柯西不等式的证明、记忆、应用

证明柯西不等式证明柯西不等式柯西不等式是数学中的一个重要不等式，它是用于描述内积空间下向量之间的一种关系，具有广泛的应用。

本文将从内积空间的定义、柯西不等式的表述、证明方法和应用等四个方面来说明柯西不等式。

一、内积空间的定义内积空间是指一个向量空间V，满足存在一个二元函数（内积）< , >，对任意两个向量x，y∈V，满足以下条件：1. 线性：对于任意的x1, x2 ∈ V，以及α, β ∈ R，有<αx1 + βx2, y > = α< x1, y > + β< x2, y >。

2. 对称性：对于任意的x, y∈V，有< x, y > = < y, x >。

3. 非负性：对于任意的x∈V，有< x, x > ≥ 0，且当且仅当x=0时，< x, x > = 0。

二、柯西不等式的表述对于内积空间V中的任意两个向量x，y∈V，有以下柯西不等式成立：其中< x, y >表示x，y的内积，||x||和||y||分别表示x和y的模长（或范数）。

三、证明方法柯西不等式可以有多种证明方法，这里介绍一种基于勾股定理的证明方法。

以二维欧几里得空间（平面）的情形为例，设有两个向量x=(x1，x2)，y=(y1，y2)，则它们的内积为< x, y >=x1y1+x2y2。

由勾股定理可知，x和y的模长之间的关系为：||x||^2 = x1^2 + x2^2||y||^2 = y1^2 + y2^2将这两个等式相加得到：||x||^2 + ||y||^2 = x1^2 + x2^2 + y1^2 + y2^2 = (x1^2 +y1^2) + (x2^2 + y2^2)接下来，考虑将向量x和y相加，以及它们和原点O组成的三角形ABC。

这个三角形的三边分别为||x||、||y||和BC=||x+y||。

由勾股定理和三角形不等式可知：||x+y||^2 = x1^2 + 2x1y1 + y1^2 + x2^2 + 2x2y2 + y2^2≤ (x1^2 + x2^2 + y1^2 + y2^2) + 2||x|| ||y||将这个不等式中的||x||^2 + ||y||^2用前面的式子代替，化简后可得：x1y1 + x2y2 ≤ ||x|| ||y||即柯西不等式成立。

柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233222222312322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na a ab b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。

柯西不等式的证明及应用柯西（Cauchy ）不等式()22211n n b a b a b a +++Λ()()222221222221nnb b ba a a ++++++≤ΛΛ()n i Rb a ii Λ2,1,=∈等号当且仅当021====n a a a Λ或i i ka b =时成立（k 为常数，n i Λ2,1=）现将它的证明介绍如下：证明1：构造二次函数 ()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++=Λ=()()()22222121122122n nn n n n a a a x a b a b a b x b b b +++++++++++L L L 22120n n a a a +++≥Q L()0f x ∴≥恒成立()()()2222211*********n n n n n n a b a b a b a a a b b b ∆=+++-++++++≤Q L L L即()()()2222211221212nn n n nn a b a b a b a a a bb b +++≤++++++L L L当且仅当()01,2i i a x b x i n +==L 即1212n na a ab b b ===L 时等号成立 证明（2）数学归纳法（1）当1n =时 左式=()211a b 右式=()211a b 显然 左式=右式 当2n =时， 右式 ()()()()2222222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++()()()2221122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=右式仅当即 2112a b a b = 即1212a ab b =时等号成立 故1,2n =时 不等式成立（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()()2222211221212kk k k kk a b a b a b a a a bb b +++≤++++++L L L当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n =L 或120k a a a ====L 时等号成立设22212k a a a A ====L 22212k b b b B ====L1122k k C a b a b a b =+++L则()()2222211111k k k k k a b ba b +++++A +B +=AB +A +()22221111112k k k k k k C Ca b a b C a b ++++++≥++=+ ()()22222222121121k k k k a a a a bb b b ++∴++++++++L L()2112211k k k k a b a b a b a b ++≥++++L当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n =L 或120k a a a ====L 时等号成立即 1n k =+时不等式成立综合（1）（2）可知不等式成立柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题： 1） 证明相关命题例1． 用柯西不等式推导点到直线的距离公式。

柯西不等式各种形式证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西()在研究数学分析中“流数”问题时得到。

但从历史角度讲，该不等式应当称为不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善地步。

柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难问题迎刃而解。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题方面得到应用。

一、柯西不等式各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //==扩展：()()()222222222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立222111nnn k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式证明：()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式证明：()()123123112233222222312322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na a ab b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。

柯西不等式的形式、证明及其应用摘要：柯西不等式是高等数学中的重要内容，这一不等式的应用范围非常广泛，能够很多比较复杂的问题迎刃而解，掌握柯西不等式的证明及其应用，是对数学专业研究生阶段学习的一项重要要求，本文根据现有的研究资料，详细论述了柯西不等式的形式及其证明，并就柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程组等问题中的应用阐述了自己的意见。

