数学建模_湖水污染问题(1)

水污染防治问题的数学模型研究章节一：引言1.1 研究背景1.2 研究目的1.3 文献综述1.4 研究意义章节二：水污染防治的数学模型2.1 水污染的来源和分类2.2 水污染防治的思路和方法2.3 建立数学模型的基本思路和方法章节三：基于质量平衡方程的水污染预测模型3.1 质量平衡方程的基本原理3.2 建立水污染预测模型的步骤及思路3.3 模型的求解方法和求解过程章节四：基于质量动力学方程的水污染治理模型4.1 质量动力学方程的基本原理4.2 建立水污染治理模型的步骤及思路4.3 模型的求解方法和求解过程章节五：模型应用5.1 模型验证及精度分析5.2 应用范围和局限性5.3 实际应用案例分析及成效章节六：结论与展望6.1 研究成果归纳6.2 研究不足与展望6.3 研究的实际应用前景第一章：引言随着工业化和城市化进程的加速，水污染成为全球性的环境问题。

水污染不仅损害水体生态环境，还会直接威胁人类的健康和生命安全。

为了保护水资源，维护生态平衡，保障人民健康，水污染防治已成为各国政府和科学家共同关注的重要议题。

水污染防治问题需要多学科的参与，其中数学在该领域的应用越来越广泛。

基于数学模型，可以实现对水污染渗透、污染物迁移扩散、控制措施效果等一系列问题的实现，反映更真实的水污染现象及其防治策略。

因此，建立水污染防治的数学模型具有深远的意义和实际意义。

本论文通过对水体污染防治问题的数学模型进行研究，旨在提高数学模型的精度和应用范围，为实现水污染宏防治提供技术支持。

1.1 研究背景水源污染损害水资源的质量，加剧了水环境危机。

当前经济社会发展和人口增长放大了水污染问题的性质和规模，不仅采水用水受到威胁，还给生态环境带来灾难性的后果。

此外，在当前环保法规逐步健全与完善的背景下，研究建立数学模型对于指导污染防治、制定环境政策和措施、协调环境经济与社会发展等方面具有重要意义。

1.2 研究目的本论文旨在通过建立水污染防治的数学模型，实现如下目的：1. 研究水污染防治的基本策略和思路，为建立数学模型提供理论基础。

湖水污染问题一.问题提出下图是一个容量为2000m3的一个小湖的示意图，通过小河A水以 0.12m3 /s的速度流入，以相同的流量湖水通过B流出。

在上午8:00，因交通事故，一辆运输车上一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，在图中X点处注入湖中。

在采取紧急措施后，于上午9：00事故得到控制，但数量不详的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的数量在5m3至20m3之间。

（1）请建立一个数学模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化；（2）估计湖水何时到达污染高峰；（3）何时污染程度可降至安全水平(<=0.05%)。

二.模型假设1、湖水流量为常量，湖水体积为常量；2、流入流出湖水水污染浓度为常量三.问题分析分析：湖水在时间t时污染程度，可用污染度F（t）表示，即每立方米受污染的水中含有Fm3的化学污染物质和（1-F）m3的清洁水。

用分钟作为时间t的单位。

在0<t<60的时间内，污染物流入湖中的速率是Ｚ/60（m3*min-1），而排出湖外的污染物的速率是60*0.12F（m3*min-1）。

因为每立方流走的水中含有Fm3的污染物，而湖水始终保持2000m3的容积不变。

四.模型的建立湖水中含污染物的变化率＝污染物流入量－污染物排出量2000*(dF/dt)=Z/60-7.2FF(0)=0；2000F’=Z/60-7.2F2000F’+7.2F=Z/60F’+7.2F/2000=Z/120000所以:P(t)=7.2/2000,Q(t)=Z/120000;y= []=[（Z/120000）（2000/7.2）*+C]=Z/432+C*又因为：F(0)=0所以：C=-Z/432所以：y=Z/432[1- ]求得以特解为：F（t）= Z/432[1- ]在0<t<60之间求t为多少时，F（t）最大。

显然是t=60时，污染达到高峰。

此时污染浓度为：F（60）=Z/432（1-）= 4.497*10-4Z然后污染物被截断，故方程为：2000*dF/dt=-7.2F,F(t)=F（60）；当它达到安全水平时，即F（t）=0.05%，可求出t=D。

数学建模污水处理问题摘要：污水处理问题属于优化类模型，本文先建立了一般情况下的使江面上所有地段的水污染达到国家标准和使江旁边居民点上游的水污染达到国家标准的污水处理的PL 模型，然后通过具体问题对模型求解。

求解模型采用了求解PL 模型的经典求解算法 — 单纯形法，通过专业求解PL 模型得Lingo 软件使计算实现此算法。

使江面上所有地段的水污染达到国家标准的PL 模型求解结果为：污水处理厂1、处理厂2和处理厂3出口的浓度依次为41.01 mg/l 、21.06 mg/l 和50.00 mg/l 时，江面上所有地段的水污染达到国家标准，且最小处理费用为489.67万元；使江旁边居民点上游的水污染达到国家标准的污水处理的PL 模型求解结果为：在处理厂1、处理厂2和处理厂3出口的浓度依次为63.33 mg/l 、60 mg/l 和50 mg/l 时，为三个居民点上游的水污染达到国家标准，且最小处理费用为183.36万元。

