常用逻辑用语
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1、命题 1．命题的定义：我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的 叫做命题。
其中判断为真的语句叫做 ，判断为假的语句叫做 。
2．命题的结构：在数学中，具有“若p 则q ”这种形式的命题是较为常见的，我们把这种形式的的命题中的p 叫做 ，q 叫做 。
二．四种命题及其相互关系3．四种命题的概念：一般地，用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用p ⌝和q ⌝分别表示p 和q 的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p 则q ；逆命题： ；否命题： ；逆否命题： 。
4．否命题与命题的否定是不相同的，若p 表示命题，“非p ”叫做命题的否定。
如果原命题是“若p 则q ”，否命题是“若p ⌝，则q ⌝”，而命题的否定是“p 则q ⌝”，即只否定结论。
5．当一个命题的真假不易判断时，往往可以判断原命题的逆否命题的真假，从而得出原命题的真假。
6．反证法常用于证明如下形式的问题：否定性问题、存在性问题、唯一性问题，至多、至少问题，结论的反面比原结论更具体更易于研究和掌握的问题。
7．常用的正面叙述词语和它的否定词语的关系（如下表）： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 有 是 都是 全是 否定词语 不等于（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 无 不是 不都是 不全是 正面词语 任意的 任意两个 至少有一个 至多有一个 所有的至多有n 个 或 否定词语 某个 某两个 一个也没有 至少有两个 某些 至少有1+n 个 且8．进行充分条件与必要条件的推理判断中要注意以下几点：一是要弄清先后顺序，“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A 且A 推不出B ，而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B 且B 推不出A ；二是要善于举出反例，如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，则可以举出反例来说明一个命题是错误的；三是要注意转化，根据命题之间的关系我们可以知道：如果p 是q 的充分不必要条件，那么p ⌝是q ⌝的必要不充分条件；同理，如果p 是q 的必要不充分条件，那么p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，如果p 是q 的充要条件，那么p ⌝是q ⌝的充要条件。
9．对逻辑联结词“或”“且”“非”的理解在集合部分中的学习的“并集”“交集”“补集”与逻辑联结词中的“或”“且”“非”关系十分密切，对于理解逻辑联结词“或”“且”“非”很有用处：（1）“或”与日常生活中的用语“或”的意义不同，在日常生活用语中的“或”带有不可兼有的意思，而逻辑用语中的“或”可以同时兼有。
对于逻辑用语“或”的理解我们可以借助于集合中的并集的概念：在A x x B A ∈=|{ 或}B x ∈中的“或”是指 “A x ∈”与“B x ∈”中至少有一个成立，可以是“A x ∈且B x ∉”，也可以是“A x ∉且B x ∈”，也可以是“A x ∈且B x ∈”，逻辑用语中的“或”与并集中的“或”的含义是一样的；（2）对“且”的理解，可以联想到集合中的交集的概念：在A x x B A ∈=|{ 且}B x ∈的“且”是指“A x ∈”、“B x ∈”都要满足的意思，即x 既要属于集合A ，又要属于集合B ；（3）对“非”的理解，可以联想到集合中的补集的概念：“非”有否定的意思，一个命题p 经过使用逻辑联结词“非”构成一个复合命题“非p ”，当p 为真时，非p 为假，当p 为假时，非p 为真。
若将命题p 对应集合P ，则命题非p 就对应着集合P 在全集U 中的补集P C U ；对于非的理解，还可以从字意上来理解，“非”本身就具有否定的意思，如“0.5是非整数”是对命题“0.5是整数”进行否定而得出的新命题。
一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定。
10．由于全称命题的否定变为特称命题，而特称命题的否定变为全称命题，因此，可以通过“举反例”来否定一个全称命题。
五、例题讲解例1．判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由。
（1）矩形难道不是平行四边形吗？（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？（3）求证：R x ∈，方程012=++x x 无实根.（4）5>x（5）人类在2020年登上火星.解：（1）是命题，且是真命题。
（2）不是命题，这是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两直线是否平行作出判断。
（3）不是命题，是祈使句。
（4）是开语句，不是命题。
（5）是命题。
但目前无法判断真假。
例2．写出“若2=x 或3=x ，则0652=+-x x ”的逆命题、否命题、逆否命题及 命题的否定，并判其真假。
解:逆命题：若0652=+-x x ，则2=x 或3=x ，是真命题；否命题：若2≠x 且3≠x ，则0652≠+-x x ，是真命题；逆否命题：若0652≠+-x x ，则2≠x 且3≠x ，是真命题。
命题的否定：若2=x 或3=x ，则0652≠+-x x ，是假命题。
例3．（06年上海卷）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线x y 22=相交于A 、B 两点．（1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．解:（1）证法一:设过点T(3,0)的直线l 交抛物线y 2=2x 于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2).①当直线l 的钭率不存在时,直线l 的方程为x =3,此时,直线l 与抛物线相交于点A (3,6)、B(3,－6). ∴⋅=3；②当直线l 的钭率存在时,设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠，由22(3)y x y k x =⎧⎨=-⎩得 2122606ky y k y y --=⇒=- 又 ∵ 22112211,22x y x y ==，∴3)(41212212121=+=+=⋅y y y y y y x x 综上所述，命题“如果直线l 过点T(3,0)，那么⋅=3”是真命题。
