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定积分在物理学中的应用

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定积分的应用

定积分的应用

定积分的应用定积分是微积分的重要概念之一，它在许多实际问题的求解中起着重要作用。

本文将介绍一些定积分的应用，并探讨它们在不同领域中的具体应用情况。

1. 几何学中的应用在几何学中，我们经常需要计算曲线与坐标轴之间的面积。

通过使用定积分，可以轻松解决这个问题。

以求解曲线 y = f(x) 与 x 轴之间的面积为例，我们可以将其划分为无穷多个宽度非常小的矩形，然后将这些矩形的面积相加，最终得到曲线与 x 轴之间的面积。

这个过程可以通过定积分来表示，即∫[a,b] f(x) dx，其中 a 和 b 分别是曲线的起始点和终止点。

2. 物理学中的应用在物理学中，定积分广泛应用于求解各种与物理量有关的问题。

例如，在动力学中，我们可以通过计算物体的位移和速度的定积分来求解物体的加速度。

同样地，在力学中，定积分可以用于计算物体所受的力的功。

这些应用都需要将物理量表示成关于时间的函数，并使用定积分来求解相关问题。

3. 经济学中的应用经济学也是定积分的应用领域之一。

在经济学中，我们经常需要计算一段时间内的总收益或总成本。

通过将这段时间划分为无数个非常小的时间段，然后计算每个时间段内的收益或成本，最后再将这些值相加，我们可以用定积分来表示这段时间内的总收益或总成本。

这种方法在经济学中有着广泛的应用，例如计算企业的总利润等。

4. 概率统计学中的应用在概率统计学中，定积分可以用于求解概率密度函数下的某个区间的概率。

在概率密度函数中，曲线下的面积表示了该事件发生的概率。

通过将概率密度函数在某个区间上的定积分，我们可以得到该区间内事件发生的概率。

这种方法在概率论和数理统计中具有重要的应用，例如计算正态分布下的概率，或者计算随机变量的期望值等。

综上所述，定积分在几何学、物理学、经济学和概率统计学等各个领域都有着重要的应用。

无论是计算面积、求解物理量、计算总收益还是计算概率，定积分都提供了一种有效的数学工具。

通过理解和掌握定积分的应用，我们可以更好地解决实际问题，并深入研究各个领域中的相关理论。

定积分在物理学上的应用

定积分在物理学上的应用

详细描述
热量传递是热力学中的基本过程，包括热传 导、热对流和热辐射。在这些过程中，热量 传递的速率通常与温度梯度、物质属性以及 边界条件等因素有关。定积分可以用来求解 这些因素对热量传递速率的影响。
热力学第一定律的推导
总结词
定积分在推导热力学第一定律中具有重要应用，通过能量守恒原理和热力学基本方程， 可以建立热力学第一定律的数学表达式。
详细描述
在推导电磁感应定律的过程中，我们需要考虑磁场的变化对导体中电子运动的影响。通过定积分，我们可以计算 出导体中的电动势，从而理解电磁感应现象的本质。定积分的应用使得我们能够准确地描述和预测电磁感应现象 。
04
定积分在热学中的应用
温度分布的计算
总结词
定积分在计算温度分布问题中具有广泛应用，通过求解偏微分方程，可以得到物体内部和表面的温度 分布情况。
此外，定积分还在相对论中的质能关系推导、引力场中的时空几何结构分析等方面发挥着重要作用。
混沌理论中的分形结构描述
混沌理论是研究非线性系统中复杂行为和现象的学科，分形结构是混沌 理论中的重要概念。分形结构具有自相似性和无穷嵌套的特点，通常用 于描述复杂系统的结构和行为。
定积分在分形结构的描述中起到关键作用。通过定积分，可以计算分形 结构的维数和面积、体积等几何属性，从而更好地理解和描述混沌系统
VS
详细描述
磁场强度是由电流产生的，而电流分布又 是随空间变化的。通过使用定积分，我们 可以计算出任意形状导电物体在空间中任 意一点的磁场强度。这对于理解和预测磁 场的行为至关重要。
电磁感应定律的推导
总结词
电磁感应定律的推导过程中，定积分起到了核心作用，该定律描述了磁场变化时会在导体中产生电动势的现象。

