2017北京各区数学一模分类汇编--第29题新定义题

2016-2017北京各区初三期末29题新定义汇总1．定义：点P 为△ABC 内部或边上的点，若满足△P AB ，△PBC ，△P AC 至少有一个三角形与△ABC 相似（点P 不与△ABC 顶点重合），则称点P 为△ABC 的自相似点．例如：如图1，点P 在△ABC 的内部，∠PBC =∠A ，∠PCB =∠ABC ，则△BCP ∽△ABC ，故点P 为△ABC 的自相似点．在平面直角坐标系xOy 中，（1）点A 坐标为(2，)， AB ⊥x 轴于B 点，在E (2，1)，F (322)，G (12，2)这三个点中，其中是△AOB 的自相似点的是（填字母）； （2）若点M 是曲线C ：k y x=（0k >，0x >）上的一个动点，N 为x 轴正半轴上一个动点；① 如图2，k =M 点横坐标为3，且NM = NO ，若点P 是△MON 的自相似点，求点P 的坐标；② 若1k =，点N 为(2，0)，且△MON 的自相似点有2个，则曲线C 上满足这样条件的点M 共有个，请在图3中画出这些点（保留必要的画图痕迹）．PB CA图1图2yxN1234512345O2．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点．P．关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线．．l．关于⊙C的“视角”．（1）如图，⊙O的半径为1，①已知点A（1，1），直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y =2，直接写出直线y =2关于⊙O的“视角”；②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标；（2）⊙C的半径为1，①点C的坐标为（1，2），直线l: y=kx+b（k >0）经过点D（231-+，0），若直线l关于⊙C的“视角”为60°，求的值；②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y C的“视角”大于120°，直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．备用图3．在平面直角坐标系xOy 中，有如下定义：若直线l 和图形W 相交于两点，且这两点的距离不小于定值k ，则称直线l 与图形W 成“k 相关”，此时称直线与图形W 的相关系数为k . （1）若图形W 是由()12--，A ，()1,2-B ，()12，C ，()12-，D 顺次连线而成的矩形：○1l 1：y =x +2，l 2：y =x +1，l 3：y = -x -3这三条直线中，与图形W 成“2相关”的直线有________; ○2画出一条经过()10，的直线，使得这条直线与W 成“5相关”；○3若存在直线与图形W 成“2相关”，且该直线与直线y =平行，与y 轴交于点Q ，求点Q 纵坐标Q y 的取值范围；（2）若图形W 为一个半径为2的圆，其圆心K 位于x 轴上.若直线333+=x y 与图形 W 成“3相关”，请直接写出圆心K 的横坐标K x 的取值范围.备用图4．在平面直角坐标系xOy 中， C 的半径为r （r ＞1），P 是圆内与圆心C 不重合的点， C的“完美点”的定义如下：若直线．．CP 与 C 交于点A ，B ，满足2PA PB -=，则称点P 为 C 的“完美点”，下图为 C 及其“完美点”P 的示意图.(1) 当O 的半径为2时， ①在点M (32,0)，N (0,1)，1()2T -中，O 的“完美点”是； ② 若O 的“完美点”P在直线y 上，求PO 的长及点P 的坐标；(2) C的圆心在直线1y +上，半径为2，若y 轴上存在 C 的“完美点”，求圆心C的纵坐标t 的取值范围.5．已知⊙C 的半径为r ，点P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的反演点的定义如下： 若点P '在射线CP 上，满足2CP CP r '⋅=， 则称点P '是点P 关于⊙C 的反演点.图1为 点P 及其关于⊙C 的反演点P '的示意图.（1）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为6，⊙O 与x 轴的正半轴交于点A .① 如图2，135AOB∠=︒，18OB =，若点A '，B '分别是点A，B 关于⊙O 的反演点，则点A '的坐标是，点B '的坐标是；② 如图3，点P 关于⊙O 的反演点为点P '，点P '在正比例函数y =位于第一象限内的图象上，△P OA '的面积为P 的坐标；（2）点P 是二次函数22 3 14y x x x =---(≤≤)的图象上的动点，以O 为圆心，12OP 为半径作圆，若点P 关于⊙O 的反演点P '的坐标是(,)m n ，请直写出n 的取值范围.图1图2 图36.如图，对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和线段AB ，给出如下定义：如果线段AB 上存在两个点M ，N ，使得∠MPN =30°，那么称点P 为线段AB 的伴随点．（1）已知点A （-1，0），B （1，0）及D （1，-1），E ⎪⎭⎫ ⎝⎛-325 , ，F （0，32+）， ①在点D ，E ，F 中，线段AB 的伴随点是_________；②作直线AF ，若直线AF 上的点P （m ，n ）是线段AB 的伴随点，求m 的取值范围； （2）平面内有一个腰长为1的等腰直角三角形，若该三角形边上的任意一点都是某条线段a 的伴随点，请直接写出这条线段a 的长度的范围．备用图7. 若抛物线L ：()02≠++=abc c b a c bx ax y 是常数，且，，与直线l 都经过y 轴上的同一点，且抛物线L 的顶点在直线l 上，则称此抛物线L 与直线l 具有“一带一路”关系，并且将直线l 叫做抛物线L 的“路线”，抛物线L 叫做直线l 的“带线”.(1) 若“路线”l 的表达式为42-=x y ，它的“带线”L 的顶点在反比例函数xy 6=(x ＜0)的图象上，求“带线”L 的表达式；(2)如果抛物线122-+-=m mx mx y 与直线1+=nx y 具有“一带一路”关系，求m ,n 的值； (3)设(2)中的“带线”L 与它的“路线”l 在 y 轴上的交点为A . 已知点P 为“带线”L 上的点，当以点P 为圆心的圆与“路线”l 相切于点A 时，求出点P 的坐标.备用图8．在平面直角坐标系xOy 中，点A 为平面内一点，给出如下定义：过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，作正方形ABCD （点A 、B 、C 、D 顺时针排列），即称正方形ABCD 为以A 为圆心，OA 为半径的⊙A 的“友好正方形”.（1）如图1，若点A 的坐标为（1,1），则⊙A 的半径为 .（2）如图2，点A 在双曲线y =x1（x ＞0）上，它的横坐标是2，正方形ABCD 是⊙A 的“友好正方形”，试判断点C 与⊙A 的位置关系，并说明理由.（3）如图3，若点A 是直线y =－x +2上一动点，正方形ABCD 为⊙A 的“友好正方形”，且正方形ABCD 在⊙A 的内部时，请直接写出点A 的横坐标m 的取值范围.图1图39．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）（x ≥0）的每一个整数点，给出如下定义： 如果P 也是整数点，则称点'P 为点P 的“整根点”．例如：点（25，36）的“整根点”为点（5，6）.（1）点A （4，8），B （0，16），C （25，－9）的整根点是否存在，若存在请写出整根点的坐标；（2）如果点M 对应的整根点'M 的坐标为（2，3），则点M 的坐标；（3）在坐标系内有一开口朝下的二次函数24(0y ax x a =+≠），如果在第一象限内的二次函数图像内部（不在图像上），若存在整根点的点只有三个请求出实数a 的取值范围.备用图10．在平面直角坐标系xOy 中，若P 和Q 两点关于原点对称，则称点P 与点Q 是一个“和谐点对”，表示为[P ，Q ]，比如[P (1，2)，Q (-1，-2)]是一个“和谐点对”.（1）写出反比例函数1y x=图象上的一个“和谐点对”； （2）已知二次函数2y x mx n =++，①若此函数图象上存在一个和谐点对[A ，B ]，其中点A 的坐标为(2，4)，求m ，n 的值；②在①的条件下，在y 轴上取一点M (0，b )，当∠AMB 为锐角时，求b 的取值范围.11．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2），若a =|x 1-x 2|，b =|y 1-y 2|，则记作（P ，Q ）→{a ，b }．（1）已知（P ，Q ）→{a ，b }，且点P （1，1），点Q （4，3），求a ，b 的值； （2）点P （0，-1），a =2，b =1，且（P ，Q ）→{a ，b }，求符合条件的点Q 的坐标； （3）⊙O 的半径为5，点P 在⊙O 上，点Q （m ，n ）在直线y =－x 21 +29上，若（P ，Q ）→{a ，b }，且a =2k ，b =k (k ＞0)，求m 的取值范围．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，则称ABC △为抛物线的“交轴三角形”． （1）求抛物线21y x =-的“交轴三角形”的面积；（2）写出抛物线2(0)y ax bx c a =++≠存在“交轴三角形”的条件； （3）已知：抛物线24y ax bx =++过点M （3，0）．①若此抛物线的“交轴三角形”是以y 轴为对称轴的等腰三角形，求抛物线的表达式； ②若此抛物线的“交轴三角形”是不以y 轴为对称轴的等腰三角形，求“交轴三角形”的面积．