江苏省南京师大附中2014届高三模拟考试(5月)数学

2014年江苏省南京师大附中高考数学模拟试卷（5月份）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.设集合A={x|-1＜x＜2}，B={x|0＜x＜4，x∈N}，则A∩B= ______ ．【答案】{1}【解析】解：∵A={x|-1＜x＜2}，B={x|0＜x＜4，x∈N}={1，2，3}，∴A∩B={1}．故答案为：{1}求出B中不等式解集的自然数解确定出B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.若复数（i是虚数单位）为纯虚数，则实数a= ______ ．【答案】2【解析】解：∵=为纯虚数，∴，解得：a=2．故答案为：2．直接由复数代数形式的除法运算化简，然后由实部等于0且虚部不等于0求解实数a的值．本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图．根据图形推断，该时段时速超过50km/h的汽车辆数为______ ．【答案】77【解析】解：根据频率分布直方图，得；时速超过50km/h的汽车的频率为（0.039+0.028+0.010）×10=0.77；∴时速超过50km/h的汽车辆数为100×0.77=77．故答案为：77．根据频率分布直方图，求出时速超过50km/h的汽车的频率，即可求出对应的汽车辆数．本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率分布直方图，会计算样本数据，频率与频数的大小，是基础题．4.如图是一个算法流程图，则输出的S的值是______ ．【答案】5【解析】解：根据框图，知其功能是求S=-1+2-3+4-5+ (10)∵-1+2-3+4-5+…+10=（-1+2）+（-3+4）+（-5+6）…+10=5故答案为5．利用循环结构，直到条件不满足退出，即可得到结论．本题考查循环结构，考查学生的计算能力，属于基础题．5.一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只黑球，2只白球，从中一次随机摸出2只球，至少有1只黑球的概率是______ ．【答案】【解析】解：从形状大小都相同的5只小球中一次随机摸出2只球，共=10种，从形状大小都相同的5只小球中一次随机摸出2只球，则至少有1只黑球共有+=9种故至少有1只黑球的概率为．故答案为：．用组合的方法求出摸出两个球的基本事件和两球至少有1只黑球的基本事件，由古典概型的概率公式求出概率．求一个事件的概率时，应该先判断出事件的概率模型，然后选择合适的概率公式进行计算．6.已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的______ 条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种填空．）【答案】必要不充分【解析】解：由m⊂α，α⊥β得不出m⊥β，因为两平面垂直，其中一平面内的直线可以和另一平面平行；若m⊂a，m⊥β，则根据面面垂直的判定定理得到α⊥β；∴α⊥β，是m⊥β的必要不充分条件．故答案为必要不充分．可以想象两平面垂直，平面内的直线和另一平面的位置有：和平面平行，和平面斜交，和平面垂直，在平面内，所以由α⊥β得不出m⊥β，而由m⊥β，能得到α⊥β，这根据面面垂直的判定定理即可得到，所以α⊥β是m⊥β的必要不充分条件．考查面面垂直时平面内的直线和另一平面的位置关系，面面垂直的判定定理，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．7.函数，的单调递增区间是______ ．【答案】，（开闭区间都可）【解析】解：函数=2sin（x-），由2kπ-≤x-≤2kπ+，k∈z，解得2kπ-≤x≤2kπ+，k∈z．又x∈[-π，0]，∴单调增区间为，．故答案为：，．利用两角差的正弦公式，把函数的解析式化为2sin（x-），由2kπ-≤x-≤2kπ+，k∈z，解得x的范围，即为函数的增区间；再由x∈[-π，0]进一步确定函数的增区间．本题主要考查两角差的正弦公式，正弦函数的单调性，把函数的解析式化为2sin（x-）是解题的关键．8.若实数x，y满足且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为______ ．【答案】【解析】解：由约束条件作出可行域（如图），当平行直线系y=-2x+z经过可行域内的点A（，）时，z取得最小值，即2×+=3，解之得b=．故答案为：．先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点A时，从而得到b值即可．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．9.设a，b均为正实数，则++2的最小值是______ ．【答案】4【解析】解：根据平均值不等式，∴++2≥=4．故答案为：4．根据平均值不等式，在利用基本不等式计算即可．本题主要考查了平均值不等式和基本不等式，属于基础题．10.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，则满足不等式f（1）＜f（lg（2x））的x的取值范围是______ ．【答案】（0，）∪（5，+∞）【解析】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（1）＜f（lg（2x））=f（|lg（2x）|）∵函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，∴|lg（2x）|＞1，即lg（2x）＞1或lg（2x）＜-1解得：x＞5或0＜x＜所以满足不等式f（1）＜f（lg（2x））的x的取值范围是（0，）∪（5，+∞）．故答案为：（0，）∪（5，+∞）．根据函数是偶函数，把不等式转化成f（1）＜f（|lg（2x）|），就可以利用函数在区间[0，+∞）上单调递增转化成一般的不等式进行求解．本题考查了利用函数的奇偶性和单调性解抽象不等式，解题的关键是利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，还要注意函数的定义域．11.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D在斜边BC上，且CD=2DB，则的值为______ ．【答案】24【解析】解：∵由题意可得=+=+=+（）=+，=0，∴=•（+）=+=0+×36=24，故答案为：24．用、表示，利用=0，再根据=•（+），运算求得结果．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，两个向量数量积的运算，属于中档题．12.点M是椭圆＞＞上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q，若△PQM是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是______ ．【答案】，【解析】解：∵圆M与X轴相切于焦点F，∴不妨设M（c，y），则（因为相切，则圆心与F的连线必垂直于X轴）M在椭圆上，则y=或（a2=b2+c2），∴圆的半径为，过M作MN⊥Y轴与N，则PN=NQ，MN=c（PN，NQ均为半径，则△PQM为等腰三角形）∴PN=NQ=，∵∠PMQ为钝角，则∠PMN=∠QMN＞45°即PN=NQ＞MN=c所以得＞c，即＞，得＞，a2-2c2+c2e2＞2c2-4+e2＞0，e4-4e2+1＞0（e2-2）2-3＞0e2-2＜-（0＜e＜1）e2＜-+2∴0＜e＜．故答案为：（0，）．由圆M与X轴相切与焦点F，设M（c，y），则y=或，所以圆的半径为，过M作MN⊥Y轴与N，则PN=NQ，MN=c，PN=NQ=，由∠PQM为钝角，知＞，由此能够求出椭圆离心率的取值范围．本题考查椭圆的离心率的取值范围，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．13.对于定义域内的任意实数x，函数f（x）=的值恒为正数，则实数a的取值范围是______ ．【答案】-7＜a≤0或a=2【解析】解：给出的函数分子分母都是二次三项式，对应的图象都是开口向上的抛物线，若分子分母对应的方程是同解方程，则，解得a=2．此时函数的值为f（x）=＞0．若分子分母对应的方程不是同解方程，要保证对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则需要分子分母的判别式均小于0，即＜＜，解得-7＜a＜0．∴a的范围是-7＜a＜0．当a=0时，函数化为f（x）=，函数定义域为{x|x≠0}，分母恒大于0，分子的判别式小于0，分子恒大于0，函数值恒正．综上，对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则实数a的取值范围是-7＜a≤0或a=2．故答案为：-7＜a≤0或a=2．题目给出的函数是分式函数，且分子分母均为二次三项式，对应的函数均开口向上，所以分分子分母对应的方程同解和不同解讨论，同解时利用系数相等求a的值，不同解时，若a≠0，则需分子分母对应的方程均无解，a=0时，在定义域内函数值恒大于0．本题考查恒成立问题，考查了利用函数值的范围求解参数的取值范围，解答此题的关键是由函数值恒为正得到分子分母的取值情况，属中档题．14.记数列{a n}的前n项和为S n，若不等式a n2+≥ma12对任意等差数列{a n}及任意正整数n都成立，则实数m的最大值为______ ．【答案】【解析】解：a n2+=a n2+[na1+n（n-1）d]2=a n2+[a1+（n-1）d]2令（n-1）d=t，a n2+=（a1+2t）2+（a1+t）2=2a12+6ta1+5t2=5（t-）2+2a12-，当t=时，取到最小值即（n-1）d=，即n=，∵不等式a n2+≥ma12对任意等差数列{a n}及任意正整数n都成立，∴m．∴实数m的最大值为．故答案为：．令（n-1）d=t，由a n2+=a n2+[a1+（n-1）d]2=5（t-）2+2a12-，当t=时，取到最小值，由此能求出结果．本题考查实数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意配方法的合理运用．二、解答题(本大题共12小题，共162.0分)15.设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且（2b-c）cos A=acos C．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若角B=，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．【答案】解：（1）因为，所以，则，所以，于是（2）由（1）知而，所以AC=BC，设AC=x，则又．在△AMC中由余弦定理得AC2+MC2-2AC•MC cos C=AM2，即°，解得x=2，故．【解析】（1）利用正弦定理把中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式进行化简整理求得cos A，进而求得A．（2）由（1）知，进而可知三角形为等腰三角形和C的值，设AC=x，进而用余弦定理建立等式求得x，进而用三角形面积公式求得答案．本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形问题中，常需要用正弦定理和余弦定理完成边角互化，来解决问题．16.在四棱锥P-ABCD中，∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；（2）求证：CE∥平面PAB．【答案】证明：（1）因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，…（2分）又∠ACD=90°，则CD⊥AC，而PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC，因为CD⊂平面ACD，…（4分）所以，平面PAC⊥平面PCD．…（7分）（2）证法一：取AD中点M，连EM，CM，则EM∥PA．因为EM⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以EM∥平面PAB．…（9分）在R t△ACD中，AM=CM，所以∠CAD=∠ACM，又∠BAC=∠CAD，所以∠BAC=∠ACM，则MC∥AB．因为MC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以MC∥平面PAB．…（12分）而EM∩MC=M，所以平面EMC∥平面PAB．由于EC⊂平面EMC，从而EC∥平面PAB．…（14分）（2）证法二：延长DC，AB交于点N，连PN．因为∠NAC=∠DAC，AC⊥CD，所以C为ND的中点．而E为PD中点，所以EC∥PN．因为EC⊄平面PAB，PN⊂平面PAB，所以EC∥平面PAB．…（14分）【解析】（1）由线面垂直得PA⊥CD，由直角性质得CD⊥AC，由此能证明平面PAC⊥平面PCD．（2）法一：取AD中点M，连EM，CM，则EM∥PA．从而得到EM∥平面PAB．再由MC∥AB，得到MC∥平面PAB，由此证明平面EMC∥平面PAB，从而EC∥平面PAB．（2）法二：延长DC，AB交于点N，连PN．由已知条件推地出EC∥PN．由此能证明EC∥平面PAB．本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17.某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为xcm，体积为V cm3．在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V的最大值是多少？并求此时x的值．【答案】解：正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大．设正三棱锥侧面的高为h0，高为h．由题意得：x+h0=10，解得h0=10-x．…（2分）则h==，x∈（0，10）．…（5分）所以，正三棱锥体积V=S h=×x2×=．…（8分）设y=V2=（100-x）=-，求导得y′=-，令y′=0，得x=8，…（10分）当x∈（0，8）时，y′＞0，y随着x的增加而增大，当x∈（8，10）时，y′＜0，y随着x的增加而减小，所以，当x=8cm时，y取得极大值也是最大值．…（12分）此时y=15360，所以V max=32cm3．答：当底面边长为8cm时，正三棱锥的最大体积为32cm3．…（14分）【解析】设正三棱锥侧面的高为h0，高为h，求出正三棱锥体积，利用导数的方法求解即可．本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查导数知识的运用，确定正三棱锥体积是关键．18.在平面直角坐标系x O y中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A1（-2，0），A2（2，0）．过点D（1，0）的直线交椭圆于M，N两点，直线A1M与NA2的交点为G．（1）求实数a，b的值；（2）当直线MN的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点P1，P2使得△P1MN和△P2MN 的面积为S，求S的取值范围；（3）求证：点G在一条定直线上．【答案】（1）解：∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A1（-2，0），A2（2，0）．∴a=2．e==，∴c=．又∵b2=a2-c2=4-3=1，∴b=1．…（2分）（2）解：由题设可知，椭圆的方程为+y2=1，直线MN的方程为y=x-1．设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，消去y可得5x2-8x=0，解得x1=0，x2=．将x1=0，x2=，代入直线MN的方程，解得y1=-1，y2=．∴MN==．…（4分）设与直线MN平行的直线m方程为y=x+λ．联立方程组，消去y得5x2+8λx+4λ2-4=0，若直线m与椭圆只有一个交点，则满足△=64λ2-20（4λ2-4）=0，解得λ=±．…（6分）当直线m为y=x-时，直线l与m之间的距离为d1==，当直线m为y=x+时，直线l与m之间的距离为d2==，…（8分）设点C到MN的距离为d，要使△CMN的面积为S的点C恰有两个，则需满足d1＜d＜d2，即＜d＜．∵S=d•MN=d，∴＜S＜．…（10分）（3）证法一：设直线A1M的方程为y=k1（x+2），直线A2N的方程为y=k2（x-2）．联立方程组，消去y得（1+4k12）x2+16k12x+16k12-4=0，解得点M的坐标为（，）．同理，可解得点N的坐标为（，）．…（12分）由M，D，N三点共线，得（k2-3k1）（4k1k2+1）=0．由题设可知k1与k2同号，所以k2=3k1．…（14分）联立方程组，解得交点G的坐标为（，）．将k2=3k1代入点G的横坐标，得x G===4．所以，点G恒在定直线x=4上．…（16分）（3）证法二：由题意知直线MN的斜率为0时不合题意．设直线MN的方程为x=my+1．令m=0，解得M（1，），N（1，-）或M（1，-），N（1，）．当M（1，），N（1，-）时，直线A1M的方程为y=x+，直线A2N的方程为y=x-．联立方程组，解得交点G的坐标为（4，）；当M（1，-），N（1，）时，由对称性可知交点G的坐标为（4，-）．若点G恒在一条定直线上，则此定直线必为x=4．…（12分）下面证明对于任意的实数m，直线A1M与直线A2N的交点G均在直线x=4上．设M（x1，y1），N（x2，y2），G（4，y0）．由点A1，M，G三点共线，有=，即y0=．再由点A2，N，G三点共线，有=，即y0=．所以，=．①将x1=my1+1，x2=my2+1代入①式，化简得2my1y2-3（y1+y2）=0．②…（14分）联立方程组，消去x得（m2+4）y2+2my-3=0，从而有y+y=，y y=将其代入②式，有2m•-3•=0成立．所以，当m为任意实数时，直线A1M与直线A2N的交点G均在直线x=4上．…（16分）【解析】（1）由已知得a=2．e==，由此能求出a，b．（2）椭圆的方程为+y2=1，直线MN的方程为y=x-1．设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得5x2-8x=0，从而MN=．设与直线MN平行的直线m方程为y=x+λ．联立，得5x2+8λx+4λ2-4=0，由此能求出S的取值范围．（3）法一：设直线A1M的方程为y=k1（x+2），直线A2N的方程为y=k2（x-2）．联立方程组，得点M的坐标为（，），同理，点N（，）．由M，D，N三点共线，得k2=3k1，由此能证明点G恒在定直线x=4上．（3）法二：由题意知直线MN的斜率为0时不合题意．设直线MN的方程为x=my+1．由已知条件推导出点G恒定直线x=4上，再证明对于任意的实数m，直线A1M与直线A2N 的交点G均在直线x=4上．由此得到当m为任意实数时，直线A1M与直线A2N的交点G均在直线x=4上．本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的取值范围的求解，考查点在定直线上的证明，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用．19.已知数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且满足a1+a2+a3=9，b1b2b3=27．（1）若a4=b3，b4-b3=m．①当m=18时，求数列{a n}和{b n}的通项公式；②若数列{b n}是唯一的，求m的值；（2）若a1+b1，a2+b2，a3+b3均为正整数，且成等比数列，求数列{a n}的公差d的最大值．【答案】解：（1）①由数列{a n}是等差数列及a1+a2+a3=9，得a2=3，由数列{b n}是等比数列及b1b2b3=27，得b2=3．…（2分）设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q，若m=18，则有解得或，所以，{a n}和{b n}的通项公式为a n=3n-3，b n=3n-1或a n=-n+12，b n=3•（-2）n-2…（4分）②由题设b4-b3=m，得3q2-3q=m，即3q2-3q-m=0（*）．因为数列{b n}是唯一的，所以若q=0，则m=0，检验知，当m=0时，q=1或0（舍去），满足题意；若q≠0，则（-3）2+12m=0，解得m=-，代入（*）式，解得q=，又b2=3，所以{b n}是唯一的等比数列，符合题意．所以，m=0或-．…（8分）（2）依题意，36=（a1+b1）（a3+b3），设{b n}公比为q，则有36=（3-d+）（3+d+3q），（**）记m=3-d+，n=3+d+3q，则mn=36．将（**）中的q消去，整理得：d2+（m-n）d+3（m+n）-36=0…（10分）d的大根为=而m，n∈N*，所以（m，n）的可能取值为：（1，36），（2，18），（3，12），（4，9），（6，6），（9，4），（12，3），（18，2），（36，1）．所以，当m=1，n=36时，d的最大值为．…（16分）【解析】（1）①由已知a1+a2+a3=9，b1b2b3=27，求出a2=3，b2=3，从而建立方程组，即可求数列{a n}和{b n}的通项公式；②设b4-b3=m，得3q2-3q=m，即3q2-3q-m=0，分类讨论，可得结论；（2）设{b n}公比为q，则有36=（3-d+）（3+d+3q），（**），记m=3-d+，n=3+d+3q，则mn=36．将（**）中的q消去，即可得出结论．本题主要考查了等差数列、等比数列的性质及通项公式的应用，等比数列的性质的综合应用及一定的逻辑推理运算的能力，属于难题．20.设a是实数，函数f（x）=ax2+（a+1）x-2lnx．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当a=2时，过原点O作曲线y=f（x）的切线，求切点的横坐标；（3）设定义在D上的函数y=g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y=h（x），当x≠x0时，若＜0在D内恒成立，则称点P为函数y=g（x）的“巧点”．当a=-时，试问函数y=f（x）是否存在“巧点”？若存在，请求出“巧点”的横坐标；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）当a=1时，f′（x）=（x＞0），…（1分）由f′（x）＞0得：x＞；由f′（x）＜0得：0＜x＜．…（2分）所以，f（x）的单调增区间为（，+∞），单调减区间为（0，）．…（3分）（2）当a=2时，设切点为M（m，n）．f′（x）=4x+3-（x＞0），所以，切线的斜率k=4m+3-．又直线OM的斜率为，…（5分）所以，4m+3-=，即m2+lnm-1=0，又函数y=m2+lnm-1在（0，+∞）上递增，且m=1是一根，所以是唯一根，所以，切点横坐标为1．…（7分）（3）a=-时，由函数y=f（x）在其图象上一点P（x0，y0）处的切线方程为：y=（-x0+-）（x-x0）-x02+x0-2ln x0．…（8分）令h（x）=（-x0+-）（x-x0）-x02+x0-2ln x0，设F（x）=f（x）-h（x），则F（x0）=0．且F′（x）=f′（x）-h′（x）=-x+--（-x0+-）=-（x-x0）-（-）=-（x-x0）（x-）…（10分）当0＜x0＜2时，＞x0，F（x）在（x0，）上单调递增，从而有F（x）＞F（x0）=0，所以，＞0；当x＞2时，＜x，F（x）在（，x）上单调递增，从而有F（x）＜F（x）=0，所以，＞0．因此，y=f（x）在（0，2）和（2，+∞）上不存在“巧点”．…（13分）当x0=2时，F′（x）=-≤0，所以函数F（x）在（0，+∞）上单调递减．所以，x＞2时，F（x）＜F（2）=0，＜0；0＜x＜2时，F（x）＞F（2）=0，＜0．因此，点（2，f（2））为“巧点”，其横坐标为2．…（16分）【解析】（1）求导数，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间；（2）设切点，可得切线的斜率k=4m+3-，利用直线OM的斜率为，建立方程，即可求切点的横坐标；（3）分类讨论，根据“巧点”的定义结合函数的单调性，即可得出结论．正确理解导数的几何意义、“巧点”的意义及熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．21.如图，已知AB，CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的垂直平分线．若AB=6，CD=2，求线段AC的长．【答案】解：连结BC，AB、CD相交于点E，设AE=x∵直径AB垂直于弦CD，∴CE=CD=，且CE2=AE•BE，可得x（6-x）=5解之得x=5∵R t△ACE中，AE=5，CE=∴由勾股定理，得AC==．【解析】连结BC，设AE=x，根据垂直于弦的直径的性质，得到CE=CD=且CE2=AE•BE，可得x（6-x）=5，解出AE=5，再在R t ACE中，利用勾股定理即可算出AC长．本题给出垂直于弦的直径，求弦AC的长．着重考查了圆中垂直于弦的直径的性质、射影定理和勾股定理等知识，属于中档题．22.设矩阵A=，矩阵A属于特征值λ1=-1的一个特征向量为α1=，属于特征值λ2=4的一个特征向量为α2=，求ad-bc的值．【答案】解：由特征值、特征向量定义可知，Aα1=λ1α1，即=，可得…①；同理可得，即…②；由①②，解得a=2，b=3，c=2，d=1，因此ad-bc=2-6=-4，即ad-bc的值为-4．【解析】根据特征值、特征向量的定义可知Aα=λα，利用待定系数法列出四个等式关系，解二元一次方程组即可求出a、b、c、d的值，进而求出ad-bc的值．本题主要考查了二阶矩阵、矩阵的特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．23.在平面直角坐标系x O y中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：ρ=1上，求线段AB的最小值．【答案】解：将曲线C1的参数θ消去可得（x-3）2+（y-4）2=1．将曲线C2：ρ=1化为直角坐标方程为x2+y2=1．曲线C1是以（3，4）为圆心，1为半径的圆；曲线C2是以（0，0）为圆心，1为半径的圆，求得两圆圆心距为=5，可得AB的最小值为5-1-1=3．【解析】由条件把极坐标方程化为直角坐标方程，求出两个圆的圆心和半径，再求出两圆的圆心距，可得AB的最小值本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，圆和圆的位置关系，属于基础题．24.设a，b，c均为正数，abc=1．求证：++≥++．【答案】证明：由a，b，c为正数，根据平均值不等式，得+≥，+≥，+≥．将此三式相加，得2（++）≥++，即++≥++．由abc=1，则有=1．所以，++≥++=++．【解析】根据平均值不等式，然后相加，再利用abc=1，代入化简即可．本题主要考查了平均值不等式，关键灵活运用1=abc这个条件，属于基础题．25.在一个盒子中放有大小质量相同的四个小球，标号分别为1，2，3，4，现从这个盒子中有放回地先后摸出两个小球，它们的标号分别为x，y，记ξ=|x-y|．（1）求P（ξ=1）；（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．【答案】解：（1）从这个盒子中有放回地先后摸出两个小球，总的取法有42=16种，它们的标号分别为x，y，记ξ=|x-y|．ξ=1的情况有（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3），共6种，∴．…（3分）（2）ξ的所有取值为0，1，2，3．…（4分）P（ξ=0）=，，，．则随机变量ξ的分布列为ξ的数学期望．…（10分）【解析】（1）从这个盒子中有放回地先后摸出两个小球，总的取法有42=16种，ξ=1的情况有6种，由此能求出P（ξ=1）．（2）ξ的所有取值为0，1，2，3．由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．26.有三种卡片分别写有数字1，10和100．设m为正整数，从上述三种卡片中选取若干张，使得这些卡片上的数字之和为m．考虑不同的选法种数，例如当m=11时，有如下两种选法：“一张卡片写有1，另一张卡片写有10”或“11张写有1的卡片”，则选法种数为2．（1）若m=100，直接写出选法种数；（2）设n为正整数，记所选卡片的数字和为100n的选法种数为a n．当n≥2时，求数列{a n}的通项公式．【答案】解：（1）分类讨论，只取数字1或10或100时，共3种；取1和10，可分为1个10，2个10，…9个10，共9种∴相应的选法种数为3+9=12种；…（3分）（2）若至少选一张写有100的卡片时，则除去1张写有100的卡片，其余数字之和为100（n-1），有a n-1种选法；若不选含有100的卡片，则有10n+1种选法．所以，a n=10n+1+a n-1，…（8分）从而，a n=（a n-a n-1）+（a n-1-a n-2）+…+（a2-a1）+a1=10n+1+10（n-1）+1+…+10×2+1+a1=10+n-1+a1=5n2+6n+1所以，{a n}的通项公式是a n=5n2+6n+1．…（10分）【解析】（1）分类讨论，只取数字1或10或100时；取1和10，由此可得结论；（2）考虑当数字和为200时，选法种数，可得数字总和为100n对应的选法种数为a n，数字总和为100（n+1）对应的选法种数为a n+1，满足a n=10n+1+a n-1，从而可得数列通项，本题考查数列的应用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．。

