下载文档原格式
证明柯西不等式证明柯西不等式柯西不等式是数学中的一个重要不等式，它是用于描述内积空间下向量之间的一种关系，具有广泛的应用。
本文将从内积空间的定义、柯西不等式的表述、证明方法和应用等四个方面来说明柯西不等式。
一、内积空间的定义内积空间是指一个向量空间V，满足存在一个二元函数（内积）< , >，对任意两个向量x，y∈V，满足以下条件：1. 线性：对于任意的x1, x2 ∈ V，以及α, β ∈ R，有<αx1 + βx2, y > = α< x1, y > + β< x2, y >。
2. 对称性：对于任意的x, y∈V，有< x, y > = < y, x >。
3. 非负性：对于任意的x∈V，有< x, x > ≥ 0，且当且仅当x=0时，< x, x > = 0。
二、柯西不等式的表述对于内积空间V中的任意两个向量x，y∈V，有以下柯西不等式成立：其中< x, y >表示x，y的内积，||x||和||y||分别表示x和y的模长（或范数）。
三、证明方法柯西不等式可以有多种证明方法，这里介绍一种基于勾股定理的证明方法。
以二维欧几里得空间（平面）的情形为例，设有两个向量x=(x1，x2)，y=(y1，y2)，则它们的内积为< x, y >=x1y1+x2y2。
由勾股定理可知，x和y的模长之间的关系为：||x||^2 = x1^2 + x2^2||y||^2 = y1^2 + y2^2将这两个等式相加得到：||x||^2 + ||y||^2 = x1^2 + x2^2 + y1^2 + y2^2 = (x1^2 +y1^2) + (x2^2 + y2^2)接下来，考虑将向量x和y相加，以及它们和原点O组成的三角形ABC。
这个三角形的三边分别为||x||、||y||和BC=||x+y||。
由勾股定理和三角形不等式可知：||x+y||^2 = x1^2 + 2x1y1 + y1^2 + x2^2 + 2x2y2 + y2^2≤ (x1^2 + x2^2 + y1^2 + y2^2) + 2||x|| ||y||将这个不等式中的||x||^2 + ||y||^2用前面的式子代替，化简后可得：x1y1 + x2y2 ≤ ||x|| ||y||即柯西不等式成立。
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233222222312322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na a ab b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。
柯西不等式的证明及应用柯西（Cauchy ）不等式()22211n n b a b a b a +++Λ()()222221222221nnb b ba a a ++++++≤ΛΛ()n i Rb a ii Λ2,1,=∈等号当且仅当021====n a a a Λ或i i ka b =时成立（k 为常数，n i Λ2,1=）现将它的证明介绍如下：证明1：构造二次函数 ()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++=Λ=()()()22222121122122n nn n n n a a a x a b a b a b x b b b +++++++++++L L L 22120n n a a a +++≥Q L()0f x ∴≥恒成立()()()2222211*********n n n n n n a b a b a b a a a b b b ∆=+++-++++++≤Q L L L即()()()2222211221212nn n n nn a b a b a b a a a bb b +++≤++++++L L L当且仅当()01,2i i a x b x i n +==L 即1212n na a ab b b ===L 时等号成立 证明（2）数学归纳法（1）当1n =时 左式=()211a b 右式=()211a b 显然 左式=右式 当2n =时， 右式 ()()()()2222222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++()()()2221122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=右式仅当即 2112a b a b = 即1212a ab b =时等号成立 故1,2n =时 不等式成立（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()()2222211221212kk k k kk a b a b a b a a a bb b +++≤++++++L L L当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n =L 或120k a a a ====L 时等号成立设22212k a a a A ====L 22212k b b b B ====L1122k k C a b a b a b =+++L则()()2222211111k k k k k a b ba b +++++A +B +=AB +A +()22221111112k k k k k k C Ca b a b C a b ++++++≥++=+ ()()22222222121121k k k k a a a a bb b b ++∴++++++++L L()2112211k k k k a b a b a b a b ++≥++++L当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n =L 或120k a a a ====L 时等号成立即 1n k =+时不等式成立综合（1）（2）可知不等式成立柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题： 1） 证明相关命题例1． 用柯西不等式推导点到直线的距离公式。
