相似三角形---射影定理的运用

相似三角形的应用·射影定理（教学设计）怀化市铁路第一中学高用一、教材衔接分析初中阶段，《相似三角形的应用》是湖南教育出版社义务教育教科书《数学》九年级上册第3章第五节内容，射影定理以习题的形式出现在第3章复习题B组第12题，属于基于教材又高于教材的拓展性内容，学习射影定理可以进一步熟练掌握相似三角形的应用，同时也是相似三角形应用得出的重要结论，其本质是一种特殊且非常常见的相似三角形模型，熟悉这种模型对于很多平面几何问题的证明有非常重要的作用．高中阶段，原人教A版《数学》选修4-1《几何证明选讲》中专门有一节《直角三角形的射影定理》，在新高中课程中，相似三角形的应用和射影定理在基本不等式的几何解释、平面向量、立体几何和解析几何中都有重要的应用，还是物理学科中力的分析、几何光学等的重要数学基础．另外，平面几何证明思路的探寻过程中常用执果索因的方法，也就是高中阶段所说的分析法，这是思维层面的初高中衔接．二、教学目标1、能够熟练应用相似三角形证明射影定理及一些简单问题，发展学生几何直观、逻辑推理的核心素养；2、理解射影定理、熟悉射影定理的基本图形，并能利用射影定理求解和证明一些简单问题．三、教学重难点教学重点：1、熟练应用相似三角形的性质；2、理解射影定理、熟悉射影定理的基本图形，熟练利用射影定理求解或证明问题．教学难点：熟练应用相似三角形的性质、射影定理解决问题四、教学方法从回顾相似三角形的性质和判定定理入手，先探究射影定理，再引申到“歪射影定理”，形成问题探究、基础训练、思维拓展、反思提高四个教学环节．采取课堂讨论、问题探究的教学方法，发挥教师的主导作用，尽可能调动学生的积极性，参与到学习中来，学会构建数学模型解题，让学生在愉快的氛围中自然构建自己的知识体系．五、教学过程（一）旧知回顾相似三角形的判定：1、平行于一边的直线截得的三角形与原三角形相似；2、两角对应相等；3、三边对应成比例；4、两边对应成比例且夹角相等．若两三角形相似，则1、对应长度成比例，2、对应角相等．【设计意图】通过复习相似三角形判定方法和两三角形相似可以得到的结论，为进一步熟练应用相似三角形定下基调，更为探究射影定理作准备．（二）问题探究中，CD为斜边AB上的高．探究1：如图，在Rt ABC问题：图中有哪些相似三角形？由这些相似三角形，你能得到哪些与长度有关的结论？（学生自行探究并上黑板展示，教师点评并加以引导）例如，由ADC CDB ∆∆ ，可得CD AD AC BD CD BC==，从而可得2CD AD BD =⋅．类似地，可得2AC AD AB =⋅2BC BD BA=⋅【设计意图】通过引导学生自主探究射影定理，使学生进一步熟练应用相似三角形，同时在已有的知识基础上探究新知，符合学生最近发展区，体现数学自然生成的教学理念．注意到，CD AB ⊥，垂足为D ，则称点D 为点C 在AB 上的正射影，那么线段AD 为线段AC 在AB 上的正射影，线段BD 为线段BC 在AB 上的正射影．探究1得到的三个等式都反映了两直角边在斜边上的射影与其他线段之间的关系，因而称之为射影定理．直角三角形中的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项．（教师强调射影定理的图形特征：“双垂直结构”）【设计意图】介绍射影定理命名的缘由，让学生对定理理解更加形象、深刻，也使学生对射影定理的识记更加容易，培养学生用模型解决问题的能力．定理的初步应用例1如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，已知90ACB ∠=︒，2AD =，8DB =．求CD 、AC 和BC 的长．【解析】在Rt ABC ∆中，CD AB ⊥，则由射影定理有22816CD AD BD =⋅=⨯=，则4CD =，221020AC AD AB =⋅=⨯=，则AC =281080BC BD BA =⋅=⨯=，则BC =．【设计意图】通过例1对射影定理进行最直接、最简单的运用，让学生基本熟悉射影定理．思考：若AD a =，DB b =，计算CD 的长；当点C 在 AB 上运动时，ACB ∠始终为90︒，比较CD 与AB 的长度，你发现了什么结论？易得CD =，AB a b =+，当点C 在 AB 上运动时，CD 的长不超过圆的半径，2a b +≤（基本不等式）．【设计意图】在例1的基础上进行一般化，通过观察CD 长度的变化得到不等式2a b +≤，为高中学习基本不等式、理解基本不等式作铺垫．探究2：如图，已知ABC ∆中，D 为AB 上一点，且BCD BAC ∠=∠．是否还能得到类似在直角三角形中射影定理的结论？（学生自主探究，并展示成果）成果展示：因为BCD BAC ∠=∠，又同角B ∠，所以BCD BAC ∆∆ ，从而BD BC BC BA=，即2BC BD BA =⋅．教师点评：虽然ABC ∆不是直角三角形，D 也不再是C 在AB 上的正射影，但有BCD BAC ∆∆ ，从而仍得到一个类似直角三角形中射影定理的结论2BC BD BA =⋅，我们形象地称之为“歪射影定理”．【设计意图】“歪射影定理”的基本图形是一种较为常见的相似三角形的形式，通过“歪射影定理”的探究，主要是让学生熟悉这种相似三角形的图形结构特征，建立起一种解题模型，在较为复杂的证明问题中能快速识别图形，并用相似三角形求解．同时，引入“歪射影定理”还可以激发学生的学习兴趣，可以为今后学习圆幂定理奠定基础．（三）应用提升例2如图，AD 为Rt ABC ∆斜边BC 边上的高，过点B 作BE BA =，连接,ED EC ．求证：BED BCE ∠=∠．【思路分析】要证BED BCE ∠=∠，因为EBD CBE ∠=∠，只要证EBD CBE ∆∆ ，只要证BE BD BC BE=，即2BE BD BC =⋅，不难发现BA BE =，则只要证2AB BD BC =⋅，这就是射影定理，于是思路打通．【证明】由射影定理可得2AB BD BC =⋅，因为BA BE =，所以2BE BD BC =⋅，即BE BD BC BE=，又EBD CBE ∠=∠，所以EBD CBE ∆∆ ，从而BED BCE ∠=∠．例3如图，点D 为Rt ABC ∆直角边斜边AC 延长线上一点，连接BD ．过点A 分别作BC 、BD 的垂线，垂足分别为,E F ，连接EF ．求证：EF BD BE CD ⋅=⋅．【思路分析】要证EF BD BE CD ⋅=⋅，只需证EBF DBC ∆∆ ，因为EBF DBC ∠=∠，只要证BE BF BD BC=，即BE BC BF BD ⋅=⋅，联系题目的垂直条件，容易想到射影定理2AB BE BC =⋅，2AB BF BD =⋅，从而思路打通．【证明】由射影定理，有2AB BE BC =⋅，2AB BF BD =⋅，所以BE BC BF BD ⋅=⋅，即BE BF BD BC=，又EBF DBC ∠=∠，所以EBF DBC ∆∆ ，从而EF BE CD BD =，即EF BD BE CD ⋅=⋅．【设计意图】通过例2和例3，使学生进一步熟练应用相似三角形和射影定理、熟悉定理的基本图形，体会结论倒推法分析证明思路的思维方法，提升学生思维能力．（四）课堂小结1、射影定理、歪射影定理及其图形特征，本质上是一种特殊且常见的相似三角形模型；2、平面几何证明思路探寻方法：结论倒推法（执果索因法）．【设计意图】通过课堂小结进一步巩固本节课所学所得．。

