人教版高中数学高二选修2-3练习：第一章1.3-1.3.1二项式定理word版含解析

1.3 二项式定理1．3.1 二项式定理1．能用计数原理证明二项式定理．(重点)2．能记住二项式定理和二项展开式的通项公式．(重点)3．能解决与二项式定理有关的简单问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理二项式定理阅读教材P29～P31，完成下列问题．1．二项式定理(1)公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n b n(n∈N*)叫做二项式定理．(2)(a＋b)n的二项展开式共有n＋1项，其中各项的系数C k n (k＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．2．二项展开式的通项(a＋b)n的二项展开式中的C k n a n－k b k叫做二项展开式的通项，用T k＋1表示，即通项为展开式的第n＋1项：T k＋1＝C k n a n－k b k.温馨提示：二项式系数C r n与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，项的系数与二项式、二项式的指数及项数均有关．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．( )(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．( )(3)C k n a n－k b k是(a＋b)n展开式中的第k项．( )(4)(a －b )n 与(a ＋b )n 的二项式展开式的二项式系数相同．( ) 【解析】 (1)× 因为(a ＋b )n 展开式中共有n ＋1项．(2)× 因为二项式的第k ＋1项C k n a n －k b k 和(b ＋a )n 的展开式的第k ＋1项C k n b n －k a k 是不同的，其中的a ，b 是不能随便交换的．(3)× 因为C k n a n －k b k 是(a ＋b )n 展开式中的第k ＋1项．(4)√ 因为(a －b )n 与(a ＋b )n 的二项式展开式的二项式系数都是C r n . 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√[小组合作型]二项式定理的正用、逆用(1)用二项式定理展开⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －32x25； (2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k ＋…＋(－1)n C n . 【精彩点拨】 (1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x ＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．【自主解答】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －32x25＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32x2＋…＋C 5⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32x25 ＝32x 5－120x 2＋180x －135x4＋4058x7－24332x10.(2)原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k (－1)k ＋…＋C n (－1)n ＝[(x ＋1)＋(－1)]n ＝x n.1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．[再练一题] 1．(1)求二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －1x 4的展开式； (2)化简(x －2)5＋5(x －2)4＋10(x －2)3＋10(x －2)2＋5(x －2).【导学号：29472028】【解】 (1)⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －1x 4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1x ＋C 24(3x )2⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x 3＋C 4⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1x 4＝81x 2－108x ＋54－12x ＋1x2.(2)原式＝C 05(x －2)5＋C 15(x －2)4＋C 25(x －2)3＋C 35(x －2)2＋C 45(x －2)＋C 5(x －2)0－1 ＝[(x －2)＋1]5－1＝(x －1)5－1.二项式系数与项的系数问题(1)求二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －1x 6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －1x 9的展开式中x 3的系数．【精彩点拨】 利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．【自主解答】 (1)由已知得二项展开式的通项为T r ＋1∴第6项的二项式系数为C 56＝6， 第6项的系数为C 56·(－1)·2＝－12.(2)T r ＋1＝C r 9x9－r·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x r＝(－1)r ·C r 9·x 9－2r ， ∴9－2r ＝3，∴r ＝3，即展开式中第四项含x 3，其系数为(－1)3·C 39＝－84.1．二项式系数都是组合数C k n (k ∈{0,1,2，…，n })，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．2．第k ＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C k n .例如，在(1＋2x )7的展开式中，第四项是T 4＝C 3717－3(2x )3，其二项式系数是C 37＝35，而第四项的系数是C 3723＝280.[再练一题] 2．(1)已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －a x 5的展开式中含x 32的项的系数为30，则a ＝( )A.3 B ．－3C ．6D ．－6(2)设(x －2)n展开式中，第二项与第四项的系数之比为12，则含x 2的项是________．【解析】 (1)T r ＋1＝C r 5(x )5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a x r ＝C r 5(－a )r x ，由5－2r 2＝32，解得r ＝1.由C 15(－a )＝30，得a ＝－6.故选D.(2)(x －2)n 展开式的第二项与第四项分别为T 2＝C 1n x n －1(－2)＝－2C 1n x n －1，T 4＝C 3n x n－3(－2)3＝－22C 3n x n －3. 依题意得－2C1n－22C3n ＝12，即n 2－3n －4＝0，解得n ＝4(舍去n ＝－1)． 