高中数学选修2-2定积分在物理中的应用课件

高中数学选修2-2定积分在物理中的应用课件

4、 一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为3米，底半径为3米，池内盛满了水全部吸出，需作多少功？
解：建立坐标系如图
取x为积分变量，x [0,5]
取任一小区间[ x, x dx],
这一薄层水的重力为 9.8 32 dx
功元素为 dw 88.2 x dx,
5
w 0 88.2 x dx
88.2
所对应的薄层的体积用圆柱体体积代替,得到
0 x
x dx
Ry
x
新知探究
dV = πy2dx = π(R2 - x2 )dx.
由于将这一薄层水吸出是这一薄层水的重力在作功，设水的比重为 γ = 1, 所以功的元素为
dW = γπx(R2 - x2 )dx
(3) 求定积分：将满池水全部抽出所作的功为
W = R γπx(R2 - x2 )dx = π R x(R2 - x2 )dx = π R4
答：克服弹力所作的功为
. 1 kl2(J) 2
Q
l
F
新知探究
万有引力定律
两个质量分别为 m1 , m2 ，相距为 r 的质点间的引力
F
k
m1m2 r2
若要计算一细长杆对一质点的引力，此时由于细杆上各点与质点的距离是变化的，所以不能直接 利用上述公式计算.
新知探究
例3
设有一长为 l 质量为 M 的均匀细杆，另有一质量为 m 的质点和杆在一条直线上，它到杆
人教版高中数学选修2-2
第1章 导数及其应用
定积分在物理中的应用
课前导入
定积分的物理应用包括作功、水压力和引力等问题。本节仅给出作功、水压力和引力问题的例子. 定积分的物理应用包括变速直线运动作功、水压力和引力等.本节仅给出变速直线运动作功、水 压力和引力问题的例子.