柯西不等式各种形式证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西()在研究数学分析中“流数”问题时得到。
但从历史角度讲，该不等式应当称为不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题方面得到应用。
一、柯西不等式各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //==扩展：()()()222222222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立222111nnn k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式证明：()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式证明：()()123123112233222222312322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na a ab b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。
柯西不等式的形式、证明及其应用摘要：柯西不等式是高等数学中的重要内容，这一不等式的应用范围非常广泛，能够很多比较复杂的问题迎刃而解，掌握柯西不等式的证明及其应用，是对数学专业研究生阶段学习的一项重要要求，本文根据现有的研究资料，详细论述了柯西不等式的形式及其证明，并就柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程组等问题中的应用阐述了自己的意见。
关键词：柯西（cauchy）不等式；证明；应用一、柯西不等式及其证明。
1.柯西不等式定理柯西不等式定理：设ai，bi∈r（i=1，2，3…，n），则∑ni=1a2i ∑ni=1b2i≥∑ni=1aibi2，当且仅当ai=λbi，即a1b1=a2b2=……anbn=λ等号成立。
这一不等式也就是所谓的为柯西不等式。
在学习和掌握这一不等式的过程中应该注意三个问题”第一，由于“∑ni = 1ai 2 = 0，∑ni = 1bi 2 = 0，∑ni=1aibi=0”情况之一出现时，不等式是单个然不成立的，因此，在下面的讨论中需要先假设∑ni = 1ai 2≠0，∑ni = 1bi 2≠0，∑ni=1aibi≠0都成立。
第二，柯西不等式取等号的条件常常写成比例形式a1b1=a2b2=……anbn，并约定：分母为0时，相应的分子也为0。
“等号成立”是柯西不等式应用的一个重要组成部分。
第三，柯西不等式在应用过程中相对于其它不等式的一个优势是，对任意的两组实数都成立，也就是说在应用的过程中对于任意两组数a1，a2，……an，b1，b2，……bn，其对应项“相乘”之后、“求和”、再“平方”这三种运算不满足交换律，先各自平方，然后求和，最后相乘，运算的结果不会变小。
2.柯西不等式证明柯西不等式的证明过程相对来说比较复杂，在证明的过程中有不同的证明方法，常见的证明方法主要有三种，具体的证明及过程如下：证明1：构造二次函数（1）当时n=1，右式=（a1b1），左式=a1 2b1 2，显然，左式=右式。
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a bb b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc≥=等号成立条件：三角形式的证明：222111n nn k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+- 注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233112233=,,,,,,,,,cos ,,cos ,1n n n n n n m a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m nm nm n a b a b a b a b =⋅=++++==≤∴++++≤令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===nk k k n k k nk kb a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //==扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc≥=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233112233=,,,,,,,,,cos ,,cos ,1n n n n n n m a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m nm nm n a b a b a b a b =⋅=++++==≤∴++++≤令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k n k k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或、均为零。
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233222222312322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na a ab b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。
