迭代矩阵谱半径PPT课件

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线性方程组求解的两类迭代法和矩阵HADAMARD积谱半径估计

线性方程组求解的两类迭代法和矩阵Hadamard积谱半径估计作者：程光辉学位授予单位：电子科技大学参考文献(37条)1.参考文献2.R J Plemmons M-matrix characterization 1-Non-singular M-matrix 19773.A Berman.R J Plemmons Nonnegative matrices in the mathematical sciences 19794.A D Gunawardena.S K Jain.L Snyder Modified iterative methods for consistent linear system 19915.T Kohno.H Kotakemori.H ui Improving method modified iterative methods for Z-matrices 19976.A Hadjidimos.D Noutsos.M Tzoumas More on modifications and improvements of classical iterative schemes for M-matrices[外文期刊] 20037.Willian S Halliwell A fast implicit iterative numerical method for solving multidimensionalpartial differential equation 19778.胡家赣线性方程组的PE方法 1982(02)9.胡家赣.王邦荣严格对角优势矩阵PE方法的收敛性 1986(04)10.梁吉业M矩阵PE方法的收敛性 1994(01)11.胡家赣.王邦荣解线性代数方程组的PE方法 1993(02)12.胡家赣.刘兴平EPE方法和可正定化矩阵 1997(01)13.张凯院.王自然解线性代数方程组的二次PE方法和二次PEk方法[期刊论文]-西北工业大学学报 2003(3)14.A Berman.R J Plemmons Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences 199415.胡家赣‖B-1A‖的估计及其应用 1982(03)16.G Meurant Computer solution of large linear systems 199917.A Hadjidimos Accelerated overrelaxation method 198718.胡家赣线性代数方程组的迭代解法 199119.D M Young Iterative solution of large linear systems 197120.逢明贤矩阵谱论 198921.R S Varga Matrix iterative analysis 200022.徐树方矩阵计算的理论与方法 199523.D J Evans.M M Martins.M E Trigo The AOR iterative method for new preconditioned linear systems[外文期刊] 200124.C Li.D J Evans Improving the SOR method[Technical Report 901,Department of ComputerStudies,University of Loughborough] 199425.N A Kahn.A Marcus A note on the Hadamard product 195926.张贤达矩阵分析与应用 200427.R A Horn.C R Johnson Topics in matrix analysis 199128.L Elsner.C R Johnson.J A Dias da Silva The Perron root of a weighted geometric mean of nonnegative matrices 198829.Samuel Karlin.Friedemann Ost Some monotonicity properties of Schur powers of matrices and related。

chapter03线性代数方程组迭代解法PPT课件

不完全分解
当矩阵无法进行完全分解时，迭代法可以作为替代方案进行求解。
数值稳定性
对于某些数值不稳定的问题，迭代法可以提供更稳定的近似解。
迭代解法的优缺点分析
优点
适用于大规模问题，计算量相对较小；适用于不完全分解和数值不稳定问题；能够提供近似解，满足工程精度要求。
缺点
需要设定初始解向量或近似解向量；迭代过程可能不收敛或收敛速度慢；对于某些问题可能无法得到准确解。
SOR方法案例分析
01
SOR（Successive Over-Relaxation）方法是一种改进
的迭代方法，通过引入松弛因子来加速收敛。
02
SOR方法适用于系数矩阵为稀疏、对称正定的情况，
广泛应用于实际工程问题。
03
SOR方法的收敛速度与松弛因子的选择有关，选择合
适的松弛因子可以加快收敛速度。
Jacobi方法案例分析
松弛方法
松弛方法是另一种改进的迭代算法，用于求解线性代数方程
组。
该方法通过引入松弛因子来调整迭代过程中的系数矩阵，以
提高收敛速度和稳定性。
松弛方法适用于系数矩阵为非对角占优的情况，尤其在处理稀疏矩阵时具有优势。
总结词：松弛方法是一种适用于非对角占优矩阵的迭代算法，通过调整松弛因子提高收敛速度和稳定性。
收敛速度与系数矩阵
收敛速度与系数矩阵的特征值和范数有关，不同的迭代法适用于不同的系数矩阵情况。
加速迭代法
为了提高迭代法的收敛速度，可以采用一些加速技巧，如预处理技术、共轭梯度法等。
03 几种常见的迭代解法
Gauss-Seidel迭代法
Gauss-Seidel方法是一种迭代算法，用于求解线性代数