设(x －2)4展开式中含x 2的项为第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 4x 4－r (－2)r .由4－r ＝2，得r ＝2，即(x －2)4展开式中含x 2的项为T 3＝C 24x 2(－2)2＝12x2.【答案】 (1)D (2)12x 2[探究共研型]求展开式中的特定项探究1 如何求⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项．【提示】 利用二项展开式的通项C r 4x 4－r·1xr ＝C r 4x 4－2r求解，令4－2r ＝0，则r ＝2，所以⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项为C 24＝4×32＝6.探究2 (a ＋b )(c ＋d )展开式中的每一项是如何得到的？【提示】 (a ＋b )(c ＋d )展开式中的各项都是由a ＋b 中的每一项分别乘以c ＋d 中的每一项而得到．探究3 如何求⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项？【提示】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项是由x ＋1x 中的x 与1x 分别与(2x ＋1)3展开式中常数项C 3＝1及x 2项C 1322x 2＝12x 2分别相乘再把积相加得x ·C 3＋1x ·C 13(2x )2＝x ＋12x ＝13x .即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项为13x .已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n的展开式中，第6项为常数项． (1)求n；(2)求含x2项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．【自主解答】 通项公式为：(1)∵第6项为常数项，∴r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10.(2)令10－2r 3＝2，得r ＝12(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210(－3)2＝405.(3)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧10－2r3∈Z，0≤r≤10，r∈Z.令10－2r 3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k .∵r ∈Z ，∴k 应为偶数，k ＝2,0，－2，即r ＝2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x 2， －61 236,295 245x －2.1．求二项展开式的特定项的常见题型 (1)求第k 项，T k ＝C k －1n a n －k ＋1b k －1； (2)求含x k 的项(或x p y q 的项)； (3)求常数项； (4)求有理项．2．求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．[再练一题]3．(1)在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是________． (2)若⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －a x26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________. 【导学号：29472029】【解析】 (1)x 5应是(1＋x )10中含x 5项、含x 2项分别与1，－x 3相乘的结果， ∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －a x26的展开式的通项是T k ＋1＝C k 6x 6－k · (－a )k x －2k ＝C k 6x 6－3k (－a )k ，令6－3k ＝0，得k ＝2，即当k ＝2时，T k ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知得C 26a ＝60，解得a ＝4. 【答案】 (1)207 (2)41．化简(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1得( ) A ．(x －1)4 B ．x 4 C ．(x ＋1)4D ．x 5【解析】 原式＝[(x －1)＋1]4＝x 4. 【答案】 B2．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式中常数项是( )A ．－28B ．－7C ．7D ．28【解析】 T k ＋1＝C k 8·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 28－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13xk ＝(－1)k·C k 8·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫128－k ·x 8－43k ， 当8－43k ＝0，即k ＝6时，T 7＝(－1)6·C 68·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝7. 【答案】 C3．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x2－1x 6的展开式中，中间项是________．【解析】 由n ＝6知中间一项是第4项， 因为T 4＝C 36(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x 3＝C 36·(－1)3·23·x 3， 所以T 4＝－160x 3. 【答案】 －160x 34．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x2－12x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________.【导学号：29472030】【解析】 T k ＋1＝C k 9·(x 2)9－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12x k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12k ·C k 9·x 18－3k ，当k ＝3时，T 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123·C 39·x 9＝－212x 9，所以第4项的二项式系数为C 39＝84，项的系数为－212.【答案】 84 －2125．求⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x3＋23x25的展开式的第三项的系数和常数项． 【解】 T 3＝C 25(x 3)3⎝⎛⎭⎪⎪⎫23x22＝C 25·49x 5，所以第三项的系数为C 25·49＝409. 通项T k ＋1＝C k 5(x 3)5－k ⎝⎛⎭⎪⎪⎫23x2k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23k ·C k 5x 15－5k ，令15－5k ＝0，得k ＝3，所以常数项为T 4＝C 35(x 3)2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x23＝8027.