18.第十一讲 空间几何体(教师版)

科 目 数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 9.2空间几何体的表面积与体积考纲定位 了解求、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式；培养学生的空间想象力、逻辑推理能力和计算能力，会利用所学公式进行必要的计算；注意提高认识图、理解图、应用图的能力.一、考点梳理1．柱、锥、台、球的侧面积和体积（1）棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积是指： ；（2）棱柱的体积公式： ；棱锥的体积公式： ；球的体积： .2. 旋转体的面积和体积公式名称 圆柱圆锥 圆台 球 S 侧S 表V二、典型例题例1、已知几何体的三视图如图所示,它的表面积是( ).42.22.32.6A B C D +++例2、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于( )A ．4B ．6C ．8D ．12例3、已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是____．三、高考真题 1．（2012·安徽）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是.922．（2012·江西）若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）D(A)112 (B)5 (C)92(D)43．（2012·新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）B(A)6 (B)9 (C)12 (D)184．（2012·全国）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为（ ）A 2.6A (B) 36 (C)23 (D)225．（2012·全国）平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（ ） B（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π6．（2012·广东）某几何的三视图如图所示，它的体积为( )C(A)72π (B)48π (C)30π (D)24π【课后反思】。

2019-2021北京高中数学期末汇编：空间几何体一．选择题（共31小题）1．（2020秋•石景山区期末）如图，P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若△PBD 的面积为f（x）（x）的图象大致是（）A．B．C．D．2．（2021春•海淀区校级期末）已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的高为（）A．1B．C．D．23．（2021春•西城区期末）某圆锥的母线长为5cm，底面半径长为3cm，则该圆锥的体积为（）A．12πcm3B．15πcm3C．36πcm3D．45πcm34．（2020春•顺义区期末）已知某圆柱底面的半径为1，高为2，则该圆柱的表面积为（）A．2πB．4πC．6πD．8π5．（2020春•平谷区期末）已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（）A．2πB．8πC．12πD．16π6．（2020春•西城区期末）圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，则圆柱的侧面积为（）A．20πcm2B．10πcm2C．28πcm2D．14πcm27．（2021春•朝阳区期末）如图、在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝2，则该四棱锥的体积为（）A．18B．12C．9D．68．（2020春•丰台区期末）如图所示，下列四个几何体：其中不是棱柱的序号是（）A．①B．②C．③D．④9．（2021春•通州区期末）下列说法不正确的是（）A．平行六面体的侧面和底面均为平行四边形B．直棱柱的侧棱长与高相等C．斜棱柱的侧棱长大于斜棱柱的高D．直四棱柱是长方体10．（2021春•丰台区期末）已知正三棱锥P﹣ABC，底面ABC的中心为点O，给出下列结论：①PO⊥底面ABC；②棱长都相等；③侧面是全等的等腰三角形．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③11．（2021春•房山区期末）下列命题正确的是（）A．正方形的直观图是正方形B．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台C．各个面都是三角形的几何体是三棱锥D．圆锥有无数条母线12．（2021春•海淀区校级期末）若圆锥的母线长与底面半径之比为4：1，则该圆锥的侧面积与底面积之比为（）A．4：1B．2：1C．π：1D．π：213．（2021春•海淀区校级期末）圆锥的表面积为12π，母线长为4，则该圆锥的底面半径为（）A．2B．3C．1D．14．（2020秋•东城区期末）将正方体去掉一个四棱锥，得到的几何体如图所示，该几何体的侧（左）（）A．B．C．D．15．（2019秋•海淀区校级期末）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点P是棱上一点（含顶点），则满足（）A．6B．8C．12D．2416．下列命题正确的是（）A．棱柱的每个面都是平行四边形B．一个棱柱至少有五个面C．棱柱有且只有两个面互相平行D．棱柱的侧面都是矩形17．（2020秋•海淀区校级期末）四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面为正方形，侧棱与底面垂直，点P是侧棱DD1的中点，AA1＝2，AB＝1，若点Q在侧面BCC1B1（包括其边界）上运动，且总保持AQ⊥BP，则动点Q的轨迹是（）A．B．C．D．18．（2021春•丰台区校级期末）如图所示的平面结构（阴影部分为实心，空白部分为空心），绕其图中的对称轴旋转一周，形成的几何体为（）A．一个球B．一个球中间挖去一个棱柱C．一个圆柱D．一个球中间挖去一个圆柱19．正四棱柱的高为3cm，体对角线长为cm（）A．10B．24C．36D．4020．（2021春•昌平区期末）已知正四棱锥的侧棱长为2，高为．则该正四棱锥的表面积为（）A．B．C．D．21．（2021春•房山区期末）已知正四棱锥P﹣ABCD的高为，底面边长为2，则正四棱锥P﹣ABCD的侧面积为（）A．B．8C．D．422．（2021春•海淀区校级期末）如图所示，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1，则三棱锥B1﹣ABC1的体积为（）A．B．C．D．23．（2021春•西城区期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知A（a，0，0），B（0，b，0），C（0，0，c）（a＞0，b＞0，c＞0），且△ABC的面积为6．过O作OH⊥平面ABC于点H．若三棱锥O﹣ABC的体积为6（）A．（1，1，1）B．（1，2，2）C．（1，2，1）D．（1，2，3）24．（2021春•昌平区期末）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AA1，CC1的中点，O为底面ABCD的中心，点P在正方体的表面上运动，则下列说法正确的是（）A．点P可以是棱BB1的中点B．线段NP的最大值为C．点P的轨迹是平行四边形D．点P轨迹的长度为25．（2020春•朝阳区期末）连接空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角α（0°＜α＜360°），使该几何体与自身重合，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C（）A．7条B．9条C．13条D．14条26．（2021春•延庆区期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，那么三棱锥D1﹣ABC的体积是（）A．B．C．D．27．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E是棱AB的中点，F是侧面AA1D1D内一点，若EF∥平面BB1D1D，则EF长度的范围为（）A．[]B．[]C．[]D．[]28．（2021春•西城区校级期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则下列结论一定成立的是（）A．四边形EFGH是矩形B．四边形EFGH是正方形C．BD∥HG D．平面EFGH∥平面ABCD29．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为BD1，B1C1的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足MP⊥CN（）A．点P可以是棱BB1的中点B．线段MP的最大值为C．点P的轨迹是正方形D．点P轨迹的长度为30．（2021春•丰台区校级期末）在酒泉卫星发射场某试验区，用四根垂直于地面的立柱支撑着一个平行四边形的太阳能电池板，可测得其中三根立柱AA1、BB1、CC1的长度分别为10m、15m、30m，则立柱DD1的长度是（）A．30m B．25m C．20m D．15m31．（2019春•西城区校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AD＝1，∠DAB＝60°，且PD⊥平面ABCD，Q为PC的中点（）A．AD⊥PBB．PQ⊥DBC．平面PBC⊥平面PBDD．三棱锥D﹣PBQ的体积为二．填空题（共20小题）32．（2020春•延庆区期末）一个圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则圆锥底面半径为．33．（2020春•海淀区校级期末）某正方体的体对角线长为，则这个正方体的表面积为．34．（2019春•西城区期末）圆柱的高是2，底面圆的半径是1，则圆柱的侧面积是．35．