一、单选题1.已知全集，集合，则（ ）A．B．C．D．2. 下列函数为偶函数的是A．B．C．D．3.已知数列的前项和为，若，，则（ ）A．B．C．D．4. 西施壶是紫砂壶器众多款式中最经典的壶型之一，是一款非常实用的泡茶工具（如图1）．西施壶的壶身可近似看成一个球体截去上下两个相同的球缺的几何体．球缺的体积（R 为球缺所在球的半径，h 为球缺的高）．若一个西施壶的壶身高为8cm ，壶口直径为6cm （如图2），则该壶壶身的容积约为（不考虑壶壁厚度，π取3.14）（）A ．494mlB ．506mlC ．509mlD ．516ml5. 已知点P是曲线上的动点，则点P 到直线的距离的最大值为（ ）A．B．C．D．6. 如图是网络上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可导”的谐音生动形象地说明了高等数学中“连续”和“可导”两个概念之间的关系．根据该表情包的说法，在处连续是在处可导的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7.已知，且，则（ ）A．B．C．D．8.已知在数列中，且，设为的前项和，若，则（ ）A ．8B ．12C ．16D ．729.已知两点为坐标原点，点C 在第三象限，且设等于江苏省南京师范大学附属中学2023届高三下学期5月模拟数学试题二、多选题A ．B ．1C ．D ．210. 我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y （单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，当处理量x 等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（ ）A ．120B ．200C ．240D ．40011.已知分别为椭圆（）的左、右顶点，是椭圆上的不同两点且关于轴对称，设直线的斜率分别为，若点到直线的距离为1，则该椭圆的离心率为A．B．C．D．12. 将六枚棋子A ，B ，C ，D ，E ，F 放置在2×3的棋盘中，并用红、黄、蓝三种颜色的油漆对其进行上色（颜色不必全部选用），要求相邻棋子的颜色不能相同，且棋子A ，B 的颜色必须相同，则一共有（ ）种不同的放置与上色方式A ．11232B ．10483C ．10368D ．561613. 已知全集，，，则=（ ）A．B．C．D．14. 已知，，，则，，的大小关系是（ ）A．B．C．D．15. 如果将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，其对称轴是直线，则的最小值是（ ）A．B．C．D．16.在等比数列中，，则（ ）A ．-4B ．8C ．-16D ．1617. 欧拉公式被称为世界上最完美的公式，欧拉公式又称为欧拉定理，是用在复分析领域的公式，欧拉公式将三角函数与复数指数函数相关联，即（）.根据欧拉公式，下列说法正确的是（ ）A ．对任意的，B ．在复平面内对应的点在第二象限C ．的实部为D．与互为共轭复数18. 如图，双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点且斜率为的直线交双曲线的右支于、两点，且，则（ ）三、填空题A ．双曲线的离心率为B．与面积之比为C ．与周长之比为D ．与内切圆半径之比为19.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则（ ）A ．过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点B．若为上的动点，则的最小值为5C ．直线与抛物线相交所得弦长为8D ．抛物线与圆交于两点，则20. 已知函数的定义域是（，），值域为，则满足条件的整数对可以是（ ）A．B．C．D．21.已知，则下列选项正确的是（ ）A．B．C．D．22. 某数学学习小组甲、乙、丙三人分别构建了如图所示的正四棱台①，②，③，从左往右.若上底面边长、下底面边长、高均依次递增，记正四棱台①，②，③的侧棱与底面所成的角分别为，，，正四棱台①，②，③的侧面与底面所成的角分别为，，，则（）A．B．C．D．23. 若非负实数、满足，则下列不等式中成立的有（ ）A．B．C．D．24. 下列四个命题中，正确的是 （ ）A ．若是锐角三角形的内角，则；B．存在实数，使得；C ．直线是函数的图像的一条对称轴；D．函数的图像向右平移个单位，得到的图象．25. 已知平面向量，，，若，则___________.四、解答题26.若等比数列满足，，则______．27. 已知四面体，，，，，则该四面体外接球的半径为__________．28.已知函数，其导函数的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，则下列说法中不正确的序号是______．①当时函数取得极小值；②有两个极值点；③当时函数取得极小值；④当时函数取得极大值．29. 二维码是一种由黑色和白色组成的方格阵图，规定如果一个的二维码有对称轴且绕其中心逆时针旋转后能与自身重合，称其为“转转码”，则“转转码”的个数为______.（用数字作答）双色30.已知单位向量，若，则_________．31. 已知，则的最小值为______.32. 已知抛物线：的焦点为，若上一点到焦点的距离为6，则的值为___________.33. 如图，两射线、均与直线l 垂直，垂足分别为D 、E 且.点A 在直线l 上，点B 、C 在射线上.(1)若F 为线段BC 的中点（未画出），求的最小值；(2)若为等边三角形，求面积的范围.34. 在长方体中，，．(1)在边上是否存在点，使得，为什么？(2)当存在点，使时，求的最小值，并求出此时二面角的正弦值．35.在数列中，，且.(1)求的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求五、解答题36. 化简，并求函数的值域和最小正周期．37.化简：．38. 对于数列，，的前n 项和，在学习完“错位相减法”后，善于观察的小周同学发现对于此类“等差×等比数列”，也可以使用“裂项相消法”求解，以下是她的思考过程：①为什么可以裂项相消？是因为此数列的第n ，n ＋1项有一定关系，即第n 项的后一部分与第n ＋1项的前一部分和为零②不妨将，也转化成第n ，n ＋1项有一定关系的数列，因为系数不确定，所以运用待定系数法可得，通过化简左侧并与右侧系数对应相等即可确定系数③将数列，表示成形式，然后运用“裂项相消法”即可！聪明的小周将这一方法告诉了老师，老师赞扬了她的创新意识，但也同时强调一定要将基础的“错位相减法”掌握．(1)（巩固基础）请你帮助小周同学，用“错位相减法”求的前n 项和；(2)（创新意识）请你参考小周同学的思考过程，运用“裂项相消法”求的前n项和．39. 民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献．已知某主要从事手工编织品的农民专业合作社共有100名编织工人，该农民专业合作社为了鼓励工人，决定对“编织巧手”进行奖励，为研究“编织巧手”是否与年龄有关，现从所有编织工人中抽取40周岁以上（含40周岁）的工人24名，40周岁以下的工人16名，得到的数据如表所示．“编织巧手”非“编织巧手”总计年龄40岁19年龄40岁10总计40(1)请完成答题卡上的列联表，并判断能否有的把握认为是否是“编织巧手”与年龄有关；(2)为进一步提高编织效率，培养更多的“编织巧手”，该农民专业合作社决定从上表中的非“编织巧手”的工人中采用分层抽样的方法抽取6人参加技能培训，再从这6人中随机抽取2人分享心得，求这2人中恰有1人的年龄在40周岁以下的概率．参考公式：，其中．参考数据：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.82840. 一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据如下表所示：温度21232527293235产卵个数个711212466115325(1)画出散点图，根据散点图判断与哪一个适宜作为产卵数y 关于温度x 的回归方程类型（给出判断即可､不必说明理由）；(2)根据（1）的判断结果及表中数据.建立关于的回归方程.（附：可能用到的公式，可能用到的数据如下表所示：27.43081.290 3.612147.7002763.764705.59240.180（对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.）41. 2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(也称“强基计划”)，《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲､乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立.若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，，，其中.（1）若，分别求出该考生报考甲､乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过甲大学的笔试时，求的范围.42. 如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，设平面平面.(1)作出（不要求写作法）；(2)线段上是否存在一点，使平面？请说明理由；(3)若，求平面与平面的夹角的余弦值.43. 中国大学先修课程,是在高中开设的具有大学水平的课程,旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练,为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备，某高中每年招收学生1000人,开设大学先修课程已有两年,共有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人,学习先修课程的优等生有50人，这两年学习先修课程的学生都参加了考试,并且都参加了某高校的自主招生考试，结果如下表所示:分数人数20551057050参加自主招生获得通过的概率0.90.80.60.50.4(1)填写列联表,并画出列联表的等高条形图,并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系，根据列联表的独立性体验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系?六、解答题优等生非优等生总计学习大学先修课程没有学习大学先修课程总计(2)已知今年有150名学生报名学习大学先修课程,以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人,求他获得某高校自主招生通过的概率;②某班有4名学生参加了大学先修课程的学习,设获得某高校自主招生通过的人数为,求的分布列,并求今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数.参考数据:0.150.100.050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879参考公式:，期中，44. 已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．（1）研究函数（常数）在定义域内的单调性，并说明理由；（2）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（），并求函数（是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．只须写出结论，不必证明45. 已知函数.(1)求证：函数是上的减函数；(2)已知函数的图像存在对称中心的充要条件是的图像关于原点中心对称，判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由；(3)若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值.46. 已知四棱锥P —ABCD中，平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，，AB =PA =2，E ．F 分别为BC ．PD的中点．（1）求证：PB //平面AFC ；（2）求平面PAE 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．47. 已知数列的首项，且满足，等比数列的首项，且满足.(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)求数列的前项和48. 如图，四棱锥E —ABCD 中，ABCD 是矩形，平面EAB 平面ABCD ,AE =EB =BC =2,F 为CE 上的点，且BF 平面ACE ．七、解答题（1）求证：AE BE ；（2）求三棱锥D —AEC 的体积；（3）求二面角A —CD —E 的余弦值．49. 如图，在四棱台中，底面菱形，，平面，，.（1）求证：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.50. 定义域为D 的函数，若对给定的实数y ，函数有最大值，我们称为的变换.（1）设，，求此时的变换；（2）求证：若，，则.51. 如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P 和居民区O 的公路，点P 所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为，且，点P 到平面的距离．沿山脚原有一段笔直的公路AB 可供利用，从点O 到山脚修路的造价为a 万元，原有公路改建费用为万元，当山坡上公路长度为时，其造价为万元，已知，，，．(1)在AB 上求一点D ，使沿折线PDAO 修建公路的总造价最小；(2)对于（1）中得到的点D ，在DA 上求一点E ，使沿折线PDEO 修建公路的总造价最小；(3)在AB上是否存在两个不同的点，使沿折线修建公路的总造价小于（2）中得到的最小总造价，证明你的结论．52. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）．(1)求的函数关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？53. 某公司开发了一种产品，有一项质量指标为“长度”（记为l ，单位:cm)，先从中随机抽取100件，测量发现全部介于 85 cm 和155 cm 之间，得到如下频数分布表：分组频2922332482数已知该批产品的该项质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).（1）求；（2）公司规定:当时，产品为正品:当时，产品为次品，公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元;若是次品，则亏损30元.记为生产一件这种产品的利润，求随机变量的分布列和数学期望.参考数据：，若，则，，54. 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以（单位：t，100≤≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.（Ⅰ）将T表示为的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.55. 第届北京冬季奥林匹克运动会于年月日至月日在北京和张家口联合举办.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的大热潮.某市举办了中学生滑雪比赛，从中抽取名学生的测试分数绘制成茎叶图和频率分布直方图如下，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图.(1)求频率分布直方图中的值，并根据直方图估计该市全体中学生的测试分数的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，结果保留一位小数）；(2)现要对测试成绩在前26%的中学生颁发“滑雪达人”证书，并制定出能够获得证书的测试分数线，请你用样本来估计总体，给出这个分数线的估计值.56. 某校开展党史知识竞赛.现从参加竞赛活动的学生中随机抽取了n名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.八、解答题(1)求a 的值；(2)估计这n 名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(3)活动规定：竞赛成绩位于60分以下为不及格，不低于80分为“优秀”，若抽取的学生中成绩不及格的有15人.请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？优秀不优秀合计男生40女生50合计参考公式及数据：，.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82857. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，，若的周长为6，面积为．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由．58.已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)当，若两个不相等的正数m ，n ，满足，证明：．59.如图，三棱锥中，为等边三角形，．（1）证明：平面平面；（2）若，求与平面所成角的正弦值．60. 已知函数.(1)当时，试比较与0的大小；(2)若恒成立，求的取值范围.61. 数列的前项和为，且，设，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．62. 已知点在双曲线上，且的离心率为，直线交的左支于，两点，直线，的斜率之和为0．(1)求直线的斜率；(2)若，直线，与轴的交点分别为，，求的面积．。

