2020年春四川省泸县第五中学高三下期第二学月考试文科数学及答案

2020年高考（文科）数学二诊试卷一、选择题1．集合A＝{x|x﹣2≤0}，B＝N，则A∩B＝（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1}D．{0，1，2}2．i为虚数单位，则2i31−i的虚部为（）A．﹣i B．i C．﹣1D．1 3．两名男生、一名女生站成一排，其中两名男生刚好相邻的概率为（）A．13B．23C．14D．124．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用2×2列联表，由计算得K2≈7.218，参照如表：P（K2≥k0）0.010.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828得到正确结论是（）A．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”5．已知tanα=12，则cos2α的值为（）A．−15B．−35C．35D．456．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委菽依垣内角，下周三丈、高七尺、问积及为菽几何？“其意思为：“现将大豆在屋内靠墙堆成半圆锥形，底面半圆的弧长为3丈，高7尺、问这堆大豆的体积和堆放的大豆各为多少？”已知1丈等于10尺，1斛大豆的体积约为2.43立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的大豆有（）A．44斛B．144斛C．288斛D．388斛7．函数f（x）＝x3﹣x2+x的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．28．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）A ．﹣6B ．3C ．15D ．109．已知函数f （x ）＝A sin （2x −π3）（A ≠0），若函数f （x ﹣m ）（m ＞0）是偶函数、则实数m 的最小值是（ ） A ．π12B ．π6C ．7π12D ．2π310．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的短轴长为2，焦距为2√3，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，若点P 为C 上的任意一点，则1|PF 1|+1|PF 2|的取值范围为（ ）A ．[1，2]B ．[√2，√3]C ．[√2，4]D ．[1，4]11．若一个正三棱柱的主视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．16π3B ．19π3C ．19π12D ．4π312．过双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）左焦点F 的直线l 交C 的左支于A ，B 两点，直线AO （O 是坐标原点）交C 的右支于点D ，若DF ⊥AB ，且|BF |＝|DF |，则C 的离心率是（ ） A ．√52B ．2C ．√5D ．√102二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13．已知直线l ：x +m 2y ＝0与直线n ：x +y +m ＝0，若l ∥n ，则m 的值为 ．14．若x ，y 满足约束条件{x −y ≥02x +y −6≤0x +y −2≥0，则z ＝3x +2y 的最小值是 ．15．设函数y ＝f （x ）的图象与y ＝2x +a 的图象关于直线y ＝﹣x 对称，且f （﹣4）＝1，则a ＝ ．16．在△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c 2＝a 2+b 2﹣ab ，sin A +sin B ＝2√6sin A sin B ，若c ＝3，则a +b 的值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足2S n +a n ＝l （n ∈N*）． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）等差数列{b n }中，b 1＝3a 1，b 2＝2，求数列{a n +b n }的前n 项和T n ．18．三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，AB ＝AA 1＝A 1B ＝4，BC ＝2，AC ＝2√3，点F 为AB 的中点，点E 为线段A 1C 1上的动点． （Ⅰ）求证：BC ⊥平面A 1EF ；（Ⅱ）若∠B 1EC 1＝60°，求四面体A 1B 1EF 的体积．19．某公司为抓住经济发展的契机，调查了解了近几年广告投入对销售收益的影响，在若干销售地区分别投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；并估计该公司分别投入4万元广告费用之后，对应地区销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）； （Ⅱ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到如表：广告投入x （单位：万元） 1 2 3 4 5 销售收益y （单位：万元）2327由表中的数据显示，x 与y 之间存在着线性相关关系，请将（Ⅰ）的结果填入空白栏，根据表格中数据求出y 关于x 的回归真线方程y =b x +a ，并估计该公司下一年投入广告费多少万元时，可使得销售收益达到8万元？ 参考公式：最小二乘法估计分别为b =∑ n i=1x i y i −nxy →∑ ni=1x i 2−n x−2=∑ n i=1(x i −x →)(y i −y →)∑ ni=1(x i −x →)2，a =y →−b x →．20．抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点P 在C 上，若PF ⊥x 轴，且△POF （O 为坐标原点）的面积为1． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若C 上的两动点A ，B （A ，B 在x 轴异侧）满足OA →•OB →=32，且|FA |+|FB |＝|AB |+2，求|AB |的值． 21．已知函数f （x ）=sinxx，g （x ）＝（x ﹣l ）m ﹣2lnx ． （Ⅰ）求证：当x ∈（0，π]时，f （x ）＜1；（Ⅱ）求证：当m ＞2时，对任意x 0∈（0，π]，存在x 1∈（0，π]和x 2∈（0，π]（x 1≠x 2）使g （x 1）＝g （x 2）＝f （x 0）成立．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2cosαy =2+2sinα（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足OP →=2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2 （Ⅰ）求C 2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=π3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x+1|+|x+3|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜6；（Ⅱ）若a，b，c均为正数，且f（a）+f（b）+c＝10，求a2+b2+c2的最小值．参考答案一、选择题：共有12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．集合A＝{x|x﹣2≤0}，B＝N，则A∩B＝（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1}D．{0，1，2}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x≤2}，B＝N，∴A∩B＝{0，1，2}．故选：D．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．i为虚数单位，则2i31−i的虚部为（）A．﹣i B．i C．﹣1D．1【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵2i31−i=−2i1−i=−2i(1+i)(1−i)(1+i)=1−i，∴2i31−i的虚部为﹣1．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．两名男生、一名女生站成一排，其中两名男生刚好相邻的概率为（）A．13B．23C．14D．12【分析】基本事件总数n=A33=6，其中两名男生刚好相邻包含的基本事件个数m= A22A22=4，由此能求出其中两名男生刚好相邻的概率．解：两名男生、一名女生站成一排，基本事件总数n=A33=6，其中两名男生刚好相邻包含的基本事件个数m=A22A22=4，∴其中两名男生刚好相邻的概率p=mn=46=23．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用2×2列联表，由计算得K2≈7.218，参照如表：P（K2≥k0）0.010.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828得到正确结论是（）A．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”【分析】利用已知概率对照表，在K2大于对应值是认为相关，在小于对应值时不认为相关．解：K2≈7.218＞6.635，对应的P（K2≥k0）为0.010，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选：B．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，考查判断相关性，是基础题目．5．已知tanα=12，则cos2α的值为（）A．−15B．−35C．35D．45【分析】利用余弦的二倍角公式可求得cos2α＝cos2α﹣sin2α，进而利用同角三角基本关系，使其除以sin2α+cos2α，分子分母同时除以cos a，转化成正切，然后把tanα的值代入即可．解：cos2α=cos2α−sin2α=cos 2α−sin2αcos2α+sin2α=1−tan2α1+tan2α=35，故选：C．【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦函数的公式．解题的关键是利用同角三角函数中的平方关系，完成了弦切的互化．6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委菽依垣内角，下周三丈、高七尺、问积及为菽几何？“其意思为：“现将大豆在屋内靠墙堆成半圆锥形，底面半圆的弧长为3丈，高7尺、问这堆大豆的体积和堆放的大豆各为多少？”已知1丈等于10尺，1斛大豆的体积约为2.43立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的大豆有（ ） A ．44斛B ．144斛C ．288斛D ．388斛【分析】先求出圆的半径，再利用圆锥的体积计算公式即可得出． 解：3丈＝30尺， 30＝3×R ，解得R ＝10． 由题意可得：12×13×3×102×7×12.43≈144斛．故选：B ．【点评】本题考查了圆锥的体积计算公式，考查考生的计算能力，属于基础题． 7．函数f （x ）＝x 3﹣x 2+x 的图象在点（1，f （1））处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．2【分析】先求出切点处的导数值，然后求出切线方程，再令切线中的x ＝0，即可得到切线的纵截距．解：f ′（x ）＝3x 2﹣2x +1， ∴f （1）＝1，f ′（1）＝2， ∴切线l 的方程为y ﹣1＝2（x ﹣1）， 令x ＝0得y ＝﹣1，即切线的纵截距为﹣1． 故选：A ．【点评】本题考查利用导数求切线方程的方法，注意抓住切点满足的两个条件入手．属于基础题．8．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）A．﹣6B．3C．15D．10【分析】根据题意一步一步进行运算，直到跳出循环．解：i＝1，S＝0，S＝0﹣1＝﹣1，i＝2；S＝﹣1+4＝3，i＝3；S＝3﹣9＝﹣6，i＝4；S＝﹣6+16＝10，i＝5；跳出循环，故选：D．【点评】本题考查程序框图，考查了推理能力，属于基础题．9．已知函数f（x）＝A sin（2x−π3）（A≠0），若函数f（x﹣m）（m＞0）是偶函数、则实数m的最小值是（）A．π12B．π6C．7π12D．2π3【分析】由题意利用三角函数的奇偶性以及图象的对称性，求得m的最小值．解：∵函数f（x）＝A sin（2x−π3）（A≠0），若函数f（x﹣m）＝A sin（2x﹣2m−π3）（m＞0）是偶函数，则2m+π3最小为π2，则实数m的最小值为π12，故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性以及图象的对称性，属于基础题． 10．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的短轴长为2，焦距为2√3，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，若点P 为C 上的任意一点，则1|PF 1|+1|PF 2|的取值范围为（ ）A ．[1，2]B ．[√2，√3]C ．[√2，4]D ．[1，4]【分析】根据条件得到a ，b ，c 的值，从而得出|PF 1|的范围，得到1|PF 1|+1|PF 2|关于|PF 1|的函数，从而求出答案．解：根据条件可得b ＝1，c =√3，故a ＝2， 则根据椭圆定义可知|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝4 所以1|PF 1|+1|PF 2|=4|PF 1||PF 2|=4|PF 1|(4−|PF 1|)，因为2−√3≤|PF 1|≤2+√3，|PF 1|（4﹣|PF 1|）＝﹣（|PF 1|﹣2）2+4， ∴1≤|PF 1|（4﹣|PF 1|）≤4． ∴1≤4|PF 1|(4−|PF 1|)≤4．故选：D ．【点评】本题考查了椭圆的性质，函数最值的计算，属于中档题．11．若一个正三棱柱的主视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．16π3B ．19π3C ．19π12D ．4π3【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体的结构特征是什么，求出球的表面积即可． 解：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为边长等于2的正三角形，高为1的正三棱柱，则底面外接圆半径r =2√33，球心到底面的球心距d =12所以球半径R 2=(2√33)2+(12)2=1912所以该球的表面积S ＝4πR 2=19π3， 故选：B ．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，是基础题目．12．过双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）左焦点F 的直线l 交C 的左支于A ，B 两点，直线AO （O 是坐标原点）交C 的右支于点D ，若DF ⊥AB ，且|BF |＝|DF |，则C 的离心率是（ ） A ．√52B ．2C ．√5D ．√102【分析】取右焦点F '，由双曲线的定义设|AF |＝x ，则|AF '|＝2a +x ，再由双曲线的对称性，则|DF '|＝x ，|DF |＝|AF '|＝2a +x ，而|BF |＝|DF |，所以|BF |＝2a +x ，|AB |＝2a +2x ，有直角三角形中求出a ，c 的关系求出离心率．解：取右焦点F '，设|AF |＝x ，则|AF '|＝2a +x ，由题意可得DF '∥AF ，所以DF '⊥DF ， 所以|DF '|＝x ，|DF |＝|AF '|＝2a +x ，而|BF |＝|DF |，所以|BF |＝2a +x ，|AB |＝2a +2x ， 进而可得|BF '|＝2a +x +2a ＝4a +x ，在直角三角形BAF '中，|BF '|2＝|AB |2+|AF '|2， 所以（x +4a ）2＝（2x +2a ）2+（x +2a ）2，解得x ＝a ， 所以|AF |＝|DF '|＝a ，|DF |＝3a ，|FF '|＝2c ，在三角形DFF '中a 2+（3a ）2＝（2c ）2，所以可得：e 2＝（ca）2=52，所以e =√102，故选：D ．【点评】本题考查双曲线的性质，及直角三角形的边长的关系，属于中档题． 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13．已知直线l ：x +m 2y ＝0与直线n ：x +y +m ＝0，若l ∥n ，则m 的值为 ±1 ． 【分析】由m 2﹣1＝0，解得m ，经过验证即可得出． 解：由m 2﹣1＝0，解得m ＝±1， 经过验证都满足l ∥n ， 则m ＝±1． 故答案为：±1．【点评】本题考查了两条直线平行与斜率之间的关系．考查考生的计算能力，属于基础题．14．若x ，y 满足约束条件{x −y ≥02x +y −6≤0x +y −2≥0，则z ＝3x +2y 的最小值是 5 ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可． 解：由z ＝3x +2y 得y =−32x +z2，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y =−32x +z 2由图象可知当直线y =−32x +z 2经过点A 时，直线y =−32x +z 2的截距最小，此时z 也最小，将A （1，1）代入目标函数z ＝3x +2y ， 得z ＝5． 故答案为：5．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．15．设函数y ＝f （x ）的图象与y ＝2x +a 的图象关于直线y ＝﹣x 对称，且f （﹣4）＝1，则a ＝ 3 ．【分析】在函数y ＝f （x ）的图象上取点（x ，y ），则关于直线y ＝﹣x 对称点为（﹣y ，﹣x ），代入y ＝2x +a ，可得答案．解：因为函数y ＝f （x ）的图象与y ＝2x +a 的图象关于直线y ＝﹣x 对称，且f （﹣4）＝1； 故（﹣1，4）在y ＝2x +a 的图象上， 故有：4＝2﹣1+a ⇒a ＝3； 故答案为：3．【点评】本题考查函数的解析式，考查图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．在△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c2＝a2+b2﹣ab，sin A+sin B＝2√6sin A sin B，若c＝3，则a+b的值为3√2．【分析】由a2+b2﹣c2＝ab，及余弦定理，可求cos C，结合范围C∈（0，π），可求C=π3，利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知可求（a+b）c＝3√2ab，代入c＝3，可得：a+b=√2ab，进而可求2（ab）2﹣3ab﹣9＝0，解得ab的值，从而可求a+b的值．解：由c2＝a2+b2﹣ab及余弦定理，可得：cos C=a2+b 2−c22ab =ab2ab=12，又C∈（0，π），所以C=π3，由sin A+sin B＝2√6sin A sin B，可得：（sin A+sin B）sin C＝2√6sin C sin A sin B，可得：（sin A+sin B）sin C＝2√6sin π3sin A sin B，可得：（sin A+sin B）sin C＝3√2sin A sin B，结合正弦定理，可得：（a+b）c＝3√2ab，代入c＝3，可得：a+b=√2ab，再结合a2+b2﹣c2＝ab，可得：（a+b）2﹣2ab﹣32＝ab，可得：（a+b）2﹣3ab﹣9＝0，可得：（√2ab）2﹣3ab﹣9＝0，可得：2（ab）2﹣3ab﹣9＝0，可得：（2ab+3）（ab﹣3）＝0，解得：ab=−32（舍去）或ab＝3．可得：a+b＝3√2．故答案为：3√2．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足2S n+a n＝l（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）等差数列{b n}中，b1＝3a1，b2＝2，求数列{a n+b n}的前n项和T n．【分析】（1）先由数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 的关系式求出相邻项之间的关系，判断出数列{a n }的类型，再求出通项公式；（2）先由题设条件求出b n ，再结合（1）中的a n 求出a n +b n ，最后求出T n ． 解：（1）当n ＝1时有2S 1+a 1＝1＝3a 1，解得a 1=13．又∵2S n +a n ＝l （n ∈N*）①， ∴2S n +1+a n +1＝1 ②．由②﹣①可得：2（S n +1﹣S n ）+a n +1﹣a n ＝0＝2a n +1+a n +1﹣a n 即a n +1=13a n ，所以数列{a n }是以13为首项，以13为公比的等比数列．∴a n ＝（13）n ．（2）∵等差数列{b n }中，b 1＝3a 1＝1，b 2＝2，∴b n ＝n ，a n +b n ＝（13）n +n ．∴T n ＝[13+(13)2+(13)3+⋯+(13)n]+（1+2+3+…n ）=13[1−(13)n ]1−13+n(1+n)2=1−3−n2+n(n+1)2． 【点评】本题考查等比数列的定义及通项公式和数列求和中的分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，AB ＝AA 1＝A 1B ＝4，BC ＝2，AC ＝2√3，点F 为AB 的中点，点E 为线段A 1C 1上的动点． （Ⅰ）求证：BC ⊥平面A 1EF ；（Ⅱ）若∠B 1EC 1＝60°，求四面体A 1B 1EF 的体积．【分析】（I ）利用等边三角形的性质可得：A 1F ⊥AB ．利用线面、面面垂直的判定定理与性质定理可得：A 1F ⊥BC ．利用勾股定理的逆定理可得：BC ⊥AC ．进而证明结论． （Ⅱ）利用直角三角形的边角关系可得：EC 1=2tan60°，A 1E ．由（I ）可得：A 1F ⊥底面A1B1C1，A1F⊥A1E，A1F＝2√3．可得△A1EF的面积S．由（I）可得：BC⊥平面A1EF，可得B1C1⊥平面A1EF，即可得出四面体A1B1EF的体积．【解答】（I）证明：∵AB＝AA1＝A1B，点F为AB的中点，∴A1F⊥AB，∵平面AA1B1B ⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，∴A1F⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1F⊥BC．∵AB＝4，BC＝2，AC＝2√3，∴AB2＝BC2+AC2，∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AC．∵AC∥A1C1，∴BC⊥A1C1，又A1F∩A1E＝A1，∴BC⊥平面A1EF；（Ⅱ）解：∵∠B1EC1＝60°，∴EC1=2tan60°=2√33，∴A1E＝2√3−2√33=4√33．由（I）可得：A1F⊥底面A1B1C1，∴A1F⊥A1E，A1F＝2√3．∴△A1EF的面积S=12×2√3×4√33=4．由（I）可得：BC⊥平面A1EF，∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥平面A1EF，∴四面体A1B1EF的体积=13×S•B1C1=13×4×2=83．【点评】本题考查了线面、面面垂直的判定定理与性质定理、等边三角形与直角三角形的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．某公司为抓住经济发展的契机，调查了解了近几年广告投入对销售收益的影响，在若干销售地区分别投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；并估计该公司分别投入4万元广告费用之后，对应地区销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（Ⅱ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到如表：广告投入x（单位：万元）12345销售收益y（单位：万元）2327由表中的数据显示，x与y之间存在着线性相关关系，请将（Ⅰ）的结果填入空白栏，根据表格中数据求出y关于x的回归真线方程y=b x+a，并估计该公司下一年投入广告费多少万元时，可使得销售收益达到8万元？参考公式：最小二乘法估计分别为b=∑n i=1x i y i−nxy→∑n i=1x i2−n x−2=∑ni=1(x i−x→)(y i−y→)∑n i=1(x i−x→)2，a=y→−b x→．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图各个小长方形的面积总和为1，建立方程，即可求得结论．利用组中值，求出对应销售收益的平均值；（Ⅱ）利用公式求出a，b即可计算y关于x的回归方程．解：（Ⅰ）设长方形的宽度为m，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知（0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02）m＝1，所以m＝2．小组依次是[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12），其中点分别为1，3，5，7，9.11对应的频率分别为0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04．故可估计平均值为1×0.16+3×0.20+5×028+7×0.24+9×0.08+11×0.04＝5．（Ⅱ）空白栏中填5．由题意可知，x=3，y=3.8∑5i=1x i y i=69，∑5i=1x i2=55，所以b=69−5×3×3.855−5×32=1.2，a=y−b x=3.8﹣1.2×3＝0.2．所以关于x的回归方程为y＝1.2x+0.2．【点评】本题考查频率分布直方图、线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是看出这组变量是线性相关的，进而正确运算求出线性回归方程的系数，属于中档题． 20．抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点P 在C 上，若PF ⊥x 轴，且△POF （O 为坐标原点）的面积为1． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若C 上的两动点A ，B （A ，B 在x 轴异侧）满足OA →•OB →=32，且|FA |+|FB |＝|AB |+2，求|AB |的值．【分析】（Ⅰ）先解出P 点坐标，再表示△POF 面积为12×p 2×p =1，解得p ，进而得出抛物线方程．（Ⅱ）设直线AB 方程为x ＝my +n ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立抛物线方程，消元x ，可得含y 的一元二次方程，由韦达定理可得y 1+y 2，y 1y 2，|AB |=√1+m 2√4m 2+8n ①，因为|FA |+|FB |＝|AB |+2，得x 1+x 2＝|AB |，2m 2+2n ＝|AB |②由①②得2m 2+2n =√1+m 2√4m 2+8n ，根据OA →•OB →=32，所以y 124y 224+y 1y 2＝32，n 2﹣8n ﹣128＝0，进而得出答案．解：（Ⅰ）由题知P 点的横坐标为p2，代入抛物线方程得，y 2＝2p ×p2，解得y ＝p 或﹣p ， 所以P （p2，﹣p ）或（p2，p ），△POF 面积为12×p 2×p =1，解得p ＝2，所以抛物线C 方程为y 2＝4x ． S △OFP =12×p2×p =p 24（Ⅱ）设直线AB 方程为x ＝my +n ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 联立抛物线方程得y 2﹣2my ﹣2n ＝0， y 1+y 2＝2m ，y 1y 2＝﹣2n ，|AB |=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+m 2√4m 2+8n ① 因为|FA |+|FB |＝|AB |+2， 所以x 1+1+x 2+1＝|AB |+2 即x 1+x 2＝|AB |， my 1+n +my 2+n ＝|AB |m （y 1+y 2）+2n ＝|AB | 2m 2+2n ＝|AB |②由①②得2m 2+2n =√1+m 2√4m 2+8n ， 化简得m 2＝n 2﹣2n ，因为OA →•OB →=32，所以x 1x 2+y 1y 2＝32 所以y 124y 224+y 1y 2＝32，（y 1y 2）2+16y 1y 2﹣16×32＝0（﹣2n ）2+16（﹣2n ）﹣16×32＝0， n 2﹣8n ﹣128＝0， 解得n ＝﹣8（舍）或16，所以|AB |＝2m 2+2n ＝2（n 2﹣2n ）+2n ＝2n 2﹣2n ＝480．【点评】本题考查抛物线方程，向量在圆锥曲线的应用，直线与抛物线相交，属于中档题．21．已知函数f （x ）=sinxx，g （x ）＝（x ﹣l ）m ﹣2lnx ． （Ⅰ）求证：当x ∈（0，π]时，f （x ）＜1；（Ⅱ）求证：当m ＞2时，对任意x 0∈（0，π]，存在x 1∈（0，π]和x 2∈（0，π]（x 1≠x 2）使g （x 1）＝g （x 2）＝f （x 0）成立．【分析】（Ⅰ）对函数求导数，研究单调性求出最大值小于1即可；（Ⅱ）只需要求出f （x ）在（0，π]上的值域，然后研究g （x ）的单调性是先增后减或先减后增，同时说明每一段上的函数值范围都包含f （x ）的值域即可． 解：（Ⅰ）f′(x)=xcosx−sinxx 2，令h （x ）＝x cos x ﹣sin x ，∵h ′（x ）＝﹣x sin x ＜0， ∴h （x ）在（0，π]上递减，且h （0）＝0，故x ∈（0，π]时f ′（x ）＜0，f （x ）递减． 又limx→0sinx x =lim x→0cosx1=1，∴x ∈（0，π]时，f （x ）＜1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）在（0，π]上递减，且f （x ）＜1；又f （π）＝0，故f （x ）的值域为[0，1）． 又因为g ′（x ）=m −2x=mx−2x ，x ∈（0，π]，m ＞2． 令g′(x)=0得x =2m∈（0，1）．显然y ＝mx ﹣2是增函数．∴x ∈(0，2m )时，g ′（x ）＜0，g （x ）递减；x ∈(2m ，π)，g ′（x ）＞0，g （x ）递增．此时g （x ）min =g(2m)=(2m −1)m −2ln 2m，（m ＞2）． 将上式化简并令r （m ）＝2lnm ﹣m +2﹣2ln 2，m ＞2． ∵r′(m)=2−mm＜0，∴r （m ）在（2，+∞）上递减． 所以r （m ）＜r （2）＝0，故g （x ）min ＜0．显然当x →0时，g （x ）→+∞，即当x ∈(0，2m )时，g （x ）递减，且函数值取值集合包含f （x ）的值域[0，1）；而g （π）＝（π﹣1）m ﹣2ln π＞2（π﹣1）﹣2ln π＝2（π﹣1﹣ln π）＞2（3﹣1﹣ln π），∵lnπ＜lne 32=32，∴g(π)＞2×12=1，即当x ∈(2m ，π)时，g （x ）递增，且函数值取值集合包含f （x ）的值域[0，1）．所以当m ＞2时，对任意x 0∈（0，π]，存在x 1∈（0，π]和x 2∈（0，π]（x 1≠x 2）使g （x 1）＝g （x 2）＝f （x 0）成立．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值等问题．考查了学生运用数学思想方法（转化与化归、数形结合、函数与方程分类讨论）解决问题的能力．同时考查了学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养．属于较难的题目． 一、选择题22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2cosαy =2+2sinα（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足OP →=2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2 （Ⅰ）求C 2的方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |．【分析】（I ）先设出点P 的坐标，然后根据点P 满足的条件代入曲线C 1的方程即可求出曲线C 2的方程；（II ）根据（I ）将求出曲线C 1的极坐标方程，分别求出射线θ=π3与C 1的交点A 的极径为ρ1，以及射线θ=π3与C 2的交点B 的极径为ρ2，最后根据|AB |＝|ρ2﹣ρ1|求出所求． 解：（I ）设P （x ，y ），则由条件知M （x2，y2）．由于M 点在C 1上，所以{x2=2cosαy 2=2+2sinα即{x =4cosαy =4+4sinα 从而C 2的参数方程为 {x =4cosαy =4+4sinα（α为参数） （Ⅱ）曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ． 射线θ=π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ=π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3． 所以|AB |＝|ρ2﹣ρ1|=2√3．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知f （x ）＝|x +1|+|x +3|． （Ⅰ）解不等式f （x ）＜6；（Ⅱ）若a ，b ，c 均为正数，且f （a ）+f （b ）+c ＝10，求a 2+b 2+c 2的最小值． 【分析】（Ⅰ）由绝对值的意义，对x 讨论，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（Ⅱ）求得2a +2b +c ＝2，结合柯西不等式，计算可得所求最小值． 解：（Ⅰ）解不等式f （x ）＜6即|x +1|+||x +3|＜6，等价为 {x ≥−1x +1+x +3＜6或{−3＜x ＜−1−x −1+x +3＜6或{x ≤−3−x −1−x −3＜6， 解得﹣1≤x ＜1或﹣3＜x ＜﹣1或﹣5＜x ≤﹣3， 则原不等式的解集为（﹣5，1）；（Ⅱ）若a ，b ，c 均为正数，且f （a ）+f （b ）+c ＝10， 即为a +1+a +3+（b +1+b +3）+c ＝10，化为2a +2b +c ＝2，由柯西不等式可得（a 2+b 2+c 2）（22+22+12）≥（2a +2b +c ）2，49．化为a 2+b 2+c 2≥49，当且仅当a ＝b ＝2c =49取得等号， 则a 2+b 2+c 2的最小值为【点评】本题考查绝对值不等式的解法，以及柯西不等式的运用：求最值，考查分类讨论思想和转化思想，以及化简运算能力，属于中档题．。