定积分的应用于物理学

定积分的应用于物理学

定积分的应用于物理学定积分是微积分中一个极为重要的概念，它可以描述一个函数在一定区间内的面积。

除了数学上的应用之外，定积分在物理学中也有广泛的应用。

一、定积分在物理学中的应用1.速度和加速度在物理学中，速度和加速度是两个基本的物理量。

对于一个以某个加速度运动的物体，我们可以通过求解其速度关于时间的定积分来得到运动过程中的位移。

而得到位移后，我们还可以对它进行求导来获得速度和加速度的函数式。

2.质量和质心质量是物理学中另外一个基本的物理量，而质心则是一个系统的重心。

对于一个由若干个质点组成的系统，我们可以将每个质点的质量加起来，然后用质心的坐标来描述整个系统。

这个质心的坐标可以用各个质点坐标的定积分来求解。

3.力和功在物理学中，力是另一个基本的物理量。

对于一个物体在某个力场中做功，我们可以通过对力在某段距离上的积分来得到。

与此同时，我们也可以通过对某个物体所受多个力的叠加效应进行积分来得到最终的合力。

二、例子：牛顿第二定律牛顿第二定律是经典力学中的一个基本法则，它表明力等于物体质量乘以物体的加速度。

具体而言，我们可以用定积分来解决一个常见的牛顿第二定律问题。

假设一个物体受到一个恒定的力F作用，那么根据牛顿第二定律，我们可以得到以下方程：F = ma其中，a是物体的加速度，m是物体的质量。

为了求解这个方程，我们需要将其改写为以下形式：a = F/m这个定理告诉我们，当一个物体受到一个力的作用时，它的加速度是与它的质量成反比例的。

因此，我们可以用定积分来求解运动过程中的位移。

假设我们知道物体的初始速度v0和它所受的力F(t)关于时间t 的函数式，我们可以求出物体在某段时间内的加速度函数a(t)。

一旦我们知道了加速度函数，我们就可以将它关于时间的定积分求解出来，得到物体在受到力的作用下所走过的位移。

这个过程可以用以下公式来描述：x(t) = v0t + ∫0t a(t)dt其中，v0是物体的初始速度，a(t)是物体在受到力的作用下的加速度函数。

定积分在物理中的应用上

定积分在物理中的应用上
定积分的应用可以帮助我们更好地理解物体的运动规律，为解决物理问题 提供了重要的数学工具。
03
CHAPTER
动能与势能的定积分表示
动能的定积分表示
总结词
动能的定积分表示是物体在某段时间内通过的路径与该路径上的力的乘积的积分。
详细描述
根据牛顿第二定律，物体的动能为物体质量与速度平方的一半的乘积。在定积分形式下，动能的表示为 ∫F·dx，其中F是作用在物体上的力，dx是物体在该力作用下的位移。
瞬时加速度表示物体在某一时刻的速 度变化快慢，而平均加速度表示物体 在某段时间内速度变化的平均快慢。
速度与加速度的连续变化
在物理中，物体的速度和加速度通常都是随时间连续变化的。定积分可以 用来描述这种连续变化的过程。
通过定积分，我们可以计算物体在任意时间段内的速度和加速度的变化量， 以及物体在任意时刻的速度和加速度的大小。
详细描述
在热力学中，温度场是一个连续变化的物理量，它描述 了物体内部各点的温度分布。通过定积分，可以将温度 场表示为一个连续的函数，从而方便地计算物体内部各 点的温度值。
热量传递的定积分表示
总结词
热量传递的过程可以通过定积分来描述，包括热传导、热对流和热辐射等。
详细描述
热量传递是热力学中的重要过程，包括热传导、热对流和热辐射等。这些过程都可以通过定积分来描 述。通过定积分，可以计算热量传递的速率、方向和分布，从而更好地理解和控制热量传递的过程。
VS
详细描述
在匀速直线运动中，物体的速度是恒定的 ，因此物体的位移量可以通过速度与时间 的乘积来计算。定积分可以用来计算在一 段时间内物体的总位移量。
匀加速直线运动的定积分表示
总结词
定积分在匀加速直线运动中可以表示物体的 速度和位移量。

定积分在物理上的应用-文档资料

定积分在物理上的应用-文档资料
如 果 物 体 在 运 动 的 过 程 中 所 受 的 力 是 变 化 的 ， 就 不 能 直 接 使 用 此 公 式 ， 而 采 用 “ 元 素 法 ” 思 想 .
例 4 把一个带 q 电量的点电荷放在r 轴上坐标原点
物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原 点为 r 的地方，那么电场对它的作用力的大小为
端 面 上 所 受 的 压 力
2 2 P 2 x R x dx 0 R
2 2 2 2 R x d ( R x ) 0 R
2 2 2 3 2 3 R x R . 3 3 0


R
例 2 将直角边各为 a 及 2 a 的直角三角形薄板 垂直地浸人水中，斜边朝下，长直角边与水面 平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边 长，求薄板所受的侧压力．
连 线 方 向 ．
m 由 物 理 学 知 道 ， 质 量 分 别 为 距 为 1, m 2相
如 果 要 计 算 一 根 细 棒 对 一 个 质 点 的 引 力 ， 那 么 ， 由 于 细 棒 上 各 点 与 该 质 点 的 距 离 是 变 化 的 ， 且 各 点 对 该 质 点 的 引 力 方 向 也 是 变 化 的 ， 就 不 能 用 此 公 式 计 算 ．
1
功元素 dw [ r , r dr ] 取 任 一 小 区 间 ,
b
b
kq dr, 2 r
kq 1 1 1 kq 所求功为 w a 2 dr kq . r r a a b
如果要考虑将单位电荷移到无穷远处

w a
kq 1 kq dr kq . 2 a r r a
解 在端面建立坐标系如图

定积分在物理学上的应用

定积分在物理学上的应用
一、直径为 20厘米，高为 80 厘米的圆柱体内充满压强 为10牛厘米3 的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽 体积缩小一半，问需要作多少功？
二、一物体按规律x c t 3 作直线运动，媒质的阻力与 速度的平方成正比，计算物体由 x 0 移至x a 时，克服媒质阻力所作的功 .
三、有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10 米和 6 米，高为20 米，较长的底边与水面相齐.计算闸门 的一侧所受的水压力 .
七、 油类通过直油管时，中间流速大，越靠近管壁流 速越小，实验测定，某处的流速 v 与 流处到管子 中心的距离 r 之间 有关系式v k ( a2 r 2 ) ,其中 k 为比例 常数， a 为油管 半径.求通过油管的流 量（注：当流速为常量时，流量 = 流速 截面积）.
练习题答案
一、800 ln 2(焦耳).
四、半径为 r 的球沉 入水中，球的上部与水面相切， 球的比重与水相同，现将球从水中取出，需要作 多少功？
五、一块高为 a ，底为 b 的等腰三角形薄板，垂直地 沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄 板每面所受的压力 .
六、设有一半径为 R ，中心角为 的圆弧形细棒，其 线密度为常数 ，在圆心处有一质量为 m 的 质点 M ，试求这细棒对质点 M 的引力 .
o x Rx
故圆盘对y 轴的转动惯量为
细条质量:
I y 2
R x2
R
R2 x2 dx 4 R x2
0
R2 x22dxy dx
4 02 R4 sin2 t cos2 t d t
(令 x R sin t)
1 R4 1 M R2
4
4
(
M
R2
)
五、小结
1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤: (1) 先用微元分析法求出它的微分表达式 dQ 一般微元的几何形状有: 条、段、环、带、 扇、片、壳 等. (2) 然后用定积分来表示整体量 Q , 并计算之.

