数学基础——微积分基础

二、如果f ( x) u( x) v( x), 则
f ( x)dx u( x)dx v( x)dx
三、如果f ( x) u(v)v'( x), 则
f ( x)dx u(v)v'( x)dx u(v)dv
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补充知识 微积分初步 5.4 通过不定积分计算定积分
O ta t tb
t
间 隔tb
ta 被t1
ta
,
t2 ,
t3
tn
,
t
分
b
成n段
，
每
段
间
隔t
,
个时刻的速度分别为v(t1),v(t2 ),v(t3 ) v(tn ).
sab v(t1 )t v(t2 )t v(t3 )t v(tn )t
v(ti )t i 1
几何意义：以 vi 为高的各小矩形面积之和。
5.
dx xa
1
6.0 sin2xdx
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3、求y ax2(a为常数）的导数。
4、求y x2e x的导数 5、求y 3x2 2 的导数。
5x 1
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补充知识 微积分初步
6、求y cos(ax b（) a、b为常数）的导数。
7、求y x2 1的导数。
8、求y x2eax（2 a为常量）的导数。
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b
a f (x)dx (b) (a)
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补充知识 微积分初步 5.3 不定积分及其运算
若f ( x) '( x)，则( x)称为f ( x)的 逆导数或原函数
函数逆导数不唯一
函数逆导数的通式称为函数的不定积分
f ( x)dx ( x) C
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补充知识 微积分初步 基本不定积分公式
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补充知识 微积分初步
1
1
(5)
y f (x) x
y' x2
(6) y f ( x) x
y' f '( x) 1 2x
结论 y xn
y' dxn nx n1 dx
n为任何数
其它常用 求导公式
f ( x) sin x f '( x) cos x
f ( x) cos x f '( x) sin x
求得不定积分 f ( x)dx ( x) C后
将 上 下 限 的 数 值 代 入 相减 即 得 到 定 积 分 的 值
b
a f ( x)dx (b) (a)
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补充知识 微积分初步
例：
1. 5x2dx
2. (3x2 x 4)dx
3. sin(ax b)dx
4. sin x cos xdx
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补充知识 微积分初步
v(t)
n
sab
lim
t 0 n
i 1
v(ti )t
O ta t tb
t
几何意义：tb ta区间内v(t)曲线下的面积。
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补充知识 微积分初步
5.1.2 变力做功
设力与物体运动方向一致，力与位置函数关系如
图，求物体从 sa到sb处力对其所做的功。
将sb san等 分 ， 间 隔 为s, 在 每 个 小 F(s)
间 隔中 视F (si )为 恒量 ， 在 每个 小 间
隔 内力 做 功 为: A F (si ) s.
力从sa到sb之间所做功为：
O sa
sb s
n
A F (si )s i 1
n
A
lim
s0 n
i 1
F ( si
)s
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3x2 x 2
lim f ( x) lim
5
x 1
x1 x 1
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补充知识 微积分初步
2.2 函数的变化率——导数
y f (x)
——静态
y
x
——动态
x, y
增量，可正、可负
y f ( x0 x) f ( x0 ) 平均变化率
x
x
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补充知识 微积分初步
补充知识 微积分初步 1、函数
y f (x)
y f (x) 3x 2
F f (x, y, z,t)
自变量、因变量、常量、 一元函数、多元函数
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1
补充知识 微积分初步
2、导数
2.1 极限
例：
lim f ( x) a
x x0
y f (x) 3x2 x 2 x 1
(3x 2)(x 1) 3x 2 x 1
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补充知识 微积分初步 4、微分
4.1 自变量的微分—自变量的无限小增量
x dx
4.2 函数的微分—函数的导数乘以自变量的微分
dy f '( x)dx f '( x) dy
dx
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Hale Waihona Puke Baidu
补充知识 5、积分
微积分初步
v(t)
5.1 两个例子
5.1.1 变速直线运动的路程计算
ta tb 质点走的路程
f ( x) 被积函数
a, b 上下限
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补充知识 微积分初步
例：
s tbv(t )dt ta
A sb F (s)ds sa
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补充知识 微积分初步
积分定理
如果被积函数f (x)是某个函数(x)的导数，即 f (x) '(x),
则在x a到x b区间内f (x)对x的定积分等于(x)在 这个区间内的增量，即
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补充知识 微积分初步
2.3导数的几何意义
曲线的切线: P1→P0时， 0
割线 P0 P1 的斜率
tan MP1 y
P0M x
P1→P0时 割线斜率的极限
tan0
lim tan
P1 P0
lim y x0 x
f '(x)
导数的几何意义是切线的斜率
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补充知识 微积分初步
3、导数的运算
3.1 基本函数的导数运算
(1) y f ( x) C(常量）
y' lim f ( x x) f ( x) lim C C 0
x 0
x
x0 x
(2) y f ( x) x y' f '( x) 1
(3) y f ( x) x2 y' f '( x) 2x
(4) y f ( x) x3 y' f '( x) 3x2
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补充知识 微积分初步
5.2 定积分
y f (x)
取 自 变 量 区 间a b, 将 其n等 分 ， 每 小 段
n
间 隔 为x, 则 当 lim
x0 n
i 1
f ( xi )x, 可用符号
b f ( x)dx来 表 示 。 即 ： a
b
n
a
f ( x)dx lim
x0 n
i 1
f ( xi )x
f ( x) ln x f (x) ex
f '(x) 1 x
f '(x) ex
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补充知识 微积分初步
3.2 导数运算的几个定理
定理一 d u( x) v( x) du dv
dx
dx dx
定理二 d u( x)v( x) v( x) du u( x) dv
dx
dx
函数 f ( x)
xn (n 1)
不定积分 f ( x)dx
x n1 C
n1
sin x cos x
1 x
cos x C
sin x C
ln | x | C
ex
ex C
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补充知识 微积分初步 积分运算定理
一、如果f ( x) au( x（) a为常数），则
f ( x)dx a u( x)dx
dx
定理三
d dx
[ u( x)] v( x)
v(
x)
du u( x) dx [v( x)]2
dv dx
定理四 d u[(v( x)] du dv
dx
dv dx
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补充知识 微积分初步 例题
1、求y x2 a2(a为常数）的导数
2、求y ln x (a为常数）的导数。 a
y对x的微商或导数
y' f '( x) lim y lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0 x x0
x
其他表示： dy , df , d f ( x) dx dx dx
二阶导的表示：
y''
f ''(x)
d2y dx2
d ( dy ) dx dx
d dx
f '(x)
高阶导以此类推