第四章误差理论与水文测验误差分析

第四章误差理论与水文测验误差分析第一讲一、误差的基本概念科学是从测量开始的，对自然界所发生的量变现象的研究，常常需要借助于各种各样的实验与测量来完成。

由于受认识能力和科学水平的限制，实验和测量得到的数值和它客观真值并非完全一致，这种矛盾在数值上的表现即为误差。

人们经过长期的观察和研究已证实误差产生有必然性，即测量结果都具有误差，误差自始自终存在于一切科学实验和测量过程中。

在科学研究和实际生产中，通常需要对测量误差进行的控制，使其限制在一定范围内，并需要知道所获得的数值的误差大体是多少。

一个没有标明的误差的测量结果，几乎是一个没有用的资料。

因此，一个科学的测量结果不仅要给出其数值的大小，同时要给出其误差范围。

研究影响测量误差的各种因素，及测量误差的内在规律，对带有误差的测量资料进行必要的数学处理，并评定其精确度等，是水文测验工作中的又一项重要的工作。

二、真值和真误差由于受观测者感觉器官的鉴别能力，测量仪器精密灵敏程度，外界自然条件的多样性及其变化，以及目标本身的结构和清晰状况等，都直接影响观测质量，使观测结果不可避免地带有或大或小的误差。

一般将直接与观测有关的人、仪器、自然环境及测量对象这四个因素，合称为测量条件。

显然，测量条件好，产生的误差小；测量条件差，产生的误差大；测量条件相同，误差的量级应该相同。

测量条件相同的观测，称为等精度观测。

反映一个量真正大小绝对准确的数值，称为这一量的真值。

与真值对应，凡以一定的精确程度反映这一量大小的数值，都统称之为此量的近似值或估计值（包括测得值、试验值、标称值、近似计算值等），又简称估值。

一个量的观测值或平差值，都是此量的估值。

设以X表示一个量的真值，L表示它的某一观测值，Δ表示观测误差，则有：Δ= L – X其中：Δ是相对于真值的误差，称为真值误差，也称绝对误差。

真值通常是未知的，通常情况下真误差也无法获得。

只有在一些特殊情况下，真值有可能预知，如平面三角形三内角之和为180度；同一值自身之差为零，自身之比为1等。

三、误差分类测量误差按性质可分为以下三类：1．粗差由有关人员的粗心大意或仪器故障所造成的差错称为粗差，也称伪误差。

如测错、读错、记错、算错等等。

粗差是一种不该有的失误，应采取检测（变更仪器或程序）和验算（按另一途径计算）等方式及时发现并纠正。

提交的测量结果中不允许粗差存在，否则，就会造成严重的后果。

因此，粗差应在测量过程中及时发现并予以剔除。

2．系统误差由测量条件中某些特定因素的系统性影响而产生的误差称为系统误差。

同等测量条件下的一系列观测中，系统误差的大小和符号常固定不变，或仅呈系统性的变化。

对于一定的测量条件和作业程序，系统误差在数值上服从一定的函数性规律。

测量条件中能引起系统误差的因素有许多。

如由于观测者的习惯，误以为目标偏于某一侧为恰好，因而使观测成果带有的系统误差，称为人误差，是观测者的影响所致；又如，用带有一定误差的尺子量距时，使测量结果带有系统误差，属于仪器误差；再有，风向、风力、温度、湿度、大气折光等外界因素，也都可能引起系统误差。

