东南大学高等数学试卷 期中试卷

03～09级高等数学（A ）（上册）试卷东南大学2003级高等数学（A ）（上）期中试卷一、单项选择题（每小题4分，共12分）1.2)( ,)( ='=οοx f x x f y 且处可导在点函数, 是时则当dy x ,0→∆（） （A ）等价的无穷小与x ∆；（B ）同价但非等价的无穷小与x ∆； （C ）低价的无穷小比x ∆；（D ）高价的无穷小比x ∆。

2.方程内恰有在) ,(0125∞+-∞=-+x x （）（A ） 一个实根；（B ）二个实根；（C ）三个实根；（D ）五个实根。

3.已知函数 ,0)0( , 0 ==f x f 的某个邻域内连续在 ,1cos 1)(lim 0=-→xx f x则处在 0 =x f （）（A ） 不可导；（B ）可导且0)0(≠'f ；（C ）取得极大值；（D ）取得极小值。

二、填空题（每小题4分，共24分）1.=⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=a x a x xxx x f 0.,,0,3cos 2cos )(2则当若 时，处连续在 0 )( =x x f . 2.设函数nxnx n ee x x xf +++=∞→11lim )( 2，则=x x f )( 在 0 处 ，其类型是 .3.函数Lagrange x xe x f x处的带在1)(==ο余项的三阶Taylor 公式为 4.设函数所确定由方程 1)sin()(=-=xye xy x y y ，则=dy . 5.已知)1ln()(x x f -=，则=)0()(n f.6.设22tan )(cos x x f y +=，其中可导 f ，=dxdy则 三、（每小题7分，共28分）1.求极限x x x 2cot 0)]4[tan(lim π+→. 2.求极限)sin 1(sin lim x x x -++∞→3.已知x x ey xsin 1ln --=，求)2(π'y . 4.设22 , , 2cos sin 2dx yd dx dy t y t x 求⎩⎨⎧==.四、（8分）求证时当 0 >x ，x x x sin 63<-. 五、（6分）落在平静水面上的石头产生同心圆形波纹。

