九年级数学用列举法求概率1(1)

25.2.1 用列举法求概率（彭小永）一、教学目标（一）学习目标1．了解列举法的含义．2．理解“包含两步并且每一步的结果为有限多个情形”的意义．3．会用列举法计算简单的随机事件的概率．（二）学习重点用列举法计算简单的随机事件的概率（三）学习难点包含两步的随机事件的概率二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）古典概型试验有两个特点：①一次试验中，可能出现的结果有有限个；②一次试验中，各种结果发生的可能性大小相同 .（2）列表法求概率：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较少时，为不重不漏列出所有可能结果，通常采用列举法 .（3）抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是 0.5 ，反面朝上的概率是 0.5 .2.预习自测（1）甲、乙、丙三人站成一排拍照，则甲站在中间的概率为（）A． B． C． D．【知识点】随机事件的概率【解题过程】解：甲有左、中、右三个位置可以选择，所以甲站中间的概率为.【思路点拨】列举甲站位所有的可能性，找出符合条件的，便可算出其概率.【答案】B（2）有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1、2、3、4、5，随机抽取3张，用抽到的 3个数字作为边长，恰好构成三角形的概率是（）A． B． C． D．【知识点】随机事件的概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：所有的可能结果有：（1，2，3）、（1，2，4）、（1，2，5）、（1，3，4）、（1，3，5）、（1，4，5）、（2，3，4）、（2，3，5）、（2，4，5）、（3，4，5）共10种情况，只有（2，3，4）、（2，4，5）、（3，4，5）三种情况可以构成三角形，所以结果为.【思路点拨】列举出所有可能的情况，再利用“三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，找出符合条件的3组值，便得到答案.【答案】A（3）从-2、-1、0、1、2这5个数中任取一个数，作为关于的一元二次方程的值，则所得的方程有两个不相等的实数根的概率是 .【知识点】概率，根的判别式【解题过程】解：因为方程x2-x+k=0有两个不相等的实根，所以根的判别式，所以，有-2、-1和0满足要求，其概率为.【思路点拨】弄清一元二次方程有两个不相等实根的条件，找出的取值范围，再计算其概率.【答案】（4）在一个不透明的袋子中，有两个红球和两个白球，它们只有颜色上区别，从袋子里随机摸出一个球记下颜色后放回，再随机地摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是 . 【知识点】用列举法求概率【解题过程】解：设4个球分别为红1、红2、白1、白2，则可列出下表：第二次第一次红1红2白1白2红1（红1，红1）（红1，红2）（红1，白1）（红1，白2）红2（红2，红1）（红2，红2）（红2，白1）（红2，白2）白1（白1，红1）（白1，红2）（白1，白1）（白1，白2）白2（白2，红1）（白2，红2）（白2，白1）（白2，白2）从表中可以看出，在总共16种情况中，只有4种符合要求，所以，所求的概率为.【思路点拨】用列表的方法便可轻松地找到答案. 如果第一次摸了不放回，则在表格中的从左上到右下这条对角线上的四组数据不会出现. 也就是说，做这种题时，要特别注意第一次摸出后是否放回的问题，它对结果有较大的影响.【答案】(二)课堂设计1.知识回顾（1）必然事件、不可能事件发生的概率分别是 1和0 ；随机事件的概率大于0且小于1 . （2）如果在一次试验中，有n种可能的结果，它们发生的可能性都相同，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）= ( ) .2.问题探究探究一温故知新，引出课题●活动①请思考后，回答下列问题（1）抛掷两枚质地均匀的硬币，有哪些可能的结果？请写出这些结果.（2）抛掷一枚质地均匀的硬币两次，有哪些可能的结果？请写出这些结果.（3）“同时抛掷两枚质地均匀的硬币两次”与“先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币”，这两种试验的所有可能结果是一样的吗？由学生思考后，举手回答.【设计意图】让学生通过回答前两个问题，初步学会使用列举法解决问题.探究二利用列举法求概率，解决实际问题●活动①初试列举法例1 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率：（1）两枚硬币全部正面朝上；（2）两枚硬币全部反面朝上；（3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上.