湖水污染问题的数学建模与求解

水质污染处理数学模型水质污染处理数学模型摘要随着市场经济和现代工业的飞速发展，人类面临了直接危害人类生存的新问题――环境污染。

为了治理污染，提出治理污染的新方案，必须建立合理的数学模型来解决现实问题。

这是1个关于湖泊、河流水质污染处理的`数学模型，通过模型的建立与问题解决，能够较准确地分析并解决实际生活中的水质污染问题。

如何合理地解决湖泊、河流污染问题是1个非常切合实际的问题，本问题是目前1个热门的研究课题。

把此模型看成是1个单流入、单流出的系统，流入、流出的水流速度相同。

利用质量守恒定律可列出关于浓度变化的微分方程，通过求解此微分方程可得到模型所要求的某1时刻污染物的浓度。

本模型较好地解决了湖水污染处理问题，具有1定的经济效用和价值，能比较恰当地解决实际问题。

通过对问题的分析，得出湖水污染浓度的变化的结果。

在模型建设中采用了比较理想的求解方法，在实际中还是比较有指导意义的。

关键词微分方程；质量守恒定律；污染浓度AbstractAlong with the market economy and the present industry rapid development, the new question of the humanity facing - environmental pollution has directly harmed the human survival. In order to control the pollution and propose a new plan, we have to establish the reasonable model to solve the realistic problem.This is a mathematical model about processing water pollution of the lake and the rivers. Through the establishment of the mathematical model and the solution of the question, we can accurately analyze and solve the question of water pollution in practical life. This question is an extremely realistic question, how to reasonably solve the question of contamination about the lake and the rivers is a lively researched topic today. We regard as this model as the system with a sole entrance and a sole exportation. And the velocity of the inflow and the outflow are same. Using the law of conservation about the changing density we can list a differential equation, through solving this differential equation we can obtain a certain time pollutant density which the model requests . This model has solved the problem well, and it has certain economic utility and value. The model can quite appropriately solve the actual problem.Through the analysis of the question, we can obtain the result of changing concentration of the contaminant. We have used the quite ideal solution method in the construction of model, and the model has a certain guiding sense in practice.Key words Differential equation; Law of conservation of mass; Concentration of contaminant。

湖水污染问题摘要湖泊为人类提供了丰富的水资源，但也越来越受到各种各样的污染.本文首先在扩散速度无限大即污水流入湖水中后迅速与净水融合的假设前提下，综合考虑了污水注入、流出时的速度和浓度，运用微分方程建立模型。

问题一:我们分为两段时间进行考虑，第一部分即污染物发生泄漏到10:05 得到控制之间的45分钟，我们在参与模型变量连续、充分光滑的假设前提下运用湖水中污染物的改变量=流入污染-流出污染的平衡原理建立微分方程模型。

第二部分即在10：05之后事故得到控制，则此刻之后不会再有污水流入，我们根据污染物的改变量=—流出污染的平衡原理建立微分方程模型。

问题二：要解决湖水中污染物的浓度何时达到最大值，由分析可知在事故得到控制之前,即在10：05之前,湖水中污染物的浓度随时间不断的增加，在事故得到控制之后，随着污染物的流出，净水的注入湖中污染物的浓度会不断的下降，故在10:05时湖水中的污染物浓度达到最大值。

问题三：湖水中污染物的浓度何时达到安全水平,即求污染物浓度p(t)小于0.05％的时间，我们可根据问题一所建立的微分模型求解。

问题四:建立湖水污染浓度的变化趋势的预测模型，我们可以通过计算机模拟得到关键词：微分方程模型、平衡原理、扩散速度无限大一、问题的重述下图是一个容量为20003m的一个小湖的示意图(图一),通过小河A水以0.08sm3的速度流入，以相同的流量湖水通过B流出。

在上午9:20,因交通事故,一辆运输车上一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，在图中X点处注入湖中。

在采取紧急措施后，于上午10：05事故得到控制，但数量不详的化学物质T已泻入湖中，初步估计T的数量在53m至203m之间。

问题一:请建立一个数学模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化；问题二:估计湖水何时到达污染高峰；问题三:何时污染程度可降至安全水平(〈=0。