在对模型结果进行分析中，得知污水处理厂2在使江旁边居民点上游的水污染达到国家标准的污水处理的PL 模型中可不工作；污水处理厂3在两种模型中均不工作。

最后本文结合求解结果，对模型结果和模型建立过程中提到的：由于江水的自净能力，第n （11n m ≤-≤）个污水处理厂对面江水的污水浓度总是大于第n+1居民点上游的污水浓度，即江面污水的浓度总是在污水处理厂对面时达到一个较大值，进行了检验。

本模型是针对一般问题建立的，因此模型自壮性好，应用广泛。

但是，模型表达式复杂，若为工厂较多情况下，求解需对模型进行标准化，使得模型效益降低。

关键词：优化 LP 模型 单纯形法 Lingo一．问题提出如下图,有若干工厂的污水经排污口流入某江，各口有污水处理站,处理站对面是居民点。

工厂1上游江水流量和污水浓度，国家标准规定的水的污染浓度,以及各个工厂的污水流量和污水浓度均已知道。

设污水处理费用与污水处理前后的浓度差和污水流量成正比,使每单位流量的污水下降一个浓度单位需要的处理费用(称处理系数)为已知.处理后的污水与江水混合,流到下一个排污口之前,自然状态下的江水也会使污水浓度降低一个比例系数(称自净系数),该系数可以估计.试确定各污水处理站出口的污水浓度,使在符合国家标准规定的条件下总的处理费用最小.先建立一般情况下的数学模型,再求解以下的具体问题:设上游江水流量为12100010l min ⨯ ,污水浓度为0.8 mg/l,3个工厂的污水流量均为55010l min⨯,污水浓度(从上游到下游排列)分别为100,60,50(mg/l),处理系数均为1万元(12(10l min)⨯(mg/l)),3个工厂之间的两段江面的自净系数(从上游到下游)分别为0.9和0.6.国家标准规定水的污染浓度不能超过1mg/l.(1) 为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准,最少需要花费多少费用?(2)如果只要求三个居民点上游的水污染达到国家标准最少需要花费多少费用?二．符号说型和模型分析1 . 符号说明i —某江上有到下游的工厂、处理厂和居民点的序号；F —总污水处理费用；i F —第i 个处理厂的污水处理费用； s L —某江上游江水流量；i L —第i 个工厂排放的污水流量；s ρ—某江上游污水浓度；b ρ—国家标准规定的水的污染浓度； pi ρ—第i 个工厂排放的污水浓度；ci ρ—第i 个污水处理厂出口的污水浓度； si ρ—第i 个居民点上游的污水浓度；ri ρ—第i 个污水处理厂对面江水的污水浓度；i C —第i 个处理厂的处理系数；i K —第i —1到i 工厂之间的江面自净系数（此时2i ≥）。