几何学中的射影定理和相似三角形——几何知识要点几何学是研究空间和形状的学科，其中射影定理和相似三角形是其中重要的概念和定理。

本文将介绍这两个知识点，并探讨它们在几何学中的应用。

一、射影定理射影定理是几何学中的重要定理之一，它描述了两条平行线与一条横截线所形成的射影关系。

射影定理可以用于求解平行线之间的距离、角度和比例等问题。

射影定理的几何表述如下：当一条横截线与两条平行线相交时，它们所形成的对应的线段长度相等。

换句话说，射影定理说明了平行线与横截线之间的相似关系。

射影定理的应用非常广泛。

在建筑设计中，我们常常需要确定建筑物的高度、宽度等尺寸，射影定理可以帮助我们通过测量建筑物的阴影长度来确定其实际尺寸。

在地理测量中，射影定理也可以用于确定高山的高度、河流的宽度等。

二、相似三角形相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

相似三角形之间存在一种特殊的比例关系，即对应边的比例相等。

相似三角形的判定条件有两种：AAA判定和AA判定。

AAA判定是指两个三角形的对应角度相等，而AA判定是指两个三角形的两个对应角度相等且对应边成比例。

相似三角形的性质有很多。

首先，相似三角形的对应角度相等，对应边成比例。

其次，相似三角形的周长和面积之间也存在一定的比例关系。

另外，相似三角形的高度、中线、角平分线等也成比例。

相似三角形在几何学中的应用非常广泛。

例如，在地图上测量两座建筑物之间的距离时，我们可以利用相似三角形的性质来计算。

此外，在工程设计中，相似三角形也可以用于计算物体的尺寸、角度等。

总结：几何学中的射影定理和相似三角形是非常重要的知识点。

射影定理描述了平行线与横截线之间的射影关系，可以用于求解距离、角度和比例等问题。

相似三角形是具有相同形状但大小不同的三角形，其对应边成比例。

相似三角形的性质有很多，可以用于计算距离、尺寸和角度等。

这些知识点在实际应用中具有广泛的用途，对于几何学的学习和应用都具有重要意义。

通过学习射影定理和相似三角形，我们可以更好地理解和应用几何学知识，提高解决实际问题的能力。

相似三角形------射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。

一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。

一、射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。

二、变式推广１．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。

２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。

（后文简称：射影定理变式（2））如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。

三、应用例１如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求证：４ＤＨ•ＤＡ＝ＢＣ２分析：易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C＝∠HBD，联想到射影定理变式（2），可得ＢＤ２＝ＤＨ•ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。