关键词：柯西（cauchy）不等式；证明；应用一、柯西不等式及其证明。

1.柯西不等式定理柯西不等式定理：设ai，bi∈r（i=1，2，3…，n），则∑ni=1a2i ∑ni=1b2i≥∑ni=1aibi2，当且仅当ai=λbi，即a1b1=a2b2=……anbn=λ等号成立。

这一不等式也就是所谓的为柯西不等式。

在学习和掌握这一不等式的过程中应该注意三个问题”第一，由于“∑ni = 1ai 2 = 0，∑ni = 1bi 2 = 0，∑ni=1aibi=0”情况之一出现时，不等式是单个然不成立的，因此，在下面的讨论中需要先假设∑ni = 1ai 2≠0，∑ni = 1bi 2≠0，∑ni=1aibi≠0都成立。

第二，柯西不等式取等号的条件常常写成比例形式a1b1=a2b2=……anbn，并约定：分母为0时，相应的分子也为0。

“等号成立”是柯西不等式应用的一个重要组成部分。

第三，柯西不等式在应用过程中相对于其它不等式的一个优势是，对任意的两组实数都成立，也就是说在应用的过程中对于任意两组数a1，a2，……an，b1，b2，……bn，其对应项“相乘”之后、“求和”、再“平方”这三种运算不满足交换律，先各自平方，然后求和，最后相乘，运算的结果不会变小。

2.柯西不等式证明柯西不等式的证明过程相对来说比较复杂，在证明的过程中有不同的证明方法，常见的证明方法主要有三种，具体的证明及过程如下：证明1：构造二次函数（1）当时n=1，右式=（a1b1），左式=a1 2b1 2，显然，左式=右式。

柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a bb b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc≥=等号成立条件：三角形式的证明：222111n nn k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+- 注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233112233=,,,,,,,,,cos ,,cos ,1n n n n n n m a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m nm nm n a b a b a b a b =⋅=++++==≤∴++++≤令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===nk k k n k k nk kb a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。

柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

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但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233222222312322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na a ab b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。