【知识点】用列举法求概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：同时抛掷两枚硬币，有以下四种结果：（正，正）、（正、反）、（反，正）、（反、反）；（1）由于全部正面朝上的结果（正，正）这只有1种，所以，P（两次正面朝上）；（2）由于全部反面朝上的结果（反，反）这只有1种，所以，P（两次反面朝上）（3）由于一枚正面朝上、一枚反面朝上的结果有（正，反）与（反，正）两种，所以，P（一正.一反）【思路点拨】排列出所有可能的结果，再找出符合条件的，便可轻松得解. 特别注意试验结果要不重不漏.【答案】（1）；（2）；（3）.练习：在一个不透明的盒子里有3个分别标有5、6、7的小球，他们除数字外其他均相同. 充分摇匀后，先摸出1个球不放回，再摸出一个球，那么这两个球上的数字之和为奇数的概率为 .【知识点】用列举法求概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：∵摸出的所有可能结果有：（5，6）、（5，7）、（6，5）、（6，7）、（7，5）、（7，6）共6种情况，它们之和分别为11、12、11、13、12、13共4个奇数和2个偶数，∴P（两数之和为奇数）【思路点拨】用列举法得出所有可能的结果，找出符合条件的，问题便迎刃而解.特别注意事先摸出的球是否放回对概率的影响，还要注意不重不漏.【答案】【设计意图】让学生在列举法的使用上熟能生巧.●活动②用列表法求概率例2 同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：（1）两枚骰子的点数相同；（2）两枚骰子的点数和是9；（3）至少有一枚骰子的点数为2.【知识点】用列表法求概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：两枚骰子分别记为1和2，可用下表列举出所有可能的结果：第1枚1 2 3 4 5 6第2枚1 （1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）2 （1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）3 （1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）4 （1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）5 （1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）6 （1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）由上表可以看出，同时掷两枚骰子，可能出现36种结果，并且它们出现的可能性相等. （1）两枚骰子的点数相同（记为事件A）的结果有6种，分别是（1，1）、（2，2）、（3，3）、（4，4）、（5，5）、（6，6），所以P（A）=；（2）两枚骰子的点数之和为9（记为事件B）的结果有4种，分别是（3，6）、（4，5）、（5，4）、（6，3）所以P（B）=；（3）至少有一枚点数为2（记为事件C）的结果有11种（见上表），所以P（C）=.【思路点拨】分横行和纵列将两枚骰子的点数排列出来，计算符合条件的结果即可. 要注意不重不漏.【答案】（1）；（2）；（3）练习：有A、B两只不透明口袋，每只口袋里装有两只相同的球，A袋中的两只球上分别写了“细”“致”的字样，B袋中的两只球上分别写了“信”“心”的字样，从每只口袋里各摸出一只球，刚好能组成“细心”字样的概率是( )A.13B.14C.23D.34【知识点】用列表法求概率【解题过程】解：摸球的结果如下：A袋B袋细致信细信致信心细心致心共有4种可能的结果，且每种结果是等可能性的. 所以抽出“细心”的概率为 . 【思路点拨】用列表法可以轻松得解，注意不重不漏，还要注意摸球讲不讲顺序.【答案】 .●活动③拓展提高，解答概率综合题例3 有一枚均匀的正四面体，四个面上分别标有数字1、2、3、4，小红随机地抛掷一次，把着地一面的数字记为，另有三张背面完全相同，正面分别写着-2、-1、1的卡片，小亮将其混合，正面朝下旋转在桌面上，并从中抽取一张，把卡片正面的数字记为.然后他们计算出S=x+y的值.和-2 -1 11 -1 0 22 0 1 33 1 2 44 2 3 5（1）用列表法表示出S的所有可能情况；（2）分别求出当S=0和S<2时的概率. 【知识点】用列表法求概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：（1）列表如右，共12种情况.（2）P（S=0）=； P（S<2）.【思路点拨】用表格将所有情况列举出来，然后找出符合条件的即可轻松得解.【答案】（1）共有如上表的12种情况. （2）P（S=0）=；P（S<2）.练习：某中学要在全校学生中举办“中国梦·我的梦”主题演讲比赛，要求每班选一名代表参赛. 