全等三角形推理拔高经典题目
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截长补短、倍长中线1、已知：如图， AD 、BE 是△ABC 的高，AD 和EB 的延长线相交于H ， 且BH=AC. 求证：AD=DH -BC2、如图，四边形ABCD 中，BE 平分∠ABC 交CD 于E ，且DE=CE ，AB=AD+BC ， 求证：AD ∥BC ．3、已知：如图，AD 是△ABC 的中线，AB=AE ，AC=AF ，∠BAE=∠FAC=90°. 试探究线段AD 与EF 数量和位置关系.HED CBEFEDC BA4、若△ABC 中，AB=AC ，∠ABC=∠ACB ，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使BD=AB ，设CE= a ，CD= b ，求b a , 之间的数量关系5、如图，D 是△ABC 的BC 边上一点且CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线． 求证：∠C=∠BAE ．6、如图，△ABC 中，∠A=2∠B ，AB=2AC ，求证：∠C=90°.E D CB ACBA全等训练1.已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=o ，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB DC ，（或它们的延长线）于点M N ，． 当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），易证BM DN MN +=． （1）当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），线段BM DN ，和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．2. △ABC 中, AB = AC = BC, △DCB 中, DC = DB, ∠BDC = 120, E 、F 分别为AB 、AC 上的点,∠EDF =60. 求证: EF = BE + CF ．3．已知Rt ABC △中，90AC BC C D ==︒，∠，为AB 边的中点，90EDF ∠=°，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ． （1）当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S +=△△△．（2）当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．B B M BC N CNM C N M 图1 图2图3 AA A D D D ACBDEF4. 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α，且60°<α<120°．P 为△ABC 内部一点，且PC=AC ，∠PCA=120°—α．（1）用含α的代数式表示∠APC ，得∠APC =______________；（2）求证：∠BAP=∠PCB ； （3）求∠PBC 的度数．5．数学课上，张老师提出问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=︒， 且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE=EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM=EC ， 易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF ”仍然成立，你认为 小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF ” 仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．6．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且∠DCB=∠EBC=12∠A ，BE 、CD 交于点O.求证：BD=CE.ADFCGE B图1ADF CGE B图2ADFC GB图3B CPA BOADECF M P E D CBA 7．如图，在△ABC 中，∠C =2∠B ，∠1=∠2，求证：AB =AC +CD ．8.已知：如图， AF 平分∠BAC ，BC ⊥AF ， 垂足为E ，点D 与点A 关于点E 对称，PB 分别与线段CF ， AF 相交于P ，M ．（1）求证：AB ＝CD ；（2）若∠BAC ＝2∠MPC ，请你判断∠F 与∠MCD 的数量关系，并说明理由．9.如图1，直线l 1:y=3x+3与x 轴交于B 点，与直线l 2交于y 轴上一点A ，且l 2与x 轴的交点为C （1，0）. （1）求证:∠ABC=∠ACB.（2）如图2,过x 轴上一点D(3 ,0)作DE ⊥AC 于E,DE 交y 轴于F 点，交AB 于G 点，求Ｇ点坐标.（3）如图3，将△ABC 沿x 轴向左平移，AC 边与y 轴交于一点P(P 不同于A 、C 两点)，过P 点作一直线与AB 的延长线交于Q 点，与x 轴交于M 点，且CP=BQ,在△ABC 平移的过程中，线段OM 的长度是否发生变化？若不变，求其长度；若变化，确定其变化范围.y xO C B A 图1FOD yxE G CB A图210. 如图，已知AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF ． 求证：AC=BF ．11. 已知: 如图, 在△ABC 中, AB = AC , D 为△ABC 外一点, ∠ABD = 60,∠ADB = 9012∠BDC . 求证: AB = BD + DC12. 如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，AB=AC ，∠ABD =60°，过D 作 ED ⊥AD ，交AC 于点E ，恰有DE 平分∠BDC ．试判断线段CD 、BD 与AC 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． .A BCDE FE DB AE DB A13.已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，BC CD ⊥，AB BC =，120ABC =o ∠，60MBN =o∠， MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD DC ，（或它们的延长线）于E F ，． 当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时（如图1），易证AE CF EF +=．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请 给予证明；若不成立，线段AE CF ，，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．14.在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED=EC ，如图． 试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由．15.如图(1)，Rt △ABC 中，∠ACB=-90°，CD ⊥AB ，垂足为D ．AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F（1）求证：CE=CF ．（2）将图（1）中的△AD E 沿AB 向右平移到△A ’D ’E ’的位置，使点E ’落在BC 边上，其它条件不变， 如图（2）所示．试猜想：BE'与CF 有怎样的数量关系?请证明你的结论．图1 A B C D E F M N A BCD E F M NAB C D E F M N 图2图3图（1）图（2）16. 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O，\若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=12∠A．请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=12∠A．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．17.在四边形ABCP中，BP平分∠ABC，PD⊥BC于D，且AB+BC=2BD.求证：∠BAP+∠BCP=180o.18．已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC. （1）如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC；（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示．BOAD ECO BACB图1图2OB CA19.如图，在△ABC中，∠B=60°，∠A、∠C的角平分线AD、CE相交于F，求证：EF=DF20.在△ABC中，∠ABC＝100O，∠C的平分线交AB边于E，在AC边上取点D，使得∠CBD＝20O，连结DE.求∠CED的度数.ABCDEP。
