1.3.2简单的逻辑连接词：非(not)学习目标 1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“¬p”命题.2.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的初步应用.3.理解命题的否定与否命题的区别.知识点一命题的否定思考1观察下列两个命题：①p：5是25的算术平方根；q：5不是25的算术平方根；②p：y＝cos x是偶函数；q：y＝cos x不是偶函数，它们之间有什么关系？逻辑联结词中“非”的含义是什么？答案命题q是对命题p的否定，非表示“否定”“不是”“问题的反面”等.思考2你能判断思考1中问题所描述的两个命题的真假吗？p的真假与¬p的真假有关系吗？答案①p为真命题，q为假命题；②p为真命题，q为假命题.若p为真命题，则¬p为假命题.(1)对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定”.“¬p”形式命题：若p是真命题，则¬p必是假命题；若p是假命题，则¬p必是真命题. (2)逻辑联结词中“非”与生活中的“非”含义一致，表示“否定”“问题的反面”等，若把p看作集合A，则¬p就是集合A的补集.知识点二命题的否定与否命题的区别思考已知命题p：平行四边形的对角线相等，分别写出命题p的否命题和命题p的否定. 答案命题p的否命题：如果一个四边形不是平行四边形，那么它的对角线不相等；命题p 的否定：平行四边形的对角线不相等.(1)命题的否定只否定结论，否命题既否定结论也否定条件，这是区分两者的关键，解答此类问题，首先要找出命题的条件与结论，再作出准确的否定.(2)注意常见词语的否定形式：类型一命题的否定例1写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)p：y＝sin x是周期函数；(2)p：实数的绝对值都大于0；(3)p：菱形的对角线垂直平分；(4)p: 若xy＝0，则x＝0或y＝0.解(1)¬p：y＝sin x不是周期函数，假命题.(2)¬p：实数的绝对值不都大于零，真命题.(3)¬p：菱形的对角线不垂直或不平分，假命题.(4)¬p：若xy＝0，则x≠0且y≠0. 假命题.反思与感悟¬p是对命题p的全盘否定，其命题的真假与原命题相反.对一些词语的正确否定是写¬p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p∧q”的否定是“(¬p)∨(¬q)”等.跟踪训练1写出下列命题的否定形式，并判断真假.(1)面积相等的三角形都是全等三角形；(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n全为零；(3)实数a、b、c，满足abc＝0，则a、b、c中至少有一个为0.解(1)面积相等的三角形不都是全等三角形.真命题.(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n不全为零.假命题.(3)实数a、b、c，满足abc＝0，则a、b、c中至多有两个为0.假命题.类型二命题的否定与否命题例2写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假.(1)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数；(2)若x2－3x－10＝0，则x＝－2或x＝5.解(1)命题的否定：若x、y都是奇数，则x＋y不是偶数，为假命题；命题的否命题：若x，y不都是奇数，则x＋y不是偶数，为假命题.(2)命题的否定：若x2－3x－10＝0，则x≠－2且x≠5，为假命题；命题的否命题：若x 2－3x －10≠0，则x ≠－2且x ≠5，为真命题.反思与感悟 命题的否定是对命题的全盘否定，否定的是命题的结论，其真假性和原命题相反；而否命题对条件、结论均进行否定，其真假性和原命题的真假性没有关系. 跟踪训练2 写出下列各命题的非(否定). (1)p ：“a ≥5，且b ≥3”； (2)q ：三条直线两两相交； (3)r ：一元二次方程至多有两个解； (4)s ：2<x ≤3.解 (1)非p ：a ＜5，或b ＜3. (2)非q ：三条直线不都两两相交. (3)非r ：一元二次方程至少有三个解. (4)非s ：x ≤2或x >3.类型三 p ∧q ，p ∨q 与¬p 的应用例3 已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式x 2－ax ＋1>0对x ∈R 恒成立，若p ∨q 为真命题，(¬p )∨(¬q )也为真命题，求实数a 的取值范围.解 ∵y ＝a x 在R 上为增函数， ∴命题p ：a >1.∵不等式x 2－ax ＋1>0在R 上恒成立， ∴应满足Δ＝a 2－4<0，即0<a <2， ∴命题q ：0<a <2.由p ∨q 为真命题，则p 、q 中至少有一个为真. 由(¬p )∨(¬q )也为真，则¬p 、¬q 中至少有一个为真， 可得p 、q 至少有一个为假， ∴p 、q 中有一真、一假.①当p 真，q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ≥2，∴a ≥2；②当p 假，q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，0<a <2，∴0<a ≤1.综上知，a 的取值范围为{a |a ≥2或0<a ≤1}.