一、柯西不等式：211212)()()(k nk k n k kn k kb a b a ∑∑∑===≥∙等号成立的条件是)3,2,1(n k b a k k ⋅⋅⋅==λ二维柯西不等式：))(()(2222212122121y x y x y y x x ++≤+证明：（用作差法）0)(2)())((212212121212222212212122222121≥-=-+=+-++y x y x y y x x y x y x y y x x y x y x三维柯西不等式：))(()(2222222121212212121z y x z y x z z y y x x ++++≤++证明：（构造空间向量法） 设),,(),,,(222111z y x n z y x m ==n m n m n m n m ⋅≤⋅=⋅,cos ，所以：222222212121212121z y x z y x z z y y x x ++⋅++≤++，两边平方即可！n 维柯西不等式：211212)()()(k nk k nk knk kb a b a ∑∑∑===≥∙等号成立的条件是)3,2,1(n k b a k k ⋅⋅⋅==λ证明：（用构造函数法）（1）.当021==⋅⋅⋅==n b b b 时，不等式显然成立； （2）当n b b b ⋅⋅⋅,,21不全为0时，构造)()(2)()(121212∑∑∑===+-=nk k k n k k nk ka xb a x bx f ,所以有0)()()(2)()(12121212≥-=+-=∑∑∑∑====nk k k nk kk nk k nk ka xb a x b a x b x f 对任意R x ∈恒成立，因此0)()(4)(4121221≤∙-=∆∑∑∑===nk k n k kk n k k b a b a故：211212)()()(k nk k n k k nk kb a b a∑∑∑===≥∙柯西不等式的变式：2111)()()(∑∑∑===≥∙nk k k n k k n k k b a b ak nk k n k kn k kb a b a ∑∑∑===≥∙11212)()(2111)()()(∑∑∑===≥∙nk k nk k kk n k k a b a b a 等号成立的条件是当且仅当n b b b =⋅⋅⋅==21 2112)()(∑∑==≥nk k nk k n an a （在柯西不等式中令b k =1，两边同时除以n 2即得） ∑∑∑===≥nk knk k nk k kba b a 12112)()( (等号成立的条件是)3,2,1(n k b a k k ⋅⋅⋅==λ二、练习：1.已知z y x ,,>0，且1=++z y x ，求)1()1()1(222x x z z z y y y x -+-+-的最小值； 2.已知b a ,>0,求证：b a b a b a 614121+++++<)7)((3b a b a ++ 3.已知2=++z y x 且z y x ,,>0，求证：x z z y y x +++++111≥494.设c b a ,,为正数且互不相等.求证:a c cb b a +++++222>c b a ++95.设正实数c b a ,, 满足1=abc , 求证:)(1)(1)(1333b a c c a b c b a +++++≥23 6.设c b a ,,为正数, 且1=++c b a ,求证:222)1()1()1(cc bb a a +++++≥31007.设实数c b a ,, 满足632222=++c b a ，求证：c b a ---++2793≥31；8.已知1232=++z y x , 求证:22232z y x ++≥24；9.已知1=++c b a , 求证:33332313≤+++++c b a ； 10.若a >b>c ，求证：ca cb b a -≥-+-411答案：1.证明：由1=++z y x 得：zxxy z y x x x yzzx y x z z z xzxy z x y y y +=+=-+=+=-+=+=-)()1()()1()()1(，所以有)1()1()1(222x x z z z y y y x -+-+-＝zx xy z yz zx y yz xy x +++++222，由柯西不等式得：2222)()()]()()[(z y x zx xy z yz zx y yz xy x zx xy yz zx yz xy ++≥+++++⋅+++++所以有：zx xy z yz zx y yz xy x +++++222)]()()[(1zx xy yz zx yz xy +++++≥即：zxxy z yz zx y yz xy x +++++222)(21zx yz xy ++≥，又zxyz xy z y x z y x z y x zx yz xy ++≥++++-++≤++2222222)()()(2 1=++z y x所有：zx xy z yz zx y yz xy x +++++22223≥，当且仅当31===z y x 时取等号 2.