数学与环境保护水质污染模型数学与环境保护：水质污染模型水质污染是当今全球环境面临的重要问题之一。

随着工业化和城市化进程的加快，水质污染对生态系统和人类健康造成了严重威胁。

数学作为一门强大的学科，可以为环境保护提供有效的解决方案。

本文将介绍数学在水质污染模型中的应用，从而展示了数学与环境保护的密切关系。

一、数学建模水质污染模型是一种基于数学方法的工具，用于预测和分析水体受污染过程中的变化。

通过建立数学模型，我们可以定量地描述水污染过程中的关键因素和影响因素，从而更好地了解污染物在水环境中的行为。

1.1 动力学模型数学建模的一个重要方面是动力学模型，它使用微分方程来描述污染物在水体中的传输和转化过程。

例如，可以使用扩散方程来表示污染物在水体中的扩散过程，使用反应速率方程来描述污染物的降解和转化过程。

通过求解这些微分方程，我们可以获得污染物浓度随时间和空间的变化规律。

1.2 空间分布模型除了动力学模型，空间分布模型也是水质污染模型的重要组成部分。

通过将水域划分为网格或单元，我们可以将水体的特性在空间上进行离散表示。

通过建立适当的数学关系，我们可以推导出水体各个网格或单元之间的污染物传输过程，进而分析水体中的污染物分布情况。

二、数学方法的应用在水质污染模型中，数学方法具有广泛的应用。

下面将介绍几种常见的数学方法及其在水质污染模型中的应用。

2.1 偏微分方程偏微分方程是描述污染物在水体中扩散和传输的重要数学工具。

通过求解偏微分方程，我们可以获得污染物的浓度随时间和空间的变化规律。

常见的偏微分方程有扩散方程、对流-扩散方程等。

通过偏微分方程求解，我们可以对水体中的污染物行为进行准确的预测和分析。

2.2 参数估计参数估计是水质污染模型中的重要环节。

通过合理地选择模型参数，我们可以更准确地描述污染物在水体中的行为。

数学方法可以应用于参数估计的过程中，例如最小二乘法、最大似然估计等，以提高模型的精确度和可靠性。

2.3 数值模拟数值模拟是将数学模型转化为计算机可处理的形式，通过计算机模拟水体中污染物的传输和转化过程。

......摘要在两种情况下分析湖水中的污染物，分别建立模型即理论模型和实际模型。

理论模型是根据伊利湖和安大略湖各自的污染物流入流出的关系建立污染物量关于时间的差分方程：伊利湖的污染物总量a n+10.62a n，安大略湖的污染物总量 b n6129.0323 0.62n7020.3360 0.87 n192.3077，b n在n时趋于一个定值 192.3077 ，这个定值就是安大略湖系统的平衡值；当 n35 时b n 245.95 安大略湖的污染程度减少到目前水平的10% ；当 3 n 1 是系统的污染物的量是一直增加的，当 20 n 3 系统的污染物量急剧减少，大约从n40开始系统的污染物量几乎保持不变。

实际模型中首先根据湖水的实际更新情况重新确定湖水流入和流出占湖水总量的百分数，又由于湖水中污染物的浓度时刻变化，所以用时间微元的方法对实际污染物流出的比例进行修正。

分析铝厂排放的污染物时，铝厂排放的污染物是赤泥，根据赤泥的物化性质利用重力沉降原理求得赤泥颗粒从湖面沉降到湖底的时间t ，把一年分成多份 t ，同时将铝厂每年向湖水中排放的污染物量25 单位按t分成多份，每一个单位时间铝厂排放到湖里的污染物量是q 0.3 单位，则安大略湖的湖水中将始终保持有0.3 单位的赤泥，其余的赤泥都将在湖底沉积。

综合安大略湖中赤泥和伊利湖流入的污染物的情况预测了未来十年内的情况。

模型中重力沉降原理指出颗粒的直径影响沉降速度间接影响赤泥的排出量直径越小排出量越大，同时直径是最可能实现改进的因素。

在直径小于 20um 时赤泥的排出量急剧增加。

为减少安大略湖的污染尽量把颗粒直径做小。

二、问题分析伊利湖的湖水每年有38% 的更新，湖水的更新引起湖内污染物量的变化。

假设流入伊利湖的湖水是不含有污染物的，而流出伊利湖的湖水又将携带污染物，那么伊利湖是一个没有污染物注入只有污染物排除的系统，污染物的量逐渐减少，根据污染物排除的情况获得伊利湖污染物量随时间变化的关系。

数学建模与数学实验课程设计学院数理学院专业数学与应用数学班级学号学生姓名指导教师2015年6月湖水的自我净化问题摘要问题：本题是一容积为V的大湖受到某种物质污染，从某时刻起污染源被切断，湖水开始更新，更新速率为r，建立求污染物浓度下降至原来的5%需要多长时间的数学模型问题。

模型：解决本问题需要用到微元法建模。

方法：假设在很小的时间内流出的湖水污染物浓度不变，然后利用湖水中污染物的变化量等于流出湖水的污染量建立等式关系，对该等式求导后得出一个微分方程，利用Matlab中dsolve函数解该微分方程。

结果：求得污染物浓度下降至原来的5%所需时间为398.3天。

一.问题重述1）背景资料与条件设一个容积为V （m 3）的大湖受到某种物质的污染，污染物均匀的分布在湖中。

若从某时刻起污染源被切断，设湖水更新的速率是r （m 3/天）。

试建立求污染物浓度下降至原来的5%需要多长时间的数学模型。

2）需要解决的问题美国密西根湖的容积为4871⨯109（m 3），湖水的流量为 3.663 959 132⨯1010（m 3/天），求污染中止后，污染物浓度下降到原来的5%所需要的时间。

二．模型假设1）假设一：湖水体积V 保持不变。

2）假设二：污染物始终均匀分布在湖中。

3）假设三：在很小的时间内污染物浓度不变。

三．分析与建立模型1）符号说明w(t):t 时刻湖水中污染物的浓度。

w(0):表示初始时刻湖水中的污染物浓度。

t :表示污染源切断后湖水更新的时间（单位：天）。

2）分析2.1假设的合理性分析如果湖水体积变化，那么题目就没法做了，因此这个假设是必要的且是合理的。

污染物始终均匀的分布在湖中，题目条件中已给出，所以此假设合理可靠。

在很小的时间内污染物浓度不变，这是利用微元法的思想，故假设的合理性毋庸置疑。

2.2模型的误差分析本模型的误差主要在数字的处理上，即保留几位的问题上，也就是说存在舍入误差，本题在最后结果中保留了一位小数。

2019年全国大学生数学建模夏令营题目A题：垃圾分类处理与清运方案设计垃圾分类化收集与处理是有利于减少垃圾的产生，有益于环境保护，同时也有利于资源回收与再利用的城市绿色工程。

