伏安法测定电源电动势和内阻的误差分析

伏安法测E 、r 误差分析的三种方法一、公式法伏安法测电源的电动势和内阻实验通常有两种可供选择的电路，如图1、图2所示，若采用图1电路，根据闭合电路欧姆定律，由两次测量列方程有E U I r E U I r测测，=+=+1122解得E I U I U I I r U U I I 测测，=--=--2112211221若考虑电流表和电压表的内阻，应用闭合电路欧姆定律有：E U I U R r E U I U R rV V 真真，=++⎛⎝ ⎫⎭⎪=++⎛⎝ ⎫⎭⎪111222解得E I U I U I I U U R E r U U I I U U R r V V真测真测，=---->=---->21122112122112即测量值均偏小。

若采用图2电路，若考虑电流表和电压表的内阻，应用闭合电路欧姆定律有E U I r R E U I r R A A 真真，=++=++122()()解得E I U I U I I E r U U I I R r A 真测真测，=--==---<2112211221二、图象法为了减少偶数误差，可采用图象法处理数据：不断改变阻器的阻值，从伏特表、安培表上读取多组路端电压U 和电源的电流I 的值，然后根据多组U 、I 值画出电源的U —I 图象，图线在纵轴上的截距就是电源的电动势E ，图线的斜率就是电池的内阻r 。

图1电路误差来源于伏特表的分流，导致电源电流的测量值I 测（即安培表的示数）比真实值偏小，I I UR V 真测=+（U 为伏特表的示数，R V 为伏特表的内阻）。

因对于任意一个U 值，总有I I 真测>，其差值∆I I I UR V =-=真测，随U 的减小而减小；当U ＝0时，△I＝0。

画出U I 测测-图线AB 和修正后的电源真实U I 真真-图线AC ，如图3所示，比较直线AB 和AC 纵轴截距和斜率，不难看出E E r r 测真测真，<<。