05％）;问题四:建立湖水污染浓度的变化趋势的预测模型；二、模型的假设1、不区分污染物只考虑湖水中污染物的浓度，系统视为单流入单流出系统；2、污染物流入湖中后能很快和湖水混合，即湖水的污染状况与任何局部水体的湖的位置无关;3、参与模型变量连续、充分光滑;4、湖的容积不变即湖水体体积不变（不考虑渗漏、降水等因素）；5、忽略微生物的自净过程，即流入湖中的污水只能随湖水的流出来净化；三、符号说明W：倾倒在x处得污染物的总量（3m）；v：污染物流入湖中的速率；ui（t）：表示t时刻湖水的流入速度；uo(t）：表示t时刻湖水的流出速度;pi(t）：表示t时刻流入的污染物的浓度;po (t）:表示t时刻流出的污染物的浓度;图一p （t ）：表示t 时刻湖水中污染物的浓度； V:表示湖水的体积；四、模型的建立与求解（一)问题一1.1.1问题分析:该问题要求湖水的污染程度随时间的变化，分析问题我们视此问题为单流入单流出系统（如图二所示），我们以秒（s)作为时间单位，在上午10：05事故得到控制前的（45*60)秒之内即0<t<45*60时间内，污染物流入湖中的平均速率v 0=60*45W3m /s,我们根据参与模型变量连续、充分光滑；忽略微生物的自净过程，即流入湖中的污水只能随湖水的流出来净化的假设前提，可知湖水中污染物的改变量=流入污染-流出污染1根据湖水中污染物的改变量=流入污染—流出污染的平衡原理，我们可 得：V[p （t+Δt ）— p(t)］=[ u i （t)* p i (t)— u o （t ）*p o （t ）]＊Δt两边同除以Δt,且取极限得：V ＊dtdp= u i (t ）＊ p i （t)- u o (t ）＊p o (t ） 即：dt dp =Vt p t u t p t u o i i )(*)()(*)(0- (1）1）由模型假设2“污染物流入湖中后能很快和湖水混合，即湖水的污染状况与任何局部水体的湖的位置无关”，可知在t 时刻湖水中污染物的浓度p （t ）和t 时刻流出的污染物的浓度p o (t ）相同,即p o (t)= p(t ）则(1）式变为：dt dp =Vt p t u t p t u i i )(*)()(*)(0- （2） 2)由题我们可知湖水的流入速度u i （t ）= 湖水的流出速度u o （t)= u o = 0.08s m 3， 则:dt dp =Vt p t p u i )]()([*0- （3） 3）t 时刻流入的污染物的浓度P i （t ）= v 0/ u o ，得:dt dp =V t p u v u o )](/[*00-=V v o -Vu 0＊p （t) （4） 利用常微分方程中的常数变易法,求（4）式的线性齐次微分方程的通解得：dt dp =-V u 0＊p 即：pdp=—V u 0*dt两边同时积分得：lnp=—Vu0*t+c 1, 则：p=c 2*eVt u *0-(c 1、c 2是任意常数）利用常数变易法令：p(t)=c （t)*e Vt u *0- （5）两边同时对t 求导得:dtt dp )(=c '(t)* eVtu *0-- Vu0＊c(t ）＊ e Vt u *0- （6）4）由方程(4）和（6)可得: c '（t)* e Vt u *0-- Vu0＊c(t ）＊ eVt u *0-=V v o -Vu0*p （t) （7）即：c '（t)＊ eV tu *0-=Vv oc '（t)= Vvo * eVt u *0积分得：c(t)= 00u v＊eVu t 0*+c （其中c 为任意常数) （8)5）由方程（5）和（8）可得：p(t ）= (00u v＊eVu t 0*+c)＊ eVt u *0-=0u v +c* e Vt u *0- （9)在t=0时刻时，即上午9:20时，由于此时刻刚刚在X 处发生事故，污染物还没有流入到湖水中，故此时湖水中污染物的浓度为0，即：p(0）=0;带入（9） 得:c=—u v 所以：p （t)= 00u v —0u v * eVt u *0- （10）1。

数学建模期末作业题一 河水污染问题如图是一个容量为32000m 的小湖，小河A 以310.1/m s -的速率向小湖注入河水，而小湖又以同样的速率通过小河B 流出，在上午9:20， 该地区发生交通事故，一个装有有毒化学物质的容器倾翻，在图中点X 处注入湖中，采取紧急措施后，于9:50分得到控制。

但数量不祥的有毒化学物质Z 流入湖中。

据估计Z 的量在35m 与320m 之间。

建立相应的模型来估计湖水受污染的程度随时间的变化函数关系并估计⑴湖水何时达到污染高峰；⑵何时污染可降至安全水平？(≤题二 选址问题考虑A,B,C 三地，每地都生产一定数量的原料，也消耗一定数量的产品（见下表），已知制成每吨产品需3吨原料，各地之间的距离为A —B ：150,km B —C ：200,km A —B ：100.km 又每万吨原料运输1km 的运价是5000元，每万吨产品运输1km 的运价是6000元，由于地区条件的差异，在不同地点设厂的生产费用也不同，问怎样在何处设厂，规模多大，才能使总费用最小，由于其它条件限制，在B 处建厂的规模不能超过5万吨。

题三 雇员的聘用问题某服务部门一周中每天需要不同数目的雇员：周一到周四每天至少50人，周五和周日每天至少需要80人，周六至少需要90人，现规定应聘者每周需连续工作5天，试确定聘用方案，即周一到周日每天需要聘用多少人，使在满足需要的条件下，所聘用的总人数最少。

如果周日的需要量由80增至90人，方案应该怎样改变？若全时雇员（一天工作8小时）可以通过临时聘用的半时雇员（一天工作4小时，且无需连续工作）来代替，但规定半时雇员的工作量不得超过工作总量的四分之一，又设全时雇员和半时雇员每小时的酬金分别为5元和3元，试确定聘用方案，使在满足需要的前提下，所付的酬金为最小。

