北师大版-数学-九年级上册-4.5 相似三角形判定定理的证明 教案

北师大版数学九年级上册《＊5 相似三角形判定定理的证明》教案一. 教材分析《相似三角形判定定理的证明》这一节主要让学生掌握相似三角形的判定方法，并能够灵活运用这些方法解决实际问题。

在教材中，已有相似三角形的概念和性质，为本节的学习提供了基础。

本节课的内容是整个初中数学的重要知识点，也是中考的热点，对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经具备一定的数学基础，对相似三角形的概念和性质有一定的了解。

但学生在证明过程中，可能对概念的理解不够深入，证明方法的运用不够熟练。

因此，在教学过程中，要注重引导学生深入理解相似三角形的判定定理，并通过大量的练习，提高学生运用定理解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握相似三角形的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。

2.过程与方法：通过学生自主探究、合作交流，培养学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。

四. 教学重难点1.重点：相似三角形的判定方法。

2.难点：如何灵活运用判定方法，解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法、案例分析法等，引导学生主动探究，提高学生解决问题的能力。

六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

2.学具：三角板、量角器、直尺。

3.教案：详细的教学设计。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的相似图形，引导学生发现相似图形的特征，从而引入本节课的主题——相似三角形判定定理的证明。

2.呈现（10分钟）呈现相似三角形的判定定理，引导学生理解定理的含义，并通过示例演示定理的应用。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，尝试运用判定定理证明两三角形相似。

教师巡回指导，解答学生的问题。

4.巩固（10分钟）出示一组题目，让学生独立完成，检验学生对相似三角形判定定理的掌握程度。

5.拓展（10分钟）出示一些实际问题，让学生运用相似三角形的判定定理解决问题，提高学生运用知识解决实际问题的能力。

北师大版数学九年级上册《＊5 相似三角形判定定理的证明》教学设计一. 教材分析北师大版数学九年级上册《5 相似三角形判定定理的证明》这一节的内容，主要介绍了相似三角形的判定定理。

学生通过本节课的学习，能够理解和掌握相似三角形的判定方法，并能运用这些方法解决实际问题。

本节课的内容是学生在学习了三角形的性质、平行线等知识的基础上进行学习的，是对之前知识的加深和拓展。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对三角形的性质、平行线等知识有一定的了解。

但是，对于相似三角形的判定定理，学生可能还比较陌生，需要通过实例和操作来理解和掌握。

此外，学生的空间想象能力和逻辑思维能力还需要通过练习来提高。

三. 教学目标1.理解相似三角形的判定定理，并能运用判定定理解决实际问题。

2.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.培养学生合作探究的学习习惯。

四. 教学重难点1.教学重点：相似三角形的判定定理的理解和运用。

2.教学难点：相似三角形的判定定理的证明和逻辑推理。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实例和操作来理解和掌握相似三角形的判定定理。

2.采用小组合作的学习方式，让学生在讨论和交流中提高自己的思维能力和解决问题的能力。

3.采用多媒体辅助教学，通过动画和图片等形式，帮助学生更好地理解和掌握知识。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和多媒体素材。

2.准备一些实际的例子和习题，用于学生的练习和巩固。

3.准备小组讨论的环境，让学生能够更好地进行合作学习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际的例子，引出相似三角形的概念，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT和多媒体素材，呈现相似三角形的判定定理，让学生直观地感受和理解。