一、柯西不等式：211212)()()(k nk k n k kn k kb a b a ∑∑∑===≥∙等号成立的条件是)3,2,1(n k b a k k ⋅⋅⋅==λ二维柯西不等式：))(()(2222212122121y x y x y y x x ++≤+证明：（用作差法）0)(2)())((212212121212222212212122222121≥-=-+=+-++y x y x y y x x y x y x y y x x y x y x三维柯西不等式：))(()(2222222121212212121z y x z y x z z y y x x ++++≤++证明：（构造空间向量法） 设),,(),,,(222111z y x n z y x m ==n m n m n m n m ⋅≤⋅=⋅,cos ，所以：222222212121212121z y x z y x z z y y x x ++⋅++≤++，两边平方即可！n 维柯西不等式：211212)()()(k nk k nk knk kb a b a ∑∑∑===≥∙等号成立的条件是)3,2,1(n k b a k k ⋅⋅⋅==λ证明：（用构造函数法）（1）.当021==⋅⋅⋅==n b b b 时，不等式显然成立； （2）当n b b b ⋅⋅⋅,,21不全为0时，构造)()(2)()(121212∑∑∑===+-=nk k k n k k nk ka xb a x bx f ,所以有0)()()(2)()(12121212≥-=+-=∑∑∑∑====nk k k nk kk nk k nk ka xb a x b a x b x f 对任意R x ∈恒成立，因此0)()(4)(4121221≤∙-=∆∑∑∑===nk k n k kk n k k b a b a故：211212)()()(k nk k n k k nk kb a b a∑∑∑===≥∙柯西不等式的变式：2111)()()(∑∑∑===≥∙nk k k n k k n k k b a b ak nk k n k kn k kb a b a ∑∑∑===≥∙11212)()(2111)()()(∑∑∑===≥∙nk k nk k kk n k k a b a b a 等号成立的条件是当且仅当n b b b =⋅⋅⋅==21 2112)()(∑∑==≥nk k nk k n an a （在柯西不等式中令b k =1，两边同时除以n 2即得） ∑∑∑===≥nk knk k nk k kba b a 12112)()( (等号成立的条件是)3,2,1(n k b a k k ⋅⋅⋅==λ二、练习：1.已知z y x ,,>0，且1=++z y x ，求)1()1()1(222x x z z z y y y x -+-+-的最小值； 2.已知b a ,>0,求证：b a b a b a 614121+++++<)7)((3b a b a ++ 3.已知2=++z y x 且z y x ,,>0，求证：x z z y y x +++++111≥494.设c b a ,,为正数且互不相等.求证:a c cb b a +++++222>c b a ++95.设正实数c b a ,, 满足1=abc , 求证:)(1)(1)(1333b a c c a b c b a +++++≥23 6.设c b a ,,为正数, 且1=++c b a ,求证:222)1()1()1(cc bb a a +++++≥31007.设实数c b a ,, 满足632222=++c b a ，求证：c b a ---++2793≥31；8.已知1232=++z y x , 求证:22232z y x ++≥24；9.已知1=++c b a , 求证:33332313≤+++++c b a ； 10.若a >b>c ，求证：ca cb b a -≥-+-411答案：1.证明：由1=++z y x 得：zxxy z y x x x yzzx y x z z z xzxy z x y y y +=+=-+=+=-+=+=-)()1()()1()()1(，所以有)1()1()1(222x x z z z y y y x -+-+-＝zx xy z yz zx y yz xy x +++++222，由柯西不等式得：2222)()()]()()[(z y x zx xy z yz zx y yz xy x zx xy yz zx yz xy ++≥+++++⋅+++++所以有：zx xy z yz zx y yz xy x +++++222)]()()[(1zx xy yz zx yz xy +++++≥即：zxxy z yz zx y yz xy x +++++222)(21zx yz xy ++≥，又zxyz xy z y x z y x z y x zx yz xy ++≥++++-++≤++2222222)()()(2 1=++z y x所有：zx xy z yz zx y yz xy x +++++22223≥，当且仅当31===z y x 时取等号 2.证明：由柯西不等式可得：22)611411211()614121(ba b a b a b a b a b a +⋅++⋅++⋅=+++++])6(1)4(1)2(1)[111(222222b a b a b a +++++++≤< ])7)(5(1)5)(3(1)3)((1[3b a b a b a b a b a b a ++++++++（放缩）)71515131311(23ba b a b a b a b a b a b +-+++-+++-+=（裂项相消）)711(23ba b a b +-+=)7)((623b a b a b b ++=)7)((9b a b a ++= 所以有：b a b a b a 614121+++++<)7)((3b a b a ++3.证明：由柯西不等式得：9)111()111()]()()[(2=++≥+++++⋅+++++xz z y y x x z z y y x ，又2=++z y x所以有：x z z y y x +++++111≥49)(29=++z y x .4.证明：与第3题的证法相同，最后说明c b a ,,为正数且互不相等,所以不取等号；5.