题四 肿瘤问题肿瘤大小V 生长的速率与V 的a 次方成正比，其中a 为形状参数，01;a ≤≤而其比例系数K 随时间减小，减小速率又与当时的K 值成正比，比例系数为环境系数.b 设某肿瘤参数1,0.1,a b ==K 的初始值为2,V 的初始值为1,问⑴此肿瘤生长不会超过多大？⑵过多长时间肿瘤大小翻一倍？⑶何时肿瘤生长速率由递增转为递减？⑷若参数2/3a =呢？题五 油气田的开发问题油气田开发试验表明：准确预测油气产量和可开采储量，对石油工作者来说，始终是一项既重要又困难的工作. 1995年，有人通过对国内外一些油气田的开发资料，得出结论：油气田的产量与累积产量之比()r t 与其开发时间存在着半指数关系：()lg .r t A Bt =-根据某气田1957~1976年总共20个年度的产气量数据（如下表），建立该气田的产量预测模型，并将预测与实际值进行比较.10m.注：产量单位83要求：每位学生在上面五题中可以任选一题，最迟于17周的周二前上交作业.。

湖水污染问题一.问题提出下图是一个容量为2000m3的一个小湖的示意图，通过小河A水以/s的速度流入，以相同的流量湖水通过B流出。

在上午8:00，因交通事故，一辆运输车上一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，在图中X点处注入湖中。

在采取紧急措施后，于上午9：00事故得到控制，但数量不详的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z 的数量在5m3至20m3之间。

（1）请建立一个数学模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化；（2）估计湖水何时到达污染高峰；（3）何时污染程度可降至安全水平(<=%)。

二.模型假设1、湖水流量为常量，湖水体积为常量；2、流入流出湖水水污染浓度为常量三.问题分析分析：湖水在时间t时污染程度，可用污染度F（t）表示，即每立方米受污染的水中含有Fm3的化学污染物质和（1-F）m3的清洁水。

用分钟作为时间t的单位。

在0<t<60的时间内，污染物流入湖中的速率是Ｚ/60（m3*min-1），而排出湖外的污染物的速率是60*（m3*min-1）。

因为每立方流走的水中含有Fm3的污染物，而湖水始终保持2000m3的容积不变。

四.模型的建立湖水中含污染物的变化率＝污染物流入量－污染物排出量2000*(dF/dt)=Z/F(0)=0；2000F’=Z/2000F’+=Z/60F’+2000=Z/120000所以:P(t)=2000,Q(t)=Z/120000;y=[]=[（Z/120000）（2000/）*+C]=Z/432+C*又因为：F(0)=0所以：C=-Z/432所以：y=Z/432[1- ]求得以特解为：F（t）= Z/432[1- ]在0<t<60之间求t为多少时，F（t）最大。

显然是t=60时，污染达到高峰。

此时污染浓度为：F（60）=Z/432（1-）= *10-4Z然后污染物被截断，故方程为：2000*dF/dt=,F(t)=F（60）；当它达到安全水平时，即F（t）=%，可求出t=D。

中国传媒大学2010 学年第一学期数学建模与数学实验课程数学建模与数学实验题目Pristine湖污染问题的建模与求解学生姓名学号班级学生所属学院任课教师教师所属学院成绩Pristine湖污染问题的建模与求解摘要本文讨论了湖水污染浓度变化趋势的预测问题。

通过分析水流输入输出湖泊的过程，建立了湖水污染浓度随时间变化的含参变量的微分方程模型，在河水污染浓度恒定和自然净化速率呈线性关系的情况下，求得其精确解，带入具体数据得到结论：在PCA声称的河水污染浓度下，湖的环境不会恶化；在工作人员实地测得的河水浓度下，湖的环境将会恶化。

同时建立了计算机模拟模型，带入具体数值，运用时间步长法来仿真模拟了在湖水污染浓度稳定以前湖水每天的变化情况，输出自PCA建厂以来每年的湖水污染浓度，得到与微分方程模型相同的结论。

在全停产和半停产时，通过前面的两个模型可以计算湖水污染浓度在自然净化影响下的恢复到净化指标所需的年限。

并可得到结论：在半停产状态下，在选定的自然净化速率常数的约束下，只有当河水污染浓度降至原来的3.15%（自然净化速率呈线性关系），4.7%（自然净化速率呈指数关系），才有可能使河水在100年内恢复至0.001mol/l，然后给出整改建议。

