x
o
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根 b x1=x2= - 2a b {x | x≠- 2a }
没有实根
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
{x | x<x1 或 x>x2}
{x | x1<x<x2}
R
八、典型例题
1.已知二次函数 f(x) 满足 f(2)=-1, f(-1)=-1, 且 f(x) 的最大值 是 8, 试确定此二次函数的解析式. 解法一: 利用二次函数的一般式. 4a+2b+c=-1, a=-4, a-b+c=-1, 解得 b=4, 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则 4ac-b2 c=7. =8. 4a 故所求函数的解析式为 f(x)=-4x2+4x+7. 解法二: 利用二次函数的顶点式. 设f(x)=a(x-m)2+n, ∵f(2)=f(-1)=-1, ∴抛物线的对称轴为直线 x= 1 , ∴m= 1 . 2 2 又 f(x) 的最大值是 8, ∴n=8. ∴f(x)=a(x - 1 )2+8,∵f(2)=-1, ∴a(2 - 1 )2+8=-1,∴a=-4. 2 2 1 )2+8=-4x2+4x+7. 故所求函数的解析式为f(x)=-4(x- 2
一、二次函数的解析式
1.一般式: y=ax2+bx+c(a≠0); 2.顶点式: y=a(x -m)2+n(其中(m, n)为抛物线的顶点坐标); 3.两根式: y=a(x -x1)(x -x2)(其中x1, x2为抛物线与 x 轴两交点 的横坐标); 注: 求二次函数的解析式, 一般都采用待定系数法. 做题时, 要根据题设条件, 合理地设出解析式.
解法三: 利用二次函数的两根式. 由已知 f(x)+1=0 的两根为 2 和 -1, 故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1), 从而 f(x)=a(x-2)(x+1)-1. 即 f(x)=ax2-ax-2a-1. 又 f(x) 的最大值是 8, 4a(-2a-1)-a2 ∴ =8, 解得 a=-4 或 a=0(舍去). 4a 故所求函数的解析式为f(x)=-4(x-2)(x+1)=-4x2+4x+7.
二、二次函数的图象
有关知识: 图象形状; 对称轴; 顶点坐标; 与 x 轴交点坐标; 截 x 轴线段长.
三、二次函数的性质
b 1.当 a>0 时, 抛物线开口向上, 函数在(-∞, - ]上单调递 2a 减, 在[- b , +∞)上单调递增, 当 x= - b 时, f(x) 取得最小值, 2a 2a 为 4ac-b2 . 4a b 2.当 a<0 时, 抛物线开口向下, 函数在(-∞, - ]上单调递 2a 增, 在[- b , +∞)上单调递减, 当 x= - b 时, f(x) 取得最大值, 2a 2a 为 4ac-b2 . 4a
6.已知二次函数 f(x)=2x2-4(a-1)x-a2+2a+9. (1) 若在 [-1, 1] 上 至少存在一个实数 m, 使得 f(m)>0, 求实数 a 的取值范围; (2)若 对 [-1, 1] 上的一切实数 m, 都有 f(m)>0, 求实数 a 的取值范围. 解: f(x) 的图象是开口向上的抛物线, 其对称轴为直线 x=a-1. (1)问题等价于“对于 x∈[-1, 1], 有 f(x)max>0.” 讨论如下: ①当 a-1≤0 即 a≤1 时, f(x)max=f(1)=-a2-2a+15. 由 -a2-2a+15>0 得: -5<a<3. ∵ a≤1, ∴ -5<a≤1. 注: 亦可 ②当 a-1>0 即 a>1 时, f(x)max=f(-1)=-a2+6a+7. 用补集法 由 -a2+6a+7>0 得: -1<a<7. ∵ a>1, ∴ 1<a<7. 求解. 综上所述, -5<a<7. 即实数 a 的取值范围是 (-5, 7). (2)问题等价于“对于 x∈[-1, 1], 有 f(x)min>0.” 讨论如下: ①当 a-1<-1 即 a<0 时, f(x)min=f(-1)=-a2+6a+7. 由 -a2+6a+7>0 得: -1<a<7. ∵ a<0, ∴ -1<a<0. ②当 -1≤a-1≤1 即 0≤a≤2 时, f(x)min=f(a-1)=-3a2+6a+7. 而当 0≤a≤2 时, -3a2+6a+7>0 恒成立. ∴ 0≤a≤2.