伏安法测电源电动势和内阻的误差分析三法详解王守平(中央民族大学附属中学海南陵水分校ꎬ海南陵水５７２４００)摘㊀要:误差分析是实验的重要环节ꎬ目前高中学生对实验误差分析的认识相对比较模糊ꎬ甚至有错误.本文分别从定性分析㊁定量分析两个维度对伏安法测量电源电动势和内阻的误差进行分析ꎬ使学生明晰如何选择测量电路.关键词:误差分析ꎻ伏安法ꎻ图像法中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１６－０１２２－０３收稿日期:２０２３－０３－０５作者简介:王守平(１９７４.９－)ꎬ男ꎬ山东省安丘人ꎬ硕士ꎬ高级教师ꎬ从事高中物理教学研究.０引言伏安法测电源电动势和内阻的误差分析是教师教学和学生学习的难点.两种不同接法的电路造成的系统误差不同ꎬ结论比较容易记忆ꎬ但推导过程相对比较复杂.学生往往只记住结果ꎬ记不住甚至看不懂推导过程ꎬ但如果只记住结果的话ꎬ时间长了容易记混ꎬ而且如果不懂得其中的原理的话ꎬ对于两种实验电路的选择也会出现困难ꎬ因此笔者总结了三种不同的推导方法ꎬ给出超详细的推导过程ꎬ争取让基础一般的同学也能看得懂ꎬ也可供教师做教学参考.１推导方法首先ꎬ我们要清楚本实验可供选择的两种电路ꎬ如图１所示ꎬ我们称之为电流表外接电路(相对电源)ꎬ后文中简称为外接法.如图２所示ꎬ我们称之为电流表内接电路(相对电源)ꎬ后文中简称为内接法.图１图２１.１方法一:替代法１.１.１外接法由Ｅ测＝Ｕ＋Ｉｒ测得Ｕ＝－ｒ测Ｉ＋Ｅ测①由Ｅ真＝Ｕ＋(Ｉ＋ＵＲＶ)ｒ真２２１得Ｅ真＝Ｕ＋Ｉｒ真＋ＵＲＶｒ真Ｅ真＝Ｕ(１＋ｒ真ＲＶ)＋Ｉｒ真即Ｅ真＝Ｕ(ＲＶ＋ｒ真ＲＶ)＋Ｉｒ真则Ｕ＝－ＲＶｒ真ＲＶ＋ｒ真Ｉ＋ＲＶＲＶ＋ｒ真Ｅ真②在①②两式中ꎬＵ㊁Ｉ的含义是相同的ꎬ故两式中对应的斜率和截距相同ꎬ可相互替代ꎬ即ｒ测＝ＲＶｒ真ＲＶ＋ｒ真ꎬ可见ꎬ内阻的测量值其实是其真实值和电压表内阻的并联值ꎬ故有ｒ测<ｒ真ꎬ且当ｒ真≪ＲＶ时误差很小.同时Ｅ测＝ＲＶＥ真ＲＶ＋ｒ真ꎬ故有Ｅ测<Ｅ真ꎬ且当ｒ真≪ＲＶ时误差很小ꎬ由于一般的干电池的内阻很小ꎬ因此ꎬ测一般干电池的电动势和内阻时采用外接法.１.１.２内接法由Ｅ测＝Ｕ＋Ｉｒ测得Ｕ＝－ｒ测Ｉ＋Ｅ测①由Ｅ真＝Ｕ＋Ｉ(ｒ真＋ＲＡ)得Ｕ＝－(ｒ真＋ＲＡ)Ｉ＋Ｅ真②同理ꎬ在①②两式中ꎬＵ㊁Ｉ的含义是相同的ꎬ故两式中对应的斜率和截距相同ꎬ可相互替代ꎬ即ｒ测＝ｒ真＋ＲＡꎬ可见ꎬ内阻的测量值其实是其真实值和电流表内阻的串联值ꎬ故有ｒ测>ｒ真ꎬ且当ｒ真≫ＲＡ时误差很小.同时Ｅ测＝Ｅ真ꎬ即电动势的测量值没有系统误差ꎬ由于一般的干电池的内阻很小ꎬ不能用这种内接法ꎬ但当电池的内阻很大时ꎬ如水果电池ꎬ可以用这种方法.１.２方法二:解析法１.２.１外接法Ｅ测＝Ｕ１＋Ｉ１ｒ测①Ｅ测＝Ｕ２＋Ｉ２ｒ测②得ｒ测＝Ｕ１－Ｕ２Ｉ２－Ｉ１③Ｅ测＝Ｕ１Ｉ２－Ｕ２Ｉ１Ｉ２－Ｉ１④Ｅ真＝Ｕ１＋(Ｉ１＋Ｕ１ＲＶ)ｒ真⑤Ｅ真＝Ｕ２＋(Ｉ２＋Ｕ２ＲＶ)ｒ真⑥解得内阻测量值和真实值的关系:ｒ测＝ＲＶｒ真ＲＶ＋ｒ真ꎬＥ测＝ＲＶＲＶ＋ｒ真Ｅ真１.２.２内接法Ｅ真＝Ｕ１＋Ｉ１(ｒ真＋ＲＡ)⑦Ｅ真＝Ｕ２＋Ｉ２(ｒ真＋ＲＡ)⑧ｒ测＝ｒ真＋ＲＡꎬＥ测＝Ｅ真１.３方法三:图像法１.３.