南京市2014届高三年级第二次模拟考试数 学2014.03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．圆柱的侧面积公式：S 侧＝2πRh ，其中R 为圆柱的底面半径，h 为圆柱的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f (x )＝ln x ＋的定义域为 ▲ ．1－x 2．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝a ＋2i(i 为虚数单位，a R )．若z 1z 2为实数，则a 的值为 ▲ ． ∈3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有 ▲ ．4．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ▲ ．5．已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 1d 6．执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．a(第3题图)(第6题图)7．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f ()的值为π3▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交x 2a 2y 2b 2于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ．9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．10．已知||＝1，||＝2，∠AOB ＝，＝＋，则与的夹角大小为 ▲ ．OA → O B → 2π3OC → 12OA → 14O B → OA →OC→ 11．在平面直角坐标系xOy 中，过点P (5，3)作直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为 ▲ ．12．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，当x ＞1时，f (x ＋1)＝f (x )＋f (1)，且．若直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为 ▲ ．13．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k ∶1，则实数k 的取值范围为▲ ．14．设函数f (x )＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f (x )在点A ，B处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ▲ ．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(0，1]2．4 3．3004．5．26．4 7．1598． 9．10．60°11．1或12．2－2 13．(，) 14．[－1，1]51272325373(第7题图)二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ⊥PB ，BP ＝BC ，E 为PC 的中点．（1）求证：AP ∥平面BDE ；（2）求证：BE ⊥平面PAC ．15．证：（1）设AC ∩BD ＝O ，连结OE ．因为ABCD 为矩形，所以O 是AC 的中点．因为E 是PC 中点，所以OE ∥AP ．…………………………………………4分因为AP平面BDE ，OE 平面BDE ，⊂所以AP ∥平面BDE ．…………………………………………6分（2）因为平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，所以BC ⊥平面PAB ．………………………………………8分因为AP 平面PAB ，所以BC ⊥PA ．⊂因为PB ⊥PA ，BC ∩PB ＝B ，BC ，PB 平面PBC ，⊂所以PA ⊥平面PBC ．…………………………………………12分因为BE 平面PBC ，所以PA ⊥BE ．⊂因为BP ＝PC ，且E 为PC 中点，所以BE ⊥PC ．因为PA ∩PC ＝P ，PA ，PC 平面PAC ，⊂所以BE ⊥平面PAC ．…………………………………………14分PBCDE A(第15题图)16．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A (x 1 ，y 1 )，α∈(，)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点B (x 2，y 2)．π4π2π4（1）若x 1＝，求x 2；35（2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及 △BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝S 2，求tan α的值．4316．解：（1）解法一：因为x 1＝，y 1＞0，所以y 1＝＝．3545 所以sin α＝，cos α＝． ………………………2分4535所以x 2＝cos(α＋)＝cos αcos －sin αsin ＝－． …………………………………6分π4π4π4 解法二：因为x 1＝，y 1＞0，所以y 1＝＝．A (，)，则＝(，)，…………2分35453545OA→ 3545 ＝(x 2，y 2)， 因为·＝||||cos ∠AOB ，所以x 2＋y 2＝ ……4分O B → O A → O B → O A → O B→3545 又x 22＋y 22＝1，联立消去y 2得50 x 22－30x 2－7＝02解得x 2＝－或，又x 2＜0，所以x 2＝－．………………………6分解法三：因为x 1＝，y 1＞0，所以y 1＝＝． 因此A (，)，所以tan α＝．………2分3545354543 所以tan(α＋)＝＝－7，所以直线OB 的方程为y ＝－7x ……………4分π41＋tan α1－tan α由得x ＝±，又x 2＜0，所以x 2＝－． …………………6分{y ＝－7x ，x 2＋y 2＝1．)（2）S 1＝sin αcos α＝－sin2α．…………………………………………8分1214因为α(，)，所以α＋(，)． ∈π4π2π4 ∈π23π4 所以S 2＝－sin(α＋)cos(α＋)＝－sin(2α＋)＝－cos2α．……………………………10分12π4π414π214 因为S 1＝S 2，所以sin2α＝－cos2α，即tan2α＝－． …………………………………12分434343 所以＝－，解得tan α＝2或tan α＝－． 因为α(，)，所以tan α＝2．………14分2tan α1－tan2α4312 ∈π4π2(第16题图)17．(本小题满分14分)如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，＝．MNsin60°AMsin(120°－θ)因为MN ＝2，所以AM ＝sin(120°－θ) ．………………………………………2分433在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)．…………………………………………6分AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM ·MP ·cos ∠AMP＝sin 2(120°－θ)＋4－2×2× sin(120°－θ) cos(60°＋θ)………………………………8分163433＝sin 2(θ＋60°)－ sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋41631633＝[1－cos (2θ＋120°)]－ sin(2θ＋120°)＋483833＝－[sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋833203＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． (12)203163分当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值2．3答：设计∠AMN 为60 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小． (14)分解法二(构造直角三角形)：设∠PMD ＝θ，在△PMD 中，∵PM ＝2，∴PD ＝2sin θ，MD ＝2cos θ．……………2分在△AMN 中，∠ANM ＝∠PMD ＝θ，∴＝，MNsin60°AMsin θAM ＝sin θ，∴AD ＝sin θ＋2cos θ，(θ≥时，结论也正确)．……………6分433433π2APMNBC第17题图D AP MNBC (第17题图)AP 2＝AD 2＋PD 2＝(sin θ＋2cos θ)2＋(2sin θ)23＝sin 2θ＋sin θcos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ…………………………8分163833＝·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋1631－cos2θ243343383203＝＋sin(2θ－)，θ∈(0，)．…………………………12分203163π62π3当且仅当2θ－＝，即θ＝时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值2．π6π2π3 3 此时AM ＝AN ＝2，∠PAB ＝30° …………………………14分解法三：设AM ＝x ，AN ＝y ，∠AMN ＝α．在△AMN 中，因为MN ＝2，∠MAN ＝60°，所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN ·cos ∠MAN ，即x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ＝4．…………………………………………2分因为＝，即＝，MN sin60°AN sin α2sin60°ysin α所以sin α＝y ，cosα＝＝＝． 34x 2＋4－y 22×2×x x 2＋(x 2－xy )4x 2x －y 4…………………………………………6分cos ∠AMP ＝cos(α＋60°)＝cos α－sin α＝·－·y ＝．……………………………8分1232122x －y 43234x －2y4在△AMP 中，AP 2＝AM 2＋PM 2－2 AM ·PM ·cos ∠AMP ，即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×＝x 2＋4－x (x －2y )＝4＋2xy ． (12)x －2y4分因为x 2＋y 2－xy ＝4，4＋xy ＝x 2＋y 2≥2xy ，即xy ≤4．所以AP 2≤12，即AP ≤2．3当且仅当x ＝y ＝2时，AP 取得最大值2．3答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分解法四(坐标法)：以AB 所在的直线为x 轴，A 为坐标原点，建立直角坐标系．设M (x 1，0)，N (x 2，x 2)，P (x 0，y 0)．∵MN ＝2，3∴(x 1－x 2)2＋3x ＝4． …………………………………………2分22MN 的中点K (，x 2)．x 1＋x 2232∵△MNP 为正三角形，且MN ＝2．∴PK ＝，PK ⊥MN ．3∴PK 2＝(x 0－)2＋(y 0－x 2)2＝3，x 1＋x 2232k MN ·k PK ＝－1，即·＝－1，…………………………………………6分x 2－x 1 ∴y 0－x 2＝(x 0－)，∴(y 0－x 2)2＝(x 0－)232x 1－x 23x 2x 1＋x 2232x 1＋x 22∴(1＋)(x 0－)2＝3，即(x 0－)2＝3，∴(x 0－)2＝x ．x 1＋x 22x 1＋x 22x 1＋x 229422∵x 0－＞0 ∴x 0－＝x 2，x 1＋x 22x 1＋x 2232∴x 0＝x 1＋2x 2，∴y 0＝x 1．…………………………………………8分1232∴AP 2＝x ＋y ＝(2x 2＋x 1)2＋x ＝x ＋4x ＋2x 1x 22201234212122＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分即AP ≤2．3 答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分解法五(变换法)：以AB 所在的直线为x 轴，A 为坐标原点，建立直角坐标系．设M (x 1，0)，N (x 2，x 2)，P (x 0，y 0)．3∵MN ＝2，∴(x 1－x 2)2＋3x ＝4．即x ＋4x ＝4＋2x 1x 2222122∴4＋2x 1x 2≥4x 1x 2，即x 1x 2≤2．…………………4分∵△MNP 为正三角形，且MN ＝2．∴PK ＝，PK ⊥MN ． 3顺时针方向旋转60°后得到．MN → MP →＝(x 0－x 1，y 0)，＝(x 2－x 1，x 2)．MP → MN→ 3 ∴＝，即[x 0－x 1y 0]x 0－x 1＝(x 2－x 1)＋x 2，y 0＝－(x 2－x 1)＋x 2．12323232∴x 0＝2x 2＋x 1，y 0＝x 1． …………………………………………8分1232∴AP 2＝x ＋y ＝(2x 2＋x 1)2＋x ＝x ＋4x ＋2x 1x 2 2 02 012342 12 12 2＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分即AP ≤2．3答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分解法六(几何法)：由运动的相对性，可使△PMN 不动，点A 在运动．由于∠MAN ＝60°，∴点A 在以MN 为弦的一段圆弧(优弧)上，…………4分设圆弧所在的圆的圆心为F ，半径为R ，由图形的几何性质知：AP 的最大值为PF ＋R ．…………8分PNCE在△AMN 中，由正弦定理知：＝2R ，MNsin60°∴R ＝，…………10分23∴FM ＝FN ＝R ＝，又PM ＝PN ，∴PF 是线段MN 的垂直平分线．23设PF 与MN 交于E ，则FE 2＝FM 2－ME 2＝R 2－12＝．13即FE ＝，又PE ＝． (12)33 3∴PF ＝，∴AP 的最大值为PF ＋R ＝2．43 3答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分18． (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ∶＋＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为x 2a 2y 2b 22，一条准线方程为x ＝2．P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为(0，b )，求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程；（3）若＝λ，且λ∈[，2]，求·的最大值．F 1P → QF 1→ 12OP → OQ→（1）解：由题意得 解得c ＝1，a 2＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1．所以椭圆的方程为＋y 2＝1．…………………………………………2分x 22 （2）因为P (0，1)，F 1(－1，0)，所以PF 1的方程为x －y ＋1＝0．由 解得或所以点Q 的坐标为(－，－)． ……………………4分{x ＝0，y ＝1，)4313解法一：因为k PF ·k PF ＝－1，所以△PQF 2为直角三角形． ……………………6分12因为QF 2的中点为(－，－)，QF 2＝，1616所以圆的方程为(x ＋)2＋(y ＋)2＝． ……………………8分16162518解法二：设过P ，Q ，F 2三点的圆为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则 解得所以圆的方程为x 2＋y 2＋x ＋y －＝0． (8)131343分（3）解法一：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则＝(x 1＋1，y 1)，＝(－1－x 2，－y 2)．F 1P→ QF 1→因为＝λ，所以即F 1P→ QF 1→ {x 1＋1＝λ(－1－x 2)，y 1＝－λy 2，){x 1＝－1－λ－λx 2，y 1＝－λy 2，)所以解得x 2＝．…………………………………………12分1－3λ2λ所以·＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 2(－1－λ－λx 2)－λy ＝－x 22－(1＋λ)x 2－λOP → OQ →22λ2＝－()2－(1＋λ)·－λ＝－(λ＋) ． …………………………………………14分λ21－3λ2λ1－3λ2λ74581λ因为λ∈[，2]，所以λ＋≥2＝2，当且仅当λ＝，即λ＝1时，取等号．121λ 1λ所以·≤，即·最大值为． …………………………………………16分OP → OQ→ 12OP → OQ→12解法二：当PQ 斜率不存在时，在＋y 2＝1中，令x ＝－1得y ＝±．x 22所以，此时…………………………211(1)(2OP OQ ⋅=-⨯-= 11,22λ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦当PQ 斜率存在时，设为k ，则PQ 的方程是y ＝k (x ＋1)，由得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，韦达定理 (422121222)422==1212k k x x x x k k--+++，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2) ，则212121212(1)(1)OP OQ x x y y x x k x x ⋅=+=+++ 22212122222222222(1)()224(1)12122 61215122(12)2k x x k x x k k k k k k k k k k k =++++--=+++++-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+=-<+分。