一、问题重述Pure河是流入Pristine湖的唯一河流。

50年前PCA公司在此河旁建起一个生产设施并投入运行。

PCA将为处理的湖水排入河中，导致Pristine湖被污染。

PCA公司声称：已排放的废水的标准多年从未改变切不会对湖的环境有影响。

10L，流入（流出）的水流速度为149.1L/年。

现已知：Pristine湖的湖容量为15PCA公司声称河水污染浓度仅为0.001mol/L，自工厂以来没有改变过。

讨论下列问题：（1）建立数学模型用PCA提供的公开数据判断湖的环境是否会恶化；（2）以目前湖水污染浓度0.03mol/L，和河水污染浓度0.05mol/L为新数据判断湖的环境是否会恶化；二、模型的合理假设和符号系统2.1 模型的合理假设（1）降水量和增发量相等；（2）湖中流入量和流出量相等且一直未变；（3）污水量远小于河水注入量，且污水与河水混合均匀；（4）湖水混合均匀，且流入污水的扩散速度无限大；（5）湖内除Pure河外，无其他污染源；二三2.2 符号系统0ρ：河水污染浓度mol/L ；ρ：湖水污染物浓度mol/L ；V ：湖泊容量1510L ；c ：自然净化速率mol/（L 。

湖水污染问题Pure河是流入Pristine湖的唯一河流。

50年前PCA公司在此河旁建起一个生产设施并投入运行。

PCA将为处理的废水排入河中,导致了Pristine湖被污染。

PCA公司声称:已排放的废水的标准多年从未改变且不会对湖的环境有影响。

假设：1.假设降水量和蒸发量相等；2.湖中流入量和流出量相等且一直未变；3.湖水混合均匀；4.湖内无其它污染源。

已知:Pristine湖的湖容量为l159.114l年。

PCA声1010，流入(流出)的水流速度为/称河水污染浓度仅为0.001mol/l，自工厂开工以来没有改变过。

问题：1.在花费时间和经费去测试之前，建立数学模型用PCA提供的公开数据判断湖的环境是否会恶化。

2.派出野外工作人员测得目前湖水污染浓度为0.03 mol/l，再测得河水污染浓度为0.05 mol/l。

以新数据为依据考虑湖水污染问题的数学模型。

3.现在假设你是环保局的所聘请的高级顾问，请向你的雇主提交一份报告.内容包括:(1)在工厂停产(或半停产)条件下，湖水自然净化所需年限(净化指标为污染浓度不超过0.001 mol/l)；(2)为保护环境，对PCA进行整改的建议。

模型的建立1.假设1.假设降水量和蒸发量相等；2.湖中流入量和流出量相等且一直未变；3.湖水混合均匀；4.湖内无其它污染源。

假设1.2保证了湖的体积稳定，为V。

假设3保证了湖泊的中溶液是均一稳定的假设4保证了Pure河作为流入Pristine湖的唯一河流对Pristine湖中污染的决定性作用。

2.问题1由于PCA声称河水污染浓度仅为0.001mol/l，自工厂开工以来没有改变过。

我们姑且可以认为污染源的浓度为恒定的常量C。

通过生态环境物质守恒原理：积累量=输入量-输出量+生成量建立平衡过程模型由于假设湖内没有其他污染源，可以断定不存在生成量。

已知湖泊体积为V ，污染源的河水浓度为C ，流入和流出的体积为Vq ，湖泊内污染浓度为r （t ）则我们可以建立每年的污染积累量的模型：[r(n)-r(n-1)]V=CVq-r(a)Vq其中r(n)表示第n 年的湖泊污染浓度；n-1≤a ≤n ，r(a)表示在第n 年与第n-1年中的任意时刻的湖泊内污染浓度。

数学建模与数学实验课程设计学院数理学院专业数学与应用数学班级学号学生姓名指导教师2015年6月湖水的自我净化问题摘要问题：本题是一容积为V的大湖受到某种物质污染，从某时刻起污染源被切断，湖水开始更新，更新速率为r，建立求污染物浓度下降至原来的5%需要多长时间的数学模型问题。

模型：解决本问题需要用到微元法建模。

方法：假设在很小的时间内流出的湖水污染物浓度不变，然后利用湖水中污染物的变化量等于流出湖水的污染量建立等式关系，对该等式求导后得出一个微分方程，利用Matlab中dsolve函数解该微分方程。

结果：求得污染物浓度下降至原来的5%所需时间为398.3天。

一.问题重述1）背景资料与条件设一个容积为V （m 3）的大湖受到某种物质的污染，污染物均匀的分布在湖中。

若从某时刻起污染源被切断，设湖水更新的速率是r （m 3/天）。

试建立求污染物浓度下降至原来的5%需要多长时间的数学模型。

2）需要解决的问题美国密西根湖的容积为4871⨯109（m 3），湖水的流量为 3.663 959 132⨯1010（m 3/天），求污染中止后，污染物浓度下降到原来的5%所需要的时间。

二．模型假设1）假设一：湖水体积V 保持不变。

2）假设二：污染物始终均匀分布在湖中。

3）假设三：在很小的时间内污染物浓度不变。

三．分析与建立模型1）符号说明w(t):t 时刻湖水中污染物的浓度。

w(0):表示初始时刻湖水中的污染物浓度。

t :表示污染源切断后湖水更新的时间（单位：天）。

2）分析2.1假设的合理性分析如果湖水体积变化，那么题目就没法做了，因此这个假设是必要的且是合理的。

污染物始终均匀的分布在湖中，题目条件中已给出，所以此假设合理可靠。

在很小的时间内污染物浓度不变，这是利用微元法的思想，故假设的合理性毋庸置疑。

2.2模型的误差分析本模型的误差主要在数字的处理上，即保留几位的问题上，也就是说存在舍入误差，本题在最后结果中保留了一位小数。

基于递归数列的湖水污染浓度与时间函数关系的建模与求解材料成型及其控制工程 材料成型及其控制工程 材料成型及其控制工程摘要随着工业的不断发展，人们的生活水平不断提高，H 益恶化环境质量引起了 人们的广泛关注，越来越多的人意识到居住环境对健康生活的重要性!一个地区 被污染的程度往往由其被污染的时间的长短来直接体现。

