例谈初中数学中蕴涵的数学思想

初中数学思想详解篇一：初中数学中的主要数学思想方法初中数学中的主要数学思想方法初中数学中蕴含的数学思想很多，其中最主要的数学思想方法包括转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等．(1) 转化思想．转化思想就是人们将需要解决的问题，通过演绎、归纳等转化手段，归结为另一种相对容易解决或已经有解决方法的问题，从而使原来的问题得到解决．转化思想体现在数学解题过程中就是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎和归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题．初中数学中诸如化繁为简、化难为易、化未知为已知等均是转化思想的具体体现．具体而言，代数式中加法与减法的转化，乘法与除法的转化，用换元法解方程，在几何中添加辅助线，将四边形的问题转化为三角形的问题，将一些角转化为圆周角并利用圆的知识解决问题等等都体现了转化思想．在初中数学中，转化思想运用的最为广泛．(2) 数形结合思想．数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而，在某种程度上可以说数学研究是围绕着数与形展开的．初中数学中的“数”就是代数式、方程、函数、不等式等符号表达式，初中数学中的“形”就是图形、图象、曲线等形象表达式．数形结合思想的实质是将抽象的数学语言（“数” ) 与直观的图象(“ 形“ ) 结合起来，数形结合思想的关键就是抓住“数”与“形”之间本质上的联系，以“形”直观地表达“数”，以“数”精确地研究“形”，实现代数与几何之间的相互转化．数形结合思想包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．“数无形时不直观，形无数时难入微．”数形结合是研究数学、解决数学问题的重要思想，在初中数学中有着广泛应用．譬如，在初中数学中，通过数轴将数与点对应，通过直角坐标系将函数与图象对应均体现了数形结合思想的应用．再比如，用数形结合的思想学习相反数、绝对值等概念，学习有理数大小比较的法则，研究函数的性质等，从形象思维过渡到抽象思维，从而显著降低了学习难度．(3) 分类讨论思想．分类讨论思想就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同的种类．分类是以比较为基础的，它有助于揭示数学对象之间的内在联系与规律，有助于学生总结归纳数学知识、解决数学问题．譬如，初中数学从整体上看分为代数、几何、概率统计等几大版块，并分别采用不同方法进行研究，就是分类思想的体现．具体而言，实数的分类，方程的分类、三角形的分类、函数的分类、统计量的分类等等，都是分类思想的具体体现．分类思想在初中数学中有大量运用，从初中数学内容的组织与展开到数学概念的界定与划分再到数学问题的分析与解决都大量运用着分类思想．(4) 函数与方程思想．函数与方程思想就是用函数的观点和方法分析问题、解决问题．函数思想是客观世界中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的具体反映．函数与方程思想的本质是变量之间的对应，即用变化的观点和函数的形式将所研究的数量关系表示出来，然后用函数的性质进行研究，从而使问题获得解决．如果函数的形式用解析式的方式表示，那么就可以将函数解析式看作方程，并通过解方程和对方程的研究使问题得到解决，这就是方程思想．譬如初中数学中大量涉及一次函数、反比例函数、二次函数等内容的数学问题都要用到函数与方程思想来解决．由于函数思想与方程思想的内容和形式相一致，因而往往将其并称为函数与方程思想，并将二者结合学习与运用．除上述几种主要的数学思想之外，初中数学中还有集合思想、对应思想、符号化思想、公理化思想等．初中数学主要包括如下基本的数学方法：（ 1 ）几种重要的科学思维方法：比较与分类、观察与尝试、分析与综合、概括与抽象、特殊与一般、归纳与类比等；（ 2 ）几种重要的推理方法：完全归纳法、综合法、分析法、反证法、演绎法等；（ 3 ）几种常用的求解方法：待定系数法、数学建模法、配方法、消元法、换元法、构造法、坐标法、参数法等．1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。

初一新教材中数学思想及其教学浅谈在新世纪之初，我国开始了建国以来第八次根底教育课程改革。

作为成千上万的教育工作者中的一员，我将以高度的历史责任感和最大的热情投入到这场改革中去。

数学作为人们生活、劳动和学习必不可少的工具，是一切重大技术开展的根底。

新的数学课程标准要求数学教育面向全体学生，表达根底性、普及性和开展性的特点，实现：1）人人学有价值的数学；2）人人都能获得必须的数学；3）不同的人在数学上得到不同的开展。

从小学数学过渡到初中数学，学习内容、研究方法，都是个转折，尤其是数学思想认识上要产生质的飞跃。

初一数学新教材蕴含了通常的数学思想，这些数学思想在学生今后的数学学习中会不断地运用到。

因此，教学好初一新教材中的数学思想是十分重要的。

在初一新教材中所包涵的数学思想概括起来主要有：1、合理的三维空间思想；2、数形结合思想；3、用字母表示数的思想；4、分类思想；5、方程思想；6、化归思想；7、概率统计思想。