证明：由柯西不等式可得：22)611411211()614121(ba b a b a b a b a b a +⋅++⋅++⋅=+++++])6(1)4(1)2(1)[111(222222b a b a b a +++++++≤< ])7)(5(1)5)(3(1)3)((1[3b a b a b a b a b a b a ++++++++（放缩）)71515131311(23ba b a b a b a b a b a b +-+++-+++-+=（裂项相消）)711(23ba b a b +-+=)7)((623b a b a b b ++=)7)((9b a b a ++= 所以有：b a b a b a 614121+++++<)7)((3b a b a ++3.证明：由柯西不等式得：9)111()111()]()()[(2=++≥+++++⋅+++++xz z y y x x z z y y x ，又2=++z y x所以有：x z z y y x +++++111≥49)(29=++z y x .4.证明：与第3题的证法相同，最后说明c b a ,,为正数且互不相等,所以不取等号；5.证明：由1=abc 得：1222=c b a ，所以：2221c b a =,1,222c a b =2221b a c= )(1)(1)(1333b a c c a b c b a +++++bcac b a bc ab c a ac ab c b b a c b a c a b c a c b a c b +++++=+++++=222222222222)()()(2222222)()()]()()[(ab ac bc bc ac b a bc ab c a ac ab c b bc ac bc ab ac ab ++≥+++++⋅+++++即：232)(2)(32222222222c b a ab ac bc ac bc ab ab ac bc bc ac b a bc ab c a ac ab c b ≥++=++++≥+++++又1=abc ，所以：)(1)(1)(1333b a c c a b c b a +++++≥23 6.证明：由柯西不等式])1()1()1[()111()]1(1)1(1)1(1[2222222cc b b a a c c b b a a +++++⋅++≤+⋅++⋅++⋅结合1=++c b a所以：222)1()1()1(c c b b a a +++++22)]111(1[31)]111()[(31cb ac b a c b a +++=+++++≥又9)111()111)((1112=++≥++++=++cb ac b a c b a 所以：3100)91(31)]111(1[3122=+≥+++c b a故：222)1()1()1(cc b b a a +++++≥31007.证明：c b a ---++2793＝3)32(33232333333333c b a c b a c b a ++-------=⋅⋅≥++又由柯西不等式：])3()2([])3()2(1[)33221(2222222c b a c b a ++⋅++≤⋅+⋅+⋅即：)2(6)32(2222c b a c b a ++⋅≤++，结合632222=++c b a 所以有：632≤++c b a即：313333363)32(=≥-++-c b a 所以：c b a---++2793≥318.证明：由])3()2([])3()2(1[)33221(2222222z y x z y x ++⋅++≤⋅+⋅+⋅结合题目条件即可证出，与第7题一样； 9.证明：]6)(3[3])33()23()13[()111()331231131(2222222+++=+++++∙++≤+⋅++⋅++⋅c b a c b a c b a 结合题目条件就可以证出了！10.证明：由条件a >b>c 得：b a ->0,c b ->0,所以2)11()11()]()[(+≥-+-⋅-+-cb b ac b b a ＝4 所以：c a c b b a -≥-+-411 点评： 1.211212)()()(k nk k n k k nk kb a b a∑∑∑===≥∙中的求和展开式为：222112222122221)())((n n n n b a b a b a b b b a a a +⋅⋅⋅++≥⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++；2.二维、三维、n 维柯西不等式的证明分别用了作差法、向量法、构造函数法证明，其实这 三种方法也可以相互迁移，尤其是向量法简洁明了，值得借鉴；3.带条件的三元不等式很常见, 用柯西不等式来证的较多, 要适当选择k a 和k b , 便于运用柯西不等式211212)()()(k nk k n k k nk kb a b a∑∑∑===≥∙；4.结合柯西不等式及变式中的等号成立的条件，请读者自行研究以上不等式的取等号条件。

