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柯西—施瓦茨积分不等式摘要：1.柯西-施瓦茨积分不等式的定义及意义2.柯西-施瓦茨积分不等式的证明方法3.柯西-施瓦茨积分不等式在数学及实际问题中的应用4.柯西-施瓦茨积分不等式的扩展与变体5.总结与展望正文：柯西-施瓦茨积分不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是数学领域中一种非常重要的不等式，它在向量空间、函数空间等领域具有广泛的应用。
下面我们将详细介绍柯西-施瓦茨积分不等式的定义、证明方法以及在实际问题中的应用。
一、柯西-施瓦茨积分不等式的定义及意义柯西-施瓦茨积分不等式描述了内积空间中向量之间的平方差与内积的关系，为数学分析、概率论、线性代数等领域提供了一种衡量向量之间关系的方法。
给定两个n维实向量α和β，柯西-施瓦茨积分不等式可以表示为：∫[α·β] dμ ≤ ∫α dμ × ∫β dμ其中，μ表示概率测度，∫表示积分。
不等式左边的∫[α·β] dμ表示向量α和β的内积的平方的积分，右边的∫α dμ和∫β dμ分别表示向量α和β的平方的积分。
柯西-施瓦茨积分不等式告诉我们，向量之间的内积平方的积分不超过向量自身平方的积分的乘积。
二、柯西-施瓦茨积分不等式的证明方法柯西-施瓦茨积分不等式的证明方法有多种，这里我们介绍一种基于实分析的证明方法。
设f(x)和g(x)是定义在区间[a, b]上的实函数，已知f(x)和g(x)均非负。
根据积分的基本性质，我们有：∫[a, b] f(x)g(x) dx ≤ ∫[a, b] f(x) dx × ∫[a, b] g(x) dx两边同时除以∫[a, b] g(x) dx，得到：∫[a, b] f(x) / g(x) dx ≤ ∫[a, b] f(x) dx令u(x) = f(x) / g(x)，则上式可以表示为：∫[a, b] u(x) dx ≤ ∫[a, b] f(x) dx由于u(x) = f(x) / g(x)，我们可以得到：∫[a, b] f(x)g(x) dx ≤ ∫[a, b] f(x) dx × ∫[a, b] g(x) dx这就证明了柯西-施瓦茨积分不等式。
希尔伯特空间柯西施瓦茨不等式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述希尔伯特空间是数学中一个重要的概念，它是由德国数学家希尔伯特在20世纪初提出的。
希尔伯特空间是一种完备的内积空间，其内积定义了空间中向量的长度和夹角。
希尔伯特空间不仅在数学领域有广泛的应用，还在物理学、工程学等多个领域中发挥着重要作用。
柯西施瓦茨不等式是希尔伯特空间中的一个基本定理，它描述了两个向量之间内积的性质。
柯西施瓦茨不等式指出，对于任意的两个向量，在希尔伯特空间中，其内积的绝对值不超过两个向量的范数乘积。
这一不等式揭示了希尔伯特空间中向量之间的内积关系，为后续的分析提供了重要的基础。
本文将首先介绍希尔伯特空间的定义和一些基本性质，包括内积的性质、完备性等。
然后引入柯西施瓦茨不等式的概念，并对其进行详细的证明。
最后，我们将讨论希尔伯特空间和柯西施瓦茨不等式在实际问题中的应用，并探讨其重要性和未来的研究方向。
通过本文的研究，读者将能够全面了解希尔伯特空间和柯西施瓦茨不等式的内容和应用。
对于数学、物理和工程等领域的学生和研究人员来说，掌握这些基本概念和定理是非常重要的。
希望本文能够为读者提供有益的知识和启发，促进对希尔伯特空间和柯西施瓦茨不等式的更深入理解和应用。
1.2 文章结构文章结构如下：2.正文2.1 希尔伯特空间的定义和性质2.2 柯西施瓦茨不等式的引入2.3 柯西施瓦茨不等式的证明在正文部分，我们将首先介绍希尔伯特空间的定义和性质，以便读者对后续内容有一个清晰的认识。
希尔伯特空间是一种具有内积的完备线性空间，其内积赋予了空间中向量之间的长度和角度的度量。
我们将讨论希尔伯特空间的定义以及一些重要的性质，例如空间的完备性和内积的连续性等。
接下来，我们将引入柯西施瓦茨不等式。
柯西施瓦茨不等式是希尔伯特空间中一项极为重要的基本定理，它描述了内积中的向量之间的关系。
我们将探讨柯西施瓦茨不等式的具体内容及其在希尔伯特空间中的应用。
柯西施瓦茨不等式的应用及推广柯西施瓦茨不等式的应用及推广摘要本文探讨的是柯西施瓦茨不等式在不同数学领域的各种形式和内容及其多种证明方法和应用,并对其进行了一定程度上的推广.通过一系列的例题,反映了柯西施瓦茨不等式在证明相关的数学命题时可以使得解题方法得以简捷明快,甚至可以得到一步到位的效果,特别是在概率统计中的广泛应用.关键词 Cauchy-Schwarz不等式 Minkowski不等式 Holder不等式Hermite阵1引言柯西施瓦茨不等式在数学中的应用比较广泛,是异于均值不等式的另一个重要不等式,灵活巧妙的运用它,可以使一些较困难的实际问题得到比较简捷地解决,这个不等式结构和谐,无论代数、几何,都可以应用.本文正是从实数域、微积分.内积空间、概率空间以及矩阵分析这五个方面的内容进行证明并举例说明其应用,对实数域和微积分中的形式进行了一定程度的推广.2 在实数域中的Cauchy不等式命题1 设,则(1)其中当且仅当(为常数)等号成立.证明由则由于,因此上述不等式的判别式大于零,即:易得(1)式成立.