今用一种新药治疗染上该病的6名患者,这6人均治愈了，问该新药是否显著优于一般疗法?小概率原理用于显著性检验例5.2用实验动物作实验材料,现从一批动物（σ= 0．4)中抽取含量ｎ= 10的样本并已经计算出平均值为10．23 g。

已知这批动物饲养时间较长,不可能小于10g,问此批动物材料是否是抽自于μ=10的总体中？解：1 样本平均数满足何种分布?2 从正态分布表查出P = 0.034３8< 0.０5，这是一个小概率事件，该样本几乎不可能抽自μ = 10.00 g的总体。

单侧检测（ｏne－sided test)•上尾检验(uｐper ｔａiled teｓt）：拒绝H0后,接受μ＞μ０，如下左图。

•下尾检验（lｏwer tailed tesｔ):拒绝H0后，接受μ < μ0 ,如下右图。

•双侧检验(two-ｓideｄ test)：拒绝H0后，接受μ≠μ0，如下图。

•由于单侧检验时利用了已知有一侧是不可能的这一条件,从而提高了它的辨别力，所以单侧检验比双侧检验的辨别力更强些。

•实际应用时,要尽量选用单侧检验,但要根据实际情况而定。

二、假设检验中的两类错误是真实的，却否定了它，又叫弃真错误。

１. Tｙpe Ⅰ erroｒ（α错误),如果H０是错误的，却接受了它,又叫纳伪错误。

2. Tyｐe Ⅱｅrror (β类错误)，如果H０例5.3 用实验动物作实验材料，现从一批动物(σ= 0.4）中抽取含量ｎ= 10的样本并已经计算出平均值为1０.２０ g。

已知这批动物饲养时间较长，不可能小于10g，问此批动物材料是否是抽自于μ＝１０的总体中?方法１方法2图 5－2 两种类型的错误样本抽自HA:u=10.３g，但却错误的接受H0:u=10.0 g的概率为0．23２7。

关于两种类型错误的三点解释•当μ1越接近于μ0时,犯Ⅱ型错误的概率愈大;当μ1越远离μ0时，犯Ⅱ型错误的概率愈小。

•在样本含量和样本平均数都固定时，为了降低犯Ⅰ型错误的概率α(就应将图5-2中的竖线右移)，必然增加犯Ⅱ型错误的概率。

•为了同时降低α和β就需增加样本含量。

三、假设检验的步骤●对样本所属总体提出假设，无效假设记作H０,备择假设,记作H A。

●确定显著水平在进行无效假设和备则假设之后，要确定一个否定Ｈ0的概率标准,这个标准叫显著水平或概率水平。

●在H0正确的前提下,根据抽样分布的统计数,进行假设检验的概率计算。

●根据显著水平α的统计数(如u值)的临界值,进行差异是否显著的推断。

四、均值检验5．1 单个样本的统计假设检验5.１.1 σ已知单个平均数显著性检验:u检验例5．５母猪的怀孕期为114天，今抽测10头母猪的怀孕期分别为１16、１15、1１3、 112、114、117、 1１5、 1１6、 114、11３(天）,试检验所得样本的平均数与总体平均数114天有无显著差异？根据题意，本例应进行双侧t检验。

1、提出无效假设与备择假设2、计算u值3、建立H0的拒绝域：因HA：μ> μ0,故为上尾单侧检验，当μ> μ0.05时拒绝H０，ａ=0.05的上侧分位数μ０.05=1.64５。

4、结论:因为ｍ> μ0.０5所以拒绝H0,接受HA.上述样本很可能不是抽自N (3７7．2，3．32)的总体，抽出样本的那个总体的平均数是大于37７.2的某个值,即栽培条件的改善显著提高了豌豆籽粒重量。

5.1.2 σ未知时平均数显著性检验：ｔ检验例5.5 母猪的怀孕期为１14天,今抽测10头母猪的怀孕期分别为1１6、１1５、113、112、１14、１17、 115、 116、 114、 113（天）,试检验所得样本的平均数与总体平均数11４天有无显著差异?根据题意,本例应进行双侧t检验。

1、提出无效假设与备择假设2、计算ｔ值３、查临界t值,作出统计推断由ｄf=9,查t值表(附表3)得t０.05(9)=2．2６2,因为｜t|<t0.05, P>0.０５, 故不能否定H0：μ= １１4, 表明样本平均数与总体平均数差异不显著，可以认为该样本取自母猪怀孕期为1１4天的总体。

5．1.3 变异性的显著性检验：χ2检验例5.６一个混杂的小麦品种,株高标准差σ0=14ｃm,经提纯后随机抽取10株,它们的株高为：90, １05， 101, ９5， 1０0, １00, 10１， 1０５, 93，97，考察提纯后的群体是否比原群体整齐?1、小麦株高是服从正态分布的随机变量２、提出假设关于备择假设的说明：小麦经提纯后只能变得更整齐，绝不会更离散，即ｓ只能小于σ0,因此ＨA：σ＜σ0。

3、显著性水平规定α＝0.０５４、统计量的值:5、建立的拒绝域:因H A:σ＜ｓ0,故为下尾单侧检验,当χ2<ｃ２１-α时拒绝H0,从附表6中可以查出χ29,０.99= 2.0９,拒绝Ｈ0,接受HＡ，提纯后株高比原株高整齐。