在发达国家普遍实现了垃圾分类化，随着国民经济发展与城市化进程加快，我国大城市的垃圾分类化已经提到日程上来。

2019年5月国家发改委、住房和城乡建设部、环境保护部、农业部联合印发了《关于组织开展城市餐厨废弃物资源化利用和无害化处理试点工作的通知》，并且在北京、上海、重庆和深圳都取得一定成果，但是许多问题仍然是垃圾分类化进程中需要深入研究的。

在深圳，垃圾分为四类：橱余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他不可回收垃圾，这种分类顾名思义不难理解。

其中对于居民垃圾，基本的分类处理流程如下：在垃圾分类收集与处理中，不同类的垃圾有不同的处理方式，简述如下：1）橱余垃圾可以使用脱水干燥处理装置，处理后的干物质运送饲料加工厂做原料。

不同处理规模的设备成本和运行成本（分大型和小型）见附录1说明。

2）可回收垃圾将收集后分类再利用。

3）有害垃圾，运送到固废处理中心集中处理。

4）其他不可回收垃圾将运送到填埋场或焚烧场处理。

所有垃圾将从小区运送到附近的转运站，再运送到少数几个垃圾处理中心。

显然，1）和2）两项中，经过处理，回收和利用，产生经济效益，而3）和4）只有消耗处理费用，不产生经济效益。

本项研究课题旨在为深圳市的垃圾分类化进程作出贡献。

为此请你们运用数学建模方法对深圳市南山区的分类化垃圾的实现做一些研究，具体的研究目标是：1）假定现有垃圾转运站规模与位置不变条件下，给出大、小型设备（橱余垃圾）的分布设计，同时在目前的运输装备条件下给出清运路线的具体方案。

以期达到最佳经济效益和环保效果。

2）假设转运站允许重新设计，请为问题1）的目标重新设计。

仅仅为了查询方便，在题目附录2所指出的网页中，给出了深圳市南山区所有小区的相关资料，同时给出了现有垃圾处理的数据和转运站的位置。

[(Z/120000) (2000/7.2 ) +C]•问题提出下图是一个容量为2000nm 的一个小湖的示意图，通过小河 A 水以0.12m 3 /s 的 速度流入，以相同的流量湖水通过 B 流出。

在上午8:00，因交通事故，一辆运 输车上一个盛有，毒性化学物质的容器倾翻，在图中X 点处注入湖中。

在采取紧急 措施后，于上午9： 00事故得到控制，但数量不详的化学物质 Z 已泻入湖中，初步估计Z 的数量在5m 至2om 之间。

(1) 请建立一个数学模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化；(2) 估计湖水何时到达污染高峰；(3) 何时污染程度可降至安全水平(<=0.05%)。

二. 模型假设1、 湖水流量为常量，湖水体积为常量；2、 流入流出湖水水污染浓度为常量三. 问题分析分析：湖水在时间t 时污染程度，可用污染度 F (t )表示，即每立方米受污染 的水中含有Fm 的化学污染物质和(1-F )m 的清洁水。

用分钟作为时间t 的单位。

在0<t<60的时间内，污染物流入湖中的速率是Z /60 (m*min -1)，而排出湖外的 污染物的速率是60*0.12F (m*min -1)。

因为每立方流走的水中含有 Fn ^的污染物, 3而湖水始终保持2000m 的容积不变。

四. 模型的建立湖水中含污染物的变化率二污染物流入量-污染物排出量2000*(dF/dt)=Z/60-7.2FF(0)=0 ；2000F ' =Z/60-7.2F2000F ' +7.2F=Z/60F ' +7.2F/2000=Z/120000所以:P(t)=7.2/2000,Q(t)=Z/120000;厂 .y=湖水污染问题[]=Z/432+C*又因为：F(0)=0所以：C=-Z/432所以：y=Z/432[1- ]求得以特解为：F (t) = Z/432[1- ]在0<t<60之间求t为多少时，F (t)最大。

中国传媒大学2010学年第一学期数学建模与数学实验课程数学建模与数学实验题目Pristine湖污染问题的建模与求解学生姓名学号班级学生所属学院任课教师教师所属学院成绩Pristine湖污染问题的建模与求解摘要本文讨论了湖水污染浓度变化趋势的预测问题。

通过分析水流输入输出湖泊的过程，建立了湖水污染浓度随时间变化的含参变量的微分方程模型，在河水污染浓度恒定和自然净化速率呈线性关系的情况下，求得其精确解，带入具体数据得到结论：在PCA声称的河水污染浓度下，湖的环境不会恶化；在工作人员实地测得的河水浓度下，湖的环境将会恶化。

同时建立了计算机模拟模型，带入具体数值，运用时间步长法来仿真模拟了在湖水污染浓度稳定以前湖水每天的变化情况，输出自PCA建厂以来每年的湖水污染浓度，得到与微分方程模型相同的结论。