研究生数值分析(12)高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法 ppt课件

则由误差估计式知，只要 k 满足
Bk
X(1) X(0) 104
1 B
将 B J 0 . 6 , X ( 0 ) ( 0 , 0 , 0 ) T , X ( 1 ) ( 0 . 3 0 0 0 , 1 . 5 0 0 0 , 2 . 0 0 0 0 ) T
代入得 k21.18 ，故Jacobi迭代22次即可；
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
其矩阵表示形式为 X (k 1 ) D 1 (L X (k 1 ) U X (k ) b )
现将 X (k1) 显式化，由 (D L )X(k 1)U X(k)b
得
X (k 1 ) (D L ) 1 U X (k ) (D L ) 1 b
,x (k 1) i 1
求出，马上就用新分量
x1 (k 1 ),
,x (k 1 ) i 1
代替雅可比迭代法中
来求 x1(k), ,xi 1(k)
x (k 1) i
, 这就是高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法。
高斯-赛德尔迭代公式如下：
x1(k1)
1 a11
(a12
x (k) 2
a13x3(k)
2
x1
10 x2
x3
15
x1 2x2 5x3 10
雅可比迭代矩阵
0 0.2 0.1 BJ 0.2 0 0.1
0.2 0.4 0
BJ
0.61
雅可比迭代过程必收敛；
高斯-赛德尔迭代矩阵
0 BG 0
0
0.2 0.04 0.056
0.1
0.12
0.068
BG 0.31 高斯-赛德尔迭代过程也收敛。
出如下结论。

迭代矩阵的谱分析

以ｄｌ，…，ｄｎ为对角元的对角矩阵
以Ａ１１，…，４一为对角块的块对角矩阵
ＶＩ
独创性声明
本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。
（保密的学位论文在解密后应遵守此规定）
签名：≯攀馋
导师签名：
日期：幻·？年占舄舌Ｅｌ
第一章绪论
第一章绪论
１．１引言
计算数学与科学计算在计算机发展和广泛应用的推动下，已形成了一个新兴的、众多学科交叉的具有重要学术价值和应用价值的学科．它包括近年来在各种科学和工程领域中逐步发展起来的计算性理论和应用分支．计算数学则是它们的联系纽带和共性基础．今天的科学工程技术越来越依赖于科学计算，尤其与国民经济和国防技术相关的问题．矩阵计算作为现代计算数学的一个分支，成为科学计算中必须解决的课题之一．科学与工程计算的许多领域（如电磁场计算、计算流体力学等）的问题解决，最终都归结微分方程的数值求解．其基本方法是将模型通过有限差分法（如电磁场计算的时域有限差分方法）、有限元、有限体积或无网格方法等进行离散，最终转化一个或一些稀疏（或稠密）线性代数方程组的求解或者矩阵特征值问题求解．
属于号自然数集实数集正实数集空集复佗维列向量空间实扎维列向量空间mn复矩阵集m佗实矩阵集第i行第歹列的元素为口巧的矩阵单位矩阵矩阵a的转置矩阵a的共轭转置矩阵a的逆矩阵矩阵a各元素取绝对值的矩阵矩阵4的对角元为元素的对角矩阵矩阵a的行列式值矩阵a是非负矩阵矩阵a是正矩阵矩阵4是hermitian正半定矩阵矩阵a是hermitian正定矩阵等价条件或充分必要条件恒等于远大于方阵a的谱半径若a为非负矩阵即为perron根方阵的某个特征值以dl?dn为对角元的对角矩阵以a11?4一为对角块的块对角矩阵vi独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果