绝密★启用前2019-2020学年四川省泸县第五中学高一下学期第二次月考数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．sin 34sin 26cos34cos 26-的值是（）A ．12B ．3 C ．12-D ．3-答案C分析：先根据两角和余弦公式化简，再根据特殊角余弦值求结果.详解：因为sin34sin26cos34cos26-01cos(3426)cos602=-+=-=-, 所以选C.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”； (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等 2．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（）A ．AB DC = B ．AD AB AC += C ．AB AD BD -= D ．0AD CB +=答案C根据向量的定义及运算法则一一分析选项正误即可.解：在平行四边形ABCD 中,显然有AB DC =,0AD CB +=,故A,D 正确; 根据向量的平行四边形法则,可知AD AB AC +=,故B 正确;根据向量的三角形法,AB AD DB-=,故C错误;故选:C.点评：本题考查平面向量的基本定义和运算法则,属于基础题. 3．已知角α的终边经过点(1,2)P-，则sinα=（）A．5-B．25C．-2 D．12-答案B按三角函数的定义，有25 sin514α==+.4．,a b为非零向量,且a b a b+=+,则()A．//a b,且a与b方向相同B．,a b是共线向量C．a b=-D．,a b无论什么关系均可答案A根据向量模长的三角不等式判断即可.解：如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则有,当,a b不共线时,根据三角形两边之和大于第三边有||||||a b a b+<+. 当,a b同向时有||||||a b a b+=+.故选：A点评：本题主要考查了对向量加法的模长理解,属于基础题型.5．已知tan 3α=，则222sin 4sin cos 9cos αααα+-的值为（） A ．130B ．13C ．2110D ．3答案C利用同角三角函数的基本关系把原式的分母“1”变为sin 2α+cos 2α，然后给分子分母求除以cos 2α，把原式化为关于tan α的关系式，把tan α的值代入即可求出值． 解：因为tan α＝3，所以222222249249sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos αααααααααα+-+-=+ 2224921110tan tan tan ααα+-==+．故选C ． 点评：本题是一道基础题，考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值的能力，做题的突破点是“1”的灵活变形．6．已知向量(1,3),(2,2a b ==-，则a 与b 的夹角是（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 答案C 利用cos ||||a ba b θ⋅=即可求出。