定积分在物理中的应用

定积分在物理中的应用

b
.
3
例题
例 1 一辆汽车的速度——时间曲线如图所示，求
汽车在这 1min 行驶的路程。 v/m/s
解：由速度－时间曲线可知：
3t
(0t 10)30 A
B
vt30
(10t 40)
-1.5t 90
(40t 60)
O
10
C t/s
40 60
10
40
60
S3 td t3d0 t( 1 .5 t 9)d 0t
0
10
40
2 3t21003t01400(4 3. t29t0)6 40 0135(m 04 )
二、变力沿直线所作的功
1、恒力作功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的过
程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且这力
的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移
动了距离 s时，力 F 对物体所作的功为W F s .
则变力F(x) 所做的功为:
b
W a F(x)dx
.
10
作 业:
P60 习题1.7
A组3，4 , 5 , 6
.
11
2、变力所做的功 问题：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并
且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x= b
点，则变力F(x) 所做的功为:F
y F(x)
b
W a F(x)dx
x
.
Oa
xi
b6
例题
例2:如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离
水平位置l 米处，求克服弹力所作的功． 解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的
需做功（A ）
A. 0.18J B. 0.26J C. 0.12J D. 0.28J

定积分在物理学上的应用

定积分在物理学上的应用

1.3 引力
例 4 设有一长度为 l、线密度为 的均匀细直棒，在其垂线上距棒 a 单位处有
一质量为 m 的质点 M，试计算该棒对质点 M 的引力．
解 取如图所示坐标系，使细棒位于 y 轴，质点 M 位于 x 轴，棒的中点为原点
O，由对称性知，引力在垂直方向上的分量为零，所以只需求引力在水平方向的分
G
amdy
(a2 y2 )
3 2
2Gml
a
1． 4a2 l2
高等数学
高等数学
1.1 变力沿直线所做的功
许多物理量的计算可以根据微元法思想，利用定积分计算解决．下面介绍 几个定积分在物理学上应用的实例．
从物理学知道，当物体在恒力 F 的作用下，沿力的方向做直线运动，将物 体移动了距离 s 时，力 F 所做的功为
W Fs ．
但在实际问题中，常常需要计算变力所做的功，下面我们通过举例来说明 如何计算变力沿直线所做的功．
W
5
88.2xdx
0
88.2
x2 2
5
0
1102.5
(kJ)
1.2 水压力
由物理学知识可知：在水深为 h 处点的压强为 p gh ，这里 是水的密度，如
果有一面积为 A 的平板水平地放置在水深 h 处，那么平板一侧所受的水压力为 F pA ．
如果这个平板铅直放置在水中，那么由于水深不同，平板上各点处的压强 p 也 不相等，所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算．
因有 F(0.05) 40 ，即 0.05k 40 ，故得 k 800 ．于是可得到 F(x) 800x ，
则功元素为
dW 800xdx． 于是，弹簧从 15 cm 拉长到 18 cm，所做的功为

定积分的物理应用

定积分的物理应用

定积分的物理应用在物理学中，定积分是一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域。

定积分可以用于求解某一物理量在给定范围内的总量、平均值、功率等问题，为理解和解决物理问题提供了强大的数学支持。

本文将探讨定积分在物理学中的几个典型应用。

一、质点运动中的位移和路径长度在物理学中，研究质点在空间中的运动是一项基础工作。

定积分可以用来计算质点在一段时间内的位移和质点沿着某一曲线运动的路径长度。

假设质点在一维坐标轴上运动，位移是计算质点所在位置与初始位置之间的距离差。

可以用定积分来描述质点在一段时间内的位移，其计算公式为：\[ s = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt \]其中，v(t)表示质点运动的速度函数，t1和t2表示计算位移的时间段。