振动分析的矩阵迭代法PPT课件

利用正交特性
1Tmv3(0) 0 1Tmv3(0) M1Y1(0) 2Tmv3(0) 0 2Tmv3(0) M 2Y2(0)
第21页/共97页
(13-35)
§13.4 高阶振型分析
则
Y1(0)
1 M1
1Tmv3(0)
Y2(0)
1 M2
2Tmv3(0)
代入(13-35)得
或
v3(0)
v3(0)
真正的第一振型频率介于上式求得的最大值和最小值之间:
vk01 vk11
min
12
vk01 vk11
max
取平均值求频率的近似值
(13-10)
12
v11 T mv10 v11 T mv11
(13-11)
第6页/共97页
§13.2 基本振型分析—Stodola法
重复上述过程s次，能求得较近似的解,即s次循环之后
§13.2 基本振型分析—Stodola法
= fI n n2mvˆ n
vˆ n=k f -1 I n
或者用式（13-1）则为
vˆ = n2k-1mvˆ n
可记作
D=k -1m
第3页/共97页
（13-1）（13-2）
(13-3) (13-4)
§13.2 基本振型分析—Stodola法
先假定试探形状,它尽可能接近第一振型的形状,而振幅是任意的,即：
第十三章振动分析的矩阵迭代法
§13.1 引言 §13.2 基本振型分析 §13.3 收敛性的证明 §13.4 高阶振型分析 §13.5 用矩阵迭代法分析屈曲 §13.6 逆迭代法——首选的方法 §13.7 移位逆迭代法 §13.8 特殊特征值问题概述 §13.9* 自由度的缩减 §13.10* 矩阵迭代的一些基本概念

线性方程组的迭代法雅可比高斯塞德尔和超松弛迭代ppt课件

a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1
a22 x2
a2n xn
b2
an1x1 an2 x2 ann xn bn
写据成此建立n 迭ai代j x公j 式 bi
i 1,2,, n
上若xi式(xkai称1ii)为0ja1解a11i(iiii方((bb程1ii,2组,jj的njn,1i n1Jaa)aijcxio,j分(jxbk)ij离)迭) 代出公i变i式量1,。21x,,2i , n , n
j=1
j ≠i
称A为严格对角占优阵。
2.如果A的元素满足
∑n
ai,i ≥ ai, j ,i = 1,2,..., n
j=1 j≠i
且至少一个不等式严格成立，称A为弱对角占优阵。 16
定义：设 A = (ai,j )n×n ,n ≥ 2
如果存在置换矩阵P，使得
PT
AP

A11 0
A12
A22
1
§6.1 迭代法的基本思想
迭代法的基本思想是将线性方程组转化为便于迭代的等价方程组，对任选一组初始值 xi(0) (i 1,2,, n) ，按某种计算规则，不断地对所得到的值进行修正，最终获得满足精度要求的方程组的近似解。
2
设 A Rnn 非奇异，b Rn，则线性方程组
Ax b 有惟一解 x A1b ，经过变换构造
x (k 1) 1
x (k 1) 2
x1(k 2x1(k)
)

x(k) 2
4x2(k )
3 3
取
x (0) 1

x (0) 2

0
计算得

线性代数方程组迭代法PPT课件

超松弛法
收敛速度快
总结词
总结词
计算量较大
ABCD
详细描述
超松弛法具有较快的收敛速度，尤其对于大型线性方程组，能够显著减少迭代次数。
详细描述
由于超松弛法的计算量较大，因此在实际应用中可能需要考虑计算效率的问题。
CHAPTER 04
迭代法的实现步骤
初始化
设置初值
为方程组的解向量设定一个初始值。
迭代法的应用场景
当方程组的系数矩阵难以直接求解时，迭代法可以作为一种有效的替代方案。
在科学计算、工程技术和经济领域中，许多问题可以转化为线性代数方程组求解，而迭代法在这些领域有广泛的应用。
迭代法的优缺点
优点
迭代法通常比直接法更加灵活和通用，对于大规模和高维度的线性代数方程组，迭代法更加高效。
缺点
迭代法需要选择合适的迭代公式和参数，并且需要满足收敛条件，否则可能无法得到正确的解。此外，迭代法的计算过程比较复杂，需要较高的计算成本。
CHAPTER 02
迭代法的基本原理
迭代法的数学模型
迭代法是一种求解线性代数方程组的数值方法，通过不断迭代逼近方程的解。
迭代法的数学模型通常表示为：$x_{n+1} = T(x_n)$，其中$x_n$表示第 $n$次迭代时的近似解，$T(x)$表示迭代函数。
03
非线性方程组的迭代法在求解优化问题、控制问题等领域有广泛应用。
在优化问题中的应用
01
迭代法在优化问题中也有广泛应用，如求解无约束优化问题、约束优化问题和多目标优化问题等。
02
常见的优化问题迭代法包括梯度下降法、牛顿法和共轭梯度法
等。
这些方法通过不断迭代来逼近最优解，广泛应用于机器学习、