3.操练（10分钟）学生通过实际操作，尝试运用判定定理来判断两个三角形是否相似。

教师给予指导和反馈。

4.巩固（10分钟）教师给出一些实际的例子，让学生运用判定定理来解决。

4.5相似三角形的判定定理证明教学设计1.定理两角分别相等的两个三角形相似已知:如图在△ABC和△AB'C'中，∠A=∠A',∠B=∠B'.求证:△ABC△A'B'C'.证明:在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A'B',过点D作DE∥BC交AC于点E,则∠ADE=∠B,∠AED=∠C,AD AB =AEAC . 过点D 作AC 的平行线，交BC 于点F,则AD AB =CF CB.∴AE AC =CFCB∵DE//BC, DF//AC,∴四边形DFCE 是平行四边形， ∴DF=CF. ∴AE AC =DECB ∴AD AB =AE AC =DE CB而∠ADE=∠B ，∠DAE=∠BAC ，∠AED=∠C,∴△ADE ∽△ABC.∵∠A=∠A',∠ADE=∠B=∠B', AD= A'B', ∴△ADE ≌△A'B'C'. ∴△ABC ∽△A'B'C'.归纳总结：证明三角形相似的判定定理,关键是利用转化的数学思想,结合平行线分线段成比例,通过作辅助线,把一个三角形转移、构建到另一个三角形中，然后利用相似三角形的定义证明相似三角形的判定定理.2.定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.已知:如图，在△ABC 和△A'B'C'中，∠A=∠A',AB A ′B′=ACA ′C′，求证: ∆ ABC ∽△A'B'C'.证明：在△A ′B ′C ′的边A ′B ′上截取点D ，使A ′D=AB.过点D 作DE ∥B ′C ′,交A ′C ′于点E.∵DE ∥B ′C ′,∠ADE= ∠B ′, ∠A ′ ED= ∠C ′ ∴△A ′DE ∽△A ′B ′C ′.∴A ′D A ′B′=A ′EA ′C′∵A ′D=AB ，ABA ′B′=ACA ′C′∴A ′DA ′B′=A ′E A ′C′=AC A ′C′∴A ′E =AC. 又∠A ′=∠A. ∴△A ′DE ≌△ABC ， ∴△A ′B ′C ′∽△ABC .判定定理3：三边成比例的两个三角形相似. 已知：如图，在△ABC 和△A'B'C '中，ABA ′B′=BCB ′C′=AC A ′C′求证：△ABC ∽△A'B'C ' .证明:在线段 AB (或延长线) 上截取 AD =A ′B ′， 过点 D 作 DE ∥BC 交AC 于点 E.∵ DE ∥BC ，∴ △ADE ∽△ABC . ∴ADAB =DEBC =AEAC 又A ′B′AB =B ′C′BC=A ′C′AC，AD =A ′B ′，∴DE BC =B ′C′BC，AEAC =A ′C′AC.∴ DE =B ′C ′，EA =C ′A ′. ∴△ADE ≌△A ′B ′C ′， ∴△A ′B ′C ′ ∽△ABC .问题1：定理2，3的证明过程与定理1的证明过程共同点是什么？作平行线→相似→相等→相似问题2：定理2，3的证明过程与定理1的证明过程的不同点是什么？定理2，3只作了1条辅助线，它在定理1的基础上证明的，简单一些．典例精析例、如图，正方形ABCD中，M为AB上一点，N 为BC上一点，且BM=BN,BP⊥MC于点P.求证：∆PCD∽∆PBN证明：在正方形ABCD中,BC=CD,∠ABC=∠BCD=90°，BP⊥MC∴∠BPC=∠MPB=90°,∠PBC=∠PMC.∴△BPM∽△CPB.∴BPBM =CP CB.又BM=BN,CB=CD，∴BPBN =CP CD.又∵∠PBC+∠PCB=∠PCD+∠PCB =90°∴∠PBC=∠PCD.∴△PBN∽△PCD.2．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC ＝( )A．1∶4 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD＝2，DE＝1，则BC的长为_______．4．△ABC中，AB=10 ，AC=6 ，点D在AC上且AD=3 ，若要在AB上找一个点E，使△ADE与△ABC相似，则AE= __ ．5．如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，F 是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.(1)求证：△ABM∽△EFA；(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．。

相似三角形判定定理【教学目标】1．知识与技能目标：（1）理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应角。

（2）掌握相似三角形判定定理的“预备定理”。

2．过程与方法目标：（1）通过探索相似三角形判定定理的“预备定理”的过程，培养学生的动手操作能力，观察、分析、猜想和归纳能力，渗透类比、转化的数学思想方法。

（2）利用相似三角形的判定定理的“预备定理”进行有关判断及计算，训练学生的灵活运用能力，提高表达能力和逻辑推理能力。

3．情感与态度目标：（1）通过实物演示和电化教学手段，把抽象问题直观化，激发学生学习的求知欲，感悟数学知识的奇妙无穷。

（2）通过主动探究、合作交流，在学习活动中体验获得成功的喜悦。

【教学重难点】1．相似三角形判定定理的预备定理的探索2．相似三角形判定定理的预备定理的有关证明【教学方法】探究法【教学过程】一、教学准备1．全等三角形的基础知识2．三角形中位线定理及其证明方法3．平行四边形的判定和性质4．相似多边形的定义5．比例的性质二、复习引入（一）复习1．相似图形指的是什么？2．什么叫做相似三角形？（二）引入如图△ABC与△A＇B＇C＇相似。

记作△ABC∽△A＇B＇C＇，读作“△ABC相似于△A＇B＇C＇。

[注意]：两个三角形相似，用字母表示时，与全等一样，应把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样便于找出相似三角形的对应边和对应角。