在本模型屮，我们通过 递归数列的知识，建立一个数学模型来刻画湖水中污染浓度C 的随污染吋间11的雙 化关系，并通过Mathematic 软件绘岡出湖水污染浓度c 与污染时间n 二维函数图 象。

在模型的基础上，我们通过VC++语言编写程序，根据测得的湖水污染浓度c 的数据，通过VC++可视化软件推测湖水被污染的时间。

问题重述一个淡水湖受到上游化工厂污染影响。

化工厂的污水以一定流量a （立方米/ 天）进入湖屮且污染物质迅速均匀混合于湖水屮，湖水以同样流量a 流出从而湖 水体积b （立方米）一直保持不变。

湖水污染程度用每立方米湖水所含污染物质的 克数描述，称为污染浓度c （克/立方米）。

设化工厂的污水浓度为k （克/立方 米），试建立一个数学模型来刻画湖中污染浓度c 的变化。

要求写出解的表达 式并说明怎样利用模型推测湖水受到了多长时间的污染。

问题分析由题意可知，目的是建立一个模型来解决湖中湖水污染浓度C 随污染时间n 的变化关系，并根据建立的模型，通过测得的湖水的污染浓度c 来推测湖水被污 染的时间n 。

所以我们可以将此问题拆分成两个问题：问题一：湖水污染浓度c 与污染时间n 的函数变化关系； 问题二：利用建立的模型推测湖水被污染的时间；问题一中，我们可以从分别计算第一天、第二天、第三天的湖水污染浓度Q 、C2> 中，递归出一半的湖水污染浓度c 随污染时间n 的函数变化关系，在这个问题中，我们顺理成章的想到了通过利用递归数列的原理去寻找湖水污水浓度 c 与污染时间n 的一般函数关系。

问题二中，通过测得的湖水污染浓度c ，让人工去缩小区间、一一对应地寻 找湖水被污染的时间是比较困难，也不太现实，所以我们采用VC++编程的方法, 利用VC++语言编写程序，通过编写好的程序，按要求输入数据，VC++可视化软 件就会输出湖水被污染的时间。

......摘要在两种情况下分析湖水中的污染物，分别建立模型即理论模型和实际模型。

理论模型是根据伊利湖和安大略湖各自的污染物流入流出的关系建立污染物量关于时间的差分方程：伊利湖的污染物总量a n+10.62a n，安大略湖的污染物总量 b n6129.0323 0.62n7020.3360 0.87 n192.3077，b n在n时趋于一个定值 192.3077 ，这个定值就是安大略湖系统的平衡值；当 n35 时b n 245.95 安大略湖的污染程度减少到目前水平的10% ；当 3 n 1 是系统的污染物的量是一直增加的，当 20 n 3 系统的污染物量急剧减少，大约从n40开始系统的污染物量几乎保持不变。

实际模型中首先根据湖水的实际更新情况重新确定湖水流入和流出占湖水总量的百分数，又由于湖水中污染物的浓度时刻变化，所以用时间微元的方法对实际污染物流出的比例进行修正。

分析铝厂排放的污染物时，铝厂排放的污染物是赤泥，根据赤泥的物化性质利用重力沉降原理求得赤泥颗粒从湖面沉降到湖底的时间t ，把一年分成多份 t ，同时将铝厂每年向湖水中排放的污染物量25 单位按t分成多份，每一个单位时间铝厂排放到湖里的污染物量是q 0.3 单位，则安大略湖的湖水中将始终保持有0.3 单位的赤泥，其余的赤泥都将在湖底沉积。

综合安大略湖中赤泥和伊利湖流入的污染物的情况预测了未来十年内的情况。

模型中重力沉降原理指出颗粒的直径影响沉降速度间接影响赤泥的排出量直径越小排出量越大，同时直径是最可能实现改进的因素。

在直径小于 20um 时赤泥的排出量急剧增加。

为减少安大略湖的污染尽量把颗粒直径做小。

二、问题分析伊利湖的湖水每年有38% 的更新，湖水的更新引起湖内污染物量的变化。

假设流入伊利湖的湖水是不含有污染物的，而流出伊利湖的湖水又将携带污染物，那么伊利湖是一个没有污染物注入只有污染物排除的系统，污染物的量逐渐减少，根据污染物排除的情况获得伊利湖污染物量随时间变化的关系。