在全停产和半停产时，通过前面的两个模型可以计算湖水污染浓度在自然净化影响下的恢复到净化指标所需的年限。

并可得到结论：在半停产状态下，在选定的自然净化速率常数的约束下，只有当河水污染浓度降至原来的%（自然净化速率呈线性关系），%（自然净化速率呈指数关系），才有可能使河水在100年内恢复至l，然后给出整改建议。

一、问题重述Pure河是流入Pristine湖的唯一河流。

50年前PCA公司在此河旁建起一个生产设施并投入运行。

PCA将为处理的湖水排入河中，导致Pristine湖被污染。

PCA公司声称：已排放的废水的标准多年从未改变切不会对湖的环境有影响。

现已知：Pristine 湖的湖容量为1510L ，流入（流出）的水流速度为149.1L/年。

PCA 公司声称河水污染浓度仅为L ，自工厂以来没有改变过。

讨论下列问题：（1）建立数学模型用PCA 提供的公开数据判断湖的环境是否会恶化； （2）以目前湖水污染浓度L ，和河水污染浓度L 为新数据判断湖的环境是否会恶化；二、模型的合理假设和符号系统模型的合理假设（1）降水量和增发量相等；（2）湖中流入量和流出量相等且一直未变；（3）污水量远小于河水注入量，且污水与河水混合均匀； （4）湖水混合均匀，且流入污水的扩散速度无限大； （5）湖内除Pure 河外，无其他污染源；符号系统0ρ：河水污染浓度mol/L ； ρ：湖水污染物浓度mol/L ；V ：湖泊容量1510L ；c ：自然净化速率mol/（L 。

湖水的自我净化问题摘要MATLAB 求解出所求问题的结果。

即：污染源被切断后，440.4257天。

MATLAB 、动态分析 一、 问题重述某种物质的污染，污染物均匀的分布在湖中。

r （单位：m 3/天）。

试建立求污染物浓5176*10^9（m 3）,湖水的流量3%所需的时间。

二、模型假设三、变量说明/天）；；四、问题分析dt 时间内，通过建立数学建模 湖水的自我净化问题五、模型的建立与求解在任意t时刻，湖水中污染物的排出量为p(t)= (1）由于在dt时间内被污染的湖水排出的体积为rdt，则dt时间内排出的污染物的量为，所以在[0,t]时间段内，湖水中污染物的排出量为p(t)= (2）所以由（1）（2）得等式：=;对等式两边求导可得： (3）对等式(3)：运用MATLAB进行求解（详细程序见附件中程序1）可得 (4）则切断污染源后，污染物浓度下降至原来的a%有：（即： (5)对等式（5）两边求对数得等式：即： (6)故当，,时，进而利用MATLAB求解（详细程序见附件中程序2）可得切断污染源后，污染物下降至原来的3%所需时间t=440.4257 (天)六、模型结果的分析与检验通过分析，建立的模型表达式为关于时间t的呈负指数增长的模型，即随着时间t的增大，污染物浓度逐渐减小，且，即：时，（。

令，并把本题已知数据，，代入模型表达式。

运用MATLAB 可以画出模型表达式的图形（详细程序见附件中程序3），可得湖水污染物浓度与时间的关系图图象显示了随着时间的增长，湖水污染物浓度逐渐减小。

在现实生活中，当污染源被切断后，湖水在逐渐进行自我净化（污染物的逐渐分解、被污染的湖水流出），所以湖水中污染物的浓度逐渐减小。

即：经过分析，所建立的模型符合实际情况。

七、模型的推广与改进方向从建立的模型可以看出，本题是一个特例，只考虑了污染源被切断的情况，而实际问题中大多是污染源未被切断的问题。

我们可以将该模型推广到未被切断污染源的情况下，同样是运用微分方程等来研究污染浓度随时间变化的动态关系。

湖水污染问题1121943 刘烁1121940 庄静1121946 刘蔚[摘要] 随着市场经济和现在工业的飞速发展。

人类面临了直接危害人类生存的新的问题——环境污染，为了治理污染，提出治理污染的新的方案，我们必须建立客观合理的数学模型来解决现实问题。

湖水不仅为人类的生存提供了大量的水资源和生物资源，还提供了丰富的旅游，度假和休闲的精神资源，但湖泊也承受着人们倾倒垃圾、废水等污染物的破坏，由于人们缺乏保护生态环境的意识，它们越来越受到工业和生物废水的污染，从而导致生物资源的灭绝，水质变坏，给人类带来了灾难。

所以保护生态环境成为了人们越来越关心的问题。

湖水治理的工作是困难的，因为一般湖水覆盖的面积比较大，周围污染源比较复杂，很难指明所有污染的原因。

通常治理水体污染的办法是靠水体本身的自净能力来缓解污染，这对河流的污染一般是有效的，但对于被污染的湖水来说是行不通的。

通过对问题的分析，我们利用微积分方程的求解方法，得出湖水污染的结果。

下降到原来的0.05%所需时间，在模型建设中我们采用了比较理想的求解方法，在实际中还是比较有指导意义的。

[关键字] 湖水污染微分方程模型一.问题提出下图是一个容量为2000m3的一个小湖的示意图，通过小河A水以 0.12m3 /s的速度流入，以相同的流量湖水通过B流出。