证法二:设直线l ：3+=ty x 代入抛物线y 2=2x 消去x ，得0622=--ty y .设),(11y x A ，),(22y x B ，则t y y 221=+，621-=y y ，从而→--OA →--⋅OB =+++=+)3)(3(212121ty ty y y x x 21y y 21212129)(3y y y y t y y t ++++=3692362=-+⋅+-=t t t ，∴“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题。
(2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果OB OA ⋅=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(21,1)，此时OA OB =3,直线AB 的方程为：2(1)3y x =+，而T(3,0)不在直线AB 上.对于(2)的证明如下：证明:设直线l ：b ty x +=代入抛物线y 2=2x 消去x ，得0222=--b ty y .，设),(11y x A ，),(22y x B ，则t y y 221=+，b y y 221-=，∴→--OA →--⋅OB =+++=+))((212121b ty b ty y y x x 21y y 21221212)(y y b y y bt y y t ++++= b b b b t bt bt 2222222-=-+⋅+-=，令322=-b b 得3=b 或1-=b .此时直线l 过点(0,3)或(0,1-)，故原命题为假命题。
例4．已知)1,0(,,∈c b a ，求证：b a )1(-，c b )1(-，a c )1(-三式中至少有一个不大于41. 证明:（用反证法）若b a )1(-，c b )1(-，a c )1(-三式中都大于41.则有 23)1()1()1(>-+-+-a c c b b a （＊） 而2)1()1(b a b a +-≤-，2)1()1(c b c b +-≤-，2)1()1(a c a c +-≤-，三式相加得23)1()1()1(≤-+-+-a c c b b a ，此与（＊）式矛盾，故假设错误，从而原命题成立。
例5．求关于x 的方程0)12(22=+-+k x k x 的两个实根都大于1的充要条件。
解法一:设方程的两个根为21,x x ，则⎪⎩⎪⎨⎧>>≥∆11021x x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧>->-≥∆0101021x x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+-≥∆0)1)(1(0)1()1(02121x x x x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧>++->+≥∆01)(20212121x x x x x x 解得2-<k ，故所求的充要条件是2-<k .解法二:记=)(x f 22)12(k x k x +-+，故所求的充要条件是： ⎪⎩⎪⎨⎧>>--≥∆0)1(12120f k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-+-<≥--⇔01212104)12(222k k k k k ［解］得2-<k ，故所求的充要条件是2-<k 。
例6．已知数列{n a } 、{n b }、{n c }，其中{n a } 、{n b }是等比数列.对于任意正整数n ，n a 、n b 、n c 都成等差数列，且01≠c .试证明：“数列{n c }成等比数列”的充要条件是“数列{n a } 与{n b }公比相等”.证明:充分性 设数列{n a } 与{n b }的公比都是q ，则11-=n n q a a ，11-=n n q b b ，而)(21n n n b a c +=11111)(21--=+=n n q c q b a ，又01≠c ，故{n c }是公比为q 的等比数列.充分性得证.必要性 若数列{n c }是等比数列，设数列{n a } ,{n b },{n c }的公比分别为r q p ,,，则)3()2()1(222212121111111⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=q b p a r c q b p a r c b a c ，由)3()1(⨯得：2212211221221)(4q b q p b a p a r c +++= (4)将(2)的两边平方得2211122122124q b pq b a p a r c ++= (5)比较(4)(5)两式得pq q p 222=+，故q p =，即数列{n a } 与{n b }公比相等.必要性得证.例7. 设命题1|34:|≤-x p ;命题0)1()12(:2≤+++-a a x a x q ,若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.解:设}1|34||{≤-=x x A ，}0)1()12(|{2≤+++-=a a x a x x B ，易知}121|{≤≤=x x A ，}1|{+≤≤=a x a x B .由p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即B A ≠⊂，⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤∴1121a a ，故所求实数a 的取值范围是]21,0[ 例8. 已知集合}53|{><=x x x M 或，}0)8)((|{≤--=x a x x P .（1）求实数a 的取值范围，使它成为}85|{≤<=x x P M 的充要条件；（2）求实数a 的一个值，使它成为}85|{≤<=x x P M 的一个充分但不必要条件；（3）求实数a 的取值范围，使它成为}85|{≤<=x x P M 的一个必要但不充分条件.解:（1）由 }85|{≤<=x x P M ，得53≤≤-a ，因此}85|{≤<=x x P M 的充要条件是}53|{≤≤-a a ；（2）求实数a 的一个值，使它成为}85|{≤<=x x P M 的一个充分但不必要条件，就是在集合}53|{≤≤-a a 中取一个值，如取0=a ，此时必有}85|{≤<=x x P M ；反之，}85|{≤<=x x P M 未必有0=a ，故0=a 是所求的一个充分而不必要条件；（3）求实数a 的取值范围，使它成为}85|{≤<=x x P M 的一个必要但不充分条件就是另求一个集合，故}53|{≤≤-a a 是它的一个真子集。