反思与感悟 由真值表可判断p ∨q 、p ∧q 、¬p 命题的真假，反之，由p ∨q ，p ∧q ，¬p 命题的真假也可判断p 、q 的真假情况.一般求满足p 假成立的参数范围，应先求p 真成立的参数的范围，再求其补集.跟踪训练3 已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实根；q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根.若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围.解 p ：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，m >0，解得m >2.q ：Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0， 解得1<m <3.∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 为真，q 为假，或p 为假，q 为真，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >2，m ≤1或m ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3， ∴m 的取值范围为{m |m ≥3或1<m ≤2}.1.若p 是真命题，q 是假命题，则( ) A.p 且q 是真命题 B.p 或q 是假命题 C.非p 是真命题 D.非q 是真命题答案 D解析 “p 且q ”一假即假，A 错；“p 或q ”一真即真，B 错；“非p ”与“p ”，“非q ”与“q ”真假相反，故C 错，D 对.2.已知命题“p 或q ”为真，“非p ”为假，则必有( ) A.p 真q 假 B.q 真p 假 C.q 真p 真 D.p 真，q 可真可假 答案 D解析 ∵非p 为假，∴p 为真.∵p 或q 为真，∴q 可真可假.3.p ：100既能被4整除，又能被5整除，¬p 为________________________. 答案 100不能被4整除，或不能被5整除4.已知命题p ：若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零；命题q ：若a ＞b ，则1a ＜1b .给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③非p ；④非q . 其中真命题是________(只填序号). 答案 ②④解析 由于命题p 是真命题；命题q 是假命题，由真值表可知：p 且q 为假；p 或q 为真；非p 为假；非q 为真，所以真命题是②④.5.分别判断由下列命题构成的“p 且q ” “p 或q ”“非p ”形式的命题的真假.(1)p：函数y＝x2和函数y＝2x的图象有两个交点；q：函数y＝2x是增函数.(2)p：∅{0}，q：0∈∅.解(1)∵命题p是真命题，命题q是真命题，∴p且q为真命题，p或q为真命题，非p为假命题.(2)∵p是真命题，q是假命题，∴p且q为假命题，p或q为真命题，非p为假命题.1.若命题p为真，则“¬p”为假；若p为假，则“¬p”为真，类比集合知识，“¬p”就相当于集合P在全集U中的补集∁U P.因此(¬p)∧p为假，(¬p)∨p为真.2.命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别.一、选择题1.如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么()A.命题p不一定是假命题B.命题q一定是真命题C.命题q不一定是真命题D.命题p与命题q的真值相同答案 B解析“非p”为真命题，则命题p为假，又p或q为真，则q为真，故选B.2.命题“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”是()A.“p∨q”形式的命题B.“p∧q”形式的命题C.“¬p”形式的命题D.以上都不对答案 B3.已知命题p：x∈A∪B，则p的否定是()A.x∉A且x∉BB.x∉A或x∉BC.x∉A∩BD.x∈A∩B答案 A解析x∈A∪B即x∈A或x∈B，∴¬p：x∉A且x∉B.4.如果命题“¬(p∨q)”为假命题，则()A.p、q均为真命题B.p、q均为假命题C.p、q至少有一个为真命题D.p、q中至多有一个为假命题答案 C解析“¬(p∨q)”为假命题，则“p∨q”为真命题，即p、q中至少有一个为真命题.5.已知命题p：2是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∨qC.¬pD.(¬p)∧(¬q)答案 B解析∵p为真，q为假，¬q为真.∴p∧q为假，p∨q为真，¬p为假，(¬p)∧(¬q)为假，故选B.6.已知条件p：a≤1，条件q：|a|≤1，则¬p是¬q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析由|a|≤1得－1≤a≤1，∴¬p：a>1，¬q：a<－1或a>1，∴¬p⇒¬q，但¬q⇒/ ¬p，故选A.7.已知命题p：若x2－3x＋2＝0，则x＝1；命题q：互斥事件一定是对立事件，则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∧(¬q)C.p∨qD.