柯西不等式的证明及相关应用摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。

关键词：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（Cauchy ）不等式：等号当且仅当021====n a a a Λ或i i ka b =时成立（k 为常数，n i Λ2,1=） 现将它的证明介绍如下： 方法1 证明：构造二次函数=()()()2222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++ΛΛΛ由构造知 ()0≥x f 恒成立又22120nn a a a +++≥Q L即()()()222212222122211nn n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当且仅当()n i b x a i i Λ2,10==+ 即1212n na a ab b b ===L 时等号成立 方法2 证明:数学归纳法（1） 当1n =时 左式=()211a b 右式=()211a b 显然 左式=右式 当2=n 时 右式 ()()()()2222222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++()()()2221122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式 故1,2n =时 不等式成立（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立即 ()()()222212222122211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ当 i i ma b =，m 为常数，k i Λ2,1= 或120k a a a ====L 时等号成立设A=22221k a a a +++Λ B=22221k b b b +++Λ 1122k k C a b a b a b =+++L则()()212121212121+++++++++=++k k k k k k b a Ba Ab AB b B a A当 i i ma b =，m 为常数，12,1+=k i Λ 或121+===k a a a Λ时等号成立 即 1n k =+时不等式成立 综合（1）（2）可知不等式成立二、柯西不等式的简单应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。

柯西不等式的证明及其应用基础知识：定理：如果1212,,,;,,,n n a a a b b b …………为两组实数，则222222211221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++……………… （*）当且仅当12211331110n n a b a b a b a b a b a b -=-==-=……时等号成立。

若120,0,,0n b b b ≠≠≠……，则不等式的等号成立的条件是1212n na a ab b b ===……。

我们称不等式（*）为柯西不等式。

证明：1）两个实数的柯西不等式的证明：对于实数1212,,,a a b b ，恒有2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++，当且仅当12210a b a b -=时等号成立。

如果120,0b b ≠≠则等式成立的条件是1212a ab b =。

证明：对于任意实数1212,,,a a b b ，恒有222222121211221221()()()()a a b b a b a b a b a b ++=++-，而21221()0a b a b -≥， 故2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++当且仅当12210a b a b -=时等号成立。

不等式的几何意义如图1所示，在直角坐标系中有异于原点O 的两点12(,)P a a ，12(,)Q b b ，由距离公式得：|OP|=，|OQ|=|PQ|=设OP 与OQ 的夹角为θ， 由余弦定理得222||||||cos 2||||OP OQ PQ OP OQ θ+-==。

因为1cos 1θ-≤≤，所以2cos 1θ≤21≤，即2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++当且仅当2cos 1θ=时等号成立，即OPQ 共线时等号成立。

柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

一、柯西不等式的各种形式及其证明二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++ 等号成立条件：()d c b a bc ad //==扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a bb b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc≥=等号成立条件：三角形式的证明：()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()1231231122332222212322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na b b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式 211212⎪⎭⎫⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。

柯西不等式及应用一、二维形式的柯西不等式：22222()()()a b c d ac bd ++≥+(,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；二、二维形式的柯西不等式的变式：bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1((,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2((,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；2(3)()()a b c d ++≥(,,,0)a b c d ≥，当且仅当ad bc =时取等号；三、n 维形式的柯西不等式：设,(1,2,3,)i i a b i n = 为实数，则22212()n a a a +++ 22212()n b b b +++ 21122()n n a b a b a b ≥+++ ，当且仅当0(1,2,3,)i b i n == 或存在一个实数k ，使得(1,2,3,)i i a kb i n == 时等号成立。