六、二次方程 ax2+bx+c=0(a>0) 的实根分布问题
b b x1+x2=- a >0 - 2a >0 c 1.方程 f(x)=0 有两正根 x1x2= a >0 △=b2-4ac≥0 f(0)>0. △=b2-4ac≥0. b b x1+x2=- a <0 - 2a <0 c x1x2= a >0 △=b2-4ac≥0 2.方程 f(x)=0 有两负根 f(0)>0. △=b2-4ac≥0. 3.方程 f(x)=0 有一正根一负根 c<0. b - 2a <k 4.方程 f(x)=0 的两实根都小于 k △=b2-4ac≥0 f(k)>0. 5.方程 f(x)=0 的两实根一个大于 k, 另一个小于 k f(k)<0. 记 f(x)=ax2+bx+c(a>0),
解: 由已知, 二次方程 ax2+bx+c -25＝0 有实根. ∴ △=b2-4a(c -25)≥0. 2+bx+c>0 的解集是(- 1 , 1), 又不等式 ax 2 3 b 1 c 1 ∴ a<0, 且有 - a =- 6 , a =- 6 . 1 ∴ b= 1 a, c=- 6 a>0. 6 ∴ b=-c, 代入 b2-4a(c -25)≥0 得: c2+24c(c -25)≥0. 解得: c≥24. ∴ b≤-24, a≤-144. 故 a, b, c 的取值范围分别是 a≤-144, b≤-24, c≥24.
五、不等式 ax2+bx+c>0 恒成立问题
1. ax2+bx+c>0在R上恒成立. a>0 2-4ac<0, 或 △=b ax2+bx+c<0在R上恒成立. a<0 2-4ac<0, 或 △=b a=b=0 c>0. a=b=0 c<0. b - 2a <m 2. f(x)=ax2+bx+c>0(a>0) 在 [m, n] 上恒成立. f(m)>0, b ≤n b >n m≤- 2a - 2a f(x)min>0(x∈[m, n]) 或 2-4ac<0, 或 △=b f(n)>0.
6.方程 f(x)=0 的两实根都大于 k
△=b2-4ac≥0
b - 2a >k
七、二次函数与方程、不等式的关系
判别式 △=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0) 的根 △>0 y
x1 o x2
△=0 y x
△&l;1, ∴a=5. (2)当 3-2a≥a, 即 0<a≤1 时, S(x)min=S(3-2a)=12a-8a2. 由 12a-8a2=4 得: a=1 或 1 , 均满足 0<a≤1. 2 1 综上所述, 参数 a 的值为 2 或 1 或 5.
4.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象与直线 y=25 有公共点, 且不等式 ax2+bx+c>0 的解集是(- 1 , 1 ), 求 a, b, c 的取值范围. 2 3
5.已知f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1, 0), 是否存在常数 a, b, c, x2+1 使不等式 x≤f(x)≤ 对一切实数 x 都成立? 2 解: 假设存在常数 a, b, c, 使题中不等式对一切实数 x 都成立. 则由f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1, 0), 得 a-b+c=0. ① x2+1 ∵ x≤f(x)≤ 2 对一切实数 x 都成立, 当 x=1 时也成立, ∴ 1≤f(1)≤1, 即 f(1)=1, 得 a+b+c=1. ② ∴由 ①, ② 得: a+c=b= 1 . ∴ f(x)=ax2+ 1x+ 1 -a. 22 2 2 +1 故应x≤ax2+ 1 1 a≤ x 2 对一切实数 x 都成立. x+ 2 2 即2ax2-x+1-2a≥0与(1-2a)x2-x+2a≥0对一切实数 x 都成立. 则必有: 1-8a(1-2a)≤0, 其中, 0<a< 1 . 2 2≤0. ∴ a= 1 . ∴ c = 1 -a = 1 . 即 (4a-1) 4 2 4 1 , b= 1 , c= 1 , 使不等式 x≤f(x)≤ x2+1 故存在一组常数: a= 4 2 2 4 对一切实数 x 都成立. 1 1 解法二: 可得 ac≥ 1 且 ac≤ 16 , ∴ac= 16 且 a=c, 从而得解. 16
四、二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在[m, n]上的最值