证明：由1=abc 得：1222=c b a ，所以：2221c b a =,1,222c a b =2221b a c= )(1)(1)(1333b a c c a b c b a +++++bcac b a bc ab c a ac ab c b b a c b a c a b c a c b a c b +++++=+++++=222222222222)()()(2222222)()()]()()[(ab ac bc bc ac b a bc ab c a ac ab c b bc ac bc ab ac ab ++≥+++++⋅+++++即：232)(2)(32222222222c b a ab ac bc ac bc ab ab ac bc bc ac b a bc ab c a ac ab c b ≥++=++++≥+++++又1=abc ，所以：)(1)(1)(1333b a c c a b c b a +++++≥23 6.证明：由柯西不等式])1()1()1[()111()]1(1)1(1)1(1[2222222cc b b a a c c b b a a +++++⋅++≤+⋅++⋅++⋅结合1=++c b a所以：222)1()1()1(c c b b a a +++++22)]111(1[31)]111()[(31cb ac b a c b a +++=+++++≥又9)111()111)((1112=++≥++++=++cb ac b a c b a 所以：3100)91(31)]111(1[3122=+≥+++c b a故：222)1()1()1(cc b b a a +++++≥31007.证明：c b a ---++2793＝3)32(33232333333333c b a c b a c b a ++-------=⋅⋅≥++又由柯西不等式：])3()2([])3()2(1[)33221(2222222c b a c b a ++⋅++≤⋅+⋅+⋅即：)2(6)32(2222c b a c b a ++⋅≤++，结合632222=++c b a 所以有：632≤++c b a即：313333363)32(=≥-++-c b a 所以：c b a---++2793≥318.证明：由])3()2([])3()2(1[)33221(2222222z y x z y x ++⋅++≤⋅+⋅+⋅结合题目条件即可证出，与第7题一样； 9.证明：]6)(3[3])33()23()13[()111()331231131(2222222+++=+++++∙++≤+⋅++⋅++⋅c b a c b a c b a 结合题目条件就可以证出了！10.证明：由条件a >b>c 得：b a ->0,c b ->0,所以2)11()11()]()[(+≥-+-⋅-+-cb b ac b b a ＝4 所以：c a c b b a -≥-+-411 点评： 1.211212)()()(k nk k n k k nk kb a b a∑∑∑===≥∙中的求和展开式为：222112222122221)())((n n n n b a b a b a b b b a a a +⋅⋅⋅++≥⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++；2.二维、三维、n 维柯西不等式的证明分别用了作差法、向量法、构造函数法证明，其实这 三种方法也可以相互迁移，尤其是向量法简洁明了，值得借鉴；3.带条件的三元不等式很常见, 用柯西不等式来证的较多, 要适当选择k a 和k b , 便于运用柯西不等式211212)()()(k nk k n k k nk kb a b a∑∑∑===≥∙；4.结合柯西不等式及变式中的等号成立的条件，请读者自行研究以上不等式的取等号条件。
柯西不等式的证明及相关应用摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。
关键词：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（Cauchy ）不等式：等号当且仅当021====n a a a Λ或i i ka b =时成立（k 为常数，n i Λ2,1=） 现将它的证明介绍如下： 方法1 证明：构造二次函数=()()()2222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++ΛΛΛ由构造知 ()0≥x f 恒成立又22120nn a a a +++≥Q L即()()()222212222122211nn n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当且仅当()n i b x a i i Λ2,10==+ 即1212n na a ab b b ===L 时等号成立 方法2 证明:数学归纳法（1） 当1n =时 左式=()211a b 右式=()211a b 显然 左式=右式 当2=n 时 右式 ()()()()2222222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++()()()2221122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式 故1,2n =时 不等式成立（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立即 ()()()222212222122211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ当 i i ma b =，m 为常数，k i Λ2,1= 或120k a a a ====L 时等号成立设A=22221k a a a +++Λ B=22221k b b b +++Λ 1122k k C a b a b a b =+++L则()()212121212121+++++++++=++k k k k k k b a Ba Ab AB b B a A当 i i ma b =，m 为常数，12,1+=k i Λ 或121+===k a a a Λ时等号成立 即 1n k =+时不等式成立 综合（1）（2）可知不等式成立二、柯西不等式的简单应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。