江苏省南京师大附中2014届高三模拟考试（5月）生物试题本试卷分选择题和非选择题两部分。

共120分。

考试用时100分钟。

注意事项：答题前考生务必将学校、姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内。

选择题答案按答卷纸上要求正确填涂，非选择题答案写在答题纸上对应题目的答案空格里，答案不写在试卷上。

考试结束，将答卷纸交回。

第I卷（选择题）一．单项选择题：本题包括20小题，每小题2分，共40分。

每小题只有一个选项符合题意。

1．下列关于细胞器的描述正确的是①溶酶体内含有多种水解酶，可以将细胞内衰老的细胞器吞噬处理②动物、低等植物细胞都有两个中心粒,分裂前期发射星射线形成纺锤体③发挥功能时存在碱基互补配对的细胞器有线粒体、叶绿体、核糖体、细胞核④酶、抗体、激素都在核糖体上合成，经内质网加工，高尔基体分泌到细胞外起作用⑤衰老细胞中的线粒体功能衰退，细胞核中染色质固缩，细胞核增大，大多数酶活性下降⑥破坏植物细胞的高尔基体，秋水仙素处理分裂着的植物细胞都可促使细胞形成双核细胞A．①②⑤B．③④⑥C．①②③⑤⑥D．②③⑤⑥2．图甲和图乙分别代表细胞中某一生理过程，图丙和图丁分别代表某种物质的局部结构图，以下说法错误的是A．若甲图代表的过程与⑤形成有关，则A物质是通过乙图过程合成的B．乙图和丙图中的①②③含义不同，乙图和丁图中的④含义也不同C．丙图中的虚线所示化学键不会出现在乙图的③中，因为图示丙是双链D．如果用35S标记某种氨基酸，35S会出现在丁图中④所对应的结构中3．下列有关实验或调查的叙述，错误的是A．设计探究酶的专一性实验时，自变量可以是酶的不同种类或者不同底物B．统计显微镜下各期细胞数占计数细胞总数的比例，能比较细胞周期各期时间的长短C．选取经低温诱导的洋葱根尖制成的临时装片，在显微镜下观察不到联会现象D．叶绿体中色素提取过程中加入无水乙醇越多，叶绿体色素提取液的绿色越深4．用酵母菌使葡萄汁产生葡萄酒，当酒精含量达到12%～16%时，发酵就停止了。