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1.3.1 二项式定理一、选择题1．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( )A ．－27C 610B ．27C 410 C ．－9C 610D ．9C 4102．在⎝⎛⎭⎫2x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是( )A ．3B ．5C ．8D ．103．在⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中，常数项为15，则n 的一个值可以是( )A ．3B ．4C ．5D ．64．(x ＋a x )5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于( )A ．－1 B.12 C ．1 D ．25．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是() A.112＜x ＜15 B.16＜x ＜15 C.112＜x ＜23 D.16＜x ＜256．在⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －1220的展开式中，系数是有理数的项共有( )A ．4项B ．5项C ．6项D ．7项二、填空题7．若⎝⎛⎭⎫x 2＋1ax 6的二项展开式中x 3的系数为52，则a ＝________(用数字作答)． 8．(1＋x ＋x 2)(x －1x)6的展开式中的常数项为________． 三、解答题9．m 、n ∈N *，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数．10．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x n 展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最大的项．。

二项式定理____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.熟练掌握二项式定理的有关概念.2.利用二项式定理解决三项以上的展开式问题.3.理解二项式系数与展开式系数的区别.4.利用二项式定理证明不等式. 1.二项式定理的概念:011*();n n r n r rn nn n n n C a C a b C a b C b n --+++++∈N 这个公式就叫做二项式定理,右边的多项式叫做()na b +的二项展开式；它一共有n +1项，其中r n rr n C ab -叫做二项展开式的通项.注意:(1)展开式共有n+1项.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n.(3)字母a 的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到为0，字母b 的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n.2.展开式中二项式系数的性质:(1)m n mn n C C -=(2)11mm m n n n C C C -++=(3)当12n r -<时，1;r r n n C C +<当12n r ->时，1r r n n C C +< (4)01nn n n C C C +++2n =类型一.二项式定理的有关概念例1：有二项式102)3x-. (1)求展开式第4项的二项式系数； (2)求展开式第4项的系数； (3)求第4项.[解析] 102)3x 的展开式的通项是10110r r r T C -+=⋅2()(0,1,,10).3r r x-=(1)展开式的第4项的二项式系数为(2)310120.C =(2)展开式的第4项的系数为3731023()3C ⋅⋅-=77760.-(3)展开式的第4项为：731()x -⋅=-练习1：在24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A.3项 B.4项C.5项D.6项[答案] C[解析] 72524612424.rr rr rr T C C x --+=⋅⋅=⋅所以7256r -为正整数,而r ∈[0，24]，所以r=0，6，12，18，24共5项，类型二.二项式系数的特点及性质例2：已知1(2)2na +的展开式中第五、六、七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项.[解析] 因为4652,n n n C C C +=所以!!4!(4)!6!(6)!n n n n +--2!.5!(5)!n n =-即221980,n n -+=解得n =14或7.当n =14时，第8项的二项式系数最大，778141().2T C =⋅77(2)3432.a a =当n =7时，第4项与第5项的二项式系数最大. 练习1：282()x x+的展开式中x 4的系数是( ) A .16B .70C .560D .1120[答案] D[解析] 设含x 4的为第281821,()()rrr r r T C x x-++==416382,1634,r r C x r --=所以r=4,故系数为4482C =1120.类型三.二项式定理的基本应用例3：求二项式210(x 展开式中的常数项.[解析] 210(x +的第r +1项为5202102110101()()(0,2rr rr rr r T C x C xr --+=⋅=⋅=1,,10).令5200,2r -=得r =8.所以88910145().2256T C =⋅=所以第9项为常数项，为45.256练习1：在二项式251()x x-的展开式中,含x 4的项的系数是( )A .-10B .10C .-5D .5[答案] B[解析] 对于25151()()(1)r rr r r T C x x-+=-=-⨯1035r r C x -,对于10-3r=4,r=2,则x 4的项的系数是225(1)10.C -=类型四.二项式定理的综合应用例4：利用二项式定理证明对一切*,n ∈N 都有12(1) 3.nn≤+<[解析] 因为01223111(1)()n n n n n C C C C n n n +=+⋅+⋅+⋅2111()()112!nn n C nn ++⋅=++⋅11()3!n n -+⋅121121()()()()().!n n n n n n n n n n----+⋅ 所以111112(1)222!3!!12n n n ≤+<++++<++⋅．．．仅当n=1时，1(1)2;n n +=当n ≥2时，12(1)nn<+ 3.<练习1：(12)nx +的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.[解析] 556667(2),(2)n n T C x T C x ==，依题意，有556622,n n C C =解得n =8.所以8(12)x +的展开式中，二项式系数最大的项为5T 4448(2)1120.C x x =⋅=设第r +1项系数最大，因为各项系数大于零，所以有1188118822,22,r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩解得5≤r ≤6.所以r =5或r =6(因为r ∈{0，1，2，…，8}).所以系数最大的项为6T =5671792,1792.x T x =1.