九年级1班经过投票初选，小亮和小丽票数全班并列第一，现在他们都想代表全班参赛. 经过班长与他们协商决定，用掷骰子的办法让获胜者去参赛. 规则如下：两人同时随机各掷一枚完全相同且质地均匀的骰子一次，向上一面的点数都是奇数，则小亮胜；向上一面都是偶数，则小丽胜；否则视为平局，若为平局，继续上述游戏，直到分出胜负为止. 如果小亮和小丽都按上述规则各掷一次骰子，解答下列问题：（1）小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少？（2）该游戏是否公平？请用列表法说明理由.【知识点】用列表法求概率【解题过程】解：（1）∵朝上一面的点数为奇数有3种情况，∴P（奇数）（2）由题意知，可列表如下：1 2 3 4 5 61 （1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）2 （1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）3 （1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）4 （1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）5 （1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）6 （1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）由上表可知：共有36种等可能的结果，其中小亮和小丽获胜各有9种结果，∴P（小亮胜）P（小丽胜）.【思路点拨】列表法求概率是一种很常见的方法.【答案】（1）P（奇数）；（2）公平.小亮与小丽获胜的概率同样大（表格见上）. 【设计意图】强化列表法求概率，使其熟练掌握.3. 课堂总结知识梳理（1）列举法的使用条件：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率．（2）列表法的使用条件：当一次试验要涉及的因素只有两个(我们也常称为两步操作试验)，且每一步的结果为有限多个情形，我们常通过列表的方法列举所有可能的结果，找出事件A可能发生的结果，再利用公式P（A）求它的概率.（3）使用列举法求概率时，要求做到不重不漏.重难点归纳（1）只有有限多个情形时，我们可以使用列举法；（2）当一次试验要涉及两个因素（或叫两步），且每一步的结果为有限多个情形，我们可以通过列表法求它的概率；（3）使用列举法求概率时，要求做到不重不漏. （三）课后作业 基础型 自主突破1. 为支援灾区，小明准备通过爱心热线捐款，他只记得号码的前5位，后三位由5、1、2这三个数字组成，但具体顺序忘记了．他第一次就拨通电话的概率是( ) A. 12 B. 14 C. 16 D. 18【知识点】用列举法求概率 【数学思想】分类讨论思想【解题过程】5、1、2这三个数字的排列方式有：512、521、125、152、215、251共6种，其中只有一种是正确的，所以，他第一次就拨通电话的概率是16.【思路点拨】用列举法不重不漏地将三个数排列出来是关键. 【答案】C 2.在的空格□中，分别填上“＋”或“－”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是( )A ．1 B.34 C.12 D.14【知识点】用列举法求概率 【解题过程】解：方框中符号的填法共有：（+，+）（-，-）、（+，-）、（-，+）4 种，只有 （+，+）与（-，+）2种符合要求，所以能构成完全平方式的概率为12.【思路点拨】记住完全平方式的符号特点，再用列举法排列出所有的情况，便可求得其概率. 【答案】C3.如图所示，每一个标有数字的方块均是可以翻动的木牌，其中只有两块木牌的背面贴有中奖标志，则随机翻动一块木牌中奖的概率为_______． 【知识点】用列举法求概率【解题过程】解：翻动木牌有6种情形，只有两种情况可以中奖，中奖的概率为【思路点拨】找出所有的情形和符合条件的个数即可计算出相应的概率.【答案】.4.从－2、－1、2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是________.【知识点】用列举法求概率【解题过程】－2、－1、2这三个数学共有6种排法，分别是（-2，-1）、（-1，-2）、（-2，2）、（-1，2）、（2，-2）、（2，-1），其中只有（2，-2）和（2，-1）在第四象限，其它的均不合要求，所以该点在第四象限的概率为.【思路点拨】第四象限的点的横、纵坐标分别为正和负，只有两个点符合条件，其概率为.【答案】5.将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米．如果截成的三段木棍长度分别相同算作同一种截法(如：5，2，1和1，5，2)，那么截成的三段木棍能构成三角形的概率是________．