13．定义：若点P（a，b）在函数1yx=的图象上，将以a为二次项系数，b为一次项系数构造的二次函数y=ax2+bx称为函数1yx=的一个“二次派生函数”．（1）点（2，12）在函数1yx=的图象上，则它的“二次派生函数”是；（2）若“二次派生函数”y=ax2+bx经过点（1,2），求a,b的值；（3）若函数y=ax+b是函数1yx=的一个“一次派生函数”，在平面直角坐标系xOy中，同时画出“一次派生函数”y=ax+b和“二次派生函数”y=ax2+bx的图象，当﹣4＜x＜1时，“一次派生函数”始终大于“二次派生函数”，求点P的坐标.【2017.1海淀期末】1．（1）F ，G ．（每对1个得1分）------------------------------------------2分 （2）①如图1，过点M 作MH ⊥x 轴于H 点． ∵M 点的横坐标为3，∴3y ==∴3M （.∴OM =OM的表达式为y x =．∵MH ⊥x 轴，∴在Rt △MHN 中，90MHN ∠=°，222NH MH MN +=设NM =NO =m ，则3NH OH ON m =-=-. ∴()2223m m -+=.∴ON =MN =m =2．--------------------------------------------3分如图2，1PON △∽NOM △，过点1P 作1PQ ⊥x 轴于Q 点，∴11PO PN =，112OQ ON ==． ∵1P 的横坐标为1，∴1y ==∴113P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，．------------------------------------------------4分如图3，2P NM NOM △∽△， ∴2P N MN ON MO=. ∴2P N =． ∵2P ∴33x =.∴2x =. 图1图2图3∴22P ⎛ ⎝⎭．----------------------------------------------------------------------------------5分综上所述，1P ⎛ ⎝⎭或2⎛⎝⎭． ②4．-------------------------------------------------------------------------------------------6分（每标对两个点得1分）-----------------------------------------------------------------------8分【2017.1西城期末】2．解：（1）①90︒，60︒． ··········································· 2分②本题答案不唯一，如：B (0，2) . ·········································· 3分（2）解：①∵直线l : y =kx +b （k >0）经过点D（1-，0），∴(1)0k b -+=. ∴b k =-.∴直线l: y kx k =+-.对于⊙C 外的点P ，点P 关于⊙C 的“视角”为60°， 则点P 在以C 为圆心，2为半径的圆上． 又直线l 关于⊙C 的 “视角”为60°， 此时，点P 是直线l 上与圆心C∴CP ⊥直线l .则直线l 是以C 为圆心，2为半径 的圆的一条切线，如图所示． 作CH ⊥x 轴于点H ， ∴点H 的坐标为（1，0）， ∴DH =∴∠CDH =30°，∠PDH =60°，可求得点P 的坐标（1，3）．进而求得k ································································· 6分（3）圆心C 的横坐标x C 的取值范围是113C x -<<． 8分【2017.1东城期末】3.解：（1）①1l 和2l .…………2分② 符合题意的直线如下图所示.…………4分夹在直线a 和b 或c 和d 之间的（含直线a ，b ，c ，d ）都是符合题意的.○3设符合题意的直线的解析式为 .y b =+ 由题意可知符合题意的临界直线分别经过点（-1,1），（1，-1）.分别代入可求出1211b b ==-.∴ 11Q y -≤…………6分（2）33K x -≤≤-…………8分【2017.1朝阳期末】4. 解：(1)①N，T.②如图，根据题意，2PA PB-=，∴∣OP+2-(2-OP)∣=2.∴OP=1.若点P在第一象限内，作PQ⊥x轴于点Q，∵点P在直线y上，OP=1，∴OQ=12，PQ.∴P(1 2若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为(-12，-2).综上所述，PO的长为1，,点P的坐标为(12，或(-12，-(2)对于 C的任意一个“完美点”P都有2PA PB-=，即2(2)2CP CP+-=-.可得CP=1.对于任意的点P，满足CP=1，都有2(2)2CP CP+-=-，即2PA PB-=，故此时点P为 C的“完美点”.因此， C的“完美点”的集合是以点C为圆心，1为半径的圆.设直线1y=+与y轴交于点D，如图，当 C移动到与y轴相切且切点在点D的下方时，t的值最小.设切点为E，连接CE，可得DEt的最小值为1当 C移动到与y轴相切且切点在点D的上方时，t的值最大.同理可得t的最大值为1综上所述，t的取值范围为1t≤1【2017.1石景山期末】5.（1）① (60)A '，，(B '.…………… 2分 ②解法一：过点P '作P E '⊥x 轴于点E ，如图1.∵12P OA S OAP E ''=⨯=△∴P E '=…………… 3分∵点P '在正比例函数y 位于 第一象限内的图象上， ∴'P y∴'=2P x .∴4OP '=，'60P OE ∠=︒. ∵点P 关于⊙O 的反演点是P '点， ∴26OP OP '⋅=.∴9OP =.……………………………… 5分 过点P 作PF ⊥x 轴于点F . ∴92OF =，2PF =∴点P 的坐标为92P （.……………………………… 6分 解法二：过点A 作AH ⊥PP '于点H ，如图2.∵点P '在正比例函数y 位于第一象限内的图象上， ∴设点P 的坐标为t （，其中0t ＞. ∴tanPOA ∠== ∴60POA ∠=︒.……………………………… 4分 在Rt △OHA 中，sin AH OA AOH =⨯∠=.∵12P OA S OP AH ''=⨯=△∴4OP '=.∵点P 关于⊙O 的反演点是P '点，∴26OP OP '⋅=.∴9OP =. 图1过点P 作PF ⊥x 轴于点F .在Rt △OFP中，222t +=9.解得192t =，292t -=（舍去）.∴点P 的坐标为922P (，.……………………………… 6分（2）1-≤n ≤54.……………………………… 8分 【2017.1丰台期末】6. 解：（1）○1D 、F ；-----2分 ○2以AB 为一边，在x 轴上方、下方分别构造等边△ABO 1和等边△ABO 2， 分别以点O 1，点O 2为圆心，线段AB∵线段AB 关于y 轴对称，∴点O 1，点O 2都在∵AB =AO 1=2，AO =1，∴OO 1∴O 1（0同理O 2（0，.∵F (2,0)+,∴O 1F =22AB ==. ∴点F 在⊙1O 上.设直线AF 交⊙2O 于点C ，∴线段FC 上除点A 以外的点都是线段AB 的“伴随点”， ∴点P （m ，n ）是线段FC 上除点A 以外的任意一点. 连接O 2C ，作CG ⊥y 轴于点G ，∵等边△O 1AB 和等边△O 2AB ，且y 轴垂直AB ，∴∠AO 1B =∠AO 2B =∠O 1AB =∠O 2AB = 60°，∠AO 1O =∠AO 2O =30°.∵O 1A =O 1F ，∴∠AFO 1=∠FAO 1=15°. ∴∠CAO 2=∠AFO 2+∠AO 2F =15°+30°=45°. ∵O 2A =O 2C ，∴∠CAO 2=∠ACO 2=45°. ∴∠O 2CG =180°-∠CFG -∠FGC -∠ACO 2=30°. ∴CG =O 2C ·cos30°=3232=⨯. 0m ≤≤且1m ≠-.-----6分 （2）22≥a .-----8分图2【2017.1房山期末】7.解：(1)∵“带线”L 的顶点在反比例函数xy 6=(x ＜0)的图象上，且它的“路线”l 的表达式为42-=x y ，∴直线42-=x y 与xy 6=的交点为“带线”L 的顶点，令xx 642=-，解得3121=-=x x ，（舍去）………………1分∴“带线”L 的顶点坐标为(-1,-6). 设L 的表达式为6)1(2-+=x a y …………………2分 ∵“路线”42-=x y 与y 轴的交点坐标为(0，-4)∴“带线”L 也经过点(0，-4)，将(0，-4)代人L 的表达式，解得2=a ∴“带线”L 的表达式为4426)1(222-+=-+=x x x y …………………3分(不必化为一般式)(2) ∵直线1+=nx y 与y 轴的交点坐标为(0,1)，∴抛物线122-+-=m mx mx y 与y 轴的交点坐标也为(0,1)，得m = 2 …………4分 ∴抛物线表达式为1422+-=x x y ，其顶点坐标为（1，-1）∴直线1+=nx y 经过点（1，-1），解得n = -2 ……………………5分 ∴“带线”L 的表达式为1422+-=x x y “路线”l (3) 设抛物线的顶点为B ，则点B 坐标为（1，-1），过点B 作BC ⊥y 轴于点C ，又∵点A 坐标为(0,1) ∴AO=1，BC=1，AC=2.