对于“△ABC∽△A＇B＇C＇，根据相似形的定义，应有“∠A＝∠A＇，∠B＝∠B＇，∠C＝∠C＇，[问题]：将△ABC与△A＇B＇C＇相似比记为k1，△ABC与△A＇B＇C＇相似比记为k2，那么k1 与k2有什么关系？ k1＝ k2能成立吗？三、探索交流（一）［探究］1．在△ABC中，D为AB的中点，如图，过D点作DE∥BC交AC 于点E ，那么△ADE 与△ABC 相似吗？（1）“角” ∠BAC ＝∠DAE ∵DB ∥BC ， ∴∠ADE ＝∠B ， ∠AED ＝∠C ．（2）“边” 要证明对应边的比相等，有哪些方法？Ⅰ、直接运用三角形中位线定理及其逆定理 ∵DB ∥BC ，D 为AB 的中点，∴E 为AC 的中点，即DE 是△ABC 的中位线。

第四章：相似三角形判定定理的证明教学设计一、教学目标1.能够理解和记忆相似三角形的定义和判定定理；2.能够运用相似三角形判定定理判断两个三角形是否相似；3.能够证明相似三角形判定定理。

二、教学准备1.教材：北师大版九年级上册数学教材；2.教学工具：黑板、彩色粉笔、三角形模型、计算器等。

三、教学过程1. 引入请同学们回顾上一节中所学的内容：相似三角形的定义和性质。

如果我们想判断两个三角形是否相似，应该如何做呢？2. 案例分析教师出示两个三角形ABC和DEF，并告诉学生它们的三边分别为AB=3cm，AC=4cm，BC=5cm，DE=6cm，DF=8cm，EF=10cm。

请同学们运用前几节所学的知识，判断这两个三角形是否相似，并找出其中的相似性质。

3. 导入判定定理老师引导学生通过案式论证，来找出判定相似三角形的一个定理。

通过讨论学生主动积极地发表自己的见解，找到所谓的判定相似三角形的“定理主角”——相似三角形的判定定理。

4. 证明判定定理老师可以通过两种方式来证明判定定理：一是结合三角形的图形来证明，二是利用三角形边长比例及对应角度相等的知识推导证明。

根据第一种方式，首先，需要找到两个相似三角形，并在它们的图形上画出相应的角度和边长比例，让学生通过对比两个三角形的相似性质，并结合对两个三角形的认识，得出判定相似三角形的判定定理。

根据第二种方式，老师建议先通过调研的方式，让同学们自己提出相似三角形判定定理的证明思路，然后再给出老师的证明思路并过程展示。

5. 补充知识老师可以让同学们了解如下知识：•相似三角形的应用；•相似性质的运用。

6. 讲评老师与学生一起讨论本节课的核心内容和难点，解答学生的疑问，对之前的知识进行总结，引导学生思考和应用。

四、课后作业1.完成教材第四章中的相关习题；2.阅读课外相关材料，探究相似三角形的应用；3.总结相似三角形的判定定理，并写一篇短文探讨相关理论。

五、教学反思从本节课的教学过程来看，引导学生通过案例分析来运用前几节所学的知识，判断两个三角形是否相似，并找出其中的相似性质，以此为基础，导出判定相似三角形的“定理主角”——相似三角形判定定理，再通过证明定理的正确性，让学生更好地掌握所学内容。

3.5 相似三角形判定定理的证明
教学目标 ①了解相似三角形判定定理，②会证明相似三角形判定定理。

重点 三角形判定定理的证明，
难点 证明过程中辅助线的添加，
一.复习提问
相似三角形的判定方法有哪些？
（1） ，两三角形相似.
（2） ,两三角形相似.
（3） ,两三角形相似.
二 .探究学习，得出新知
探究1 已知：如图，在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∠A=∠A ’，∠B=∠B ’。

求证: △ABC ∽△A ’B ’C ’。

探究2 已知：如图，在△ABC 和△A 1B 1C 1中，∠A=∠A 1， 求证： △ABC ∽ △A 1B 1C 1
探究3 已知：如图，在△ABC 和△A 1B 1C 1中， 求证： △ABC ∽ △A 1B 1C 1
.1111C A AC B A AB
=.111111C A AC C B BC B A AB =
=
三巩固提高
例1.判断题：
1.所有的等边三角形都相似。

（）
2.所有的直角三角形都相似。

（）
3.所有的等腰三角形都相似。

（）
4.所有的等腰直三角形都相似。

（）例2 如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是
.（填一个即可）
例3 .在△ABC中，AB=6，AC=8，在△DEF中，DE=4，
DF=3，要使△ABC与△DEF相似，需添加的一个条件是
．（写出一种情况即可）
例4 已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，
AC=5，CD= 7.5 ，求AD的长.
四作业一本通红本Ｐ31
五小结（教学反思）。