南京师大附中2014高考数学模拟题(1)一.填空题1.过点P ()0,1可以作曲线23ax x y -=的两条切线，则a 的值为________.2.已知0y x π<<<，且tan tan 2x y =，1sin sin 3x y =，则x y -=_______. 3. 在平面直角坐标系xoy 中，直线32m y x =+与圆222x y n +=相切，其中m ，∈n N *，01m n <-≤，若函数1()x f x m n +=-的零点0(,1)x k k ∈+，∈k Z ，则k = . 4.若z y x 、、为正实数，则222zy x yzxy +++的最大值是 . 5.圆056222=++-+a y x y x 关于直线b x y 2+=成轴对称图形，则b a -的取值范围是___________.6.各项均为正偶数的数列1a ，2a ，3a ，4a 中，前三项依次成公差为(0)d d >的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列.若4188a a -=，则q 的所有可能的值构成的集合为__________.7.已知j i ,为互相垂直的单位向量，j i b j i a λ+=-=,2，且a 与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是_________. 二.解答题1. 已知(sin ,1)a α=，(cos ,2)b α=，(0,)4πα∈.(1)若178a b ⋅=，求sin cos αα-的值； (2)若a ∥b ，又β为锐角，且1tan 3β=，求αβ+的值.2. 如图，在四边形ABEF 中，AF BF ⊥，O 为AB 的中点，矩形ABCD 所BCDMO在的平面和平面ABEF互相垂直.(1)求证：AF 平面CBF；(2)设FC的中点为M，求证：OM //平面DAF.3.如图所示,l1,l2是两条互相垂直的海岸线，C为一海岛，ABCD是一矩形渔场，为了扩大渔业规模，将该渔场改建成一个更大的矩形渔场AMPN，要求点D,N在海岸线l1上，点B，M在海岸线l2上，且两点M，N连线经过海岛C，已知AB=3km,AD=2km.(1)要使矩形AMPN的面积大于32km2，则AN的长应在什么范围内?(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小?并求最小面积.(3)若AN的长度不少于6km，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积.4. 已知直线:1l y x =+，圆223:2O x y +=,直线l 被圆截得的弦长与椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的短轴长相等，椭圆的离心率22e =. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点1(0)3M -，的动直线l 交椭圆C 于A B 、两点,试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ,使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.5. 已知函数∈+=++=r q p x q x x g r px x x f ,,(ln 15)(,2)(23R ). (1)当35-=r 时,)(x f 和)(x g 在1=x 处有共同的切线，求q p ,的值；(2)已知函数)()()(x g x f x h -=在1=x 处取得极大值-13，在1x x =和2x x = （21x x ≠）处取得极小值)()(21x h x h 和，若103ln )()(21-<+k x h x h 成立，求整数k 的最小值.6.已知数列}{n a 是以d 为公差的等差数列，数列}{n b 是以q 为公比的等比数列．(1)若数列}{n b 的前n 项和为n S ,且112a b d ===,31003252010S a b <+-,且q 为整数，求q 的值； (2)在(1)的条件下，试问数列}{n b 中是否存在一项k b ，使得k b 恰好可以表示为该数列中连续∈p p (N ，)2≥p 项的和？请说明理由；(3)若123,,r s r t b a b a a b a ==≠=(其中t s r >>,且(s r -)是(t r -)的约数)，求证：数列}{n b 中每一项都是数列}{n a 中的项.三．理科附加题（必做部分）1. 一个暗箱中有大小相同的2只白球和1只黑球共3只球，每次从中取出一只球，取到白球得1分，取到黑球得2分，甲从暗箱中有放回地依次取出2只球，而乙是从暗箱中一次性取出2只球. (1)写出甲总得分ξ的分布列； (2)写出乙总得分η的分布列； (3)求甲总得分比乙总得分高的概率.2.设集合{1,2,3,n S =…，n}.对n S 的子集M ,将M 中所有数之和称为M 的容量（规定空集的容量为0）.若M 的容量为奇（偶）数，则称M 为n S 的奇（偶）子集. （1）证明：n S 的奇子集与偶子集的个数相等；（2）证明：当3n ≥时，n S 的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等； （3）当3n ≥时，求n S 的所有奇子集的容量之和.参考答案一、填空题 1.答案：9, 0.解：设切点横坐标为0x ，则过点()2300,ax x x -的切线方程为 ()()()0020203023x x ax x ax x y --=--，代入()0,1后整理得：关于0x 的方程()0]232[0200=++-a x a x x 有两个不相等的实根.有两种情形：(1)方程()0232020=++-a x a x 有两个相等的不为0的实根，据0=∆得：()0910016322=+-⇒=-+a a a a ，解得1=a 或9=a .当1=a 时，P 在曲线上，不适合，∴9=a .(2)方程()0232020=++-a x a x 两个实根不相等且有一个根为0，把00=x 带入得0=a ，验证适合.综上可得，a 的值为9, 0. 2.答案：3π. 解：由sin sin tan tan 2cos cos x yx y x y ==，及1sin sin 3x y =，可得1cos cos 6x y =， 111cos()cos cos sin sin 632x y x y x y -=+=+=. 又因为(0,)x y π-∈，所以x y -=3π. 3.答案：0k =.解：直线与圆相切，则()22302031m n ⨯+-=+，得n m =-12.又m ，n N *∈，01m n <-≤3m ⇒=，4n =，又1()34x f x +=-的唯一零点0(0,1)x ∈, ∴ 0k =.4.答案：22. 解： z y x 、、 都是正实数，xy y x 22122≥+∴(等式成立2221y x =)， ① yz z y 22122≥+(等式成立2221z y =). ②由①+②，得 ()yz xy yz xy z y y x +=+≥+++22221212222, 2221222=≤+++∴z y x yz xy . ∴当且仅当22221z y x ==时，222z y x yz xy +++取得最大值22. 5.答案：()4,∞-.解：由圆的方程易知圆心坐标为()3,1-，半径a r 510-=, 20510<⇒>-∴a a .又圆关于直线b x y 2+=成轴对称图形，()上在点b x y 23,1+=-∴, 2213-=⇒+=-∴b b ,则()422<+=--=-a a b a ，()4,∞-∈-∴b a .6.答案：58,37⎧⎫⎨⎬⎩⎭.解：由题意，可设1a ，1a d +，12a d +，188a +，其中1a ，d 均为正偶数，则2111(2)()(88)a d a d a +=++， 整理得14(22)0388d d a d -=>-（注意体会这里用“10a >”而不用“12a ≥”的好处），所以(22)(388)0d d --<，即88223d <<，所以d 的所有可能值为24，26，28. 当24d =时，112a =，53q =；当26d =时，12085a =（舍去）；当28d =时，1168a =，87q =.所以q 的所有可能的值构成的集合为58,37⎧⎫⎨⎬⎩⎭.7.答案：)21,2(2,-⋃-∞-）（. 解：由题意，知⋅→a 0>→b ，且→a 与→b 不平行.由⋅→a 0>→b 得：0)()2(>+⋅-j i j i λ,整理得：021>-λ，即21<λ . 又由b a //得：2-=λ. 所求λ的取值范围是)21,2(2,-⋃-∞-）（. 二.解答题 1.答案：(1) 23-； (2)4π. 解：(1)178a b ⋅=17sin cos 28αα∴+=，即 12sin cos 4αα=. 又 22sin cos 1αα+=, 213(sin cos )12sin cos 144αααα∴-=-=-=. 而 (0,)4πα∈， sin cos αα∴<, 3sin cos 2αα∴-=- . (2)a ∥b , 2sin cos αα∴=, 1tan 2α∴=. 又1tan 3β=, 11tan tan 23tan()1111tan tan 123αβαβαβ++∴+===--⨯. 而 04πα<<，02πβ<<, 304παβ∴<+<， 4παβ∴+=.故 αβ+的值为4π. 2.答案：(1) 见下面的证明； (2) 见下面的证明.证明：(1)因为平面⊥ABCD 平面ABEF ，AB CB ⊥，平面 ABCD 平面ABEF =AB ，所以CB ⊥平面ABEF ，又AF ⊂平面ABEF ， 则AF CB ⊥，又AF BF ⊥，且BF BC B ⋂=，,BF BC ⊂平面CBF ，所以AF ⊥平面CBF . (2)设DF 的中点为N ，则CD MN 21//， 又CD AO 21//，则AO MN //， 所以四边形MNAO 为平行四边形，所以//OM AN .又⊂AN 平面DAF ，⊄OM 平面DAF ，所以//OM 平面DAF . 3.答案：(1)382<<AN 或8>AN ; (2)当AN 的长度是4km 时,矩形AMPN 的面积最小，最小面积为24km 2； (3)当AN 的长度是6km时,矩形AMPN 的面积最小，最小面积为27km 2.解：(1)设x AN =km ，()2>x ，则2-=x ND .∵AM AN DC ND =,∴AM x x =-32,∴23-=x xAM , ∴.x x x3223>⋅- ∴0643232>+-x x , ∴0)8)(83(>--x x ,∴382<<x 或8>x . (2).232-=x x S AMPN()().232622---='x x x x S 令0='S ，得()022=--x x .解得 4=x .(3)∵12212)2(3+-+-=x x S AMPN )6(≥x , 令t x =-2)4(≥t ，12123)(++=tt t f . ∵2123)(t t f -=', 当4≥t 时，0)(>'t f ,∴12123)(++=tt t f 在[)+∞,4上递增, ∴27)4()(min ==f t f , 此时6=x .4.答案：(1)2212x y +=；(2)存在一个定点(0,1)T .解：(1)由题设，可知1212322=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ，又22e =,2a =, 所以椭圆C 的方程是2212x y +=.(2)法一：假设存在点(,)T u v ，若直线l 的斜率存在，设其方程为13y kx =-， 将它代入椭圆方程，并整理，得22189)12160k x kx +--=（. 设点,A B 的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则36492222,1++±=k k k x . 因为1122(,),(,)TA x u y v TB x u y v =--=--及112211,,33y kx y kx =-=-12122221212222222()()()()121(1)()()339(666)4(3325)63TA TB x u x u y v y v v k x x u k kv x x u v u v k ku u v v k =--+--=+-++++++++--+++-=+所以当且仅当0=⋅→→TB TA 恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ,所以22226660,0,0, 1.33250.u v u u v u v v ⎧+-=⎪===⎨⎪++-=⎩解得此时以AB 为直径的圆恒过定点(0,1)T . 当直线l 的斜率不存在时，l 与y 轴重合， 以AB 为直径的圆为221x y +=，也过点(0,1)T .综上可知，在坐标平面上存在一个定点(0,1)T ，满足条件. 法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆是221x y +=.若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆是22116+39x y +=（）. 222210.1161+.39x y x y x y ⎧+==⎧⎪⎨⎨=+=⎩⎪⎩由解得（） 由此可知所求点T 如果存在，只能是0,1（）.事实上(0,1)T 点就是所求点。