数学建模与数学实验课程设计学院数理学院专业数学与应用数学班级学号学生姓名指导教师2015年6月湖水的自我净化问题摘要问题：本题是一容积为V的大湖受到某种物质污染，从某时刻起污染源被切断，湖水开始更新，更新速率为r，建立求污染物浓度下降至原来的5%需要多长时间的数学模型问题。

模型：解决本问题需要用到微元法建模。

方法：假设在很小的时间内流出的湖水污染物浓度不变，然后利用湖水中污染物的变化量等于流出湖水的污染量建立等式关系，对该等式求导后得出一个微分方程，利用Matlab中dsolve函数解该微分方程。

结果：求得污染物浓度下降至原来的5%所需时间为398.3天。

一.问题重述1）背景资料与条件设一个容积为V （m 3）的大湖受到某种物质的污染，污染物均匀的分布在湖中。

若从某时刻起污染源被切断，设湖水更新的速率是r （m 3/天）。

试建立求污染物浓度下降至原来的5%需要多长时间的数学模型。

2）需要解决的问题美国密西根湖的容积为4871⨯109（m 3），湖水的流量为 3.663 959 132⨯1010（m 3/天），求污染中止后，污染物浓度下降到原来的5%所需要的时间。

二．模型假设1）假设一：湖水体积V 保持不变。

2）假设二：污染物始终均匀分布在湖中。

3）假设三：在很小的时间内污染物浓度不变。

三．分析与建立模型1）符号说明w(t):t 时刻湖水中污染物的浓度。

w(0):表示初始时刻湖水中的污染物浓度。

t :表示污染源切断后湖水更新的时间（单位：天）。

2）分析2.1假设的合理性分析如果湖水体积变化，那么题目就没法做了，因此这个假设是必要的且是合理的。

污染物始终均匀的分布在湖中，题目条件中已给出，所以此假设合理可靠。

在很小的时间内污染物浓度不变，这是利用微元法的思想，故假设的合理性毋庸置疑。

2.2模型的误差分析本模型的误差主要在数字的处理上，即保留几位的问题上，也就是说存在舍入误差，本题在最后结果中保留了一位小数。

中国传媒大学2010学年第一学期数学建模与数学实验课程数学建模与数学实验题目Pristine湖污染问题的建模与求解学生姓名学号班级学生所属学院任课教师教师所属学院成绩Pristine湖污染问题的建模与求解摘要本文讨论了湖水污染浓度变化趋势的预测问题。

通过分析水流输入输出湖泊的过程，建立了湖水污染浓度随时间变化的含参变量的微分方程模型，在河水污染浓度恒定和自然净化速率呈线性关系的情况下，求得其精确解，带入具体数据得到结论：在PCA声称的河水污染浓度下，湖的环境不会恶化；在工作人员实地测得的河水浓度下，湖的环境将会恶化。

同时建立了计算机模拟模型，带入具体数值，运用时间步长法来仿真模拟了在湖水污染浓度稳定以前湖水每天的变化情况，输出自PCA建厂以来每年的湖水污染浓度，得到与微分方程模型相同的结论。

在全停产和半停产时，通过前面的两个模型可以计算湖水污染浓度在自然净化影响下的恢复到净化指标所需的年限。

并可得到结论：在半停产状态下，在选定的自然净化速率常数的约束下，只有当河水污染浓度降至原来的%（自然净化速率呈线性关系），%（自然净化速率呈指数关系），才有可能使河水在100年内恢复至l，然后给出整改建议。

一、问题重述Pure河是流入Pristine湖的唯一河流。

50年前PCA公司在此河旁建起一个生产设施并投入运行。

PCA将为处理的湖水排入河中，导致Pristine湖被污染。

PCA公司声称：已排放的废水的标准多年从未改变切不会对湖的环境有影响。

现已知：Pristine 湖的湖容量为1510L ，流入（流出）的水流速度为149.1L/年。

PCA 公司声称河水污染浓度仅为L ，自工厂以来没有改变过。

讨论下列问题：（1）建立数学模型用PCA 提供的公开数据判断湖的环境是否会恶化； （2）以目前湖水污染浓度L ，和河水污染浓度L 为新数据判断湖的环境是否会恶化；二、模型的合理假设和符号系统模型的合理假设（1）降水量和增发量相等；（2）湖中流入量和流出量相等且一直未变；（3）污水量远小于河水注入量，且污水与河水混合均匀； （4）湖水混合均匀，且流入污水的扩散速度无限大； （5）湖内除Pure 河外，无其他污染源；符号系统0ρ：河水污染浓度mol/L ； ρ：湖水污染物浓度mol/L ；V ：湖泊容量1510L ；c ：自然净化速率mol/（L 。

The Great Lakes Problem 五大湖污染物问题建模之三个湖问题问题重述三个湖的问题：美国的五大湖，湖水从休伦湖流入伊利湖，再流入安大略湖，然后通过圣劳伦斯河道入海。