路径长度是描述质点沿着某一曲线运动的总距离。

即使质点速度在不同位置的大小和方向都不同，也可以通过定积分来计算路径长度。

计算公式如下：\[ L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{[dx(t)]^2 + [dy(t)]^2 + [dz(t)]^2} \]其中，x(t)、y(t)、z(t)分别表示质点在x轴、y轴和z轴上的位置函数。

二、力学中的功和能量在力学中，定积分可以用来计算力学系统中的功和能量。

功是描述力对物体做功的量，可以通过定积分来计算。

在一维情况下，力对物体做功的公式为：\[ W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx \]其中，F(x)表示作用在物体上的力，x1和x2表示计算功的位置范围。

能量是物理系统的重要性质，也可以通过定积分来计算。

例如，在弹簧振子系统中，弹性势能可以用以下定积分表示：\[ E = \frac{1}{2} \int_{x_1}^{x_2} kx^2 dx \]其中，k表示弹簧的弹性系数，x1和x2表示弹簧伸缩的位置范围。

三、流体力学中的流量和质量在流体力学中，定积分可以用来计算流体在一定时间内通过某一截面的流量和质量。

定积分在物理学中的应用

定积分在物理学中的应用
( x 3)2 须作的微功 dw x ( y )dx x dx 9 3 w 0 x ( x 3) 2 dx 12750(千克重米）。 9
2
二、求物体之间的引力
问题：已知质量为m1、m2相距为r的两个质点间的 引力的大小为 F k m1m2 。 r2 当其中之一不是 质点时引力如何计算？ 解决办法： 微元分析法。
在[1,1]上的平均值。 解： 依题意有 2 1 1 x 2dx 1 ， 2 1 3 3 故得 。 3
例9 计算纯电阻电路中正弦 交流电i I m sin t
在一个周期内功率的平 均值。
2 解： 交流电的瞬时功率为 P Ri 2 RI m sin 2 t
二、物体之间的引力问题；
注意：只能解决平面问题。 三、求水压力； 注意：只能解决平板问题。 四、求函Q具有如下性质:
1、Q 对区间具有可加性； 2、部分量dQ f ( x )dx ( x (a, b))。
Q f ( x )dx
a b
14 10xdx 8 l 6
l
x x+dx
14 10m
6m
x
F 660 (2) 2×660ρ 10xdx
l 16(米）
例6
边长分别为a和b的矩形薄板，与液面 成 角， 斜沉于液体内部，一边平行于液面 且位于深h处，液体的密度为 ，求薄板 一面所受的液体压力。 解： 建立坐标系如图所示。 h o 取x到x dx的一小条面积， x 则在x处水深为h x sin b
.
x
l
于是
Fy k
l
2 2 (a 2 l
ym
2 2 (a 2 2 3 y2 )2

定积分在物理中的应用.ppt

定积分在物理中的应用.ppt

l 2
xdx
o x lx
2
W 2km l b dy a y 4y2 l2
数学分析
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8
3) 当质点位于棒的左端点垂线上时,
dFy
d
F
cos
k m
a
(a2
dx
x2
)
3 2
注意正负号
dFx
d
F
sin
k
m
(a
2
x dx x2
)
3 2
y a
Fy
k m a
l dx 0 (a2 x2 )32
2
例1.一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为
的液体 , 求桶的一个端面所受的静压力.
解: 建立坐标系如图. 所论半圆的
方程为
(0 x R)
利用对称性 , 静压力元素
dP 2 g x R2 x2 dx
o
x
y
xdx
端面所受静压力为
R
P R 2g x 0
R2
x2
dx
2g R3 x
在其上所作的功元
素为
dW F(x) dx
a x xdx b x
因此变力F(x) 在区间 上所作的功为
b
W a F (x) dx
数学分析
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10
例3. 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 一个单
位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) ,
求电场力所作的功 . 解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为
该棒对质点的引力. 解: 建立坐标系如图. 细棒上小段