例1 设求证证明由不等式左边的形式,很容易想到柯西不等式解之柯西施瓦茨不等式在实数域中的应用十分广泛,而且许多著名的不等式就是用柯西施瓦茨不等式直接导出.下面介绍两个著名的不等式.由上面的柯西施瓦茨不等式可以得到Minkowski不等式定理1 任意的个实数,有 (2)事实上,由(1)得这就证明了(2).将柯西施瓦茨不等式中的幂指数扩充,则有赫尔德不等式.定理2 对任意的非负数有其中,满足且.证明由杨格不等式,其中且得赫尔德不等式中,当时为柯西施瓦茨不等式,若将则可导出相应的无穷不等式.由定理2可将定理1的幂指数进行扩充定理3 若对任意的非负实数,,且,则证明由杨格不等式化简即得所要证得的不等式.还可将上述赫尔德不等式推广到无限和不等式:推论1 若对任意非负实数,有,则下面将上命题1进行推广:引理1 (算术-几何平均值不等式)设为个正数,则 ,等号成立的充要条件为.引理2 设,作定义:则在中定义了的加法、数乘、内积作成上的线性空间一定构成欧几里得空间,简称欧氏空间在介绍柯西施瓦茨不等式在内积空间中的应用时会用到此定义.推论2 设是组实数,则有(2)等号成立的充要条件为证明为方便起见,不妨设从而由引理1有对上式进行的累次求和,可得即(4)由于同理,这样(4)式为再两边同时次幂,得故证得(3)式成立.注1 在命题1中,除,其余均为1,且,则不等式(3)就是不等式(1)的推广.推论3 (将命题1推广为无限和不等式)设且,,,则(证明过程可仿推论2的证法并结合引理2).微积分中的Cauchy-Schwarz不等式命题2 设在可积,则(5)证明类似命题1可以利用判别式证明之.下面给出另一种证法:因为在上可积,则由定积分的性质均在上上可积,对区间进行n等分,分点为.由定积分的定义,有由(1)式知再由极限的保号性易知(5)式成立.注2 若对,或成正比,则(5)式等号成立,但其逆不真.例如,除有限点外,,有,但并不成比例.例 2 利用柯西施瓦茨不等式求极限:设在上连续,有正下界,记,求证:证明为了分析的变化趋势,研究邻项之间的关系因为,平方得,即.因为在连续,所以存在,使得,故因为单调有上界,所以有极限.即在微积分中的柯西施瓦茨不等式也可以得到一些比较著名的不等式,如下面介绍的Minkowski不等式:定理4 设在可积,则Minkowski不等式证明由(5)式因为两边都大于等于零,且右边大括号也大于等于零,所以有将柯西施瓦茨不等式的幂指数进行扩充,有Holder不等式定理5 ,,且,则证明得证.利用定理5,将定理4的幂指数进行扩充,有证明可参考定理3 的证明,且p2即为定理4中的不等式.同样将上命题2进行推广.推论4 设是闭区间上为正的个可积函数,则(6)证明不妨设则由引理1可得这样就证得不等式(6)成立.注3 在推论4中,取,则得到柯西施瓦茨不等式,即不等式(5).注4 不等式(5)可写成受此启发,易于得到柯西施瓦茨不等式更为一般的推广形式: 设是闭区间上的可积函数,则有即为并且等号成立的充要条件为:存在不全为零的常数使得.推论5 (将命题2再推广)设则(7)(可仿推论4并结合反常积分理论即证).4 维欧氏空间中Cauchy-Schwarz不等式在维欧氏空间中,对任意的向量定义内积定义的长度或范数为.命题3对任意的向量有(8)当且仅当线性相关时等号才成立.证明若,则,(8)式显然成立.若,则令,则,且当线性相关时等号显然成立.反之,如果等号成立,由以上证明过程可以看出,或或,即也就是说线性相关.根据上述在维欧氏空间中的柯西施瓦茨不等式,我们有三角不等式 (9) 因为所以(9)式成立.用柯西施瓦茨不等式不等式有时可很巧妙地解决相关数学命题,如下求证.证明这里可取由柯西施瓦茨不等式整理即得概率空间中的Cauchy-Schwarz不等式命题4 设为任意随机变量,若存在,则也存在,且(10)式中等号成立当且仅当存在常数,使得 (11)证明定义实变量的二次函数为因为对一切,必然有,从而有,于是方程要么无实根,要么就有一个实根,亦即重根,即判别式非正,从而即当等号成立时,方程有一个重根,使从而即且于是即反之,若存在常数,使得(11)式成立,即从而 ,于是 ,即 ,且故即在(10)式中等号成立.例4 设随机变量与的相关系数存在,则且的充要条件为与以概率1线性相关.即存在常数,使,其中当时,;当时.证明对随机变量与应用柯西施瓦茨不等式,有即,所以,此时等式成立当且仅当存在,使得其中是方程当时的解.显然,当时,,即当时,,即该定理表明:当时,与之间存在线性关系,从而相关系数作为“标准尺度下的协方差”是随机变量与之间的线性强弱程度的度量,更确切地说应该是线性相关系数.在统计教学中,求直线趋势方程的两个待定系数时,用到最小二乘法.柯西施瓦茨不等式在求方程系数和判断极值中起到了补充说明的作用,增强了预测模型的准确性、科学性、严密性.例 5 (求方程系数中的应用)当函数,是由实验或观察得到的,建立直线趋势方程的模型时,要求实际观察值与趋势值离差的平方和必须为最小.解设,这里令整理得到:消去,.由柯西施瓦茨不等式知,当且仅当时取等号.由于是时间变量,故,所以所以.在直线回归方程中,均为回归系数.在求回归系数时,同样用Cauchy不等式证明得到.事实上,如果,,由柯西施瓦茨不等式我们得到这时,总体回归直线就是一条平行于轴的直线了,这时与之间没有线性关系,从统计学的角度讲总体中没有变异,就没有必要进行统计了.