在()nx y +展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( ) A.第6项 B.第5项 C.第5、6项 D.第6、7项[答案] Ａ2.11(1)x -展开式中偶数项的系数和为( ) A.102 B.102-C.112D.1121-[答案] Ｂ ３.若n的展开式中存在常数项，则n 的值可以是( ) A.8B.9C.10D.12[答案] Ｃ４.234(1)x x x +++的展开式中奇次项系数的和是( ) A.64B.120C.128D.256[答案] Ｃ５.6(2)x +的展开式中x 3的系数是( ) A .20B .40C . 80D .160[答案] Ｄ ６.921()x x-的展开式中的常数项是( ) A.39C B.39C -C.29CD.29C -[答案] Ｂ7.10()x y -的展开式中,73x y 的系数与37x y 系数之和等于______. [答案] －240 8.在323(1)(1(1x +++++的展开式中,x 的系数为______.(用数字作答)[答案] 7__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________基础巩固1.若4(1a =+(a ,b 为有理数),则a +b =( ) A .53B .29C .23D .19[答案] Ｂ 2.3821()2a b-的展开式中所有项系数总和是( ) A .28B.812 C .0 D .1[答案] Ｂ3.21()nx x-的展开式中,常数项为15,则n =( ). A .3B .4C .5D .6[答案] Ｄ4.若31(2)na a+的展开式的常数项是第7项,则正整数n 的值为( ) A .7B .8C .9D .10[答案] Ｂ5.若32(4)na b +的展开式中有一项是128.ma b 则m ，n 的值分别为________.[答案] 17920,86. 在()52x +的展开式中，3x 的系数为_______．（用数字作答） [答案] 40 7.的展开式中，的系数等于_______．（用数字作答）[答案] 80()52x +2x8.已知n 的展开式中偶数项的二项式系数的和比2()na b +的展开式中奇数项的二项式系数的和小120，求第一个展开式中的第三项.[答案] 2()na b +的展开式中奇数项的二项式系数的和为212,n-n+的展开式中偶数项的二项式系数的和为12.n -依题意，有12122120,n n --=-即2(2)22400.n n --=解得216n=或215n=-(舍去).所以n =4.于是，第一个展开式中的第三项为22234T C=6= 能力提升１. 的展开式中，的系数为( ) A ．10 B.20 C.30 D.60[答案] C２. 的展开式中的系数是__________.（用数字填写答案） [答案] 353.若(31)nx +的展开式中各项系数的和是256，则展开式中2x 的系数为________. [答案] 54 4.若32(1)1,n nx x ax bx nx +=+++++且a ：b =3：1，那么n =________.[答案] 11５. 二项式的展开式中的系数为15，则（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】 C6.若22012(1)nx x a a x a x ++=++++220242,n n n a x a a a a ++++则等于（ ）A .2nB.312n -C.12n +D.312n +[答案] Ｄ7.29928(3281)(572)x x x x +--+的展开式的常数项是( ). A .0B .2C .-2D .-28[答案] Ｄ8.(1)求7(12)x +展开式中系数最大的项; (2)求(1-2x )7展开式中系数最大的项.25()x x y ++52x y 371()x x+5x (1)()nx n N ++∈2x n =[答案] 利用展开式的通项公式,得到系数的表达式,进而求出其最大值, (1)设第r +1项系数最大,则有1177117722,22,r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩①②即117!7!22,!(7)!(1)!(71)!7!7!22,!(7)!(1)!(71)!r r r r r r r r r r r r -+⎧⋅≥⋅⎪---+⎪⎨⎪⋅≥⋅⎪-+--⎩ 即21,812,71r r r r ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩解得16,313.3r r ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩又07,,5r r N r ≤≤∈∴=.∴系数最大的项为555565172672.T T C x x +==⋅⋅=(2)展开式共有8项,系数最大项必为正项,即在第1,3,5,7这4项中取得,又因(1-2x )7括号内的两项中,后项系数绝对值大于前项系数绝对值,故系数最大项必在中间或偏右,故只须比较T 5和T 7两项系数的大小即可.∴系数最大的项是第五项,44457(2)560.T x x C =-=。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设S ＝(x －1)3＋3(x －1)2＋3(x －1)＋1，则S 等于( ) A ．(x －1)3 B ．(x －2)3 C ．x 3D ．(x ＋1)3【解析】 S ＝[(x －1)＋1]3＝x 3. 【答案】 C2．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 7 的展开式的第4项等于5，则x 等于( )A.17 B ．－17 C ．7D ．－7 【解析】 T 4＝C 37x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝5，则x ＝－17. 【答案】 B3．若对于任意实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12【解析】 x 3＝[2＋(x －2)]3，a 2＝C 23×2＝6. 【答案】 B4．使⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7【解析】 T r ＋1＝C r n (3x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r ＝C r n3n －rxn －52r ，当T r ＋1是常数项时，n －52r ＝0，当r ＝2，n ＝5时成立．【答案】 B5．(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3【解析】 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15展开式的通项为：T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25－r ·(－1)r ＝C r 5·x 2r －10·(－1)r. 当2r －10＝－2，即r ＝4时，有x 2·C 45x －2·(－1)4＝C 45×(－1)4＝5； 当2r －10＝0，即r ＝5时，有2·C 55x 0·(－1)5＝－2. ∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D. 【答案】 D 二、填空题6．(2016·安徽淮南模拟)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x 2的系数为________．