定积分在物理中的应用

定积分在物理中的应用

探究:变力做功
如果物体在变力F(x)的作用下做直线运 动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从 xБайду номын сангаасa移动到x=b(a<b),那么如何计算变力 y F(x)所做的功W呢？ y=F(x)
f(b) f(a)
由”四步曲”能得到
W F ( x)dx
a
b
O
a
b
x
例题讲解：变力作功
例2 在弹性限度内，将一弹簧从平衡 位置拉到离平衡位置L米处，求克服弹 力所作的功.
0
10
40
60
t
（30＋60） 30 1350(m) 2 不是所有的路程题都适用定积分的几何 意义求解
练习1:现学现用 一物体沿直线以v=2t+3(t 的单位:s,v的 单位：m/s)的速度运动，求物体在3s~5s 间行进的路程。
方法一：s

2
5
3
(2t 3) dt 5 3
2
(t 3t )
3 3 2 1050 ( 60 90 60) ( 402 90 40) 4 4
1350(m)
小结 :做变速直线运动的物体所经过 答：汽车 1分钟行驶了 1350m. b 的路S, s v(t )dt (v(t ) 0)

a
例题讲解:变速直线运动的路程
1
1 3 1 3 (5 2 2 ) (5 1 1 ) 3 3 8 3
练习3:能力提升
一物体在变力F(x)=5-x2作用下，沿与 F(x)成300方向作直线运动，则由x=1运 4 3 动到x=2时F(x)作的功为（ (J ) ） 2 3 2 0 W (5 x ) cos30 dx F(x)

定积分在物理中的某些应用

定积分在物理中的某些应用

检疫
注册申请
条件：申办注册登记的出口动物饲养场，应具备独立法人资格， 不具独立法人资格的，由其拥有独立法人资格的上级主管单位
提出注册登记申请。 受理单位：所在地直属检验检疫机构。 所需材料及数量:申请注册时，需提交《申请表》和《企业法 人营业执照》复印件、饲养场平面图和彩色照片(包括场区全 貌、进出场区及生产区消毒通道、栏舍内外景、兽医室、发病 动物隔离区、死亡动物处理设施、粪便处理设施、隔离检疫舍 等)以及饲养管理制度和动物卫生防疫制度等资料，一式3份。 实施一场一证制度。同一企业所属的位于不同地点的饲养场应
W a F ( x)dx
2022年9月1日10时36分
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14
例8. 弹簧在拉伸过程中，需要的力 F (单位：N)与弹 簧的伸长量 s (单位:cm)成正比，即F=ks (k是比例常 数) 如果把弹簧由原长拉伸6cm，计算所做的功。 解： 当弹簧从x拉伸至x+dx，可认为外力近似于F=kx
O x
64g (kJ )
x+dx
x
2022年9月1日10时36分
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19
例13. 半径为R的球沉入水中, 球的上部与水面相切，球
的密度为1，现将球从水中取出,需作多少功？
解：建立坐标系如图所示。
x
相应于区间[x，x+dx]的球体中
的薄片(球台)的体积约为
R+x
dV (R2 x2 )dx
v =1吨/米3 ，于是受到的静压力 为 P 2vx 9 x2 dx 从而闸门受到的总压力为
3
o x
y
x dx
P
3
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数学与计算科学学院学年论文题目定积分在物理学中的应用姓名邓花蝶学号 **********专业年级 2012级数学与应用数学指导教师魏耿平2015年 9 月 1 日定积分在物理学中的应用——求刚体的转动惯量摘要众所周知，物理学是一门综合性极高的学科，我们在学习的过程中通常都会将课堂理论知识和实践活动有机的结合在一起，然而，在物理学中，我们通常都会遇到很多难题，比如解积分困难等。

