概率论与数理统计第二章测试题

3.一 射 手 对 同 一 目 标地 独进 立行 四 次 设 计 ，少 若命 至中 一 次 的
2 4 . 若随机变量 X 在 ( 1 , 6 ) 上服从均匀分布，则 程 x Xx 1 0
有实根的概率是 ______ .
概率作业第二章自测题
1 1 x 6 答案 0 .8 ： 提 示f ： (x) 5 。设事 A 件 “方程有实根 其它 0 2 2 而 方x 程 Xx 10 有 实 根 的 充 要 条 X 件 是 40 即 A{X2 40 }{X2 4 }{X 2 }{X 2 }
密度函数。 1 a xb 解：设 X“ : 球的直径” X。 ~ U[a, b], f ( x) b a 其它 0 1 1 6v 6v 3 3 3 3 V X , F(v) P(V X v) P( X ) P( X ) 6 6
0 1 1 2
2 x ( 2 ) 0 x 1 时， F ( x ) f ( t ) dt ( 1 t ) dt x . 0 2 x x 2 x 1 x 2 时， F ( x ) f ( t ) dt ( 1 t ) dt ( t 1 ) dt x 1 0 1 2 x 1 x
ln 10 2 . 3025 n n 1 0 . 5 0 . 9 0 . 5 0 . 1 , n 3 . 322 ln 2 0 . 6931 n 4
5.(柯西分布）设连续随机变量X 的分布函数为: F ( x ) A B arctan x , x
概率作业第二章自测题
一、填空题 1k 1 . 设离散型随机变量 X 的分布律为 P (X k ) 5 A ( )( k 1 , 2 , ) 2 则 A _______ . 1 答案与提示： 。 5

第二章测验题答案一. 填空(共28分，每题4分)1. 投掷一枚均匀对称的硬币，以X 表示正面出现的次数，则随机变量在区间 (0.5, 1.5)取值的概率为0.5 . 解：随机变量X 的分布律为所以{0.5}{1}0.551.P X P X <===≤2. 设随机变量~(1,6)U ξ, 则方程210x x ξ++=, 有实根的概率为 4/5 . 解：方程210x x ξ++=有实根，则判别式240ξ∆=-≥, 则2ξ≥或者2ξ≤-,所以()2{}{40}{2}{2}P P P ξξξ=∆=-≥=≥⋃≤-方程有实根{2}{2}P P ξξ=≥+≤-又因为随机变量ξ服从参数为(1,6)的均匀分布，所以其概率密度函数为11,16,16()6150,0,x x f x ⎧⎧<<<<⎪⎪==-⎨⎨⎪⎪⎩⎩其它其它所以6222214{2}(),55{2}()00.P f t dt dt P f t dt dt ξξ+∞---∞-∞≥===≤-===⎰⎰⎰⎰故{}P 方程有实根{2}{2}P P ξξ=≥+≤-45=. 3. 设(2,),(3,)X b p Y b p , 若519{}P X ≥=, 则{1}P Y ≥=19/27.解：由题意知随机变量X 和Y 分别服从参数为2和p 、3和p 的二项分布.5{1}1{0}9P X P X =≥=-=, 得到4{0}9P X ==, 即00222(1)(1)C p p p -=-49=,所以2(1)3p -=, 从而33333219{1}1{0}1(1)1(1)1.327P Y P Y C p p p ⎛⎫≥=-==--=--=-= ⎪⎝⎭4. 设X 的概率密度函数为1,[0,1]32(),[3,6]90,x f x x ⎧∈⎪⎪⎪=∈⎨⎪⎪⎪⎩其它，若k 使得2{}3P X k ≥=, 则k 的取值范围是13k ≤≤.解：此题用画图的方法来解：下图中红线即为()f x 的图像.其中S1表示由红线1()3f x =与x 轴所夹部分的面积，即{01}P X ≤≤13=；S2表示红线2()9f x =与x 轴所夹部分面积，即{36}P X ≤≤22393=⨯=.而{}P X k ≥即表示()f x 图像与x 轴所夹图形在直线x k =右侧的面积(绿色虚线所示范围). 因为2{}3P X k ≥={36}P X =≤≤，所以k 的取值范围只能在1和3之间， 即13k ≤≤.5. 设随机变量(1,4)X N , 则{12}P X <≤= 0.1915 .(已知(0.5)0.6915Φ=.) 解：由(1,4)X N 可知，1,2μσ==. 首先进行正态分布的标准化，在查表计算11211{12}{0}222X X P X P P μμσσ----⎧⎫<≤=<≤=<≤⎨⎬⎩⎭1()(0)2=Φ-Φ0.69150.5=-=0.19156. 设硕士研究生入学数学考试及格率为0.55，则15名考生中数学考试及格人数X 的概率分布是二项分布，参数为15和0.55, 解：15名考生参加考试，可以视为15次伯努利实验。

一、选择题1、离散型随机变量X 的分布律为(),1,2,k P X k b k λ===L ，则λ为（ ）。

(A)0λ>的任意实数 (B)1b λ=+ (C)11b λ=+ (D)11b λ=-2、设随机变量X 的分布律为()!kP X k ak λ==(λ>0，k=1，2，3，…)，则a = ( )。