研究生数值分析(12)高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法

3 0.9843 1.9923 2.9938
4 0.9978 1.9989 2.9991
5 0.9997 1.9999 2.9999
高斯-赛德尔迭代矩阵 BG 的特征方程为
10 2 1 2 10 1 0 2 5
即 (500 2 54 2) 0
如在例8例9中，由于系数矩阵A是严格对角占优，由定理4立即可断定用雅可比迭代法与高斯 -赛德尔迭代法求解时，迭代过程都收敛。
4 2 2
又如矩阵
A

2
2 3
2 3 14
是对称正定阵（实对称阵是正定阵的，如果实二次型
f (x1, x2 , , xn ) X T AX
的分量时，当计算到 xi(k 1) 时,分量 x1(k1) ,
, x (k 1) i 1
都已经求得，而仍用旧分量 x1(k) ,
,
x( i 1
k
)
计算
x (k 1) i
。由于新计算出的分量比旧分量准确些，
因此设想一旦新分量 x1(k 1) ,
求出，马上就用新分量 x1(k 1) ,
代替雅可比迭代法中

x3(k
1)

0.2 x1( k 1)
0.4x2(k1)

2
取迭代初值
X (0)

( x1(0)ຫໍສະໝຸດ ,x (0) 2,
x (0) 3
)T
(0, 0, 0)T
按此迭代公式进行迭代，计算结果为
k
x (k) 1
x (k) 2
x (k) 3
00
0
0
1 0.3 1.56 2.684
2 0.8804 1.9445 2.9539

迭代算法PPT课件

点[4－6]：（1）ASIR 通过建立系统噪声模型，并利用迭代方法加以抑制，得到更清晰的图像；但
与 FBP 一样，ASIR 将系统的光学特性理想化，通过将 FBP 数据和 ASIR 数据按不同比例加权融合，达到不同程度的降噪效果，可以将复杂问题简单化，加快处理速度。在 Marin 等[7]的研究中，ASIR（约 10 幅图像/s）所需的平均时间仅比标准 FBP 重建（约 15 幅图像/s）长 50 ％，基本可以做到准实时重建，并且能较 FBP 重建明显提高图像质量。
讨论传统FBP算法是一种解析重组算法，自CT应用以
来一直被商业CT广泛应用。其优点是重组速度快，但它要求投影数据完备并且精确定量，该算法易受统计波动的影响，对噪声和伪影都非常敏感，投影数据量如果不足时，重组的图像质量就会明显下降。并且FBP算法为了更加易于操作，做了很多简化和假定，包括测量信号不含有光子统计错误和电子噪声、X射线球管的焦点是无穷小点、探测器模型也由位于每个单元中心的点构成、重组的体素是没有形状和大小的点。由于忽略了光学系统中真实的几何因素和统计噪声，FBP算法并不是一个精确的CT图像重组方法。并且由于FBP算法需要完备的数据，相应地也就要求较高的剂量。在目前剂量问题日益引起公众重视的今天，FBP算法显然已经不能完全满足临床的需要。
2 ASIR 技术成像的特点 GE 公司已经把 ASIR 技术装配到最先进的宝石 CT（Discovery CT750 HD）和 128 层 CT（Optima CT660）上并用于临床，重点是研究噪声消除、伪影抑制以及双能与能（量）敏（感）成像，现已取得了比较满意的效果。在实际临床应用中，它又具有以下几个技术特
减少辐射剂量，这将在临床上会得到更广
泛的应用，尤其对小病灶的检出和婴幼儿的检查。