【知识点】用列举法求概率【解题过程】长度为8厘米的木棍截成长为整数的三段，共有5组结果，它们分别是：（1，1，6）、（1，2，5）、（1，3，4）、（2，2，4）、（2，3，3），其中只有（2，3，3）这一种情形能构成三角形，其概率为.【思路点拨】注意不重不漏；还要注意三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.【答案】 .6. 小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为( )A.14B.13C.12D.34【知识点】用列举法求概率小明小华A BA （A，A）（B，A）B （A，B）（B，B）【解题过程】分别将“打扫社区卫生”和“参加社会调查”记为事件A和事件B，则两人的选择有如下情况，同时选择“参加社会调查”（事件B）的只有一种情况，其概率为14.【思路点拨】用表格排列出所有的情况和符合条件的情况，即可求出其概率.【答案】1 4能力型师生共研7. 如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同，面积相等的三部分，且分别标有“1”“2”“3”三个数字，指针的位置固定不动，让转盘自由转动两次，当每次转盘停止后，记录指针指向的数(当指针指向分割线时，视其指向分割线左边的区域)，则两次指针指向的数都是奇数的概率为________．【知识点】用列表法求概率【思想方法】分类讨论思想【解题过程】解：可列表如右，共有9种可能的情况，其中只有4种情况符合题意，所以P（两次都是奇数）.1 2 31 （1，1）（2，1）（3，1）2 （1，2）（2，2）（3，2）3 （1，3） （2，3） （3，3）【思路点拨】利用表格排列出所有可能的情况，再找出符合题意的即可.【答案】P （两次都是奇数）.8. 一个口袋中有4个相同的小球，分别写有字母A 、B 、C 、D ，随机地抽取一个小球后放回，再随机抽取一个小球．(1)试用列表法列举出两次抽出的球上字母的所有可能结果； (2)求两次抽出的球上字母相同的概率． 【知识点】用列表法求概率 【数学思想】分类讨论思想 【解题过程】解：（1）根据题意，可以列表如右，共有16种可能的结果.（2）因为在总共的16种情况中，只有4种是两个字母相同的情况，所以P （两次的字母相同）.【思路点拨】利用表格排列出所有可能的情况，再找出符合题意的即可.【答案】（1）共有16种情况（见上表）； （2）P （两次的字母相同）.探究型 多维突破9. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色. 求可配成紫色的概率. 【知识点】用列表法求概率 【数学思想】数形结合思想 【解题过程】第1次 第2次A B C DA (A ，A) (B ，A) (C ，A) (D ，A) B (A ，B) (B ，B) (C ，B) (D ，B) C(A ，C) (B ，C) (C ，C) (D ，C)D(A ，D) (B ，D) (C ，D) (D ，D)红 蓝1 蓝2红 （红，红） （红，蓝1） （红，蓝2）解：由于必须是等可能性的，所以需将第2个转盘的蓝色分成蓝1和蓝2 ，因此可列出右表，从表中可以看出，共有6种等可能情况，有3种可以配成紫色，所以P （配成紫色）.【思路点拨】只有红配蓝或者蓝配红可以配成紫色；用列表法可以轻松得出所有可能的情况.【答案】P （配成紫色） .10. 如图，电路图上有四个开关A 、B 、C 、D 和一个小灯泡，闭合开关D 或同时闭合开关A 、B 、C 都可以使小灯泡发光．(1)任意闭合其中一个开关，小灯泡发光的概率是多少？ (2)任意闭合其中的两个开关，小灯泡发光的概率是多少？ 【知识点】用列举法求概率 【数学思想】分类讨论思想 【解题过程】解：（1）由电路图可知，闭合开关D 可以使灯光发光，只闭合A 、B 、C 三个都不使灯光发光，所以，P （闭合一个开关可发光）.（2）闭合两个开关的情况如表中所示，其中只有开关D 闭合的才能让小灯光发光，共有6种情况，所以，P （闭合两个开关可发光）. 第1 个 第2个A BCDA （B ，A ） （C ，A ） （D ，A ）B （A ，B ）（C ，B ） （D ，B ）C （A ，C ） （B ，C ）（D ，C ）D（A ，D ） （B ，D ） （C ，D ）【思路点拨】注意灯泡发光的一个基本条件是连通有电源的电路.蓝 （蓝，红） （蓝，蓝1） （蓝，蓝2）【答案】（1）P（闭合一个开关可发光）；（2）P（闭合两个开关可发光）.自助餐1.从2、3、4、5中任选两个数，分别记作m、n，那么点（ m，n）在函数图象上的概率为（）A． B． C． D．【知识点】用列举法求概率【数学思想】函数思想，分类讨论思想【解题过程】.从2、3、4、5中任选两个数作为点的坐标，分别是（2，3）、（2，4）、（2，5）、（3，2）、（3，4）、（3，5）、（4，2）、（4，3）、（4，5）、（5，2）、（5，3）、（5，4）共有12种情况，在函数图象上的只有（3，4）和（4，3）两个点，所以P（点在函数上）. 