(第3题图)南京师大附中2014届高三模拟考试数 学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、班级写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：锥体的体积公式为V ＝13S h ，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．卡．相应位置上．．．．．． 1．设集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜4，x ∈N }，则A ∩B ＝ ▲ ． 2．若复数1＋a i 2－i (i 是虚数单位)为纯虚数，则实数a ＝ ▲ ．3．某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得 的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图．根据图 形推断，该时段时速超过50km/h 的汽车辆数为 ▲ ． 4．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．5．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只黑球，2只白球， 从中一次随机摸出2只球，至少有1只黑球的概率是 ▲ ．6．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）7．函数[]()sin (π0)f x x x x=∈-，的单调增区间是 ▲ ．8．设实数x ，y ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，若z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实数b 的值为 ▲ ． 9．设a ，b 均为正实数，则11a b++的最小值是 ▲ ．10．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则满足不等式f (1)＜f (lg(2x ))的x 的取值范围是 ▲ ．(第4题图)NY结束输出s n ≤10开始11．在△ABC 中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝6，若D 点在斜边BC 上，CD ＝2DB ，则AB →·AD →的值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，点M 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q 两点．若△PQM 是钝角三角 形，则该椭圆离心率的取值范围是 ▲ ．13．对于定义域内的任意实数x ，函数f (x )＝x 2+(a －1)x －2a +22x 2+ax －2a的值恒为正数，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14．记数列{a n }的前n 项和为S n ，若不等式a 2n ＋S 2nn 2≥ma 21对任意等差数列{a n }及任意正整数n 都成立，则实数m 的最大值为 ▲ ．二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b －3c 3a ＝cos Ccos A ．（1）求角A 的值； （2）若角6B π=，BC 边上的中线AM ABC ∆的面积．16．（本小题满分14分）在四棱锥P －ABCD 中，∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD的中点．（1）求证：平面PAC ⊥平面PCD ； （2）求证：CE ∥平面PAB ．(第16题图)图某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm 的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为x cm ，体积为Vcm 3．在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V 的最大值是多少？并求此时x 的值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为32，两个顶点分别为A 1(－2，0)，A 2(2，0)．过点D (1，0)的直线交椭圆于M ，N 两点，直线A 1M 与NA 2的交点为G ．（1）求实数a ，b 的值；（2）当直线MN 的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点P 1，P 2使得△P 1MN 和△P 2MN的面积为S ，求S 的取值范围；（3）求证：点G 在一条定直线上．(第17题图)图已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且满足a 1＋a 2＋a 3＝9，b 1b 2b 3＝27. （1）若a 4＝b 3，b 4－b 3＝m .①当m ＝18时，求数列{a n }和{b n }的通项公式； ②若数列{b n }是唯一的，求m 的值；（2）若a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3均为正整数，且成等比数列，求数列{a n }的公差d 的最 大值.20．（本小题满分16分）设a 是实数，函数f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x －2ln x ． （1）当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；（2）当a ＝2时，过原点O 作曲线y ＝f (x )的切线，求切点的横坐标；（3）设定义在D 上的函数y ＝g (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程为l ：y ＝h (x )，当x ≠x 0 时，若g (x )－h (x )x －x 0＜0在D 内恒成立，则称点P 为函数y ＝g (x )的“巧点”．当a ＝－14时，试问函数y ＝f (x )是否存在“巧点”？若存在，请求出“巧点”的横坐标；若不存在，说 明理由．DCBA(第21—A 题图)南京师大附中2014届高三模拟考试数 学（附加题） 2014.0521．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分.请在答题纸．．．指定区域内．．．．．作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A ．（几何证明选讲选做题）如图，设AB 、CD 是圆O 的两条弦，直线AB 是线段CD的垂直平分线．已知6,AB CD ==AC 的长度． B ．（矩阵与变换选做题）设矩阵A a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为111 ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α，属于特征值 24λ=的一个特征向量为232⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，求ad －bc 的值．C ．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设点A ， B 分别在曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝3＋cos θy ＝4＋sin θ（θ为参数）和曲线C 2：ρ＝1上，求线段AB 的最小值． D ．（不等式选做题）设a ，b ，c 均为正数， abc ＝1．求证：1a ＋1b ＋1c≥ a ＋ b ＋ c .22．【必做题】在一个盒子中放有大小质量相同的四个小球，标号分别为1，2，3，4，现从这个盒子中有放回．．．地先后摸出两个小球,它们的标号分别为x，y，记ξ＝|x－y|．（1）求P(ξ＝1)；（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．23．【必做题】有三种卡片分别写有数字1，10和100．设m为正整数，从上述三种卡片中选取若干张，使得这些卡片上的数字之和为m．考虑不同的选法种数，例如当m＝11时，有如下两种选法：“一张卡片写有1，另一张卡片写有10”或“11张写有1的卡片”，则选法种数为2．（1）若m＝100，直接写出选法种数；（2）设n为正整数，记所选卡片的数字和为100n的选法种数为a n．当n≥2时，求数列{a n}的通项公式．南京师大附中2014届高三模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．1．{1}； 2．2； 3．77； 4．5； 5．910； 6．必要不充分；7．[－π6,0]； 8．94； 9．4； 10．(0，120)∪(5，+∞)； 11．24；12．（0，6－22）； 13．－7＜a ≤0或a ＝2； 14．15．二、解答题：15．解析:（1）因为(2)cos cos b A C =，由正弦定理得(2sin )cos cos B C A A C =，………………2分即2sin cos cos cos B A A C C A=+=3sin(A +C ) ． ………………4分因为B ＝π－A －C ，所以sin B =sin(A +C )，所以2sin cos B A B =． 因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，所以csA =，因为0A π<<，所以6A π=． ………………7分 （2）由（1）知π6A B ==，所以A C =，23C π=． ………………8分 设AC x =，则12MC x =，又AM =在△AMC 中，由余弦定理得2222cos ,AC MC AC MC C AM +-⋅=即222()2cos120,22x xx x +-⋅⋅=o 解得x ＝2. ………………12分故212sin 23ABC S x π∆=………………14分16．解析: （1）因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD ， …………………2分又∠ACD ＝90°，则CD AC ⊥，而PA ∩AC ＝A ， 所以CD ⊥平面PAC ，因为CD ⊂平面ACD ， ………………4分所以，平面PAC ⊥平面PCD ． ………………7分（2）证法一：取AD 中点M ，连EM ，CM ，则EM ∥PA ． 因为EM ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， 所以EM ∥平面PAB ． ………………9分在Rt△ACD 中，AM =CM ，所以∠CAD=∠ACM ， 又∠BAC ＝∠CAD ，所以∠BAC ＝∠ACM ， 则MC ∥AB ．因为MC ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以MC ∥平面PAB ．………………12分 而EM ∩MC ＝M ，所以平面EMC ∥平面PAB ．由于EC⊂平面EMC ，从而EC ∥平面PAB ． ………………14分证法二：延长DC ，AB 交于点N ，连PN ． 因为∠NAC ＝∠DAC ，AC ⊥CD ， 所以C 为ND 的中点．而E 为PD 中点，所以EC ∥PN ．因为EC ⊄平面PAB ，PN ⊂平面PAB ，所以EC ∥平面PAB ．………………14分17．解析:正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大． 设正三棱锥侧面的高为h 0，高为h ．由题意得：36x ＋h 0＝10，解得h 0＝10－36x ．………………2分则h ＝h 02－x212＝(10－36x )2－x212＝100－1033x，x ∈(0,103) ． ………………5分所以，正三棱锥体积V ＝13Sh ＝13×34x 2×100－1033x＝3x 212100－10 33x ． ………………8分设y ＝V 2＝x 448(100－10 33x )＝100x 448－10x 5483，求导得y ′＝100x312－50x448 3，令y ′＝0，得x ＝83， ………………10分 当x ∈(0，83)时，y ′＞0，y 随着x 的增加而增大， 当x ∈(8 3，103)时，y ′＜0，y 随着x 的增加而减小， 所以，当x ＝83 cm 时，y 取得极大值也是最大值． ………………12分 此时y ＝15360，所以V max ＝32 15 cm 3． 答：当底面边长为83cm 时，正三棱锥的最大体积为3215cm 3． ………………14分 18．解析:（1）由题设可知a ＝2． ………………1分 因为e ＝32，即c a ＝32，所以c ＝3．又因为b 2＝a 2－c 2＝4－3＝1，所以b ＝1． ………………2分（2）由题设可知，椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线MN 的方程为y ＝x －1．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1 y ＝x －1，消去y 可得5x 2－8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85．将x 1＝0，x 2＝85，代入直线MN 的方程，解得y 1＝－1，y 2＝35．所以MN ＝( x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝852． ………………4分设与直线MN 平行的直线m 方程为y ＝x ＋λ．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1 y ＝x ＋λ，消去y 可得5x 2＋8λx ＋4λ2－4＝0，若直线m 与椭圆只有一个交点，则满足△＝64λ2－20(4λ2－4)＝0，解得λ＝±5． ……………6分当直线m 为y ＝x －5时，直线l 与m 之间的距离为d 1＝|－1－(－5)|2＝5－12； 当直线m 为y ＝x ＋5时，直线l 与m 之间的距离为d 2＝|－1－5|2＝5＋12； ………………8分 设点C 到MN 的距离为d ，要使△CMN 的面积为S 的点C 恰有两个， 则需满足d 1＜d ＜d 2，即5－1 2＜d ＜5＋12．因为S ＝12d ·MN ＝452d ，所以45－45＜S ＜45＋45． ………………10分 （3）方法一 设直线A 1M 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，直线A 2N 的方程为y ＝k 2(x －2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝k 1(x ＋2)，消去y 得(1＋4k 12)x 2＋16k 12x ＋16k 12－4＝0，解得点M 的坐标为(2－8k 121＋4k 12，4k 11＋4k 12)．同理，可解得点N 的坐标为(8k 22－21＋4k 22，－4k 21＋4k 22)． ………………12分由M ，D ，N 三点共线，有4k 11＋4k 122－8k 121＋4k 12－1＝－4k 21＋4k 228k 22－21＋4k 22－1，化简得(k 2－3k 1)(4k 1k 2＋1)＝0． 由题设可知k 1与k 2同号，所以k 2＝3k 1． ………………14分 联立方程组⎩⎨⎧y ＝k 1(x ＋2)y ＝k 1(x －2)，解得交点G 的坐标为(2(k 1＋k 2)k 2－k 1，4k 1k 2k 2－k 1)．将k 2＝3k 1代入点G 的横坐标，得x G ＝2(k 1＋k 2)k 2－k 1＝2(k 1＋3k 1)3k 1－k 1＝4．所以，点G 恒在定直线x ＝4上． ………………16分 方法二 显然，直线MN 的斜率为0时不合题意． 设直线MN 的方程为x ＝my ＋1．令m ＝0，解得M (1，32)，N (1，－ 32)或M (1，－ 32)，N (1，32)．当M (1，32)，N (1，－ 32)时，直线A 1M 的方程为y ＝ 36x ＋33，直线A 2N 的方程为y＝32x －3． 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ 36x ＋ 33y ＝ 32x －3，解得交点G 的坐标为(4，3)；当M (1，－ 32)，N (1， 32)时，由对称性可知交点G 的坐标为(4，－3)．若点G 恒在一条定直线上，则此定直线必为x ＝4． ………………12分下面证明对于任意的实数m ，直线A 1M 与直线A 2N 的交点G 均在直线x ＝4上． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，G (4，y 0)． 由点A 1，M ，G 三点共线，有y 1－0x 1＋2＝y 04＋2，即y 0＝6y 1x 1＋2．再由点A 2，N ，G 三点共线，有y 2－0x 2－2＝y 04－2，即y 0＝2y 2x 2－2． 所以，6y 1x 1＋2＝2y 2x 2－2．① 将x 1＝my 1＋1，x 2＝my 2＋1代入①式，化简得2my 1y 2－3(y 1＋y 2)＝0． ② ………………14分联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1x ＝my ＋1，消去x 得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0，从而有y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4． 将其代入②式，有2m ·－3m 2＋4－3·－2mm 2＋4＝0成立． 所以，当m 为任意实数时，直线A 1M 与直线A 2N 的交点G 均在直线x ＝4上． ………………16分19．解析：（1）①由数列{a n }是等差数列及a 1＋a 2＋a 3＝9，得a 2＝3， 由数列{b n }是等比数列及b 1b 2b 3＝27，得b 2＝3． ………………2分 设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，若m ＝18，则有⎩⎪⎨⎪⎧3＋2d ＝3q ， 3q 2－3q ＝18.解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3， q ＝3；或 ⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－92， q ＝－2．所以，{a n }和{b n }的通项公式为⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝3n －3，b n ＝3n -1；或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝－92n ＋12，b n ＝3(－2) n －2.………………4分 ② 由题设b 4－b 3＝m ，得3q 2－3q ＝m ，即3q 2－3q －m ＝0（*）．因为数列{b n }是唯一的，所以若q =0，则m =0，检验知，当m =0时，q =1或0（舍去），满足题意； 若q ≠0，则(－3)2＋12 m ＝0，解得m ＝－34，代入（*）式，解得q ＝12，又b 2＝3，所以{b n }是唯一的等比数列，符合题意． 所以，m =0或－34． ………………8分 （2）依题意，36＝(a 1＋b 1) (a 3＋b 3)，设{b n }公比为q ，则有36＝(3－d ＋3q)(3＋d ＋3q )， （**）记m ＝3－d ＋3q，n ＝3＋d ＋3q ，则mn =36．将（**）中的q 消去，整理得： d 2＋(m －n )d ＋3(m ＋n )－36＝0 ………………10分d 的大根为n －m ＋(m －n )2－12(m ＋n )＋1442＝n －m ＋(m ＋n －6)2－362而m ，n ∈N *，所以 (m ，n )的可能取值为：(1，36)，(2，18)，(3，12)，(4，9)，(6，6)，(9，4)，(12，3)，(18，2)，(36，1) ． 所以，当m ＝1，n ＝36时，d 的最大值为35+5 372 ． ………………16分 20．解析：（1）当a ＝1时， f ′(x )＝2(x 2+x －1)x(x ＞0)， ………………1分由 f ′(x )＞0得：x ＞－1＋ 52 ；由 f ′(x )＜0得：0＜x ＜－1＋ 52． ………………2分 所以，f (x )的单调增区间为(－1＋ 52，＋∞)，单调减区间为(0,－1＋ 52) ． ………………3分（2）当a ＝2时，设切点为M (m ，n ) ． f ′(x )＝4x ＋3－2x( x ＞0)，所以，切线的斜率k ＝4m ＋3－2m．又直线OM 的斜率为2m 2＋3m －2ln mm， ………………5分所以，4m ＋3－2m ＝2m 2＋3m －2ln m m，即m 2＋ln m －1＝0，又函数y ＝m 2＋ln m －1在(0,＋∞)上递增，且m ＝1是一根，所以是唯一根， 所以，切点横坐标为1． ………………7分 （3）a ＝－14时，由函数y ＝f (x )在其图象上一点P (x 0,y 0)处的切线方程为：y ＝(－12x 0＋34－2x 0)(x －x 0)－14x 02＋34x 0－2lnx 0． ………………8分令h (x )＝(－12x 0＋34－2x 0)(x －x 0)－14x 02＋34x 0－2ln x 0，设F (x )＝f (x )－h (x )，则F (x 0)＝0．且F ′(x )＝f ′(x )－h ′(x )＝－12x ＋34－2x －(－12x 0＋34－2x 0)＝－12(x －x 0)－(2x －2x 0)＝－12x(x －x 0) (x －4x 0) ………………10分当0＜x 0＜2时，4x 0＞x 0，F (x )在(x 0,4x 0)上单调递增，从而有F (x )＞F (x 0)＝0，所以，F (x )x －x 0＞0； 当x 0＞2时，4x 0＜x 0，F (x )在(4x 0,x 0)上单调递增，从而有F (x )＜F (x 0)＝0，所以，F (x )x －x 0＞0．因此，y ＝f (x )在(0，2)和(2，＋∞)上不存在“巧点”． ………………13分当x 0＝2时， F ′(x )＝－(x －2)22x ≤0，所以函数F (x )在(0,＋∞)上单调递减．所以，x ＞2时，F (x )＜F (2)＝0，F (x )x －2＜0；0＜x ＜2时，F (x )＞F (2)＝0，F (x )x －2＜0． 因此，点(2，f (2))为“巧点”，其横坐标为2． ………………16分ADCBE南京师大附中2014届高三模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2014.0521．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲解析：连接BC ，,AB CD 相交于点E ．因为AB 是线段CD 的垂直平分线，所以AB 是圆的直径，∠ACB ＝90°．………………2分设AE x =，则6EB x =-，由射影定理得CE 2＝AE ·EB ，又CE =即有(6x x -=，解得1x =（舍）或5x =………………8分所以，AC2＝AE ·AB ＝5×6＝30，AC ………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解析：由特征值、特征向量定义可知，A 1α1λ=1α，即11111 a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11.a b c d -=-⎧⎨-=⎩，………………5分 同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩，， 解得2321，， ， a b c d ====． 因此ad －bc ＝2－6＝－4． ………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解析：将曲线C 1的参数θ消去可得(x －3)2＋(y －4)2＝1．将曲线C 2化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝1． ………………5分曲线C 1是以(3，4)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是以(0，0)为圆心，1为半径的圆， 可求得两圆圆心距为 32＋42＝5， 所以，AB 的最小值为5－1－1＝3． ………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：由a ，b ，c 为正数，根据平均值不等式，得1a ＋1b ≥2 ab ，1b ＋1c ≥2 bc ，1c ＋1a ≥2ca．将此三式相加，得2(1a ＋1b ＋1c )≥2 ab ＋2 bc ＋2 ca ，即1a ＋1b ＋1c ≥1 ab ＋1bc＋1ca．………………5分由abc ＝1，则有abc ＝1．所以，1a＋1b＋1c≥abcab＋abcbc＋abcca＝a ＋b ＋c ． ………………10分22．解析：（1）63(1)168P ξ===； ………………3分 （2）ξ的所有取值为0, 1，2，3． ………………4分41(0)164P ξ∴===，63(1)168P ξ===，41(2)164P ξ===,21(3)168P ξ===． 则随机变量ξ的分布列为ξ的数学期望13115()012348484E ξ=⨯+⨯+⨯． ………………10分 23．解析：（1）m＝100，共有选法种数为12． ………………3分（2）若至少选一张写有100的卡片时，则除去1张写有100的卡片，其余数字之和为100(n －1)， 有a n －1种选法；若不选含有100的卡片，则有10n ＋1种选法．所以，a n ＝10n ＋1＋a n －1 ， ………………8分从而，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋···＋(a 2 －a 1)＋a 1 ＝10n ＋1＋10(n －1)＋1＋···＋10×2＋1＋a 1＝10(n ＋2)(n －1)2＋n －1＋a 1＝5n 2＋6n ＋1 所以，{a n }的通项公式是a n ＝5n2＋6n ＋1． ………………10分。