（证明略）例２ 如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分， 求ＤＣ。

分析：易得到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＥ，满足射影定理变式（2）的条件，故有ＣＤ２＝ＤＥ•ＤＢ，易求得ＤＣ＝８(解略)例3 已知：如图（5），△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ，求证：ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。

第7讲 相似三角形3：射影定理、角平分线定理一、 基础知识1． 相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 2． 相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；判定定理1：两角对应相等，两三角形相似；判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； 判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似． 3． 判定直角三角形的其他方法定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似． 4． 相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；（2）相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比及周长的比，都等于相似比； （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 二、 例题部分 例1．（★，射影定理）在Rt ⊿ABC 中，∠A ＝90°，AD 是斜边上的高，求证： （1）2AD BD DC =⋅；（2）2AB BD BC =⋅；（3）2AC CD CB =⋅ 【证明】：直接根据“直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似．”即可得到例2．（★）如图，AD 是⊿ABC 的BC 边上的高，DE 、DF 分别垂直于AB 、AC ，垂足为E 、F ，求证：AE AFAC AB=【证明】：由射影定理：2AD AE AB =⋅2AD AF AC =⋅∴AE AB AF AC ⋅=⋅例3．（★）在Rt ⊿ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F ；求证：33AE AC BF BC = 《全国奥林匹克初二竞赛教材》数学 京华出版社，P188，例2例4．（★）如图，在Rt ⊿ABC 中，∠A ＝90°，BC 边的垂直平分线和AB 、CA 的延长线分别交于D 、E ，BC的中点为F，求证AF是DF与EF的比例中项．【证明】：易得∠E＝∠B＝∠DAF在⊿FDA和⊿FAE中：∠FAD＝∠FEA，∠DFA＝∠AFE∴⊿FDA∽⊿FAE∴FA FD FE FA=例5．（★★，96年全国初中数学联赛四川赛区预赛）如图，Rt⊿ABC 中，∠C＝90°，∠A的平分线AD交BC边于D，求证：222 AC BC AD BD=《华罗庚数学奥林匹克教材》初二年级知识出版社，P180，6例6．（★）Rt⊿ABC中∠C＝90°，∠A的平分线AE交BA上的高CH于D点，过D点引AB的平行线交BC于F，求证：BF＝EC【证明】：∵AE平分∠A∴CE ACEB AB=；∵DF∥AB，∴HD BFDC FC=∵⊿AC B∽⊿AHC，∴AC AH HD BF AB AC DC FC ===∴EC BFEB FC=，即EC BFEF FB EF EC=++整理得EC＝BF例7．（★★）已知P、Q分别是正方形ABCD边AB、BC上的点，且BP＝BQ，过B点作PC的垂线，垂足为H，证明：DH⊥HQ【证明】：∵∠PBC＝90°BH⊥PC∴⊿HBC∽⊿PBC，∴BH BP CH BC=∵BP＝BQ，∴BH BP BQ CH BC CD==又易得∠HBQ＝∠HCD，∴⊿BHQ∽⊿CHD ∴∠BHQ＝∠CHD，∴DH⊥HQ例8．（★★，93年黄冈初中竞赛）在等边三角形ABC的边BC上取点D，使12BDCD=，作CH⊥AD，连结BH，求证：∠DBH＝∠DAB【证明】：过A作AM⊥BC，垂足为M易证⊿BHQ∽⊿CHD，∴AD MDCD HD=，∵AM为⊿ABC的高，∴BM＝CM∵12 BD CD=∴CD＝2BD，DM＝12 BD，易得AD BDBD HD=，又∠ADB＝∠BDH∴⊿ADB∽⊿BDH，∴∠DBH＝∠DAB例9．（★★，94年安徽省数学竞赛）设P是等边三角形ABC的BC边上任一点，连结AP，作AP的中垂线交AB、AC于M、N；证明：BP PC BM CN⋅=⋅《华罗庚数学奥林匹克教材》初二年级知识出版社，P180，5例10．（★★，辽宁省竞赛题）设AM是⊿ABC边BC上的中线，任作一条直线分别交AB、AC、AM于P、Q、N，求证：ABAP、AMAN、ACAQ成等差数列．【证明】：过B、C分别作MN的平行线交PQ的延长线于E、F；易得1()2MN BE CF=+则1()2MN BE CF AN AN AN=+∵⊿BEP∽⊿ANP，∴BE BP AN AP=∵⊿CFQ∽⊿ANQ，∴CF CQ AN AQ=∴1()2MN BP CQ AN AP AQ=+根据合比定理得：1()2AM AB ACAN AP AQ=+【证明2】：过B、C分别作PQ的平行线交AM的延长线于E、F例11．（★★，97年河北初中竞赛）在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BE＝ED＝CF，求∠CEF＋∠CAD的度数；《华罗庚数学奥林匹克教材》初二年级知识出版社，P181，9例12．（★★★，99年上海中学数学实验班选拔赛）如图，AD是锐角⊿ABC边BC上的高，E是AD上的一点且满足AE CDED DB=，过D作DF⊥BE于F，求证：∠AFC＝90°【证明】：易得Rt⊿EFD∽Rt⊿DFB，ED DB EF DF=∴AE AE ED AE DB EF ED EF ED DF =⋅=⋅∵AE CDED DB=，∴AE CD DBEF DB DF=⋅，即AE CDEF DF=又∵∠AEF＝90°＋∠EDF＝∠CDF∴⊿AEF∽⊿CDF，故∠AFC＝∠DFE＝90°例13．