二次函数、一次函数与绝对值不等式问题的探讨
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本文发表于《中学数学杂志》（高中版）2004年5月第3期二次函数、一次函数与绝对值不等式问题的探讨215006 苏州市第一中学刘祖希苏希常有关“绝对值不等式与二次函数、一次函数”问题，近年来屡次在高考压轴题中出现，本文试进行多方位地探讨，得到几种有效、普遍的方法.1 函数值问题有关函数值问题，以下列这组习题最为典型、棘手：1.0 问题组已知()2f x ax bx c=++，当1x≤，总有()1f x≤.试证以下系列问题①—⑦：①求证：1,1,1,2c b a c a≤≤+≤≤.②求证：当2x≤，总有()7f x≤.③求证：当xλ≤，总有()221f xλ≤-()1λ≥.④记()g x ax b=+，求证：当1x≤，总有()2g x≤.⑤记()2g x ax b=+，求证：当1x≤，总有()4g x≤.⑥记()g x ax bλ=+，求证：当1x≤，总有()2g xλ≤.⑦记()2h x cx bx a=±+.求证：当1x≤，总有()2h x≤.1.1赋值法、待定系数法问题①证明：分别取1,0x=±得，()11f a b c=++≤，()11f a b c-=-+≤，()01f c=≤，∵()()2112b a bc a b c a b c a b c=++--+≤+++-+≤+=，∴1b≤.∵()()()2112a c abc a b c a b c a b c+=+++-+≤+++-+≤+=，∴1a c+≤.∵112a a c c a c c=+-≤++≤+=，∴2a≤.1.2最值点分析、分拆、配凑、调整、待定系数法闭区间上二次函数()2f x ax bx c=++的最值必在两个端点处和顶点处取得，()f x亦如此.一证问题②：∵1a b c++≤，1a b c-+≤，1c≤.1︒.()()()24233f a b c a b c a b c c=++=+++-+-3137≤++=；2︒.()()()24233f a b c a b c a b c c-=-+=+++-+-1337≤++=；3︒.若12b a->，则顶点不在闭区间内，函数最值在端点取得，由12︒︒知，当2x ≤，()7fx ≤；若12ba -≤，则24242b ac b b f c b a a a-⎛⎫-==-⋅ ⎪⎝⎭1122722b c b a≤+⋅≤+⨯=<；由123︒︒︒知，当2x ≤，总有()7fx ≤.完全类似可证问题③.问题④、⑤、⑥是一类问题，只证⑥. 问题⑥证明：1a b c ++≤，1a b c -+≤，1c ≤.1︒.()()()11122g a b a b c a b c c λλλλ+-+=+=+++-+-11111222λλλλ+-≤⋅+⋅+⋅=；2︒.()()()11122g a b a b c a b c cλλλλ-+-=-=+++-+-11111222λλλλ-+≤⋅+⋅+⋅=；由12︒︒知，当1x ≤，总有()2g x λ≤.1.3二次函数化为一次函数 问题⑦证明：()()21h x c x c bx a=-+±+ （二次函数→一次函数）()21c x c bx a≤-+±+{}21max ,c x c b a c b a ≤⋅-+++-+1112≤⋅+=.此时，又联想起一个类似的问题： ⑧记()2f x ax bx c=++，()g x ax b=+，当1x ≤，总有()g x d≤.求证：当1x ≤，总有()fx d c≤+.问题⑧证明：()()fx x ax b c=++ （二次函数→一次函数）x ax b c≤⋅++ 1d c d c≤⋅+=+.1.4一次函数化为二次函数问题④、⑤、⑥的另一种证明，只证问题④. 问题④证明：()2211112222x x x x g x a b ⎡⎤+-⎡+-⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦2211112222x x x x a b c a b c ⎡⎤⎡⎤++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1122x x f f +-⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （一次函数→二次函数） 1122x x f f +-⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （∵112x ±≤） 112≤+=.1.5系数表出法（二次函数赋值式） 一般地，对函数()2f x ax bx c=++而言，由()()()011f c f a b cf a b c =⎧⎪=++⎨⎪-=-+⎩可将系数表出为：()()()()()()112020112f f f a c f f f b +--⎧=⎪⎪=⎨⎪--=⎪⎩，此时()2f x ax bx c=++可表为另一种形式——赋值式：()()()()()()()2112011022f f f f f f x x x f +----=++()()()()222110122x x x x f f f x +-=+-+-.该方法的实质是通过三个独立条件“确定”三个参数c b a ,,.二证问题②：()()()()()222110122x x x x f x f f f x+-=+-+-()()()()222110122x x x x f f f x+-≤+-+-222122x x x x x+-≤++-()()()()()2222221721或1210.5 1.2571010.5 1.25701x x x x x x x x x x x ⎧-≤-≤≤-≤≤⎪⎪=--+=-++<-<<⎨⎪-++=--+<<<⎪⎩，即2x ≤时，()7fx ≤.完全类似可证问题③. 1.6区间转移法 三证问题②：因2x ≤而12x≤，考虑将()f x 转移为2x f ⎛⎫⎪⎝⎭. 待定参数,αβ，使得()()022x x fx f f f αβγ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22211114242ax bx c ax bx c ax bx c c αβγ⎛⎫⎛⎫++=+++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易得3,1,3αβγ===.