全新修订版教学设计
（学案）
九年级数学上册
老师的必备资料
家长的帮教助手
学生的课堂再现
北师大版
4.5
相似三角形判定定理的证明
学习目标：1、进一步复习巩固相似三角形的判定定理.
2、能灵活运用相似三角形的判定定理证明和解决有关问题
. 学习重点：灵活运用相似三角形的判定定理证明和解决有关问题
. 预设难点：灵活运用相似三角形的判定定理证明和解决有关问题.
【预习案】
一、链接
回忆相似三角形的判定定理的内容：
定理1可简单说成： .
定理2可简单说成： .
定理3可简单说成： .
直角三角形相似的特殊判定定理：.
二、导读
1、想一想：判定一般的两个三角形相似有几种方法？判定两个直角三角形相似有几种方法？
2、想一想如何根据已知条件来选择三角形相似的判定方法？
【探究案】
1、如图，点D 为△ABC 的AB 边一点（AB>AC ）,下列条件不一定能保证△ACD ∽△ABC 的是（）．
A.∠ADC=∠ACB
B.∠ACD=∠B
C.
.DC
AD AD
AC D BC AC AC AB。

2023-2024学年北师大版九年级数学上册教学设计：4.5 相似三角形判定定理的证明一. 教材分析《相似三角形判定定理的证明》这一节是北师大版九年级数学上册的重点内容。

在学习了三角形的性质、全等三角形判定定理的基础上，学生需要掌握相似三角形的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。

本节内容为后续学习相似多边形、函数图像的变换等知识打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对三角形的基本性质和全等三角形的判定定理有一定的了解。

但学生在证明过程中，可能会对步骤的严谨性、逻辑性有所欠缺。

因此，在教学过程中，需要引导学生逐步理解证明过程，培养其逻辑思维能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握相似三角形的判定方法，能够运用判定定理证明两个三角形相似。

2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、证明等过程，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养其勇于探索、严谨求实的学科态度。

四. 教学重难点1.重点：相似三角形的判定方法。

2.难点：证明过程的严谨性和逻辑性。

五. 教学方法采用问题驱动法、启发式教学法、合作学习法等，引导学生主动探究、积极思考，培养其数学素养。

六. 教学准备1.教师准备：熟练掌握相似三角形判定定理，了解学生的学习情况，准备相关教学案例和问题。

2.学生准备：掌握三角形的基本性质，了解全等三角形的判定定理。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过回顾全等三角形的判定定理，引导学生思考：如何判断两个三角形相似？从而引入本节内容。