（★★★，第17届IMO）在任意三角形ABC的边上向外作⊿BPC、⊿CQA、⊿ARB，使得∠PBC ＝∠CAQ＝45°，∠BCP＝∠QCA＝30°，∠ABR＝∠BAR＝15°，试证：（1）∠QRP＝90°；（2）PQ＝PR【证明】：以AB为边向外作正三角形ABS，连结RS、CS则∠SAR＝45°，∠ASR＝30°∴⊿CQA∽⊿SRA，∴SA RA CA AQ=∵∠SAC＝∠RAQ，∴⊿CAS∽⊿RAQ∴∠CSA＝∠QRA，且AR ASQR CS=（1）同理可得∠CSB＝∠PRB，且BR BSPR CS=（2）∵AR＝BR，AS＝BS由（1），（2）可得PR＝QR∵∠ARB＝180°－15°－15°＝150°∴∠QRP＝150°－（∠ARQ＋∠BRP）＝150°－（∠CSA＋∠CSB）＝150°－60°＝90°拓展：（★★★）如图，AD、BE、CF是锐角三角形ABC的三条高，M、N分别是BE、CF的中点，求证：⊿DMN∽⊿ABC【证明】取BC、CA、AB的中点P、S、Q，易知P、M、S共线，P、N、Q共线，连结SQ、DS、DQ∵DS＝12AB＝PQ，PS＝12AC＝DQ，PD为公共边∴⊿DSP≌⊿PQD∴∠DSP＝∠PQD，即∠DSM＝∠DQN；①又1212ABDS ABDQ ACAC==；1212AESM AEQN AFAF==又由⊿ABE∽⊿ACF，得AB AE AC AF=∴DS SMDQ QN= ② 由①②可知⊿DSM ∽⊿DQN ∴SD QDMD ND=，∠SDM ＝∠QDN ∴∠MDN ＝∠SDQ ∴⊿DMN ∽⊿DSQ但⊿DSQ ≌⊿ASQ ，⊿ASQ ∽⊿ABC ∴⊿DMN ∽⊿ABC 例14．（★，三角形内角平分线的性质）AD 是⊿ABC 的内角平分线，求证：BD ABDC AC=；反之亦然． 【证明】：过C 作CE ∥DA ，交BA 延长线于E ；易得AE ＝AC 则BD AB ABDC AE AC==例15．（★，三角形外角平分线的性质）如图，AE 是⊿ABC 的一条外角平分线，交BC 延长线于E ，求证：AB BEAC CE=． 【证明】：过C 作CF ∥EA ，交AB 于F ；易得AC ＝AF 则AB AB BEAC AF CE==例16．（★★★，90年上海）在⊿ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且a b c >>，AS ，AS ’分别是∠A 的平分线和外角平分线，BT ，BT ’分别是∠B 的平分线和外角平分线，CU ，CU ’分别是∠C 的平分线和外角平分线，求证：111'''SS UU TT +=（图中只画出了AS ，AS ’） 【证明】∵AS ，AS ’分别是∠A 的平分线和外角平分线∴','CS b CS bSB c S B c == ∴',CS b CS b BC b c BC b c==+- 即,'ab abCS CS b c b c==+- ∴222''ab ab abcSS CS CS b c b c b c=-=-=-+- 同理可得：222222','abc abcUU TT a b a c ==-- 22222211()()1''22'b c a b a c SS UU abc abc TT -+--+===三、 练习题1．（★）在⊿ABC 中，∠C ＝90°，ED ⊥AB 于D ，AD ＝DB ，AB ＝20，AC ＝12，则DE 的长是（ ） A ．10 B ．8.5 C ．9.5 D ．7.5【解】：D2．（★）⊿ABC 中，∠C ＝90°，CD 是高，BC ＝2AC ，则AD ：DB 等于（ ） A ．1:2B ．1:2C ．1:3D ．1:4【解】：D3．（★）Rt ⊿ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长为a 、b 、c ，斜边上的高为x ，则下列各式中成立的是（ ） A ．2ab x = B ．111a b x+= C ．222a b x +=D ．222111x a b =+ 【解】：D4．（★★）在直角梯形ABCD 中，上底AD ＝3，下底BC ＝33，与两底垂直的腰AB ＝6，在AB 上任取一点P ，使⊿PAD 和⊿PBC 相似，这样的点P （ ） A ．有1个 B ．有2个 C ．有3个 D ．不存在 【解】：B ； 5．（★★）在⊿ABC 中，∠A ＝2∠B ，AC ＝4，AB ＝5，则BC 等于（ ） A ．6B ．7C ．35D ．5【解】：A ； 6．（★）如图，⊿ABC 被DE 、FG 分为面积相等的三部分，并且D E ∥FG ∥BC ，则D E ：FG ：BC ＝____________； 【解】：1:2:37．（★）如图，D 为⊿ABC 内一点，E 为⊿ABC 外一点，如果∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：⊿ABC ∽⊿DBE《三点一测丛书，初二数学》科学出版社，龙门书局，2004年版 P344，例78．（★★）图中，AD 、CF 是⊿ABC 的两条高线，在AB 上取一点P ，使AP ＝AD ，再从P 点引BC 的平行线和AC 交于Q 点，求证：PQ ＝CF ； 《三点一测丛书，初二数学》科学出版社，龙门书局，2004年版 P346，例99．（★★，2000年重庆竞赛）⊿ABC 和⊿A 1B 1C 1均为正三角形，BC 和B 1C 1的中点均为D ，求证：AA 1⊥CC 1 【证明】：连结AD ，A 1D ，延长AA 1交直线DC 于O ，交直线C 1C 于E ，在⊿AA 1D 和⊿CC 1D 中： ∠ADA 1＝90°－∠A 1DC ＝∠CDC 1； 又3ADDC=，113DA DC =，则⊿AA 1D ∽⊿CC 1D 则∠A 1AD ＝∠C 1CD又∠AOD ＝∠COE则∠CEO ＝∠ADO ＝90° 即AA 1⊥CC 110. （★★，96上海）如图，AD 为⊿ABC 的内角平分线，AD 的垂直平分线交BC 的延长线于F ，若34AC AB =，求FCFB的值； 【解】：916《全国初中数学竞赛试题分类集锦》几何分册 上海远东出版社，P122，611．（★★）AD 是等腰⊿ABC 底边BC 上的高，BM 及BN 是∠B 的三等分角线，分别交AD 于M 、N 点，连结CN 并延长交AB 于E ，求证：AM AEMN EB=【证明】易得EB＝EN∵AN平分∠BAC，∴AE EN AC NC=∴AE AC AB EN NC BN==∵AB AMBN MN=，∴AE AMEN MN=∴AM AE MN EB=。