∵“路线”l 是经过点A 、B 的直线 且⊙P 与“路线”l 相切于点A ，连接PA 交 x 轴于点D ,则PA ⊥AB …………………6分显然Rt △AOD ≌Rt △BCA ，∴OD= AC=2，D 点坐标为(-2，0) 则经过点D 、A 、P 的直线表达式为121+=x y ……………………7分∵点P 为直线121+=x y 与抛物线L ：1422+-=x x y 的交点，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=1211422x y x x y 得⎩⎨⎧==1011y x （即点A舍去），⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==8174922y x 即点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛81749，.……………………8分本评分标准仅出示一种解答过程，其他正确解答请相应评分.【2017.1怀柔期末】8．解：（1）分（2）∵A （2，21）, ∴OA =217414=+ ∵AC =22=2=2∴OA <AC ，∴点C 在⊙A 外.(或如图，利用勾股定理直观分析：∵OB <BC ,AB =AB , ∴OA <AC 也可以) …………6分（3）m <1且m ≠0.…………8分.【2017.1门头沟期末】9.解：（1）B’（0，4），C’（5，3）；………………………2分（2）M （4，9）或M （4，﹣9）；………………………………………………………3分 （3）由于图像开口向下，根据表达式特点及对称轴所在位置的变化，将分为以下两种情况进行讨论当图像经过(4，4)时，如图：根据轴对称性，此时恰有1个整根点在图像上,2个整根点在图像内部因此：代入表达式得：41616a =+解得a =34-………………………………………………当图像过(4，9)时，代入表达式得：91616a =+解得a =716- 根据图像的轴对称性可以验证(1，4) (9，1)因此此时有3个整根点在图像内部，………………………7综合上述分析当37416a --＜≤………………………………8说明： 若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。

新定义29（16海淀一模）．在平面直角坐标系中，⊙C 的半径为r ，P 是 与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的限距点的定义如下：若为直 线PC 与⊙C 的一个交点，满足，则称为点P 关于⊙C 的限距点，右图为点P 及其关于⊙C 的限距点的示意图．（1）当⊙O 的半径为1时．①分别判断点M ，N ，T 关于⊙O 的限距点是否存在？若存在，求其坐标；②点D 的坐标为（2,0），DE ，DF 分别切⊙O 于点E ，点F ，点P 在△DEF 的边上.若点P 关于⊙O 的限距点存在，求点的横坐标的取值范围；（2）保持（1）中D ，E ，F 三点不变，点P 在△DEF 的边上沿E →F →D →E 的方向运动，⊙C 的圆心C 的坐标为（1,0），半径为r .请从下面两个问题中任选一个作答.温馨提示：答对问题1得2分，答对问题2得1分，两题均答不重复计分.29（16朝阳一模）．在平面直角坐标系xOy 中，A （t ，0），B （，0），对于线段AB 和x 轴上方的点P 给出如下定义：当∠APB=60°时，称点P 为AB 的“等角点”．（1）若，在点302C ⎛⎫⎪⎝⎭，,D ⎫⎪⎪⎝⎭，32E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭中，线段AB 的“等角点”是； （2）直线MN 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，点M 的坐标是（6，0），∠OMN=30°．①线段AB 的“等角点”P 在直线MN 上，且∠ABP =90°，求点P 的坐标； ②在①的条件下，过点B 作BQ ⊥PA ，交MN 于点Q ，求∠AQB 的度数； ③若线段AB 的所有“等角点”都在△MON 内部，则t 的取值范围是．xOy P '2r PP r '≤≤P 'P '(3,4)5(,0)2P 'P't+t =-29（16西城一模）．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和图形W ,如果线段OP 与图形W 无公共点，则称点P 为关于图形W 的“阳光点”；如果线段OP 与图形W 有公共点，则称点P 为关于图形W 的“阴影点”． （1）如图1，已知点()13A ，，()11B ，，连接AB ①在()11,4P ，()21,2P ，()32,3P ，()42,1P 这四个点中，关于线段AB 的“阳光点”是； ②线段11A B AB P ；11A B 上的所有点都是关于线段AB 的“阴影点”，且当线段11A B 向上或向下平移时，都会有11A B 上的点成为关于线段AB 的“阳光点”．若11A B 的长为4，且点1A 在1B 的上方，则点1A 的坐标为___________________； （2）如图2，已知点()13C ，，C e 与y 轴相切于点D ．若E e 的半径为32，圆心E在直线l y =+：且E e 上的所有点都是关于C e 的“阴影点”，求圆心E 的横坐标的取值范围；（3）如图3，M e 的半径是3，点M 到原点的距离为5．点N 是M e 上到原点距离最近的点，点Q 和T 是坐标平面内的两个动点，且M e 上的所有点都是关于NQT ∆的“阴影点”，直接写出NQT ∆的周长的最小值．图1图2图329（16东城一模）. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若存在过点P 的直线l 交⊙C 于异于点P 的A ，B 两点，在P ，A ，B 三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P 为⊙C 的相邻点，直线l 为⊙C 关于点P 的相邻线.（1）当⊙O 的半径为1时，○1分别判断在点D （，14），E （0，-3），F （4，0）中，是⊙O 的相邻点有__________； ○2请从○1中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O 关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程. ○3点P 在直线3y x =-+上，若点P 为⊙O 的相邻点，求点P 横坐标的取值范围； （2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线3y x =-+x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段．．MN 上存在⊙C 的相邻点P ，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围． xx11图1 备用图1备用图229（16东城一模）. 如图，点P ( x , y 1)与Q (x , y 2)分别是两个函数图象C 1与C 2上的任一点. 当a ≤ x ≤ b 时，有-1 ≤y 1 - y 2 ≤ 1成立，则称这两个函数在a ≤ x ≤ b 上是“相邻函数”，否则称它们在a ≤ x ≤ b 上是“非相邻函数”. 例如，点P (x , y 1)与Q (x , y 2)分别是两个函数y = 3x +1与y = 2x - 1图象上的任一点，当-3 ≤ x ≤ -1时，y 1 - y 2 = (3x + 1) - (2x - 1) = x + 2，通过构造函数y = x + 2并研究它在-3 ≤ x ≤ -1上的性质，得到该函数值的范围是-1 ≤ y ≤ 1，所以-1 ≤ y 1 - y 2 ≤ 1成立，因此这两个函数在-3 ≤ x ≤ -1上是“相邻函数”.（1）判断函数y =3x +2与y =2x +1在－2 ≤ x ≤ 0上是否为“相邻函数”，并说明理由； （2）若函数y = x 2- x 与y = x - a 在0 ≤ x ≤ 2上是“相邻函数”，求a 的取值范围；（3）若函数y =xa与y =－2x + 4在1 ≤ x ≤ 2上是“相邻函数”，直接写出a 的最大值与最小值.29（16石景山一模）．在平面直角坐标系xOy 中，图形W 在坐标轴上的投影长度定义如下：设点),(11y x P ，),(22y x Q 是图形W 上的任意两点．若21x x -的最大值为m ， 则图形W 在x 轴上的投影长度m l x =；若21y y -的最大值为n ，则图形W 在y 轴上的投影长度n l y =．如右图，图形W 在x 轴上的投影长度213=-=x l ； 在y 轴上的投影长度404=-=y l ．（1）已知点)3,3(A ，)1,4(B ．如图1所示，若图形W为△OAB ，则=x l ，=y l ．（2）已知点)0,4(C ，点D 在直线26y x =-+上，若图形W 为△OCD ．当y x l l =时，求点D 的坐标．（3）若图形W 为函数2x y =）（b x a ≤≤的图象，其中0a b ≤<．当该图形满足1≤=y x l l 时，请直接写出a 的取值范围．29（16通州一模）. 对于⊙P 及一个矩形给出如下定义：如果⊙P 上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称⊙P 是该矩形的“等距圆”．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的顶点A 的坐标为2），顶点C 、D 在x 轴上，且OC =OD. （1）当⊙P 的半径为4时，①在P 1（0，3-），P 2（，3），P 3（-，1）中可以成为矩形ABCD 的“等距圆”的圆心的是_________________________； ②如果点P在直线13y x =-+上，且⊙P 是矩形ABCD 的“等距圆”，求点P 的坐标； （2）已知点P 在y 轴上，且⊙P 是矩形ABCD 的“等距圆”，如果⊙P 与直线AD 没有公共点，直接写出点P 的纵坐标m 的取值范围.