【思路点拨】选两个数，相当于选了一个数后，不放回，再选一个数. 选了第一个数后是否放回对结果有直接的影响，务必重视.【答案】D2.小强和小华两人玩“石头、剪子、布”游戏，随机出手一次，则两人平局的概率为（）A． B． C． D．【知识点】用列举法求概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】若三个动作分别简记为“石、剪、布”，则两人出手的情况包括：（石，石）、（石，剪）、（石，布）、（剪，石）、（剪，剪）、（剪，布）、（布，石）、（布，剪）、（布，布）九种情况，平局只有3种，所以两人平局的概率为.【思路点拨】用列举法排出所有可能的情况，指出平局的3种情况，即可得到答案.【答案】B3.同时抛掷A、B两个小正方体骰子，正面朝上的数字分别记为，并以此确定点P（），那么，点P落在抛物线上的概率为 .【知识点】用列举法求概率【数学思想】函数思想，数形结合思想【解题过程】解：如下表所示，得到的点共有36种情况，只有（1，2）、（2，2）两个点满足要求，所以，点P在抛物线上的概率为 .x y 1 2 3 4 5 61 （1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2 （2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3 （3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4 （4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5 （5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6 （6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）【思路点拨】用列表法找出所有的点，再将1、2、3、4、5、6作为变量的值代入函数的解析式，求出的值，找出符合条件的点P，便可轻松得解.【答案】.4.甲、乙两人玩猜数字游戏，游戏规则如下：有四个数字0、1、2、3，先由甲任选一个数字，记为m，将它放回后，再由乙任选一个数字，记为n. 若m、n满足，则称两人心有灵犀，那么两人心有灵犀的概率是 .【知识点】用列举法求概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：从下表可知，共有16种可能的情况，符合条件的有10种，其概率为.甲结果0 1 2 3乙0 0 1 2 31 1 0 1 22 2 1 0 13 3 2 1 0【思路点拨】用表格排列出所有可能的情况，找出符合条件的情况即可轻松得解.【答案】 .5.一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各一个，这些球除颜色外都相同．求下列事件的概率：(1)搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都是红球．【知识点】用列举法求概率【解题过程】解：（1）共有4种情况，摸出红球的概率为；（2）如图，共有16种情况，两次均为红色的只有1种，其概率为.第1 次红黄蓝白第2次红（红，红）（黄，红）（蓝，红）（白，红）黄（红，黄）（黄，黄）（蓝，黄）（白，黄）蓝（红，蓝）（黄，蓝）（蓝，蓝）（白，蓝）白（红，白）（黄，白）（蓝，白）（白，白）【思路点拨】第一次摸出后是否放回对结果有着重大影响.【答案】（1）摸出红球的概率为；（2）两次均为红色的概率为.6．六一儿童节前夕，某市“关心下一代工作委员会”决定对品学兼优的“留守儿童”进行彰．某校八年级8个班中只能选两个班级参加这项活动，且八(1)班必须参加，另外再从其他班级中选一个班参加活动．八(5)班有学生建议采用如下的方法：将一个带着指针的圆形转盘分成面积相等的4个扇形，并在每个扇形上分别标有1、2、3、4四个数字，转动转盘两次，将两次指针所指的数字相加(当指针指在某一条等分线上时视为无效，重新转动)，和为几就选哪个班参加．你认为这种方法公平吗？请说明理由．【知识点】用列表法求概率【数学思想】数形结合思想【解题过程】解：我认为这个方法不公平，理由如下：我们可以用下表列出所有可能的情况. 两次得到的数字之和分别为2、3、4、5、3、4、5、6、4、5、6、7、5、6、7、8共16种情况. 所以，八(2)班被选中的概率为116，八(3)班被选中的概率为216＝18，八(4)班被选中的概率为316，八(5)班被选中的概率为416＝14，八(6)班被选中的概率为316，八(7)班被选中的概率为216＝18，八(8)班被选中的概率为116，所以这种方法不公平.第1 次和第2次1 2 3 41 2 3 4 52 3 4 5 63 4 5 6 74 5 6 7 8【思路点拨】用列表法将所有可能的情况排列出来，算出各个班被选中的概率，通过比较确定是否公平.【答案】这种方法不公平，理由如上.。