（2021春•顺义区期末）已知四棱锥P﹣ABCD的8条棱长都相等，任取其中3条棱的中点做平面，截该四棱锥所得的平面图形可能是（写出所有正确结论的序号）．①等腰三角形；②等腰梯形；③正方形36．（2020春•海淀区校级期末）已知正四棱锥的高为4，侧面积为4，则该棱锥的侧棱长为．37．（2021春•顺义区期末）以边长为1的正方形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周得到一个圆柱，则该圆柱的表面积是．38．（2019春•海淀区校级期末）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的侧面积为．39．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于．40．（2020春•朝阳区期末）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的（如图）．则该几何体共有个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是cm2．41．（2020春•延庆区期末）如图，四面体ABCD的一条棱长为x，其余棱长均为2（x），则函数F（x）的定义域为；最大值为．42．（2020春•密云区期末）将底面直径为8，高为2的圆锥体石块打磨成一个圆柱．43．（2021春•西城区校级期末）我国魏晋时期的数学家刘徽在给《九章算术》作注时，想到了推算球体积的方法，创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形．如图1所示，其相交的部分，就是牟合方盖，牟合方盖恰好把正方体的内切球包含在内并且同球相切．刘微指出，球体积与牟合方盖体积之比等于，则“牟合方盖”的体积等于．44．（2021春•海淀区校级期末）阿基米德（Archimedes，公元前287年﹣公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家，他构造了这样的一个几何体（如图所示），圆柱的底面直径与高都等于球的直径．若球的体积为36π，则圆柱的体积为．45．（2021春•海淀区校级期末）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，ABFE，CDEF均为等腰梯形，AB＝6，CD＝8，EF到平面ABCD 的距离为3，CD与AB间的距离为10．46．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动．平面区域W由所有满足A1P≥的点P组成，则W的面积是．47．（2021春•延庆区期末）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，M是线段A1E上的一点．给出下列命题：①平面ABCD中一定存在直线与平面ACM垂直；②平面ADD1A1中一定存在直线与平面ACM平行；③平面ADD1A1与平面ACM所成的锐二面角不小于45°；④当点M从点A1移动到点E时，点D到平面ACM的距离逐渐减小．其中，所有真命题的序号是．48．（2021春•海淀区校级期末）棱长为4正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱DD1的中点，N为棱B1C1的中点．设直线A1D1与平面MNC交于点Q．则D1Q＝．49．（2021春•丰台区校级期末）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，P A＝4，AB⊥BC，垂足为H，D是P A的中点（1）当CB＝2时，△CDH的面积是．（2）当△CDH的面积最大时，CB的长是．50．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．①在平面P AB内不存在直线与DC平行；②在平面P AB内存在无数多条直线与平面PDC平行；③平面P AB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；上述命题中正确命题的序号为．51．（2021春•海淀区校级期末）如图所示，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为棱A1B1的中点，过点A1的平面α与平面BMC1平行，则平面α与直线CD的交点到顶点D的距离为；三棱锥A1﹣BMC1的体积为．三．解答题（共3小题）52．（2021春•西城区期末）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD＝90°，且AB ＝AD＝2，AA1＝1．（Ⅰ）求三棱锥B1﹣ABD的体积；（Ⅰ）求证：BC∥平面ADD1A1；（Ⅰ）求证：AC⊥B1D．53．（2021春•东城区期末）如图①，矩形ABCD中，AB＝4，E，F分别为AB，DC的中点．将四边形AEFD沿EF 折起至四边形A1EFD1的位置，如图②．（1）求证：EF⊥平面A1EB；（2）若点A1在平面EFCB上的射影为BE的中点，求三棱锥F﹣A1BC的体积；（3）当平面A1EFD1与平面EFCB垂直时，作正方体A1D1NM﹣EFCB如图③．若平面α∥平面A1FB，且平面a 截该正方体所得图形的面积为S．①若C∈α，则S＝；②S的最大值为．（直接写出结果）54．（2021春•西城区校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，且P A＝AD＝3，点E为线段PD的中点．（1）求证：PB∥平面AEC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）求三棱锥A﹣PEC的体积．2019-2021北京高中数学期末汇编：空间几何体参考答案与试题解析一．选择题（共31小题）1．（2020秋•石景山区期末）如图，P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若△PBD 的面积为f（x）（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】先设正方体的棱长为1，连接AC交BD于O，连PO，则PO是等腰△PBD的高，从而△PBD的面积为f（x）＝BD×PO，再在△P AO中，利用余弦定理得出PO，最后得出f（x）的解析式，画出其图象，对照选项即可解决问题．【解答】解：设正方体的棱长为1，连接AC交BD于O，则PO是等腰△PBD的高，故△PBD的面积为f（x）＝BD×PO，在三角形P AO中，PO＝＝，∴f（x）＝××＝，画出其图象，如图所示，对照选项，A正确．故选：A．【点评】本小题主要考查棱柱的结构特征、函数的图象等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．2．（2021春•海淀区校级期末）已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的高为（）A．1B．C．D．2【分析】求出圆锥的底面半径r，再利用勾股定理求出圆锥的高．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，可得2πr＝π×2，解得r＝1，所以此圆锥的高为h＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，是基础题．3．（2021春•西城区期末）某圆锥的母线长为5cm，底面半径长为3cm，则该圆锥的体积为（）A．12πcm3B．15πcm3C．36πcm3D．45πcm3【分析】根据圆锥的母线长和底面半径求出圆锥的高，再计算圆锥的体积．【解答】解：圆锥的母线长l＝5cm，底面半径长r＝3cm，所以圆锥的高h＝＝＝4（cm），所以该圆锥的体积为V＝πr5h＝π×42×4＝12π（cm）7．故选：A．【点评】本题考查了圆锥的结构特征与体积计算问题，是基础题．4．（2020春•顺义区期末）已知某圆柱底面的半径为1，高为2，则该圆柱的表面积为（）【分析】圆柱的表面积＝侧面积+两个底面积＝底面周长×高+2πr2．【解答】解：根据圆柱表面积的计算公式可得π×2×1×6+π×12×4＝6π．故选：C．【点评】本题考查圆柱的表面积的求法，找到所求的量的等量关系是解决问题的关键．5．（2020春•平谷区期末）已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（）A．2πB．8πC．12πD．16π【分析】根据圆柱的底面半径和高求出圆柱的侧面积．【解答】解：圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是S侧＝2π×5×2＝8π．故选：B．【点评】本题考查了圆柱的侧面积计算问题，是基础题．6．（2020春•西城区期末）圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，则圆柱的侧面积为（）A．20πcm2B．10πcm2C．28πcm2D．14πcm2【分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可．【解答】解：圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，则圆柱的侧面积为S侧＝3π×2×5＝20π（cm6）．故选：A．【点评】本题考查了圆柱的侧面积计算问题，是基础题．7．（2021春•朝阳区期末）如图、在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝2，则该四棱锥的体积为（）【分析】根据棱锥的体积公式，计算即可．【解答】解：四棱锥P﹣ABCD中，底面矩形ABCD的面积为S矩形ABCD＝AB•AD＝3×2＝5，因为PD⊥底面ABCD，所以四棱锥的高为PD＝3，所以该四棱锥的体积为V四棱锥P﹣ABCD＝S矩形ABCD•PD＝×2×3＝6．故选：D．【点评】本题考查了利用棱锥的体积公式计算四棱锥体积的应用问题，是基础题．8．（2020春•丰台区期末）如图所示，下列四个几何体：其中不是棱柱的序号是（）A．①B．②C．③D．④【分析】利用棱柱的定义，判断几何体的正误即可．【解答】解：根据棱柱的定义，有两个面互相平行，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体，可知①是三棱柱；②是多面体；③是四棱柱．故选：B．【点评】本题考查棱柱的结构特征，棱柱的定义，是基本知识的考查．