某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在正方形的内部或边界上，那么称该正方形为点A ，B ，C 的外延正方形，在点A ，B ，C 所有的外延正方形中，面积最小的正方形称为点A ，B ，C 的最佳外延正方形.例如，图1中的正方形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2 ，A 3B 3CD 3都是点A ，B ，C 的外延正方形，正方形A 3B 3CD 3是点A ，B ，C 的最佳外延正方形.（图1） （图2） （1）如图1，点A （-1，0），B （2，4），C （0，t ）（t 为整数）.① 如果t =3，则点A ，B ，C 的最佳外延正方形的面积是；② 如果点A ，B ，C 的最佳外延正方形的面积是25，且使点C 在最佳外延正方形的一边上，请写出一个符合题意的t 值；（图3 ） （图4）（2）如图3，已知点M （3，0），N （0，4），P （x ，y ）是抛物线y=x 2-2x -3上一点，求点M ，N ，P 的最佳外延正方形的面积以及点P 的横坐标x 的取值范围； （3）如图4，已知点E （m ，n ）在函数x6y =（x >0）的图象上，且点D 的坐标为（1，1），设点O ，D ，E 的最佳外延正方形的边长为a ，请直接写出a 的取值范围.xy12345–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–5B 1C 1B 2C 2C B 3oA 2D 3A 1A 3D 1D 2A By12345–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–5DoQ 点坐标为（b ，-a ）；当a b <时，Q 点坐标为（a ，-b ）． （1）求（-2，3），（6，-1）的变换点坐标；（2）已知直线l 与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B （0，2）．若直线l 上所有点的变换点组成一个新的图形，记作图形W ，请画出图形W ，并简要说明画图的思路； （3）若抛物线234y x c =-+与图形W 有三个交点，请直接写出c 的取值范围．28（16延庆一模）.在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y ′），给出如下定义：如果()()0'0y x y y x ⎧⎪=⎨-⎪⎩≥＜，那么称点Q 为点P 的“妫川伴侣”．例如：点（5，6）的“妫川伴侣”为点（5，6），点（－5，6）的“妫川伴侣”为点（－5，－6）． （1）①点（2，1）的“妫川伴侣”为；②如果点A （3，－1），B （－1，3）的“妫川伴侣”中有一个在函数3y x=的图象上，那么这个点是（填“点A ”或“点B ”）．（2）①点M *（－1，－2）的“妫川伴侣”点M 的坐标为；②如果点N *（m +1，2）是一次函数y = x + 3图象上点N 的“妫川伴侣”， 求点N 的坐标．（3）如果点P 在函数24y x =-+（－2＜x ≤a ）的图象上，其“妫川伴侣”Q 的纵坐标y ′的取值范围是－4＜y ′≤4，那么实数a 的取值范围是．()我们称这个最小长度为G 1，G 2的“密距”，用字母d 表示；当线段PQ 的长度最大时，我们称这个最大的长度为图形G 1，G 2的“疏距”，用字母f 表示．例如，当(1,2)M ，(2,2)N 时，点O 与线．段．MN ．．O 与线．段．MN ．．的“疏距”为 （1）已知，在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()0,4B ，()2,0C ，()0,1D ， ①点O 与线段AB 的“密距”为，“疏距”为； ②线段AB 与△COD 的“密距”为，“疏距”为；（2）直线2y x b =+与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ，以()0,1C -为圆心，1为半径作圆，当⊙C 与线段EF 的“密距”0<d <1时，求⊙C 与线段EF 的“疏距”f 的取值范围．29（16怀柔一模）．给出如下规定：两个图形G 1和G 2，点P 为G 1上任一点，点Q 为G 2上任一点，如果线段PQ 的长度存在最小值时，就称该最小值为两个图形G 1和G 2之间的“近距离”；如果线段PQ 的长度存在最大值时，就称该最大值为两个图形G 1和G 2之间的“远距离” ．请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下面问题：在平面直角坐标系xOy 中，点A （-4， 3），B （-4，-3），C （4，-3），D （4， 3）．(1)请在平面直角坐标系中画出四边形ABCD ，直接写出线段AB 和线段CD 的“近距离”和“远距离”．(2)设直线b x y +=34（b>0）与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ，若线段EF 与四边形ABCD 的“近距离”是1，求它们的“远距离” ； (3)在平面直角坐标系xOy 中，有一个矩形GHMN ，若此矩形 至少有一个顶点在以O 为圆心，2为半径的圆上，其余各点可 能在圆上或圆内.将四边形ABCD 绕着点O 旋转一周，在旋转 的过程中，它与矩形GHMN 的“远距离”的最大值 是；“近距离”的最小值是．备用图xOxyC29（16门头沟一模）．如图1，P 为∠MON 平分线OC 上一点，以P 为顶点的∠APB 两边分别与射线OM 和ON 交于A 、B 两点，如果∠APB 在绕点P 旋转时始终满足OA ·OB =OP 2，我们就把∠APB 叫做∠MON 的关联角．图1 图2 图3（1）如图2，P 为∠MON 平分线OC 上一点，过P 作PB ⊥ON 于B ，AP ⊥OC 于P ，那么∠APB ∠MON 的关联角（填“是”或“不是”）． （2）①如图3，如果∠MON =60°，OP =2，∠APB 是∠MON 的关联角，连接AB ，求△AOB 的面积和∠APB 的度数；②如果∠MON =α°（0°＜α°＜90°），OP =m ，∠APB 是∠MON 的关联角，直接用含有α和m 的代数式表示△AOB 的面积． （3）如图4，点C 是函数2y x=（x ＞0）图象上一个动点，过点C 的直线CD 分别交x 轴和y 轴于A ，B 两点，且满足BC =2CA ，直接写出∠AOB 的关联角∠APB 的顶点P 的坐标．29（16怀柔一模）．在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：若点P 在图形M 上，点Q 在图形N 上，称线段PQ 长度的最小值为图形M ，N 的密距，记为d (M ，N )．特别地，若图形M ，N 有公共点，规定d (M ，N )＝0． (1) 如图1，⊙O 的半径为2，①点A (0，1)，B (4，3)，则d (A ，⊙O )＝，d (B ，⊙O )＝． ②已知直线l ：b x y +=43与⊙O 的密距d (l ，⊙O )＝56，求b 的值．(2) 如图2，C 为x 轴正半轴上一点，⊙C 的半径为1，直线33433+=x y －与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ，线段．．DE 与⊙C 的密距d (DE ，⊙C )<21．请直接写出圆心C 的横坐标m 的取值范围．A BO MNCPA N M O CPBAOM CNP B图2图1。

2017年北京市大兴区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x|x＞0}，则∁R A＝（）A．{x|x＜0}B．{x|x≤0}C．{x|x＞0}}D．{x|x≥0} 2．（5分）下列函数中，既是偶函数又有零点的是（）A．B．y＝tan x C．y＝e x+e﹣x D．y＝ln|x| 3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．4B．5C．6D．74．（5分）已知a∈R，b∈R，则“a＞b”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥体积为（）A ．B．C．1D ．6．（5分）若x，y 满足且z＝﹣kx+y有最大值，则k的取值范围为（）A．k≤1B．1≤k≤2C．k≥1D．k≥27．（5分）设函数f（x）＝sin（2x+φ）（φ是常数），若，则，，之间的大小关系可能是（）A ．B．f（）＜f （）＜f （）C ．D ．8．（5分）某公司有4家直营店a，b，c，d，现需将6箱货物运送至直营店进行销售，各直营店出售该货物以往所得利润统计如下表所示．根据此表，该公司获得最大总利润的运送方式有（）A．1种B．2种C．3种D．4种二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数（1+i）2＝．10．（5分）设则f（f（﹣1））＝．11．（5分）已知双曲线的离心率为2，则b＝．12．（5分）在极坐标系中，点到直线ρcosθ＝2的距离是．13．（5分）已知圆O：x2+y2＝1的弦AB长为，若线段AP是圆O的直径，则＝；若点P为圆O上的动点，则的取值范围是．14．（5分）已知数列{a n}满足，k≥2，k∈N*，[a n]表示不超过a n的最大整数（如[1.6]＝1），记b n＝[a n]，数列{b n}的前n项和为T n．①若数列{a n}是公差为1的等差数列，则T4＝；②若数列{a n}是公比为k+1的等比数列，则T n＝．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，，b＝3，．（Ⅰ）求sin B；（Ⅱ）设BC的中点为D，求中线AD的长．16．（13分）某大型超市拟对店庆当天购物满288元的顾客进行回馈奖励．