相似三角形――相似直角三角形及射影定理【知识要点】1直角三角形的性质:(1) 直角三角形的两个锐角 _____________ (2)Rt A ABC 中，/ C=90o ，贝U2+(3) 直角三角形的斜边上的中线长等于2、已知，△ ABC 中，/ ACB=90 ° , CD 丄 AB 于 D 。

( 1)若 AD=8 , BD=2，求 AC 的长。

(2)若 AC=12 , BC=16，求 CD 、AD 的长。

精品文档(4)等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为(5)有一个锐角为30o 的直角三角形，30o 所对的直角边长等于 ，且三边长的比值为2、直角三角形相似的判定定理(只能用于选择填空题)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。

3、双垂直型：Rt A ABC 中，/ C=90o , CD 丄 AB 于 D ，则① S s②射影定理：CD 2= ______【常规题型】AC 2= _____ BC 2= ____1 已知：如图，△ ABC 中，/ ACB=90【典型例题】例1.如图所示，在厶ABC 中，/ ACB=90BM 2=MN • AM 。

例2.已知：如图，在四边形 ABCD 中，/ ABC= / ADC=90 o , DF 丄AC 于E ，且与 AB 的延长线相交 于F ,与BC 相交于G 。

求证：AD 2=AB • AF【拓展练习】1、已知：如图， AD 是厶ABC 的高，BE 丄AB , AE 交BC 于点F , AB • AC=AD • AE 。

求证：△ BEFACF,AM 是BC 边的中线，CN 丄AM 于N 点，连接BN ,求证:例 3. (1)已知 ABC 中， ACB 90 , CD 高，这时 DEF 和 CAB 是否相似？AB ，垂足为D , DE 、DF 分别是 ADC 和 BDC 的CBCFD3、已知，如图，CE 是直角三角形斜边 AB 上的高，在EC 的延长线上任取一点 P ,连结AP, BG AP ,垂足为G ，交CE 于D ，求证：CE 2 PE DE .4、如图，在四边形ABCD 中，B AD 2 AB AE 。

《三角形中线长定理与直角三角形射影定理》一、引言在几何学中，三角形是最基本的几何图形之一，而三角形中线长定理和直角三角形射影定理则是三角形内部各条线段关系的重要定理。