2.呈现（10分钟）教师展示相似三角形的判定方法，引导学生观察、操作，让学生通过实际操作体验相似三角形的判定过程。

3.操练（10分钟）学生分组进行练习，教师巡回指导，及时纠正学生在证明过程中出现的错误。

4.巩固（10分钟）教师选取具有代表性的题目，让学生上黑板演示证明过程，加深学生对相似三角形判定定理的理解。

相似三角形判定定理的证明教学目标1．理解相似三角形三个判定定理的证明过程，加深对相似三角形的理解与认识2．应用相似三角形判定定理的证明解决有关问题重点理解相似三角形三个判定定理的证明过程，加深对相似三角形的理解与认识．难点应用相似三角形判定定理的证明解决有关问题．教学用具教学环节说明二次备课复习新课导入阅读教材P99～102，自学三个例题，完成下列内容：1．两角分别相等的两个三角形相似．2．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．3．三边成比例的两个三角形相似．课程讲授(一)知识探究(二)自学反馈下列图形中不一定相似的是( )A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是110°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形活动1 小组讨论例已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C′.证明：在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD＝A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，ADAB＝AEAC(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例)．过点D作AC的平行线，交BC于点F，则ADAB＝CFCB(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例)．∴AE AC ＝CFCB .∵DE ∥BC ，DF ∥AC ，∴四边形DFCE 是平行四边形．∴DE ＝CF.∴AE AC ＝DECB .∴AD AB ＝AE AC ＝DEBC .而∠ADE ＝∠B ，∠DAE ＝∠BAC ，∠AED ＝∠C ，∴△ADE ∽△ABC.∵∠A ＝∠A ′，∠ADE ＝∠B ＝∠B ′，AD ＝A ′B ′，∴△A DE ≌△A ′B ′C ′.∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.根据例题中的证明思路，思考：“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”和“三边成比例的两个三角形相似”该如何证明，三条定理的证明思路有相似之处，定理3的证明过程中，证明两三角形相似时要运用比例变换和等量代换，恒等变形的难度有所增加．活动2 跟踪训练1．在矩形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、BC 上的点，若∠AEF ＝90°，则一定有( )A ．△ADE ∽△AEFB ．△ECF ∽△AEFC ．△ADE ∽△ECFD ．△AEF ∽△ABF2．如图，已知△ABC 中，P 为AB 上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B ；②∠APC ＝∠ACB ；③AC 2＝AP ·AB ；④AB ·CP ＝AP ·CB.能满足△APC ∽△ACB 的条件是( )A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③小结 1．相似三角形判定定理的证明(1)两角对应相等，两三角形相似．(2)三边对应成比例，两三角形相似．(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 2．相似三角形判定定理的应用中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．在如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先求出一次函数的关系式，再根据函数图象与坐标轴的交点及函数图象的性质解答即可．【详解】由题意知，函数关系为一次函数y=-1x+4，由k=-1＜0可知，y随x的增大而减小，且当x=0时，y=4，当y=0时，x=1．故选D．【点睛】本题考查学生对计算程序及函数性质的理解．根据计算程序可知此计算程序所反映的函数关系为一次函数y=-1x+4，然后根据一次函数的图象的性质求解．2．如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“我”字的一面相对面上的字是（）A．国B．厉C．害D．了【答案】A【解析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【详解】∴有“我”字一面的相对面上的字是国.故答案选A.【点睛】本题考查的知识点是专题：正方体相对两个面上的文字，解题的关键是熟练的掌握正方体相对两个面上的文字.3．将一副三角板按如图方式摆放，∠1与∠2不一定互补的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A选项：∠1+∠2=360°－90°×2=180°；B选项：∵∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，∴∠2=∠4，∵∠1+∠4=180°，∴∠1+∠2=180°；C选项：∵∠ABC=∠DEC=90°，∴AB∥DE，∴∠2=∠EFC，∵∠1+∠EFC=180°，∴∠1+∠2=180°；D选项：∠1和∠2不一定互补.故选D.点睛：本题主要掌握平行线的性质与判定定理，关键在于通过角度之间的转化得出∠1和∠2的互补关系.4．如图，O为原点，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），⊙D过A、B、O三点，点C为AB 上一点（不与O、A两点重合），则cosC的值为（）A．34B．35C．43D．45【答案】D【解析】如图，连接AB，由圆周角定理，得∠C=∠ABO，在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，由勾股定理，得AB=5，∴4 cos cos5OBC ABOAB=∠==．故选D．5．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )A．CB＝CD B．∠BCA＝∠DCAC．∠BAC＝∠DAC D．∠B＝∠D＝90°【答案】B【解析】由图形可知AC＝AC，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可.【详解】解：在△ABC和△ADC中∵AB＝AD，AC＝AC，∴当CB＝CD时，满足SSS，可证明△ABC≌△ACD，故A可以；当∠BCA＝∠DCA时，满足SSA，不能证明△ABC≌△ACD，故B不可以；当∠BAC＝∠DAC时，满足SAS，可证明△ABC≌△ACD，故C可以；当∠B＝∠D＝90°时，满足HL，可证明△ABC≌△ACD，故D可以；故选：B.【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，熟练掌握判定定理是解题关键.6．某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个赢利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商店（）A．赚了10元B．赔了10元C．赚了50元D．不赔不赚【答案】A【解析】试题分析：第一个的进价为：80÷(1+60%)=50元，第二个的进价为：80÷(1－20%)=100元，则80×2－(50+100)=10元，即盈利10元.考点：一元一次方程的应用7．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF 的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1【答案】B【解析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：1．故选B．8．如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=35°，则∠2的度数为（）A．10°B．20°C．25°D．30°【答案】C【解析】分析：如图，延长AB交CF于E，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°．∵∠1=35°，∴∠AEC=∠ABC﹣∠1=25°．∵GH∥EF，∴∠2=∠AEC=25°．故选C．9．若x＝－2 是关于x的一元二次方程x2－52ax＋a2＝0的一个根，则a的值为()A．1或4 B．－1或－4 C．－1或4 D．