，且
，则 的离心率是（ ）．
3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知直线
与直线
，若 ，则 的值为
．
14. 若 ， 满足约束条件
，则
的最小值是
．
15. 设函数
的图象与
的图象关于直线
对称，且
，则
．
16.
的角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 且
，
．若 ，则 的值为
.
三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）
由表中的数据显示， 与 之间存在着线性相关关系，请将（ ）的结果填入空白栏，根据表格中数据求
出 关于 的回归直线方程
，并估计该公司下一年投入广告费多少万元时，可使得销售收益
达到 万元？
参考公式：最小二乘法估计分别为
，
．
20. 抛物线
的焦点为 ，点 在 上，若
面积为 ．
（ 1 ） 求抛物线 的方程．
（ 2 ） 若 上的两动点 ， （ ， 在 轴异侧）满足
， ，
． ．
12. D 解析: 设双曲线右焦点为 ，连接 ， ，
y
x
∵
，
∴
，
∴四边形
为矩形，
设
，则
，
又
，
，
又在
中有
∴
，
又
，
∴在
中有
∴
，
．
故选 ．
， ，
13. 解析: ∵，
10
∴
，
∴
，
，
，
且
时，
与 都不重合，
故
．
14. 解析:
y

泸州市高2020级第二次教学质量诊断性考试数 学（文史类）第一部分 （选择题 共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分。

每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求，把它选出来填在题后的括号内。

）1、设集合{,}A a b =，{,,}B b c d =，则A B =U （ ）A 、{}bB 、{,,,}a b c dC 、{,,}a c dD 、{,,}b c d 2、23log 9log 4⨯=（ ）A 、14 B 、2 C 、4 D 、12 3、已知a b >，则下列关系正确的是（ ）A 、21a b ->B 、a b <C 、lg lg a b <D 、22ac bc >4、右图给出的是计算1111246200+++⋅⋅⋅+的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A 、200I <B 、200I ≤C 、100I >D 、100I =5、已知函数2()f x x ax a =++的值域为[0,)+∞，则实数a 的取值为（ ） A 、04a ≤≤ B 、14a ≤≤ C 、0a =或4a = D 、0a ≤或4a ≥6、函数sin y x =的定义域为[,]a b ，值域为1[1,]2-，则b a -的最大值是（ ）A 、pB 、2pC 、53pD 、43p7、某几何体的三视图如图所示，它的体积是（ ）A 、12pB 、45pC 、57pD 、81p8、在边长为2的正三角形ABC 中，AD 是边BC 上的高，则AD u u u r 在BA u u u r的投影为（ ）A 、23B 、3C 、32 D 、32- 9、甲、乙两艘船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是（ ）A 、14 B 、716 C 、916 D 、3410、已知函数32()31f x x x =-+，221()1(0)()2(3)1(0)x x g x x x ⎧-+>⎪=⎨⎪-++≤⎩，则关于x 的方程[()]0g f x a -=（a 为正实数）的实数根最多有（ ）A 、6个B 、4个C 、7个D 、8个第二部分 （非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分。

四川省泸州市中学2020年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 实数a,b,c满足f(a)f(b)f(c)<0,且0<a<b<c.若实数是f(x)的一个零点，则下列不等式中不可能成立的是（）（A）<a （B）>b （C）<c （D）>c参考答案：D略2. 函数的单调递增区间是A. B.(0,3) C.(1,4) D.参考答案：D3. 已知F1、 F2为双曲线 C︰x2-y2=1的左、右焦点, 点 P 在 C 上, | P F1|=2 | P F2|, 则c o s ∠F1P F2= （）A．B．C．D．参考答案：4. 将函数的图象向左平移个单位，若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是（）A． B． C． D．参考答案：A 【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的奇偶性．C3 C4解析：y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣）然后向左平移m（m＞0）个单位后得到y=2sin（x+m﹣）的图象为偶函数，关于y轴对称，∴2sin（x+m﹣）=2sin（﹣x+m）∴sinxcos（m）+cosxsin（m）=﹣sinxcos（m）+cosxsin（m）∴sinxcos（m）=0∴cos（m）=0∴m=2kπ+，m=．∴m的最小值为．故选A．【思路点拨】先根据左加右减的原则进行平移得到平移后的解析式，再由其关于y轴对称得到2sin（x+m﹣）=2sin（﹣x+m﹣），再由两角和与差的正弦公式展开后由三角函数的性质可求得m的值，从而得到最小值．5. 如图曲线和直线所围成的图形（阴影部分）的面积为（）A．B．C．D．参考答案：D令，所以面积为.6. 下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β参考答案：D7. 在公比为q的正项等比数列{a n}中，，则当取得最小值时，（）A．B．C．D．参考答案：A8. 设函数与的图象在y轴右侧的第一个交点为A，过点A作y轴的平行线交函数的图象于点B，则线段AB的长度为（）A．B．C．D．参考答案：C由方程组，即，即，即，又，联立得，解得或（舍去），则，又因为，故选C．9. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，椭圆的一个短轴端点为，直线与双曲线的一条渐近线平行，椭圆与双曲线的离心率分别为，则取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：D10. 在体积为的球内有一个多面体，该多面体的三视图是如图所示的三个斜边都是的等腰直角三角形，则的最小值是（）A. B. C. D.参考答案：B[由多面体的三视图知该多面体是如图所示的三棱锥，，且，当球是这个三棱锥的外接球时其体积最小，将这个三棱锥补成正方体，其外接球的直径就是正方体的对角线，所以，故选B.点睛：1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数（为常数）的图象在点处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数的取值范围是．参考答案：12. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若抛物线在点处的切线斜率为1，则线段．参考答案：1略13. 已知数列的通项公式为则=___．参考答案：14. 已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则c+d= ，a+b+c+d的取值范围是．参考答案：10，（12，）．【考点】分段函数的应用．【分析】根据图象可判断：＜a＜1，1＜b＜2，2＜c＜4，6＜d＜8，二次函数的对称轴为x=5，可得c+d=10，利用f（a）=f（b），可得ab=1，a=，从而a+b=+b∈（2，），即可求出答案【解答】解：若存在实数a、b、c、d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0根据图象可判断：＜a＜1，1＜b＜2，2＜c＜4，6＜d＜8，二次函数的对称轴为x=5，∴c+d=10∵f（a）=f（b），∴﹣4log2a=4log2b，∴ab=1，∴a=，∴a+b=+b∈（2，），∴a+b+c+d∈（12，）．故答案为：10，（12，）．15. 已知函数f（x）=若f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为．参考答案：2＜a≤3【考点】函数单调性的性质．【专题】常规题型．【分析】让两段均为增函数且两段的端点值须满足前一段的最大值小于或等于后一段的最小值即可【解答】解：∵f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增∴须?2＜a≤3，故答案为：2＜a≤3【点评】分段函数在定义域内递增，须每一段递增，且前一段的最大值小于或等于后一段的最小值．16. 函数y=log a（x+3）﹣1（a≠1，a＞0）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，则+的最小值为．参考答案：8【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据对数函数的性质先求出A 的坐标，代入直线方程可得m 、n 的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．【解答】解：∵x=﹣2时，y=log a1﹣1=﹣1，∴函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1），∵点A在直线mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵m＞0，n＞0，∴+=（+）（2m+n）=2+++2≥4+2?=8，当且仅当m=，n=时取等号．故答案为：817. 执行如图所示的程序框图,输出的S值为_______。

四川省泸县第五中学2019-2020学年度高二第二学期第二次月考试题数学（文）【含解析】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.32ii-=+（ ） A. 1i - B. 22i -C. 1i +D. 22i +【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法运算进行化简，从而得出正确选项. 【详解】原式()()()()32551225i i i ii i ---===-+-.故选：A【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，属于基础题. 2.已知集合{}2|4,R x x x A =≤∈，{}|4,x x x B =≤∈Z ，则A⋂B =（ ）A. ()0,2B. []0,2C. {}0,1,2D. {}0,2【答案】C 【解析】试题分析：{}2|4,R [2,2]x x x A =≤∈=-,{}{}|4,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16x x x B =≤∈Z =,所以{}0,1,2A B ⋂=，故选C ．考点：集合的运算．3.命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是（ ）A. 0(0,1),x ∃∉2000x x -≥ B. 0(0,1),x ∃∈2000x x -≥ C. 0(0,1),x ∀∉2000x x -<D. 0(0,1),x ∀∈2000x x -≥【答案】B【解析】 【分析】根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”判断. 【详解】“全称命题”的否定一定是“特称命题”，∴命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是0(0,1),x ∃∈2000x x -≥，故选：B .【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查理解辨析的能力，属于基础题.4.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A. 月接待游客量逐月增加B. 年接待游客量逐年增加C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A 【解析】 【分析】观察折线图可知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，且折线图呈现增长趋势，高峰都出现在7、8月份，1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月波动性更小.详解】对于选项A ，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A 错； 对于选项B ，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B 正确； 对于选项C ，D ，由图可知显然正确.故选A.【点睛】本题考查折线图，考查考生的识图能力，属于基础题.5.《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则第30天织布（ ）A. 7尺B. 14尺C. 21尺D. 28尺【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用等差数列前n 项和公式列方程，解方程求得第30天织布.【详解】依题意可知，织布数量是首项为15a =，公差5d =的等差数列，且13030303902a a S +=⨯=，即()30155390a ⨯+=，解得3021a =（尺）. 故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列的前n 项和公式，考查中国古代数学文化，属于基础题. 6.已知函数21()2(2)2ln 2f x x f x x '=+-，则(2)f '= A. 1 B. 1-C.32D. 32-【答案】B 【解析】分析：函数求导，令2x =，即可得解.详解：函数()()21222ln 2f x x f x x '=+-， 求导得：()()2'22f x x f x='+-.令2x =，得()()'22221f f =+'-，解得：()21f '=-. 故选B.点睛：本题主要考查了函数导数的运算，属于基础题.7.如果双曲线22221x y a b-= (a >0，b >0)3－y 3＝0平行，则双曲线的离心率为（ ） A. 3 B. 232【答案】B 【解析】 【分析】首先由渐近线和直线平行，可得到3ba=a,b,c 之间的关系即可求得离心率的值.【详解】双曲线22221x y a b-= (a >0，b >0)的渐近线的方程为b y x a =±，3x －y 30平行，故可得3b a =222212c a b b e a a a +⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，所以离心率为2，本题选B. 故选：B.【点睛】本题考查椭圆的离心率，求解时要会利用双曲线的渐近线，得到关于,a b 的关系，从而求得离心率的值．8.已知函数()()2g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x 的图象与函数2y log x =的图象关于y x =对称，则()()12g g -+-= （ ）A. -7B. -9C. -11D. -13【答案】C 【解析】 【分析】根据当0x >时,函数()f x 的图象与函数2y log x =的图象关于y x =对称可求得()f x 的解析式,再根据奇偶性求解()()12g g -+-即可.【详解】因为当0x >时,函数()f x 的图象与函数2y log x =的图象关于y x =对称,故()()2,0xf x x =>.又函数()()2g x f x x =+是奇函数,故()()()()2211g g g g =----+()()()221221122212211f f ⎡⎤=-+++=-+++=-⎣⎦. 故选：C【点睛】本题主要考查了奇偶性与反函数的性质运用,需要根据题意将自变量转换到已知解析式的区间上求解,属于中档题.9.若42log (34)log a b ab +=+a b 的最小值是（ ）A. 743+B. 723+C. 643+D. 623+【答案】A 【解析】340,0,a b ab +>> 0,0,a b ∴>>42log (34)log a b ab +=44log (34)log ()a b ab ∴+= 34,4,0,0a b ab a a b ∴+=≠>>30,4ab a ∴=>- 4a ∴>,则33(4)1212(4)7444a a ab a a a a a a -++=+=+=-++--- 12(4)?7374a a ≥-=- ,当且仅当43a =+. 所以A 选项是正确的.点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.10.学校艺术节对同一类的A 、B 、C 、D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C 或D 作品获得一等奖” 乙说：“B 作品获得一等奖” 丙说：“A、D 两项作品未获得一等奖” 丁说：“是C 作品获得一等奖” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品为（ ） A. C 作品 B. D 作品C. B 作品D. A 作品【答案】C 【解析】分析：根据学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A ，B ，C ，D 分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断． 详解：若A 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意， 若B 为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意， 若D 为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B 故答案为C.点睛：本题考查推理的应用，意在考查学生的分析、推理能力．这类题的特点是：通过几组命题来创设问题情景，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.对于逻辑推理问题，应耐心读题，找准突破点，一般可以通过假设前提依次验证即可. 11.四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，72PA =，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A.812πB.814πC. 65πD.652π【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，该四棱锥的外接球即为其所在长方体的外接球，根据公式即可求得. 【详解】根据题意，为方便说明，在长方体中找出该四棱锥如图所示：由图可知在长方体中的四棱锥P ABCD -完全满足题意， 故该四棱锥的外接球即是长方体的外接球，故外接球半径222722294R ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==， 故该球的表面积为28144S R ππ==. 故选：B.【点睛】本题考查四棱锥外接球的问题，关键的步骤是将问题转化为求长方体的外接球.12.设f （x ）＝|lnx|，若函数g （x ）＝f （x ）-ax 在区间（0，4）上有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. （0，1e） B. （ln 22，e ） C. （ln 22，1e） D. （0，ln 22） 【答案】C 【解析】 【分析】函数g （x ）＝f （x ）-ax 在区间（0，4）上有三个零点等价于|lnx|-ax ＝0在区间（0，4）上有三个不同的解，分离参数后等价于ln ,01ln y ln ,14x x x xa y x x x x⎧-⎪⎪===⎨⎪≤⎪⎩＜＜与＜函数图像有三个交点，通过ln y x x =的图像较容易求处实数a 的取值范围．【详解】∵g （x ）＝f （x ）-ax 在区间（0，4）上有三个零点， ∴|lnx|-ax ＝0在区间（0，4）上有三个不同的解，令ln ,01ln ln ,14xx x xa x x x x⎧-⎪⎪==⎨⎪≤⎪⎩＜＜＜；则当0＜x ＜1时，ln xx -的值域为（0，+∞）； 当1≤x ＜4时，ln x a x =在[1，e]上是增函数，ln 10x x e≤≤，在[e ，4）上是减函数， ln2ln 12x x e ≤＜；故当ln21,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有三个不同的解. 故选C.【点睛】几个零点表示函数()f x 与x 轴有几个交点或者表示0f x方程有几个根．然后再分离参数比较参数和分离出的函数值域关系进行解题即可，分离参数和分类讨论是我们求解导数题目常用两种方法，注意辨析．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.函数()sin f x x x =在x π=处的切线方程为______________. 【答案】2y x ππ=-+ 【解析】分析：首先求得导函数，然后求得切线的的斜率，最后求解切线方程即可.详解：当x π=时，()sin 0fπππ==，求解函数的导数可得：()'sin cos f x x x x =+， 则()'f πsin cos ππππ=+⨯=-，据此可知，切线过点(),0π，切线的斜率为k π=-， 切线方程为：()0y x ππ-=--，即：2y x ππ=-+.点睛：导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积. 14.直线70x y +-=的倾斜角为α，则3sin(2)2πα-=____________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据斜率与倾斜角的关系与三角函数值求解即可. 【详解】直线70x y +-=的斜率为1-,故tan 1,0,ααπ,故34απ=.故333sin(2)sin()sin 00222παππ-=-==. 故答案为：0【点睛】本题主要考查了倾斜角与斜率的关系,同时也考查了三角函数值的求解,属于基础题. 15.已知0,0x y >>，若2282y xm m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是________． 【答案】42m -<< 【解析】 由于2282y xm m x y +>+恒成立，需2min 282y x m m xy ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭，由基本不等式得 282828y x y x x y x y+≥⋅≥，因此282m m >+，∴ 42m -<<．点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.16.过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，且A 、C 位于x 轴同侧，若|AC |＝2|AF |，则|BF |=________． 【答案】4 【解析】 【分析】分别作,A B 关于准线的垂线,再利用抛物线的定义与三角形的比例关系求解即可.【详解】过A 作AD 与准线垂直交准线于D ,过B 作BE 与准线垂直交准线于E .准线与x 轴交于G . 由抛物线的几何意义可知,,AF AD BF BE ==,所以2AC AD =. 易得CADCBE ,故2BC BE =.又BF BE =,故F 为BC 的中点.故24BE GF ==.故答案为：4【点睛】本题主要考查了抛物线的定义运用以及根据线段比例求解焦半径的问题,属于中档题.三、解答题：共70分。

