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第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩何建军§3 • 1 概念与性质3.1.1向量的概念和运算1、n维向量：n个数构成的一个有序数组（a i，a2,…，a n），称为一个n维向量，记为〉=佝，a2 ,…，a n ），并称为n维行向量，a i称为〉的第i个分量，〉的转置T T（a1,a2, a n）称为n维向量。
2、相等：若a =@182,…,a n），p =（D,b2,…,b n），当且仅当a i =b i（i =1,2,…，n）时，：，：。
3、加法：」-a b!,a2 b2^ ,a n b n4、数乘：k ka1,ka2,…,ka n ，（k 为常数）5、內积:匕0 】=aQ +a?b2 + …+a“b n3.1.2向量组的线性相关性1、线性组合：给定向量组A : 对于任何一组实数匕出,…，k m，向量k V1 k^ 2肚m称为向量组A的一个线性组合，匕*?,…，k m称为这个线性组合的组合系数2、线性表示：给定向量组A : 〉1「2,i「m和向量：，如果存在一组数n n « n'1, '2, ，‘ m ,使得■- = ‘1〉1 ‘2〉2 •…-'rn'm则向量-能有向量组A线性表示，向量-是向量组A的线性组合。
3、线性相关：给定向量组A : ‘1厂2,厂m,如果存在一组不全为零的数k1 , k2 , , k m，使得kr 1 k2〉2 k m〉m=o则称向量组A是线性相关的。
4、线性无关：向量组A ：r,〉2,…，〉m,不线性相关，称向量组A线性无关，即不存在不全为零的数k1,k2, , k m使得1• k2「2•■ k m m=0成立，即只有当k1二Q二=k m=0时，才有k^ 1 k2「2 ' k^' m=0成立。
（如果存在一组数k-k2，,k m 使得k V 1 k^ ■k m「m=0，则必有k1= k2 = = k m=0，称向量组A 线性无关）注：含有零向量的向量组一定线性相关。
矩阵的秩与向量组线性相关性的判定作者：单彩虹李慧珍夏静来源：《文理导航·教育研究与实践》2016年第06期【摘要】向量组的线性相关性是线性代数中的最重要也是最基本的内容，本文通过两个例子来看一下矩阵的秩在向量组线性相关性判定中的应用。
【关键词】向量；矩阵；线性代数矩阵、向量组的线性相关性是线性代数中的最重要也是最基本的内容，它们关系密切，无法割裂开来。
矩阵是研究线性代数各类问题的载体，矩阵的秩也是判定向量组线性相关性常用的方法。
下面我们就通过两个例子来看一下矩阵的秩在判定向量组线性相关性时的应用。
向量组线性相关性判定定理向量组a1，a2，…am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=（a1，a2，…am）的秩小于向量个数m；向量组线性无关的充分必要条件是R（A）=m。
例1设b1=a1，b2=a1+a2，…，br=a1+a2+…+ar且向量组a1，a2，…，ar线性无关，证明向量组b1，b2，…，br线性无关。
证先把向量组b1，b2，…，br由向量组a1，a2，…，ar线性表示的关系式写成矩阵形式：记为B=AK，因为detK=1，所以K是可逆矩阵，由矩阵秩的性质可知R（b1，b2，…，br）=（a1，a2，…，ar）又因为a1，a2，…，ar线性无关，由向量组线性相关性判定定理可知R（a1，a2，…，ar）=r，从而有R（b1，b2，…，br）=r，再次运用定理知向量组b1，b2，…，br线性无关。
例2 设b1=a1+a2，b2=a2+a3，b3=a3+a4，b4=a4+a1，证明向量组b1，b2，…，br线性相关。
证一根据题设可得b1-b2+b3-b4=（a1+a2）-（a2+a3）+（a3+a4）-（a4+a1）=0由定义，知向量组b1，b2，…，br线性相关。
证二两向量组表示的矩阵形式为：因为detK=0，所以R（K）由矩阵秩的性质知R（b1，b2，b3，b4）≤R（K）由判定定理，向量组b1，b2，…，br线性相关。
线性代数的重要题型三：向量组的线性相关性的证明向量组的线性相关性是考试的重点，经常是以解答题和客观题的形式来考查.2008年和2009年连续两年以证明题的形式考查了向量组的线性相关性。
向量组线性相关性的证明主要用到的方法是定义和秩.一、定义法.利用定义法证明向量组1,,s αα的线性相关性，应先设11s s k k ++=0αα，再根据已知条件通过恒等变形(重组、同乘)转化为齐次线性方程组，讨论1,,s k k 是否全为0，从而得到结论.对于向量组1,,s αα，若存在不全为0的数1,,s k k 使上式成立，则1,,s αα线性相关；若上式当且仅当10s k k ===时才成立，则1,,s αα线性无关． 二、秩.(1)1,,s αα线性相关⇔1(,,)s r s <αα； 1,,s αα线性无关⇔1(,,)s r s =αα． 特别地，n 个n 维向量12,,,n a a a 的线性相关⇔12,,,0a a a n =；n 个n 维向量12,,,n a a a 的线性无关⇔12,,,0a a a n ≠．(2)利用“三秩相等”，经常将向量组的秩转化为矩阵的秩.用秩的时候经常用到下面几个定理：①()(),()()r r r r ≤≤AB A AB B .②若m n r =n ⨯A ()，则()()r r =AB B .③若m n n s ⨯⨯=A B O ，则()()r r n +≤A B .【例1】设A 是n 阶矩阵，123,,ααα是n 维列向量，且1≠0α，112123233,23,23,==+=+A ααA αααA ααα证明123,,ααα线性无关．【分析】对112233k k k ++=0ααα，如何证明系数1230k k k ===呢？先仔细分析已知条件，112123233,23,23,==+=+A ααA αααA ααα其实就是12132(3),(3)2,(3)2,-=-=-=0A E αA E ααA E αα这启发我们应用3-A E 左乘112233k k k ++=0ααα来作恒等变形．【证明】设 112233k k k ++=0ααα， ① 用3-A E 左乘①式，有112233(3)(3)(3),k k k -+-+-=0A E αA E αA E α即 213222k k +=0αα． ②再用3-A E 左乘②式，可得21322(3)2(3),k k -+-=0A E αA E α即314k =0α．