∴()()33022x x fx f f f ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()33022x x f f f ⎛⎫⎛⎫≤+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭311317≤⋅++⋅=.完全类似可证问题③.1.7多种方法在同一问题中的比较下面通过几个习题，将以上介绍的几个方法作一个对比，请读者明鉴.例1 已知()2f x ax x a=--，1x ≤.求证：若1a ≤，则()54fx ≤.证法1：最值点法.1︒.()51114f a a =--=<； 2︒.()51114f a a -=+-=<；3︒.若112a>，则由12︒︒知，当1x ≤，总有()54fx <；若112a ≤，即112a ≤≤，则1411/424a f a a a a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭1/45114≤+=， （∵函数1/4y t t=+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增）；由123︒︒︒知，当2x ≤，总有()7fx ≤.证法2：直接法.实质是关于变量,x a 地二元函数，可采用“顾此失彼”的方法化为一元函数.()()21fx a x x =--()2221111a x x x x x x ≤-+≤⋅-+=-++2155244x ⎛⎫=-++≤ ⎪⎝⎭. 例2 已知()2fx ax bx c=++，()()()11,01,11f f f -≤≤≤.求证：1x ≤时()54fx ≤.证法1：系数表出法.()()()()()()()2112011022f f f f f f x x x f +----=++()()()()222110122x x x x f f f x+-=+-+-222122x x x x x+-≤++-()()()21111122x x x x x≤-+++-21x x =-++2155244x ⎛⎫=-++≤ ⎪⎝⎭. 证法2：直接法.实质是关于变量,x a地二元函数，可采用“顾此失彼”的方法化为一元函数.()()()21f x c x x ax b cx =-+++21c x x ax b cx≤⋅-+⋅++(){}211max ,xx a b c a b c ≤⋅-+⋅++-+-()221111x x x x ≤⋅-+⋅=-++2155244x ⎛⎫=-++≤ ⎪⎝⎭. 例3 已知()2fx x bx c=++，1x ≤，记()f x 的最大值为M .求证：12M ≥.证法1：由M 的定义，()()()()41100M f f f f ≥+-++()()()1120f f f≥+--()()1122b c b c c=+++-+-=，故12M≥.证法2：最值点法.(较繁，略) 证法3：反证法. (较繁，略)例4 已知f x ax bx()=+2，满足1≤-≤f()12且214≤≤f()，求f()-2的取值范围.解法1：系数表出法.由()baf+=1，()baf-=-1可解得))1()1((21)),1()1((21--=-+=ffbffa，将以上二式代入f x ax bx()=+2，并整理得()()221(1)22x x x xf x f f+-=⋅+-⋅,∴()()()1312-+=fff.又∵214≤≤f()，2)1(1≤-≤f,∴()1025≤≤f.解法2：待定系数法.1.8关于等号成立的实例以上问题均我们一直忙于演算，并没有重视取等号的问题，实际上，可以()221f x x=-、()221f x x=-+等为例实现等号成立.1.9一点背景前面的问题⑤中()2f x ax bx c=++，()()2g x ax b f x'=+=，1x≤时，有()()14f xg x≤⇒≤.一般地，记()1niiip x a x==∑，()11niiip x ia x-='=∑，1x≤时，有()p x n≤()2p x n'⇒≤.有兴趣的读者可进一步探讨.2 根的范围、系数的范围有关“根的范围、系数的范围”问题，有以下两个主要处理方法.2.1二次函数的零点式()()12 y a x x x x =--例1 已知方程()2f x x bx c=++的两个实数根为12,x x.若,b c R∈且1b c+<，求证：121,1x x≤≤.证法1：最值点法.12121x x x x >++，12121x x x x ->+证法2：直接法. 例2 已知方程()2fx ax bx c=++的两个实数根为12,x x .①若121,1x x ≤≤，求证：,a c b a c><+.②若,,a b c Z ∈，()12,0,1x x ∈，求满足条件的最小正整数a .证法1：赋值法. 证法2：直接法. 例3 已知方程()2fx ax bx c=++的两个实数根为()1212,x x x x ≠.若,,a b c 为正整数，121,1x x <<，求证：a b c ++的最小值.证法1：赋值法. 证法2：直接法. 例4 已知方程()()()12f x x x x x =--，121,1x x -≤≤.是否存在一对实数,a b 同时满足下列条件： ①101a b -<<<<；②()()1,1f a f b ≥≥.题1011a bab +<+，1ab <⇔1,1a b <<.证明：()()()()22221111011a ba b ab a b ab ab +⎫<⇔+<+⇔-->⎪+⎬⎪<⎭1,1a b ⇔<<. 用题10结论来看待一道高考题.题11 (1993年全国高考题)已知关于x 的实系数二次方程20x ax b ++=有两个实数根,αβ，证明:(Ⅰ)如果2α<，且2β<，那么24a b<+，且4b <； (Ⅱ)如果24a b<+，且4b <，那么2α<，且2β<.证明： (Ⅰ)(Ⅱ)一并证明如下： ∵,a b αβαβ+==，∴2α<且2β<⇔12α<且12β<22114αβαβ+⇔<+且1422αβαβ=⋅<24αβαβ⇔+<+且4αβ<24a b ⇔<+且4b <24a b⇔<+且4b <.2.2结构化思想、待定系数法 例5 已知方程()()2,,fx ax bx c a b c R =++∈，1x ≤时()1f x ≤.求证：1,1,3c b a b c ≤≤++≤.证法1：赋值法. 证法2：直接法.参考文献：1.宋相忠、李庆何.关于新教材一个习题的思考.中学数学杂志（高中），2003.42.林洽仲.()2f x ax bx c=++的赋值式及其应用.中学数学教学参考，2001.33.万新灿.问题研究法的一个实例.中学数学，2003.24.南京师范大学数学系.数学之友，2003.12liuzuxi@。