例 6 (在判断极值存在中的应用)证明存在极小值.证明因为求二阶偏导得因为由柯西施瓦茨不等式我们得到所以又因为,所以存在极小值,可以证明也就是最小值.由以上几个例子可以发现,柯西施瓦茨不等式不等式在概率论与数理统计中有着广泛的实际应用.6 矩阵分析中的Cauchy-Schwarz不等式定义1 设为n阶方阵,记,即同时取共轭又转置.若,则称是一个Hermite 阵.当为实矩阵时,Hermite阵就是实对称阵.命题5 设,则a等号成立当且仅当与线性相关.证明当与至少一个为零向量时,结论显然不成立.不妨设,定义,则.于是此即等号成立与成比例.(b)设A为Hermite阵且,则等号成立当且仅当与线性相关.证明因为,则由Hermite阵的性质,存在矩阵B,使得.命,对和应用a,便得到b.c设A为的Hermite阵且,则‘ ,等号成立当且仅当与线性相关.证明因为,所以存在,对和应用a,即得欲证的c.由上可知为任意的一对列向量,我们要讨论的是当它们为正交向量时柯西施瓦茨不等式,是柯西施瓦茨不等式的另一种形式的推广.推论 6 表示复数域,表示的共轭转置向量, 阶正定矩阵的全体记为.设,A的特征值为,且都大于零,那么对于任意一对正交向量,有证明不失一般性,令,显然只需要证明当正交向量对时,推论6成立.令那么,B是一个Hermite阵,令其特征值为,由Poincare定理,有所以.同时所以又因为是单调递减的函数,所以这样定理得证.例7 设,A的特征值为,且都大于零,那么对于任意非零向量,有证明令,这样同时(12)由(12)式,我们可以得到,将(11)式带入推论6,有因为,所以将上式用于,我们得到即这样定理得证.注5 由柯西施瓦茨不等式的形式(b),我们可得到由推论6 (13)因此(13)式的结论较柯西施瓦茨不等式精确,所得结果更强.结束语本文从五个方面分别介绍了柯西施瓦茨不等式的五个等价形式,并进行了简洁的证明.并分别介绍了柯西施瓦茨不等式的简单应用,特别是在概率统计中的实际应用,而且在实数域和微积分中进行了一定的推广.由于知识所限,在对其他方面的柯西施瓦茨不等式没有进入深入的分析,也没有进行推广.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社, 2003.[2]吴传生.数学分析(上册)习题精解[M].合肥:中国科技大学出版社,2004.[3]邓天炎,叶留青.概率统计[M].北京:中国矿业大学出版社,2004.[4] 王松佳,吴密霞,贾忠贞[M].北京:科学出版社,2005.[5] 黄廷祝,杨传胜.特殊矩阵分析及应用[M].北京: 科学出版社, 2007.[6]K.G.宾莫尔.数学分析基础浅导[M].北京:北京大学出版社,2006.[7]孙永生,王昆扬.泛函分析讲义[M].北京:北京师范大学数学科学学院,2007.[8] 罗俊丽,朱白. Cauchy-Schwarz不等式的几中推广形式[J].商洛学院学报,23:42009,28-29.[9]常广平,李林衫,刘大莲.利用Cauchy-Schwarz不等式估计回归系数[J].北京联合大学学报,22:42008,77-78.Application and promotion of the Cauchy-Schwartz inequalityAuthor:Zha MinSuperviser: Cai GaixiangAbstract This paper explores all kinds of forms and content and a variety of ways of proof and applications of the Cauchy inequality in diffirent fields of mathematics,and makes some degrees of promotion of it. Through a series of examples,we can see that the Cauchy inequality makes the proof of related mathematical propositions more simple and even can reach onestop effect,especially in the field of probability and statisticsKeywords Cauchy-Schwartz inequality Minkowski inequality Holder inequality Hermite matrix。
柯西—施瓦茨不等式的推广与应用柯西—施瓦茨不等式是一个重要的几何不等式。
它表示一个轨迹在某个方向上的最大距离只能多于给定的固定距离。
这一不等式在许多不同的领域都有着广泛的应用，例如信息论、机器学习、几何优化等。
在信息论领域内，柯西—施瓦茨不等式提供了一种快速估计有效容量的方法，也就是可以根据柯西—施瓦茨不等式快速计算出通信信道的容量。
在机器学习领域，柯西—施瓦茨不等式用来计算给定数据集的最佳分类面，以此实现分类任务。
同时，柯西—施瓦茨不等式还可以用来求解很多优化问题，例如局部最小值搜索，梯度下降法等，它们都可以通过求解柯西—施瓦茨不等式来解决。