9．（2021春•通州区期末）下列说法不正确的是（）A．平行六面体的侧面和底面均为平行四边形B．直棱柱的侧棱长与高相等C．斜棱柱的侧棱长大于斜棱柱的高D．直四棱柱是长方体【分析】利用平行多面体的定义判断选项A，由直四棱柱的结构特征判断选项B，由斜棱柱的特征判断选项C，由直四棱柱与长方体的定义判断选项D．【解答】解：对于A，由平行多面体的定义可知，故选项A正确；对于B，直四棱柱上下底面平行，故选项B正确；对于C，设斜棱柱的侧棱与高所成的角为α，则cosα＝h＜l（其中l为棱长，h为高）；对于D，直四棱柱上下底面平行，故直棱柱不一定是长方体，故选项D错误．故选：D．【点评】本题考查了平行多面体的定义、直四棱柱的结构特征、斜棱柱的特征、长方体的定义，考查了基本概念的理解与应用，空间想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．10．（2021春•丰台区期末）已知正三棱锥P﹣ABC，底面ABC的中心为点O，给出下列结论：①PO⊥底面ABC；②棱长都相等；③侧面是全等的等腰三角形．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】利用正三棱锥的定义以及结构特征，依次判断即可．【解答】解：由正三棱锥的定义可知，顶点在底面的射影为底面的中心，所以PO⊥底面ABC，故选项①正确；由正三棱锥的定义可知，底面是正三角形，但是侧棱长和底面边长的大小关系不确定，故选项②错误；由正三棱锥的定义可知，侧棱长均相等，故选项③正确．故选：B．【点评】本题考查了正三棱锥的定义以及正三棱锥的结构特征，考查了空间想象能力，属于基础题．11．（2021春•房山区期末）下列命题正确的是（）A．正方形的直观图是正方形B．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台C．各个面都是三角形的几何体是三棱锥D．圆锥有无数条母线【分析】根据棱锥、棱台的概念与结构特征，即可得解．【解答】解：根据斜二测画法可知，正方形的直观图不可能是正方形；只有当平面与棱锥的底面平行时，才能截出棱台；如果一个多面体的一个面是三角形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，与选项的区别重点是“公共顶点”；圆锥有无数条母线，即选项D正确．故选：D．【点评】本题考查简单空间几何体的概念与结构特征，考查空间立体感，属于基础题．12．（2021春•海淀区校级期末）若圆锥的母线长与底面半径之比为4：1，则该圆锥的侧面积与底面积之比为（）A．4：1B．2：1C．π：1D．π：2【分析】设圆锥的母线长为l＝4x，则底面半径r＝x，分别求出圆锥的侧面积和底面面积，即可得到答案．【解答】解：设圆锥的母线长为l＝4x，则底面半径r＝x，所以圆锥的侧面积为S＝πrl＝4πx4，圆锥底面面积为S'＝πr2＝πx2，所以该圆锥的侧面积与底面积之比为6：1．故选：A．【点评】本题考查了圆锥的几何性质的应用，圆锥的侧面积公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．13．（2021春•海淀区校级期末）圆锥的表面积为12π，母线长为4，则该圆锥的底面半径为（）A．2B．3C．1D．【分析】设圆锥的底面半径为r，根据圆锥的表面积列方程求出r的值．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，所以圆锥的表面积为S＝S底面积+S侧面积＝π•r2+πrl＝π•r2+8πr＝12π，即r2+4r﹣12＝7，解得r＝2或r＝﹣6（不合题意，舍去），所以该圆锥的底面半径为5．故选：A．【点评】本题考查了圆锥的表面积计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．14．（2020秋•东城区期末）将正方体去掉一个四棱锥，得到的几何体如图所示，该几何体的侧（左）（）A．B．C．D．【分析】将几何体补充为正方体，结合图形得出该几何体的侧（左）视图．【解答】解：将几何体补充为正方体，如图1所示：则该正方体去掉这个四棱锥，得到的几何体的侧（左）视图如图2所示：故选：B．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了直观想象能力，是基础题．15．（2019秋•海淀区校级期末）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点P是棱上一点（含顶点），则满足（）A．6B．8C．12D．24【分析】建立空间直角坐标系，则点A（2，0，0），C1（0，2，2），考虑P在上底面的棱上，设点P的坐标为（x，y，2），则由题意可得0≤x≤2，0≤y≤2，计算＝x2﹣2x+y2﹣2y＝（x﹣1）2+（y﹣1）2﹣2＝﹣1，即可得出结论．【解答】解：如图所示：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．则点A（2，7，0），C1（8，2，2），设点P的坐标为（x，y，则由题意可得7≤x≤2．∴＝（2﹣x，﹣2），，2﹣y，∴＝﹣x（2﹣x）﹣y（2﹣y）+8＝x2﹣2x+y5﹣2y＝（x﹣1）4+（y﹣1）2﹣8＝﹣1，∵点P是棱上一点（含顶点），∴（x﹣1）8+（y﹣1）2＝8与正方形A1B1C4D1切于4个点，同理P在右侧面的棱上，也有3个点，下底面中P（2，1，7），，﹣1，5，2）＝﹣1，3，0），，﹣5，1，2）＝﹣3，内侧面，P（0，0，＝（2，0，2，1）＝﹣1，2，1），，﹣8，0，1）＝﹣5，∴满足的点P的个数为12故选：C．【点评】本题主要考查向量在几何中的应用，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．16．下列命题正确的是（）A．棱柱的每个面都是平行四边形B．一个棱柱至少有五个面C．棱柱有且只有两个面互相平行D．棱柱的侧面都是矩形【分析】直接利用棱柱的定义，棱柱的性质判断A、B、C、D的结论．【解答】解：对于A：棱柱的每个侧面都是平行四边形，故A错误；对于B：棱柱的侧面最少由三个侧面，故一个棱柱最少有五个面；对于C：正方体是正四棱柱，每个对面都互相平行；对于D：平行六面体的侧面为平行四边形，故D错误；故选：B．【点评】本题考查的知识要点：棱柱的定义，棱柱的性质，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．17．（2020秋•海淀区校级期末）四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面为正方形，侧棱与底面垂直，点P是侧棱DD1的中点，AA1＝2，AB＝1，若点Q在侧面BCC1B1（包括其边界）上运动，且总保持AQ⊥BP，则动点Q的轨迹是（）A．B．C．D．【分析】分别取BB1、CC1的中点M、N，连CM、MN、PN、AC，则由CM⊥BN知：CM⊥BP，由BP⊥AC．推导出Q在线段MC上．由此能求出动点Q的轨迹．【解答】解：分别取BB1、CC1的中点M、N，连CM、PN，则由CM⊥BN知：CM⊥BP，又BP⊥AC．故BP⊥平面AMC．∴过A与BP垂直的直线均在平面AMC内，又Q在平面BCC3B1内，故Q∈平面AMC∩侧面BB1C2C，即Q在线段MC上．故选：D．【点评】本题考查动点的轨迹的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．（2021春•丰台区校级期末）如图所示的平面结构（阴影部分为实心，空白部分为空心），绕其图中的对称轴旋转一周，形成的几何体为（）A．一个球B．一个球中间挖去一个棱柱C．一个圆柱D．一个球中间挖去一个圆柱【分析】利用球以及圆柱的定义进行分析判断，即可得到答案．【解答】解：由题意，根据球的定义，由圆柱的定义，可得里面的长方形旋转形成一个圆柱，所以绕其图中的对称轴旋转一周，形成的几何体为一个球中间挖去一个圆柱．故选：D．【点评】本题考查了旋转体的理解与应用，主要考查了球以及圆柱定义的应用，考查了空间想象能力，属于基础题．19．正四棱柱的高为3cm，体对角线长为cm（）A．10B．24C．36D．40【分析】利用勾股定理求出正四棱柱的底面边长，正四棱柱的侧面积等于底面的周长乘以高．【解答】解：正四棱柱的高为3cm，对角线长为，所以 17＝9+5AB2，解得正四棱柱的底面边长为AB＝2，所以此正四棱柱的侧面积为7×2×3＝24（cm6）．故选：B．【点评】本题考查正四棱柱的结构特征与侧面积的计算问题，是基础题．20．（2021春•昌平区期末）已知正四棱锥的侧棱长为2，高为．则该正四棱锥的表面积为（）A．B．C．D．【分析】根据条件作图可求得该四棱锥的底面边长，进而可求得其表面积．【解答】解：如图，由题可知正四棱锥V﹣ABCD中，VB＝2，则OB＝＝＝，故AB＝OB＝3，所以该正四棱锥的表面积为4××4+2×8＝4+4故选：C．【点评】本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，数形结合思想，属于基础题．21．（2021春•房山区期末）已知正四棱锥P﹣ABCD的高为，底面边长为2，则正四棱锥P﹣ABCD的侧面积为（）A．B．8C．D．4【分析】根据题意计算正四棱锥侧面的高，求出它的侧面积．【解答】解：正四棱锥底面边长为2，高为，则侧面的斜高为h＝＝2，所以正四棱锥的侧面积为S＝4××2×6＝8．故选：B．【点评】本题考查了正四棱锥的结构特征以及侧面积的求法，是基础题．22．（2021春•海淀区校级期末）如图所示，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1，则三棱锥B1﹣ABC1的体积为（）A．B．C．D．【分析】取B1C1的中点D，可知A1D⊥面BB1C1，根据三棱锥的体积公式求三棱锥的底面积和高，再求出体积．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C6的所有棱长均为1，∴三棱锥B1﹣ABC6的体积等于A﹣B1BC1的体积，也等于A7﹣BB1C1的体积，取B5C1的中点D，则由正三棱柱的性质可知，A1D⊥面BB5C1，∴A1D＝．∴三棱锥B1﹣ABC5的体积V＝，故选：A．【点评】本题考查正三棱柱的性质以及三棱锥的体积的计算，利用三棱锥的体积相等进行转化是解决本题的关键，属于基础题．23．