[经济学模型] DSGE模型讨论之八——新凯恩斯DSGE的推导，模拟，频谱分析和参数估计（初级难度）这个帖子难度为初级。
此处下载note附件：BNK_corrected1.pdf (383.44 KB)这个新凯恩斯DSGE模型是根据Jordi Gali教材的第三章修改而来的。
包括了3个核心方程，如下图第一个是：Euler equation第二个是：New Keynesian Phillips Curve第三个是：Taylor Rule其中新凯恩斯菲利普斯曲线的推导最为复杂，最简化的版本都有至少40个步骤以上的推导。
Optimisation的方法我全部用的Lagrangian，没有用任何动态规划的内容。
推导模型和建立模型一样重要。
当你自己要做研究的时候，你往往要修改别人的模型，加入和减去一些成分，所以一般自己都要重新推导整个模型，如果你对benchmark（标尺）模型非常熟练，你才会知道什么地方可以添加新东西，什么地方添加新东西也没有意义（因为推导过程中那个部分会被消掉）。
在能够独立做研究之前，都是要熟悉推导很多个（如果你非要我给数字，我会说至少100个）标尺模型及变种版本，才会有能力建立和推导自己的模型.同时我做了最大似然估计和贝叶斯估计，用的数据是Euro area的GDP per capita, CPI 和 3 month interest rate。
这些数据都要经过处理才能喂给DSGE模型。
人均GDP要用先log difference，用AR(4)预测延长4期，回到未差分数据,然后HP滤波，剔掉trend。
然后三个时间序列都要demean，意思就是全部观测值减去均值。
这个根据是来自"Frisch-Waugh-Lovell theorm"。
然后做Spectral analysis（物理学上叫光谱分析）。
我是用IRIS工具箱做得，这个Matlab 工具箱是新西兰中央银行的一个项目，专门用来模拟和估计DSGE模型，学习门槛比Dynare 高很多，需要有一定的编程基础才能看懂代码。
同时这个工具箱比Dynare灵活程度高，debug 的功能很强，泛用性很高，可以当做时间序列工具箱和信号分析工具箱来用。
下面的图就是一个power spectrum（能量谱）的图。
这是output gap的spectrum，在不同的频率上有不同的高度，关于如何读图，在附件note里面有详细说明。
上下两根线，一红一绿，是confidence bounds，这是用bootstrapping做得模拟得到的，具体操作都是在Matlab的IRIS环境下做的，难度比较高，所这个note不方便展开讲具体操作。
另外一种能量谱叫做coherance，是两个时间序列都在傅里叶变换之后，在频域上突出联动性的一种图（物理学叫这个相干性）。
然后是IRF，这个IRF是来自demand shock，我给大家提供一个中文的范式解释：一个正单位向上的demand shock把demand推上均衡之后，supply，也就是y同时跟着上去，同时带来通胀压力，导致通胀高于均衡，所以中央银行提高利率试图把通胀拖回均衡位置。
最后一副图（note里面有很多图，我这里只选了几幅出来）这个图就是prior和posterior同时描在一张图上。
读这个图有个原则，就是prior和posterior既不能太近也不能太远。
太近说明data没有起作用，太远说明prior选得太差。
Dynare的code写在note的附录里面，大家可以自行试验。
关于DSGE求解和模型参数估计的一些认识(原创)其实DSGE最难的地方不在于模型的optimality condition的推导，也不在于寻找Saddle-path。
最难的还是在于参数估计，最大似然或者是贝叶斯估计。
我下面一条一条地写出来一些认识，希望和大家交流。
DSGE是宏观经济学的顶峰难度，不适合数学和经济学基础没有打好的同学，更加不适合自学。
这个行业里面一直以来都是老师带学生的传统，基本没有自学成才的例子，至少我没听说过。
所以要提醒大家，有导师的，要依靠导师，没有导师的要多跟别人交流学习。
1 . 动态规划是现代宏观的一部分数学基础，但是不是你们想象中那么重要。
不要以为学高级宏观就是一直在弄Dynamic programming，这个技术虽然不简单，但也怎么也算不上现代宏观或者DSGE的核心技术。
完全没有必要画大把的时间在这个上面，DSGE不依靠它而存在。
就目前的DSGE研究来看，用dynamic programming的地方就是对Euler equation分析求解用得比较多，其他地方基本都不用。
更别说Dynamic programming的数值模拟了，除了上课的时候用，真实研究里面基本不用。
2 . DSGE不是非要线性化才能搞，关键看你的目的是什么，如果你就是做模拟和impulse response，你没有必要自己动手去对数线性化，Dynare可以帮你做。
但是要知道一点，我们对付“线性动力系统”的知识远远比“非线性动力系统”认识要深和宽泛。