因此当前我们在对物理学的学习中，就要将定积分应用到其中。

定积分是高等数学的重要组成部分，在物理学中也有广泛的应用。

微元法是将物理问题抽象成定积分非常实用的方法。

本文主要利用＂微元法＂的思想求物理学中几种常见均匀刚体的转动惯量。

关键词定积分；物理应用；微元法; 转动惯量；均匀刚体The application of definite integral in physics——For the moment of inertia of rigid bodyAbstractAs we all know, physics is a comprehensive high discipline, in the learning process We will usually make the classroom theoretical knowledge and practical activity of organic unifies in together, however, in physics, we often encounter some problems, such as the difficulty of solving integral. So in physics learning, we should apply definite integralto it. The integral is an important part of higher mathematics, they are widely used in physics. The differential method is a practical method that physical problems are abstracted integral.In this paper, using the ideas of "micro element method" to solve inertia of several common uniform rigid body in physics.Key wordsIntegral; physics application; differential method；rotational inertia ；uniform rigid body1 引言物理学中应用定积分法去解决实际问题是非常广泛而重要的，运用“数学微元” 的思想抽象成定积分去求解物理学相关的问题，是大学物理学教学的重难点， 不易被学生理解和掌握。

大学物理学中，刚体绕定轴转动的转动惯量要用到定 积分去解决问题。

转动惯量是刚体力学中一个较为重要的物理量。

刚体对转轴z 的转动惯量22z i iI m R R dm ==∑⎰对形状规则的常见均匀刚体，在计算中往往需要记忆它们的转动惯量表达式。

同时，这些刚体在形式上又有联系，它们的转动惯量表达式是否也有联系呢？ 如果答案是肯定的，那么我们只需记忆一两个转动惯量表达式，就可以在应用 中很方便地推出其他相关刚体的转动惯量。

2 几种常见的均匀刚体的转动惯量 2.1 圆环的转动惯量例2.1：设有一个半径为R 质量为m 的均匀圆环， （1）求圆环对通过中心与其垂直的转动惯量； （2）求圆环对直径所在轴的转动惯量.解：（1）如图1所示，在圆环上任取一质元，其质量 为dm dl λ=（λ为线密度，2mRλπ=）,dl 为圆弧元， 图1 该质元对中心垂直轴Z 的元转动惯量 22dJ R dm R dl λ== ，圆环对该轴的转动惯量为223202RJ dJ R dl R mR πλλπ====⎰⎰（2）如图2所示，将圆环分成无数个质点，设质点到Z 轴的 距离为a,质点质量为dm,其中θθπ==sin ,2md a R dm 所以该圆环的转动惯量为220J a dm π=⎰图2πθθπ==⎰2222sin 22md mR R2.2 圆盘的转动惯量例2.2： 设有一个半径为R 质量为m 的均匀圆盘，（1）求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量； （2）求圆盘对直径所在轴的转动惯量。

解：（1）整个圆盘对轴的转动惯量可看 成许多半径不同的同心圆环对轴的转动 惯量之和，圆盘质量面密度为2mRσπ=. 图3 在圆盘上取一半径为x ，宽度为dx 的细圆环，如图3所示，其圆面积2ds rdr π=,故该圆环的质量2dm ds r dr σπσ==，它对中心垂直轴Z的元转动惯量为232dJ r dm r dr σπ==，整个圆环的转动惯量为342011222RJ dJ r dr R mR πσσπ====⎰⎰ （2）如图4所示,整个圆盘对轴的转动惯量可看成许多平行y 轴的细条对轴的转动惯量之和，圆盘质量面密度为2mR σπ= .对应于[x,x+dx]的平行y 轴的细条，细条质量为2y dx σ， 关于y 轴的元转动惯量为 图4222dJ yx dx x σσ== ，故圆盘对y轴的转动惯量为24R RR J x x σσ-==⎰⎰422204sin cos R t tdt πσ=⎰ （令x=Rsint ）4221144m R mR R σπσπ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 2.3 圆柱体的转动惯量例2.3：设有一半径为R ，长度为L,质量为m 的均匀圆柱体， （1）求转轴沿圆柱体几何轴的转动惯量；（2）求转轴通过圆柱体中心与几何轴垂直的转动惯量. 解：（1）如图5所示，在圆柱中取薄圆柱形质量元dm,2dm rLpdr π=,2mR Lρπ=(体密度) 42322RL R J r dmL r dr πρπρ===⎰⎰将体密度代入，得212J mR =。