矩阵的数值半径与谱半径的关系

矩阵的数值半径与谱半径的关系1.介绍矩阵理论是线性代数的一个重要分支，研究矩阵的性质对于理解和应用线性代数具有重要意义。

矩阵的数值半径和谱半径是矩阵理论中的两个重要概念，它们之间的关系对于理解矩阵的特征值和特征向量具有重要意义。

2.数值半径和谱半径的定义数值半径是矩阵的所有特征值绝对值的最大值，通常用符号ρ(A)表示。

谱半径是矩阵的所有特征值绝对值中的最大值，通常用符号ρ(A)表示。

3.数值半径与谱半径的关系研究矩阵的数值半径与谱半径的关系是矩阵理论中的一个重要问题。

根据矩阵理论的知识，可以得出以下结论：(1) 对于任意一个n阶矩阵A，都有ρ(A)≤γ(A)。

(2) 当且仅当矩阵A是对称正定矩阵或者Hermite矩阵时，有ρ(A)=γ(A)。

(3) 对于一般的矩阵A，ρ(A)与γ(A)之间的关系不是简单的大小关系，而是通过矩阵A的特征值分布情况来决定的。

4.数值半径与谱半径的计算方法矩阵的数值半径和谱半径的计算方法对于矩阵理论的研究和应用具有重要意义。

常用的计算方法有幂法、反幂法等，这些方法能够有效地计算矩阵的数值半径和谱半径，为矩阵理论的研究和应用提供了重要的工具。

5.矩阵的数值半径与谱半径的应用矩阵的数值半径与谱半径在科学和工程领域有着广泛的应用。

在数值计算和优化领域，矩阵的数值半径和谱半径能够帮助我们分析和评价算法的收敛速度和稳定性，为算法的设计和优化提供重要的参考。

在控制理论和信号处理领域，矩阵的数值半径和谱半径能够帮助我们分析系统的稳定性和性能，为系统的设计和优化提供重要的指导。

6.结论矩阵的数值半径与谱半径是矩阵理论中的重要概念，它们之间的关系对于理解矩阵的特征值和特征向量具有重要意义。

研究矩阵的数值半径与谱半径的关系能够帮助我们更好地理解和应用矩阵理论，为科学和工程领域的应用提供重要的理论支持。

希望本文能够对矩阵理论的研究和应用提供一些参考，促进学术界对于矩阵理论的深入讨论和探索。

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x* = B x* + f
x(k+1) – x*= B(x(k) – x*)
记 (k) = x(k) – x* ( k = 0, 1, 2, 3, ······ )
则有
(k+1) = B (k) (k) = B (k-1) ( k = 1, 2, 3, ······ )
.
2/215
(k) = B (k-1)=B2 (k-2)=···=Bk (0)
.
1122/15
所以 ||x(k)x*| | 1 ||x(k1)x(k)||
1||B||
x(k+1)–x(k) =(Bx(k)–f ) – (Bx(k-1)–f ) =B(x(k) – x(k-1) )
||x(k+1)–x(k)|| ≤ ||B || || x(k) – x(k-1) ||
误差估计:
对矩阵A2,求A2 x = b 的Jacobi迭代法发散, 而Gauss-Seidel迭代法收敛.
.
1100/15
误差估计定理
定理4.2 :设x*为方程组 Ax=b 的解若||B||<1,则对迭代格式 x(k+1) = B x(k) + f 有
(1) ||x(k)x*| | ||B|| ||x(k)x(k1)||
.
5/515
定理4.1 迭代法 x(k+1) = B x(k) + f 收敛
<=> 谱半径ρ(B) < 1
证: 对任何 n 阶矩阵B都存在非奇矩阵P使
B = P –1 J P
其中, J 为B的 Jordan 标准型
J1
J
J2
J
r
nn
.
其中, Ji 为Jordan块
i 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ji
1
i ni ni
(1) lim (k) 0 liB m k 0
k
k
(2) lim (k) 0 ||B | |1
k
lim [x(k) x*]0
k
limx(k) x*
k
迭代格式 x(k+1) = B x(k) + f 收敛！！
.
3/315
命题若||B||<1,则迭代法 x(k+1) =B x(k) +f 收敛