（2021春•西城区期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知A（a，0，0），B（0，b，0），C（0，0，c）（a＞0，b＞0，c＞0），且△ABC的面积为6．过O作OH⊥平面ABC于点H．若三棱锥O﹣ABC的体积为6（）A．（1，1，1）B．（1，2，2）C．（1，2，1）D．（1，2，3）【分析】由题意可知，OH为三棱锥O﹣ABC的高，利用锥体的体积求出OH＝3，设H（x，y，z），则，故x2+y2+z2＝9，依次判断四个选项即可．【解答】解：由题意，三棱锥O﹣ABC的体积为6，过O作OH⊥平面ABC于点H，则OH为三棱锥O﹣ABC的高，所以，解得OH＝3，在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知A（a，0，B（0，b，C（4，0，b＞0，设H（x，y，z），则，因为OH＝5，则有x2+y2+z3＝9，对于A，1+8+1＝3，故选项A错误；对于B，5+4+4＝5，故选项B正确；对于C，1+4+8＝6，故选项C错误；对于D，1+3+9＝14，故选项C错误．故选：B．【点评】本题考查了锥体体积公式的应用，解题的关键是利用体积求出OH，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题．24．（2021春•昌平区期末）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AA1，CC1的中点，O为底面ABCD的中心，点P在正方体的表面上运动，则下列说法正确的是（）A．点P可以是棱BB1的中点B．线段NP的最大值为C．点P的轨迹是平行四边形D．点P轨迹的长度为【分析】过N点作与直线MO垂直的平面，该平面与正方体表面的交线即为P点的轨迹．根据正方体的性质得MO∥A1C，A1C⊥平面C1DB，所以MO⊥平面C1DB，又因为N为CC1中点，故分别取CD中点F，CB中点E，则P点的轨迹为△NEF．【解答】解：如图，连接AC，A1C，取CD中点F，连接NF，EF．因为M，O分别为AA1，AC的中点，所以MO∥A3C．在正方体中，A1C⊥平面C1DB，又平面NEF∥平面C7DB，所以A1C⊥平面NEF．所以，MO⊥平面NEF．所以P点的轨迹长度为△NEF的周长为，NP的最大值为NE．故选：B．【点评】本题考查正方体的性质，考查线面垂直和面面平行的应用，属于中档题．25．（2020春•朝阳区期末）连接空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角α（0°＜α＜360°），使该几何体与自身重合，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C（）A．7条B．9条C．13条D．14条【分析】由题意结合对称性分三类找出对称轴，则答案可求．【解答】解：由对称性结合题意可知，过EF、AC，此时旋转角α最小为90°；过正方形ABCD，AECF，共6条；过八面体相对面中心的连线为旋转轴，共4条．综上，这个八面体的旋转轴共有13条．故选：C．【点评】本题考查多面体的结构特征，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．26．（2021春•延庆区期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，那么三棱锥D1﹣ABC的体积是（）A．B．C．D．【分析】求出D1到平面ABC的距离为BB1＝a，从而三棱锥D1﹣ABC的体积是＝．【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C3D1的棱长为a，D1到平面ABC的距离为BB2＝a，∴三棱锥D1﹣ABC的体积是：＝＝＝．故选：D．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查三棱锥体积公式、正方体的结构特征等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．27．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E是棱AB的中点，F是侧面AA1D1D内一点，若EF∥平面BB1D1D，则EF长度的范围为（）。

空间几何体的结构____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________掌握棱柱、棱锥、棱台等多面体结构特征．掌握圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的结构特征．概括简单组合体的结构特征．1．几何体只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．2．构成空间几何体的基本元素(1)构成空间几何体的基本元素：点、线、面是构成空间几何体的基本元素．(2)平面及其表示方法：①平面的概念：平面是处处平直的面，它是向四面八方无限延展的．②平面的表示方法：图形表示：在立体几何中，通常画平行四边形表示一个平面并把它想象成无限延展的符号表示：平面一般用希腊字母α，β，γ…来命名，还可以用表示它的平行四边形对角顶点的字母来命名．深刻理解平面的概念，搞清平面与平面图形的区别与联系是解决相关问题的关键．平面与平面图形的区别与联系为：平面是没有厚度、绝对平展且无边界的，也就是说平面是无限延展的，无厚薄，无大小的一种理想的图形．平面可以用三角形、梯形、圆等平面图形来表示．但平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们是有大小之分的，不能说三角形、正方形、梯形是平面，只能说平面可以用平面图形来表示．(3)用运动的观点理解空间基本图形之间的关系：①点动成线：运动方向始终不变得到直线或线段；运动方向时刻变化得到的是曲线或者曲线的一段．②线动成面：直线平行移动可以得到平面或者曲面；固定射线的端点，让其绕一个圆弧转动，可以形成锥面．③面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体． 3．棱柱 (1)棱柱的定义一般地，由一个平面多边形（凸多边形）沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱。

第1讲 空间几何体【要点提炼】考点一 表面积与体积1．旋转体的侧面积和表面积(1)S 圆柱侧＝2πrl ，S 圆柱表＝2πr(r ＋l)(r 为底面半径，l 为母线长)．(2)S 圆锥侧＝πrl ，S 圆锥表＝πr(r ＋l)(r 为底面半径，l 为母线长)．(3)S 球表＝4πR 2(R 为球的半径)．2．空间几何体的体积公式V 柱＝Sh(S 为底面面积，h 为高)；V 锥＝13Sh(S 为底面面积，h 为高)； V 球＝43πR 3(R 为球的半径)． 【热点突破】【典例】1 (1)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°.若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．【答案】 402π【解析】 因为母线SA 与圆锥底面所成的角为45°，所以圆锥的轴截面为等腰直角三角形．设底面圆的半径为r ，则母线长l ＝2r.在△SAB 中，cos ∠ASB ＝78，所以sin ∠ASB ＝158. 因为△SAB 的面积为515，即12SA ·SBsin ∠ASB＝12×2r ×2r ×158＝515， 所以r 2＝40，故圆锥的侧面积为πrl ＝2πr 2＝402π.(2)如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长均为2，点D 在棱AA 1上，则三棱锥D －BB 1C 1的体积为________．【答案】 233 【解析】 如图，取BC 的中点O ，连接AO.∵正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长均为2，∴AC ＝2，OC ＝1，则AO ＝ 3.∵AA 1∥平面BCC 1B 1，∴点D 到平面BCC 1B 1的距离为 3.又11BB C S ＝12×2×2＝2， ∴11D BB C V ＝13×2×3＝233. 易错提醒 (1)计算表面积时，有些面的面积没有计算到(或重复计算)．(2)一些不规则几何体的体积不会采用分割法或补形思想转化求解．(3)求几何体体积的最值时，不注意使用基本不等式或求导等确定最值．【拓展训练】1 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π【答案】 B【解析】 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，由题意可知2r ＝h ＝22，∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πr ·h ＝4π＋8π＝12π.故选B.(2)如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝1，D 和E 分别是边BC 和AC 上异于端点的点，DE ⊥BC ，将△CDE 沿DE 折起，使点C 到点P 的位置，得到四棱锥P －ABDE ，则四棱锥P －ABDE 的体积的最大值为________．【答案】 327 【解析】 设CD ＝DE ＝x(0<x<1)，则四边形ABDE 的面积S ＝12(1＋x)(1－x)＝12(1－x 2)，当平面PDE ⊥平面ABDE 时，四棱锥P －ABDE 的体积最大，此时PD ⊥平面ABDE ，且PD ＝CD ＝x ，故四棱锥P －ABDE 的体积V ＝13S ·PD ＝16(x －x 3)，则V ′＝16(1－3x 2)．当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，33时，V ′>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1时，V ′<0. ∴当x ＝33时，V max ＝327. 【要点提炼】考点二 多面体与球解决多面体与球问题的两种思路(1)利用构造长方体、正四面体等确定直径．(2)利用球心O 与截面圆的圆心O 1的连线垂直于截面圆的性质确定球心．