图5 （2） 如图6所示，设圆柱体由222x z R +=与,22LLy y =-=围成，设圆柱体的体密度为ρ，选取柱坐标，圆柱体中某一点到Z 轴的距离为22()J x y dv ρ=+⎰⎰⎰2222202(sin )LRL d rdr R y dy πρθθ-=+⎰⎰⎰2223222022sin LLRRL L d r dr dy d rdr y dy ππρθθρθ--=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰42324212R R L L ρπρπ=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅423412R LR L ρπρπ=+代入2mR Lρπ= 得22412mR mL J =+2.4 空心圆柱体的转动惯量例2.4：设有一内径为1R ，外径为2R ，长度为L,质量为m 的空心圆柱体， （1）求转轴沿空心圆柱体几何轴的转动惯量；（2）求转轴通过空心圆柱体中心与几何轴垂直的转动惯量. 解：（1）如图7所示，在空心圆柱体中取薄圆柱形质量元dm,2dm rLpdr π=，2221()m R R Lρπ=-（体密度）21442321()22R R L R R J r dmL r dr πρπρ-===⎰⎰将体密度代入，得22211()2J m R R =+ （2）如图8所示，设空心圆柱体由222212R x z R ≤+≤与,22LLy y =-=围成，设圆柱体的体密度为ρ，图7选取柱坐标，圆柱体中某一点到Z 轴的距离为则转动惯量为 22()J x y dv ρ=+⎰⎰⎰ 222222012(sin )LR L R d rdr R y dy πρθθ-=+⎰⎰⎰22112223222022sin LLR R L L R R d r dr dy d rdr yππρθθρθ--=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰44223212124212R R R R L L ρπρπ--=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅图8442232121()()412R R LR R L ρπρπ--=+代入2221()m R R Lρπ=-，得22212()412m R R mL J +=+2.5 细棒的转动惯量例2.5：、求质量为m ，长为L 的均匀细棒的转动惯量 （1）转轴通过棒的中心并与棒垂直 （2）转轴通过棒一端并与棒垂直 解：（1）如图9所示,先求转动惯量微元dl,为此考虑细杆上[x,dx]一段， 它的质量为mdx L，把这一小段杆设想为位于x 处的 一质点，它到转动轴距离为x ，于是得微元为 图9=2m dJ x dx L沿杆从-2L 到2L积分，得整个细杆转动惯量为 --===⎰3232222312LL LL m m x LJ x dx mL L L(2)如图10所示，由于棒上各质元对轴的距离x 我们采用微元法计算。

在棒上任取一质元，其长度为 dx ，距转轴O 的距离为x ，设细棒的线密度（即单位 长度的质量）为λ=mL，则该质元的质量为dm dx λ=该质元对中心轴的元转动惯量为22dJ x dm x dx λ==λλ====⎰⎰232201133LJ dJ x dx L mL 图10 2.6 球体与球壳的转动惯量例2.6 ：求半径为R ，质量为m 的均匀球体绕直径的转动惯量. 解：由转动惯量的定义出发，通过取质量微元的方法进行求解。

取球体 所绕的直径为z 轴，如图11所示,建立空间直角坐标系，该坐标系中在 点（x ，y ，z ）处任取一体积微元，该微元可近似看成一小立方体， 且可视为质点，则该体积元的体积dv=dxdydz ， 其质量dm dxdydz ρ=。

ρ为球的质量体密。

dz dydxr RZYXZR设该体积元到z 轴的距离为r ， 则该体积元绕z 轴的转动惯量为22dJ r dm r dxdydz ρ==，其中222r x y =+， 所以整个球体的转动惯量为22()J dJxy dxdydzρ==+⎰⎰⎰⎰222222222222)RR Z R Z y R R ZR Z yx y dxdydzρ-------=+⎰图11225mR =例2.7 ：求半径为R ，质量为m 的均匀球壳绕直径的转动惯量. 解：球壳质量面密度为球壳可被看作由许多小圆环构成24mRρπ=如图12所示,选取其中一小圆环考虑，该小圆环的质量2(sin )dm ds R Rd ρρπθθ==⨯⨯则该质元的转动惯量2(sin )dJ R dm θ=432sin R d πρθθ= 整个球壳的转动惯量4302sin J dJ R d ππρθθ==⎰⎰4302sin R d ππρθθ=⎰44cos 3(3cos )324R πθθπρ-=223mR =图12结论本文通过定积分法来解决物理学中常见的棘手问题，进而分析了怎样应用定积 分的“数学微元”思想来解决物理学问题的新思路。