全等三角形经典例题
（全等三角形的概念和性质）
类型一、全等形和全等三角形的概念
1、全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC 和△A 1B 1C 1是全等(合同)三角形，点A 与点A 1对应，点B 与点B 1对应，点C 与点C 1对应，当沿周界A→B→C→A，及A 1→B 1→C 1→A 1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形(如图1)，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形(如图2)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是( )
（答案）B ；提示：抓住关键语句，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°，B 答案
中的两个三角形经过翻转180°就可以重合，故选B ；其它三个选项都需要通过平移或旋转使
它们重合.
类型二、全等三角形的对应边，对应角 类型三、全等三角形性质
3、如图，将长方形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，那么DAE
∠等于（ ）．A.60° B.45° C.30° D.15°
（答案）D ；（解析）因为△AFE 是由△ADE 折叠形成的，所以△AFE ≌△ADE ，所以∠FAE ＝∠DAE ，又因
为60BAF ∠=︒，所以∠FAE ＝∠DAE ＝90602
︒-︒
＝15°.
（点评）折叠所形成的三角形与原三角形是全等的关系，抓住全等三角形对应角相等来解题.
举一反三：（变式）如图，在长方形ABCD 中，将△BCD 沿其对角线BD 翻折得到△BED ，若∠1＝35°，则∠2＝________.
（答案）35°；提示：将△BCD 沿其对角线BD 翻折得到△BED ，所以∠2＝∠CBD ，又因为AD ∥BC ，所以∠1＝∠CBD ，所以∠2＝35°.
4、 如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 翻折180°形成的，若
∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠α的度数是_________.
（答案）∠α＝80°（解析）∵∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，设∠1＝28x ，∠2＝5x ，∠3＝3x ，
∴28x ＋5x ＋3x ＝36x ＝180°，x ＝5° 即∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°
∵△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 翻折180°形成的， ∴△ABE ≌△ADC ≌△ABC ∴∠2＝∠ABE ，∠3＝∠ACD
∴∠α＝∠EBC ＋∠BCD ＝2∠2＋2∠3＝50°＋30°＝80°
（点评）此题涉及到了三角形内角和，外角和定理，并且要运用全等三角形对应
角相等的性质来解决问题.见“比例”设未知数x 是比较常用的解题思路. 举一反三：（变式）如图，在△ABC 中，∠A :∠ABC:∠BCA ＝3:5:10，又
△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN 等于（ ）A ．1:2 B ．1:3 C ．2:3 D ．1:4
（答案）D ；提示：设∠A＝3x ，∠ABC ＝5x ，∠BCA＝10x ，则3x ＋5x ＋10x ＝18x ＝180°，x ＝10°.
又因为△MNC≌△ABC，所以∠N ＝∠B ＝50°，CN ＝CB ，所以∠N ＝∠CBN ＝50°，∠ACB ＝∠MCN ＝100°，∠BCN ＝180°－50°－50°＝80°，所以∠BCM：∠BCN＝20°：80°＝1：4.
（全等三角形判定一（SSS ，SAS ））
类型一、全等三角形的判定1——“边边边”
1、如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，求证：∠BAD ＝∠CAE.
(答案与解析）
证明：在△ABD 和△ACE 中，AB AC AD AE BD CE =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∴△ABD ≌△ACE （SSS ）∴∠BAD ＝∠CAE （全等三角形对应角相等）.
(点评）把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角
形的判定和性质. 要证∠BAD ＝∠CAE ，先找出这两个角所在的三角形分别是△BDA 和△CAE ，然后证这两个三角形全等.
举一反三：
(变式）已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.
(答案）证明：连接DC ， 在△ACD 与△BDC 中
()AD BC AC BD
CD DC ⎧=⎪
=⎨⎪=⎩
公共边
∴△ACD≌△BDC（SSS ）
∴∠CAD ＝∠DBC （全等三角形对应角相等）
类型二、全等三角形的判定2——“边角边”
2、
3、
举一反三：
(变式）已知，如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，并且
AE ＝1
2
（AB ＋AD ），求证：∠B ＋∠D ＝180°.
(答案）证明：在线段AE 上，截取EF ＝EB ，连接FC ，
∵CE ⊥AB ，∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°
在△CBE 和△CFE 中，CEB CEF EC =EC EB EF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪⎩
∴△CBE 和△CFE （SAS ）∴∠B ＝∠CFE
∵AE ＝1
2
（AB ＋AD ），∴2AE ＝ AB ＋AD ∴AD ＝2AE －AB
∵AE ＝AF ＋EF ，
∴AD ＝2（AF ＋EF ）－AB ＝2AF ＋2EF －AB ＝AF ＋AF ＋EF ＋EB －AB ＝AF ＋AB －AB ，即AD ＝AF
在△AFC 和△ADC 中(AF AD FAC DAC AC AC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
角平分线定义）
∴△AFC ≌△ADC （SAS ）∴∠AFC ＝∠D
∵∠AFC ＋∠CFE ＝180°，∠B ＝∠CFE.∴∠AFC ＋∠B ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°. 类型三、全等三角形判定的实际应用
4、如图，公园里有一条“Z 字形道路ABCD ，其中AB ∥CD ，在AB ，BC ，CD 三段路旁各有一个小石凳
E ，M ，
F ，且BE ＝CF ，M 在BC 的中点.试判断三个石凳E ，M ，F 是否恰好在一条直线上？Why ？
(答案与解析）三个小石凳在一条直线上
证明：∵AB 平行CD （已知）∴∠B ＝∠C （两直线平行，内错角相等）
∵M 在BC 的中点（已知）∴BM ＝CM （中点定义）
在△BME 和△CMF 中BE CF B D BM M C =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BME ≌△CMF （SAS ）∴∠EMB ＝∠FMC （全等三角形的对应角相等）
∴∠EMF ＝∠EMB ＋∠BMF ＝∠FMC ＋∠BMF ＝∠BMC ＝180°（等式的性质）∴E ，M ，F 在同一直线上
(点评）对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决. 由已知易证△BME ≌
△CMF ，可得∠EMB ＝∠FMC ，再由∠EMF ＝∠EMB ＋∠BMF ＝∠FMC ＋∠BMF ＝∠BMC ＝180°得到E ，M ，F 在同一直线上.
（全等三角形判定二（ASA ，AAS ））
类型一、全等三角形的判定3——“角边角”
1、如图，G 是线段AB 上一点，AC 和DG 相交于点E.请先作出∠ABC 的平分线BF ，交AC 于点F ；然
后证明：当AD∥BC，AD ＝BC ，∠ABC＝2∠ADG 时，DE ＝BF.