【典例】2 (1)已知三棱锥P －ABC 满足平面PAB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AB ＝4，∠APB ＝30°，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】 64π【解析】 因为AC ⊥BC ，所以△ABC 的外心为斜边AB 的中点，因为平面PAB ⊥平面ABC ，所以三棱锥P －ABC 的外接球球心在平面PAB 上，即球心就是△PAB 的外心，根据正弦定理AB sin ∠APB＝2R ，解得R ＝4， 所以外接球的表面积为4πR 2＝64π.(2)(2020·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．【答案】 23π 【解析】 圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面PAB ，如图所示，则△PAB 的内切圆为圆锥的内切球的大圆．在△PAB 中，PA ＝PB ＝3，D 为AB 的中点，AB ＝2，E 为切点，则PD ＝22，△PEO ∽△PDB ，故PO PB ＝OE DB ，即22－r 3＝r 1，解得r ＝22， 故内切球的体积为43π⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝23π. 规律方法 (1)长方体的外接球直径等于长方体的体对角线长．(2)三棱锥S －ABC 的外接球球心O 的确定方法：先找到△ABC 的外心O 1，然后找到过O 1的平面ABC 的垂线l ，在l 上找点O ，使OS ＝OA ，点O 即为三棱锥S －ABC 的外接球的球心．(3)多面体的内切球可利用等积法求半径．【拓展训练】2 (1)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π【答案】 C【解析】 如图所示，设球O 的半径为R ，因为∠AOB ＝90°，所以S △AOB ＝12R 2，因为V O －ABC ＝V C －AOB ，而△AOB 的面积为定值，当点C 位于垂直于平面AOB 的直径端点时，三棱锥O －ABC 的体积最大，此时V O －ABC ＝V C －AOB ＝13×12R 2×R ＝16R 3＝36， 故R ＝6，则球O 的表面积为S ＝4πR 2＝144π.(2)中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，AD ＝5，ED ＝3，若鳖臑P －ADE 的外接球的体积为92π，则阳马P －ABCD 的外接球的表面积为________．【答案】 20π【解析】 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ⊥CD ，即AD ⊥CE ，且AD ＝5，ED ＝3，∴△ADE 的外接圆半径为r 1＝AE 2＝AD 2＋ED 22＝2， 设鳖臑P －ADE 的外接球的半径为R 1，则43πR 31＝92π，解得R 1＝322. ∵PA ⊥平面ADE ，∴R 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PA 22＋r 21， 可得PA 2＝R 21－r 21＝102，∴PA ＝10. 正方形ABCD 的外接圆直径为2r 2＝AC ＝2AD ＝10，∴r 2＝102，∵PA ⊥平面ABCD ，∴阳马P －ABCD 的外接球半径R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PA 22＋r 22＝5， ∴阳马P －ABCD 的外接球的表面积为4πR 22＝20π.专题训练一、单项选择题1.水平放置的△ABC 的直观图如图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 是一个( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．三边中只有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形【答案】 A【解析】 AO ＝2A ′O ′＝2×32＝3，BC ＝B ′O ′＋C ′O ′＝1＋1＝2.在Rt △AOB 中，AB ＝12＋32＝2，同理AC ＝2，所以原△ABC 是等边三角形．2．(2020·全国Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A.5－14 B.5－12 C.5＋14 D.5＋12 【答案】 C【解析】 设正四棱锥的底面正方形的边长为a ，高为h ，侧面三角形底边上的高(斜高)为h ′，则由已知得h 2＝12ah ′. 如图，设O 为正四棱锥S －ABCD 底面的中心，E 为BC 的中点，则在Rt △SOE 中，h ′2＝h 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22， ∴h ′2＝12ah ′＋14a 2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫h ′a 2－12·h ′a －14＝0， 解得h ′a ＝5＋14(负值舍去)． 3．已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的内切球的表面积为S 1，外接球的表面积为S 2，则S 1S 2等于( ) A.12 B.13 C.14 D.18【答案】 C【解析】 如图，由已知圆锥侧面积是底面积的2倍，不妨设底面圆半径为r ，l 为底面圆周长，R 为母线长， 则12lR ＝2πr 2， 即12·2π·r ·R ＝2πr 2， 解得R ＝2r ，故∠ADC ＝30°，则△DEF 为等边三角形，设B 为△DEF 的重心，过B 作BC ⊥DF ，则DB 为圆锥的外接球半径，BC 为圆锥的内切球半径，则BC BD ＝12，∴r 内r 外＝12，故S 1S 2＝14. 4．(2020·大连模拟)一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，如图，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体．已知文物近似于塔形，高1.8米，体积0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆形，要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米，气体每立方米1 000元，则气体的费用最少为( )A ．4 500元B ．4 000元C ．2 880元D ．2 380元【答案】 B【解析】 因为文物底部是直径为0.9米的圆形，文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，所以由正方形与圆的位置关系可知，底面正方形的边长为0.9＋2×0.3＝1.5米，又文物高1.8米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2(米)，所以正四棱柱的高为1.8＋0.2＝2(米)，则正四棱柱的体积V ＝1.52×2＝4.5(立方米)．因为文物的体积为0.5立方米，所以罩内空气的体积为4.5－0.5＝4(立方米)，因为气体每立方米1 000元，所以气体的费用最少为4×1 000＝4 000(元)，故选B.5.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，动点E 在BB 1上，动点F 在A 1C 1上，O 为底面ABCD 的中心，若BE ＝x ，A 1F ＝y ，则三棱锥O －AEF 的体积( )A ．与x ，y 都有关B ．与x ，y 都无关C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关【答案】 B【解析】 由已知得V 三棱锥O －AEF ＝V 三棱锥E －OAF ＝13S △AOF ·h(h 为点E 到平面AOF 的距离)．连接OC ，因为BB 1∥平面ACC 1A 1，所以点E 到平面AOF 的距离为定值．又AO ∥A 1C 1，OA 为定值，点F 到直线AO 的距离也为定值，所以△AOF 的面积是定值，所以三棱锥O －AEF 的体积与x ，y 都无关．6．在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3 B.4π3 C.5π3 D ．2π 【答案】 C【解析】 如图，过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，该几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3. 7．(2020·全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆．若⊙O 1的面积为4π，AB ＝BC ＝AC ＝OO 1，则球O 的表面积为( )A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【答案】 A【解析】 如图，设圆O 1的半径为r ，球的半径为R ，正三角形ABC 的边长为a.由πr 2＝4π，得r ＝2， 则33a ＝2，a ＝23， OO 1＝a ＝2 3.在Rt △OO 1A 中，由勾股定理得R 2＝r 2＋OO 21＝22＋(23)2＝16，所以S 球＝4πR 2＝4π×16＝64π.8．(2020·武汉调研)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的表面上，若AB ＝AC ＝1，AA 1＝23，∠BAC ＝2π3，则球O 的体积为( ) A.32π3 B ．3π C.4π3 D ．8π【答案】 A【解析】 设△ABC 外接圆圆心为O 1，半径为r ，连接O 1O ，如图，易得O 1O ⊥平面ABC ，∵AB ＝AC ＝1，AA 1＝23，∠BAC ＝2π3， ∴2r ＝AB sin ∠ACB ＝112＝2， 即O 1A ＝1，O 1O ＝12AA 1＝3， ∴OA ＝O 1O 2＋O 1A 2＝3＋1＝2，∴球O 的体积V ＝43π·OA 3＝32π3.故选A. 9.