2014年江苏省南通市某校高考数学模拟试卷（5月份）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上． 1. 已知集合M ={0, 2, 4}，N ={x|x =2a, a ∈M}，则集合M ∩N =________． 2. 已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z|的取值范围是________． 3. 抛物线y 2=8x 的焦点到双曲线x 212−y 24=1的渐近线的距离为________．4. 某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为________．5. 某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图），则这100名同学中学习时间在6到8小时内的人数为________人．6. 设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f(x)=2x +2x +m （m 为常数），则f(1)=________．7. 如果执行程序框图，那么输出的S 为________．8. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中为真命题的是________．① m ⊥n n ⊂α}⇒m ⊥α；② a ⊥αa ⊂β}⇒α⊥β；③ m ⊥αn ⊥α}⇒m // n ；④ m ⊂αn ⊂βα // β}⇒m // n9. 已知圆C 的半径为3，直径AB 上一点D 使AB →=3AD →，E ，F 为另一直径的两个端点，则DE →⋅DF →=________．10. 已知函数f n (x)=lnx −n +5的零点为a n （其中n =1，2，3…），数列{a n }的前k 项的积为T k (k >1, k ∈N)，则满足T k =a k 的自然数k 的值是________． 11. 直线y =√33x +√2与圆心为D 的圆(x −√3)2+(y −1)2=3交于A 、B 两点，则直线AD与BD 的倾斜角之和为________．12. 在△ABC 中，已知tanAtanC +tanBtanC =tanAtanB ，若a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，则c 2ab 的最小值为________．13. 已知是A 、B 、C 直线l 上的三点，向量OA →，OB →，OC →满足：OA →−[f(x)+1x]•OB →−(x −1)⋅OC →=0¯，且对任意x ∈[1, +∞)，f(mx)+mf(x)<0恒成立，则实数m 的取值范围是________．14. 已知实数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，且ab +bc +ca =0，abc =1，不等式|a +b|≥k|c|恒成立．则实数k 的最大值为________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知O 为坐标原点，OA →=(2sin 2x,1)，OB →=(1,−2√3sinxcosx +1)，f(x)=−12OA →⋅OB →+1．（1）求y =f(x)的最小正周期；（2）将f(x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再将所得图象向左平移π6个单位后，所得图象对应的函数为g(x)，且α∈[π6，2π3]，β∈(−5π6,−π3)，g(α)=35，g(β)=−45，求cos2(α−β)−1的值． 16. 如图，在梯形ABCD 中，AB // CD ，AD =DC =CB =a ，∠ABC =60∘，平面ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，AE =a ，点M 在线段EF 上．（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）当EM 为何值时，AM // 平面BDF ？证明你的结论．17. 为配合国庆黄金周，促进旅游经济的发展，某火车站在调查中发现：开始售票前，已有a 人在排队等候购票．开始售票后，排队的人数平均每分钟增b 人．假设每个窗口的售票速度为c 人/分钟，且当开放两个窗口时，25分钟后恰好不会出现排队现象（即排队的人刚好购完）；若同时开放三个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象．（1）若要求售票10分钟后不会出现排队现象，则至少需要同时开几个窗口？（2）若a =60，在只开一个窗口的情况下，试求第n(n ∈N ∗且n ≤118)个购票者的等待时间t n 关于n 的函数，并求出第几个购票者的等待时间最长？（注：购票者的等待时间指从开即始排队（售票开始前到达的人，从售票开始计时）到开始购票时止）18. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，且圆C:x 2+y 2+√3x −3y −6=0过A ，F 2两点． （1）求椭圆标准的方程；（2）设直线PF 2的倾斜角为α，直线PF 1的倾斜角为β，当β−α=2π3时，证明：点P 在一定圆上；（3）设椭圆的上顶点为Q ，证明：PQ =PF 1+PF 2．19. 如果数列{a n }满足：a 1+a 2+a 3+...+a n =0且|a 1|+|a 2|+|a 3|+...+|a n |=1(n ≥3, n ∈N ∗)，则称数列{a n }为n 阶“归化数列”．（1）若某4阶“归化数列”{a n }是等比数列，写出该数列的各项； （2）若某11阶“归化数列”{a n }是等差数列，求该数列的通项公式； （3）若{a n }为n 阶“归化数列”，求证：a 1+12a 2+13a 3+...+1n a n ≤12−12n ．20. 已知二次函数g(x)对任意实数x 都满足g(x −1)+g(1−x)=x 2−2x −1，且g(1)=−1．令f(x)=2g(x +12)+mx −3m 2lnx +94(m >0,x >0)．（1）求g(x)的表达式；（2）若函数f(x)在x ∈[1, +∞)上的最小值为0，求m 的值；（3）记函数H(x)=[x(x −a)2−1]•[−x 2+(a −1)x +a −1]，若函数y =H(x)有5个不同的零点，求实数a 的取值范围．【选做题】在21-24四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【选修4-1：几何证明选讲】21. 圆的两条弦AB 、CD 交于点F ，从F 点引BC 的平行线和直线DA 的延长线交于点P ，再从点P 引这个圆的切线，切点是Q ．求证：PF =PQ ．【选修4-2：矩阵与变换】 22. 选修4−2 矩阵与变换 已知矩阵M =[a1c0]的一个特征根为−1，属于它的一个特征向量[1−3]． （1）求矩阵M ；（2）求曲线x 2+y 2=1经过矩阵M 所对应的变换得到曲线C ，求曲线C 的方程．【选修4-4：参数方程与极坐标】23. 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴．已知点P 的直角坐标为(1, −5)，点M 的极坐标为(4, π2)．若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 以M 为圆心、4为半径． （1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；（2）试判定直线l和圆C的位置关系．【选修4-5：不等式证明选讲】24. 已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5，求a的取值范围．【必做题】第25、26两题，每小题10分，共计20分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25. 如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD // AE，BD⊥BA，BD=12AE=2，O、M分别为CE、AB的中点，求直线CD和平面ODM所成角的正弦值．26. 用a，b，c，d四个不同字母组成一个含n+1(n∈N+)个字母的字符串，要求由a开始，相邻两个字母不同．例如n=1时，排出的字符串是ab，ac，ad；n=2时排出的字符串是aba，abc，abd，aca，acb，acd，ada，adb，adc，…，如图所示．记这含n+1个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是a的字符串的种数为a n．（1）试用数学归纳法证明：a n=3n+3(−1)n4(n∈N∗,n≥1)；（2）现从a，b，c，d四个字母组成的含n+1(n∈N∗, n≥2)个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是a的概率为P，求证：29≤P≤13．2014年江苏省南通市某校高考数学模拟试卷（5月份）答案1. {0, 4}2. (1, √5)3. 14. 145. 306. 527. 438. ②③ 9. −8 10. 10 11. 43π 12. 23 13. m <−1 14. 415. 解：（1）由题设有，f(x)=−sin 2x +√3sinxcosx +12=cos2x+√3sin2x2+12=sin(2x +π6)，∴ 函数y =f(x)的最小正周期为2π2=π．（2）由题设有g(x)=sin(x +π3)，又g(α)=35，g(β)=−45， 即sin(α+π3)=35，sin(β+π3)=−45， 因为α∈[π6，2π3]，β∈(−5π6,−π3)，所以α+π3∈[π2,π]，β+π3∈(−π2,0)，∴ cos(α+π3)=−45，cos(β+π3)=35．∴ sin(α−β)=sin[(α+π3)−(β+π3)]=sin(α+π3)cos(β+π3)−cos(α+π3)sin(β+π3)=35⋅35−(−45)⋅(−45)=−725， 所以cos2(α−β)−1=−2sin 2(α−β)=−2×(−725)2=−98625． 16. 解：（1）在梯形ABCD 中，∵ AD =DC =CB =a ，∠ABC =60∘ ∴ 四边形ABCD 是等腰梯形，且∠DCA =∠DAC =30∘，∠DCB =120 ∴ ∠ACB =90，∴ AC ⊥BC又∵ 平面ACF ⊥平面ABCD ，交线为AC ，∴ BC ⊥平面ACFE ．（2）当EM =√33a 时，AM // 平面BDF ． 在梯形ABCD 中，设AC ∩BD =N ，连接FN ，则CN:NA =1:2． ∵ EM =√33a 而 EF =AC =√3a ，∴ EM:FM =1:2．∴ EM // CN ，EM =CN ，∴ 四边形ANFM是平行四边形．∴ AM // NF．又NF⊂平面BDF，AM⊄平面BDF．∴ AM // 平面BDF．17. 解：（1）设需同时开x个窗口，则根据题意有，{a+25b=50c(1) a+15b=45c(2)a+10b≤10cx(3)由（1）（2）得，c=2b，a=7b代入（3）得，75b+10b≤20bx，∴ x≥4.25，即至少同时开5个窗口才能满足要求．（2）由a=60得，b=0.8，c=1.6，设第n个人的等待时间为t n，则由题意有，当n≤60(n∈N∗)时，t n=n−11.6；当60<n≤118(n∈N∗)时，设第n个人是售票开始后第t分钟来排队的，则n=60+0.8t，此时已有1.6t人购到票离开队伍，即实际排队的人数为n−1.6t，∴ t n=(n−1.6t)−11.6=119−n1.6，综上，t n关于n的函数为t n={n−11.6，(n≤60,n∈N∗)119−n 1.6，(60<n≤118,n∈N∗)，∵ 当n≤60时，(t n)max=60−11.6=36.875分钟，当60<n≤118时，(t n)max<119−601.6=36.25分钟，∴ 第60个购票者的等待时间最长．18. （1）解：圆x2+y2+√3x−3y−6=0与x轴交点坐标为A(−2√3，0)，F2(√3,0)，故a=2√3，c=√3，所以b=3，∴ 椭圆方程是：x212+y29=1．（2）证明：设点P(x, y)，因为F1(−√3, 0)，F2(√3, 0)，则k PF1=tanβ=x+√3，k PF2=tanα=x−√3，因为β−α=2π3，所以tan(β−α)=−√3．因为tan(β−α)=tanβ−tanα1+tanαtanβ=−2√3yx2+y2−3，所以−2√3yx2+y2−3=−√3．化简得x2+y2−2y=3．所以点P在定圆x2+y2−2y=3上．（3）证明：在满足（2）的条件下，∵ |PQ|2=x2+(y−3)2=x2+y2−6y+9，x2+y2=3+2y，∴ |PQ|2=12−4y．又|PF1|2=(x+√3)2+y2=2y+6+2√3x，|PF2|2=(x−√3)2+y2=2y+6−2√3x，∴ 2|PF1|×|PF2|=2√4(y+3)2−12x2=4√(y+3)2−3x2，因为3x2=9−3y2+6y，所以2|PF1|×|PF2|=4√4y2，∵ β=α+2π3>2π3，又点P在定圆x2+y2−2y=3上，∴ y<0，所以2|PF 1|×|PF 2|=−8y ，从而(|PF 1|+|PF 2|)2=|PF 1|2+2|PF 1|×|PF 2|+|PF 2|2=4y +12−8y =12−4y =|PQ|2．所以|PQ|=|PF 1|+|PF 2|．19. （1）解：设a 1，a 2，a 3，a 4成公比为q 的等比数列，显然q ≠1，则由a 1+a 2+a 3+a 4=0， 得a 1(1−q 4)1−q=0，解得q =−1．由|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|=1，得4|a 1|=1，解得a 1=±14． ∴ 数列14，−14，14，−14或−14，14，−14，14为所求四阶“归化数列”；（2）解：设等差数列a 1，a 2，a 3，…，a 11的公差为d ， 由a 1+a 2+a 3+...+a 11=0，得： 11a 1+11×10d2=0，∴ a 1+5d =0，即a 6=0，当d =0时，与归化数列的条件相矛盾，当d >0时，由a 1+a 2+⋯+a 5=−12，a 6=0，得：{5a 1+10d =−12a 1+5d =0，解得d =130，a 1=−16， ∴ a n =−16+n−130=n−630(n ∈N ∗,n ≤11)．当d <0时，由a 1+a 2+⋯+a 5=12，a 6=0，得： {5a 1+10d =12a 1+5d =0，解得d=−130，a 1=16， ∴ a n =16−n−130=−n−630(n ∈N ∗, n ≤11)．∴ a n ={n−630d >0−n−630d <0(n ∈N ∗, n ≤11)；（3）证明：由已知可知，必有a i >0，也必有a j <0(i ，j ∈{1，2，…，n ，且i ≠j)． 设a i 1，a i 2，…，a i p 为诸a i 中所有大于0的数，a j 1，a j 2，…，a j m 为诸a i 中所有小于0的数． 由已知得X =a i 1+a i 2+⋯+a i p =12，Y =a j 1+a j 2+⋯+a j m =−12．∴ a 1+12a 2+⋯+1n a n =∑a i k i kpk=1+∑a j k j km k=1≤∑a i k p k=1+1n ∑a j k m k=1=12−12n ．20. 解：（1）设g(x)=ax 2+bx +c ，于是g(x −1)+g(1−x)=2a(x −1)2+2c =2(x −1)2−2，所以{a =12c =−1又g(1)=−1，则b =−12．所以g(x)=12x 2−12x −1．（2）f(x)=2g(x +12)+mx −3m 2lnx +94=x 2+mx −3m 2lnx则f′(x)=2x +m −3m 2x=2x 2+mx−3m 2x=(2x+3m)(x−m)x．令f ′(x)=0，得x =−3m 2（舍），x =m ．①当m >1时，min 令2m 2−3m 2lnm =0，得m =e 23．②当0<m ≤1时，f ′(x)≥0在x ∈[1, +∞)上恒成立，f(x)在x ∈[1, +∞)上为增函数， 当x =1时，f min (x)=1+m ，令m +1=0，得m =−1（舍）． 综上所述，所求m 为m =e 23．（3）记ℎ1(x)=x(x −a)2，ℎ2(x)=−x 2+(a −1)x +a ，则据题意有ℎ1(x)−1=0有3个不同的实根，ℎ2(x)−1=0有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等． (I)ℎ2(x)−1=0有2个不同的实根，只需满足g(a−12)>1，∴ a >1或a <−3；(II)ℎ1(x)−1=0有3个不同的实根，因ℎ1′(x)=3x 2−4ax +a 2=(3x −a)(x −a)， 令ℎ1′(x)=0，得x =a 或a3，1∘当a3>a 即a <0时，ℎ1(x)在x =a 处取得极大值，而ℎ1(a)=0，不符合题意，舍； 2∘当a3=a 即a =0时，不符合题意，舍；3∘当a 3<a 即a >0时，ℎ1(x)在x =a 3处取得极大值，ℎ1(a 3)>1⇒a >3√232，所以a >3√232因为(I)(II)要同时满足，故a >3√232．下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在x 0使得ℎ1(x 0)−1=0和ℎ2(x 0)−1=0同时成立；若存在x 0使得ℎ1(x 0)=ℎ2(x 0)=1，由ℎ1(x 0)=ℎ2(x 0)，即x 0(x 0−a)2=−x 02+(a −1)x 0+a ，得(x 0−a)(x 02−ax 0+x 0+1)=0，当x 0=a 时，f(x 0)=g(x 0)=0，不符合，舍去；当x 0≠a 时，有x 02−ax 0+x 0+1=0①；又由g(x 0)=1，即−x 02+(a −1)x 0+a =1②； 联立①②式，可得a =0；而当a =0时，H(x)=(x 3−1)(−x 2−x −1)=0没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等．综上，当a >3√232时，函数y =H(x)有5个不同的零点．21. 解：∵ ABCD 四点共线 ∴ ∠ADF =∠ABC 又∵ PF // BC ∴ ∠AFP =∠FDP 又∵ ∠CPF =∠FPD ∴ △APF ∽△FPD ∴ PFPA =PDPF ∴ PF 2=PA ⋅PD 又PQ 与圆相切 ∴ PQ 2=PA ⋅PD ∴ QF 2=PQ 2 ∴ PF =PQ22. 解：（1）由题意，[a1c 0][1−3]=−[1−3]， ∴ {a −3=−1c =3，∴ a =2，c =3， ∴ M =[2130]；（2）设P(x 0, y 0)是曲线C:x 2+y 2=1上任意一点， 则点P(x 0, y 0)在矩阵M 对应的变换下变为点P′(x, y) 则有[x y ]=[2130][x 0y 0]，即{x 0=12x −16y y 0=13y又∵ 点P 在曲线C:x 2+y 2=1上，∴ 9x 2−6xy +5y 2=36，即曲线C ′的方程为椭圆9x 2−6xy +5y 2=36． 23. 解（1）直线l 的参数方程为{x =1+12t y =−5+√32t，（t 为参数）圆C 的极坐标方程为ρ=8sinθ．（2）因为M(4,π2)对应的直角坐标为(0, 4) 直线l 化为普通方程为√3x −y −5−√3=0 圆心到l 的距离d =√3|√3+1=9+√32>4，所以直线l 与圆C 相离．24. 解：由柯西不等式得(12+13+16)(2b 2+3c 2+6d 2)≥(b +c +d)2 即2b 2+3c 2+6d 2≥(b +c +d)2将条件代入可得5−a 2≥(3−a)2，解得1≤a ≤2当且仅当√2b√12=√3c√13=√6d√16时等号成立，可知b =12，c =13，d =16时a 最大=2，b =1，c =23，d =13时，a 最小=1， 所以：a 的取值范围是[1, 2]．25. 解：∵ DB ⊥BA ，又∵ 面ABDE ⊥面ABC ，面ABDE ∩面ABC =AB ，DB ⊂面ABDE ，∴ DB ⊥面ABC ，∵ BD // AE ，∴ EA ⊥面ABC ， 如图所示，以C 为原点，分别以CA ，CB 为x ，y 轴，以过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵ AC =BC =4，∴ 设各点坐标为C(0, 0, 0)，A(4, 0, 0)，B(0, 4, 0)，D(0, 4, 2)，E(4, 0, 4)， 则O(2, 0, 2)，M(2, 2, 0)，CD →=(0,4,2)，OD →=(−2,4,0)，MD →=(−2,2,2)， 设平面ODM 的法向量n =(x, y, z)，则由n ⊥OD →且n ⊥MD →可得{−2x +4y =0−2x +2y +2z =0令x =2，则y =1，z =1，∴ n =(2, 1, 1)，设直线CD 和平面ODM 所成角为θ，则sinθ=|cos <n,CD →>|=|n⋅CD →|n||CD →||=|(2,1,1)⋅(0,4,2)|(2,1,1)||(0,4,2)||=6√6⋅2√5=√3010， ∴ 直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值为√3010． 26. （1）证明：(I)当n =1时，因为a 1=0，3+3(−1)4=0，所以等式正确．(II)假设n =k 时，等式正确，即a k =3k +3(−1)k4(k ∈N ∗,k ≥1)，那么，n =k +1时，因为a k+1=3k −a k =3k −3k +3(−1)k4=4⋅3k −3k −3(−1)k4=3k+1+3(−1)k+14，这说明n =k +1时等式仍正确． 据(I)，(II)可知，a n =3n +3(−1)n4(n ∈N ∗,n ≥1)正确；（2）解：易知P =14⋅3n +3(−1)n3n=14[1+3(−1)n 3n]，①当n 为奇数(n ≥3)时，P =14(1−33n )，因为3n≥27，所以P≥14(1−327)=29，又P=14(1−33n)<14，所以29≤P<14；②当n为偶数(n≥2)时，P=14(1+33n)，因为3n≥9，所以P≤14(1+39)=13，又P=14(1+33n)>14，所以14<P≤13．综上所述，29≤P≤13．。