共19 页第1 页共 19 页 第 2 页4. 下列结论正确的是 [ ] (A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤bad cx x f x x f d d .(B) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在区间[]b a ,上可积. (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TTa ax x f x x f 0d d .(D) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在[]b a ,内必有原函数. 三. (每小题7分,共35分)1. ()()3020d cos ln lim x tt t xx ⎰+→. 2. 判断级数∑∞=-1354n n n n的敛散性. 3. x x x x d cos cos 042⎰-π. 4. ⎰∞+13d arctan x xx . 5. 求初值问题 ()()⎪⎩⎪⎨⎧-='=+=+''210,10sin y y xx y y 的解.四.(8分) 在区间[]e ,1上求一点ξ,使得图中所示阴影部分绕x 轴旋转所得旋转体的体积最小五.(7分) 设 b a <<0,求证 ()ba ab a b +->2ln. 六.(7分) 设当1->x 时,可微函数()x f 满足条件()()()0d 110=+-+'⎰xt t f x x f x f且()10=f ,试证:当0≥x 时,有 ()1e≤≤-x f x成立.七.(7分) 设()x f 在区间[]1,1-上连续,且()()0d tan d 1111==⎰⎰--x x x f x x f ,证明在区间()1,1-内至少存在互异的两点21,ξξ,使()()021==ξξf f .xln共 19 页 第 3 页04-05-2高等数学(非电)期末试卷答案及评分标准 05.1.14一. 填空题(每小题4分,共20分) 1. 0,一; 2.21x Cx +; 3. 1e 4-; 4. 1; 5. 343. 二. 单项选择题(每小题4分,共16分) 1. A; 2.B; 3. D; 4.C. 三. (每小题7分,共35分) 1. 原式=()分分分261)2(1cos lim 3131)3(3cos ln lim 20220 =-+=+→→x x x x x x x2. 分515453153154lim 354354lim lim11111 <=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=--=+∞→+++∞→+∞→n nn nn n n n n n nn n a a由比值法知原级数收敛. 分23. 原式 =()()分分分222d cos sin 3d cos sin 220πππππ==⎰⎰x x x x x x4. 原式()分31d arctan 2112212⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎰∞+∞+x x x x x=()分分2212d 111218122 =⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎰∞+x x xπ5. 对应的齐次方程的通解为 分2sin cos 21 xC x C y +=非齐次方程x y y =+''的一个特解为()分11 x y =,非齐次方程x y y sin =+''的一个特解为()分1cos 22 x x y -=,原方程的通解为 x xx x C x C y cos 2sin cos 21-++=)1(分 ,利用初值条件可求得 1,121-==C C , 原问题的解为分2cos 2sin cos xxx x x y -+-=共 19 页 第 4 页四.(8分)()()()()()()()()()[]()()()()()0e),1(e2,01ln 223ln 4ln 2e 2ln 2ln 2ln 2ln 2)d ln 1(2d ln 212122e212e212>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''==-='-+-=-++--+-=-+=⎰⎰V t t t V t t t t t txx x x x x x x x x x x x x t V tttt 且分得分令分分 πππππ因此21e=t 是()t V 在[]e ,1上的唯一的极小值点,再由问题的实际意义知必存在最小体积,故21e=ξ是最小值点.分1五.(7分) 设t a b =,原不等式等价于()1,112ln >+->t t t t , 即等价于 ()()()分31,012ln 1 >>--+=t t t t t f()()()分101,11ln ,01 ='-+='=f tt t f f()1,0112≥≥-=''t t t t f ,且等号当且仅当1=t 时成立 分1因此()t f '单增,()()1,01>='>'t f t f 从而()t f 单增,()()1,01>=>t f t f ,原不等式得证.分2六.(7分)由题设知()10-='f , 分1 所给方程可变形()()()()()⎰=-++'+xt t f x f x x f x 00d 11两端对x 求导并整理得 ()()()()分1021 ='++''+x f x x f x这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分离变量法求得 ()分21e xC x f x+='-由于()10-='f ,得()()x f xx f C x,01e ,1<+-='-=-单减,而(),10=f 所以当0≥x 时,())1(1分 ≤x f ,对()01e <+-='-xx f x在[]x ,0上进行积分共 19 页 第 5 页()()分2e d e 1d 1e 00-0 xx t xtt t t f x f --=-≥+-=⎰⎰七.(7分) 记()()⎰-=xt t f x F 1d ,则()x F 在[]1,1-上可导,且()()分2011 ==-F F若()x F 在()1,1-内无零点,不妨设()()1,1,0-∈>x x F()()()()0d sec d sec tan )(d tan d tan 0112112111111<-=-===⎰⎰⎰⎰-----x x x F x x x F x x F x F x x x x f 此矛盾说明()x F 在()1,1-内至少存在一个零点分2,0 x对()x F 在[][]1,,,100x x -上分别使用Rolle 定理知存在()()1,,,10201x x ∈-∈ξξ,使得()(),021='='ξξF F 即 ()()分3021 ==ξξf f共 19 页 第 6 页东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称 工科数学分析 考试学期 04－05－2（期末） 得分适用专业 上课各专业 考试形式闭 考试时间长度 150分钟4.下列结论正确的是 [ ]3．下列反常积分发散的是 [ ](A)⎰-11sin 1dx x (B)⎰--11211dx x(C)⎰∞+-02dx e x (D) ⎰∞+22ln 1dx x x共 19 页 第 7 页(A) 若],[],[d c b a ⊇,则必有⎰⎰≥badcdx x f dx x f )()((B) 若|)(|x f 在区间],[b a 上可积,则)(x f 在区间],[b a 上可积 (C)若)(x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有⎰⎰+=TTa adx x f dx x f 0)()((D)若)(x f 在区间],[b a 上可积,则)(x f 在),(b a 内必定有原函数. 三．（每小题7分，共35分） 1． 设)(x y y =满足222=-+xyye y x ,求曲线)(x y y =在点)2,0(处的切线方程.2． 计算积分⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++116|)2ln(|1sin dx x x x 3．计算积分⎰-dx xx 222 4.计算反常积分⎰∞+13arctan dx x x5.设⎰-=221)(x t dt e x f ,求⎰10)(dx x xf .四.(7分) 求微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧-='=+=+''21)0(,1)0(sin y y x x y y 的解.五.(8分)在区间],1[e 上求一点ξ,使得图中所示阴影部分 绕x 轴旋转所得旋转体的体积最小。