６、结论,因χ2<χ２9,0.99EX5.1某鱼场按常规方法所育鲢鱼苗一月龄的平均体长为7．２５ cm，标准差为1.5８ｃｍ,为提高鱼苗质量,现采用一新方法进行育苗,一月龄时随机抽取1００尾进行测量，测得其平均体长为7.65cｍ,试问新育苗方法与常规方法有无显著差异?解题过程EＸ5．2某鱼塘水中的含氧量,多年平均为4.5mg·L-1,现在该鱼塘设１0个点采集水样,测定水中含氧量分别为：４.３3，4.62,3．８９,４．14,4.78,４．６4,４.52，４.５5,4．48.４．2６mg·L-1，试检验该次抽样测定的水中含氧量与多年平均值有无显著差别。

解题过程小结５.2 两个样本的显著性差异检验•单个样本的显著性检验需要事先能够提出合理的参数假设值和对参数有某种意义的备择值。

然而,实际工作中很难提出，故限制了实际应用。

•在实际应用时，常常选用两个样本，一个作为处理,一个作为对照，在这两个样本之间作比较,判定它们之间的差异是否用偶然性解释,若不能用偶然性解释时,则认为它们之间存在足够显著的差异，从而判断这两个样本来自两个不同的总体。

5.2．1 两个方差的检验(方差齐性分析）—Ｆ检验１假定从两个正态总体中,独立地抽取含量分别为n1和n2的两个随机样本,计算出s12和s22．总体平均数可以相等也可以不等．２零假设H0：σ1= σ2.备择假设ＨA：σ1 >σ２若已知σ1不可能小于σ2 。

HA: σ1 <σ２若已知σ1不可能大于σ２。

HＡ：σ1 ≠σ2 包括σ1 >σ2和σ１<σ２。

3 显著性水平:经常用α＝0.05和α＝0.０1两个水平。

4 统计检验量：F df1,df2=s１2/s2２, dｆ1＝ｎ1－1 df2=n2－1 。

5 建立H０的拒绝域:σ1>σ２,上尾单侧检验，F >Fα时拒绝σ１<σ2，下尾单侧检验，F <F1-α时拒绝σ1≠σ２,,双侧检验, F >Fα/2及F <F1－α/2时拒绝。

６作出结论并解释。

例5.7 测定了2０位青年男子和2０位老年男子的血压值（收缩压mmHg)如下表所示。

问老年人血压值个体间的波动是否显著高于青年人?解:根据检验的基本程序：(1)人类血压值是服从正态分布的随机变量,而且上述两样本是独立获得的。

(２）假设:H：σ1=σ2HＡ:σ1<σ2(由于老年人的血压值波动只会大于青年人,单侧）(3)显著性水平：根据问题的要求(是否显著)，选α=0.05。

（4）统计量的值:Fｄｆ１,dｆ2=S12/s２２，根据表中数据计算可得S1２=193．4,s22=937.7，故F=０.2０6。

（5)建立Ｈ０的拒绝域: 由于HA :σ1<σ2,故为下尾单侧检验，当Ｆ<F０.９５时拒绝H。

查表可得F19，１9,０.95=1/ F１9，19,0.05=0.459（6)结论：F<F0.9５,所以结论是拒绝H，接受HA。

即老年人的血压值在个体间的波动高于青年人。

5.2.2 标准差（σｉ)已知时，两个平均数间差异显著性的检验—u检验例5.８调查两个不同渔场的马面鲀体长,每一渔场调查2０0条。

平均体长分别为19．8ｃm和１８．５cm。

σ１=σ２＝7.2cm。

问在α=０．０5水平上,第一渔场的马面鲀体长是否显著高于第二渔场的？解:（1)假设：H0：μ1=μ2，HA:μ1>μ2(2)确定显著性水平:α=0.０５。

（3）计算统计量。

（４）建立H０的拒绝域：因HA：μ1>μ２,故为上尾单侧检验。

当ｕ>u0.05时拒绝Ｈ0,由附表查出u０.05=1.6４5。

5.２.3 标准差（σi)未知，但相等时，两个平均数间差异显著性的检验—成组数据t检验检验程序与5.2.2基本相同,只是所使用的统计量不同,当两个总体的标准差相等时，检验统计量t由下式给出:•在H0:μ1=μ２下变为在平均数检验中应用最为广泛。

先做方差齐性检验(F-双侧检验)判断σi 是否相等;按上式计算统计量t,进行ｔ检验以判断两个平均数之间差异是否显著。

例 5.9 研究两种激素类药物对肾组织切片的氧消耗的影响,结果是：研究第一种药物的样本数为9，平均数为２7.9２,样本方差为8．67３。

研究第二种药物的样本数为6，平均数为2５.11，样本方差为１.843。

问两种药物对肾组织切片氧消耗的影响差异是否显著？解：第一步，做方差齐性检验:H0：σ1=σ2，HA：σ1≠σ2,α=0.0５F8，5=8．6７３/1.８43＝4．71，F８，5，0.02５＝6.75７F8,５,0.975=1/4.817=0.208，F８,5,０.9７５<F<Ｆ0．02５，结论是接受Ｈ0（σ1=σ２)第二步,做平均数之间差异的显著性检验：Ｈ0:μ1=μ２, HA:μ１≠μ２，α＝0.05；计算统计量t＝２.16８。