南京市金陵中学2014届高三第四次模拟数学试题2014.5.28一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1.函数)42cos(3π-=x y 的最小正周期为 . 2==2T ππ 2.已知复数z 满足(2)1z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的模为 .3.抛物线241x y =的准线方程是 ▲ ．y =-1 4．集合{3,2},{,},{2},a A B a b AB A B ====若则 ▲ ．{1，2，3}5.根据如图所示的伪代码,当输入a 的值为3时,最后输出的S 的值 为 ▲ .216.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为 . 57．某单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙两人中至少有1人被录用的概率是 . 568．已知点P (x ，y ) 满足条件3),(02,,0+=⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥x z k k y x x y x 若为常数y 的最大值为8，则k = .-69.在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AC BE =, 则AB 的长为 .1210.已知正四面体的棱长为2，则它的外接球的表面积的值为 ▲ ．3π11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()12,xf x -=-则不等式()12f x <-的解集是__________．(),1-∞-12．如图，在平面直角坐标系x O y 中，点A 为椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点，B 、C 在椭圆E 上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝30°，则椭圆E 的离心率等于 ▲．第5题（第12题）ABCFED13．已知实数,x y满足x y =，则x y +的最大值为 ▲ ．4 14．数列{}n a 满足()112,2n n n a a pa n +==+∈*N ,其中p 为常数．若实数p 使得数列{}n a 为等差数列或等比数列，数列{}n a 的前n 项和为n s ，则满足的值为的最小正整数n s n 2014> ▲ ．10二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本题满分14分)如图所示,已知α的终边所在直线上的一点P 的坐标为(3,4)-,β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q 的纵坐标为10.⑴求tan(2)αβ-的值； ⑵若2παπ<<,20πβ<<,求αβ+.解：⑴由三角函数的定义知43tan α=- ∴42()24341(73tan 2α⨯--==.又由三角函数线知10sin β=,16. （本题满分14分）如图， ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， AB =4a ，BC = CF =2a ， P 为AB 的中点. （1）求证：平面PCF ⊥平面PDE ； （2）求四面体PCEF 的体积.【证明】（1）因为ABCD 为矩形，AB =2BC , P 为AB 的中点，所以三角形PBC 为等腰直角三角形，∠BPC =45°. …………………………2分同理可证∠APD =45°.所以∠DPC =90°，即PC ⊥PD . …………………………3分 又DE ⊥平面ABC D ，PC 在平面ABCD 内，所以PC ⊥DE. ………………………4分 因为DE ∩PD =D ，所以PC ⊥PDE . …………………………5分 又因为PC 在平面PCF 内，所以平面PCF ⊥平面PDE . …………………………7分17．(本题满分14分)已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点,且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知圆22:1O x y +=,直线:1l mx ny +=.试证明当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时,直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围. 解: （1）由(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈,得(23)(4312)0x y k x y --++-=,则由23043120x y x y --=⎧⎨+-=⎩, 解得F （3,0） (2)分设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>, 则22238c a c a b c =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩,解得543a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为2212516x y +=.…………… 6分 （2）因为点(,)P m n 在椭圆C 上运动,所以222212516m n m n =+<+,…………… 8分 从而圆心O 到直线:1l mx ny +=的距离221d r m n=<=+. 所以直线l 与圆O 恒相交, …………… 10分又直线l 被圆O 截得的弦长为22221221L r d m n =-=-+212191625m =-+………M B 12分由于2025m ≤≤,所以2916162525m ≤+≤,则L ∈, 即直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围是[25L ∈…………… 14分18．（本题满分16分）如图，直角三角形ABC 中，∠B ＝90，AB ＝1，BC M ,N 分别在边AB 和AC 上(M 点和B 点不重合)，将△AMN 沿MN 翻折，△AMN 变为△A 'MN ，使顶点A '落在边BC 上(A '点和B 点不重合).设∠AMN ＝θ．(1) 用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围；(2) 求线段A N '长度的最小值．解：（1）设MA MA x '==，则1MB x =-．…………2分 在Rt △MB A '中，1cos(1802)xx--θ=，…………4分∴2111cos22sin MA x ===-θθ．…………5分 ∵点M 在线段AB 上，M 点和B 点不重合，A'点和B 点不重合，∴4590<θ<． …7分19．设函数22()f x a x =（0a >），()ln g x b x =．(1) 若函数()y f x =图象上的点到直线30x y --=距离的最小值为a 的值； (2) 关于x 的不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围； (3) 对于函数()f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，若存在常数,k m ，使得()f x kx m ≥+和()g x kx m ≤+都成立，则称直线y kx m =+为函数()f x 与()g x 的“分界线”．设2a =，b e =，试探究()f x 与()g x 是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）因为22()f x a x =，所以2'()2f x a x =，令2'()21f x a x ==得：212x a =，此时214y a =， …………2分则点2211(,)24a a到直线30x y --=的距离为即=，解之得a =． …………4分（3）设21()()()ln 2F x f x g x x e x =-=-，则2'(()e x e x x F x x x x x-=-==．所以当0x <<'()0F x >；当x >'()0F x <．因此x =()F x 取得最小值0，则()f x 与()g x的图象在x =)2e． …………12分设()f x 与()g x 存在“分界线”，方程为(2ey k x -=，20．（本小题满分16分）设等比数列{}n a 的首项为12a =，公比为q （q 为正整数），且满足33a 是18a 与5a 的等差中项；数列{}n b 满足232()02n n n t b n b -++=（*,t R n N ∈∈）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试确定t 的值，使得数列{}n b 为等差数列；（3）当{}n b 为等差数列时，对每个正整数k ，在k a 与1k a +之间插入k b 个2，得到一个新数列{}n c . 设n T 是数列{}n c 的前n 项和，试求满足12m m T c +=的所有正整数m . 20解：（1）n n a 2=………………………………………………………4分（2）023)(22=++-n n b n b t n 得2322--=n tnn b n ，所以,212,416,42321t b t b t b -=-=-=则由2312b b b =+，得3=t ……………………………………………………7分当3=t 时，n b n 2=，由21=--n n b b ，所以数列{}n b 为等差数列………9分 （3）因为2321===c c c ，可得1=m 不合题意，2=m 合题意…………11分 当3≥m 时，若后添入的数12+=m c ，则一定不符合题意，从而1+m c 必是数列{}n a 中的一项1+k a ，则（2+22+…………+2k ）+(++21b b …………n b )=122+⨯k即02221=+--+k k k ………………………………………………………………13分记22)(21+--=+k k k f k则k k f k212)2(ln 2)('--=，1+2+22+…………+21-k =)3(1212≥--k k ， 所以当3≥k 时，k 2=1+2+22+…………+21-k +1>1+2k ,又,14ln 2ln 2>=.3)(,0)('）递增，在（故∞+>k f k f则由都不合题意无解，即在知3),3[0)(06)3([≥+∞=>=m k f f …………15分 综上可知，满足题意的正整数仅有2=m .…………………………………………16分。

南京师大附中2014届高三模拟考试试卷化学2014．05注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共120分。

考试用时100分钟。

2、答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上。

考试结束后，交回答题卡。

3、可能用到的相对原子质量： C 12H 1 O 16 S 32 N 14 Fe 56 Al 27 Ba 137 Cl 35.5Na 23 Cu 64 Ag 108选择题（共40分）单项选择题：本题包括10小题，每小题2分，共计20分。

每小题只有一个选项符合题意。

1．2014年的南京青奥会将秉持“绿色青奥”这一理念，下列行为不符合．．．这一主题的是A．推广使用一次性木筷，减少疾病传染B．推广使用电动汽车、天然气汽车等环保公共交通工具C．大力发展太阳能和风力发电机可缓解电力紧张问题D．将地沟油回收加工为燃料油，提高资源的利用率2．下列有关化学用语表示正确的是A．四氯化碳分子球棍模型：B．二氧化硅的分子式：SiO2C．S2－离子结构示意图D ．聚丙烯的结构简式：3．常温下，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是A．水电离出的c(H+)·c(OH-)=10-22的溶液：K+、Na＋、SO42－、S2O32－B．澄清透明溶液：Mg2＋、Cu2＋、Cl－、SO42－C．使酚酞变红色的溶液：NH4＋、K＋、AlO2－、NO3－D．含0.1mol·L-1 KI的溶液：Fe3＋、Na＋、NO3－、Cl－4．下列有关物质性质的应用正确的是A．石英坩埚耐高温，可用来加热熔化NaOH固体B．浓硫酸有脱水性，可用作干燥剂C．二氧化硫有漂白性，可大量用于加工食品使食品漂白D．医用酒精能使蛋白质变性，可用来消毒杀菌5．用下列实验装置进行相应实验，设计正确且能达到实验目的的是A．用图1所示装置制取少量H2B．用图2所示装置分离Na2CO3溶液和CH3COOC2H5的混合物C．用图3所示装置验证Na和水反应的热效应D．用图4所示装置蒸干NH4Cl饱和溶液制备NH4Cl晶体6．下图为A、B两种物质间的转化关系(其中C、D是反应物，部分产物已省略)。