25.2 用列举法求概率(1)
1.(济南中考)学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率是
( )
A. B. C. D. 2.(泰安中考)在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，从中随机摸出一个小球记下其标号后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是( )
A. B. C. D. 3.(杭州中考)让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则这两个数的和是２的倍数或是３的倍数的概率等于( )
A. B. C. D. 4.(咸宁中考)小亮与小明一起玩“石头、剪刀、布”的游戏，两同学同时出“剪刀”的概率是____
5.(佛山中考)在1，2，3，4四个数字中随机选两个不同的数字组成两位数，则组成的两位数大于40的概率是____
6.(兰州中考)某校决定从两名男生和三名女生中选出两名同学作为兰州国际马拉松赛的志愿者，则选出一男一女的概率是____.
7.(徐州中考)某学习小组由3名男生和1名女生组成，在一次合作学习后，开始进行成果展示.
(1)如果随机选取1名同学单独展示，那么女生展示的概率为____.
(2)如果随机选取2名同学共同展示，求同为男生展示的概率.
322131418321854
316383851613
参考答案
1.C
2.C
3.C
4.
5.
6.
7.（1） （2）根据题意，列表如下：
由表格可知，所有等可能的结果共有12种，同为男生的结果有6种，故同为男生展示的概率为
. 9141534
12
1。