1 / 407-08-3高数B 期中试卷参考答案08.4.11一.单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分) 1.级数1(1)l n nn ∞=⎛⎫-+ ⎝∑ （常数0a >） [ ] (A ) 绝对收敛 (B ) 条件收敛 (C ) 发散 (D ) 敛散性与a 的取值有关 2. 下列反常积分发散的是 [ ] (A)1x ⎰(B) 21x ⎰ (C )321d l n (1)x x -⎰ (D) 1x +∞⎰ 3. 已知直线1412:235x y z L -++==与2113:324x y z L ---==-，则1L 与2L [ ] (A )相交 (B ) 异面 (C ) 平行但不重合 (D ) 重合4. 设函数21,01()0,10x x f x x ⎧+≤<=⎨-≤<⎩，01()(c o s s i n )2n nn a S x a n x b n x ππ∞==++∑， x -∞<<+∞，其中11()c o s d (0,1,2,)n a f x n x x n π-==⎰， 11()s i n d (1,2,)n b f x n x x nπ-==⎰，则()3S = [ ](A )12(B ) 1 (C ) 0 (D ) 2 二．填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分)5. 若23-a b 垂直于+a b，且=a ，则a 与b 的夹角为 ；6. 曲线22234x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转一周所成的曲面方程是 ；7. 曲线22222223520x y z x y z ⎧++=⎪⎨--=⎪⎩在y O z 面上的投影曲线方程是 ； 8. 设幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑在4x =处条件收敛, 则该幂级数的收敛半径为 ；9.幂级数210(1)(2)21nn n x n ∞+=--+∑的收敛域为 .2 / 4三. 计算下列各题(本题共4小题，每小题9分，满分36分) 10．求过点(1,2,1)且与直线21010x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩及直线201x y z +==--都平行的平面方程.11．求过点(4,6,2)--，与平面62310x y z --+=平行，且与直线113325x y z -+-==-相交的直线方程.12．将函数()2()ln 23f x x x =+-展开为3x -的幂级数，并求收敛域.3 / 413. 求幂级数121(1)n n n nx ∞-=-∑的和函数，并指明收敛域.四（14）．（本题满分9分）求母线平行于向量+j k ，准线为22411x y z ⎧-=⎨=⎩的柱面方程.五（15）。

东南大学成贤学院考试卷 （A 卷）课程名称 高等数学B(下)期中 适 用 专 业 工科各专业考试学期 10 - 11 - 3 考 试 形 式 闭 卷 考 试 时 间 长 度 120 分钟 学 号 姓 名 得 分题 号 一二三四五得 分一、选择题(每题 3 分,共 5 题)1、点 M (−3,−7,− 1) 关于（ ）的对称点是 M ′ 3(,7,− 1)。

（A ） 原点 O ； （B ） Oxy 平面； （C ） z 轴； （D ）平面 x + y − z = 0。

2、直线 = = 与直线 = = 的夹角是（ ）。

1 − 4 12 − 2 − 1 （A ） ； 6 （B ） ； 4 （C ） ；3 （D ） 。

43、为使二元函数 f (x , y ) = 当 (x , y ) 沿着某一特殊路线趋于 0(,0) 时的极限为 2， 这条路x − y线应选择（ ）。

（A ） y = ；（B ） y = ；（C ） y =4、二元函数 z = 3(x + y ) − x 3 − y 3 的极值点是（（A ） 1(,− 1)； （B ） (− 1,1)； （C ） (− 1,− 1)；； （D ） y = 。