下面我将对新教材（北师大版）中的几种数学思想及其教学谈谈我粗浅的想法和体会。

一、合理的三维空间思想新的初一数学教材（北师大版）的第一章就是《丰富的图形世界》，作为衔接小学数学与初中数学的内容，与原来的教科书不同。

这样安排，显然拉近了数学和学生的间隔，消除学生刚踏入初中时学习第一节数学课所产生的陌生和恐惧感。

实际的图形给同学们“看得见，模得着”的感觉，但要从其中抽象出详细的数学模型，就得让学生通过不断的观察，在展开与折叠、切截等数学活动过程中，认识常见的根本几何体及点、线、面和一些简单的平面图形等，形成一定的空间思想。

同时，通过安排对某些几何体主视图、俯视图、左视图的认识，在平面图形和几何体的转换中开展学生的空间观念，提高学生的空间思维能力。

在我的实际教学中，我充分调动学生的个人思想和主观能动性，给予足够的空间和时间，通过每个学生自己的动手操作去体会教材所安排的内容，同时去发现新的问题。

譬如在“面动成体”这一知识点上，在实际生活中很难找到相关实例，在上该课的前一天我就让学生去观察生活中的例子，在课堂上，我让学生充分讨论，学生就找到了“某些高档宾馆的旋转大门，面动起来就成为圆柱体”“校门口的自动门，将截面理想化为长方形，那么运动起来就是长方体”等等。

例谈初中数学思想方法的教学7篇第1篇示例：初中数学思想方法的教学是提高学生数学学习能力和解决问题能力的重要环节。

数学思想方法的培养是数学教学中的一项重要任务，它不仅能够帮助学生更好地理解和掌握数学知识，还能够激发学生的学习兴趣和动手能力，培养学生的解决问题的能力。

教师在初中数学教学中应注重培养学生的数学思想方法，提高他们的数学素养。

一、提倡启发式教学方法启发式教学方法是培养学生数学思想方法的有效手段之一。

教师可以通过引导学生思考和提出问题的方式，激发学生的求知欲和好奇心，促使学生主动探究和发现数学规律。

教师可以给学生一道有趣的问题，让学生通过分析和推理找出解决问题的方法，这样可以激发学生的兴趣，培养他们的独立思考能力和解决问题的能力。

二、注重实践教学方法实践教学方法是培养学生数学思想方法的重要途径之一。

通过数学实践，学生可以将抽象的数学知识与实际生活联系起来，理解数学的应用价值，从而加深对知识的记忆和理解。

教师可以设计一些与实际生活相关的数学问题，让学生在解决问题中体会数学的魅力，培养他们的动手能力和实践能力。

三、鼓励合作学习方法合作学习是培养学生数学思想方法的有效途径之一。

通过合作学习，学生可以相互交流、讨论，共同解决问题，从而提高解决问题的效率和质量。

教师可以组织学生分组讨论、合作完成任务，引导学生相互合作、互帮互助，培养学生的团队合作精神和沟通协作能力。

四、激发创新思维能力第2篇示例：初中数学作为学生数学学科的启蒙阶段，数学思想方法的教学显得尤为重要。

正确的数学思想方法不仅影响到学生对数学的学习态度和兴趣，还直接影响到数学学科的学习效果。

教师们在进行初中数学教学时，需要注重培养学生的数学思想方法，激发学生学习数学的兴趣和潜能。

初中数学教学要注重启发性教学。

数学是一门反映客观规律的抽象科学，因此教学应注重培养学生的逻辑思维和数学思维能力。

在教学过程中，教师应引导学生通过具体问题认识抽象概念，通过实际情境应用抽象理论。

题目：初中数学模型思想有哪些？通过具体实例分别说明通过数学模型思想解决数学问题？答：初中数学模型思想主要有以下几种;（1）方程模型思想（2）不等式模型思想（3）函数模型思想第一、方程模型思想的应用新的课程标准提出，义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面而持续、和谐地发展，不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题构成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力，情感、态度，价值观方面得到进步和发展。

教材为学生的学习活动提供基本线索，是实现课程目标、实施教学的重要资源。

因此，教师应该重新认识教材的功能，明确教材只是达到目的的材料，教学时应该根据教材提供的丰富教学资源进行再创造，而不是照本宣科成为教材的机械执行者。

利用方程解决实际问题，从一个侧面体现了数学与现实世界的联系，体现了数学的建模思想。

在新课标下的数学(七)上教材以模型思想为主线，从实际问题引出方程，以方程解决实际问题编写了方程这块内容，给人以耳目一新的感觉。

它不但让学生体验到了方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，深刻认识到方程与现实世界的密切关系，感受数学的价值；同时，也给任课教师带来了挑战。