本文将以这两个定理为主题，深入探讨它们的意义、应用和证明方法，以帮助读者全面地理解这一部分几何知识。

二、三角形中线长定理1. 定理表述三角形中线长定理是指三角形中线的性质，其中线是连接一个三角形的两个顶点与中点的线段。

具体而言，三角形中线长定理表述为：在一个三角形中，两个中线的长度相等，且等于第三个中线的一半。

2. 意义与应用三角形中线长定理的意义在于它揭示了三角形内部各线段之间的等长关系，为解决相关问题提供了依据。

在实际应用中，这个定理常常用于计算三角形的各边长度、面积等问题，尤其在建筑、工程等领域有着广泛的应用价值。

3. 证明方法对于三角形中线长定理的证明，我们可以采用几何推理和数学运算相结合的方法进行证明。

具体而言，可以利用向量、中位线定理、勾股定理等几何知识来进行推导，最终得出结论。

这一证明过程不仅可以帮助我们深入理解定理的本质，也有助于培养我们的逻辑思维能力。

三、直角三角形射影定理1. 定理表述直角三角形射影定理是指在直角三角形中，三条射影的性质。

其中，射影是垂直于斜边的边线。

具体而言，直角三角形射影定理表述为：在一个直角三角形中，斜边上的高等于两条直角边上的高的乘积。

2. 意义与应用直角三角形射影定理的意义在于它揭示了直角三角形内部各射影之间的数学关系，为求解与直角三角形有关的问题提供了重要工具。

在实际应用中，这个定理常常用于测量、工程设计、地理测量等领域，为解决实际问题提供了依据。

3. 证明方法对于直角三角形射影定理的证明，我们可以采用几何相似性和数学运算相结合的方法进行证明。

具体而言，可以利用三角形相似性、直角三角形的性质等进行推导，最终得出结论。

这一证明过程可以帮助我们更深入地理解定理的内涵，提高我们的几何推理能力。

相似三角形相似直角三角形及射影定理【知识要点】1直角三角形的性质:直角三角形的两个锐角RtAABC 中，/ C=90o ，则直角三角形的斜边上的中线长等于【常规题型】1、已知：如图，△ ABC 中，/ ACB=90 ° , CD 丄 AB 于 D , SAABC=20 , AB=10。

求 AD 、BD 的长.2、已知，△ ABC 中，/ ACB=90 ° , CD 丄 AB 于 D 。

( 1)若 AD=8 , BD=2，求 AC 的长。

(2)若 AC=12 , BC=16，求 CD 、AD 的长。

(4) 等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为有一个锐角为300的直角三角形，300所对的直角边长等于，且三边长的比值为2、直角三角形相似的判定定理 （只能用于选择填空题）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例, 么这两个直角三角形相似。

3、双垂直型:RtAABC 中，/ C=90o , CD 丄 AB 于 D ，则②射影定理: CD 2=AC 2=BC2=B【典型例题】例1.如图所示，在^ ABC 中，/ ACB=90 ° , AM 是BC 边的中线，CN 丄AM 于N 点，连接BN ，求证:BM 2=MN • AM 。

已知：如图，在四边形 ABCD 中，/ ABC= / ADC=90 o , DF 丄AC 于E ，且与 AB 的延长线相交 与BC 相交于G 。

求证：AD 2=AB • AF2. F3. (1)已知 ABC 中， ACB 90 , CDAB ，垂足为D , DE 、DF 分别是 ADC 和 BDC 的高，这时 DEF和CAB 是否相似?【拓展练习】1、已知：如图， AD 是^ ABC 的高，BE 丄AB , sA ACFAE 交 BC 于点 F , AB • AC=AD - AE 。

求证：△ BEFCBDC3、已知，如图，CE是直角三角形斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P ,连结AP, BG AP ,垂足为G，交CE于D，求证: CE2 PE DE .4、如图，在四边形ABCD中, B D 90，由点D作AC的垂线交AB于E,交AC于F。

相似三角形——相似直角三角形及射影定理【知识要点】1、直角三角形的性质：〔1〕直角三角形的两个锐角〔2〕Rt △ABC 中，∠C=90º，那么2+2=2〔3〕直角三角形的斜边上的中线长等于〔4〕等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为〔5〕有一个锐角为30º的直角三角形，30º所对的直角边长等于，且三边长的比值为2、直角三角形相似的判定定理〔只能用于选择填空题〕如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

3、双垂直型：Rt △ABC 中，∠C=90º，CD ⊥AB 于D ，那么①∽∽②射影定理：CD 2=· AC 2=· BC 2=·【常规题型】1、：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，S △ABC=20，AB=10。

求AD 、BD 的长.2、，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D 。

〔1〕假设AD=8，BD=2，求AC 的长。

〔2〕假设AC=12，BC=16，求CD 、AD 的长。

BA【典型例题】例1．如下图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。

例2．：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90º，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。

求证：AD 2=AB ·AF例3．〔1〕ABC ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，DE 、DF 分别是BDC ADC ∆∆和的高，这时CAB DEF ∆∆和是否相似？【拓展练习】1、：如图，AD 是△ABC 的高，BE ⊥AB ，AE 交BC 于点F ，AB ·AC=AD ·AE 。

2014级直升初二数学III 相似三角形应用——射影定理练习
姓名_________________教学班___________12.7
1．如图，菱形ABCD 中，顶点A 到边BC ，CD 的距离AE ，AF 都为5，EF=6，那么菱形ABCD 的边长为 ．
2．两个任意大小的正方形，都可以适当剪开，拼成一个较大的正方形，如用两个边长分别为a ，b 的正方形拼成一个大正方形．图中Rt △ABC 的斜边AB 的长等于 （用a ，b 的代数式表示）．
3．在Rt △ABC 中，C 为直角顶点，过点C 作AB 的垂线，若D 为垂足，若AC 、BC 为方程x 2﹣6x +2=0的两根，则AD•BD 的值等于 ．
4．如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE 、BN 于点F 、C ，过顶C 作品AM 的垂线CD ，垂足为D ．若CD=CF ，求AE AD
的值．
5．已知：如图，等腰△ABC 中AB=AC ，高AD 、BE 交于点H ，求证：4DH•DA=BC 2．
6．已知CD 是△ABC 的高，DE CA ⊥，DF CB ⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ∽．
7．如图，已知：BD 、CE 是△ABC 的两条高，过点D 的直线交BC 和BA 的延长线于G 、H ，交CE 于F ，且∠H=∠BCF ．求证：GD 2=GF·GH ．
8．如图，矩形ABCD 中，AB=a ，BC=b ，M 是BC 的中点，DE AM ⊥，E 是垂足， 求证：
2224ab
DE a b =+．
9．如图，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥，1
3ADE CDE ∠=∠，求EDB ∠度数．。