非线性动力系统对付起来很麻烦，占用大量的计算时间，并且准确性低，对初始条件非常敏感。
非线性微分方程组里面一个重要话题就是混沌理论，用在气象学上面的一个著名例子就是“蝴蝶效应”。
如果你学过研究生级别的微分方程课程，就应该知道非线性微分方程一般我们都要做泰勒级数一次展开，其实DSGE的线性化本质思想也是来自于那里。
3 . 和所有动力一样，一个线性系统必须要stable solution，我们才能预测和模拟。
linear rational expectation模型求解之后找到一个stochastic difference equation system 被叫做policy and transition function。
这个系统是描述整个DSGE模型动态性的一个终极解释，所有endogenous variables都会沿着一个saddle-path（鞍部线）移动。
在微积分上面我们知道有一种saddle point，通过Hessian matrix的行列式检验之后可以发现，既不是最大值，也不是最小值，如图：这个红色的点，就是saddle point。
但微积分教材没有说一个关键的问题: 这个saddle point是一个equilibrium。
这是一个基本的物理学认识，如果这个曲面绝对光滑，无摩擦力，那么你放一个球在红色点的地方，它会静止在那个地方不动，因为这里是力量均衡点，重力和支撑力刚好相反方向G=F，一个垂直向上，一个垂直向下。
经济学的均衡思想最开始就是从物理上面学过来，因为市场供给和需求就是两种力量，如果相等了就是均衡了。
还有，看下面这个图，钟摆。
钟摆有两个equilibrium，这个图只画了一个，这个垂直向下的equilibrium叫做global equilibrium。
另外一个均衡点是，钟摆垂直向上，这个时候钟摆同样会静止不动，这个equilibrium就是saddle point equilibrium。
它对初始条件非常敏感，已经敏感到了初始条件必须是垂直向上（刚好就是equilibrium），才能保持均衡。
我上面之所讲这么多，就是要告诉你一点，DSGE的解实际上就是一个动态saddle point，所以我们叫做saddle path。
它往往存在于高纬度，所以我们一般不画图来解释。
saddle path 有时候对初始条件敏感，有时候不太敏感，这都要看情况，这里和李雅普诺夫的稳定性描述有点相似，但是saddle path并没有一个准确的basin of attraction的数学描述。
4 . DSGE的求解方法很多，Blachard-Kahn是行业标准，检查单位元之外的特征值数量是否与nonpredetermined variables的数量是否相等，其实这是个基本的差分方程常识，我在之前的帖子解释了很多次了。
BK方法的弱点在于出现了Singularity就没法解了，所以我们有其他方法Sims'，Klein's之类的，用泛用性很高的Schur decompostion或者QZ decomposition就解决问题了。
可以说，这是DSGE里面一个特别简单的版块，除了一些技术性知识之外，没有什么对智力有挑战的地方。
5 . Dynare是作为一个行业标准而出现的，每年的Dynare年会都立足于推广DSGE和Dynare 在现代宏观经济学上的使用。
你可以认为Dynare是个黑盒子，但它实际上还偏不是黑盒子。
因为大部分执行程序都是用Matlab编写的，如果你能看懂，那些"xxx.m"程序都是可以打开来学习的。
当然你不想把DSGE做为研究方向的话，只学习Dynare的应用就已经够难了，更别说看懂内部构造了。
所以对于大多数同学来说，Dynare仍然是保持着一种黑盒子的状态，包括对我来说一样。
6 . 同时因为state-space 模型是一种泛用性极高的线性系统，里面的transition equation刚好就是DSGE模型的解(transition function)，这个极其巧妙的特点是当年Sargent发现的，同时意识到了一点，只要能写成state-space 模型，就能推导出maximum likelihood的函数形式。
所以我们能用Kalman filter来数值模拟出maximum likelihood。
7 . 最大似然估计很容出现identification的问题，简单来说就是不同的两套参数，在同一种structural model的情况下回产生同一种probability distribution。
这样就导致似然函数的顶端是平的。
下面这个图是用Dynare做的ML估计，一个简单的新凯恩斯模型。
看Sigma的log-likelihood function，顶端是平的，这就一个identification问题。
所以必须要用prior来加权重，所以采用Bayesian有绝对优势。
8 . 关于Bayesian estimation，要说的就太多了。
这个帖子装不下，以后再写。