1或－4 【答案】B【解析】试题分析：把x=﹣2代入关于x的一元二次方程x2﹣52ax+a2=0即：4+5a+a2=0解得：a=-1或-4，故答案选B．考点：一元二次方程的解；一元二次方程的解法．10．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为( )A．22B．32C．1 D．62【答案】C【解析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以AH=MH=22AM=2，再根据角平分线性质得BM=MH=2，则AB=2+2，于是利用正方形的性质得到AC=2AB=22+2，OC=12AC=2+1，所以CH=AC-AH=2+2，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．【详解】试题分析：作MH⊥AC于H，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠MAH=45°，∴△AMH为等腰直角三角形，∴222∵CM平分∠ACB，∴2∴2∴2222，∴OC=122，CH=AC﹣222∵BD⊥AC，∴ON ∥MH ，∴△CON ∽△CHM ， ∴ON OC MH CH =，即21222ON +=+， ∴ON=1．故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和正方形的性质．二、填空题（本题包括8个小题）11．图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度．【答案】360°．【解析】根据多边形的外角和等于360°解答即可．【详解】由多边形的外角和等于360°可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，故答案为360°．【点睛】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．12．某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是 ．【答案】10%．【解析】设平均每次降价的百分率为x ，那么第一次降价后的售价是原来的()1x -，那么第二次降价后的售价是原来的()21x -，根据题意列方程解答即可.【详解】设平均每次降价的百分率为x ，根据题意列方程得， ()2100181x ⨯-=，解得10.110%x ==，2 1.9x =（不符合题意，舍去），答：这个百分率是10%.故答案为10%.【点睛】本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法.若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为()21a x b ±=.13．我国明代数学家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚一人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有，人，则可以列方程组__________. 【答案】 【解析】根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚的人数+小和尚的人数=100，大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数=100，依此列出方程组即可．【详解】设大和尚x 人，小和尚y 人，由题意可得． 故答案为．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键以和尚数和馒头数作为等量关系列出方程组． 14．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝3， BC ＝2，tanA ＝43，则CD ＝_____．【答案】65【解析】延长AD 和BC 交于点E ，在直角△ABE 中利用三角函数求得BE 的长，则EC 的长即可求得，然后在直角△CDE 中利用三角函数的定义求解．【详解】如图，延长AD 、BC 相交于点E ，∵∠B=90°， ∴4tan 3BE A AB ==， ∴BE=443AB ⋅=， ∴CE=BE-BC=2，225AB BE +=， ∴3sin 5AB E AE ==， 又∵∠CDE=∠CDA=90°，∴在Rt △CDE 中，sin CD E CE=， ∴CD=36sin 255CE E ⋅=⨯=. 15．如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是__________.【答案】k ＞－14且k≠1 【解析】由题意知，k≠1，方程有两个不相等的实数根，所以△＞1，△=b 2-4ac=（2k+1）2-4k 2=4k+1＞1．又∵方程是一元二次方程，∴k≠1，∴k ＞-1/4 且k≠1．16．观察以下一列数：3，54，79，916，1125，…则第20个数是_____．【答案】41400【解析】观察已知数列得到一般性规律，写出第20个数即可． 【详解】解：观察数列得：第n 个数为221n n +，则第20个数是41400． 故答案为41400． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解答本题的关键．17．一个不透明的盒子里有n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球.每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30％，那么估计盒子中小球的个数是_______．【答案】1【解析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为1%，然后根据概率公式计算n 的值． 【详解】解：根据题意得9n＝1%， 解得n ＝1，所以这个不透明的盒子里大约有1个除颜色外其他完全相同的小球．故答案为1．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 18．不等式组34012412x x +≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩的所有整数解的积为__________． 【答案】1 【解析】解：34012412x x +≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩①②， 解不等式①得：43x ≥-， 解不等式②得：50x ≤，∴不等式组的整数解为﹣1，1，1…51，所以所有整数解的积为1，故答案为1．【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，准确计算是关键，难度不大．三、解答题（本题包括8个小题）19．某校计划购买篮球、排球共20个．购买2个篮球，3个排球，共需花费190元；购买3个篮球的费用与购买5个排球的费用相同．篮球和排球的单价各是多少元？若购买篮球不少于8个，所需费用总额不超过800元．请你求出满足要求的所有购买方案，并直接写出其中最省钱的购买方案．【答案】（1）篮球每个50元，排球每个30元. （2）满足题意的方案有三种：①购买篮球8个，排球12个；②购买篮球9，排球11个；③购买篮球2个，排球2个；方案①最省钱【解析】试题分析：（1）设篮球每个x 元，排球每个y 元，根据费用可得等量关系为：购买2个篮球，3个排球，共需花费190元；购买3个篮球的费用与购买5个排球的费用相同，列方程求解即可；（2）不等关系为：购买足球和篮球的总费用不超过1元，列式求得解集后得到相应整数解，从而求解． 试题解析：解：（1）设篮球每个x 元，排球每个y 元，依题意，得：2319035x y x y +=⎧⎨=⎩解得5030x y =⎧⎨=⎩：． 答：篮球每个50元，排球每个30元．（2）设购买篮球m 个，则购买排球（20-m ）个，依题意，得：50m+30（20-m ）≤1．解得：m≤2．又∵m≥8，∴8≤m≤2．∵篮球的个数必须为整数，∴m 只能取8、9、2．∴满足题意的方案有三种：①购买篮球8个，排球12个，费用为760元；②购买篮球9，排球11个，费用为780元；③购买篮球2个，排球2个，费用为1元．以上三个方案中，方案①最省钱．点睛：本题主要考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用；得到相应总费用的关系式是解答本题的关键．20．如图：求作一点P ，使PM PN =，并且使点P 到AOB ∠的两边的距离相等．【答案】见解析【解析】利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法分别得出进而求出其交点即可．【详解】如图所示：P点即为所求．【点睛】本题主要考查了复杂作图，熟练掌握角平分线以及线段垂直平分线的作法是解题的关键．21．在“传箴言”活动中，某班团支部对该班全体团员在一个月内所发箴言条数的情况进行了统计，并制成了如图所示的两幅不完整的统计图：求该班团员在这一个月内所发箴言的平均条数是多少？