四、二维形式的柯西不等式的向量形式：αβαβ⋅≤ ，当且仅当0β= 或存在实数k ，使k αβ= 时取等号；五、基本方法：利用柯西不等式常常根据所求解(证)的式子结构入手，观察是否符合柯西不等式形式或有相似之处，将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、拆项、重组、配方、换序等方法的处理.六、应用：1、证明恒等式：已知0,1a b ≤≤且1，求证：221a b +=.2、解方程（组）：12(1)x x =++.3、求最值（范围）:若实数x ，y ，z 满足232x y z ++=，求222x y z ++的最小值.4、证明不等式:已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明： 2223333a b c a b c ++++≥.六、巩固练习：1.已知22223102x y z ++=，则32x y z ++的最小值为 .2. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=，则a 的最大值为 ，最小值为 .3．在实数集内方程组22294862439x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩的解为 . 4.设❒ABC 之三边长x ，y ，z 满足20x y z -+=及320x y z +-=，则❒ABC 的最大角的大小是 .5.设6 ),2,1,2(=-=b a ，则b a ⋅之最小值为 ,此时=b .6.设a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z)，若22216x y z ++=，则a b ⋅ 的最大值为 .7.空间二向量(1,2,3)a = ，(,,)b x y z =，已知b = a b ⋅ 的最大值为 ,此时b = .8.设a 、b 、c 为正数，则4936()()a b c a b c++++的最小值为 .9.设x ，y ，z ∈ R ，且满足2225x y z ++=，则23x y z ++之最大值为 ，此时(x ，y ，z) = .10.设,,x y z R ∈，22225x y z ++=，则22x y z -+的最大值为 ，最小值为 .11.设622 , , ,=--∈z y x z y x R ，则222z y x ++之最小值为 .12.,,x y z R ∈，226x y z --=，则222x y z ++的最小值为 ，此时x = ，y = ，z = .13.设,,x y z R ∈，2280x y z +++=，则222(1)(2)(3)x y z -+++-之最小值为 .14.设,,x y z R ∈，若332=+-z y x ，则222)1(z y x +-+之最小值为 ，又此时=y15.设,,a b c R +∈且a + b + c = 9，则cb a 1694++之最小值为 . 16.设,,a bc R +∈，且232=++c b a ，则c b a 321++之最小值为 ，此时=a . 17.空间中一向量a 与x 轴，y 轴，z 轴正向之夹角依次为,,αβγ，则γβα222sin 9sin 4sin 1++的最小值为 .18.空间中一向量a 的方向角分别为,,αβγ，则22292516sin sin sin αβγ++的最小值为 . 19.设,,x y z R ∈，若4)2()1(222=+++-z y x ，则z y x 23--之范围为 ；又z y x 23--取最小值时，=x20.设,,x y z R ∈且14)3(5)2(16)1(222=-+++-z y x ，则x y z ++之最大值为 ，最小值为 .21.求2sin sin cos cos θθϕθϕ-的最大值与最小值.22.设a 、b 、c 为正数且各不相等。

柯西不等式各样形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy) 在研究数学分nnn2析中的“流数”问题时获得的。

但从历史的角度讲，该不等 a k 2 b k2a kb k式应该称为 Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，由于，k 1k 1 k1正是后两位数学家相互独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完美的地步。

柯西不等式特别重要，灵巧奇妙地应用它，能够使一些较为困难的问题水到渠成。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面获得应用。

一、柯西不等式的各样形式及其证明二维形式在一般形式中， 令 n 2, a 1 a, a 2 b,b 1 c,b 2d ，得二维形式a 2b 2c 2d 2ac bd 2等号成立条件： ad bc a / b c / d扩展： a 12a 22 a 32a n 2b 12b 22b 32 b n 2a 1b 1 a 2b 2 a 3b 3a nb n 2当 a i或时， a i 和 b i 都等于 ， 等号成立条件：0 ba 1 :b 1 a 2 : b 2a n: b n不考虑 a i : b i ,i1,2,3, , n二维形式的证明：a 2b 2c 2d 2a, b, c, d Ra 2 c 2b 2 d 2 a 2 d 2 b 2c 2a 2 c 22abcdb 2 d 2 a 2d 2 2abcdb 2c 2acbd 2ad2bcac bd 2等号在且仅在 ad bc 0即 ad =bc 时成立三角形式a 2b 2c 2d 22 2a cb d等号成立条件： ad bc三角形式的证明 ：a 2b 2c 2 2a 2b 2c 2d 2 2 a 2 b 2 c 2 d 2d 2a 2b 2c 2d 2 2 acbd注： 表示绝对值a 2 2ac c 2b 2 -2bd d 2a 2b d 2c两边开根号，得a 2b 2c 2d 2a 22c b d向量形式， = a 1, a 2 , a 3 ,a n ,b 1, b 2 ,b 3 , b nn N , n 2等号成立条件：为零向量，或=R向量形式的证明 ：r ur令 m= a 1, a 2 , a 3 ,L , a n , n b 1, b 2 ,b 3,L , b nur r ur r L ur rm n a 1b 1 a 2b 2 a 3b 3 a n b n m n cos m, na 12 a 22a 32 L a n 2b 12 b 22 b 32 Lb n 2 ur rcos m , nur r 1 Q cos m, nab a b a b L a ba 2 a 2a 2 L a 2b 2b 2 b 2 L b 21 12 23 3n n123n123n一般形式nnn222a kb ka kb kk 1k 1k 1等号成立条件： a 1 : b 1 a 2 : b 2a n :b n ，或 a i 、 b i 均为零。

柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅=⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc≥=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()1231231122332222212322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na b b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。