由1≠0α，故必有30k =；将其代入②式得212k =0α，故有20k =；再将其代入①式得11k =0α，故有10k =，所以123,,ααα线性无关．【评注】用定义法证明向量组的线性相关性时，需要作恒等变形，最常用的两种变形方法是拆项重组和同乘(等式两端同乘以同一个矩阵)．【例2】已知四维列向量123,,ααα线性无关，(1,2,3,4)i i =β为非零向量，且与123,,ααα均正交，求向量组1234,,,ββββ的秩.【解析】123,,ααα均正交，即0(,1,2,3,4)αβT j i i j ==.以123,,T T T ααα为行向量作为矩阵123A αααT T T =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，1234,,,ββββ为列向量作为矩阵()1234,,,B ββββ=，则AB O =.利用矩阵秩的性质得到()+()4A B r r ≤.123,,ααα线性无关，则()3A r =，从而()1B r ≤(1,2,3,4)i i =β为非零向量，则()1B r ≥,得到()=1B r ，即1234(,,,)1r =ββββ.。
考研数学三线性代数（向量组的线性关系与秩）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．AB=0，A，B是两个非零矩阵，则A．A的列向量组线性相关．B的行向量组线性相关．B．A的列向量组线性相关．B的列向量组线性相关．C．A的行向量组线性相关．B的行向量组线性相关．D．A的行向量组线性相关．B的列向量组线性相关．正确答案：A解析：用秩．矩阵的行(列)向量组线性相关，即矩阵的秩小于行(列)数．设A是m×N矩阵，b是N×s矩阵，则由AB=0得到r(A)+r(B)≤n．由于A，B都不是零矩阵，r(A)＞0，r(B)＞0．于是r(A)＜n，r(B)＜n．n是A的列数，B的行数，因此A的列向量组线性相关．B的行向量组线性相关．知识模块：线性代数2．设α1，α2，…，αs都是n维向量，A是m×n矩阵，下列选项中正确的是( )．A．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2,…，Aαs线性相关．B．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．C．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．D．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．正确答案：A解析：本题考的是线性相关性的判断问题，可以用定义说明(A)的正确性，做法如下：因为α1，α2，…，αs线性相关，所以存在不全为0的数c1，c2，…，cs使得c1α1+c1α2+…+csαs=0，用A左乘等式两边，得c1Aα1+c1A α2+…+csAαs=0，于是Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．但是用秩来解此题，则更加简单透彻．只要应用两个基本性质，它们是：1．α1，α2，…，αs线性无关r(α1，α2，…，αs)=s．2．r(AB)≤r(B)．矩阵(Aα1，Aα2,…，Aαs)=A(α1，α2，…，αs)，因此r(Aα1，Aα2，…，Aαs)≤r(α1，α2，…，αs)．于是，若α1，α2，…，αs线性相关，有r(α1，α2，…，αs)＜s，从而r(Aα1，Aα2，…，Aαs)＜s，Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．知识模块：线性代数3．α1，α2，α3，β线性无关，而α1，α2，α3，γ线性相关，则A．α1，α2，α3，cβ+γ线性相关．B．α1，α2，α3，cβ+γ线性无关．C．α1，α2，α3，β+cγ线性相关．D．α1，α2，α3，β+cγ线性无关．正确答案：D解析：由于α1，α2，α3，β线性无关，α1，α2，α3是线性无关的．α1，α2，α3，cβ+γ(或β+cγ)线性相关与否取决于cβ+γ(或β+cγ)可否用α1，α2，α3线性表示．条件说明β不能由α1，α2，α3线性表示，而γ可用α1，α2，α3线性表示．cβ+γ可否用α1，α2，α3线性表示取决于c，当c=0时cβ+γ=γ可用α1，α2，α3线性表示；c≠0时cβ+γ不可用α1，α2，α3线性表示．c不确定，(A)，(B)都不能选．而β+cγ总是不可用α1，α2，α3线性表示的，因此(C)不对，(D)对．知识模块：线性代数4．设α1，α2，α3线性无关，则( )线性无关：A．α1+α2，α2+α3，α3一α1．B．α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3．C．α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1．D．α1+α2+α3，2α1一3α2+22α3，3α1+5α2—5α3．正确答案：C解析：容易看出(A)中的向量组的第2个减去第1个等于第3个，所以相关．(B)组的前两个之和等于第3个，也相关．于是(A)和(B)都可排除．现在只用判断(C)组是否相关(若相关，选(D)，若无关，选(C)．) α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1对α1，α2，α3的表示矩阵为C可逆，于是r(α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1)=r(C)=3，因而(C)组向量线性无关．知识模块：线性代数填空题5．设A为3阶正交矩阵，它的第一行第一列位置的元素是1，又设β=(1，0，0)T，则方程组AX=β的解为_______．正确答案：(1，0，0)T．解析：设A=(α1，α2，α3)．A为正交矩阵，列向量是单位向量．于是α1是(1，0，0)T．则β=α1=A(1，0，0)T，解为(1，0，0)T 知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