(¬p)∨q答案 D解析由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，故p为假命题，又q为假命题，∴p∨q、p∧q都是假命题，又¬p为真命题，∴(¬p)∨q为真命题，故选D.二、填空题8.已知m 、n 是不同的直线，α、β是不重合的平面. 命题p ：若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ； 命题q ：若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β；下面的命题中：①p ∨q ；②p ∧q ；③p ∨(¬q )；④(¬p )∧q .真命题的序号是________(写出所有真命题的序号). 答案 ①④解析 易知p 是假命题，q 是真命题. ∴¬p 为真，¬q 为假，∴p ∨q 为真，p ∧q 为假，p ∨(¬q )为假，(¬p )∧q 为真.9.已知p ：x 2－x ≥6，q ：x ∈Z .若“p ∧q ”，“¬q ”都是假命题，则x 的值组成的集合为________________. 答案 {－1,0,1,2}解析 因为“p ∧q ”为假，“¬q ”为假，所以q 为真，p 为假.故⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x <6，x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <3，x ∈Z ，因此x 的值可以是－1,0,1,2.10.已知命题p ：x 2＋2x －3>0，命题q ：13－x>1，若“¬q 且p ”为真，则x 的取值范围是______________________.答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞) 解析 由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1， ∴p ：x <－3或x >1. 由13－x >1，得x －2x －3<0， ∴2<x <3.∴q ：2<x <3，¬q ：x ≤2或x ≥3.若“¬q 且p ”为真，则有⎩⎪⎨⎪⎧x <－3或x >1，x ≤2或x ≥3，∴x <－3或1<x ≤2或x ≥3. 三、解答题11.分别指出由下列各组命题构成的新命题“p ∨q ”“p ∧q ”“¬p ”的真假. (1)p ：梯形有一组对边平行， q ：梯形有一组对边相等；(2)p ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R ， q ：不等式x 2－3x －4<0的解集为∅.解 (1)p 真、q 假，所以“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“¬p ”为假.(2)不等式x 2－2x ＋1>0的解集为{x |x ≠1}，∴p 假； 不等式x 2－3x －4<0的解集为{x |－1<x <4}，∴q 假. 故“p ∨q ”为假，“p ∧q ”为假，“¬p ”为真.12.设命题p ：实数x 满足(x －a )(x －3a )<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足x －3x －2≤0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若¬p 是¬q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 解 (1)∵a ＝1，∴不等式化为(x －1)(x －3)<0， ∴1<x <3；由x －3x －2≤0得，2<x ≤3. ∵p ∧q 为真，∴2<x <3.(2)∵¬p 是¬q 的充分不必要条件， ∴q 是p 的充分不必要条件， 又q ：2<x ≤3，p ：a <x <3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a >3，∴1<a ≤2. 13.已知命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，若“p ∨q ”与“¬q ”同时为真命题，求实数a 的取值范围. 解 命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4≥0x 1＋x 2>－2(x 1＋1)(x 2＋1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1≥0，－2a >－22－2a >0，，解得a ≤－1.命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，等价于a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.由于⎩⎨⎧a >0Δ<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，解得0<a <4，∴0≤a <4.因为“p ∨q ”与“¬q ”同时为真命题，即p 真且q 假，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a <0或a ≥4，解得a ≤－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1].。