下面就自己的课堂教学谈谈如何利用方程模型进行创造性教学。

一、利用熟悉的数学问题，使学生认识建立方程模型,从而运用方程模型思想：3个连续自然数的和是24，你能求出这3个自然数吗？此问题绝大部分同学会马上说出他们的答案(理由：中间的自然数是24÷3＝8，所以这3个连续自然数分别是7，8，9)，而少数学生还在埋头计算。

此时，教师给予肯定的同时，又给学生提出新的问题，使学生真正体会建立方程模型的必要性。

从学生较为满意的表情上可以看出，他们希望能够迎接新的挑战。

这时出示问题二：教科书第91页例3.有一列数，按一定规律排列成1，-3，9，-27，81，-243…其中，某3个相邻数的和是-1701，这3个数各是多少？学生尝试用解决问题一的方法，却一再碰壁，此时，教师引导学生如何通过方程模型来解决数列的问题。

谈谈初中数学中常用的数学思想在初中数学中，常用的数学思想有：数形结合思想、方程与函数思想、分类讨论思想和化归与转化思想等。

教学中逐步渗透数学思想方法，培养学生思维能力，是进行数学素质教育的一个切入点。

一、数形结合的思想数形结合的思想是研究数学的一种重要的思想方法，它是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。

由以上的例子，我们可以看出数形结合思想的应用往往能使一些错综复杂的问题变得形象直观。

二、方程与函数的思想方程与函数的思想解决数学问题的一个有力工具。

用函数和方程的思想来解决问题，往往能使一些错综复杂的问题变得直观，解题思路清晰，步骤明了。

例：某公司到果园基地购买某种优质水果，果园基地对购买量在3000㎏以上（含3000㎏）的有两种销售方案。

方案一：每千克9 元，由基地送货上门；方案二：每千克8 元，由顾客自己租车运回。

已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000 元。

（1）分别写出该公司两种购买方案的付款y(元)与所买的水果x(㎏)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由。

分析：由题意易得方案一与方案二对应的函数关系式为y1=9x与y2=8x+5000，再根据y1与y2的大小关系选择付款最少的购买方案。

解：（1）方案一，y1=9x；方案二，y2=8x+5000，x≥3000㎏．(2)9x=8x+5000，x=5000；当x=5000㎏时，y1=y2。

两种方案付款一样；当x﹥5000㎏时，y1﹥y2，选择方案二付款最少；当3000≤x﹤5000，y1﹤y2，选择方案一付款最少。

三、分类讨论的思想分类是通过比较数学对象本质属性的相同点和差异点，然后根据某一种属性将数学对象区分为不同种类的思想方法。

此方法可以训练学生思维的全面性，克服思维的片面性，防止漏解。

运用分类讨论思想时，分类要准确、全面、不重、不漏。

浅谈初中数学中蕴藏的数学思想作者：纪文辉来源：《中国校外教育·基教(中旬)》2013年第11期培养学生形成系统的数学思想，是提高学生学习能力的重要方法，是使学生养成良好学习态度的重要的纽带。

数学思想的养成，不仅能促进学生学习，提高学习效率，更重要的是，它能够在无形中影响着孩子的思维判断力，潜移默化地将孩子引领到正确的思维轨迹上来，对其今后的发展有着重要的意义！当然，我们只会数学的理论概念并不能解决实际的问题，这就需要我们把数学的概念深度地剖析成具体的数学思想和运用的方法。

所以，必须把数学思想放在至高的位置去努力地实践它，这在我们的初中数学教学中就显得尤为重要了！初中数学数学思想学习能力在长期的教学过程中，我们往往注重的是教学结果，拼命地给孩子们灌输课本知识。

很多知识的理解并不能像书本上描述的那样简单，学生们需要一种架构的桥梁把书本的知识和实际的运用联系起来，我们忽略了对学生思维的引导，忽略了那蕴藏在数学中的思想方法。

如果长期以往，会影响孩子们的思维判断能力，很可能是造成孩子智力发展的障碍，他们无法主动地思考问题，无法完成复杂知识的理解与接收。

我们需要做的是教孩子们如何思考1+1=？以及为什么1+1=2而不是简单的知识转移1+1=2。

随着我国经济的发展，对教育也越来越看重，很多人也意识到了这个问题，我们的教育体系也在不断地升级。

在教孩子们课本知识的同时，也会传授具体的数学思想及方法运用。

一、运用数学思想方法的重要意义数学思想是数学这门学科的精髓，它贯彻数学始终，它不同于具体的文字、图片、声音或是影像知识，它更具有广泛性，可以运用在各个领域之中。

所以，在我们的教学实践中，不断引出蕴藏着的数学思想及方法，不但能提高教学效果，改善教学质量，于学生来说也是有极大意义的。

运用数学思想及方法，能开发学生们的潜能，培养他们的独特的思维判断能力，不断地提高他们的创新能力和思维能力，引导他们向更高的层次发展，这对我们的教学活动也是颇有意义的。