柯西不等式各种方式的证实及其利用之杨若古兰创作柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研讨数学分析中的“流数”成绩时得到的.但从历史的角度讲，该不等式该当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，由于，恰是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式利用到近乎完美的地步. 柯西不等式非常主要，灵活巧妙地利用它，可以使一些较为困难的成绩水到渠成. 柯西不等式在证实不等式、解三角形、求函数最值、解方程等成绩的方面得到利用.一、柯西不等式的各种方式及其证实 二维方式在普通方式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233n n n n aa a ab b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维方式的证实： 三角方式222111nnn k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑三角方式的证实： 向量方式向量方式的证实： 普通方式普通方式的证实： 证实：推广方式(卡尔松不等式)：卡尔松不等式表述为：在m*n 矩阵中，各行元素之和的几何平均数不小于各列元素 之积的几何平均之和. 或者： 或者推广方式的证实： 推广方式证法一： 或者推广方式证法二：事实上涉及平均值不等式都可以用均值不等式来证， 这个不等式其实不难，可以简单证实如下： 付：柯西（Cauchy ）不等式相干证实方法：等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）现将它的证实介绍如下：证实1：构造二次函数 ()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++==()()()22222121122122n nn n n n a a a x a b a b a b x b b b +++++++++++()0f x ∴≥恒成立即()()()2222211221212nnn n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++当且仅当()01,2i i a x b x i n +== 即1212n na a ab b b ===时等号成立证实（2）数学归纳法（1）当1n =时 左式=()211a b 右式=()211a b 明显 左式=右式 当2n =时， 右式()()()()2222222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++()()()2221122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=右式仅当即 2112a b a b = 即1212a ab b =时等号成立故1,2n =时 不等式成立（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()()2222211221212kk k k k k a b a b a b a a a b b b +++≤++++++当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ====时等号成立设22212k a a a A ====22212k b b b B ====则()()2222211111k k k k k a b b a b +++++A +B +=AB +A + 当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ====时等号成立即 1n k =+时不等式成立综合（1）（2）可知不等式成立 二、柯西不等式的利用1、巧拆常数证不等式例1：设a 、b 、c 为负数且互不相等.求证：2222a b b c a ca b c++++++. a b c 、、均为负数()()()()()111292=a b c a b b c a c a b c a b b c a c ∴⎛⎫++++ ⎪+++⎝⎭+++++++为证结论正确，只需证:而为证结论准确，只需证：又29(111)=++∴只需证:又a b c 、、互不相等，所以不克不及取等∴原不等式成立，证毕.2、求某些特殊函数最值 例2：y =求函数 函数的定义域为[5，9],0y3、用柯西不等式推导点到直线的距离公式. 已知点()00,x y P 及直线:l 0x y C A +B +=()220A +B ≠ 设点p 是直线l 上的任意一点， 则0x x C A +B += （1）12p p =（2）点12p p 两点间的距离12p p 就是点p 到直线l 的距离，求（2）式有最小值，有 由（1）（2）得：21200p p x y C≥A +B + 即12p p ≥（3）当且仅当 ()()0101:y y x x B --=A12p p l ⊥ （3）式取等号 即点到直线的距离公式即4、 证实不等式例 3已知负数,,a b c 满足1a b c ++= 证实 2223333a b c a b c ++++≥证实：利用柯西不等式又由于 222a b c ab bc ca ++≥++ 在此不等式两边同乘以2，再加上222a b c ++得：()()2223a b c a b c ++≤++故2223333a b c a b c ++++≥5、 解三角形的相干成绩例 4设p 是ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 证实：由柯西不等式得， 记S 为ABC 的面积，则故不等式成立.6、 求最值例5已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=试求a 的最值解：由柯西不等式得，有即()2222236b c d b c d ++≥++ 由条件可得， ()2253a a -≥- 解得，12a ≤≤== 时等号成立，代入111,,36b c d ===时， max 2a =211,,33b c d ===时 min 1a =7、利用柯西不等式解方程 例6在实数集内解方程 解：由柯西不等式，得()()()()222222286248624x y z x y y ⎡⎤++-++-≥-+-⎣⎦① 又()22862439x y y -+-=即不等式①中只要等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得 它与862439x y y -+-=联立，可得8、用柯西不等式解释样本线性相干系数 在线性回归中，有样底细关系数()()niix x y y --∑出1r≤且r越接近于1，相干程度越大，r 越接近于0，则相干程度越小.此刻可用柯西不等式解释样本线性相干系数.现记i i a x x =-，i i b y y =-，则，ni ia b∑1r≤当1r=时，()222111n nni i iii i i a b ab====∑∑∑此时，()()i ii iy yb k x x a -==-，k 为常数.点(),i i x y n i 2,1=均在直线()y y k x x -=-上，r当1r→时，()222111n nni i iii i i a b ab===→∑∑∑即()2221110nnni i ii i i i a b a b ===-→∑∑∑而()()22221111n n ni i ii i j j i i i i i j na b a b a b a b ===≤≤≤-=--∑∑∑∑⇒,iib k k a →为常数. 此时，此时，()()i ii iy yb k x x a -==-，k 为常数点(),i i x y 均在直线()y y k x x -=-附近，所以r 越接近于1，相干程度越大 当0r→时，(),i i a b 不具备上述特征，从而，找不到合适的常数k ，使得点(),i i x y 都在直线()y y k x x -=-附近.所以，r 越接近于0，则相干程度越小.9、关于不等式22222)())((bd ac d c b a +≥++的几何布景 几何布景：如图，在三θ=∠QOP d c Q b a P ),,(),,(，则 ,,2222d c OQ b a OP+=+=.)()(22d b c a PQ -+-=将以上三式代入余弦定理θcos 2222⋅⋅-+=OQ OP OQ OP PQ ，并化简，可得2222cos dc b a bdac +⋅++=θ或.))(()(cos 222222d c b a bd ac +++=θ 由于1cos 02≤≤θ，所以，1))(()(22222≤+++d c b a bd ac ，因而22222)())((bd ac d c b a +≥++.柯西不等式的相干内容简介（1）赫尔德(Holder)不等式当2==q p 时，即为柯西不等式.是以，赫尔德不等式是柯西不等式更为普通的方式，在分析学中有着较为广泛的利用.（2）平面三角不等式（柯西不等式的等价方式）22222112222122221)()()(n n n n b a b a b a b b b a a a ++++++≥+++++++ 可以借助其二维方式22221122212221)()(b a b a b b a a +++≥+++来理解，根据三角形的两边之和大于第三边，很容易验证这一不等式的准确性.该不等式的普通方式pp n n p p ppn ppppn ppb a b a b a b b b a a a 12211121121])()()[()()(++++++≥+++++++ 称为闵可夫斯基（Minkowski ）不等式.它是由闵可夫斯基在对n 维空间中的对称凸几何体定义了一种“距离”的基础上得到的，即对于点),,,(),,,,(2121n n y y y y x x x x ==，定义其距离为pnipi i y x y x 1)(),(∑-=ρ.闵可夫斯基立足于这一不等式确立了响应的几何，建立了一品种似于古代度量空间的理论，即实变函数中的赋范空间基础.这从另一个正面体现了柯西不等式的丰富数学布景.。