如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球对接而成，在该封闭的几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上、下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为( )A.2 000π9B.4 000π27 C ．81πD ．128π【答案】 B 【解析】 小圆柱的高分为上、下两部分，上部分的高同大圆柱的高相等，为5，下部分深入底部半球内．设小圆柱下部分的高为h(0<h<5)，底面半径为r(0<r<5)．由于r ，h 和球的半径构成直角三角形，即r 2＋h 2＝52，所以小圆柱的体积V ＝πr 2(h ＋5)＝π(25－h 2)(h ＋5)(0<h<5)，把V 看成是关于h 的函数，求导得V ′＝－π(3h －5)(h ＋5)．当0<h<53时，V ′>0，V 单调递增；当53<h<5时，V ′<0，V 单调递减．所以当h ＝53时，小圆柱的体积取得最大值．即V max ＝π⎝⎛⎭⎪⎫25－259×⎝ ⎛⎭⎪⎫53＋5＝4 000π27，故选B. 10．已知在三棱锥P －ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且长度相等．若点P ，A ，B ，C 都在半径为1的球面上，则球心到平面ABC 的距离为( )A.36B.12C.13D.32【答案】 C【解析】 ∵在三棱锥P －ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且长度相等，∴此三棱锥的外接球即以PA ，PB ，PC 为三边的正方体的外接球O ，∵球O 的半径为1， ∴正方体的边长为233，即PA ＝PB ＝PC ＝233， 球心到截面ABC 的距离即正方体中心到截面ABC 的距离，设P 到截面ABC 的距离为h ，则正三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ×h ＝13 S △PAB ×PC ＝13× 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2333， ∵△ABC 为边长为263的正三角形， S △ABC ＝233，∴h ＝23， ∴球心(即正方体中心)O 到截面ABC 的距离为13. 二、多项选择题11．(2020·枣庄模拟)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD －A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的是( )A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值C ．随着容器倾斜度的不同，A 1C 1始终与水面所在平面平行D ．当容器倾斜如图③所示时，AE ·AH 为定值【答案】 AD【解析】 由于AB 固定，所以在倾斜的过程中，始终有CD ∥HG ∥EF ∥AB ，且平面AEHD ∥平面BFGC ，故水的部分始终呈棱柱形(三棱柱或四棱柱)，且AB 为棱柱的一条侧棱，没有水的部分也始终呈棱柱形，故A 正确；因为水面EFGH 所在四边形，从图②，图③可以看出，EF ，GH 长度不变，而EH ，FG 的长度随倾斜度变化而变化，所以水面EFGH 所在四边形的面积是变化的，故B 错；假设A 1C 1与水面所在的平面始终平行，又A 1B 1与水面所在的平面始终平行，则长方体上底面A 1B 1C 1D 1与水面所在的平面始终平行，这就与倾斜时两个平面不平行矛盾，故C 错；水量不变时，棱柱AEH －BFG 的体积是定值，又该棱柱的高AB 不变，且V AEH －BFG ＝12·AE ·AH ·AB ，所以AE ·AH ＝2V AEH －BFG AB ，即AE ·AH 是定值，故D 正确． 12. (2020·青岛检测)已知四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1的上、下底面均为正方形，其中AB ＝22，A 1B 1＝2，AA 1＝BB 1＝CC 1＝DD 1＝2，则下列叙述正确的是( )A ．该四棱台的高为 3B ．AA 1⊥CC 1C ．该四棱台的表面积为26D ．该四棱台外接球的表面积为16π【答案】 AD【解析】 将四棱台补为如图所示的四棱锥P －ABCD ，并取E ，E 1分别为BC ，B 1C 1的中点，记四棱台上、下底面中心分别为O 1，O ，连接AC ，BD ，A 1C 1，B 1D 1，A 1O ，OE ，OP ，PE.由条件知A 1，B 1，C 1，D 1分别为四棱锥的侧棱PA ，PB ，PC ，PD 的中点，则PA ＝2AA 1＝4，OA ＝2，所以OO 1＝12PO ＝12PA 2－OA 2＝3，故该四棱台的高为3，故A 正确；由PA ＝PC ＝4，AC ＝4，得△PAC 为正三角形，则AA 1与CC 1所成角为60°，故B 不正确；四棱台的斜高h ′＝12PE ＝12PO 2＋OE 2＝12×232＋22＝142，所以该四棱台的表面积为(22)2＋(2)2＋4×2＋222×142＝10＋67，故C 不正确；易知OA 1＝OB 1＝OC 1＝OD 1＝O 1A 21＋O 1O 2＝2＝OA ＝OB ＝OC ＝OD ，所以O 为四棱台外接球的球心，所以外接球的半径为2，外接球表面积为4π×22＝16π，故D 正确．三、填空题13．(2020·浙江)已知圆锥的侧面积(单位：cm 2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．【答案】 1【解析】 如图，设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则圆锥的侧面积S 侧＝πrl ＝2π，即r ·l ＝2.由于侧面展开图为半圆，可知12πl 2＝2π， 可得l ＝2，因此r ＝1.14.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40 cm ，母线长最短50 cm ，最长80 cm ，则斜截圆柱的侧面面积S ＝________cm 2.【答案】 2 600π【解析】 将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S ＝12×(π×40)×(50＋80)＝2 600π(cm 2)． 15．已知球O 与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O 的体积为________．【答案】 823π 【解析】 将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2 2.因为球O 与正四面体的各棱都相切，所以球O 为正方体的内切球，即球O 的直径2R ＝22，则球O 的体积V ＝43πR 3＝823π. 16．(2020·新高考全国Ⅰ)已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°.以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．【答案】2π2【解析】 如图，设B 1C 1的中点为E ，球面与棱BB 1，CC 1的交点分别为P ，Q ，连接DB ，D 1B 1，D 1P ，D 1E ，EP ，EQ ，由∠BAD ＝60°，AB ＝AD ，知△ABD 为等边三角形， ∴D 1B 1＝DB ＝2，∴△D 1B 1C 1为等边三角形，则D 1E ＝3且D 1E ⊥平面BCC 1B 1，∴E 为球面截侧面BCC 1B 1所得截面圆的圆心， 设截面圆的半径为r ，则r ＝R 2球－D 1E 2＝5－3＝ 2.又由题意可得EP ＝EQ ＝2，∴球面与侧面BCC 1B 1的交线为以E 为圆心的圆弧PQ. 又D 1P ＝5，∴B 1P ＝D 1P 2－D 1B 21＝1，同理C 1Q ＝1，∴P ，Q 分别为BB 1，CC 1的中点，∴∠PEQ ＝π2， 知PQ 的长为π2×2＝2π2，即交线长为2π2.。

空间几何体的表面积和体积计算棱柱【例1】 将一个边长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了 （ ）A ．26aB ．212aC ．218aD ．224a【考点】空间几何体的表面积和体积 【难度】1星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】B ． 【答案】B ．【例2】 长方体的全面积为11，12条棱长度之和为24，则长方体的一条对角线长为（ ）A． BC ．5D ．6【考点】空间几何体的表面积和体积 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】B设长方体的棱长分别为,,a b c ，则2()11ab bc ac ++=，4()24a b c ++=，对角线长为d =222222()2()116a b c a b c ab bc ac d ++=+++++=+=，解得：5d =．【答案】B ．【例3】线长为_____．典例分析板块三.空间几何体的表面积和体积【考点】空间几何体的表面积和体积【难度】1星【题型】填空【关键字】无【解析】设长方体三边长分别为a，b，c则有222123ab aac bcbc⎧=⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪==⎩⎪⎩，．【例4】正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底边的夹角为45︒角，则此三棱柱的体积为（）AB．CD．【考点】空间几何体的表面积和体积【难度】1星【题型】选择【关键字】无【解析】A；【答案】A；【例5】，则该正四棱柱的体积等于．【考点】空间几何体的表面积和体积【难度】2星【题型】填空【关键字】2008年，四川高考【解析】记正四棱柱的底面边长为a，高为h=，222)h=+，解得12a h==，．22V a h==．【答案】23；【例6】长方体中共点的三条棱长分别为a，b，c()a b c<<，分别过这三条棱中的一条及其对棱的对角面的面积分别记为a S ，b S ，c S ，则（ ）A ．a b c S S S >>B ．a c b S S S >>C ．b c a S S S >>D ．