规定：顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘（如图），待转盘停止转动时，若指针指向扇形区域，则顾客可领取此区域对应面额（单位：元）的超市代金券．假设转盘每次转动的结果互不影响．（Ⅰ）若x0≠60，求顾客转动一次转盘获得60元代金券的概率；（Ⅱ）某顾客可以连续转动两次转盘并获得相应奖励，当x0＝20时，求该顾客第一次获得代金券的面额不低于第二次获得代金券的面额的概率；（Ⅲ）记顾客每次转动转盘获得代金券的面额为X，当x0取何值时，X的方差最小？（结论不要求证明）17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面BCC1B1⊥平面ABC，四边形BCC1B1为菱形，点M是棱AC上不同于A，C的点，平面B1BM与棱A1C1交于点N，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，∠BB1C1＝60°．（Ⅰ）求证：B1N∥平面C1BM；（Ⅱ）求证：B1C⊥平面ABC1；（Ⅲ）若二面角A﹣BC1﹣M为30°，求AM的长．18．（13分）已知函数，且m≠0．（Ⅰ）当m＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）有最值，写出m的取值范围．（只需写出结论）19．（14分）已知椭圆的短轴端点到右焦点F（1，0）的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F的直线交椭圆C于A，B两点，交直线l：x＝4于点P，若|P A|＝λ1|AF|，|PB|＝λ2|BF|，求证：λ1﹣λ2为定值．20．（13分）已知集合A1，A2，…，A n为集合U的n个非空子集，这n个集合满足：①从中任取m个集合都有≠U成立；②从中任取m+1个集合都有＝U成立．（Ⅰ）若U＝{1，2，3}，n＝3，m＝1，写出满足题意的一组集合A1，A2，A3；（Ⅱ）若n＝4，m＝2，写出满足题意的一组集合A1，A2，A3，A4以及集合U；（Ⅲ）若n＝10，m＝3，求集合U中的元素个数的最小值．2017年北京市大兴区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x|x＞0}，则∁R A＝（）A．{x|x＜0}B．{x|x≤0}C．{x|x＞0}}D．{x|x≥0}【解答】解：∵集合A＝{x|x＞0}，∴∁R A＝{x|x≤0}．故选：B．2．（5分）下列函数中，既是偶函数又有零点的是（）A．B．y＝tan x C．y＝e x+e﹣x D．y＝ln|x|【解答】解：A．函数的定义域为[0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．B．函数y＝tan x是奇函数，不满足条件．C．y＝e x+e﹣x≥2＝2，则函数没有零点，不满足条件．D．函数的定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）＝f（x），函数为偶函数，由y＝ln|x|＝0得x＝1，函数存在零点，满足条件．故选：D．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）【解答】解：k＝0，s＝1，模拟程序的运行，可得k＝1，s＝2，不满足条件k＞4，执行循环体，k＝2，s＝3，不满足条件k＞4，执行循环体，k＝3，s＝4，不满足条件k＞4，执行循环体，k＝4，s＝5，不满足条件k＞4，执行循环体，k＝5，s＝6，满足条件k＝5＞4，退出循环，输出S的值为6．故选：C．4．（5分）已知a∈R，b∈R，则“a＞b”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：令a＝1，b＝﹣1，则a＞b，而＞，不是充分条件，若，即＜0，∴或，即a，b同号时：a＞b，a，b异号时：a＜b，不是必要条件，故选：D．5．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥体积为（）【解答】解：根据三视图可知该几何体是一个三棱锥，如图所示；由俯视图和侧视图知，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是2、1，由侧视图知，三棱锥的高是1，∴该几何体的体积为V＝××2×1×1＝．故选：A．6．（5分）若x，y满足且z＝﹣kx+y有最大值，则k的取值范围为（）A．k≤1B．1≤k≤2C．k≥1D．k≥2【解答】解：作出x，y满足对应的平面区域如图：由z＝﹣kx+y得y＝kx+z，∴直线的截距最大，对应的z也取得最大值，即平面区域在直线y＝kx+z的下方，若k≤0，平移直线y＝kx+z，由图象可知，直线在y轴上的截距没有最大值．如果k≥1，当直线y＝kx+z经过点B或A时，直线y＝kx+z的截距最大，当0＜k＜1，直线在可行域没有满足题意的点．故选：C．7．（5分）设函数f（x）＝sin（2x+φ）（φ是常数），若，则，，之间的大小关系可能是（）A．B．f（）＜f（）＜f（）C．D．【解答】解：函数f（x）＝sin（2x+φ）∵，即f（x）的一条对称轴为x＝．令x＝时，取得最大值，即sin（2×+φ）＝1．可得：+φ＝，k∈Z．解得：φ＝+2kπ．k∈Z．取φ＝，则函数f（x）＝sin（2x﹣）那么：f（）＝sin（2×﹣）＝0．f（）＝sin（）＝1，f（）＝sin（）＝．∴f（）＜f（）＜f（）．故选：B．8．（5分）某公司有4家直营店a，b，c，d，现需将6箱货物运送至直营店进行销售，各直营店出售该货物以往所得利润统计如下表所示．根据此表，该公司获得最大总利润的运送方式有（）A．1种B．2种C．3种D．4种【解答】解：6箱货物的分配方法有：6，0，0，0；5，1，0，0；4，2，0，0；3，3，0，0；4，1，1，0；2，2，2，0；3，2，1，0；1，1，2，2；1，1，1，3类型．而6，0，0，0；5，1，0，0；4，2，0，0；3，3，0，0；4，1，1，0；2，2，2，0；类型中获利的最大值不超过：16．a，b，c，d；总获利分配货物：1 2 2 1 4+4+5+4＝17．1 3 1 1 4+7+2+4＝17．2 3 0 1 6+7+0+4＝17．该公司获得最大总利润的运送方式有：3种．故选：C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数（1+i）2＝2i．【解答】解：原式＝1+2i+i2＝2i．故答案为：2i．10．（5分）设则f（f（﹣1））＝﹣1．【解答】解：∵∴f（﹣1）＝，f（f（﹣1））＝f（）＝＝﹣1．故答案为：﹣1．11．（5分）已知双曲线的离心率为2，则b＝．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，其中a＝1，则c＝，又由该双曲线的离心率e＝2，则有＝＝2，又由b＞0，解可得b＝；故答案为：．12．（5分）在极坐标系中，点到直线ρcosθ＝2的距离是1．【解答】解：由x＝，y＝2sin，可得点的直角坐标为A（1，），直线ρcosθ＝2的直角坐标方程为x＝2．∴点A（1，）到直线x＝2的距离d＝2﹣1＝1，即点到直线ρcosθ＝2的距离是1．故答案为：1．13．（5分）已知圆O：x2+y2＝1的弦AB长为，若线段AP是圆O的直径，则＝2；若点P为圆O上的动点，则的取值范围是[1﹣，]．【解答】解：如图，由题意可得，∠BAP＝45°，∴＝；由题意得A（1，0），B（0，1），设P（cosθ，sinθ），则，，∴＝﹣cosθ+1+sinθ＝sinθ﹣cosθ+1＝．∴的取值范围是[1﹣，]．故答案为：2；[1﹣，]．14．（5分）已知数列{a n}满足，k≥2，k∈N*，[a n]表示不超过a n的最大整数（如[1.6]＝1），记b n＝[a n]，数列{b n}的前n项和为T n．①若数列{a n}是公差为1的等差数列，则T4＝6；②若数列{a n}是公比为k+1的等比数列，则T n＝[（1+k）n﹣nk﹣1]．【解答】解：①∵数列{a n}满足，k≥2，k∈N*，[a n]表示不超过a n的最大整数b n＝[a n]，数列{b n}的前n项和为T n．数列{a n}是公差为1的等差数列，∴＝n+，b n＝[a n]＝n﹣1，∴T4＝b1+b2+b3+b4＝0+1+2+3＝6．②∵数列{a n}是公比为k+1的等比数列，a1＝，k≥2，∴a n＝•（k+1）n﹣1＝•（k n﹣1+•k n﹣2+•k n﹣3+…+•k+），且b n＝[a n]，∴数列{b n}的前n项和为：T n＝0+1+（k+2）+（k2+3k+3）+…+（k n﹣2+•k n﹣3+•k n﹣4+…+）＝（1+2+3+…+n﹣1）+（k+k+k+…+k）+（k2+k2+k2+…+k2）+…+k n﹣2＝+k+k2+…+k n﹣2＝+k+k2+…+k n﹣2＝（k2+k3+k4+…+k n）＝[（1+k）n﹣nk﹣1]．故答案为：①6，②[（1+k）n﹣nk﹣1]．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，，b＝3，．（Ⅰ）求sin B；（Ⅱ）设BC的中点为D，求中线AD的长．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，．可得sin A＝，由正弦定理得，即，∴．（Ⅱ）∵D是BC的中点，∴，在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc•cos A⇒c＝1，或c＝﹣3（舍去），在△ADB中，由余弦定理得AD2＝AB2+BD2﹣2AB•DB cos B＝2，∴AD＝．16．（13分）某大型超市拟对店庆当天购物满288元的顾客进行回馈奖励．规定：顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘（如图），待转盘停止转动时，若指针指向扇形区域，则顾客可领取此区域对应面额（单位：元）的超市代金券．