总之，柯西—施瓦茨不等式在不同领域都有着重要而深远的影响，它是几何不等式中的一颗明珠，在许多重要的计算机科学领域里都可以找到它的直接应用。
柯西—施瓦茨不等式（Kleene-Schwartz Inequality）是一个重要的数学不等式，它通过有限个变量的总和来比较他们的积和平方和的大小。
这个不等式最初是由美国数学家斯坦尼斯·柯西（Stephen Kleene）和俄国数学家谢尔盖·施瓦茨（Sergei Schwartz）在1934年提出的。
它最初是用来比较单变量的总和和它们的积和平方和的大小，但是它也可以推广到有限个变量的情况。
柯西—施瓦茨不等式的推广形式如下：∑_(i=1)^n▒〖a_i(x_i-y_i)〗^2≤2∑_(i=1)^n▒〖a_i(x_i-μ_i)〗^2+2∑_(i=1)^n▒〖a_i(μ_i-y_i)〗^2其中，a_i 是正常量，x_i 和 y_i 是两个变量，μ_i 表示变量 x_i 和 y_i 的中值。
该不等式有广泛的应用，其中最重要的是它可以用来分析不同变量之间的关系。
它可以用来分析两个变量之间的相关性，即检测它们之间是线性相关还是非线性相关。
此外，它还可以用来检验观测数据的正确性，以及分析观测数据中存在的潜在模式。
常用积分不等式积分不等式是数学中常用的工具，可以用来研究函数的性质、证明各种定理以及解决实际问题。
在本文中，我们将介绍一些常用的积分不等式，并说明其应用。
一、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是积分不等式中最基本的不等式之一，它表达了两个函数乘积的积分与它们各自的积分之间的关系。
具体而言，对于可积函数f(x)和g(x)，不等式如下：∫[a,b] f(x)g(x) dx ≤ √(∫[a,b] f^2(x) dx) √(∫[a,b] g^2(x) dx)柯西-施瓦茨不等式在分析、概率论等领域有广泛的应用，例如用于证明平方可积函数的内积空间的完备性，以及证明方差的非负性等。
二、切比雪夫不等式切比雪夫不等式是概率论中常用的不等式之一，它给出了一个随机变量与其均值之间的关系。
具体而言，对于具有有限方差的随机变量X，不等式如下：P(|X-μ| ≥ ε) ≤ σ^2/ε^2其中，μ表示随机变量X的均值，σ^2表示X的方差，ε为任意正数。
切比雪夫不等式可以用于估计随机变量与其均值之间的偏差程度，是概率论中重要的工具之一。
三、霍尔德不等式霍尔德不等式是积分不等式中的一种，它描述了两个函数乘积的积分与它们各自的p次和的关系。
具体而言，对于可积函数f(x)和g(x)，以及满足1/p + 1/q = 1的正数p和q，不等式如下：∫[a,b] |f(x)g(x)| dx ≤ (∫[a,b] |f(x)|^p dx)^(1/p) (∫[a,b] |g(x)|^q dx)^(1/q)霍尔德不等式在泛函分析、偏微分方程等领域有广泛的应用，例如用于证明某些算子的有界性、解的存在唯一性等。
四、雅可比不等式雅可比不等式是积分不等式中的一种，它描述了三个函数乘积的积分与它们各自的积分之间的关系。
具体而言，对于可积函数f(x)，g(x)和h(x)，不等式如下：∫[a,b] f(x)g(x)h(x) dx ≤ (∫[a,b] |f(x)|^p dx)^(1/p) (∫[a,b] |g(x)|^q dx)^(1/q) (∫[a,b] |h(x)|^r dx)^(1/r)其中，满足1/p + 1/q + 1/r = 1的正数p、q和r。
摘要柯西—施瓦茨不等式是数学学科中应用较为广泛的一类重要不等式,常常作为重要的基础去架设条件与结论之间的桥梁.柯西—施瓦茨不等式可以证明,推广其它不等式和解竞赛题,而且它也是发现新命题的重要工具.文章主要利用一元二次不等式,一元二次函数和向量三种方法证明了柯西—施瓦茨不等式,介绍了柯西—施瓦茨不等式在实数域,复数域,欧式空间,微积分和概率论中的表现形式以及柯西—施瓦茨不等式的推广,并且给出了它在初等数学,欧式空间,微积分,级数及概率论中的一些应用.灵活巧妙地运用柯西—施瓦茨不等式,可以使一些较困难的实际问题得到比较简单的解决,甚至可以得到一步到位的效果.关键词:柯西—施瓦茨不等式;向量;积分;级数;推广The Proof and Application of Cauchy -Schwartz Inequality 09404222 LIANG Xiao-wen Mathematics and Applied MathematicsFaculty adviser ZHANG An -lingAbstractCauchy-Schwartz inequality is a kind of important inequality which is widely used in mathematics,and it is often as an important basis to set up the bridge between condition and conclusion.Cauchy-Schwartz inequality can prove and promote other inequalities and solve contest questions,at the same time it is also the important tool to discover new propositions. The