每年有11%的休伦湖水进入伊利湖，有36%的伊利湖水流入安大略湖，有12%的安大略湖水入海。

过去几年，每个湖边都建有铝厂，倾倒废物在湖里。

最近几年，除一个在休伦湖边的厂子没有关闭，其它厂都关停了。

该厂每年向湖里排入30吨污染物。

目前休伦湖有3500吨污染物，伊利湖有1800吨，安大略湖有2400吨。

污染物均匀分散在水里。

估计后5年里三大湖的污染物水平情况，做出详细报告。

图解做出假设假设：当某湖有%x 水流出，就会带走该湖里%x 的污染物。

休伦湖3500吨伊利湖 1800吨大海安大略湖 2400吨30吨/年11%12%36% 铝厂休伦湖的污染物量可以用下面的方程建模：X0=3500,X1=X0*0.89+30=3500*0.89+30,X2=X1*0.89+30，.............X n=X n-1*0.89+30，n=1,2,3.........休伦湖的污染物变化情况视作连续型时如图变化由于每年有11%的污染物从这个湖里流出，所以有89%剩下来。

而伊利湖的污染物情况描述同理。

知E0=1800。

所以，我们得到E n=E n-1*0.64+X n-1*0.11伊利湖中每年有的污水来自休伦湖的11%，然而有伊利湖的36%流出。

而安大略湖12%流出，却伊利湖的36%流入了安大略湖。

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000000003088.036.00064.011.00089.0C M ，A 0=2400,则，A n =A n-1*0.88+E n-1*0.36这个问题可以用表格和图形来做分析。

n 0 1 2 3 4 5Xn 3500 3145 2829.05 2547.8545 2297.590505 2074.855549 En 1800 1537 1329.63 1162.1587 1024.045563 908.1241159 An 2400 2760 2982.12 3102.9324 3148.957644 3139.739129从表格中我们看到，在这五年中，休伦湖，伊利湖里的污染物数量在减少，而安大略湖的污染物在增加。

湖水的自我净化问题摘要MATLAB 求解出所求问题的结果。

即：污染源被切断后，440.4257天。

MATLAB 、动态分析 一、 问题重述某种物质的污染，污染物均匀的分布在湖中。

r （单位：m 3/天）。

试建立求污染物浓5176*10^9（m 3）,湖水的流量3%所需的时间。

二、模型假设三、变量说明/天）；；四、问题分析dt 时间内，通过建立数学建模 湖水的自我净化问题五、模型的建立与求解在任意t时刻，湖水中污染物的排出量为p(t)= (1）由于在dt时间内被污染的湖水排出的体积为rdt，则dt时间内排出的污染物的量为，所以在[0,t]时间段内，湖水中污染物的排出量为p(t)= (2）所以由（1）（2）得等式：=;对等式两边求导可得： (3）对等式(3)：运用MATLAB进行求解（详细程序见附件中程序1）可得 (4）则切断污染源后，污染物浓度下降至原来的a%有：（即： (5)对等式（5）两边求对数得等式：即： (6)故当，,时，进而利用MATLAB求解（详细程序见附件中程序2）可得切断污染源后，污染物下降至原来的3%所需时间t=440.4257 (天)六、模型结果的分析与检验通过分析，建立的模型表达式为关于时间t的呈负指数增长的模型，即随着时间t的增大，污染物浓度逐渐减小，且，即：时，（。

令，并把本题已知数据，，代入模型表达式。

运用MATLAB 可以画出模型表达式的图形（详细程序见附件中程序3），可得湖水污染物浓度与时间的关系图图象显示了随着时间的增长，湖水污染物浓度逐渐减小。

在现实生活中，当污染源被切断后，湖水在逐渐进行自我净化（污染物的逐渐分解、被污染的湖水流出），所以湖水中污染物的浓度逐渐减小。

即：经过分析，所建立的模型符合实际情况。

七、模型的推广与改进方向从建立的模型可以看出，本题是一个特例，只考虑了污染源被切断的情况，而实际问题中大多是污染源未被切断的问题。

我们可以将该模型推广到未被切断污染源的情况下，同样是运用微分方程等来研究污染浓度随时间变化的动态关系。

湖水污染问题1121943 刘烁1121940 庄静1121946 刘蔚[摘要] 随着市场经济和现在工业的飞速发展。

人类面临了直接危害人类生存的新的问题——环境污染，为了治理污染，提出治理污染的新的方案，我们必须建立客观合理的数学模型来解决现实问题。

湖水不仅为人类的生存提供了大量的水资源和生物资源，还提供了丰富的旅游，度假和休闲的精神资源，但湖泊也承受着人们倾倒垃圾、废水等污染物的破坏，由于人们缺乏保护生态环境的意识，它们越来越受到工业和生物废水的污染，从而导致生物资源的灭绝，水质变坏，给人类带来了灾难。

所以保护生态环境成为了人们越来越关心的问题。

湖水治理的工作是困难的，因为一般湖水覆盖的面积比较大，周围污染源比较复杂，很难指明所有污染的原因。

通常治理水体污染的办法是靠水体本身的自净能力来缓解污染，这对河流的污染一般是有效的，但对于被污染的湖水来说是行不通的。

通过对问题的分析，我们利用微积分方程的求解方法，得出湖水污染的结果。

下降到原来的0.05%所需时间，在模型建设中我们采用了比较理想的求解方法，在实际中还是比较有指导意义的。

[关键字] 湖水污染微分方程模型一.问题提出下图是一个容量为2000m3的一个小湖的示意图，通过小河A水以 0.12m3 /s的速度流入，以相同的流量湖水通过B流出。