并将该条形统计图补充完整；如果发了3条箴言的同学中有两位男同学，发了4条箴言的同学中有三位女同学.现要从发了3条箴言和4条箴言的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“箴言”活动总结会，请你用列表法或树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率.【答案】（1）3，补图详见解析；（2）7 12【解析】(1)总人数=3÷它所占全体团员的百分比;发4条的人数=总人数-其余人数(2)列举出所有情况,看恰好是一位男同学和一位女同学占总情况的多少即可【详解】由扇形图可以看到发箴言三条的有3名学生且占25%，故该班团员人数为：325%12÷=（人），则发4条箴言的人数为：1222314----=（人），所以本月该班团员所发的箴言共212233441536⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（条），则平均所发箴言的条数是：36123÷=（条）.（2）画树形图如下：由树形图可得，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为712 P=.【点睛】此题考查扇形统计图，条形统计图，列表法与树状图法和扇形统计图，看懂图中数据是解题关键22．已知：二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a﹣1(a≠0)把二次函数C1的表达式化成y＝a(x﹣h)2+b(a≠0)的形式，并写出顶点坐标；已知二次函数C1的图象经过点A(﹣3，1)．①求a的值；②点B在二次函数C1的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接AB．二次函数C2：y2＝kx2+kx(k≠0)的图象，与线段AB只有一个交点，求k的取值范围．【答案】(1)y1＝a(x+1)2﹣1，顶点为(﹣1，﹣1)；(2)①12；②k的取值范围是16≤k≤12或k＝﹣1．【解析】(1)化成顶点式即可求得；(2)①把点A(﹣3，1)代入二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a﹣1即可求得a的值；②根据对称的性质得出B的坐标，然后分两种情况讨论即可求得；【详解】(1)y1＝ax2+2ax+a﹣1＝a(x+1)2﹣1，∴顶点为(﹣1，﹣1)；(2)①∵二次函数C1的图象经过点A(﹣3，1)，∴a(﹣3+1)2﹣1＝1，∴a＝12；②∵A(﹣3，1)，对称轴为直线x＝﹣1，∴B(1，1)，当k＞0时，二次函数C2：y2＝kx2+kx(k≠0)的图象经过A(﹣3，1)时，1＝9k﹣3k，解得k＝16，二次函数C2：y2＝kx2+kx(k≠0)的图象经过B(1，1)时，1＝k+k，解得k＝12，∴16≤k≤12，当k＜0时，∵二次函数C2：y2＝kx2+kx＝k(x+12)2﹣14k，∴﹣14k＝1，∴k＝﹣1，综上，二次函数C2：y2＝kx2+kx(k≠0)的图象，与线段AB只有一个交点，k的取值范围是16≤k≤12或k＝﹣1．【点睛】本题考查了二次函数和系数的关系，二次函数的最值问题，轴对称的性质等，分类讨论是解题的关键． 23．如图，一次函数4y x =-+的图象与反比例函数k y x=（k 为常数，且0k ≠）的图象交于A （1，a ）、B 两点． 求反比例函数的表达式及点B 的坐标；在x 轴上找一点P ，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P 的坐标及△PAB 的面积．【答案】（1）3y x =，()3,1B ；（2）P 5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，32PAB S ∆=． 【解析】试题分析：（1）由点A 在一次函数图象上，结合一次函数解析式可求出点A 的坐标，再由点A 的坐标利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点B 坐标；（2）作点B 作关于x 轴的对称点D ，交x 轴于点C ，连接AD ，交x 轴于点P ，连接PB ．由点B 、D 的对称性结合点B 的坐标找出点D 的坐标，设直线AD 的解析式为y=mx+n ，结合点A 、D 的坐标利用待定系数法求出直线AD 的解析式，令直线AD 的解析式中y=0求出点P 的坐标，再通过分割图形结合三角形的面积公式即可得出结论．试题解析：（1）把点A （1，a ）代入一次函数y=-x+4，得：a=-1+4，解得：a=3，∴点A 的坐标为（1，3）．把点A （1，3）代入反比例函数y=k x ， 得：3=k ，∴反比例函数的表达式y=3x， 联立两个函数关系式成方程组得：4{3y x y x=-+=，解得：13xy，或31xy=⎧⎨=⎩，∴点B的坐标为（3，1）．（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，连接PB，如图所示．∵点B、D关于x轴对称，点B的坐标为（3，1），∴点D的坐标为（3，- 1）．设直线AD的解析式为y=mx+n，把A，D两点代入得：3{31 m nm n+=+=-，解得：2 {5mn=-=，∴直线AD的解析式为y=-2x+1．令y=-2x+1中y=0，则-2x+1=0，解得：x=52，∴点P的坐标为（52，0）．S△PAB=S△ABD-S△PBD=12BD•（x B-x A）-12BD•（x B-x P）=12×[1-（-1）]×（3-1）-12×[1-（-1）]×（3-52）=32．考点：1.反比例函数与一次函数的交点问题；2.待定系数法求一次函数解析式；3.轴对称-最短路线问题．24．从一幢建筑大楼的两个观察点A，B观察地面的花坛（点C），测得俯角分别为15°和60°，如图，直线AB与地面垂直，AB＝50米，试求出点B到点C的距离．（结果保留根号）【答案】(5005003)+ 【解析】试题分析：根据题意构建图形，结合图形，根据直角三角形的性质可求解.试题解析：作AD ⊥BC 于点D ，∵∠MBC=60°，∴∠ABC=30°，∵AB ⊥AN ，∴∠BAN=90°，∴∠BAC=105°，则∠ACB=45°，在Rt △ADB 中，AB=1000，则AD=500，BD=5003，在Rt △ADC 中，AD=500，CD=500， 则BC=5005003+．答：观察点B 到花坛C 的距离为(5005003)+米．考点：解直角三角形25．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，过点C 的直线MN ∥AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE ⊥BC ，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE.求证：CE=AD ；当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形？说明理由；若D 为AB 中点，则当A ∠=______时，四边形BECD 是正方形.【答案】（1）详见解析；(2)菱形；（3）当∠A=45°，四边形BECD 是正方形．【解析】(1)先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；(2)求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；(3)求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．【详解】(1)∵DE⊥BC，∴∠DFP=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DFB=∠ACB，∴DE//AC，∵MN//AB，∴四边形ADEC为平行四边形，∴CE=AD；(2)菱形，理由如下：在直角三角形ABC中，∵D为AB中点，∴BD=AD，∵CE=AD，∴BD=CE，∴MN//AB，∴BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，D是AB中点，∴BD=CD，（斜边中线等于斜边一半）∴四边形BECD是菱形；(3)若D为AB中点，则当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由：∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，∵四边形BECD是菱形，∴DC=DB，∴∠DBC=∠DCB=45°，∴∠CDB=90°，∵四边形BECD是菱形，∴四边形BECD是正方形，故答案为45°.【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定、正方形的判定，直角三角形斜边中线的性质等，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.26．如图，已知▱ABCD．作∠B的平分线交AD于E点。