paper mainly uses one-variable quadratic inequality, quadratic equation in one unknown and vector to prove the Cauchy-Schwartz inequality, and this paper introduces the forms of Cauchy-Schwartz inequality in real number field, complex number field, euclidean space, calculus and probability theory and the promotion of Cauchy-Schwartz inequality , and the paper gives some applica- tions of Cauchy-Schwartz inequality in elementary mathematics,euclidean space, calculus, series and probability ing the Cauchy-Schwartz inequality flexibly can make some relatively difficult problems get more simple to slove and can even get an one-off effect.Key words: Cauchy-Schwartz inequality; vector; integral; series; promotion目录1 引言............................................. 错误！未定义书签。
摘要Cauchy-Schwarz不等式是数学中重要的不等式之一，在较多的不同领域中应用广泛。
本文所研究的是Cauchy-Schwarz不等式在不同的数学的领域中几种常见的不同的基本形式及其证明方法，并对Cauchy-Schwarz不等式的推广作了一些系统的论述。
在此基础上，本文分别给出了柯西-施瓦茨不等式在概率论与数理统计和机器学习中的应用，在许多问题中起到良好的效果。
在文章的最后，本文还给出了柯西-施瓦茨不等式的更一般的形式，即著名的赫尔德不等式并给出了相应的应用。
关键词:柯西-施瓦茨不等式，概率论与数理统计，机器学习，赫尔德不等式AbstractCauchy-Schwartz Inequality is one of the most important inequalities in mathematical analysis, which is widely used in many different fields. In this paper, several common expressions of Cauchy -Schwartz Inequality are summarized, and the corresponding proofs are given, and the generalization of Cauchy-Schwartz Inequality is systematically discussed. On this basis, this paper presents the application of Cauchy -Schwartz Inequality in probability statistics and machine learning. At the end of the paper, the more general form of Cauchy -Schwartz Inequality, namely, Hölder Inequality, and its application are given.Keyword Cauchy-Schwarz inequality, probability theory and statistics, machine learning, Holder inequality.目录摘 要 ............................................................................................................................................................................................ 1 Abstract .......................................................................................................................................................................................... 