相似三角形的六大证明技巧大全比例式的证明方法比例式是数学中常见的重要概念，其证明方法也是需要掌握的基本技能。

下面介绍几种比例式的证明方法。

1.相似三角形法若两个三角形相似，则它们对应边的比例相等。

因此，可以通过相似三角形的证明来得到比例式。

2.射影定理法射影定理指：在直角三角形中，直角边上的高的平方等于直角边与这个高的两个部分的乘积。

因此，可以通过射影定理来证明比例式。

3.平行线法若两条直线平行，则它们所截线段的比例相等。

因此，可以通过平行线的证明来得到比例式。

4.等角定理法等角定理指：在同一圆周角或同位角中，对应弧所对应的角相等。

因此，可以通过等角定理来证明比例式。

5.数学归纳法数学归纳法是数学中常见的证明方法，适用于证明一般情况下的比例式。

其基本思路是：证明当n=1时比例式成立，假设当n=k时比例式成立，证明当n=k+1时比例式也成立。

比例式的证明方法多种多样，需要根据具体情况选择合适的方法。

熟练掌握这些方法，可以更加轻松地解决各种数学问题。

通过前面的研究，我们知道，比例线段的证明离不开“平行线模型”（A型、X型、线束型），也离不开上述的6种“相似模型”。

但是，XXX认为，“模型”只是工具，怎样选择工具、怎样使用工具、怎样用好工具，取决于我们如何思考问题。

合理的思维方法能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。

在本模块中，我们将研究比例式的证明中经常用到的思维技巧，包括三点定型法、等线段代换、等比代换、等积代换、证等量先证等比、几何计算。

技巧一：三点定型法例1】在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F，求证：$\frac{DC}{CF}=\frac{AE}{AD}$。

例2】在直角三角形△ABC中，$\angle BAC=90^\circ$，M为BC的中点，DM垂直于BC交CA的延长线于D，交AB 于E。

求证：$AM^2=MD\cdot ME$。

例3】在直角三角形△ABC中，AD是斜边BC上的高，$\angle ABC$的平分线BE交AC于E，交AD于F。

第1篇在几何学中，射影定理是一个重要的定理，它描述了三角形在射影变换下的性质。

射影变换是指将一个几何图形通过一定的方式映射到另一个几何图形上，而保持其某些性质不变。

本文将详细介绍任意三角形的射影定理，包括其定义、证明方法以及在实际应用中的重要性。

一、射影定理的定义射影定理是指在任意三角形中，从一个顶点到对边上的任意点作垂线，那么这个垂线段的长度与这个顶点到对边中点的距离之比等于从该顶点到对边另一端点的距离与从该顶点到对边中点的距离之比。

设三角形ABC，其中点D是BC边上的任意一点，点E是AD的垂足，点F是AC的中点。

根据射影定理，我们有：$$\frac{AE}{EF} = \frac{AB}{AF}$$二、射影定理的证明证明射影定理有多种方法，以下介绍两种常见的证明方法：1. 构造辅助线法（1）作辅助线：在三角形ABC中，作辅助线DE，使得DE垂直于BC，交BC于点D。

（2）证明：在直角三角形ADE和直角三角形AFC中，∠AED=∠AFC=90°，且∠ADE=∠AFC（都是直角）。

根据AAS（角-角-边）全等条件，得到三角形ADE≌三角形AFC。

（3）根据全等三角形的性质，我们有AE=AF。

（4）由于EF是AC的中线，所以EF=AF。

（5）根据射影定理的定义，得到：$$\frac{AE}{EF} = \frac{AB}{AF}2. 利用相似三角形法（1）证明：在直角三角形ADE和直角三角形AFC中，∠AED=∠AFC=90°，且∠ADE=∠AFC（都是直角）。

根据AAS（角-角-边）全等条件，得到三角形ADE≌三角形AFC。

（2）根据全等三角形的性质，我们有AE=AF。

（3）由于EF是AC的中线，所以EF=AF。

（4）根据相似三角形的性质，我们有：$$\frac{AE}{AF} = \frac{DE}{FC}$$（5）由于DE=BC，FC=AC/2，代入上式得到：$$\frac{AE}{AF} = \frac{BC}{AC/2} = \frac{AB}{AF}$$三、射影定理的应用射影定理在几何学、工程学、物理学等领域都有广泛的应用。

三角形射影定理
三角形射影定理是数学中一个重要的定理，它指出任意一个三角形都可以被完全的投射另外一条直线上。

三角形投射定理大致可以分为三步：
第一步，两个三角形之间须存在一个平面。

第二步，假定有一个直线将一个三角形投射到另一个三角形之上。

第三步，根据投射定理，投影后两个三角形之间应该相似。

让我们来通过一个例子来解释三角形投射定理：设有三角形ABC 和经过平面mxn的三角形A'B'C'，假定有一直线l将A投射到A'，B 投射到B'，C投射到C'，根据三角形投射定理，可知ABC与A'B'C'的相对位置应该完全一样。