绝对值中蕴涵的数学思想绝对值是初中数学的重要概念，绝对值的图形意义，体现了数形结合的数学思想，绝对值的数学意义又体现了分类讨论的数学思想. 绝对值的图形意义：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值.记作a . 绝对值的数学意义：一个正数的绝对值等于它本身；一个负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值等于0.即当a ＞0时，a =a ；当a =0时，a =0；当a ＜0时，a =-a .例1.绝对值大于3且小于5的整数是 . 解析：在数轴上，绝对值大于3的整数所表示的点，离开原点的距离大于3，应位于表示-3的点的左侧或表示3的点的右侧；绝对值小于5的整数所表示的点，到原点的距离小于5，位于表示-5与5的两个点之间.如图.因此，符合条件的整数有两个：-4和4.归纳：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离.离原点越近，绝对值越小；离原点越远，绝对值越大.“数无形时少直观，形无数时难入微”，利用数形结合思想解题，可以化难为易，化繁为简.例2.已知：3,4x y ==，求x y +的值. 解析：由绝对值的意义可知，已知3,4x y ==，可求得3,4x y =±=±，从而进一步求出x y +的值. 因为3,4x y ==，所以3,4x y =±=±.当3,4x y ==时，347x y +=+=；当3,4x y ==-时，3(4)1x y +=+-=-；当3,4x y =-=时，(3)41x y +=-+=；当3,4x y =-=-时，(3)(4)7.x y +=-+-=- 归纳：当问题中包含多种可能情况时，必须按可能出现的所有情况来分类讨论.分类讨论要做到不重不漏.本题不能只分3,4x y ==和3,4x y =-=-两种情况进行讨论.思考：已知a 、b 、c 均不为零，求ab c a b c ab c a b c +++的值. 请大家把自己的做法和下面的解法对比，并与同学们讨论！ 解：当a 为正数时，1aa a a ==；当a 为负数时，1a aa a ==--.b 、c 的情况类似.本题应根据a 、b 、c 所有可能出现的符号情况进行讨论.解：（1）当a 、b 、c 均为正数时，11114;abca b ca b c a b c +++=+++=（2）当a 、b 、c 中，有两个正数，一个负数时，不妨设a 、b 为正，c 为负.11(1)(1)0;abca b ca b c a b c +++=++-+-=（3）当a 、b 、c 中，有一个正数，两个负数时，不妨设a 为正， b 、c 为负. 1(1)(1)10;abca b ca b c a b c +++=+-+-+=（4）当a、b、c均为负数时，a b c a b c(1)(1)(1)(1) 4.+++=-+-+-+-=-a b c a b c因此，原式的值为-4，0，4 .。

《整式的加减》中的数学思想学习数学不仅要学习数学知识，更重要的还要学习数学思想，因为数学思想是数学的灵魂，它在指导数学学习和研究有着十分重要的作用．下面以《整式的加减》一章中的几个数学思想为例说明之．一、整体处理思想整式加减的实质是同类项的合并，而同类项的合并实际上是一种整体的变形．如计算：3 ＋2 ＝5．这里我们实际上是把作为一个整体，然后将这个整体的系数相加．这种解决问题的方法就是数学中的整体思想方法，利用它进行解题可以收到化难为易，化繁为简的效果．【例1】已知－2x－5＝0，求 6x－3 ＋1的值．【分析】要求所求代数式的值，一般方法是先求ｘ的值，再代入计算．但就目前我们所学的知识还不足以求出x的值，怎么办？考虑到已知和所求代数式的关系，运用整体思想，问题便可以迎刃而解．【解】把－2x作为整体，则已知就是－2x＝5，求值式就是－3（－2x）＋1，故原式＝－3×5＋1＝－14．二、逆向思维思想在本章中学习的合并同类项法则：几个同类项相加减，把它们的系数相加减，字母和字母的指数不变．如计算：３－２＋５＝（３－２＋５），这里实际上就是逆向运用乘法对加法的分配律，其中所体现的思想就是逆向思维思想．这种思想通常就是我们所说的正难则反策略，运用这种思想可使一些“山穷水复疑无路”的问题变成“柳暗花明又一村”．【例2】甲、乙、丙三个箱子内共有小球３８４个，先由甲箱取出若干个球放入乙、丙箱内，所放个数分别为乙、丙箱内原有的个数，继而由乙箱取出若干个球放进甲、丙两箱内，最后由丙箱取出若干个球放入甲、乙两相内，放法同前，结果三箱内的小球个数恰好相等．问甲、乙、丙各箱内原有小球各是多少个？【分析】直接入手需要设元，列方程（组），但列方程（组）时却无从下手．从最后三箱的小球相等如手，易知最后每箱各有小球 384÷3＝128（个）；由后到先三次调动过程各箱中的球数容易列出下表：显然，由表立知甲、乙、丙三箱原有小球分别为208个、112个、64个．三、化归思想在进行整式加减运算时，实际上进行的是同类项的合并，而同类项的合并实际上是系数的相加减，因此，整式的加减最终要化归为数的加减来解决．如上述所说的计算：３－２＋５＝（３－２＋５）＝６．这就是化归思想．运用化归思想可以把一些陌生的问题转化为我们所熟悉的、或已经解决过的问题．【例3】已知A＝－3－2mx＋ 3x＋１，B＝2 ＋mx－１，且2A＋3B的值与x无关，求m的值．【分析】把A、B所表示的多项式代入 3A＋3B，问题化归为整式的加减运算，即3A＋3B＝3（－3 －2mx＋3x＋1）＋2（2 ＋mx－1）＝（6－m）x－1，这是一个我们所熟悉的形如ax＋b的代数式，对此我们早已知道，当a＝０时，ax＋b 的值与x无关，故由6－m＝0，得m＝6．四、字母代数思想字母表示数是代数的主要特征和重要标志，通过字母表示数有利发现问题的本质和规律，从而迅速找到问题的解答方案．【例4】小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：第一步分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；第二步从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；第三步从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；第四步左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆．这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数．你认为中间一堆牌的张数是．【解析】来三堆牌的张数为x，则操作第二步后，中间的牌数为x＋２，左边为x－２；操作第三步后，中间的牌数为x＋３；操作第四步后，中间的牌数为x＋３－（x－２）＝x＋３－x＋２＝５．。