2 第一章 引言符号解释 .. (4)1.1引言 ................................................................................................................................................................................ 4 1.2符号解释 ....................................................................................................................................................................... 4 第二章 柯西-施瓦茨不等式的定义与证明 .. (4)2.1在实数域中的柯西-施瓦茨不等式 (4)2.2概率空间,,)Q F P （中的柯西-施瓦茨不等式 ................................................................................................. 5 第三章 柯西-施瓦茨不等式的应用 .................................................................................................................................... 63.1 柯西-施瓦茨不等式在概率论中的应用 ............................................................................................................ 6 3.2柯西-施瓦茨不等式在机器学习中的应用 ......................................................................................................... 7 3.3柯西-施瓦茨不等式在微积分学中的应用 ....................................................................................................... 10 第四章 柯西-施瓦茨不等式的推广（赫尔德不等式]4[） (11)总结与展望 ................................................................................................................................................................................ 12 参考文献 ..................................................................................................................................................................................... 13 致 谢 .. (14)第一章 引言符号解释1.1引言在数学理论的学习过程中，不等式是我们进一步研究数学与其他学科的不可缺少的工具。
柯西不等式的证明与应用(推荐完整)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（柯西不等式的证明与应用(推荐完整)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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柯西不等式的证明及其应用摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用六种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用,最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。
关键词：柯西不等式，证明，应用Summar y： C auchy’s inequality is a very important inequality， this article use six different methods to prove the Cauchy inequality, and gives some Cauchy inequality in inequality， solving the most value, solving equations， trigonometry and geometry problems in the areas of application, the last used it proved that point to the straight line distance formula， better explains the Cauchy inequality。