2020年高考（文科）数学二诊试卷一、选择题1．集合A＝{x|x﹣2≤0}，B＝N，则A∩B＝（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1}D．{0，1，2}2．i为虚数单位，则2i31−i的虚部为（）A．﹣i B．i C．﹣1D．1 3．两名男生、一名女生站成一排，其中两名男生刚好相邻的概率为（）A．13B．23C．14D．124．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用2×2列联表，由计算得K2≈7.218，参照如表：P（K2≥k0）0.010.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828得到正确结论是（）A．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”5．已知tanα=12，则cos2α的值为（）A．−15B．−35C．35D．456．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委菽依垣内角，下周三丈、高七尺、问积及为菽几何？“其意思为：“现将大豆在屋内靠墙堆成半圆锥形，底面半圆的弧长为3丈，高7尺、问这堆大豆的体积和堆放的大豆各为多少？”已知1丈等于10尺，1斛大豆的体积约为2.43立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的大豆有（）A．44斛B．144斛C．288斛D．388斛7．函数f（x）＝x3﹣x2+x的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．28．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．﹣6B．3C．15D．109．已知函数f（x）＝A sin（2x−π3）（A≠0），若函数f（x﹣m）（m＞0）是偶函数、则实数m的最小值是（）A．π12B．π6C．7π12D．2π310．已知椭圆C：x2a+y2b=1的短轴长为2，焦距为2√3，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若点P为C上的任意一点，则1|PF1|+1|PF2|的取值范围为（）A ．[1，2]B ．[√2，√3]C ．[√2，4]D ．[1，4]11．若一个正三棱柱的主视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．16π3B ．19π3C ．19π12D ．4π312．过双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）左焦点F 的直线l 交C 的左支于A ，B 两点，直线AO （O 是坐标原点）交C 的右支于点D ，若DF ⊥AB ，且|BF |＝|DF |，则C 的离心率是（ ） A ．√52B ．2C ．√5D ．√102二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13．已知直线l ：x +m 2y ＝0与直线n ：x +y +m ＝0，若l ∥n ，则m 的值为 ． 14．若x ，y 满足约束条件{x −y ≥02x +y −6≤0x +y −2≥0，则z ＝3x +2y 的最小值是 ．15．设函数y ＝f （x ）的图象与y ＝2x +a 的图象关于直线y ＝﹣x 对称，且f （﹣4）＝1，则a ＝ ．16．在△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c 2＝a 2+b 2﹣ab ，sin A +sin B ＝2√6sin A sin B ，若c ＝3，则a +b 的值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足2S n +a n ＝l （n ∈N*）． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）等差数列{b n }中，b 1＝3a 1，b 2＝2，求数列{a n +b n }的前n 项和T n ．18．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，AB＝AA1＝A1B＝4，BC＝2，AC ＝2√3，点F为AB的中点，点E为线段A1C1上的动点．（Ⅰ）求证：BC⊥平面A1EF；（Ⅱ）若∠B1EC1＝60°，求四面体A1B1EF的体积．19．某公司为抓住经济发展的契机，调查了解了近几年广告投入对销售收益的影响，在若干销售地区分别投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；并估计该公司分别投入4万元广告费用之后，对应地区销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（Ⅱ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到如表：广告投入x（单位：万元）12345销售收益y（单位：万元）2327由表中的数据显示，x与y之间存在着线性相关关系，请将（Ⅰ）的结果填入空白栏，根据表格中数据求出y关于x的回归真线方程y=b x+a，并估计该公司下一年投入广告费多少万元时，可使得销售收益达到8万元？参考公式：最小二乘法估计分别为b=∑n i=1x i y i−nxy→∑n i=1x i2−n x−2=∑ni=1(x i−x→)(y i−y→)∑n i=1(x i−x→)2，a=y→−b x→．20．抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点P 在C 上，若PF ⊥x 轴，且△POF （O 为坐标原点）的面积为1． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若C 上的两动点A ，B （A ，B 在x 轴异侧）满足OA →•OB →=32，且|FA |+|FB |＝|AB |+2，求|AB |的值．21．已知函数f （x ）=sinxx，g （x ）＝（x ﹣l ）m ﹣2lnx ． （Ⅰ）求证：当x ∈（0，π]时，f （x ）＜1；（Ⅱ）求证：当m ＞2时，对任意x 0∈（0，π]，存在x 1∈（0，π]和x 2∈（0，π]（x 1≠x 2）使g （x 1）＝g （x 2）＝f （x 0）成立．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2cosαy =2+2sinα（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足OP →=2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2 （Ⅰ）求C 2的方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x+1|+|x+3|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜6；（Ⅱ）若a，b，c均为正数，且f（a）+f（b）+c＝10，求a2+b2+c2的最小值．参考答案一、选择题：共有12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．集合A＝{x|x﹣2≤0}，B＝N，则A∩B＝（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1}D．{0，1，2}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x≤2}，B＝N，∴A∩B＝{0，1，2}．故选：D．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．i为虚数单位，则2i31−i的虚部为（）A．﹣i B．i C．﹣1D．1【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵2i31−i=−2i1−i=−2i(1+i)(1−i)(1+i)=1−i，∴2i31−i的虚部为﹣1．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．两名男生、一名女生站成一排，其中两名男生刚好相邻的概率为（）A．13B．23C．14D．12【分析】基本事件总数n=A33=6，其中两名男生刚好相邻包含的基本事件个数m= A22A22=4，由此能求出其中两名男生刚好相邻的概率．解：两名男生、一名女生站成一排，基本事件总数n=A33=6，其中两名男生刚好相邻包含的基本事件个数m=A22A22=4，∴其中两名男生刚好相邻的概率p=mn=46=23．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用2×2列联表，由计算得K2≈7.218，参照如表：P（K2≥k0）0.010.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828得到正确结论是（）A．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”【分析】利用已知概率对照表，在K2大于对应值是认为相关，在小于对应值时不认为相关．解：K2≈7.218＞6.635，对应的P（K2≥k0）为0.010，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选：B．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，考查判断相关性，是基础题目．5．已知tanα=12，则cos2α的值为（）A．−15B．−35C．35D．45【分析】利用余弦的二倍角公式可求得cos2α＝cos2α﹣sin2α，进而利用同角三角基本关系，使其除以sin2α+cos2α，分子分母同时除以cos a，转化成正切，然后把tanα的值代入即可．解：cos2α=cos2α−sin2α=cos 2α−sin2αcos2α+sin2α=1−tan2α1+tan2α=35，故选：C．【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦函数的公式．解题的关键是利用同角三角函数中的平方关系，完成了弦切的互化．6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委菽依垣内角，下周三丈、高七尺、问积及为菽几何？“其意思为：“现将大豆在屋内靠墙堆成半圆锥形，底面半圆的弧长为3丈，高7尺、问这堆大豆的体积和堆放的大豆各为多少？”已知1丈等于10尺，1斛大豆的体积约为2.43立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的大豆有（）A．44斛B．144斛C．288斛D．388斛【分析】先求出圆的半径，再利用圆锥的体积计算公式即可得出．解：3丈＝30尺，30＝3×R，解得R＝10．由题意可得：12×13×3×102×7×12.43≈144斛．故选：B ．【点评】本题考查了圆锥的体积计算公式，考查考生的计算能力，属于基础题． 7．函数f （x ）＝x 3﹣x 2+x 的图象在点（1，f （1））处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．2【分析】先求出切点处的导数值，然后求出切线方程，再令切线中的x ＝0，即可得到切线的纵截距．解：f ′（x ）＝3x 2﹣2x +1， ∴f （1）＝1，f ′（1）＝2， ∴切线l 的方程为y ﹣1＝2（x ﹣1）， 令x ＝0得y ＝﹣1，即切线的纵截距为﹣1． 故选：A ．【点评】本题考查利用导数求切线方程的方法，注意抓住切点满足的两个条件入手．属于基础题．8．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）A．﹣6B．3C．15D．10【分析】根据题意一步一步进行运算，直到跳出循环．解：i＝1，S＝0，S＝0﹣1＝﹣1，i＝2；S＝﹣1+4＝3，i＝3；S＝3﹣9＝﹣6，i＝4；S＝﹣6+16＝10，i＝5；跳出循环，故选：D．【点评】本题考查程序框图，考查了推理能力，属于基础题．9．已知函数f（x）＝A sin（2x−π3）（A≠0），若函数f（x﹣m）（m＞0）是偶函数、则实数m的最小值是（）A．π12B．π6C．7π12D．2π3【分析】由题意利用三角函数的奇偶性以及图象的对称性，求得m的最小值．解：∵函数f（x）＝A sin（2x−π3）（A≠0），若函数f（x﹣m）＝A sin（2x﹣2m−π3）（m＞0）是偶函数，则2m+π3最小为π2，则实数m的最小值为π12，故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性以及图象的对称性，属于基础题．10．已知椭圆C：x2a+y2b=1的短轴长为2，焦距为2√3，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若点P为C上的任意一点，则1|PF1|+1|PF2|的取值范围为（）A．[1，2]B．[√2，√3]C．[√2，4]D．[1，4]【分析】根据条件得到a，b，c的值，从而得出|PF1|的范围，得到1|PF1|+1|PF2|关于|PF1|的函数，从而求出答案．解：根据条件可得b＝1，c=√3，故a＝2，则根据椭圆定义可知|PF1|+|PF2|＝2a＝4所以1|PF1|+1|PF2|=4|PF1||PF2|=4|PF1|(4−|PF1|)，因为2−√3≤|PF1|≤2+√3，|PF1|（4﹣|PF1|）＝﹣（|PF1|﹣2）2+4，∴1≤|PF1|（4﹣|PF1|）≤4．∴1≤4|PF1|(4−|PF1|)≤4．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的性质，函数最值的计算，属于中档题．11．若一个正三棱柱的主视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A ．16π3B ．19π3C ．19π12D ．4π3【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体的结构特征是什么，求出球的表面积即可． 解：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为边长等于2的正三角形，高为1的正三棱柱，则底面外接圆半径r =2√33，球心到底面的球心距d =12所以球半径R 2=(2√33)2+(12)2=1912所以该球的表面积S ＝4πR 2=19π3， 故选：B ．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，是基础题目．12．过双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）左焦点F 的直线l 交C 的左支于A ，B 两点，直线AO （O 是坐标原点）交C 的右支于点D ，若DF ⊥AB ，且|BF |＝|DF |，则C 的离心率是（ ） A ．√52B ．2C ．√5D ．√102【分析】取右焦点F '，由双曲线的定义设|AF |＝x ，则|AF '|＝2a +x ，再由双曲线的对称性，则|DF '|＝x ，|DF |＝|AF '|＝2a +x ，而|BF |＝|DF |，所以|BF |＝2a +x ，|AB |＝2a +2x ，有直角三角形中求出a ，c 的关系求出离心率．解：取右焦点F '，设|AF |＝x ，则|AF '|＝2a +x ，由题意可得DF '∥AF ，所以DF '⊥DF ， 所以|DF '|＝x ，|DF |＝|AF '|＝2a +x ，而|BF |＝|DF |，所以|BF |＝2a +x ，|AB |＝2a +2x ， 进而可得|BF '|＝2a +x +2a ＝4a +x ，在直角三角形BAF'中，|BF'|2＝|AB|2+|AF'|2，所以（x+4a）2＝（2x+2a）2+（x+2a）2，解得x＝a，所以|AF|＝|DF'|＝a，|DF|＝3a，|FF'|＝2c，在三角形DFF'中a2+（3a）2＝（2c）2，所以可得：e2＝（ca）2=52，所以e=√102，故选：D．【点评】本题考查双曲线的性质，及直角三角形的边长的关系，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13．已知直线l：x+m2y＝0与直线n：x+y+m＝0，若l∥n，则m的值为±1．【分析】由m2﹣1＝0，解得m，经过验证即可得出．解：由m2﹣1＝0，解得m＝±1，经过验证都满足l∥n，则m＝±1．故答案为：±1．【点评】本题考查了两条直线平行与斜率之间的关系．考查考生的计算能力，属于基础题．14．若x ，y 满足约束条件{x −y ≥02x +y −6≤0x +y −2≥0，则z ＝3x +2y 的最小值是 5 ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可． 解：由z ＝3x +2y 得y =−32x +z 2，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y =−32x +z 2由图象可知当直线y =−32x +z 2经过点A 时，直线y =−32x +z 2的截距最小，此时z 也最小，将A （1，1）代入目标函数z ＝3x +2y ， 得z ＝5． 故答案为：5．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．15．设函数y ＝f （x ）的图象与y ＝2x +a 的图象关于直线y ＝﹣x 对称，且f （﹣4）＝1，则a ＝ 3 ．【分析】在函数y ＝f （x ）的图象上取点（x ，y ），则关于直线y ＝﹣x 对称点为（﹣y ，﹣x ），代入y ＝2x +a ，可得答案．解：因为函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于直线y＝﹣x对称，且f（﹣4）＝1；故（﹣1，4）在y＝2x+a的图象上，故有：4＝2﹣1+a⇒a＝3；故答案为：3．【点评】本题考查函数的解析式，考查图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．在△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c2＝a2+b2﹣ab，sin A+sin B＝2√6sin A sin B，若c＝3，则a+b的值为3√2．【分析】由a2+b2﹣c2＝ab，及余弦定理，可求cos C，结合范围C∈（0，π），可求C=π3，利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知可求（a+b）c＝3√2ab，代入c＝3，可得：a+b=√2ab，进而可求2（ab）2﹣3ab﹣9＝0，解得ab的值，从而可求a+b的值．解：由c2＝a2+b2﹣ab及余弦定理，可得：cos C=a2+b 2−c22ab =ab2ab=12，又C∈（0，π），所以C=π3，由sin A+sin B＝2√6sin A sin B，可得：（sin A+sin B）sin C＝2√6sin C sin A sin B，可得：（sin A+sin B）sin C＝2√6sin π3sin A sin B，可得：（sin A+sin B）sin C＝3√2sin A sin B，结合正弦定理，可得：（a+b）c＝3√2ab，代入c＝3，可得：a+b=√2ab，再结合a2+b2﹣c2＝ab，可得：（a+b）2﹣2ab﹣32＝ab，可得：（a+b）2﹣3ab﹣9＝0，可得：（√2ab）2﹣3ab﹣9＝0，可得：2（ab）2﹣3ab﹣9＝0，可得：（2ab+3）（ab﹣3）＝0，解得：ab=−32（舍去）或ab ＝3． 可得：a +b ＝3√2． 故答案为：3√2．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足2S n +a n ＝l （n ∈N*）． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）等差数列{b n }中，b 1＝3a 1，b 2＝2，求数列{a n +b n }的前n 项和T n ．【分析】（1）先由数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 的关系式求出相邻项之间的关系，判断出数列{a n }的类型，再求出通项公式；（2）先由题设条件求出b n ，再结合（1）中的a n 求出a n +b n ，最后求出T n ． 解：（1）当n ＝1时有2S 1+a 1＝1＝3a 1，解得a 1=13．又∵2S n +a n ＝l （n ∈N*）①， ∴2S n +1+a n +1＝1 ②．由②﹣①可得：2（S n +1﹣S n ）+a n +1﹣a n ＝0＝2a n +1+a n +1﹣a n 即a n +1=13a n ，所以数列{a n }是以13为首项，以13为公比的等比数列．∴a n ＝（13）n ．（2）∵等差数列{b n }中，b 1＝3a 1＝1，b 2＝2，∴b n ＝n ，a n +b n ＝（13）n +n ．∴T n＝[13+(13)2+(13)3+⋯+(13)n]+（1+2+3+…n）=13[1−(13)n]1−13+n(1+n)2=1−3−n2+n(n+1)2．【点评】本题考查等比数列的定义及通项公式和数列求和中的分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，AB＝AA1＝A1B＝4，BC＝2，AC ＝2√3，点F为AB的中点，点E为线段A1C1上的动点．（Ⅰ）求证：BC⊥平面A1EF；（Ⅱ）若∠B1EC1＝60°，求四面体A1B1EF的体积．【分析】（I）利用等边三角形的性质可得：A1F⊥AB．利用线面、面面垂直的判定定理与性质定理可得：A1F⊥BC．利用勾股定理的逆定理可得：BC⊥AC．进而证明结论．（Ⅱ）利用直角三角形的边角关系可得：EC1=2tan60°，A1E．由（I）可得：A1F⊥底面A1B1C1，A1F⊥A1E，A1F＝2√3．可得△A1EF的面积S．由（I）可得：BC⊥平面A1EF，可得B1C1⊥平面A1EF，即可得出四面体A1B1EF的体积．【解答】（I）证明：∵AB＝AA1＝A1B，点F为AB的中点，∴A1F⊥AB，∵平面AA1B1B ⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，∴A1F⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1F⊥BC．∵AB＝4，BC＝2，AC＝2√3，∴AB2＝BC2+AC2，∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AC．∵AC∥A1C1，∴BC⊥A1C1，又A1F∩A1E＝A1，∴BC⊥平面A1EF；（Ⅱ）解：∵∠B1EC1＝60°，∴EC1=2tan60°=2√33，∴A1E＝2√3−2√33=4√33．由（I）可得：A1F⊥底面A1B1C1，∴A1F⊥A1E，A1F＝2√3．∴△A1EF的面积S=12×2√3×4√33=4．由（I）可得：BC⊥平面A1EF，∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥平面A1EF，∴四面体A1B1EF的体积=13×S•B1C1=13×4×2=83．【点评】本题考查了线面、面面垂直的判定定理与性质定理、等边三角形与直角三角形的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．某公司为抓住经济发展的契机，调查了解了近几年广告投入对销售收益的影响，在若干销售地区分别投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；并估计该公司分别投入4万元广告费用之后，对应地区销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（Ⅱ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到如表：广告投入x（单位：万元）12345销售收益y（单位：万元）2327由表中的数据显示，x与y之间存在着线性相关关系，请将（Ⅰ）的结果填入空白栏，根据表格中数据求出y关于x的回归真线方程y=b x+a，并估计该公司下一年投入广告费多少万元时，可使得销售收益达到8万元？参考公式：最小二乘法估计分别为b=∑n i=1x i y i−nxy→∑n i=1x i2−n x−2=∑ni=1(x i−x→)(y i−y→)∑n i=1(x i−x→)2，a=y→−b x→．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图各个小长方形的面积总和为1，建立方程，即可求得结论．利用组中值，求出对应销售收益的平均值；（Ⅱ）利用公式求出a，b即可计算y关于x的回归方程．解：（Ⅰ）设长方形的宽度为m，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知（0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02）m＝1，所以m＝2．小组依次是[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12），其中点分别为1，3，5，7，9.11对应的频率分别为0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04．故可估计平均值为1×0.16+3×0.20+5×028+7×0.24+9×0.08+11×0.04＝5．（Ⅱ）空白栏中填5．由题意可知，x=3，y=3.8∑ 5i=1x i y i =69，∑ 5i=1x i 2=55，所以b =69−5×3×3.855−5×32=1.2，a =y −b x =3.8﹣1.2×3＝0.2． 所以关于x 的回归方程为y ＝1.2x +0.2．【点评】本题考查频率分布直方图、线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是看出这组变量是线性相关的，进而正确运算求出线性回归方程的系数，属于中档题． 20．抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点P 在C 上，若PF ⊥x 轴，且△POF （O 为坐标原点）的面积为1． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若C 上的两动点A ，B （A ，B 在x 轴异侧）满足OA →•OB →=32，且|FA |+|FB |＝|AB |+2，求|AB |的值．【分析】（Ⅰ）先解出P 点坐标，再表示△POF 面积为12×p 2×p =1，解得p ，进而得出抛物线方程．（Ⅱ）设直线AB 方程为x ＝my +n ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立抛物线方程，消元x ，可得含y 的一元二次方程，由韦达定理可得y 1+y 2，y 1y 2，|AB |=√1+m 2√4m 2+8n ①，因为|FA |+|FB |＝|AB |+2，得x 1+x 2＝|AB |，2m 2+2n ＝|AB |②由①②得2m 2+2n =√1+m 2√4m 2+8n ，根据OA →•OB →=32，所以y 124y 224+y 1y 2＝32，n 2﹣8n ﹣128＝0，进而得出答案．解：（Ⅰ）由题知P 点的横坐标为p 2，代入抛物线方程得，y 2＝2p ×p2，解得y ＝p 或﹣p ， 所以P （p2，﹣p ）或（p2，p ），△POF 面积为12×p 2×p =1，解得p ＝2，所以抛物线C 方程为y 2＝4x ．S △OFP =12×p 2×p =p 24（Ⅱ）设直线AB 方程为x ＝my +n ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 联立抛物线方程得y 2﹣2my ﹣2n ＝0， y 1+y 2＝2m ，y 1y 2＝﹣2n ，|AB |=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+m 2√4m 2+8n ① 因为|FA |+|FB |＝|AB |+2， 所以x 1+1+x 2+1＝|AB |+2 即x 1+x 2＝|AB |， my 1+n +my 2+n ＝|AB | m （y 1+y 2）+2n ＝|AB | 2m 2+2n ＝|AB |②由①②得2m 2+2n =√1+m 2√4m 2+8n ， 化简得m 2＝n 2﹣2n ，因为OA →•OB →=32，所以x 1x 2+y 1y 2＝32所以y 124y 224+y 1y 2＝32，（y 1y 2）2+16y 1y 2﹣16×32＝0（﹣2n ）2+16（﹣2n ）﹣16×32＝0， n 2﹣8n ﹣128＝0， 解得n ＝﹣8（舍）或16，所以|AB|＝2m2+2n＝2（n2﹣2n）+2n＝2n2﹣2n＝480．【点评】本题考查抛物线方程，向量在圆锥曲线的应用，直线与抛物线相交，属于中档题．21．已知函数f（x）=sinxx，g（x）＝（x﹣l）m﹣2lnx．（Ⅰ）求证：当x∈（0，π]时，f（x）＜1；（Ⅱ）求证：当m＞2时，对任意x0∈（0，π]，存在x1∈（0，π]和x2∈（0，π]（x1≠x2）使g（x1）＝g（x2）＝f（x0）成立．【分析】（Ⅰ）对函数求导数，研究单调性求出最大值小于1即可；（Ⅱ）只需要求出f（x）在（0，π]上的值域，然后研究g（x）的单调性是先增后减或先减后增，同时说明每一段上的函数值范围都包含f（x）的值域即可．解：（Ⅰ）f′(x)=xcosx−sinxx2，令h（x）＝x cos x﹣sin x，∵h′（x）＝﹣x sin x＜0，∴h（x）在（0，π]上递减，且h（0）＝0，故x∈（0，π]时f′（x）＜0，f（x）递减．又limx→0sinxx=limx→0cosx1=1，∴x∈（0，π]时，f（x）＜1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（0，π]上递减，且f（x）＜1；又f（π）＝0，故f（x）的值域为[0，1）．又因为g′（x）=m−2x=mx−2x，x∈（0，π]，m＞2．令g′(x)=0得x=2m∈（0，1）．显然y＝mx﹣2是增函数．∴x∈(0，2m)时，g′（x）＜0，g（x）递减；x∈(2m，π)，g′（x）＞0，g（x）递增．此时g（x）min=g(2m)=(2m−1)m−2ln2m，（m＞2）．将上式化简并令r（m）＝2lnm﹣m+2﹣2ln2，m＞2．∵r′(m)=2−mm＜0，∴r （m ）在（2，+∞）上递减． 所以r （m ）＜r （2）＝0，故g （x ）min ＜0．显然当x →0时，g （x ）→+∞，即当x ∈(0，2m)时，g （x ）递减，且函数值取值集合包含f （x ）的值域[0，1）；而g （π）＝（π﹣1）m ﹣2ln π＞2（π﹣1）﹣2ln π＝2（π﹣1﹣ln π）＞2（3﹣1﹣ln π），∵lnπ＜lne 32=32，∴g(π)＞2×12=1，即当x ∈(2m ，π)时，g （x ）递增，且函数值取值集合包含f （x ）的值域[0，1）．所以当m ＞2时，对任意x 0∈（0，π]，存在x 1∈（0，π]和x 2∈（0，π]（x 1≠x 2）使g （x 1）＝g （x 2）＝f （x 0）成立．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值等问题．考查了学生运用数学思想方法（转化与化归、数形结合、函数与方程分类讨论）解决问题的能力．同时考查了学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养．属于较难的题目． 一、选择题22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2cosαy =2+2sinα（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足OP →=2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2 （Ⅰ）求C 2的方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |．【分析】（I ）先设出点P 的坐标，然后根据点P 满足的条件代入曲线C 1的方程即可求出曲线C 2的方程；（II ）根据（I ）将求出曲线C 1的极坐标方程，分别求出射线θ=π3与C 1的交点A 的极径为ρ1，以及射线θ=π3与C 2的交点B 的极径为ρ2，最后根据|AB |＝|ρ2﹣ρ1|求出所求． 解：（I ）设P （x ，y ），则由条件知M （x2，y2）．由于M 点在C 1上，所以{x2=2cosαy 2=2+2sinα即{x =4cosαy =4+4sinα 从而C 2的参数方程为 {x =4cosαy =4+4sinα（α为参数） （Ⅱ）曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ． 射线θ=π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ=π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3．所以|AB |＝|ρ2﹣ρ1|=2√3．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知f （x ）＝|x +1|+|x +3|． （Ⅰ）解不等式f （x ）＜6；（Ⅱ）若a ，b ，c 均为正数，且f （a ）+f （b ）+c ＝10，求a 2+b 2+c 2的最小值． 【分析】（Ⅰ）由绝对值的意义，对x 讨论，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（Ⅱ）求得2a +2b +c ＝2，结合柯西不等式，计算可得所求最小值． 解：（Ⅰ）解不等式f （x ）＜6即|x +1|+||x +3|＜6，等价为{x ≥−1x +1+x +3＜6或{−3＜x ＜−1−x −1+x +3＜6或{x ≤−3−x −1−x −3＜6， 解得﹣1≤x ＜1或﹣3＜x ＜﹣1或﹣5＜x ≤﹣3， 则原不等式的解集为（﹣5，1）；（Ⅱ）若a ，b ，c 均为正数，且f （a ）+f （b ）+c ＝10， 即为a +1+a +3+（b +1+b +3）+c ＝10，化为2a +2b +c ＝2，由柯西不等式可得（a 2+b 2+c 2）（22+22+12）≥（2a +2b +c ）2，49．化为a 2+b 2+c 2≥49，当且仅当a ＝b ＝2c =49取得等号， 则a 2+b 2+c 2的最小值为【点评】本题考查绝对值不等式的解法，以及柯西不等式的运用：求最值，考查分类讨论思想和转化思想，以及化简运算能力，属于中档题．。