）（D ） 0(,0)。

5、设 D = {(x , y ) 1≤ x ≤ 2 , 3 ≤ y ≤ 4 }，则积分的值为（ ）。

4（A ） ln ；3 （B ） ln ； 2 （C ） ln ； 3（D ） ln 。

二、填空题(每题 3 分,共 5 题)1、直线 = = 在 Oxy 平面上的投影直线为 。

- 1 -x = 0 sin(xy )(x ,y )→0(,0)2 −。

4、设z = x y ，则 dz 1(,1) = 。

5、交换积分次序： ∫dy∫yf (x , y )dx = 。

三、计算题(每题 7 分,共 5 题)1、已知某球面的中心在 3(,−5,2) 且与平面 2x − y +3z = 3相切，求球面方程。

1 / 407-08-3高数B 期中试卷参考答案08.4.11一.单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分) 1.级数1(1)l n nn ∞=⎛⎫- ⎝∑ （常数0a >） [ ] (A ) 绝对收敛 (B ) 条件收敛 (C ) 发散 (D ) 敛散性与a 的取值有关 2. 下列反常积分发散的是 [ ] (A)31r c t a n d 1x x x +∞+⎰(B) 21x ⎰ (C )321d l n (1)x x -⎰ (D) 1x +∞⎰ 3. 已知直线1412:235x y z L -++==与2113:324x y z L ---==-，则1L 与2L [ ] (A )相交 (B ) 异面 (C ) 平行但不重合 (D ) 重合4. 设函数21,01()0,10x x f x x ⎧+≤<=⎨-≤<⎩，01()(c o s s i n )2n n n a S x a n x b n x ππ∞==++∑， x -∞<<+∞，其中11()c o s d (0,1,2,)n a f x n x x n π-==⎰， 11()s i n d (1,2,)n b f x n x x nπ-==⎰，则()3S = [ ](A )12(B ) 1 (C ) 0 (D ) 2 二．填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分)5. 若23-a b 垂直于+a b，且=a ，则a 与b 的夹角为 ；6. 曲线222340x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转一周所成的曲面方程是 ；7. 曲线22222223520x y z x y z ⎧++=⎪⎨--=⎪⎩在y O z 面上的投影曲线方程是 ； 8. 设幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑在4x =处条件收敛, 则该幂级数的收敛半径为 ；9.幂级数210(1)(2)21nn n x n ∞+=--+∑的收敛域为 .2 / 4三. 计算下列各题(本题共4小题，每小题9分，满分36分) 10．求过点(1,2,1)且与直线21010x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩及直线201x y z +==--都平行的平面方程.11．求过点(4,6,2)--，与平面62310x y z --+=平行，且与直线113325x y z -+-==-相交的直线方程.12．将函数()2()ln 23f x x x =+-展开为3x -的幂级数，并求收敛域.3 / 413. 求幂级数121(1)n n n nx ∞-=-∑的和函数，并指明收敛域.四（14）．（本题满分9分）求母线平行于向量+j k ，准线为22411x y z ⎧-=⎨=⎩的柱面方程.五（15）。

东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）课程名称 高等数学期中 考试学期X X -X X -3得分适用专业考试形式闭卷考试时间长度 150分钟一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1．2244lim x y x y x y →∞→∞+=+ ； 2． 设(,)()zxyz z x y z f t dt ==⎰由方程确定，其中f 连续，则 dz =；3．设(2),Re z Ln i z =-= 则 , Im z =；4．曲面231(1,2,0)z xy z e --=在点处的法线方程为 ； 5．交换积分次序：12201d (,)d d (,)d y yy f x y x y f x y x -+=⎰⎰⎰⎰二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）1．设曲线C 为圆周221x y +=，则曲线积分22(4)Cx y x ds +-=⎰[ ](A) 1 (B) 3- (C) 2π (D) 6π-2. 设{(,)1,11}D x y y x x =-≤≤-≤≤，则 [ ](A)20Dx dxdy =⎰⎰ (B) 34(3)0Dy x dxdy +=⎰⎰(C)ln(0Dx y dxdy +=⎰⎰ (D) (sin cos )0Dy x dxdy +=⎰⎰ 3. 二次积分sin 20d (cos ,sin )d f πϕϕρϕρϕρρ⎰⎰可以写成 [ ](A) 10d (,)d y f x y x ⎰(B) 100d (,)d y f x y x ⎰ (C)11d (,)d x f x y y ⎰⎰(D) 10d (,)d x f x y y ⎰4. 以下表述正确的是 [ ](A) 若(,)f x y 在点00(,)x y 处存在偏导数，则00lim (,)x x y y f x y →→ 一定存在；(B) 若复变函数()f z 在点0z 处解析，则()f z 在点0z 的某个邻域内必然连续； (C) 若(,)z f x y =在点00(,)x y 处存在偏导数,x y f f ，则(,)z f x y =在该点处必可微； (D) 以上表述皆不正确。