25.2 用列举法求概率（第一课时）一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十五章“概率初步”25.2 用列举法求概率（第一课时列表法求概率），内容包括：用列举法(列表法)求简单随机事件的概率．2.内容解析在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限种，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率，这种求概率的方法叫做列举法. 当每次试验涉及两个因素时，为了更清晰、不重不漏地列举出试验的所有结果，教科书给出了以表格形式呈现的列举法——列表法．这种方法适合列举每次试验涉及两个因素，且每个因素的取值个数较多的情形．相对于直接列举法，用表格列举体现了分步分析对思考较复杂问题时起到的作用．将试验涉及的一个因素所有可能的结果写在表头的横行中，另一个因素所有可能的结果写在表头的竖列中，就形成了不重不漏地列举出这两个因素所有可能结果的表格．这种分步分析问题的方法，将在下节课树状图法中进一步运用．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：用列表法求简单随机事件的概率．二、目标和目标解析1.目标1）会用直接列举法、列表法列举所有可能出现的结果.2）用列举法(列表法)计算简单事件发生的概率.2.目标解析达成目标1）的标志是：对于结果种数有限且每种结果等可能的随机事件，可以用列举法求概率；当每次试验涉及两个因素，且每个因素的取值个数较多时，相对于直接列举，采用表格的方式更有利于将试验的所有结果不重不漏地表示出来．达成目标2）的标志是：掌握列表法求概率的步骤：1）列表；2）通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和符合条件的结果数m的值；，计算出事件的概率．3）利用概率公式P(A)=mn三、教学问题诊断分析学生已经理解了列举法求概率的含义，但对于涉及两个因素的试验，如何不重不漏地列举出试验所有可能的结果这对学生而言是一种考验，如何设计出一种办法解决这个较复杂问题，“分步”分析起到了重要作用．基于以上分析，本节课的教学难点是：掌握列表法求概率的步骤．四、教学过程设计（一）复习巩固【提问】简述概率计算公式？师生活动：教师提出问题，学生通过之前所学知识尝试回答问题.【设计意图】通过回顾上节课所学内容，为接下来学习利用列表法求概率打好基础．（二）探究新知【问题一】老师向空中抛掷两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，老师赢；如果落地后两面一样，学生赢. 你们觉得这个游戏公平吗？师生活动：教师提出问题，学生尝试思考.【设计意图】通过现实生活中的实际问题，激发学生学习数学的兴趣．【问题二】同时掷两枚硬币，求下列事件的概率：1）两枚硬币两面一样.2）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上.3）问题一中的游戏公平吗？师生活动：教师提出问题，先要求学生说出可能出现的情况.部分学生认为：上述三个事件恰好代表了抛掷两枚硬币的所有可能的结果，故概率分别为13；另一位学生认为：出现结果为：正正、正反、反正、反反，其中“正反”与“反正”应分别算作两种可能的结果，故上述事件的概率分别为14，14和12．教师强调：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率，这种求概率的方法叫做列举法.师：你觉得问题一中的游戏公平吗？师生活动：学生通过刚才的结论得出：学生赢的概率与教师赢的概率相等，所以该游戏是公平的. 教师补充说明：上述这种列举法我们称为直接列举法（枚举法）并给出使用直接列举法的注意事项.【设计意图】让学生掌握用列举法求概率的使用条件：①所有可能出现的结果是有限个.②每个结果出现的可能性相等.【问题三】“同时掷两枚硬币”与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？由此你发现了什么？师生活动：教师共同作答，得出：同时掷两枚硬币，会出现：两正、两反，一正一反和一反一正；先后两次掷一枚硬币，也会出现：两正、两反，一正一反和一反一正.所以这两种实验的所有可能的结果一样.教师指出：“两个相同的随机事件同时发生”与“一个随机事件先后两次发生”的结果是一样的，因此作此改动对所得结果没有影响．当试验涉及两个因素时，可以“分步”对问题进行分析．【设计意图】让学生理解当试验涉及两个因素时，可以“分步”对问题进行分析．（三）典例分析与针对训练例1 小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是_________【针对训练】1. 从长度分别为1，3，5，7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为____________2. 如图，4×2的正方形的网格中，在A，B，C，D四个点中任选三个点，能够组成等腰三角形的概率为______________3．（2020·江苏南通·统考中考真题）某公司有甲、乙、丙三辆车去南京，它们出发的先后顺序随机．张先生和李先生乘坐该公司的车去南京出差，但有不同的需求．请用所学概率知识解决下列问题：1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果；2）两人中，谁乘坐到甲车的可能性大？请说明理由．4．（2022·江苏南京·统考中考真题）甲城市有2个景点A、B，乙城市由3个景点C、D、E，从中随机选取景点游览，求下列事件的概率：(1)选取1个景点，恰好在甲城市；(2)选取2个景点，恰好在同一个城市．【设计意图】巩固用列举法求概率．（四）探究新知【问题三】同时投掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率.1）两个骰子的点数相同.2）两个骰子点数的和是9.3）至少有一个骰子的点数为2.师生活动：师生分析得出，与问题二类似，问题三的试验也涉及两个因素(第一枚骰子和第二枚骰子)，但这里每个因素的取值个数要比问题二多(抛一枚硬币有2种可能的结果，但掷一枚骰子有6种可能的结果)，因此试验的结果数也就相应要多很多．因此，直接列举会比较繁杂，可以使用列表法．列表法适合列举每次试验涉及两个因素，并且每个因素的取值个数较多的情形．师：如何列表？师生活动：学生分析，因为试验涉及两个因素(两枚骰子)，可以分两步进行思考，将第1枚骰子的所有可能结果作为表头的横行，将第2枚骰子的所有可能结果作为表头的竖列，列出如下表格：由上表可以看出，同时掷两枚骰子，可能出现的结果有36种，并且它们出现的可能性相同.1)两枚骰子的点数相同(记为事件A)的结果有6种，即(1,1),(2,2),(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，所以P(A)= 636= 16 2)两枚骰子的点数相同(记为事件B)的结果有4种，即(3,6),(6,3),(5,4)，(4,5) 所以P(B)= 436= 193)至少有一个骰子的点数为2(记为事件C)的结果有11种，即(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2) (2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)所以P(B)= 1136【设计意图】明确列表法．【问题四】简述列表法求概率的步骤？师生活动：教师提出问题，学生尝试回答.教师引导与归纳得出：1）列表；2）通过表格计数，确定所有等可能的结果数n 和符合条件的结果数m 的值；3）利用概率公式P (A )=mn ，计算出事件的概率．【设计意图】让学生掌握列表法求概率的方法.（五）典例分析与针对训练例2 一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色不同外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是_______________【针对训练】1. 某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行调查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是______________2.从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛．(1)若甲一定被选中参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中乙的概率是___________；(2)任意选取2名学生参加比赛，求一定有丁的概率．3．在一个不透明的口袋中装有大小材质完全相同的三个小球，分别标有数字3，4，5, 另有四张背面完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字2，3，4，5，四张卡片背面朝上放在桌面上．小明先从口袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字为x，小红再从桌面上随机抽出一张卡片，记下卡片上的数字为y．(1)从口袋中摸出一个小球恰好标有数字3的概率是___________；(2)求点P（x，y）在直线y=x−1上的概率．【设计意图】巩固列表法求概率的方法.（六）直击中考1．（2023·安徽中考真题）如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（）A．59 B．12C．13D．292．（2023·湖南中考真题）有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是（）A．16 B．14C．13D．123．（2023·黑龙江齐齐哈尔中考真题）某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异．若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（）A．12 B．13C．14D．16【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考考什么，进一步了解考点. （七）归纳小结1. 通过本节课的学习，你学会了哪些知识？2. 用列举法求概率应该注意哪些问题？3. 列表法适用于解决哪类概率求解问题？使用列表法有哪些注意事项？（八）布置作业P138：练习五、教学反思。