(A)e λ- (B) e λ (C) 1e λ-- (D) 1e λ-3、离散型随机变量X 的分布律为{},0,1,2,3!kAP X k k k ===L 则常数A 应为( )。

(A) 31e (B) 31-e (C) 3-e (D) 3e4、离散型随机变量X，则{||2|0}P X X ≤≥为（ ）。

(A)2129 (B)2229 (C)23 (D)135、随机变量X 服从0-1分布，又知X 取1的概率为它取0的概率的一半,则(1)P X =为( )。

(A) 13 (B) 0 (C) 12(D) 16、设随机变量X 的分布律为：0120.250.350.4XP，而{}()F x P X x =≤，则=)2( F ( )。

(A) 0.6 (B) 0.35 (C) 0.25 (D) 07、已知离散型随机变量的分布律为1010.250.50.25XP -，则以下各分布律正确的是( )。

(A)22020.510.5X P- (B) 211130.250.250.5X P +-(C) 2010.50.25X P(D)2010.50.5X P8、随机变量,X Y 都服从二项分布：~(2, ), ~(4, )X B p Y B p ，01p <<，已知{}519P X ≥=，则{}1P Y ≥=( )。

(A)6581 (B) 5681 (C) 8081(D) 19、随机变量X 的方差()3D X =，则(25)D X -等于( )。

(A) 6 (B) 7 (C) 12 (D) 1710、随机变量X 的分布律为：1()(),1,2,2(1)P X n P X n n n n ===-==+L ，则()E X =（ ）。

第 2 章一维随机变量及其分布一、选择题1．设 F(x)是随机变量X的分布函数，则以下结论不正确的选项是（A）若 F(a)=0 ，则对任意 x≤a 有 F(x)=0（B）若 F(a)=1 ，则对任意 x≥a 有 F(x)=1（C）若 F(a)=1/2 ，则 P( x≤a)=1/2（D）若 F(a)=1/2 ，则 P( x≥a)=1/22．设随机变量 X 的概率密度 f(x) 是偶函数，分布函数为 F(x) ，则（A）F(x)是偶函数（B）F(x) 是奇函数（C）F(x)+F(-x)=1（D）2F(x)-F(-x)=1 3．设随机变量 X1, X 2的分布函数、概率密度分别为 F1 (x) 、F2 (x) ，f 1 (x)、f 2 (x) ，若 a>0, b>0, c>0，则以下结论中不正确的选项是（A）aF (x)+bF2(x)是某一随机变量分布函数的充要条件是a+b=11（B）cF1(x) F 2(x)是某一随机变量分布函数的充要条件是c=1（C）af 1(x)+bf2(x)是某一随机变量概率密度的充要条件是a+b=1（D）cf 1(x) f 2(x)是某一随机变量分布函数的充要条件是c=14．设随机变量 X1, X2是任意两个独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f 1 (x)和 f 2 (x) ，分布函数分别为 F1 (x) 和 F2 (x) ，则（A）f 1 (x) +f 2 (x)必为某一随机变量的概率密度（B）f 1(x) f 2(x)必为某一随机变量的概率密度（C）F1(x)+F 2(x)必为某一随机变量的分布函数（D）F1(x)F 2 (x)必为某一随机变量的分布函数5．设随机变量 X 遵从正态分布N (1,12)，Y遵从正态分布N (2,22) ，且P(|X1| 1) P(|Y 2| 1) ，则必有（A）1 2（B）1 2（C）1 2（D）1 26．设随机变量 X 遵从正态分布N ( ,2 ) ，则随σ的增大，概率P(|X|)（A）单调增大（B）单调减小（C）保持不变（D）增减不定7．设随机变量 X1,X2的分布函数分别为 F1 (x) 、F2(x) ，为使 aF1 (x) －bF2 (x)是某一随机变量分布函数，在以下给定的各组数值中应取（A）a3 , b2（B）a2 , b2（C）a1 , b3（D）a1 , b3 553322228．设 f(x)是连续型随机变量 X 的概率密度，则 f(x)必然是（A）可积函数（B）单调函数（C）连续函数（D）可导函数9．以下陈述正确的命题是（A）若P(X1) P(X 1), 则 P(X 1)12（B）若 X~b(n, p),则 P(X=k)=P(X=n-k), k=0,1,2,,n（C）若 X 遵从正态分布 , 则 F(x)=1-F(-x)（D）lim [ F (x) F ( x)]1x10．假设随机变量X遵从指数分布，则随机变量Y=min{X,2} 的分布函数（A）是连续函数（B）最少有两其中止点（C）是阶梯函数（D）恰好有一其中止点二、填空题1．一实习生用同一台机器连接独立的制造了 3 个同种零件，第i个零件不合格的概率为 p i1个零件中合格品的个数，则 P X2i 1,2,3 ，以 X 表示3i12．设随机变量X的概率密度函数为 f x2x0 x 1以 Y 表示对 X 的三次重复观察中0其他事件 X 1出现的次数，则 P Y2 23．设连续型随机变量X的分布密度为 f x axe 3x x 0，则 a，X的分布0x0函数为4．设随机变量的分布函数b , x0, 则 a =， b =，cF ( x)ax) 2(1c,x 0,=。