文科数学第I 卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集为，集合，，则A ．B ．C ．D ．2．已知复数的实部和虚部相等，且()()23z i bi b R +=-∈，则z =A ．32B ．22C ．3D ．3．如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是A ．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平B ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D ．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格4．若变量，满足约束条件310260x y x y x y +≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =-的最小值是A ．3-B ．0C ．13D ．1035．函数225()2xx xf x e +=的大致图像是A ．B ．C ．D ．6．已知{}n a 为等差数列，135246105,99a a a a a a ++=++=，则20a 等于A ．1-B ．1C ．3D ．77．已知35sin(),(,)4524πππαα-=∈，则sin =α A ．7210 B ．210-C ．210±D ．210-或72108．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωπϕ=+>-<<的最小正周期是，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后所得的函数图象过点(0,1)P ，则下列结论中正确的是 A ．()f x 的最大值为B ．()f x 在区间ππ(,)63-上单调递增 C ．()f x 的图像关于直线12x π=对称D ．()f x 的图像关于点(,0)3π对称9．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是 A ．2025+B ．1445+C ．26D ．1225+10．已知函数()lg f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则+a b 的取值范围是 A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞11．设抛物线22y px =(0p >)的焦点为,准线为l ,过焦点的直线分别交抛物线于,A B 两点,分别过,A B 作l 的垂线,垂足为,C D .若3AF BF =,且三角形CDF 的面积为3,则的值为 A ．23B ．3 C ．6 D ．2612．已知为自然对数的底数，若对任意的1,1e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的(0,)y ∈+∞，使得ln ln 1y yx x a y+++=成立，则实数的取值范围是 A ．(),0-∞B ．(],0-∞C ．2,e e ⎛⎤⎥⎝⎦D ．(],1-∞-第II 卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