例谈学习中学数学中的“有限”与“无限”湖州二中陆丽滨日常生活中，我们常常和有限、无限打交道：天空有边吗？星星有多少？两面镜子对照，镜子中有镜子，…，一共有多少面？文学作品中，如王之涣的“欲穷千里目，更上一层楼”；李白的“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”；中国古代的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等等，都是一种有限与无限的结合．在数学教育界也有两个尴尬的故事：一件是有一天《参考消息》译载美报刊上的“新闻”说：“美一位中学生找到了圆周率π的末位小数”，π是无理数，怎么有末位小数呢？这是个常识性错误，却经编辑与千百个人之手被广泛传播．另一件是关于0.91=对吗？其中绝大多数师生认为“这是近似等式”，虽然最后结论是精确等式，却仍有千千万万的人“不服”．又是一个涉及无限观的常识性问题．在今天的中学数学中，也有很多关于有限和无限的数学知识．美籍德国数学家魏尔说：“数学是关于无限的科学．”其中有限的方面叫人感觉具体、形象，便于教师教与学生学；而无限的方面使学生充满想象，让人对数学更多一份理性的思考．有限建立在无限基础之上，无限是有限的延伸．魏尔又指出：无限在数学中占有十分重要的地位，甚至可以说它是整个数学的基础．在新课标教学中，笔者发现从必修1集合中的元素个数比较到必修3新增内容古典概型、几何概型等等，无不体现中学数学的“有限”与“无限”．下文浅谈一些中学数学中的“有限”与“无限”．一、比较两个集合的元素个数人民教育出版社高中数学A版《必修1》第14页（2007年1月第2版，2008年5月浙江第6次印刷）阅读材料——“有限集合中元素的个数，可以一一数出来，而对于元素个数无限的集合，例如：{1,2,,,}A n =,{2,4,,2,}B n =，我们无法数出集合中的元素个数，但可以比较这两个集合的元素个数的多少．你能设计一个比较这两个集合中元素个数多少的方法吗？”笔者不妨再问：“集合B 是集合A 的真子集吗？”我们都知道在有限集中，整体必定大于部分．但是无限集中呢？ 其实，无限集与有限集中的“全部大于部分”是相矛盾的，而这也正是康托尔认为的无限集的特征之一．实际上，康托尔把正整数集的势（元素个数）称之为“阿列夫零”个，计数用的数是无穷大等级中最低一级的无穷数．康托尔把集合的元素个数叫做基数，有限集合的基数是自然数，无限集合的基数叫超限数．康托尔进一步论证了无理数集、实数集是不可数集，但它们之间存在着一一对应关系，也就是说有比自然数集合更大的集合，有更大的超限数．康托尔还发现，任一线段上的点能与全直线上的点，与正方形内的点，与立方体内的点构成一一对应．他甚至证明，一条直线上的点能与n 维空间的点构成一一对应．这与我们关于大小的观念相矛盾，是按数学常识根本无法想象的，康托尔还证明了比实数集合更大的集合．今天，集合论已经成为整个数学的基础，以至于希尔伯特动情地说：“没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中驱逐出去”，“康托尔的超限算数是数学思想的最惊人的产物，是在纯粹理性的范畴中，人类活动最美的表现之一．”为此，有如下定理：（1）两个有限集合等势当且仅当它们有相同的元素个数．（2）有限集合不和其任何真子集等势．（3）无限集合可以和其真子集等势．二、 割圆术，化直为曲刘徽用割圆术证明“半周半径相乘得积步”的圆面积公式时，从内接正六边形（“六觚”）开始割圆，依次得到内接正十二边形（“十二觚”）、正二十四边形（“二十四觚”）、……，“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．这种处理是比较符合直观的．从6边形到12边形、到24边形、……，在这样越来越接近圆面积的趋势中，圆以多边形代替，所失的面积会越来越少，这样他就很自然的会觉得多边形和圆会越来越接近重合．刘徼的割圆术是他成功应用无穷小分割思想和极限思想的光辉典范，架起了通向微积分的桥梁．正是在这种思想的指引下，刘徽与阿基米德已经有了极限的思想．后继者们在他们开辟的道路上继续前进．德国的开普勒发明了“同维无穷小法”求体积，法国的费马研究了切线、极值等问题，而英国的巴罗则引入了微分三角形．