系统误差常有一定的累计性，所以在测量结果中，应尽量消除或减弱系统误差的影响。

为达到这一目的，通常采取如下措施：（1）找出系统误差出现的规律并设法求出它的数值，然后对观测结果进行改正。

（2）改进仪器结构并制订有效的观测方法和操作程序，使系统误差按数值接近、符号相反的规律交错出现，使其在观测结果的中能较好的抵消。

（3）通过观测资料的综合分析，发现系统误差，在计算中将其消除。

3．偶然误差由测量条件中各种随机因素的偶然性影响而产生的误差称为偶然误差，偶然误差也称随机误差。

偶然误差的出现，就单个而言，无论数值和符号，都无规律性，而对于误差的总体，却存在一定的统计规律。

整个自然界都在永不停顿地运动着，即使看来相同的测量条件，测量条件也在不规则的变化，这种不断的偶然性变化，就是引起偶然误差的随机因素。

在一切测量中，偶然误差是不可避免的。

系统误差与偶然误差在一定条件下是可以相互转化的。

即在一定条件下是系统误差，而在另一种条件下又可能是偶然误差。

反之亦然。

如水准测量误差，在某一段可能是系统误差，但就整个测线来看，这种误差又变成偶然误差。

测量误差按形式和用途又分为：极限误差、平均误差、均方误差、允许误差、绝对误差、相对误差等，这种误差的定义在下列各节中应用时予以介绍。

偶然误差是水文测验误差研究的重点，因此下面专门讨论偶然误差的特性。

四、偶然误差的统计性质偶然误差是由无数偶然因素影响所致，因而每个偶然误差的数值大小和符号的正负都偶然的。

然而，反映在个别事物上的偶然性，在大量同类事物统计分析中则会呈现一定的规律。

例如在射击中，由许多随机因素的影响，每发射一弹命中靶心的上、下、左、右都有可能，但当射击次数足够多时，弹着点就会呈现明显规律，越靠近靶心越密；越远离靶心越稀疏；差不多依靶心为对称。

偶然误差具有与之类似的规律。

一般总认为偶然误差是服从正态分布的。

对于这一点，概率论中的中心极限定理给出了理论上的证明。

中心极限定理指出：若随机变量y 是众多随机变量x i ( i = 1、2……、n)之和，如果各x 相互独立，且对y 之影响均匀的小，则当n 很大时，随机变量y 趋于服从正态分布。

偶然误差正是这一类型的随机变量。

偶然误差表现有如下的规律：1．在一定测量条件下，偶然误差的数值不超出一定限值，或者说超出一定限值的误差出现的概率为零。

2．绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大。

3．绝对值相等的正负误差出现的概率相同。

这就是偶然误差的三个概率特性，或简称偶然误差三特征。

这三条特性，可简要概括为：界限性、聚中性及对称性，它们充分提现了表面上似乎并无规律性的偶然误差的内在规律。

掌握这一规律并加以运用，在本课程中是很重要的。

偶然误差第一特性表明，在一定的测量条件下，偶然误差的数值是有一定范围的。

因我们有可能根据测量条件来确定误差的界限。

显然，测量条件愈好，可能出现的最大偶然误差愈小；反之，则愈大。

偶然误差第二特性表明，偶然误差愈接近0，其分布愈密，这一特性对测量条件越好，也越相对明显和突出。

偶然误差第三个特性表明，正负偶然误差Δ的分布对称于0，故其密度函数f （Δ）必为偶函数，于是得偶然误差的数学期望E （Δ）= f(Δ)d Δ= 0这说明，偶然误差有相互抵消性，当误差个数足够多时，其算数平均值趋于0，即 ⎰∞∞-∆0n n lim n1i i =∆∞→∑=此式与（4—2）式在含意上是一样的，由此又知偶然误差的分布,即以其数学期望为对称中心，此中心常称作离散中心或扩散中心。

五、真值的统计学定义一个量的真值即准确反映其真正大小的数值。

由于自然界中的一切事物都是在不停地发展变化着，作为测量对象的任何一个量也不例外，它的真正大小也是随时变化的，固定的量如此，运动的量更是如此。

所以，一个量的真值，只能是指该量在观测瞬间或变化极微的一定时间段内的确切大小。

按照这一观点，一个量的真值是客观存在的，但是由于观测误差的不可避免，依靠观测所得到的，只能是某些量一定意义下的估值。

所以，真值一般是无法确知的理论值。

依照统计学观点，设以X表示一个量的真值，L表示此量仅含偶然误差的观测值，Δ表示对应的偶然真误差，则由（4—1）式取数学期望并顾及（4—2）式得X = E （L ）此式表明，一个量仅含偶然误差的观测值的数学期望，就是这一量的真值。