泸县五中高2023级高三三诊模拟考试文科综合能力测试注意事项：考试时间150分钟，满分300分。

一、选择题：本题共35小题，每小题4分，共140分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

下面图左为黄河流域多年平均实际蒸发量(单位：mm)分布图，图右为黄河流域多年平均实际蒸发量相对变化(正值表示呈增加趋势，负值表示呈减小趋势)分布图。

读图完成1-3题。

1．据图左可知，影响黄河流域多年平均实际蒸发量分布的主要因素是A．地形B．太阳辐射C．植被D．降水量2．据图右可知，黄河流域内实际蒸发量A．在下游呈现增加趋势B．在上游流域呈减小趋势C．在中游增加趋势最为显著D．总体上呈减小趋势3．据图可推断，该流域A．年平均降水量呈减小趋势B．年平均气温呈增高趋势C．年平均风速呈增大趋势D．植被覆盖率呈减小趋势21世纪以来，中国粮食形势已从总量不足转变为结构性供需矛盾。

粮食产量大幅增长的同时，玉米、稻谷阶段性过剩特征明显，小麦优质品种供给不足，大豆产需缺口巨大，进口大豆约占进口粮食的60%,过度依赖进口。

粮食生产日益向东北等北方核心产区集中，13个粮食主产区占全国粮食产量的75%以上，粮食跨区域流通和平衡的压力越来越大，流通成本比发达国家平均水平要高一倍多。

据此完成下面4-6小题。

4．上述材料反映出的我国粮食生产的最主要特征是A．粮食品质优良B．粮食生产地区差距小C．粮食总量优势大D．粮食生产结构不合理5．中国粮食流通成本高的主要原因是A．主要粮食产品价格较高B．单位距离运价不断提高C．主产区距离消费市场远D．物流运输过程运损严重6．为降低我国对国外大豆依赖程度高的现状，应采取的根本措施是A．培育大豆新品种B．提高大豆耕作技术C．增加农业专项补贴D．扩大大豆生产规模M企业2011年发布了国内第一款双核智能手机，仅在线上（电商平台）销售。