共 7 页 第 1 页东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）（共4页第1页）课程名称高等数学（B ）期中考试学期X -3 得分适用专业 选学高数（B ）的各专业 考试形式闭卷考试时间长度 120分钟一、 填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1．设{}{}1,4,5,1,1,2==a b ，若()()λλ+⊥-a b a b ，则λ= ； 2．函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的方向导数的最大值是 ；3．曲线22390x z y ⎧+=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程为 ；4．曲线22222241644x y z x y z ⎧+-=⎨++=⎩在xOy 平面上投影曲线的方程为 ； 5．幂级数()2124nnn x n ∞=-∑的收敛域为 。

二．选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分） 6．级数()1(1)1cos 0n n n λλ∞=⎛⎫--> ⎪⎝⎭∑常数 [ ]（A ） 绝对收敛；（B ）条件收敛；（C ）发散；（D ）敛散性与λ的取值有关. 7．已知两直线12412113::235324x y z x y z L L -+++--====-和，则1L 与2L [ ] （A ） 相交； （B ）异面； （C ）平行但不重合； （D ）重合.8．设二元函数(,)z x y =在点(),x y 处可微，下列结论不正确的是 [ ]（A ） (),f x y 在点(),x y 连续；（B ）(),f x y 在点(),x y 的某邻域内有界； （C ） (),f x y 在点(),x y 处两个偏导数()(),,,x y f x y f x y 都存在； （D ）(),f x y 在点(),x y 处两个偏导数()(),,,x y f x y f x y 都连续.共 7 页 第 2 页9．设函数2(),f x x =101,()sin ,nn x S x bn x π+∞=≤<=∑而,x -∞<<+∞其中 （第2页）102()sin d ,(1,2,...),n b f x n x x n π==⎰则12S ⎛⎫-= ⎪⎝⎭[ ](A) 12-(B) 14- (C) 14 (D) 12三．计算下列各题（本题共5小题，每小题7分，满分35分）10．求点()4,1,2A -到直线50240x y z x z -++=⎧⎨+-=⎩的距离。

模板资料 资源共享东 南 大 学 考 试 卷课程名称 高等数学A 、B （期中） 考试学期 10-11-2得分适用专业工科类考试形式 闭卷考试时间长度 120分钟一.填空题（每个空格4分，本题满分24分） 1．0111x x x→+--=2．设3sin (12),0(), 0x x x x f x ae x ⎧⎪+>=⎨⎪≤⎩在0x =处连续,则a = 6e ； 3．设()arctan xf x e =，则微分2()1xxe dx e df x =+4．设2010(2010)()cos ,2010)!(0f x x x f ==则；5．()y y x =是由方程21yy xe =-所确定的隐函数，则(0)y '= 2e - ；6．曲线332216x y +=在点(4,4)处的切线方程为8x y +=。

二.单项选择题（每小题4分，本题满分12分）7．当20,sin ln(1)x x ax x bx →--时与是等价无穷小，则 [ A ](A ) 11,6a b ==-(B ) 11,6a b == (C) 11,6a b =-=- (D ) 11,6a b =-= 8．函数1arctan21()sin2x x f x x ππ-=的间断点 [ D ] (A ) 都是可去间断点 (B ) 都是跳跃间断点(C ) 都是无穷间断点 (D ) 分别是可去间断点，跳跃间断点和无穷间断点 9． 设()f x x a =在的邻域内有定义，则()f x x a =在可导的一个充分条件是[ D ] (A ) 1lim ()()h h f a f a h→+∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭存在； (B ) 0(2)()limh f a h f a h h→+-+存在；学号 姓名模板资料 资源共享(C ) 0()()lim2h f a h f a h h →+--存在； (D ) 0()()lim h f a f a h h→--存在三.计算题（每小题8分，本题满分32分）10． 计算极限10lim 1xx x e +→⎛⎫+ ⎪⎝⎭e =11. 求极限22212lim 12n n n n n n n n n →∞+++⎛⎫+++⎪+++⎝⎭32=12．设函数()y y x =由参数方程32arctan 3x t t t y t=-⎧⎪⎨=-⎪⎩所确定，求22,dy d y dx dx . 2222(1)1, 1t t t t +=+- 13. 写出函数()ln f x x x =在1x =处带有Lagrange 余项的三阶Taylor 公式．2343112()(1)(1)(1)(1) 12!3!4!f x x x x x x ξξ=-+---+-，在与之间. 四(14).（13分）设,a b 都是实常数，0b <，定义sin ,0()0, 0a b x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩，回答下列问题，并说明理由。