这一切为两个划时代人物的到来拉开了帷幕：牛顿和莱布尼茨．两人各自独立地创立了微积分．这种“化直为曲无限化”的数学思想，是学生学习从“有限”到“无限”一种飞跃！也为其学习定积分建立良好的数学思想基础．三、 数式中的有限与无限3.1 （定）积分看看牛顿和莱布尼茨发展的积分，它们均来源于求曲多边形的面积．方法大致为：分割、近似求和、取极限．这里的分割是一种动态无限的过程．在保证最大区间长度趋于零的条件下，分割而成的区间数目趋于无穷．从有限个矩形到无限块和，利用积分可以计算不规则图形面积．例如：求由函数()f x ，直线,,0x a x b y ===所围成的曲边梯形的面积． 步骤如下：将区间[,]a b 分成n 个小区间1[,]i i x x -(1)i n ≤≤，每个区间上任取一点i ξ，以()i f ξ作为矩形的高，求出n 个矩形的面积并求和：11lim lim [()()]()b n n i i i n n i a S S f x x f x dx ξ-→∞→∞===⋅-=∑⎰3.2 数列极限的公式数列极限是极限的重要基础知识，其运算法则只适用于有限个计算．例如：111lim()n n n n n→∞+++个如何计算？按照有限的计算法则，11lim()n n nn →∞++个11lim lim0n n n n n →∞→∞=++=个，显然是不对的！不能用有限个的运算法则来替代无限的运算．此处有限和无限是无法统一于一个运算法则中．数学极限公式中蕴含的无限思想，体现了无限是有限的延伸，但有限到无限是引起“质变”的！3.3 球表面积、体积公式的推导球的表面积、体积公式推导也是一种无线分割思想的运用！如图1所示，)i r i n =≤≤21122()n n i i i i R V V r n π====⋅∑∑322321(1)42lim[()]3n R n n R n n ππ→∞++-=-=．如图2所示，将球分割成n 份三棱锥，其体积11111333nn i i i i V S R R S R S ===⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅∑∑，由上述球的体积公式，得：24S Rπ=． 3.4 结合律和分配律的使用大家都知道()()a b c a b c ++=++，这在有限相加的世界里似乎没什么问题．然而在无限相加的世界里，若把这种结合律再看成是正确的，那你就会铸成大错！不妨看下式如何计算：图2图11(1)1(1)1z=+-++-++，如果你认为数的加法可以任意结合，那么z=+-++=+1[(1)1]10++=，好像不错吧！注意到还可以这样用结合律：01，也没有问题吧！这时推出的结论z=+-++-+=++[1(1)][1(1)]0z==就有大问题了！原因何在呢？01解释并不困难：结合律和分配律并不像人们通常认为的那样永远正确，它们在有限数学中的确是正确的，但在无限数学中就不是没有任何条件的正确无误．所以说，有限到无限毕竟是引起了“质变”！四、切线：割线的极限位置中学阶段对切线的认识，是逐步深入的．平面几何中，直线和圆与一个交点叫做相切；而在后来的圆锥曲线中，双曲线学习时便会出现新的问题，而在微分学中所研究的曲线不都是二次曲线，切线与曲线的交点不止一个，因此不能用交点个数来定义，而是用割线的极限位置来定义曲线的切线．如图3所示，直线与圆相切的情形在同学们的大脑中已根深蒂固，受此负迁移的影响，不少学生对切线问题产生错误的想法，导致错解时常发生，因此要加强概念性知识的理解．于是，割线“无限化”之后，才有了较为科学的切图3线定义，避开从交点的个数来定义，方便得解决了切线的概念问题．五、古典概型与几何概型中的概率加法公式大家知道，必修3中的古典概型是一种离散型的等可能性概型，而几何概型是一种连续性的等可能性概型．恰恰因为正是这种“离散”到“连续”，也就是“有限”到“无限”，使得学生学习概率加法公式有很大的难度．概率加法公式：()()()1P A B P A P B +=+=如图4，古典概型中，概率加法公式体现事件A 、B 必定是一对互斥事件，这是离散、有限决定的，也是学生易理解的；如图5，我们也可以看到其实概率加法公式体现的事件A 、B 就不一定是互斥事件，这是连续、无限所凸显的．