假设转盘每次转动的结果互不影响．（Ⅰ）若x0≠60，求顾客转动一次转盘获得60元代金券的概率；（Ⅱ）某顾客可以连续转动两次转盘并获得相应奖励，当x0＝20时，求该顾客第一次获得代金券的面额不低于第二次获得代金券的面额的概率；（Ⅲ）记顾客每次转动转盘获得代金券的面额为X，当x0取何值时，X的方差最小？（结论不要求证明）【解答】解：（I）若x0≠60，顾客转动一次转盘获得60元代金券的概率P＝＝．（II）当x0＝20时，转动一下获得20元代金券的概率P1＝＝，顾客第一次获得代金券的面额低于第二次获得代金券的面额的概率为＝，∴顾客第一次获得代金券的面额不低于第二次获得代金券的面额的概率为1﹣＝．（III）当x0＝60时，X的方差最小．17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面BCC1B1⊥平面ABC，四边形BCC1B1为菱形，点M是棱AC上不同于A，C的点，平面B1BM与棱A1C1交于点N，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，∠BB1C1＝60°．（Ⅰ）求证：B1N∥平面C1BM；（Ⅱ）求证：B1C⊥平面ABC1；（Ⅲ）若二面角A﹣BC1﹣M为30°，求AM的长．【解答】解（Ⅰ）∵平面B1BM与棱A1C1交于点N，根据棱柱的性质可得面ABC ∥面A1B1C1，⇒B1N∥BM．又∵BM⊂平面C1BM，B1N⊄平面C1BM，∴B1N∥平面C1BM；（Ⅱ）∵平面BCC1B1⊥平面ABC，平面BCC1B1∩平面ABC＝BC，AB⊂面ABC，AB⊥BC，∴AB⊥面BCC1B1．∴AB⊥B1C∵四边形BCC1B1为菱形，∴B1C⊥BC1，且AB∩BC1＝B，∴B1C⊥平面ABC1；（Ⅲ）如图，以B为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz．则B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），C1（0，1，），B1（0，﹣1，）．，设，λ∈（0，1），则由（Ⅰ）可知面BAC1的法向量为BM的法向量为．设面面C由，可取，∵二面角A﹣BC1﹣M为30°，∴cos＝．解得．∴AM＝18．（13分）已知函数，且m≠0．（Ⅰ）当m＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）有最值，写出m的取值范围．（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）m＝1时，f（x）＝，f′（x）＝，故f′（0）＝﹣1，故切线方程是：y﹣0＝﹣（x﹣0），即x+y＝0；（Ⅱ）f′（x）＝，①﹣m＞0即m＜0时，令f′（x）＞0，解得：﹣＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞或x＜﹣，故f（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，）递增，在（，+∞）递减；②﹣m＜0，即m＞0时，f′（x）＜0在R恒成立，故f（x）在（﹣∞，），（，+∞）递减；（Ⅲ）由（Ⅱ）得m＜0．19．（14分）已知椭圆的短轴端点到右焦点F（1，0）的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F的直线交椭圆C于A，B两点，交直线l：x＝4于点P，若|P A|＝λ1|AF|，|PB|＝λ2|BF|，求证：λ1﹣λ2为定值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的短轴端点到右焦点F（1，0）的距离为2，∴，∴c＝1，a＝2，b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆的方程：．证明：（Ⅱ）设过F点的直线方程为y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），P （4，3k），F（1，0），（令x1＜x2），＝（x1﹣4，y1﹣3k），＝（1﹣x1，﹣y1），＝（x2﹣4，y2﹣3k），＝（1﹣x2，﹣y2），∵|P A|＝λ1|AF|，|PB|＝λ2|BF|，∴，，联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，△＞0，，，∴λ1﹣λ2＝﹣＝＝＝＝＝﹣2．∴λ1﹣λ2为定值﹣2．20．（13分）已知集合A1，A2，…，A n为集合U的n个非空子集，这n个集合满足：①从中任取m个集合都有≠U成立；②从中任取m+1个集合都有＝U成立．（Ⅰ）若U＝{1，2，3}，n＝3，m＝1，写出满足题意的一组集合A1，A2，A3；（Ⅱ）若n＝4，m＝2，写出满足题意的一组集合A1，A2，A3，A4以及集合U；（Ⅲ）若n＝10，m＝3，求集合U中的元素个数的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵集合A1，A2，…，A n为集合U的n个非空子集，这n个集合满足：①从中任取m个集合都有A i1∪A i2∪…∪A im≠U成立，②从中任取m+1个集合都有＝U成立．U＝{1，2，3}，n＝3，m＝1，∴满足题意的一组集合A1＝{2，3}，A2＝{2，3，6}，A3＝{1，3，5}．（Ⅱ）∵n＝4，m＝2，∴满足题意的一组集合A1＝{4，5，6}，A2＝{2，3，6}，A3＝{1，3，5}，A4＝{1，2，4}，集合U＝{1，2，3，4，5，6}．（Ⅲ）∵n＝10，m＝3，∴集合U中的元素个数的最小值为120个．下面先证明若{i 1，i2，i3}≠{j1，j2，j3}，则，，B j≠B i，反证法：假设B j＝B i，设i1∉{j1，j2，j3}，由假设B i＝B j≠∪，设D j＝∁U B j，设x∈D j，则x是，，中都没有的元素，x∉B j，∵，，，四个子集的并集为U，∴⊂B i＝B j与x∉B j矛盾，∴假设不正确，，i2，i3}≠{j1，j2，j3}，且，，B j若{i≠B i成立，则A1，A2，…，A10的3个集合的并集共计有＝120个．把集合U中120个元素与A 1，A2，…，A10的3个集合的并集B i＝建立一一对应关系，∴集合U中元素个数大于等于120，下面我们构造一个有120个元素的集合U：把与B i＝（i＝1，2，…，120）对应的元素放在异于，的集合中，∴对于任意一个3个集合的并集，它们都不含与B i对应的元素，∴B i≠U，同时，对于任意的4个集合设为的并集，则由上面的原则与，，对应的元素在集合中，即对于任意的4个集合的并集为全集U．。

（东城一模）28. 在等腰△ABC 中，（1）如图1，若△ABC 为等边三角形，D 为线段BC 中点，线段AD 关于直线AB 的对称线段为线段AE ，连接DE ，则∠BDE 的度数为___________；（2）若△ABC 为等边三角形，点D 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），连接AD 并将 线段AD 绕点D 逆时针旋转60°得到线段DE ，连接BE . ∠根据题意在图2中补全图形；∠小玉通过观察、验证，提出猜测：在点D 运动的过程中，恒有CD =BE .经过与同学们的充分讨论，形成了几种证明的思路：思路1：要证明CD =BE ，只需要连接AE ，并证明△ADC ≌△AEB ；思路2：要证明CD =BE ，只需要过点D 作DF ∥AB ，交AC 于F ，证明△ADF ≌△DEB ；思路3：要证明CD =BE ，只需要延长CB 至点G ，使得BG =CD ，证明△ADC ≌△DEG ；……请参考以上思路，帮助小玉证明CD =BE .（只需要用一种方法证明即可） （3）小玉的发现启发了小明：如图3，若AB =AC =kBC ，AD =kDE ，且∠ADE =∠C ，此时小明发现BE ，BD ，AC 三者之间满足一定的的数量关系，这个数量关系是______________________.（直接给出结论无须证明）图1图2图3（西城一模）28．在ABC △中，AB BC =，BD AC ⊥于点D ．（1）如图1，当90ABC ∠=︒时，若CE 平分ACB ∠，交AB 于点E ，交BD 于点F ．①求证：BEF △是等腰三角形；②求证：1()2BD BC BF =+；（2）点E 在AB 边上，连接CE ．若1()2BD BC BE =+，在图2中补全图形，判断ACE∠与ABC ∠之间的数量关系，写出你的结论，并写出求解ACE ∠与ABC ∠关系的思路．（海淀一模）28．在ABCD 中，点B 关于AD 的对称点为B '，连接AB '，CB '，CB '交AD 于F 点.（1）如图1，90ABC ∠=︒，求证：F 为CB '的中点；（2）小宇通过观察、实验、提出猜想：如图2，在点B 绕点A 旋转的过程中，点F 始终为CB '的中点．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：过点B '作B G '∥CD 交AD 于G 点，只需证三角形全等；想法2：连接BB '交AD 于H 点，只需证H 为BB '的中点； 想法3：连接BB '，BF ，只需证90B BC '∠=︒． ……请你参考上面的想法，证明F 为CB '的中点．（一种方法即可） （3）如图3，当135ABC ∠=︒时，AB '，CD 的延长线相交于点E ，求CE AF的值．图1图2D CABFEAD CB（朝阳一模）28．在△ABC 中，∠ACB =90°，AC<BC ，点D 在AC 的延长线上，点E 在BC 边上，且BE =AD .（1）如图1，连接AE ，DE ，当∠AEB =110°时，求∠DAE 的度数；（2）在图2中，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°得到线段EF ，连接BF ，DE . ①依题意补全图形； ②求证：BF =DE .