三角形投射定理广泛应用于许多数学领域，它可以用来证明一些数学定理，如欧几里得定理，勾股定理等等。

三角形投射定理也可以用于求解很多有关三角形的问题，如求投影后两个三角形的内角和外角之和。

同时，它也为三角形的构造题开辟了很多前景，对学习有一定的帮助。

总而言之，三角形投射定理是数学领域中一个很重要的定理，它不仅广泛应用于许多领域，而且可以为我们求解大量有关三角形的问题提供有效的帮助，有助于提高学生的数学素养。

感受相似的基本模型之三(射影型)熟悉已知与结论，熟练套路与思路编制人：平生曜曜四、射影型（Rt ⊿大套图，特征：Rt ⊿的斜边上配有高线）（一）、射影定理的证明与结论的记忆1、如右图，已知: 在∆Rt ABC 中，ο90=∠ACB ，AB CD ⊥于D ，求证：（1）、=∠ACD ∠ ， =∠A ∠ ；（2）、ABBCAC CD •=；（3）、BD AD CD •=2； （4）、填空：()()•=2AC ，()()()•=2；〈解答（1）〉：答案：B ACD ∠=∠，BCD A ∠=∠，证明过程省略。

〈解析（2）〉：欲证 ：ABBCAC CD •=，可证：()()=AC CD ，经观察发 现：分子上的两条线段CD 、BC ，集中⊿ 中，而分母里的两条线段AC 、AB ，集中⊿ 中, 所以可尝试证明：右⊿CBD ∽大⊿ ，显然，由ο90=∠=∠ACB CDB ，且A BCD ∠=∠可以推证这两个⊿相似。

〈解答（2）〉：由（1）知：∠ A ∠=，又∵∠ ∠= ， ∴⊿CBD ∽⊿ ， ∴()()BCCD=，∴ABBCAC CD •=.〈解析（3）〉：()()CADCDCDBD AD CD ∆⇐=⇐•=2∽∆()→⎪⎩⎪⎨⎧⇐∠=∠⇐∠=∠⇐知已知1ACD ADC 这是“分析法”的“推出式”书写方式。

〈点评〉：对于第（3）题的解答，只需把上面的解析（3）“倒着写”就OK 了，这叫“推出式解答”，但不提倡，因为这种书写方式会集费时、淘神、遗憾、丢分于一体。

尽管“推出式”对此深表不满，老师仍劝同学盲对它敬而远之，不然各种耗时、丢分，够得你受！所以我忙用“因果式解答”，这是老本行，不易出错，免得扣分扣得惊叫唤。

〈解答（3）〉：因果式来矣，看招！如下图：由（1）知：=∠ACD ∠ ，又∵∠ ∠= ， ∴⊿CAD ∽⊿ ，∴()()ADCD=，∴=2CD • .〈解析（4）〉：欲填：()()???2•=AC ，考虑到“左、大”两个⊿相似，且有公共边AC ，所以由“子母型大套图”的标配“()（共线）两边之积公=2”可知：在“左⊿和大⊿”中，共线的两条边是AD 、AB ，故填： ()()•=2AC 。

射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。

一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广），而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。

下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。

一、射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。

（证明略）二、变式推广１．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。

（证明略）２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。

（后文简称：射影定理变式（2））如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。

（证明略）三、应用例１如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求证：４ＤＨ•ＤＡ＝ＢＣ２分析：易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C＝∠HBD，联想到射影定理变式（2），可得ＢＤ２＝ＤＨ•ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。

（证明略）例２ 如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分，求ＤＣ。

分析：易得到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＥ，满足射影定理变式（2）的条件，故有ＣＤ２＝ＤＥ•ＤＢ，易求得ＤＣ＝８(解略)例3 已知：如图（5），△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ，求证：ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。

.相似三角形经典模型“平行型〞: A 字型和8字型由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.例1：如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===，则111111:::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ∆=四边形四边形四边形M 1F 1E 1M E F A BC总结：相似比和面积比，周长比的关系是例2:如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =，18BC =，::2:3:4AE EM MB =,则_____EF =，_____MN =M N A BCD E F（1）是“A 〞字型 （2）是“8〞字型 经常考，关键在于找.例3.已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点P 的直线与AD ，BC ，CD 的延长线，AB 的延长线分别相交于点E ，F ，G ，H求证：PE PHPF PG=PHGFEDCBA例4.已知：在ABC ∆中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，且2AEEC=,BE 、CD 相交于点F ， 求BFEF的值例5.已知：在ABC ∆中，12AD AB =，延长BC 到F ,使13CF BC =,连接FD 交AC 于点E求证：①DE EF = ②2AE CE =ABCDFE7.如图，在ABC ∆中，D 是AC 边的中点，过D 作直线EF 交AB 于E ,交BC 的延长线于F求证：AE BF BE CF ⋅=⋅FEDC BAFE DCBA.2.直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似. 射影定理：CD ²=AD ·BD ， AC ²=AD ·AB ， BC ²=BD ·BA〔在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用〕.例1 如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D 。