如图5所示，譬如：在区间[0,2]内投点，记落在区间[0,1]内为事件A ，落在区间[1,2]内为事件B ，显然概率论加法公式()()()1P A B P A P B +=+=在几何概型中也是成立的，事件A 、B 不互斥！另一方面，有限的古典概型和无限的几何概型又是相容相通的． 问题：甲、乙、丙三人相约7点到8点之间在某处会面，一起乘车去游玩，已知该车站每隔30分钟有一班车，发车时间为7点30，8点，若3人约定在车站就乘，求3人乘同一班车的概率．分析：设甲、乙、丙三人分别在7点到8点之间的x 分、y 分、z 分到达，则所有可能的结果表示的区域为棱长60的正方体．记事件A 表示三人乘同一班车，要使得事件A 发生，只需三人同一个30分钟内达到即可．解法（1）：事件A 表示的可能结果（如图6所示）： AB 图 4 图50303060(,,)03030600303060x x A x y z y or y z z ⎧≤≤<≤⎫⎧⎧⎪⎪⎪⎪=≤≤<≤⎨⎨⎨⎬⎪⎪⎪⎪≤≤<≤⎩⎩⎩⎭，表示的空间区域为2个棱长为30的正方体，由几何概型的公式可得：332301()604A V P A V Ω⨯===．解法（2）：因为三人乘坐哪一班车是随机的，且等可能的，若以三人的一种乘车方式作为一个基本事件，则基本事件的总数为2228⨯⨯=种，而三人同乘一班车包含2个基本事件，因此概率为2184=．古典概型与几何概型的本质是对于基本事件个数有限还是无限的一种区分，有些问题中，不同角度理解基本事件，“有限”、“无限”的问题还能相互转化．六、 希尔伯特旅馆有一个故事据说出自杰出的数学家大卫.希尔伯特之口，上述引语就是他说的．一天夜里已经很晚了，一个人走进一家旅馆想要一个房阿．店主回答说：“对不起，我们没有任何空房间了，但是让我们看一看，或许我最终能为您找到一个房间．”然后店主离开了他的桌子，很不情愿地叫醒了他的房客，并且请他们换一换房间：1号房间图6的房客搬到了2号房间，2号房间的房客搬到了3号房间……以此类推，直到每一位房客都从一个房间搬到了下一个房间为止．令这位迟来者感到十分吃惊的是，i号房间竟然被腾了出来．他很高兴地搬了进去，然后安顿下来过夜．但是，一个百思不得其解的问题使他无法入睡：为什么仅仅通过让房客从一个房间搬到另一个房间，第一个房间就能腾出来呢?（要知道，他来时所有的房间都住人了）这所旅馆一定是希尔伯特的旅馆，它是城里一个据认为无数个房间的旅馆！这是一个关于无限的趣味故事，从这里也让学生深深知道：从“有限”到“无限”是很容易产生质变的！也让教师的教与学更上层楼！七、中学生“有限”、“无限”教育观念的认识在我国中学的课程设置中，数学作为一门主课，被赋予大量的课时．但是在数学教学中，过于注重按部就班地讲述教科书现有的数学定义和数学命题，介绍各种计算题和证明题的解题方法，让学生做大量的习题，却忽视了与数学有关的一些根本性问题的说明和讨论，特别是有关数学基础和数学哲学的问题．在数学上有限与无限是相互联系的．无限是由有限构成的．无限又要通过有限来表现，加以掌握．例如，自然数集是无限的，但它是由无数个具体的有限数组成的；周期函数的图像长度是无限的，但刻画它的最小正周期却是有限的；直线的长度是无限的，而线段作为构成直线的部分，其长度却是有限的；向量空间所含向量个数是无限的，而表达该向量空间的基底（向量）个数却是有限的；数学归纳法表达的是关于无限的推理过程，而它的证明步骤却只有两步．反之，有限中存在着无限．例如，0到1的单位线段上就有无限多个有理数点，也有无限多个无理数点．在“整除”关系中，约数是有限的，而倍数的个数是无限的；有理数、无理数值都是有限数，而它们的级数表达式既体现了无穷小，又体现了无穷多．总之在中学数学教学中，应向学生普及一些与数学基础和数学哲学有关的知识，破除数学确定性的神性观念，重建数学批判的人文观念．也许这样会使中学生更喜欢数学，更能深刻认识像“无限”这一类涉及数学基础和数学哲学等概念的博大内涵．参考文献：[1]叶飞.再谈对中学生数学“无限”观念的教育.数学教育学报[J].2007,11[2]王仲英.郝样晖.数学中的有限与无限.高等数学研究[J].2007,1[3]杨之.王雪芹.无限性与数学教育.中学数学月刊[J].2006,7[4]林革.趣谈数学中的有限与无限.数学通讯[J].2001,7[5]刘薇.对一个课本问题的思考.中学数学杂志[J].2009,3。