在上午8:00，因交通事故，一辆运输车上一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，在图中X点处注入湖中。

在采取紧急措施后，于上午9：00事故得到控制，但数量不详的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的数量在5m3至20m3之间。

（1）请建立一个数学模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化；（2）估计湖水何时到达污染高峰；（3）何时污染程度可降至安全水平(<=0.05%)。

二.模型假设1、湖水流量为常量，湖水体积为常量；2、流入流出湖水水污染浓度为常量三.符合说明F：污染物浓度Z：倒入湖中的污染物总量D：处于某浓度的时间四.问题分析分析：湖水在时间t时污染程度，可用污染度F（t）表示，即每立方米受污染的水中含有Fm3的化学污染物质和（1-F）m3的清洁水。

精品湖水污染模型1．问题重述Pure 河是流入 Pristine湖的唯一河流。

50年前PCA公司在此河旁建起一个生产设施并投入运行。

PCA 将未经处理的废水排入河中，导致了Pristine湖被污染，PCA声称：已排放的废水标准多年从未改变且不会对湖的环境产生影响。

已知：Pristine 湖容量为 1015L ，流入（流出）的水流速度为 1.9 × 1014L/年。

PCA 声称河污染浓度仅为 0.001mol/L，自工厂开工以来没有改变过。

(1) 在花费时间和经费去测试之前，建立数学模型，用PCA 提供的公开数据判断湖的环境是否会恶化。

(2)派出野外工作人员测得目前湖水污染浓度为 0.03mol/L ，再测得河水污染浓度为 0.05mol/L 。

在这样的状况下湖的污染程度又将如何变化？(3)假设你是环保局所聘请的高级顾问，在仅考虑湖水自然净化（净化指标为污染浓度不超过 0.001mol/L ）的情况下，为保护环境，对 PCA 提出整改建议。

2．问题分析2.1 问题（ 1 ）分析要想知道湖水的环境是否会恶化，就要知道湖每年流进的污染物浓度以及流出的污染物浓度，由这些数据后就可以算出湖每一年的污染情况，从而判断湖的水环境是否会恶化。

2.2 问题（ 2 ）分析要想湖的污染程度又将如何变化，就要通过题目中给的数据与湖水每一年的污染物浓度建立合适的关系，从中推算出湖水每一年的污染情况，找到湖水的变化趋势。

2.3 问题（ 3 ）分析为了保护环境，是湖水自然净化，最直接的办法就是让PCA 公司停止排放污染物质，但是如果让PCA 公司停止排放，那么 PCA 公司就要停产，这是不符合实际的，而且无法实现。

要想使湖水达到标准，除了让PCA 公司停止排放污染物质外还可以是它减少排放量，这样也可以使湖水净化到合理标准。

3. 模型假设假设 1 湖水与河水流量常年不变。

假设 2 忽略降雨、蒸发等其它因素对湖水容量的影响。

lim p (t ) 0 表示污染最终消失。 t
讨论：（1）蒸发，渗漏。此时
将变化，
与V(t)有关。设 端要加上渗漏污染物 A, 难度增加。
，此时平衡方程右 。此时要估计参数
（2）假设（2）为充分均匀混合，假设一个湖仅 有一个源头和一个出口，则像水在管道中流动一 样，在湖的主要部分净化时间缩短，而在大部分 地区，水流速度缓慢，从而净化时间不会缩短太 多，于是对 影响不大，因为通常 很 大，即尽管可能对净化时间有一定影响，但影响 不大，但若不要假设（2），模型无法讨论。
伊利湖
密执安湖 苏必利尔 湖

2.6 30.8 189
50% 2 21 131
80% 4 50 304
90% 6 71 435
95% 8 92 566
（5）反之，若k=0,这时湖水净化速度
式中： 如
表示达到初始污染水平的百分比， ，即 。从上表可见，苏必利
尔湖一但污染，要想使其污染减小一半，则需131 年。因此一但污染，后果不堪设想。
结果：水中的磷大量聚集，使水中杂草疯长， 消耗水中大量的氧，影响水中动物生长（鱼类）。 污水治理途径：（1）控制污水源;（2）靠水 体自身净化能力；（3）输入洁净水，排除污水。
这些措施，效果如何，下面建模讨论 情形一： 假设（1）不区分污染物，只考虑湖水，中污染 物的浓度，系统视为单流入，单流出模型。(如 图）
讨论：（1）
（流入浓度小于湖水
浓度），污染物减少；
增加。 （2）由 固定时， 与 有关，与 （ 3）
，污染物
，即当 （湖水污染速度）仅 的变化成反比。 表示污染水平； 为
标准污染水平（流入与湖水浓度一致）；
为超标准污染水平，此时湖水浓度下