【解析】 由题意知，C 2n ＝C 6n ，∴n ＝8.∴T k ＋1＝C k 8·x 8－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ＝C k 8·x 8－2k ，当8－2k ＝－2时，k ＝5，∴1x 2的系数为C 58＝56.【答案】 567．设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________．【解析】 对于T r ＋1＝C r 6x 6－r (－ax －12)r ＝C r 6(－a )r ·x 6－32r ，B ＝C 46(－a )4，A＝C 26(－a )2.∵B ＝4A ，a >0，∴a ＝2. 【答案】 28．9192被100除所得的余数为________．【解析】 法一：9192＝(100－9)92＝C 092·10092－C 192·10091·9＋C 292·10090·92－…＋C 9292992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝C 092·1092－C 192·1091＋…＋C 9092·102－C 9192·10＋1， 前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，故9192被100除可得余数为81.法二：9192＝(90＋1)92＝C 092·9092＋C 192·9091＋…＋C 9092·902＋C 9192·90＋C 9292. 前91项均能被100整除，剩下两项和为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81.【答案】 81 三、解答题9．化简：S ＝1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C n n (n ∈N *)．【解】 将S 的表达式改写为：S ＝C 0n ＋(－2)C 1n ＋(－2)2C 2n ＋(－2)3C 3n ＋…＋(－2)n C n n ＝[1＋(－2)]n ＝(－1)n .∴S ＝(－1)n＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为偶数时，－1，n 为奇数时.10．(2016·淄博高二检测)在⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x 2的项．【解】 (1)第3项的二项式系数为C 26＝15，又T 3＝C 26(2x )4⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2＝24·C 26x ，所以第3项的系数为24C 26＝240. (2)T k ＋1＝C k 6(2x )6－k ⎝⎛⎭⎪⎫－1x k＝(－1)k 26－k C k 6x 3－k，令3－k ＝2，得k ＝1. 所以含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2.[能力提升]1．(2016·吉林长春期末)若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( )A ．x ＝4，n ＝3B ．x ＝4，n ＝4C ．x ＝5，n ＝4D ．x ＝6，n ＝5【解析】 C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n －1，分别将选项A 、B 、C 、D 代入检验知，仅C 适合．【答案】 C2．已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x )2＋(1－x )3＋…＋(1－x )n 中x 2项的系数为( )A ．－19B ．19C ．20D ．－20【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的通项公式为T r ＋1＝C r n (x )n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r n x n 2－5r 6，由题意知n 2－5×36＝0，得n ＝5，则所求式子中的x 2项的系数为C 22＋C 23＋C 24＋C 25＝1＋3＋6＋10＝20.故选C.【答案】 C3．对于二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x 3n (n ∈N *)，有以下四种判断：①存在n ∈N *，展开式中有常数项；②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项；③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项；④存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项．其中正确的是________．【解析】 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x 3n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n x 4r －n，由通项公式可知，当n ＝4r (r ∈N *)和n ＝4r －1(r ∈N *)时，展开式中分别存在常数项和一次项．【答案】 ①与④4．求⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25的展开式的常数项. 【导学号：97270023】【解】 法一：由二项式定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝C 05·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5＋C 15·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2＋C 25·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 3·(2)2＋C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3＋C 45·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ·(2)4＋C 55·(2)5. 其中为常数项的有： C 15⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2中的第3项：C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2； C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3中的第2项：C 35C 12·12·(2)3；展开式的最后一项C 55·(2)5. 综上可知，常数项为C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2＋C 35C 12·12·(2)3＋C 55·(2)5＝6322. 法二：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5 ＝132x 5·[(x ＋2)2]5＝132x 5·(x ＋2)10.求原式中展开式的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5的项的系数，即C 510·(2)5，所以所求的常数项为C 510·(2)532＝6322.。