人教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册25.2用列举法求概率教学设计一、教材分析1、内容解析：在一次实验中，如果可能出现的结果只有有限种，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举实验结果的方法，求出随机事件发生的概率。

当每次实验涉及两个因数时，为了更清晰、不重不漏的列举出实验的结果。

教科书给出了以表格形式呈现的列举法——列表法。

这种方法适合列举每次实验涉及两个因素，且每个因素的取值个数较多的情形。

相对于直接列举，用表格列举体现了分步分析对思考较复杂问题时所起到的作用。

将实验涉及的一个因素所有可能的结果写在表头的横行中，另一个因素所有可能的结果写在表头的竖列中。

就形成了不重不漏的列举出这两个因数所有可能结果的表格。

这种分步分析问题的方法将在下节课树状图法和高中分步乘法计算原理的学习中进一步运用。

另外，通过求概率，学生将进一步体会概率的意义，逐步培养随机观念。

2、目标和目标解析：（1）、目标：①用列举法求简单随机事件的概率，进一步培养随机观念。

②感受分步分析对思考较复杂问题时起到的作用。

（2）、目标解析：达成目标1的标志是：学生清晰的知道，对于结果种数有限且每种结果等可能的随机实验中的事件，可以用列举法求概率。

当每次实验涉及两个因数，且每个因素的取值个数较多时，相对于直接列举，采用表格的方式更有利于将实验的所有结果不重不漏的列举出来，学生能够利用列表法正确计算简单随机事件的概率。

结合具体问题进一步体会概率是如何定量地刻画随机事件发生可能性的大小。

目标2体现在学生探索、归纳列表法的过程中。

学生在问题的引导下思考如何才能将涉及两个因素实验的所有可能的结果不重不漏的表示出来。

将体会“分步”策略对分析复杂问题起到的作用。

3、教学重、难点教学重点：用列表法求简单随机事件的概率。

教学难点：列表格不重不漏的列举随机实验的所有结果。

突破难点的方法：让学生合作探究，自主学习，体验列举实验结果过程。

二、教学准备：多媒体课件、导学案。