微积分初步期末模拟试题
一、填空题（每小题4分，本题共20分）
1．函数24)2(2+-=-x x x f ，则=)(x f 22-x 。
2．若函数⎪⎩
⎪⎨⎧
=≠+=0,0
,13sin )(x k x x
x x f ,在0=x 处连续，则=k 1 。 3．曲线x y =在点)1,1(处的切线斜率是 2
1
。
4．=-⎰-x x x x d )2cos (sin 112 3
2
- 。
5．微分方程x y xy y sin 4)(6
)5(3=+''的阶数为 5 。
二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）
1．函数x x x
x f -+-=
5)
2ln()(的定义域是（ D ）。
A ．),2(+∞
B ．]5,2(
C ．)5,3()3,2(⋃
D ．]5,3()3,2(⋃ 2．设x y 2lg =，则=y d （ A ）。
A ．x x d 10ln 1
B ．x x
d 1 C ．x x d 21 D ．x x d 10ln
3．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调减少的是（ B ）。
A ．x sin
B ．x -3
C ．2x
D ．x e 4．若函数)0()(>+=x x x x f ，则='⎰x x f d )(（ C ）。
A ．c x x ++2
B ．c x x ++23
23
2
21
C ．c x x ++
D ．c x x ++232
2
3
5．微分方程0='y 的通解为（ D ）。
A ．0=y
B ．cx y =
C ．c x y +=
D ． c y = 三、计算题（本题共44分，每小题11分）
1．计算极限9
15
2lim 223--+→x x x x 。
解：原式3
4
)3)(3()3)(5(lim
3=+--+=→x x x x x 2．设x x x y 3cos +=，求y d 。
解：x s x y in332
3
21
-='
x x s x y d )in332
3(d 2
1-=
3．计算不定积分x x d )12(10⎰-。
解：x x d )12(10⎰-=
c x x x +-=--⎰1110
)12(22
1)12(d )12(21 4．计算定积分x x x d e 10
⎰。
解：x x x d e 1
0⎰-=1
e x x 1e e d e 1
10
=-=⎰
x x x
四、应用题（本题16分）
用钢板焊接一个容积为43m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？
解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24
x
h =
所以,16
422x
x xh x S +=+=
216
2x
x S -='
令0='S ，得2=x ，
因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2==h x 时水
箱的表面积最小，
此时的费用为 16040102=+⨯=x S （元）
一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数22)1(2+-=-x x x f ，则=)(x f
12+x ．
⒉=→x x x 2sin lim 0 2 ． ⒊曲线2
1
-=x
y 在点)1,1(处的切线方程是 2
3
21+-=x y
．
⒋='⎰x x d )(sin c x +sin ．
⒌微分方程y x x y y x +='+'''e sin )(4的阶数为 3 ．
二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数)
2ln()(+=
x x
x f 的定义域是（ C ）．
A ． ),2(+∞-
B ．),1(+∞-
C ．),1()1,2(+∞-⋃--
D ．),0()0,1(+∞⋃-
⒉当=k （ B ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,
,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．1-
⒊下列结论中（ D ）不正确．
A ．若)(x f 在[a ，b ]内恒有0)(<'x f ，则在[a ，b ]内函数是单调下降的.
B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.
C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.
D ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. ⒋下列等式成立的是（ A ）． A ．
)(d )(d d
x f x x f x
=⎰ B ．)(d )(x f x x f ='⎰ C ．)(d )(d x f x x f =⎰ D ．)()(d x f x f =⎰
⒌下列微分方程中为可分离变量方程的是（ C ）
A. y x x y +=d d ；
B. )(d d x y x x y +=；
C. y xy x y +=d d ；
D. x xy x
y sin d d +=
三、计算题（本题共44分，每小题11分）
⒈计算极限3
29
lim 223---→x x x x ．
解：原式23
13lim )3)(1()3)(3(lim
33=++=-+-+=→→x x x x x x x x ⒉设x x y 1
sin ln +=，求y d .
解：)1
(1cos 12x
x x y -+='
x x x x y d ))1cos(1(d 2
-= ⒊计算不定积分x x x os
d 1c 2⎰
解：x x
x os
d 1c 2⎰= c x x x +-=-⎰1
sin )1(d 1cos
⒋计算定积分
x x x d ln e
1
⎰