（丰台一模）28．在边长为5的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，DC 边上的两个动点（不与点B ，C ，D 重合），且AE ⊥EF ． （1）如图1，当BE = 2时，求FC 的长；（2）延长EF 交正方形ABCD 外角平分线CP 于点P ．①依题意将图2补全；②小京通过观察、实验提出猜想：在点E 运动的过程中，始终有AE =PE ．小京把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的三种想法：想法1：在AB 上截取AG =EC ，连接EG ，要证AE =PE ，需证△AGE ≌△ECP ． 想法2：作点A 关于BC 的对称点H ，连接BH ，CH ，EH ．要证AE =PE ， 需证△EHP 为等腰三角形．想法3：将线段BE 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段BM ，连接CM ，EM ， 要证AE =PE ，需证四边形MCPE 为平行四边形． 请你参考上面的想法，帮助小京证明AE =PE ．（一种方法即可）图1图2图3图1 图2（石景山一模）28．在正方形ABCD 中，点E 是对角线AC 上的动点（与点A ，C 不重合），连接BE ．（1）将射线BE 绕点B 顺时针旋转45°，交直线AC 于点F .①依题意补全图1；②小研通过观察、实验，发现线段AE ，FC ，EF 存在以下数量关系： AE 与FC 的平方和等于EF 的平方．小研把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法：想法1： 将线段BF 绕点B 逆时针旋转90°，得到线段BM ， 要证AE ，FC ，EF 的关系，只需证AE ，AM ，EM 的关系.想法2：将ABE △沿BE 翻折，得到NBE △，要证AE ，FC ，EF 的关系，只需证EN ，FN ，EF 的关系.……请你参考上面的想法，用等式表示线段AE ，FC ，EF 的数量关系并证明； （一种方法即可）（2）如图2，若将直线．．BE 绕点B 顺时针旋转135°，交直线．．AC 于点F .小研完成作 图后，发现直线AC 上存在三条线段（不添加辅助线）满足：其中两条线段的平 方和等于第三条线段的平方，请直接用等式表示这三条线段的数量关系.FA BCD EF A BCDECB B（顺义一模）28．在正方形ABCD 和正方形DEFG 中，顶点B 、D 、F 在同一直线上，H 是BF的中点．（1）如图1，若AB =1，DG =2，求BH 的长； （2）如图2，连接AH ，GH ．小宇观察图2，提出猜想：AH =GH ，AH ⊥GH ．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：延长AH 交EF 于点M ，连接AG ，GM ，要证明结论成立只需证△GAM 是等腰直角三角形；想法2：连接AC ，GE 分别交BF 于点M ，N ，要证明结论成立只需证△AMH ≌△HNG . ……请你参考上面的想法，帮助小宇证明AH =GH ，AH ⊥GH ．（一种方法即可）（通州一模）28．在等边三角形ABC 中，E 为直线AB 上一点，连接EC .ED 与直线BC 交于点D ，ED =EC .（1）如图1，AB =1，点E 是AB 的中点，求BD 的长；（2）点E 是AB 边上任意一点（不与AB 边的中点和端点重合），依题意，将图2补全，判断AE 与BD 间的数量关系并证明；（3）点E 不在线段AB 上，请在图3中画出符合条件的一个图形.图2图1BB图1 图2 图3（平谷一模）28．在△ABC 中，AB =AC ，∠A =60°，点D 是BC 边的中点，作射线DE ，与边AB 交于点E ，射线DE 绕点D 顺时针旋转120°，与直线AC 交于点F ． （1）依题意将图1补全；（2）小华通过观察、实验提出猜想：在点E 运动的过程中，始终有DE=DF ．小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：由点D 是BC 边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE =DF ； 想法2：利用等边三角形的对称性，作点E 关于线段AD 的对称点P ，由∠BAC 与∠EDF 互补，可得∠AED 与∠AFD 互补，由等角对等边，可证DE =DF ；想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD 是∠BAC 的角平分线，由角平分线定理，构造点D 到AB ，AC 的高，利用全等三角形，可证DE =DF …….请你参考上面的想法，帮助小华证明DE =DF （选一种方法即可）； （3）在点E 运动的过程中，直接写出BE ，CF ，AB 之间的数量关系．（房山一模）28. 在△ABC 中，AB=BC ，∠B=90°，点D 为直线BC 上一个动点（不与B 、C 重合），连结AD ，将线段AD 绕点D 按顺时针方向旋转90°，使点A 旋转到点E ，连结EC .（1）如果点D 在线段BC 上运动，如图1： ①依题意补全图1； ②求证：∠BAD=∠EDC③通过观察、实验，小明得出结论：在点D运动的过程中，总有∠DCE=135°.小明与同学讨论后，形成了证明这个结论的几种想法：图1 D C A B E 备用图 DB E ABDBACC图1图2想法一：在AB上取一点F，使得BF=BD，要证∠DCE =135°，只需证△ADF≌△DEC.想法二：以点D为圆心，DC为半径画弧交AC于点F. 要证∠DCE=135°，只需证△AFD≌△ECD.想法三：过点E作BC所在直线的垂线段EF，要证∠DCE=135°，只需证EF=CF.……请你参考上面的想法，证明∠DCE=135°.（2）如果点D在线段CB的延长线上运动，利用图2画图分析，∠DCE的度数还是确定的值吗？如果是，直接写出∠DCE的度数；如果不是，说明你的理由.东城 28.解：（1）30°； …………1分 （2）思路1：如图，连接AE .…………5分思路2：过点D 作DF ∥AB ，交AC 于F .…………5分思路3：延长CB 至G ，使BG =CD.…………5分（3）k (BE +BD )=AC . …………7分,60. ..AD DE ADE ADE ABC EAB DAC AB AC AE AD EAB DAC CD BE =∠=︒∴∴∠=∠==∴∴=，△为等边三角形.△为等边三角形,，，△≌△EE=60.,=60..===60,.,..ABC AC BC BAC DF AB DFC CDF AF BD ADE ACB ABC DAF EDB AD DE ADF DEB DF BE CD ∴=∠︒∴∠︒∴∴=∠∠∠︒∴∠=∠=∴∴==△为等边三角形，，∥△为等边三角形.又△≌△=60.,.===60,.,.,==60..ABC AC BC BAC CD BG DG AC ADE ACB ABC DAF EDB AD DE ADC DEG CD EG BG C G BGE BE BG CD ∴=∠︒=∴=∠∠∠︒∴∠=∠=∴∴==∠∠︒∴∴==△为等边三角形,，又△≌△△为等边三角形.西城28.证明：在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D．∴∠ABD=∠CBD，AD = BD．（1）①∵∠ABC=90°．∴∠ACB=45°．∵CE平分∠ACB，∴∠ECB=∠ACE =22.5°．∴∠BEF=∠CFD =∠BFE =67.5°．∴BE=BF．∴△BEF是等腰三角形．························2分②延长AB至M，使得BM=AB，连接CM．∴BD∥CM，BD =12 CM．∴∠BCM=∠DBC=∠ABD=∠BMC=45°．∴∠BFE=∠MCE．∴BC=BM．由①可得，BE=BF，∠BEF=∠BFE．∴∠BFE=∠MCE=∠BEF．∴EM=MC．∴BD =12（BC+BF）． ···················································································5分（2）∠ACE==14∠ABC．a．与（1）②同理可证BD∥CP，BD =12 PC，BP = BC；b．由BD =12（BC+BE）可证△PEC和△BEF分别是等腰三角形；c．由∠BEF+∠BFE +∠EBF =180°，∠FCD+∠DFC =90°．可证∠ACE==14∠ABC．……………………7分海淀28．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，∴□ABCD为矩形，AB=CD.∴.∠D =∠BAD = 90°.∵B，B'关于AD对称，∴∠B'AD=∠BAD=90°，AB=A B'．----------------- 1分∴∠B'AD=∠D．∵∠AF B'=∠CFD，∴△AF B'≌ △CFD（AAS）.∴F B'=FC．∴F是C B'的中点．---------------------------------------------------------------------------- 2分（2）证明：方法1：过点B'作B G'∥CD交AD于点G．∵B，B'关于AD对称，∴∠1=∠2，AB=A B'．∵B'G∥CD，AB∥CD，∴B'G∥AB．∴∠2=∠3．∴∠1=∠3．∴B'A=B'G．∵AB=CD，AB=A B'，∴B'G=CD．------------------------------------------------------------------------------------- 3分∵B'G∥CD，∴∠4=∠D．