在上午8:00，因交通事故，一辆运输车上一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，在图中X点处注入湖中。

在采取紧急措施后，于上午9：00事故得到控制，但数量不详的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的数量在5m3至20m3之间。

（1）请建立一个数学模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化；（2）估计湖水何时到达污染高峰；（3）何时污染程度可降至安全水平(<=0.05%)。

二.模型假设1、湖水流量为常量，湖水体积为常量；2、流入流出湖水水污染浓度为常量三.符合说明F：污染物浓度Z：倒入湖中的污染物总量D：处于某浓度的时间四.问题分析分析：湖水在时间t时污染程度，可用污染度F（t）表示，即每立方米受污染的水中含有Fm3的化学污染物质和（1-F）m3的清洁水。

精品湖水污染模型1．问题重述Pure 河是流入 Pristine湖的唯一河流。

50年前PCA公司在此河旁建起一个生产设施并投入运行。

PCA 将未经处理的废水排入河中，导致了Pristine湖被污染，PCA声称：已排放的废水标准多年从未改变且不会对湖的环境产生影响。

已知：Pristine 湖容量为 1015L ，流入（流出）的水流速度为 1.9 × 1014L/年。

PCA 声称河污染浓度仅为 0.001mol/L，自工厂开工以来没有改变过。

(1) 在花费时间和经费去测试之前，建立数学模型，用PCA 提供的公开数据判断湖的环境是否会恶化。

(2)派出野外工作人员测得目前湖水污染浓度为 0.03mol/L ，再测得河水污染浓度为 0.05mol/L 。

在这样的状况下湖的污染程度又将如何变化？(3)假设你是环保局所聘请的高级顾问，在仅考虑湖水自然净化（净化指标为污染浓度不超过 0.001mol/L ）的情况下，为保护环境，对 PCA 提出整改建议。

2．问题分析2.1 问题（ 1 ）分析要想知道湖水的环境是否会恶化，就要知道湖每年流进的污染物浓度以及流出的污染物浓度，由这些数据后就可以算出湖每一年的污染情况，从而判断湖的水环境是否会恶化。

2.2 问题（ 2 ）分析要想湖的污染程度又将如何变化，就要通过题目中给的数据与湖水每一年的污染物浓度建立合适的关系，从中推算出湖水每一年的污染情况，找到湖水的变化趋势。

2.3 问题（ 3 ）分析为了保护环境，是湖水自然净化，最直接的办法就是让PCA 公司停止排放污染物质，但是如果让PCA 公司停止排放，那么 PCA 公司就要停产，这是不符合实际的，而且无法实现。

要想使湖水达到标准，除了让PCA 公司停止排放污染物质外还可以是它减少排放量，这样也可以使湖水净化到合理标准。

3. 模型假设假设 1 湖水与河水流量常年不变。

假设 2 忽略降雨、蒸发等其它因素对湖水容量的影响。

湖水污物浓度某湖泊每天有4103m的河水流入，河水中污物浓度为0.02g\3m,经渠道排水后湖泊溶剂保持200×4103m不变，现测定湖泊中污物浓度为0.2 g\3m，建立差分方程计算湖泊中1年内逐月（每月按30天计）下降的污物浓度，问要多长时间才能达到环保要求的浓度0.04g\3m？为了把这个时间缩短为1年，应将河水中污物浓度降低到多少？一．模型假设假设湖非常大，流出的湖水浓度来不及变化。

二、模型建立中心问题是数学语言表示湖水污物浓度的差分方程。

用变量表示天数，用前一天的湖水污物浓度来推得后一天的湖水污物浓度。

记K为天数， P为河水中污物浓度，VIN为流如河水体积，V为湖泊体积，X0为最初湖泊污物浓度。

命题已知P=0.02g\3m，VIN=4103m，V=200×4103m，X0=0.2 g\3m。

三、模型求解1．可以写出第K+1天的污物浓度为X（K+1）=｛V×X（K）+VIN×P-VIN×X（K）｝/V用MATLAB编写函数M文件如下：function x=wuran(p,n)x=0.2;for k=1:nx(k+1)=(2000000*x(k)+10000*p-10000*x(k))/2000000;end输入命令：k=1:450;y1=wuran(0.02,450)得到在第439天即第湖水污物浓度降为0.04 g\3m。

如下图：2．输入命令k=1:360;y2=wuran(0.01,360)得到湖水污物浓度在一年后降为0.0413 g\3m。

不满足要求。

继续输入命令：k=1:360;y3=wuran(0.008,360)得到湖水污物浓度在一年后降为0.0396\3m。

超过要求。

继续输入命令：k=1:360;y=wuran(0.0085,360)得到，湖水污物浓度在一年的最后一天即第360天降为0.04 g\3m。

即为所求。

四、评注用MATLAB软件方便的求解了该问题。