c b a S S S >>【考点】空间几何体的表面积和体积 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】由题意知：ab c S S S ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩222222222222222a b c S a b a c S a b b c S a c b c ⎧=+⎪⇒=+⎨⎪=+⎩，由c b a >>知：c b a S S S >>．【答案】c b a S S S >>【例7】，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（ ） ABCD ．23【考点】空间几何体的表面积和体积 【难度】2星 【题型】选择【关键字】2009年，陕西高考【解析】这个凸多面体是棱长为1的正八面体，可以看成两个正四棱锥，每个正四棱锥的体积为2113⋅=． 【答案】B ；【例8】 底面是菱形的直棱柱，它的对角线的长分别是9和15，高是5，求这个棱柱的侧面积．【考点】空间几何体的表面积和体积 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】设底面两条对角线的长分别为a b 、，则22222259515a b +=+=，，∴a b == ∴菱形的边长8x =，∴485160S =⨯⨯=．【答案】160．【例9】 若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60︒的菱形，则该棱柱的体积等于（ ）AB． C． D．【考点】空间几何体的表面积和体积 【难度】2星 【题型】选择【关键字】2008年，四川高考【解析】如图，ABCD 是正方形，取AF 中点H ，若60DAF ∠=︒，则连结DH ，H F EDCBA易知底面三角形是边长为2的正三角形，且DAF ∆为正三角形， 于是DH AF BH AF ⊥⊥，，且DH BH =BD =，不难算得DBH S ∆=1133D ABF F BDH A BDH BDH BDH V V V S FH S AH ---∆∆=+=⨯+⨯13BDH S AF ∆=⨯=因此3ABF DCE D ABF V V --==若60EFA ∠=︒，则连结EH ，此时有EH AF ⊥，可计算出E ABF V -=，同上可知三棱柱的体积为【答案】B ；【例10】 在体积为15的斜三棱柱111ABC A B C -中，S 是1C C 上的一点，S ABC -的体积为3，则三棱锥111S A B C -的体积为（ ） A ．1 B ．32C ．2D ．3 【考点】空间几何体的表面积和体积 【难度】2星【题型】选择 【关键字】无【解析】如图所示，设斜三棱柱底面积为S ，高为h ，三棱锥S ABC -的高为h '，则15Sh =，133S ABCV Sh -'==，∴35h h '=，∴111131235S A B C V S h -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭S CBA 1B 1C 1A【答案】C ．【例11】 直三棱柱111ABC A B C -各侧棱和底面边长均为a ，点D 是1CC 上任意一点，连结1A B ，BD ，1A D ，AD ，则三棱锥1A A BD -的体积（ ）A ．316aB3 C3 D ．3112a DC 1B 1A 1CBA【考点】空间几何体的表面积和体积【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无【解析】如图所示，三棱锥1A A BD -的体积即为1B AA D -，∴31132V a a ⎛⎫=⨯⋅= ⎪⎝⎭ 【答案】C ．【例12】 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，若E ，F 分别为AB ，AC 的中点，平面11EB C F将三棱柱分成体积为1V ，2V 的两部分，那么12:V V = ．V 2V 1A 1B 1C 1F EC BA【考点】空间几何体的表面积和体积 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】设三棱柱的高为h ，111A B C ABC S S S ∆∆==，则14AEF S S ∆=，∴11173412V h S S Sh ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，∴2751212V Sh Sh Sh =-= ∴12:7:5V V =【答案】12:7:5V V =【例13】 有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为3a 、4a 、5a ()0a >． 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是 ．【考点】空间几何体的表面积和体积 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2005年，上海春季高考【解析】 由图可知若拼成一个四棱柱，可能有把以3a 为底的侧面相接，以4a 为底的侧面相接和以5a 为底的侧面相接三种方案，相接的面积不在全面积中，故相接面的面积越大，得到的全面积越小． 上述三种方案中把以5a 为底的侧面相接时得到的四棱柱全面积最小，为()2122432432428S a a a a a a⨯=⨯⨯++=+；若拼成一个三棱柱，可以把底面相接，也可以把以3a 为底的侧面或以4a 为底的侧面相接，此时只要把一个三棱柱转180︒，使直角边连成一条线即可，上述三种方案中，后两种的全面积一定比四棱锥的最小全面积要大，所以若使全面积最小为四棱柱，只需底面相接的三棱柱全面大于1S ，即()121223423452S S a a a a a a<=⨯⨯⨯+⨯++，即2224281248a a +<+，解得0a <<．【答案】0a <<【例14】 平行六面体1111ABCD A B C D -中，在从B 点出发的三条棱上分别取其中点,,E F G ，则棱锥B EFG -的体积与平行六面体体积的比值为________．【考点】空间几何体的表面积和体积 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】棱锥底面三角形的面积是所在平行四边形的18，以此为底的高是平行六面体对应高的12，根据锥体的体积公式与柱体的体积公式知：棱锥B EFG -的体积与平行六面体体积的比值为111138248⋅⋅=．【答案】148【例15】 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，6AB =，4AD =，13AA =，分别过BC ，11A D 的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为111AEA DFD V V -=，11112EBE A FCF D V V -=，11113B E BC F C V V -=，若123::V V V 1:4:1=，则截面11A EFD 的面积为 ．E 1F 1FEDC BAA 1D 1B 1C 1【考点】空间几何体的表面积和体积 【难度】3星【题型】填空 【关键字】无【解析】由123::V V V 1:4:1=可知111111111266ABCD A B C D V V AB AA AD -==⋅⋅⋅=，又11A AE V S AD ∆=⋅1162A A AE AD AE =⋅⋅=解得：2AE =，在1Rt A AE ∆中，1A E =，∴11111A EFD S A E A D =⋅=【答案】棱锥【例16】 侧面都是直角三角形的正三棱锥，若底面边长为2，则三棱锥的全面积是多少？ 【考点】空间几何体的表面积和体积 【难度】1星 【题型】解答 【关键字】无【解析】此正三棱锥可以当成边长为a 的正方体的一角，它的侧面是三个全等的等腰直角三角形，斜边长为2，底面是正三角形，边长为2，从而它的全面积132432S =⨯⨯+=【答案】3+【例17】 侧棱长与底面边长相等的正三棱锥称为正四面体，则棱长为1的正四面体的体积是________；【考点】空间几何体的表面积和体积 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】如图，Ｏ为底面正三角形的中心，23MC CO MC ===MOCSAB故在直角三角形SOC中，有SO =，112ABC S =⨯=故此正四面体的体积1312V ==．【答案】12【例18】 已知正三棱锥的侧面积为cm 2，高为3cm ． 求它的体积．【考点】空间几何体的表面积和体积 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】设正三棱锥的斜高为h '，底面边长为a，则132a h ⎛⎫'⋅⋅= ⎪⎝⎭∴ah '=，即h '=， 由高为3，则2223h ⎫'=-⎪⎪⎝⎭，将①式代入，得：421081214430a a +-⨯⨯=，解得：236a =∴2133V =⨯=【答案】【例19】 已知正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30︒，求正四棱锥的全面积与体积．【考点】空间几何体的表面积和体积 【难度】2星 【题型】解答【关键字】无【解析】如图所示，正棱锥的高，HODCBAP斜高与底面边心距组成一个直角POH ∆， 由题意得30HPO ∠=︒，2OH =，故cot 30PO OH =⋅︒=4sin30OHPH ==︒， 故它的全面积214444482S =+⨯⨯⨯=全，体积2143V =⨯⨯=【答案】48【例20】 正棱锥的高增为原来的n 倍，底面边长缩为原来的1n，那么体积（ ） A ．缩为原来的1nB ．增为原来的n 倍C ．没有变化D ．以上结论都不对【考点】空间几何体的表面积和体积 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无【解析】由于棱锥的体积公式13V Sh =，而正多边形的边长与面积之间必然存在比例关系，设正多变形的边长为a ，则可设2S ka =．由于正棱锥的底面边长缩为原来的1n，∴变化之后的正棱锥的底面积为2211'()S k a S n n==∴变化后的正棱锥的体积为21111'''()()33V S h S nh V n n==⋅=【答案】A【例21】 正六棱锥-P ABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥-D GAC 与三棱锥-P GAC体积之比为（ ）A ．11∶B ．12∶C ．21∶D ．