----------------------------------------------------------------------------------------- 4分∵∠B'FG=∠CFD，∴△B'FG≌ △CFD（AAS）.∴F B'=FC．∴F是C B'的中点．---------------------------------------------------------------------------- 5分方法2：连接BB'交直线AD于H点，∵B，B'关于AD对称，∴AD是线段B'B的垂直平分线．∴B'H=HB．----------------------------- 3分∵AD∥BC，∴''1B F B HFC HB==．-------------------- 4分∴F B'=FC．DC∴F是C B'的中点．--------------------------------------------------------------------------- 5分方法3：连接BB'，BF，∵B，B'关于AD对称，∴AD是线段B'B的垂直平分线．∴B'F=FB．----------------------------- 3分∴∠1=∠2．∵AD∥BC，∴B'B⊥BC．∴∠B'BC=90°．∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°．∴∠3=∠4．∴FB=FC．------------------------------------------------------------------------------------------- 4分∴B'F=FB=FC．∴F是C B'的中点．--------------------------------------------------------------------------- 5分（3）解：取B'E的中点G，连结GF.∵ 由（2）得，F为C B'的中点，∴ FG∥CE，12FG CE=．…①∵∠ABC=135°，□ABCD中，AD∥BC，∴∠BAD=180°-∠ABC=45°．∴由对称性，∠EAD=∠BAD=45°.∵FG∥CE，AB∥CD，∴FG∥AB．∴∠GFA=∠FAB=45°. ----------------------------------------------------------------------------- 6分∴∠FGA=90°，GA=GF．∴sinFG EAD AF=∠⋅=．…②∴由①，②可得CEAF------------------------------------------------------------------ 7分朝阳28．（1）解：∵ÐAEB=110°,ÐACB=90°,∴ÐDAE=20°.（2）①补全图形，如图所示.②证明：由题意可知∠AEF=90°，EF=AE.∵∠ACB=90°，∴∠AEC +∠BEF =∠AEC +∠DAE =90°.∴∠BEF =∠DAE . ∵BE =AD ， ∴△EBF ≌△ADE ． ∴DE =BF ．丰台28. 解：（1）∵正方形ABCD 的边长为5， BE =2， ∴EC =3.∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B =∠C= 90°， ∴∠1+∠3=90°，∵AE ⊥EF ，∴∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠2. ∴△ABE ∽△ECF ，∴FC CE BE AB =，即FC 325= ∴FC =56. ………………………………………………………………………2分（2）①依题意补全图形. ……………………………………………………………3分②法1：证明：在AB 上截取AG =EC ，连接EG . ∵AB = BC ，∴GB =EB .∵∠B =90°，∴∠BGE =45°，∴∠AGE =135°. ∵∠DCB =90°，CP 是正方形ABCD 外角平分线， ∴∠ECP =135°. ∴∠AGE =∠ECP .又∵∠1=∠2，∴△AGE ≌△ECP .∴AE =PE . ………………………………………………………………7分法2：证明：作点A 关于BC 的对称点H ，连接BH ，CH ，EH . ∴AB =BH=BC ，∠1=∠4，∠ABE =∠HBE =90°. ∴∠BHC =∠BCH =45°，∠4+∠5=45°.∵∠1=∠2，BCE DA FP G 12 12 BC E DA F P H4 5 6 F A DC BE132∴∠2+∠5=45°.∵∠ECP=135°，∴∠HCP=180°，点H，C，P在同一条直线上.∵∠6=∠2+∠P=45°，∴∠5 =∠P.∴AE=PE.………………………………………………………………7分法3：证明：将线段BE绕点B顺时针旋转90°，得到线段BM，连接CM，EM.∴MB=EB，∴∠MEB=45°，∠MEC=135°.由法1∠ECP=135°，∴∠MEC=∠ECP.∴ME∥PC.又∵AB=BC，∠ABC=∠MBC=90°.∴△ABE≌△CBF.∴∠1=∠BCM，MC=AE.∴MC∥EP.∴四边形MCPE为平行四边形.∴MC=PE.∴AE=PE. ………………………………………………………………7分石景山B CEDAF PM1顺义28．（1）解：∵正方形中ABCD和正方形DEFG，∴ △ABD ，△GDF 为等腰直角三角形． ∵ AB =1，DG =2，∴ 由勾股定理求得BD=2，DF=22．…………………………… 2分 ∵ B 、D 、F 共线， ∴ BF =23． ∵ H 是BF 的中点， ∴ BH =21BF =223． …………………………………………………… 3分 5（2）证法一：延长AH 交EF 于点M ，连接AG ，GM ，∵正方形中ABCD 和正方形DEFG 且B 、D 、F 共线，∴AB ∥EF ．∴∠ABH=∠MFH ．又∵BH=FH ,∠AHB =∠MHF ，∴△ABH ≌△MFH ．…………… 4分 ∴AH=MH ，AB=MF ． ∵AB=AD ， ∴AD=MF ．∵DG=FG ，∠ADG=∠MFG =90°， ∴△ADG ≌△MFG ．…………… 5分 ∴∠AGD=∠MGF ，AG=MG ． 又∵∠DGM +∠MGF=90°， ∴∠AGD +∠DGM=90°．∴△AGM 为等腰直角三角形．…………………………………… 6分 ∵AH=MH ，∴AH =GH ，AH △GH ．…………………………………………… 7分 证法二：连接AC ，GE 分别交BF 于点M ，N ，∵正方形中ABCD 和正方形DEFG 且B 、D 、F 共线，∴AC ⊥BF ，GE ⊥BF ，DM =21BD ，DN=21DF ． ∴∠AMD =∠GNH =90°，MN =21BF ．………………………… 4分∵H 是BF 的中点， ∴BH =21BF ． ∴BH=MN ．∴BH -MH=MN -MH ． ∴BM=HN ．∵AM=BM=DM ， ∴AM=HN=DM ． ∴MD+DH=NH+DH ． ∴MH=DN ． ∵DN = GN ， ∴MH = GN ．∴△AMH ≌△HNG ． ……………………………………………… 5分 ∴AH=GH ，∠AHM=∠HGN ． …………………………………… 6分 ∵∠HGN +∠GHN=90°， ∴∠AHM +∠GHN=90°． ∴∠AHG=90°．∴AH ⊥GH ． ………………………………………………………… 7分 通州28.解：（1）……………………..(1分)21BD ……………………..(2分) （2）AE =BD ……………………..(3分)证明思路1：利用等边三角形的性质， 证明△BDE 与EC 所在的三角形全等； 证明思路2：利用等腰三角形的轴对称性， 作出△BDE 的轴对称图形；证明思路3:将△BDE 绕BE 边的中点旋转180°，构造平行四边形； ……………………..(6分) ……（3）图形正确 ……………………..(7分)平谷 28．解：（1）如图1，DECB (1)（2）想法1证明：如图2，过D 作DG ∥AB ，交AC 于G ， (2)∵点D 是BC 边的中点， ∴DG =12AB ． ∴△CDG 是等边三角形． ∴∠EDB +∠EDG=120°． ∵∠FDG +∠EDG=120°， ∴∠EDB =∠FDG ． (3)∵BD=DG ，∠B =∠FGD =60°， ∴△BDE ≌△GDF ． .............................................................................................................. 4 ∴DE =DF ． .. (5)想法2证明：如图3，连接AD ， ∵点D 是BC 边的中点， ∴AD 是△ABC 的对称轴．作点E 关于线段AD 的对称点P ，点P 在边AC 上， (2)∴△ADE ≌△ADP ．图1F DCABE 图2 GF DCABE 图3P F DCAB E图4N M F DCBE∴DE=DP，∠AED=∠APD．∵∠BAC+∠EDF=180°，∴∠AED+∠AFD=180°．∵∠APD+∠DPF=180°，∴∠AFD=∠DPF． (3)∴DP=DF． (4)∴DE=DF． (5)想法3证明：如图4，连接AD，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AB于N， (2)∵点D是BC边的中点，∴AD平分∠BAC．∵DM⊥AB于M，DN⊥AB于N，∴DM=DN． (3)∵∠A=60°，∴∠MDE+∠EDN=120°．∵∠FDN+∠EDN=120°，∴∠MDE=∠FDN．∴Rt△MDE≌Rt△NDF． (4)∴DE=DF． (5)（3）当点F在AC边上时，12BE CF AB+=； (6)当点F在AC延长线上时，12BE CF AB-=． (7)房山。