１外接法实验得到的电压表的读数Ｕ和电流表的读数Ｉ之间的关系图像ꎬ即Ｕ－Ｉ图像ꎬ如图３中实线所示ꎬ由于电压表的读数Ｕ就是该电路的路端电压ꎬ无误差ꎬ但由于电压表的分流作用ꎬ使得电流表的读数Ｉ不是流过电源的干路电流Ｉ真ꎬ它们的关系是Ｉ真＝Ｉ＋ＩＶꎬ因此图３中的图线偏离真实ꎬ导致电动势和内阻的测量存在误差ꎬ可对图线进行修正ꎬ在图线上任取一点Ｂꎬ它的坐标为(ＩＢꎬＵＢ)ꎬ其中ＵＢ是准确值ꎬ这时流过电压表的电流ＩＶ＝ＵＢＲＶꎬ可求出Ｉｖꎬ过ＩＢ＋Ｉｖ作竖直线ꎬ与ＵＢＢ的延长线交于Ｂᶄ点ꎬＢᶄ点即Ｂ点的真实位置.由于Ｕ＝０时ꎬＩｖ＝０ꎬ此时Ｉ真＝Ｉꎬ可知:图线的横截距Ｉｍ也是真实图线上的横截距ꎬ连接Ｉｍ和Ｂᶄ并延长与纵轴交于一点ꎬ此纵截距就是电动势的真实值Ｅ真ꎬ两图线比较可得ꎬＥ测<Ｅ真ꎬｒ测<ｒ真.图３３２１误差有多大呢?下面推导误差的具体大小:过Ｅ测点的水平线与Ｅ真㊁Ｉｍ的连线交于Ｃ点ꎬ线段Ｅ真Ｃ的大小表示当Ｉ测＝０时通过电压表中的电流ＩＶ０ꎬ因此ＩＶ０＝Ｕ测ＲＶꎬ由于三角形Ｅ真Ｅ测Ｃ与三角形Ｅ真ＯＩｍ为相似三角形ꎬ故有:Ｅ真－Ｅ测Ｅ真＝ＩＶ０Ｉｍꎬ又由于Ｉｍ＝Ｅ测ｒ测ꎬ故有:Ｅ真－Ｅ测Ｅ真＝Ｕ测ＲＶＥ测ｒ测＝ｒ测ＲＶ可得:Ｅ真ＲＶ－Ｅ测ＲＶ＝Ｅ真ｒ测移项得:Ｅ真(ＲＶ－ｒ测)＝Ｅ测ＲＶꎬ求得:Ｅ测＝ＲＶ－ｒ测ＲＶＥ真①又由于ｒ测＝Ｅ测Ｉｍꎬ将①式代入得:ｒ测＝ＲＶ－ｒ测ＲＶＥ真Ｉｍ再将ｒ真＝Ｅ真Ｉｍ代入得:ｒ测＝ＲＶ－ｒ测ＲＶｒ真移项得:ｒ测ＲＶ＝ＲＶｒ真－ｒ测ｒ真求得:ｒ测＝ＲＶｒ真ＲＶ＋ｒ真再将ｒ测＝ＲＶｒ真ＲＶ＋ｒ真代入①式得:Ｅ测＝ＲＶ－ＲＶｒ真ＲＶ＋ｒ真ＲＶＥ真＝(１－ｒ真ＲＶ＋ｒ真)Ｅ真＝ＲＶＲＶ＋ｒ真Ｅ真即Ｅ测＝ＲＶＲＶ＋ｒ真Ｅ真１.３.２内接法由于电流表的读数就是干路电流ꎬ无误差ꎬ但由于电流表的分压作用ꎬ使电压表的示数不是电路的路端电压Ｕ真ꎬ它们的关系是Ｕ真＝Ｕ＋ＵＡꎬ故图４中的实线所示图线偏离真实ꎬ导致电动势和内阻的测量存在误差ꎬ可对图线进行修正ꎬ在图线上任取一点Ｄꎬ它的坐标为(ＩＤꎬＵＤ)ꎬ其中ＩＤ是准确值ꎬ这时电流表两端的电压ＵＡ＝ＩＤＲＡꎬ可求出ＵＡꎬ过纵轴上ＵＤ＋ＵＡ的点ꎬ作一条与横轴平行的直线ꎬ与ＩＤＤ所在的竖直线交于Ｄᶄ点ꎬＤᶄ点即为Ｄ点的真实位置.当Ｉ＝０时ꎬＵＡ＝０ꎬ此时电压表的测量值和真实值相等ꎬ因此图线上的纵截距也是真实图线上的纵截距ꎬ统一用Ｅ来表示ꎬ连接ＥＤ两点并处处延长交横轴于一点Ｉｍ真ꎬ图线ＥＩｍ真就是真实图线ꎬ可知电动势Ｅ测＝Ｅ真ꎬ无误差.内阻ｒ测>ｒ真.图４综上所述ꎬ通常情况下ꎬ利用电流表外接实验电路ꎬ电动势和内阻的测量值均小于真实值ꎬ但误差小ꎻ而电流表内接实验电路ꎬ电动势的测量值不存在系统误差ꎬ而且内阻的测量值大于真实值会产生很大的误差.故伏安法测电源电动势和内阻的实验电路常采用电流表外接电路.参考文献:[１]保罗 齐泽维茨ꎬ等.物理原理与问题[Ｍ].钱振华ꎬ沈珊雄ꎬ徐在新ꎬ译.杭州:浙江教育出版社ꎬ２００８.[２]陈忠.伏安法测定电源电动势和内阻的误差分析[Ｊ].中学理科园地ꎬ２０１２(０６):６４－６５.[３]张小创.测量电源电动势和内阻实验误差分析[Ｊ].数理化学习(教育理论版)ꎬ２０１３(０３):４.[４]朱伟华.伏安法 测定电源的电动势和内阻 的系统误差分析与消除[Ｊ].中国教育技术装备ꎬ２００９(１６):１８５－１８６.[责任编辑:李㊀璟]４２１。