32∶【考点】空间几何体的表面积和体积 【难度】2星 【题型】选择【关键字】2009年，辽宁高考【解析】记正六棱锥的底面边长为a ，高为h ，由PG BG =，结合草图（略）可知，2111222D GAC G ADC P ADC V V V a h ---===⋅⋅=，211112222P GAC G PAC B PAC P BAC V V V V a h ----====⋅⋅=，故其体积比为2:1．【答案】C ；棱台【例22】 正三棱台111ABC A B C -中，已知10AB =，棱台的侧面积为，1O O ，分别为上、下底面正三角形的中心，1D D 为棱台的斜高，160D DA ∠=︒，求上底面的边长．【考点】空间几何体的表面积和体积 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】 10AB =，故AD =13OD AD == H O 1D 1C 1B 1A 1ODCBA设上底面边长为a，则1113O D==，11DH OD O D =-，在直角三角形1D DH 中，11cos602DH DD DH DD ︒=⇒==，，1(10)2S a a⎫=⋅+⋅==⎪⎪⎭梯形故所求上底面的边长为【答案】【例23】已知三棱台111ABC A B C-中25ABCS∆=，111A B CS∆9=，高6h=．⑴求三棱锥1A ABC-的体积1A ABCV-⑵求三棱锥111B A B C-的体积111B A B CV-⑶求三棱锥11A BCC-的体积11A BCCV-CBAA1B1C1【考点】空间几何体的表面积和体积【难度】2星【题型】解答【关键字】无【解析】⑶先求得三棱台的体积为98，再减去前两问中的三棱锥的体积．【答案】⑴50；⑵18；⑶30【例24】正四棱台的斜高为4，侧棱长为5，侧面积为64，求棱台上、下底的边长．【考点】空间几何体的表面积和体积【难度】2星【题型】解答【关键字】无【解析】设四棱台上下底面边长分别为()a b a b<，，结合右图知，在侧面的直角梯形中有：22245221()44642b a a b ⎧⎛⎫+-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⋅+⋅⨯=⎪⎩，68b a b a ⇒-=+=， 解得18a b ==，．【答案】1,8。

§1.1空间几何体1．1.1构成空间几何体的基本元素【学习要求】1．了解空间中点、线、面、体之间的关系．2．了解轨迹和图形的关系．3．初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系．【学法指导】通过探究点、线、面之间的相互关系，掌握文字语言、符号语言、图示语言之间的相互转化；通过用集合论的观点和运动的观点讨论点、线、面、体之间的相互关系，培养从多角度、多方面观察和分析问题的能力.填一填：知识要点、记下疑难点1．如果只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，则这个空间部分就是一个几何体．2．长方体由六个矩形围成，围成长方体的各个矩形叫做长方体的面；相邻两个面的公共边叫做长方体的棱；棱和棱的公共点叫做长方体的顶点；长方体有 12 条棱， 8 个顶点．3．构成几何体的基本元素：点、线、面．研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分．如果我们只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．那么构成几何体的基本元素有哪些？这些元素之间有怎样的关系？探究点一构成几何体的基本元素问题1平面几何研究的主要对象是什么？构成平面图形的基本元素是什么？答：平面图形；点与直线．问题2构成几何体的基本元素是什么？答：点、线、面．探究点二平面及其表示法问题1我们说平面图形是指由同一平面的点、线组成的图形，我们通常把平面这个词挂在嘴边，可什么叫平面呢？数学中怎样理解平面呢？如何表示平面？答：平面是从诸如桌面、墙壁、黑板面等现实的物理世界中抽象出来的．平面是处处平直的面，在立体几何中，平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面，并把它想象成是无限延展的．问题2立体几何中，通常．．画平行四边形表示平面，那么对画出的平行四边形有怎样的要求？答：(1)画的平行四边形表示的是整个平面；(2)加“通常．．”二字的意思是因为有时根据需要也可以用其他平面图形来表示平面：如用三角形、矩形、圆等；(3)画图表示平面的平行四边形时，通常将其画成长边是短边的2倍．问题3平面怎样命名？答：平面一般用一个希腊字母α，β，γ，…来命名，还可用表示它的平行四边形的对角顶点的字母来命名，例如平面α，β，平面ABCD或平面AC等．问题4从集合的角度来看，点、线、面、体之间有怎样的相互关系？答：点是元素，直线是点的集合，平面是点的集合，直线是平面的子集．问题5从运动学的角度解释点、线、面、体之间的相互关系是怎样的？答：(1)点运动成直线和曲线；(2)直线有两种运动方式：平行移动和绕点转动．平行移动形成平面和曲面；绕点转动形成平面和曲面；(3)面运动成体．探究点三点、线、面之间的位置关系问题1如何用运动观点来理解空间基本图形之间的关系呢？答：(1)在几何中，可以将线看成点运动的轨迹，如果点运动的方向始终不变，那么它的轨迹就是一条直线或线段；如果点运动的方向时刻在变化，则运动的轨迹是一条曲线或曲线的一段．同样，一条线运动的轨迹可以是一个面，面运动的轨迹(经过空间的部分)可以形成一个几何体．(2)直线平行移动，可以形成平面或曲面，也就是说曲面可以包含直线；直线绕定点转动，可以形成锥面．问题2点和线有怎样的位置关系？直线与直线有怎样的位置关系？答：点在线上或点在线外．平行，相交，既不平行也不相交．问题3直线和平面有怎样的位置关系？平面和平面有怎样的位置关系？答：在平面内，平行，相交．平行，相交．问题4怎样说明直线和平面平行？怎样说明直线与平面垂直？答：直线和平面没有公共点，我们说直线和平面平行．如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线与平面垂直．问题5怎样说明两个平面平行？如何说明两个平面互相垂直？答：如果两个平面没有公共点，则说这两个平面平行．如果两个平面相交，并且其中一个平面通过另一个平面的一条垂线，我们说这两个平面互相垂直．例1如图所示，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中：(1)与直线B′C′平行的平面有哪几个？(2)与直线B′C′垂直的平面有哪几个？(3)与平面BC′平行的平面有哪几个？(4)与平面BC′垂直的平面有哪几个？(5)平面AC与平面A′C′间的距离可以用哪些线段来表示？解：(1)有平面ADD′A′与平面ABCD；(2)有平面ABB′A′、平面CDD′C′；(3)有平面ADD′A′；(4)有平面ABB′A′、平面CDD′C′、平面A′B′C′D′与平面ABCD；(5)可用线段AA′，BB′，CC′，DD′来表示．小结：如果直线AA′垂直于平面ABCD的两条相交直线，我们说直线AA′就垂直于平面ABCD，A为垂足，记作直线AA′⊥平面AC，直线AA′称为平面AC的垂线，平面AC称作直线AA′的垂面．线段AA′为点A′到平面AC 内的点所连线段中最短的一条，线段AA′的长称作点A′到平面AC的距离．跟踪训练1判断以下说法的正误：(1)长方体是由六个平面围成的几何体；(2)长方体ABCD—A′B′C′D′可以看作矩形ABCD上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形A′B′C′D′所形成的几何体；(3)长方体一个面内的所有点到其对面的距离都相等．解：(1)错误．因为长方体由六个矩形(包括它的内部)围成，注意“平面”与“矩形”的本质区别．(2)正确．(3)正确．例2判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)平面的形状是平行四边形；(2)任何一个平面图形都是一个平面；(3)圆和平面多边形都可以表示平面；(4)若S▱ABCD>S▱A′B′C′D′，则平面ABCD大于平面A′B′C′D′；(5)用平行四边形表示平面时，平行四边形的四边是这一平面的边界．解：(1)不正确．平行四边形只是平面的一种表示方式，它不能延展，而平面能无限延展，平面没有确定的形状；(2)不正确．任何一个平面图形，如点、线都不是平面；角、圆、多边形等都是平面的一部分，而不是平面；(3)正确．这样的图形可以表示平面，点、线这样的平面图形是平面的基本元素；(4)不正确．平面是不可度量的，不涉及大小；(5)不正确．平面是无限延展的，无边界．小结：本题主要考查平面的特征等基础知识以及空间想象能力．跟踪训练2下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m，宽是20 m；④平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：平面无大小、无厚度、无边际，所以只有④是正确的．练一练：当堂检测、目标达成落实处1．下列关于平面的说法正确的是()A．平行四边形是一个平面B．平面是有厚薄的C．平面是有边界线的D．平面是无限延展的解析：平面可以用平行四边形来表示，但平行四边形并不是一个平面．由于平面是无限延展的，故选D.2．下列说法正确的是()A．在空间中，一个点运动成直线B．在空间中，直线平行移动形成平面C．在空间中，直线绕该直线上的定点转动形成平面或锥面D．在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长方体解析：一个点运动也可以成曲线，故A错；在空间中，直线平行移动可以形成平面或曲面，故B错；在空间中，矩形上各点沿铅垂线向上(或向下)移动相同距离所形成的几何体是长方体，故D错．3．以下结论中不正确的是()A．平面上一定有直线B．平面上一定有曲线C．曲面上一定无直线D．曲面上一定有曲线解析：由于直线平行移动可以形成平面或曲面，所以曲面上不一定无直线，故C不正确．课堂小结：1．点、线、面是构成几何体的基本元素．2．平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面．3．平面的记法(1)平面一般用希腊字母α、β、γ…来命名；(2)平面图形顶点法．4．认识空间中的点、直线和平面之间的位置关系，我们可以动手制作一些模型或画出图形，来帮助我们理解和提高空间想象能力．。