0 2
(1) BJ 1 0
2 2
(BJ)1
A1=[1,2,-2;1,1,1;2,2,1]
2
1 0
D=diag(diag(A1)); B1=D\(D-A1); max(abs(eig(B1)))
Ans= 1.2604e-005
.
88/15
0 2 2 BS 0 2 3
0 0 2
DL=tril(A1) B1=DL\(DL-A1) max(abs(eig(B1)))
6/615
其中,λi 是矩阵B的特征值, 由 B = P –1 J P B k = (P –1 J P) (P –1 J P) ···(P –1 J P)= P –1 J k P
迭代法
x(k+1) = B x(k) + f 收敛 <=> limBk 0 k limJk 0 k
lkimik 0
||x(k)x*| | ||B|| ||x(k)x(k1)|| 1||B||
||x(k)x*| | ||B|k | ||x(1)x(0)|| 1||B||
.
1133/15
n
证: 由(k) = B (k-1),得 || (k)|| ≤ || B|| || (k-1)||
( k = 1, 2, 3, ······ )
|| (k)|| ≤ || B||k || (0)||
|| B|| < 1
li|m |(k)| |li|m B ||k | |(0 )| |0
k
k
所以
lim(k) 0
k
.
4/415
矩阵A的谱
设n阶方阵A的n个特征值为: 1,2,,n
则称集合 {1,2,,n}
为A的谱. 记为 ch A
特征值取模最大
矩阵A的谱半径 (A)m 1kna|xk|
注1: 当A是对称矩阵时, ||A||2 = (A)
注2: 对 Rn×n 中的范数|| ·||,有
(A) ≤ || A ||
||x(k+1) – x(k) ||= ||(x*– x(k)) – (x* – x(k+1))||
≥||(x*– x(k)) || – ||(x* – x(k+1))|| ≥ ||(x*– x(k))|| –||B|| ||(x* – x(k))|| = ( 1 - || B ||) ||(x* – x(k))||
1||B||
(2)
||x(k)x*| | ||B|k | ||x(1)x(0)|| 1||B||
.
1111/15
证由||B||<1,有
limx(k) x*
k
x(k+1)–x* =(Bx(k)+f ) – (Bx*+f ) =B(x(k) – x* )
|| x(k+1) – x* || ≤ ||B|| || x(k) – x* || 所以
(BS)2 Ans= 2
(2) A2=[2, -1, 1; 1, 1, 1; 1, 1, -2]
0 1/ 2 1/ 2
BJ
1
0
1
1/ 2 1/ 2 0
D=diag(diag(A2)) B2=D\(D-A2) max(abs(eig(Bj)))
(BJ)1.1180Ans= 1.1180
.
9/915
《数值分析》10
迭代法的收敛性
Convergence of iterative method
迭代矩阵谱半径
Spectral radius
对角占优矩阵
diagonally dominant matrix
.
1
原始方程: A x = b 迭代格式: x(k+1) = B x(k) + f
设方程组的精确解为 x*,则有
0 1/ 2 1/ 2 BS 0 1/ 2 1/ 2
0 0 1/ 2
(BS)1/2
DL=tril(A2) B2=DL\(DL-A2) max(abs(eig(B2)))
Ans= 1/2
两种迭代法之间没有直接联系
对矩阵A1,求A1 x = b 的Jacobi迭代法收敛, 而Gauss-Seidel迭代法发散;
(i = 1, 2,···, r)
| i | 1 m 1iar x|i |1
(i = 1, 2,···, r) 谱半径 (B) < 1
.
7/715
例线性方程组 A x = b, 分别取系数矩阵为
1 2 2
A1 1 1
1
2 2 1
2 1 1
A2 1 1
1
1 1 2
试分析Jacobi 迭代法和 Seidel 迭代法的敛散性