2014年后，陆续在我国各大城市开设了多家手机实体专卖店，线上、线下同时销售。

绝密★启用前2020届四川省泸县第五中学高三下学期第二次高考适应性考试数学（文）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合(){}lg 2A x y x ==-，集合1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A ．{}2x x >- B ．{}22x x -<<C ．{}22x x -≤<D ．{}2x x <答案：C求出集合的等价条件,利用交集的定义进行求解即可. 解：解：∵{}2A x x =<,{}22B x x =-≤≤, ∴{}22A B x x ⋂=-≤<, 故选：C. 点评：本题主要考查了对数的定义域与指数不等式的求解以及集合的基本运算,属于基础题. 2．若复数221a ii++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B 化简复数221a ii++，由它是纯虚数，求得a ，从而确定22a i +对应的点的坐标． 解：221a i i ++2()(1)1(1)(1)(1)a i i a a i i i +-==++-+-是纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，1a =-， 2222a i i +=-+，对应点为(2,2)-，在第二象限．故选：B ． 点评：本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题． 3．设向量(1,)a x x =-，(1,2)b =-，若//a b ，则x =（ ）A ．32-B ．-1C ．23D ．32答案：C根据//a b 即可得出2(1)0x x -+=，解出x 即可． 解：//a b2(1)0x x ∴-+=∴23x =． 故选C 点评：考查主要考查向量坐标的概念以及平行向量的坐标关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．如图所示的折线图为某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据（利润=营业额-支出），根据折线图，下列说法中错误的是（ ）A ．该超市这五个月中的营业额一直在增长；B ．该超市这五个月的利润一直在增长；C ．该超市这五个月中五月份的利润最高；D ．该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关. 答案：B根据题设中的折线图中的数据，准确计算每个月的利润，即可求解，得到答案． 解：由题意，某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据的折线图，可得： 1月份的利润为3 2.50.5-=万元；2月份的利润为3.5 2.80.7-=万元； 3月份的利润为3.830.8-=万元；4月份的利润为4 3.50.5-=万元； 5月份的利润为541-=万元，所以该超市这五个月的利润一直在增长是不正确的，故选B ．点评：本题主要考查了折线图的应用，其中解答中认真审题，根据数据的折线图的数据，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 5．在ABC 中，D 在BC 边上，且2BD DC =，E 为AD 的中点，则BE =( ) A ．1136AC AB - B ．1536AC AB -+ C ．1136AC AB -+ D ．1536AC AB - 答案：D由题意可得，()2233BD BC AC AB ==-，1122BE BA BD =+，从而根据平面向量的线性运算求解即可． 解：解：∵2BD DC =， ∴()2233BD BC AC AB ==-， ∵E 为AD 的中点， ∴1122BE BA BD =+()112223AB AC AB =-+⨯-1536AC AB =-， 故选：D ． 点评：本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题． 6．已知a ，b 为实数，则“0a b +=”是“1ab=-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B分析：首先需要分析当1ab=-时，一定有0a b +=，但如果0a b 时，满足0a b +=，此时a b 无意义，从而得到“0a b +=”是“1ab=-”的必要不充分条件，从而得到正确的结果. 详解：如果1ab=-，则一定有0a b +=， 但是如果0ab 时，满足0a b +=，此时ab无意义，所以“0a b +=”是“1ab=-”的必要不充分条件，故选B. 点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断，分析得出谁能推出谁是关键，注意必要条件与充分条件的定义，属于简单题目.7．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，M 为C 上一点，若4MF =，则MOF △（O为坐标原点）的面积为( )A B ．C ．D ．答案：A根据抛物线的定义求出点M 的坐标，利用三角形的面积公式即可求解. 解：因为1OF =，由抛物线的定义可得14M MF x =+=，解得3M x =，代入抛物线方程可得M y =±所以点M 的坐标为(3±，，所以MOF △的面积为11122M OF y ⋅=⨯⨯=， 故选：A. 点评：本题考查了抛物线的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.8．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊂，//n α，则m ，n 为异面直线；②若m β⊥，αβ⊥，m γ⊥，则αγ⊥； ③若//αγ，//βγ，则//αβ；④若m α⊥，n β⊥，//m n ，则αβ⊥. 则上述命题中真命题的序号为（ ） A ．①② B ．③④C ．②③D ．②④答案：C根据线面平行的定义可判断①的正误；利用面面垂直的判定定理可判断②的正误；利用面面平行的性质可判断③的正误；利用线面垂直的性质可判断④的正误.综合可得出结论. 解：对于①，若m α⊂，//n α，则m 与n 平行或异面，①错误；对于②，设a αβ⋂=，在平面α内作n a ⊥，因为αβ⊥，由面面垂直的性质定理知n β⊥，又m β⊥，//m n ∴，m γ⊥，则n γ⊥，因为n ⊂α，αγ∴⊥，②正确；对于③，若//αγ，//βγ，由面面平行的性质可知//αβ，③正确； 对于④，若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又n β⊥，//αβ∴，④错误. 故选：C. 点评：本题考查了空间中线面、面面位置关系的判断，解答时要注意空间中垂直、平行的判定和性质定理的应用，考查推理能力，属于中档题．9．为得到函数sin 3y x x =-的图象，只需要将函数2cos3y x =的图象（ ） A ．向左平行移动6π个单位 B ．向右平行移动6π个单位 C ．向左平行移动518π个单位 D ．向右平行移动518π个单位答案：D由题将函数sin 3y x x =-可化为2sin(3)3y x π=-，将2cos3y x =的图象转换为2sin(3)2y x π=+，再利用三角函数图像的变换求解.解：由题将函数sin 3y x x =-可化为2sin(3)3y x π=-，将2cos3y x =的图象转换为2sin(3)2y x π=+，该图象向右平移518π个单位， 即可得到2sin(3)3y x π=-的图象．故选D 点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．10．已知πa 2=，π3b 7=，πc log 3=，则a ，b ，c 的大小为( ) A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>答案：A利用幂函数的单调性、对数函数的单调性即可得出． 解：因为332871a b πππ==>=>，log 31c π=<， 则,,a b c 的大小为：a b c >>．故选A ． 点评：对数或指数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，如果底数不统一，可以利用对数或指数的运算性质统一底数（或指数）.不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递.11．设1F 、2F 分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的焦点，过2F 的直线交椭圆于P 、Q两点，且1PQ PF ⊥，1PQ PF =，则椭圆的离心率为（ ） A ．32- B ．63-C ．22-D ．962-答案：B设1PQ PF m ==，利用椭圆的定义得出2PF 、2F Q 和1QF ，然后利用勾股定理可得出m 与a 的等量关系，并利用勾股定理可求出该椭圆的离心率. 解： 如下图所示：设1PQ PF m ==，由椭圆定义得22PF a m =-，222QF m a =-，142QF a m =-，由勾股定理得22211PF PQ QF +=，可得(422m a =-，(1422PF a ∴=-，()2222PF a =，由勾股定理得2221212PF PF F F +=，即(()2222424a c ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦，整理得)12a c =，因此，该椭圆的离心率为)1ce a===.故选：B. 点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，椭圆的离心率是高考中选择填空题常考的题目，应熟练掌握圆锥曲线中a 、b 、c 和e 的关系．12．已知e 是自然对数的底数，不等于1的两正数,x y 满足5log log 2x y y x +=，若log 1x y >，则ln x y 的最小值为（ ）A ．-1B ．1e-C ．12e-D ．2e-答案：D利用对数的运算公式，化简5log log 2x y y x +=，求得log x y 的值，由此求得,x y 的关系式，化简ln x y ，并利用导数求得最小值. 解：依题意log log x y y x +=15log log 2x x y y +=，即25log log 102x x y y -+=，由于log 1x y >，故上式解得log 2x y =，即2yx .所以2ln ln 2ln x y x x x x ==.构造函数()2ln f x x x =（x 为不等于1的正数）.()()'21ln fx x =+，故函数在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在()1,1,1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，所以最小值为11122ln f e e e e ⎛⎫=⨯⨯=- ⎪⎝⎭.故选D.点评：本小题主要考查对数运算，考查利用导数求表达式的最小值的方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题 13．已知1sin 44x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2x 的值为_________.答案：78依题意，利用诱导公式与二倍角的余弦公式即可求得答案． 解：解：1sin 44x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，217sin 2cos 2cos 212sin 12244168x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：78． 点评：本题考查诱导公式与二倍角的余弦，考查观察与基本运算能力，属于中档题． 14．圆()2215x y ++=关于直线y x =对称的圆的标准方程为__________． 答案：22(1)5x y ++=圆()2215x y ++=的圆心坐标为()1,0-，它关于直线y x =的对称点坐标为()0,1-，即所求圆的圆心坐标为(01)-，，所以所求圆的标准方程为22(1)5x y ++=． 15．已知数列{}n a 满足11a =，1323nn n a a a +=+，则7a =______.答案：15根据递推关系式以及等差数列的定义可得1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可求解. 解： 由1323nn n a a a +=+，则11233n n n n a a a a +++=，得11123n n a a +=+， 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，111221(1)33n n n a a +=+-⨯=，321na n =+， 所以715a =. 故答案为：15点评：本题考查了由递推关系式证明数列为等差数列、等差数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.16．已知坐标原点为O ，过点()P 2,6作直线()2mx 4m n y 2n 0(m,-++=n 不同时为零)的垂线，垂足为M ，则OM 的取值范围是______．答案：5⎡⎣根据题意，将直线变形为()()2420m x y n y ---=，分析可得该直线恒过点()4,2，设()4,2Q ，进而分析可得点M 的轨迹是以PQ 为直径的圆，其方程为()()22345x y -+-=，据此分析可得答案．解：根据题意，直线()2420mx m n y n -++=，即()()2420m x y n y ---=，则有2402x y y -=⎧⎨=⎩，解可得42x y =⎧⎨=⎩，则直线l 恒过点()4,2．设()4,2Q ，又由MP 与直线垂直，且M 为垂足，则点M 的轨迹是以PQ 为直径的圆，其方程为()()22345x y -+-=，所以55OM ≤≤；即OM 的取值范围是5⎡⎣；故答案为：5⎡+⎣．点评：此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：（1）如果,A B 为定点，且动点M 满足()1MA MB λλ=≠，则动点M 的轨迹为圆； （2）如果ABC ∆中，BC 为定长，A 为定值，则动点A 的轨迹为一段圆弧．特别地，当2A π=，则A 的轨迹为圆（除去,B C ）；（3）如果,A B 为定点，且动点M 满足22MA MB λ+=(λ为正常数)，则动点M 的轨迹为圆；三、解答题17．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. （1）求角C ；（2）若c =，求ABC ∆周长的最大值.答案：（1）2πC .3=；（2）423+. （1）由已知根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得sin 2sin cos A A C =-，结合sin 0A >，可求1cos 2C =-，由0C π<<可求C 的值． （2）由已知利用余弦定理、基本不等式可求4a b +≤，即可解得三角形周长的最大值． 解：（1）由22212cos2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得22cos a b c A +=． 根据正弦定理，得sin 2sin 2cos sin A B A C +=，化为()sin 2sin 2cos sin A A C A C ++=，整理得到sin 2sin cos A A C =-，因为sin 0A >， 故1cos 2C =-，又0C π<<，所以23C π=． (2)由余弦定理有2222cos c a b ab C =+-，故2212a b ab ++=， 整理得到()2212122a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭，故4a b +≤， 当且仅当2a b ==时等号成立，所以周长的最大值为2223423++=+． 点评：在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.解三角形中的最值问题，可以用基本不等式或利用正弦定理把最值问题转化为某个角的三角函数式的最值问题． 18．BMI 指数（身体质量指数，英文为BodyMassIndex ，简称BMI ）是衡量人体胖瘦程度的一个标准，BMI =体重（kg ）/身高（m ）的平方.根据中国肥胖问题工作组标准，当BMI ≥28时为肥胖.某地区随机调查了1200名35岁以上成人的身体健康状况，其中有200名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如下：（1）求被调查者中肥胖人群的BMI 平均值μ；（2）填写下面列联表，并判断是否有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关.3.841附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++答案：（1）29.8μ=（2）填表见解析；有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关（1）分别计算高血压和非高血压人群中各BMI 值段的人数，然后用各BMI 值段的人数乘以频率分布直方图每个对应表格的中点再求和，最后除以总人数则可得到平均值. （2）根据频率分布直方图，分别计算高血压人群、非高血压人群中肥胖和不肥胖的人数，填表，然后计算观测值2K ，对应给出的表格，得出结论. 解：解：（1）根据频率分布直方图，200名高血压患者中，BMI 值在[)28,30的人数为0.1220040⨯⨯=，在[)30,32的人数为0.05220020⨯⨯=，在[)32,34的人数为0.025220010⨯⨯=1000名非高血压患者中，BMI 值在[)28,30的人数为0.0821000160⨯⨯=，在[)30,32的人数为0.032100060⨯⨯=，在[)32,34的人数为0.0052100010⨯⨯= 被调查者中肥胖人群的BMI 平均值(40160)29(2060)31(1010)3329.84020101606010μ+⨯++⨯++⨯==+++++（2）由（1）知，200名高血压患者中，有40201070++=人肥胖，20070130-=人不肥胖1000名非高血压患者中，有1606010230++=人肥胖，1000230770-=人不肥胖肥胖不肥胖 合计 高血压 70 130200非高血压 230770 1000合计 300900 1200221200(70770230130)12.810.8282001000900300K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关. 点评：本题考查频率分布直方图均值的计算，考查22⨯列联表以及2K 的计算，考查了学生的计算能力，属于中档题.19．如图所示的几何体111ABC A B C -中，四边形11ABB A 是正方形，四边形11BCC B 是梯形，11//B C BC ，且1112B C BC =，AB AC =，平面11ABB A ⊥平面ABC ．（1）求证：平面11A CC ⊥平面11BCC B ；（2）若2AB =，90BAC ∠=︒，求几何体111ABC A B C -的体积. 答案：（1）证明见解析（2）103（1）取BC 的中点E ，连接1,AE C E ，可证明AE ⊥平面11BCC B ，根据11BC BE ∥可证明四边形11AAC E 为平行四边形，从而可证11AC ⊥平面11BCC B ，进而证明平面11A CC ⊥平面11BCC B .（2）将所求几何体分割为四棱锥11C AA C E -和直三棱柱111ABE A B C -两部分，通过四棱锥和棱柱的体积分别计算求和可得几何体的体积.解：解：（1）取BC 的中点E ，连接1,AE C E ，∵AB AC =，∴AE BC ⊥∵11ABB A 是正方形，∴1BB AB ⊥，又平面11ABB A ⊥平面ABC ，∴1BB ⊥平面ABC ， 又∵AE ⊂平面ABC ，∴1AE BB ⊥ 又∵1BB ，BC ⊂平面11BCC B ，1BB BC B =，∴AE ⊥平面11BCC B∵11BC BE ∥，∴四边形11BB C E 为平行四边形，∴111C B B E A A ∥∥， ∴四边形11AAC E 为平行四边形 ∴11AE AC ∥，∴11AC ⊥平面11BCC B 又11A C ⊂平面11A CC ，∴平面11A CC ⊥平面11BCC B（2）由（1）知所求几何体为四棱锥11C AA C E -和直三棱柱111ABE A B C -的组合体 ∵CE AE ⊥，1CE AA ⊥，1AA ，AE ⊂平面11AAC E ，∴CE ⊥平面11AAC E ， ∴四棱锥11C AA C E -的体积1111111142223333C AA C E AA C E V S CE AA AE CE -=⋅=⋅⋅⋅==矩形直三棱柱111ABE A B C -的体积11111112222ABE A B C ABE V S AA BE AE AA -=⋅=⋅⋅⋅==∴所求几何体111ABC A B C -的体积11111410233C AA C E ABE A B C V V V --=+=+=点评：本题考查面面垂直的判定定理，考查求棱锥和棱柱的体积，考查学生数形结合的能力，属于中档题.20．已知椭圆E 的中心在原点，左焦点1F 、右焦点2F 都在x 轴上，点M 是椭圆E 上的动点，12F MF ∆x 轴上方使122MF MF ⋅=成立的点M 只有一个．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点(1,0)-的两直线1l ，2l 分别与椭圆E 交于点A ，B 和点C ，D ，且12l l ⊥，比较12()AB CD +与7AB CD 的大小．答案：（1）22143x y +=（2）12()7AB CD AB CD +=（1）根据已知设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知分析得221232bc MF MF b c c ⎧=⎪⋅=-=⎨⎪=⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩E 的方程为22143x y +=.（2）先证明直线AB 的斜率为0或不存在时，()127AB CD AB CD +=.再证明若AB 的斜率存在且不为0时，()127AB CD AB CD +=. 解：（1）根据已知设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，c =在x 轴上方使122MF MF ⋅=成立的点M 只有一个，∴在x 轴上方使122MF MF ⋅=成立的点M 是椭圆E 的短轴的端点.当点M 是短轴的端点时，由已知得221232bc MF MF b c c ⎧=⎪⋅=-=⎨⎪=⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆E 的方程为22143x y +=.（2）()127AB CD AB CD +=.若直线AB 的斜率为0或不存在时，24AB a =-且223b CD a ==或24CD a ==且223b AB a==.由()()12123484AB CD +=⨯+=，773484AB CD =⨯⨯=得()127AB CD AB CD +=.若AB 的斜率存在且不为0时，设AB ：()()10y k x k =+≠，由()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()22224384120k x k x k +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122843k x x k +=-+，212241243k x x k -=+，于是21AB x =-=()2212143k k +=+.同理可得()2222112112134143k k CD k k ⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦==+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.∴()222113443712121k k AB CD k ++++==+. ∴()127AB CD AB CD +=. 综上()127AB CD AB CD +=. 点评：本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆的弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21．已知函数()1ln 1f x a x bx x=+++. （1）若24a b +=，则当2a >时，讨论()f x 的单调性； （2）若()()21,F b x f x x==-，且当2a ≥-时，不等式()2F x ≥在区间(]0,2上有解，求实数a 的取值范围.答案：(1)答案见解析；(2)12ln 2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，. 试题分析：（1）函数()f x 的定义域为()0+∞，，且()()1421f x alnx a x x=++-+，()()()22121a x x f x x⎡⎤----⎣⎦='．分类讨论可得：当4a =时，()f x 在()0+∞，内单调递减； 当24a <<时，()f x 在11022a ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，，，上单调递减，在1122a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，上单调递增；当4a >时，()f x 在11022a ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，，，上单调递减，在1122a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，上单调递增． （2）原问题等价于当2a ≥-时，()F x 在区间(]02，上的最大值()2max F x ≥． 且()11F x alnx x x =-++，则()221(02)x ax F x x x=<'++≤.分类讨论22a -≤≤和2a >两种情况可得()()2max F x F =．据此求解关于实数a 的不等式可得实数a 的取值范围是122ln ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，．试题解析：（1）函数()f x 的定义域为()0+∞，，由24a b +=得()()1421f x alnx a x x=++-+， 所以()()()()222121142a x x a f x a x x x ⎡⎤----⎣⎦=-+-='． 当4a =时，()0f x '≤，()f x 在()0+∞，内单调递减； 当24a <<时，()()111000222f x x f x x a ；>⇒<<<⇒<'<-'或12x a >-，所以，()f x 在11022a ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，，，上单调递减，在1122a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，上单调递增；当4a >时，()()111000222f x x f x x a a >⇒<<<⇒<<-''-；或12x >， 所以，()f x 在11022a ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，，，上单调递减，在1122a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，上单调递增． （2）由题意，当2a ≥-时，()F x 在区间(]02，上的最大值()2max F x ≥． 当1b =时，()12111F x alnx x alnx x x x x=+++-=-++， 则()221(02)x ax F x x x =<'++≤.①当22a -≤≤时，()2221240a a x F x x⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭'=>， 故()F x 在(]02，上单调递增，()()2max F x F =； ②当2a >时，设2210(40)x ax a ++=∆=->的两根分别为12x x ，， 则1212120?100x x a x x x x +=-<=∴<<，，，，所以在(]02，上()2210x ax F x x++=>'， 故()F x 在(]02，上单调递增，()()2max F x F =． 综上，当2a ≥-时，()F x 在区间(]02，上的最大值()()1222122max F x F aln ==-++≥，解得122a ln ≥-，所以实数a 的取值范围是122ln ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，． 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22．以直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并且在两种坐标系中取相同的长度单位.若将曲线5cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）上每一点的横坐标变为原来的15（纵坐标不变），然后将所得图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到曲线C .直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴交于点P ，线段AB 的中点为M ，求PM . 答案：（1）()()222+3=1x y --；（2）2. （1）根据题意得到cos +2sin +3x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）后，消去参数α即可得到曲线C 的普通方程；（2）将直线l 的方程化为参数方程的标准形式并代入到圆C 的方程，利用参数的几何意义可解得结果. 解： （1）将曲线5cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）上每一点的横坐标变为原来的15（纵坐标不变），得到cos sin x y αα=⎧⎨=⎩， 然后将所得图像向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到cos +2sin +3x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），消去参数α得圆C 的普通方程为()()222+3=1x y --. （2）由sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得sin cos cos sin 44ππρθρθ-=sin cos 2ρθρθ-=，因为sin ,cos y x ρθρθ==，所以2y x -=，即直线l 的直角坐标方程为：20x y -+=，倾斜角为4π，点()2,0P -， 设直线l的参数方程为2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入圆C 的普通方程()()222+3=1x y --并整理得：2+24=0t -，因为(24240∆=-⨯>，设A 、B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则M 点对应的参数为122t t +，由韦达定理得12t t +=1224t t =，则12==22t t PM +. 点评：本题考查了图象变换、参数方程化普通方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，考查了直线参数方程中参数的几何意义，属于基础题. 23．已知函数()12f x x x a =-+-. （Ⅰ）当1a =时，求()1f x ≥的解集；（Ⅱ）当[1,1]x ∈-时，()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.答案：(1)[)1-1+3⎛⎤∞⋃∞ ⎥⎝⎦，，;(2)(][)-03+∞⋃∞，，. 试题分析：（Ⅰ）利用零点分段去绝对值求解即可；（Ⅱ）当[]11x ∈-，时，()1f x ≥恒成立，即211x a x x -≥--=，显然当[)10x ，∈-时，不等式恒成立，当[]01x ∈，时，讨论2a和定义域的关系即可. 试题解析：（Ⅰ）当1a =时，由()1f x ≥，可得1211x x -+-≥，12321x x ⎧<⎪∴⎨⎪-+≥⎩，①或1121x x ⎧≤≤⎪⎨⎪≥⎩，②或1321x x ，，>⎧⎨-≥⎩③ 解①求得13x ≤，解②求得1x =，解③求得1x >， 综上可得不等式的解集为[)113⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦，，． （Ⅱ）∵当[]11x ∈-，时，()1f x ≥恒成立，即211x a x x -≥--=， 当[)10x ，∈-时，a R ∈； 当[]01x ∈，时，若02a≤，即0a ≤时，22x a x a x -=-≥，3a x ≤，所以0a ≤; 若12a≥，即2a ≥时，22x a a x x -=-≥，3a x ≥，所以3a ≥; 若012a <<，即02a <<时，2ax =时，不等式不成立综上，][()03a ∈-∞⋃+∞，，． 点晴：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解.第二问将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向.。