伏安法测电动势和内阻的误差分析
1.安培表的内接法
如图176所示：设电源电动势和内电阻的测量值分别为εc 和r c 。

E c = U + I r c = U + I （R A + r ）
因为电流表的电阻一般远大于电源的内阻，可以认为内电阻的测量值远大于真实值。

所以，测出的电源内电阻的相对误差非常大。

因为 E c = U + I r c = U + I （R A + r ）=E 真
所以，测出的电源电动势就等于真实值。

2 安培表的外接法 如图177所示：
令外电路电阻趋近于无穷大（相当于断路）：电压表的示数即认为电源的电动势的测量值E c 。

E c =E 真 -E 真 V R r r +=E 真V
V R r R + E c ＜E 真 相对误差δ= V
c R r r +=-εεε真 因为 R v 远大于r ，所以相对误差很小。

由于E c = U + I r c
E 真 = U + （I + U / R V ） r 得到：真εεc =V
c R Ur Ir U Ir U +++ = V
V R r R + ，则 r c =V c R r r r r r +=- 所以测量电源内电阻的相对误差δ=
V V R r R +因为 R v 远大于r ，所以相对误差很小。

比较以上两种电路，安培表内接时，虽然电动势的测量值较准确，但内阻的测量值误差太大，故此电路不大采用。

安培表外接时，虽然电动势和内电阻的测量值都有误差，但误差很小，所以常常采用。

关于电源电动势与内阻的几种测量方法及误差分析黎城一中物理组一、伏安法选用一只电压表与一只电流表与滑动变阻器,测出两组U 、I 的值,就能算出电动势与内阻。

1 电流表外接法 1、1 原理如图1-1-1所示电路图,对电路的接法可以这样理解:因为要测电源的内阻,所以对电源来说用的就是电流表外接法。

处理数据可用计算法与图像法:(1)计算法:根据闭合电路欧姆定律Ir U E +=,有:测测r I U E 11+= 测测r I U E 22+=可得:122112I I U I U I E --=测 1221I I U U r --=测(2)图像法:用描点作图法作U-I 图像,如图1-1-2所示:图线与纵轴交点坐标为电动势E ,图线与横轴交点坐标为短路电流rEI =短,图线的斜率的大小表示电源内阻IUr ∆∆=。

1、2 系统误差分析由于电压表的分流作用,电流表的示数I 不就是流过电源的电流0I ,由电路图可知I <0I 。

【1】计算法:设电压表的内阻为V R ,用真E 表示电动势的真实值,真r 表示内阻的真实值,则方程应修正为:真真r R U I U E V ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=,则有:r R U I U E V ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=11真 r R U I U E V ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=22真 图1-1-2I 短图1-1-1解得:测真E R U U I I I U I U E V >----=21121221 , 测真r R U U I I U U r V>----=211221可见电动势与内阻的测量值都小于真实值。

【2】图像修正法:如图1-1-3所示,直线①就是根据U 、I 的测量值所作出的U -I 图线,由于I <I 0,而且U 越大,I 与I 0之间的误差就越大,即VV R UI =随着电压的减小而减小,而电压表的示数U 就就是电源 的路端电压的真实值U 0,除了读数会有误差外,可以 认为U ＝U 0,经过修正后,直线②就就是电源真实值的 U -I 图线,由图线可以很直观的瞧出: 真测E E <,真测r r <。