初中数学思想方法有哪些数学作为一门重要学科，对于初中生来说是一个必修课程。

在学习数学的过程中，除了掌握基本的知识和技能外，更重要的是培养学生的数学思维和方法。

那么，初中数学思想方法有哪些呢？接下来，我们将从几个方面进行探讨。

首先，数学思想方法包括逻辑思维。

数学是一门严谨的学科，逻辑思维是数学学习的基础。

在解决数学问题时，学生需要运用逻辑思维，按部就班地分析问题，找出问题的关键点，合理推理，得出正确的结论。

通过数学问题的解决，学生可以培养自己的逻辑思维能力，提高问题分析和解决问题的能力。

其次，数学思想方法还包括抽象思维。

数学是一门抽象的学科，很多数学问题都需要通过抽象思维来解决。

学生需要具备将具体问题抽象为数学问题的能力，通过数学符号和公式来描述和解决实际问题。

抽象思维能力的培养不仅可以提高学生的数学学习能力，还可以培养学生的创新能力和问题解决能力。

另外，数学思想方法还包括直观思维。

有些数学问题需要通过图形和图像来解决，这就需要学生具备一定的直观思维能力。

通过观察和分析图形，学生可以更好地理解和解决数学问题，培养自己的直观思维能力，提高解决实际问题的能力。

最后，数学思想方法还包括创造性思维。

数学是一门富有创造性的学科，学生在学习数学的过程中需要培养自己的创造性思维能力。

在解决数学问题时，学生可以通过不同的方法和思路来解决问题，培养自己的创造性思维能力，提高自己的数学学习能力。

综上所述，初中数学思想方法包括逻辑思维、抽象思维、直观思维和创造性思维。

这些思维方法不仅可以帮助学生更好地学习和理解数学知识，还可以培养学生的创新能力和问题解决能力。

因此，学生在学习数学的过程中，应该注重培养自己的数学思想方法，不断提高自己的数学学习能力。

一、用字母表示数的思想，这是基本的数学思想之一在代数第一册第一章“代数初步知识”中，主要体现了这种思想。

例如：设甲数为a，乙数为b，用代数式表示：（1）甲乙两数的和的2倍：2（a+b）(2)甲数的1/3与乙数的1/2差：1/3a-1/2b二、数形结合的思想“数形结合”是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。

实中数学教材中下列内容体现了这种思想。

1、数轴上的点与实数的一一对应的关系。

2、平面上的点与有序实数对的一一对应的关系。

3、函数式与图像之间的关系。

4、线段（角）的和、差、倍、分等问题，充分利用数来反映形。

5、解三角形，求角度和边长，引入了三角函数，这是用代数方法解决何问题。

6、“圆”这一章中，贺的定义，点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等都是化为数量关系来处理的。

7、统计初步中统计的第二种方法是绘制统计图表，用这些图表的反映数据的分情况，发展趋势等。

实际上就是通过“形”来反映数据扮布情况，发展趋势等。

实际上就是通过“形”来反映数的特征，这是数形结合思想在实际中的直接应用。

三、转化思想在整个初中数学中，转化（化归）思想一直贯穿其中。

转化思想是把一个未知（待解决）的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决，它是数学基本思想方法之一。

下列内容体现了这种思想：1、分式方程的求解是分式方程转化为前面学过的一元二次方程求解，这里把待解决的新问题化为已解决的问题来求解，体现了转化思想。

2、解直角三角形；把非直角三形问题化为直角三角形问题；把实际问题转化为数学问题。

3、“圆”这一章中，证明圆周角定理进所做的分析：证明弦切角定理的思路：求两圆的切线长的问题。

这些转化都是通过辅助线来完成的。

4、把三角形或多边形中的某种线段或面积问题化为相似比问题来解决。

四、分类思想集合的分类，有理数的分类、整式的分类、实数的分类、角的分类，三角形的分类、四边形的分类、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关生活经验等都是通过分类讨论的。