数学建模表中一条河流一年水质评价问题(一)数学建模表中一条河流一年水质评价问题问题背景在数学建模表中，我们需要对一条河流的水质进行评价。

该河流主要影响周围居民的饮水、农业灌溉以及生态环境等方面。

相关问题及解释1. 水质评价指标选择问题问题描述：在评价河流水质时，需要选择适当的指标来衡量水质的好坏。

解释说明：不同指标反映了水质不同的方面，例如水中溶解氧含量、水温、PH值、浊度等。

我们需要选择合适的指标来综合评价水质。

2. 数据采集问题问题描述：如何获取水质评价所需的数据？解释说明：为进行水质评价，我们需要收集一年内河流各个时刻的水质数据，包括各项指标的数值。

数据的采集方式可能包括现场监测、实验室化验等方法。

3. 数据预处理问题问题描述：在进行水质评价前，是否需要对原始数据进行预处理？解释说明：原始数据可能存在异常值、缺失值、噪声等问题。

为了保证评价结果的准确性，我们可能需要对数据进行清洗、填补缺失值、平滑等预处理操作。

4. 数据分析问题问题描述：如何利用采集到的水质数据进行评价？解释说明：通过对水质数据的分析，可以得到一些重要的统计特征，例如平均值、方差、极差等。

这些特征可以用于评价水质的稳定性、变化趋势等。

5. 水质评价模型建立问题问题描述：如何建立合适的数学模型来进行水质评价？解释说明：根据不同的水质评价目标和数据特点，我们可以选择不同的数学模型，例如线性回归模型、逻辑回归模型、支持向量机模型等。

建立合适的模型是进行准确评价的基础。

6. 模型参数估计问题问题描述：如何对水质评价模型进行参数估计？解释说明：参数估计是模型求解的关键步骤。

通过拟合已知数据，我们可以估计出模型中的参数值，以便进行后续的预测和评价。

7. 模型评价问题问题描述：如何对已建立的水质评价模型进行评价？解释说明：为了验证模型的准确性和可靠性，我们需要对模型进行评价。

常用的评价指标包括均方误差、相关系数等，通过这些指标可以衡量模型的拟合程度和预测精度。

建模报告——四大湖污染排序问题报告人：甘亚妮（20031090004）闫荣（20031090007）李淑红（20031090015）日期：2006.5.8四大湖污染排序问题摘要:水资源是我们赖以生存的基础,对水资源的污染,是当今我们面临的重大问题.我们运用层次分析法对四个重大湖泊的污染情况进行分析和排序.关键字:层次分析,湖水污染, pH, DO, CODMn, NH3-N.一．问题的背景与提出：湖泊为人们提供了大量的水资源,同时也是养鱼业与运输发展的基础,还是人们休闲旅游的好场所,但随着工业的发展湖泊也遭受越来越严重的污染,如未经处理的工业废水和生活污水排放到湖泊中,严重危害到水生物的生长比如洗涤剂中的硝酸盐,杀虫剂中的DDT和各种重金属化学元素等,这些污染物会危及各种水生的动植物,过多的磷酸盐将导致水体富营养化而发出难闻的气味，因此湖水的问题是人们不可忽视的问题，在此我们对一些湖泊的污染情况进行排序，以引起人们加强湖水的重视。

水体污染会引起水质的恶化,水污染常规分析指标是反映水质状况的重要指标,是对水体进行监测,评价,利用水及污染治理的主要依据,水污染常规分析指标主要有以下几项: PH, DO, COD Mn, NH3-N。

二．基本假设：1．表中数据具有权威性，能真实反映水体的污染程度。

2．表中各湖所对应的所有湖段能够全面的反映该湖的整体污染水平。

3．各湖段内部污染程度处处相同，且与断面处污染程度一致。

4．为了方便各指标间进行污染程度的比较，各指标的性质如下：◆pH值：指水中氢离子活度的负对数，pH为7表示水是中性，大于7的水呈碱性，小于7的水呈酸性。

PH值偏高偏低都会直接导致水体中的生物的死亡。

◆溶解氧（DO）：指溶解于水中的氧的量，以每升水中氧气的毫克数表示。

溶解氧是评价水体自净能力的指标。

溶解氧含量较高，表示水体自净能力较强；溶解氧含量较低，表示水体中污染程度越大。

◆高锰酸盐指数（COD Mn）：指在酸性或碱性介质中，以高锰酸钾为氧化剂，处理水样时所消耗的量。

中国传媒大学2010 学年第一学期数学建模与数学实验课程数学建模与数学实验题目Pristine湖污染问题的建模与求解学生姓名学号班级学生所属学院任课教师教师所属学院成绩Pristine湖污染问题的建模与求解摘要本文讨论了湖水污染浓度变化趋势的预测问题。

通过分析水流输入输出湖泊的过程，建立了湖水污染浓度随时间变化的含参变量的微分方程模型，在河水污染浓度恒定和自然净化速率呈线性关系的情况下，求得其精确解，带入具体数据得到结论：在PCA声称的河水污染浓度下，湖的环境不会恶化；在工作人员实地测得的河水浓度下，湖的环境将会恶化。