4.5 相似三角形判定定理的证明一、教学目标1．知识目标：①了解相似三角形判定定理②会证明相似三角形判定定理2．能力目标：掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力二、教学过程分析1.复习问相似三角形的判定方法有哪些？答：（1）两角对应相等，两三角形相似.（2）三边对应成比例,两三角形相似.（3）两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.2.探究学习，得出新知探究1如果∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，那么，△ABC ∽△A′B′C′.如何证明呢？应用1已知：如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.解： ∵ ∠ A = ∠ A,∠ABD =∠C,∴ △ABD ∽ △ACB ,∴ AB : AC =AD : AB,∴ AB 2 = AD · AC.∵ AD =2, AC =8,∴ AB =4.探究2如果∠B =∠B 1 ， 那么，△ABC ∽△A 1B 1C 1.应用2已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠ACD ，AB =6，BC =4，AC =5，CD = 7 ，求AD 的长.1 1111,AB BC k A B B C ==2探究3如果那么，△ABC ∽△A ′B ′C ′.应用3 画一画任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k 倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同桌交流一下，看看是否有同样的结论.4.课时小结一、相似三角形判定定理的证明1.两角对应相等，两三角形相似.,AB BC AC A B B C A C ==''''''2.三边对应成比例,两三角形相似.3.两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.二、相似三角形判定定理的应用5.课后作业。