即为真值的统计学定义。

将（4—4）式代入（4—1）式，则得偶然误差的表达式Δ= L - E（L）由此可知，偶然误差间的相互差异与对应观测值之间的相互差异相同。

故观测值L与它所带有的偶然误差Δ具有类型一致的分布——正态分布。

且可看出，Δ就是L的中心化随机变量。

观测质量与误差的分布状况有着直接的关系，它们都取决于测量条件。

测量条件好，误差分布的离散度小，观测质量高。

测量条件差，则相反。

同等测量条件下，误差分布的离散度相同，此时所获得的测量结果，应视为有同等质量。

给出确定的数值，用以表示一定测量条件下测量结果的质量，即为精度评定。

质量好即精度高；质量差即精度低。

反映误差分布的离散程度的数值正可作为精度指标。

这就是说，标志精度的数值应经统计得出。

显然，只有将一定测量条件下所有可能出现的误差都计算在内，即从误差的总体分布中，才能得出反映这一测量条件下观测精度的真实数据。

这在实际工作中是不可能做到的。

现实可行的只能是通过对有限个观测误差的统计，即通过样本统计，得出代表一定测量条件下观测精度的估计数值。

所以精度评定这一工作又称精度估计。

常用的精度标准，有以下几种。

六、均方误差由概率论数理统计知，描绘随机变量离散度的特征值是方差。

随机变量与其数学期望之差的平方的数学期望，即定义为此随机变量的方差。

设以D（L）表示随机变量L的方差，则有由此，可以明显地看出：随机变量的全部取值越密集于其数学期望附近，则方差值越小；反之，方差值越大。

这里，方差反映的是随机变量总体的离散程度，又称总体方差或理论方差。

在测量问题中，当仅有偶然误差存在时，观测值L 的数学期望E （L ）即为真值，而方差的大小则反映了总体观测结果靠近真值的程度。

方差小，观测精度高；方差大，观测精度低。

测量条件一定时，误差有确定的分布，方差为定值。

代入Δ=L-E （L ）则得由方差定义可以推出 上二式表明，观测值L 及其偶然真误差Δ具有相同的方差，此方差即为偶然真误差Δ之平方的数学期望。

正态分布函数中，参数 的平方正是随机变量的方差。

此后即常以 2表示方差。

于是均可写成为了与随机变量的量纲一致，常以方差的算术平方根 代替方差的作用，称 为均方差。

由公式知，计算方差或均方差必须已知随机变量的取值总体，实际上是做不到的。

应用中，总是依据有限次观测计算方差的估计值，并以其算术平方根作为均方差的估计值，称之为中误差。

由此可知，在相同测量条件下的一组真误差平方中数的平方根即为中误差。

用m 表示中误差的估值，在实际应用中，通常用贝塞尔（Bessl ）公式计算中误差，式中n 为真误差 的个数。

七、平均误差一定测量条件下的偶然真误差绝对值的数学期望，称为平均差。

以θ代表平均误差，则实用中，也总是以其估计值t 来代替估计t 仍称为平均误差，“±”是习惯上添加的。

式中n 是误差个{}⎰∞∞--=-=dL L f L E L L E L E L D )())(())(()(22)()(2∆=E L D {})())(()(22∆=∆-∆=∆E E E D σσ)(22∆=E σ)(E 2∆=σσ112-∆±=∑=n m n i ii ∆⎰∞∞-∆∆∆=∆=d f E )()(θ∑=∆±=n i i n t 11数，n 愈大，此统计值就愈能代表理论值，当n →∞时，t =θ依上述定义，平均误差的大小同样反映了误差分布的离散程度，可以证明即同一测量条件下平均误差的理论值θ与均方差 存在 的关系，以相应估值代换值，则有平均误差t 与中误差理论的有关系为：t = 0.7979m八、或然误差若有一正数C ，使得在一定测量条件下的误差总体中，绝对值大于和小于此数值的两部分误出现的概率相等，则称此数值为或然误差。