同时建立了计算机模拟模型，带入具体数值，运用时间步长法来仿真模拟了在湖水污染浓度稳定以前湖水每天的变化情况，输出自PCA建厂以来每年的湖水污染浓度，得到与微分方程模型相同的结论。

在全停产和半停产时，通过前面的两个模型可以计算湖水污染浓度在自然净化影响下的恢复到净化指标所需的年限。

并可得到结论：在半停产状态下，在选定的自然净化速率常数的约束下，只有当河水污染浓度降至原来的3.15%（自然净化速率呈线性关系），4.7%（自然净化速率呈指数关系），才有可能使河水在100年内恢复至0.001mol/l，然后给出整改建议。

一、问题重述Pure河是流入Pristine湖的唯一河流。

50年前PCA公司在此河旁建起一个生产设施并投入运行。

PCA将为处理的湖水排入河中，导致Pristine湖被污染。

PCA公司声称：已排放的废水的标准多年从未改变切不会对湖的环境有影响。

10L，流入（流出）的水流速度为149.1L/年。

现已知：Pristine湖的湖容量为15PCA公司声称河水污染浓度仅为0.001mol/L，自工厂以来没有改变过。

讨论下列问题：（1）建立数学模型用PCA提供的公开数据判断湖的环境是否会恶化；（2）以目前湖水污染浓度0.03mol/L，和河水污染浓度0.05mol/L为新数据判断湖的环境是否会恶化；二、模型的合理假设和符号系统2.1 模型的合理假设（1）降水量和增发量相等；（2）湖中流入量和流出量相等且一直未变；（3）污水量远小于河水注入量，且污水与河水混合均匀；（4）湖水混合均匀，且流入污水的扩散速度无限大；（5）湖内除Pure河外，无其他污染源；二三2.2 符号系统0ρ：河水污染浓度mol/L ；ρ：湖水污染物浓度mol/L ；V ：湖泊容量1510L ；c ：自然净化速率mol/（L 。

……………………一、问题的提出目前由于大量的污水排入长江，我们的生命线——长江正在倍受煎熬，保护长江、保护水资源就是保护我们自己。

如果再不采取有效措施，长江的未来将不堪设想，因此，怎么样规划、采取怎么样的措施才能使长江在保持“生命力”的长江水质评价及预测模型的建立与分析前提下达到环境与经济和谐发展，就成了目前我们亟待解决的问题。

二、问题的分析附件3.1(长江流域主要城市水质检测报告)从多方面反映了长江近两年多的水质情况，因此对于长江流域水质的综合评价，主要是对水质检测报告原始数据的处理。

问题l首先应采用合理的方法实现数据的标准化。

其次建立变权函数，确定四项标准物的污染度权值；根据水质综合的指标，对长江从上游到下游的17个观测点给出每个月的水质排序。

再用决策分析方法对28个月进行水质综合排序。

问题2通常认为一个观测站(地区)的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。

把7个观测站点分为6个江段，计算各江段的排污量。

利用一维水质模型可以得到每个江段中污染物浓度变化，再通过假设排污口的位置，结合流量计算各江段的单位时间排污量。

以此确定主要污染源所在江段。

问题3分两步解决本问题：第一步建立长江排污量与时间(年)的数学模型：第二建立各级别水比例与总流量和排污量的关系模型。

在问题3已建模型的基础上，问题4加上两个约束条件，求解得出长江的极限载污量，进而求得每年需要处理的污水量。

三、模型的假设（1）假设溶解氧(DO)浓度越高水质越好，不考虑过含氧情况。

（2）假设各监测指标之间无相互作用。

（3）假设我们研究的长江是一条平直的河流。

（4）假设所给数据真实可靠。

（5）假设水质状况只与题目给我们的4 个项目有关，不考虑其他项目四、号的定义与说明五、模型的建立与求解5.1 长江水质的综合评价5.1.1 模糊综合评判模型根据水域情况的质量标准我们把水污染监测浓度看成是一个离散的随机变量，用概率统计方法进行统计可以得到水域属于某个标准的概率，因为可以拟定不同的水域标准，评价参数集为U={u1,u2,u3},水质分级集为{v1,v2,v3,v4,v5,v6},其中u1,u2,u3 分别表示为溶解氧，高锰酸盐指数，氨氮（NH3-N），因为PH 值对水域影响不大，所以对其不予考虑，v1-- v6 分别表示为Ⅰ类到劣Ⅴ类，设i 参数污染物监测值共有Li 个，其中介于Ai,j-1 到Ai,j 之间的监测值有li,j 个，高锰酸盐指数，氨氮（NH3-N），的监测值为(i=2,3)而i=1 时对于溶解氧的隶属度的求法与上面方法相反对于评价参数的权重的确定：对于溶解氧权重按如下确定w1=(x0-x1)/(x0-s1)，而高锰酸盐指数，氨氮的权重分别为w i=x i/s i ，其中x i---第i 种污染物的实测浓度算术平均值，x0---溶解氧在某条件下的饱和浓度（标准浓度），s i---第i 种污染物各级标准的算术平均值。