柯西不等式各种方式的证明及其使用之相礼和热创作柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研讨数学分析中的“流数”成绩时得到的.但从历史的角度讲，该不等式该当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，由于，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式使用到近乎美满的地步. 柯西不等式非常紧张，灵活巧妙地使用它，可以使一些较为困难的成绩迎刃而解. 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等成绩的方面得到使用.一、柯西不等式的各种方式及其证明 二维方式在一样平常方式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233n n n n aa a ab b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维方式的证明： 三角方式三角方式的证明：222111n nn k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑向量方式向量方式的证明： 一样平常方式一样平常方式的证明： 证明：推行方式(卡尔松不等式)：卡尔松不等式表述为：在m*n 矩阵中，各行元素之和的几何均匀数不小于各列元素 之积的几何均匀之和. 或者： 或者推行方式的证明： 推行方式证法一： 或者推行方式证法二：现实上触及均匀值不等式都可以用均值不等式来证， 这个不等式其实不难，可以简单证明如下： 付：柯西（Cauchy ）不等式相关证明方法：等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）现将它的证明引见如下：证明1：构造二次函数 ()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++= =()()()22222121122122n nn n n n a a a x a b a b a b x b b b +++++++++++()0f x ∴≥恒成立即()()()2222211221212nnn n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++当且仅当()01,2i i a x b x i n +== 即1212n na a ab b b ===时等号成立证明（2）数学回纳法（1）当1n =时 左式=()211a b 右式=()211a b 显然 左式=右式 当2n =时， 右式()()()()2222222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++()()()2221122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=右式仅当即 2112a b a b = 即1212a ab b =时等号成立故1,2n =时 不等式成立（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()()2222211221212kk k k k k a b a b a b a a a b b b +++≤++++++当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ====时等号成立设22212k a a a A ====22212k b b b B ====则()()2222211111k k k k k a b b a b +++++A +B +=AB +A + 当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ====时等号成立即 1n k =+时不等式成立综合（1）（2）可知不等式成立 二、柯西不等式的使用 1、巧拆常数证不等式例1：设a 、b 、c 为负数且互不相称.求证：2222a b b c a ca b c++++++. a b c 、、均为负数()()()()()111292=a b c a b b c a c a b c a b b c a c ∴⎛⎫++++ ⎪+++⎝⎭+++++++为证结论正确，只需证:而为证结论正确，只需证：又29(111)=++∴只需证:又a b c 、、互不相称，以是不克不及取等∴原不等式成立，证毕.2、求某些特殊函数最值 例2：y =求函数 函数的定义域为[5，9],0y3、用柯西不等式推导点到直线的距离公式. 已知点()00,x y P 及直线:l 0x y C A +B +=()220A +B ≠ 设点p 是直线l 上的恣意一点， 则0x x C A +B += （1）12p p =（2）点12p p 两点间的距离12p p 就是点p 到直线l 的距离，求（2）式有最小值，有 由（1）（2）得：21200p p x y C≥A +B + 即12p p ≥（3）当且仅当 ()()0101:y y x x B --=A12p p l ⊥ （3）式取等号 即点到直线的距离公式即4、 证明不等式例 3已知负数,,a b c 满足1a b c ++= 证明 2223333a b c a b c ++++≥证明：利用柯西不等式又由于 222a b c ab bc ca ++≥++ 在此不等式两边同乘以2，再加上222a b c ++得：()()2223a b c a b c ++≤++故2223333a b c a b c ++++≥5、 解三角形的相关成绩例 4设p 是ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 证明：由柯西不等式得， 记S 为ABC 的面积，则故不等式成立.6、 求最值例5已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=试求a 的最值解：由柯西不等式得，有 即()2222236b c d b c d ++≥++由条件可得， ()2253a a -≥- 解得，12a ≤≤== 时等号成立，代入111,,36b c d ===时， max 2a =211,,33b c d ===时 min 1a =7、利用柯西不等式解方程 例6在实数集内解方程 解：由柯西不等式，得()()()()222222286248624xy z x y y ⎡⎤++-++-≥-+-⎣⎦①又()22862439x y y -+-=即不等式①中只要等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得 它与862439x y y -+-=联立，可得8、用柯西不等式解释样本线性相关系数 在线性回回中，有样底细关系数()()niix x y y --∑出1r ≤且r 越接近于1，相关程度越大，r 越接近于0，则相关程度越小.如今可用柯西不等式解释样本线性相关系数.现记i i a x x =-，i i b y y =-，则，ni ia b∑1r≤当1r=时，()222111n nni i iii i i a b ab====∑∑∑此时，()()i ii iy yb k x x a -==-，k 为常数.点(),i i x y n i 2,1=均在直线()y y k x x -=-上，r当1r→时，()222111n nni i iii i i a b ab===→∑∑∑即()2221110nnni i ii i i i a b a b ===-→∑∑∑而()()22221111n n ni i ii i j j i i i i i j na b a b a b a b ===≤≤≤-=--∑∑∑∑⇒,iib k k a →为常数. 此时，此时，()()i ii iy yb k x x a -==-，k 为常数点(),i i x y 均在直线()y y k x x -=-附近，以是r 越接近于1，相关程度越大 当0r→时，(),i i a b 不具备上述特征，从而，找不到适宜的常数k ，使得点(),i i x y 都在直线()y y k x x -=-附近.以是，r 越接近于0，则相关程度越小.9、关于不等式22222)())((bd ac d c b a +≥++的几何布景 几何布景：如图，在三θ=∠QOP d c Q b a P ),,(),,(，则 ,,2222d c OQ b a OP+=+=.)()(22d b c a PQ -+-=将以上三式代入余弦定理θcos 2222⋅⋅-+=OQ OP OQ OP PQ ，并化简，可得2222cos dc b a bdac +⋅++=θ或.))(()(cos 222222d c b a bd ac +++=θ 由于1cos 02≤≤θ，以是，1))(()(22222≤+++d c b a bd ac ，于是22222)())((bd ac d c b a +≥++.柯西不等式的相关内容简介（1）赫尔德(Holder)不等式当2==q p 时，即为柯西不等式.因而，赫尔德不等式是柯西不等式更为一样平常的方式，在分析学中有着较为广泛的使用.（2）立体三角不等式（柯西不等式的等价方式）22222112222122221)()()(n n n n b a b a b a b b b a a a ++++++≥+++++++ 可以借助其二维方式22221122212221)()(b a b a b b a a +++≥+++来理解，根据三角形的两边之和大于第三边，很容易验证这一不等式的正确性.该不等式的一样平常方式pp n n p p ppn ppppn ppb a b a b a b b b a a a 12211121121])()()[()()(++++++≥+++++++ 称为闵可夫斯基（Minkowski ）不等式.它是由闵可夫斯基在对n 维空间中的对称凸几何体定义了一种“距离”的根底上得到的，即对于点),,,(),,,,(2121n n y y y y x x x x ==，定义其距离为pni pi i y x y x 1)(),(∑-=ρ.闵可夫斯基立足于这一不等式建立了相应的几何，建立了一品种似于当代度量空间的理论，即实变函数中的赋范空间根底.这从另一个正面表现了柯西不等式的丰富数学布景.。