四川省泸县第二中学2020届高三数学下学期第二次月考试题 文（含解析）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}260A x x x =--≤，{}20B x x =->，则()R C A B =（ ）A. {}23x x x ≤>或B. {}23x x x ≤->或C. {}23x x x <≥或D.{}23x x x <-≥或【答案】A 【解析】 【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可． 【详解】{}260{|23}A x x x x x =--≤=-≤≤,{}{}202B x x x x =->=，则{|23}A B x x ⋂=<≤，{2()R C A B x x =≤∣或3}x >，故选：A.【点睛】本题考查交、并、补集混合运算，根据不等式先化简集合，再进行集合的运算即可，属于基础题. 2.已知复数12iz i+=，则||z =（ ）B. 3C. 1D. 2i -【答案】A 【解析】 【分析】可用除法法则计算出复数z ，然后再由模的定义求得模． 【详解】解：∵212(12)()2i i i z i i i++-===--，∴|z |= 故选A ．【点睛】本题考查复数的除法运算和求复数的模，掌握复数的运算法则和复数的概念是解题基础．3.命题“2,||0x x x ∀∈+≥R ”的否定是（ ） A. 2,||0x x x ∀∈+<R B. 2,||0x x x ∀∈+≤R C. 2000,0x R x x ∃∈+< D. 2000,0x R x x ∃∈+≥【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论.【详解】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“2,||0x x x ∀∈+≥R ”的否定0x R ∃∈，2000x x +<，故选：C.【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题.4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312S =，651S =，则9S 的值等于（ ） A. 66 B. 90C. 117D. 127【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可得63963,,S S S S S --成等差数列，代入数据可得9S ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,由题意可得63963,,S S S S S --成等差数列，故()()363962S S S S S -=+-，代入数据可得()()9251121125S -=+-，解得9117S =故选C【点睛】本题考查等差数列前n 项和的性质，属于基础题．5.在△ABC 中，设三边AB ，BC ，CA 的中点分别为E ，F ，D ，则EC FA +＝ A. BDB.12BD C. ACD.12AC 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则即可求出()()1122EC AC BC FA BC BA ++＝，＝， 所以EC FA BD +＝．【详解】如图，()()1122EC AC BC FA BC BA ++＝，＝，∴()12EC FA BC BA BD ++＝＝； 故选A ．【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则及中线向量，以及向量的加法运算．6.已知tan 2θ=，则sin()cos()2sin()sin()2πθπθπθπθ+--=+--（ ） A. 2 B. 2-C. 0D.23【答案】B 【解析】由题意得，根据三角函数的诱导公式，可得sin()cos()cos cos 2222cos sin 1tan 12sin()sin()2πθπθθθπθθθθπθ+--+====----+--，故选B. 7.函数()f x =为奇函数的充要条件是（ ）A. 01a <<B. 1a >C. 01a <≤D. 1a ≥【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数定义得到11x -≤≤，再计算定义域0)x a ≤≤>，根据大小关系计算得到答案.【详解】()(),1111f x f x x x =-=+--+-，()f x 为奇函数112111111x x x x x =-∴++-=∴-≤≤+--+-考虑定义域：2a x 0-≥即0)x a ≤≤>且0x ≠101a ≤∴<≤ 故选C【点睛】本题考查了函数的奇偶性，忽略定义域是容易发生的错误. 8.已知,,a b c 为直线，,,αβγ平面，则下列说法正确的是( ) ①,a b αα⊥⊥，则//a b ②,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥ ③//,//a b αα，则//a b ④//,//αγβγ，则//αβ A. ①②③ B. ②③④ C. ①③ D. ①④【答案】D 【解析】 【分析】①可根据线面垂直的性质定理判断；②③④可借助正方体进行判断.【详解】①由线面垂直的性质定理可知垂直同一平面的两条直线互相平行，故正确；②选取正方体的上下底面为αβ、以及一个侧面为γ，则//αβ，故错误；③选取正方体的上底面的对角线为a b 、，下底面为α，则//a b 不成立，故错误；④选取上下底面为αβ、，任意作一个平面平行上底面为γ，则有 //αβ成立，故正确.所以说法正确的有：①④. 故选D.【点睛】对于用符号语言描述的问题，最好能通过一个具体模型或者是能够画出相应的示意图，这样在判断的时候能更加直观. 9.函数()1xf x x =-在区间[]2,5上的最大值与最小值的差记为max min f -，若 max min f --22a a ≥-恒成立，则a 的取值范围是（ ）A. 1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B. []1,2C. []0,1D. []1,3【答案】A 【解析】 【分析】判断出函数()y f x =在区间[]2,5上的单调性，可得出max min f -，然后再解不等式即可得出实数a 的取值范围. 【详解】()()1111111x xf x x x x -+===+---，该函数在区间[]2,5上单调递减， 所以，max min 25321514f -=-=--，由2max min 2f a a --≥-，得2324a a -≤-， 化简得24830a a -+≤，解得1322a ≤≤，因此，实数a 的取值范围是13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选A. 【点睛】本题考查函数单调性的应用，涉及二次不等式解法的应用，解题的关键就是判断出函数的单调性，并利用单调性求出函数的最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10.已知()f x 是R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递减，则不等式()()ln 1f x f >的解集为（ ） A. ()1e ,1-B. ()1e ,e -C. ()()0,1e,⋃+∞D. ()()10,e1,-⋃+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的性质可得()f x 在(),0-∞上单调递增，可将问题转化为ln x 和1到对称轴的距离的大小的问题求解．【详解】由题意，根据偶函数()f x 的性质知，()f x 在(),0-∞上单调递增， 又()()ln 1f x f >，所以ln 1x <，解得1ln 1x -<<， 由ln y x =在()0,+∞上为单调递增， 所以1e x e -<<． 故选B ．【点睛】偶函数具有性质()()()f x f x fx -==，利用这一性质，可将问题转化到函数的同一个单调区间上去研究，同时也可将函数值的大小转化为变量到对称轴的距离的大小的问题求解．11.已知三棱锥A BCD -中，AB CD ==2==AC BD ，AD BC ==锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（ ）A.32π B. 24πD. 6π【答案】C 【解析】 【分析】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积. 【详解】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，如下图所示：设DG x =，DH y =，DE z =，则2223AD x z =+=，2224DB y z =+=，2225DC x y =+=， 上述三个等式相加得()222222234512AD BD CD x y z++=++=++=，2226x y z ++=6R =， 因此，此球的体积为34663ππ⨯=⎝⎭. 故选C.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.12.双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的右焦点为F ，P 为双曲线C 上的一点，且位于第一象限，直线,PO PF 分别交于曲线C 于,M N 两点，若∆POF 为正三角形，则直线MN 的斜率等于（） A. 22-- 3222+D. 23-【答案】D 【解析】 【分析】记双曲线左焦点为1F ，根据题中条件，结合双曲线定义，32c c a -=；再设00(,)P x y ，(,)N x y ，得到00(,)--M x y ，由点差法求出200200+-⋅=+-y y y y b x x x x a，得到22221323⋅==-=+NM NPb c k k a a，进而可求出结果. 【详解】记双曲线左焦点为1F ，因为∆POF 为正三角形，所以112=OP FF ， 即190∠=︒F PF ，160∠=︒PFF ， 则有PF c =，13=PF c ， 由双曲线定义可得：32c c a -=， 设00(,)P x y ，(,)N x y ，则00(,)--M x y ，所以222222002211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差可得2222002222-=-x y x y a a b b ， 即200200+-⋅=+-y y y y b x x x x a ，即22221323⋅==-=+NM NP b c k k a a， 又3NP k =-，则23NM k =-- 故选D【点睛】本题主要考查双曲线中的直线斜率的问题，熟记双曲线的定义与简单性质即可，属于常考题型.第II 卷 非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设函数()()()3? 10(){(5)? 10x x f x f f x x -≥=+<，则(5)f =____________.【答案】8 【解析】 试题分析：依分段函数的定义，得(5)((55))f f f =+((10))(103)(7)f f f f ==-=((75))((12))f f f f =+=(123)(9)((95))((14))(143)f f f f f f f =-==+==-(11)1138f ==-=，即(5)8f =.考点：分段函数求函数值.14.若x ，y满足约束条件0,0,0,y y y -+≥+-≤≥⎪⎩则当13y x ++取最小值时，x y +的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】画出满足条件的可行域，根据目标函数表示可行域内点与(3,1)M --连线的斜率，结合图象，即可求解.【详解】画出可行域如下图所示，13y x ++表示可行域内的点(,)x y 与(3,1)M --连线的斜率， 根据图形可得，当点0(1)C ，点与M 连线时，13y x ++取得最小值，此时x y +的值为1点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 15.若4sin 3cos 0αα-=，则2sin 22cos αα+= _________． 【答案】5625【解析】 【分析】利用同角三角函数间的基本关系可得3tan 4α=，利用二倍角的正弦函数公式化简，再由已知等式弦化切后代入tanα的值，计算即可求出值． 【详解】∵4sin 3cos 0αα-=，3tan 4α=， ∴22222sin cos 2cos sin 22cos cos sin ααααααα++=+ 223222tan 25641+tan 2531+4αα⨯++===⎛⎫⎪⎝⎭， 故答案为：5625. 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的运用，涉及二倍角公式的应用，解题关键是运用齐次式化正切进行转化求解，属于简单题.16.如图所示，在平面四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=，120BCD ∠=，则四边形ABCD 的面积的最大值是 .【答案】33.【解析】【详解】如下图所示，设CD x =，BC y =，由余弦定理可知222cos12012x y xy +-=，即221234x y xy xy xy ++=≥⇒≤，∴1124sin 60sin1203322S x y =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅≤， 当且仅当2x y ==时，等号成立，即面积的最大值为33，故填：33.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.为满足人们的阅读需求，图书馆设立了无人值守的自助阅读区，提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域.现随机抽取了某阅读区500本图书的分类归还情况，数据统计如下（单位：本）.文学类专栏 科普类专栏 其他类专栏 文学类图书 100 40 10 科普类图书 30 200 30 其他图书 201060（1）根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率； （2）根据统计数据估计图书分类错误的概率.【答案】（1）23（2）725【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式，分别求出文学类图书总数以及正确分类的图书数，即可求出； （2）根据古典概型的概率公式，分别求出图书分类错误的数量以及图书总数，即可求出． 【详解】（1）由题意可知，文学类图书共有1004010150++=本，其中正确分类的有100本 所以文学类图书分类正确的概率110021503p ==． （2）图书分类错误的共有302040101030140+++++=本，因为图书共有500本， 所以图书分类错误的概率2302040101030750025p +++++==．【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，意在考查学生的数据处理能力，属于基础题．18.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 3b C c B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）若1132a c +=，ABC ，求b .【答案】（1）23B π=（2）【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可将已知等式整理求得tan B ，根据()0,B π∈可求得B ；（2）由三角形面积公式可求得ac ，利用11a c ac a c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭求得a c +，利用余弦定理可求得结果.【详解】（1）∵sin sin 3b C c B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ∴由正弦定理得：sin sin sin sin 3B C C B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵0C π<< ∴sin 0C > ∴sin sin 3B B π⎛⎫=-⎪⎝⎭∴13sin sin cos 22B B B =- ∴tan 3B =- ∵()0,B π∈ ∴23B π=（2）由1123sin sin 32234ABC S ac B ac ac π====△得：4ac = ∴113462a c ac a c ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭∴()222222cos 36142b a c ac B a c ac a c ac =+-=++=+-=-=【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、两角和差正弦公式、三角形面积公式和余弦定理的应用等知识，属于常考题型.19.如图，三棱柱ABC A B C '''-的侧棱AA '垂直于底面ABC ，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =，6AA '=，M 是棱CC '的中点.（1）证明：AB A M ''⊥； （2）求三棱锥A AMB ''-的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）32【解析】 【分析】（1）要证AB A M ''⊥，可证A M '⊥平面AB C ''．由平面知识可证得A M AC ''⊥，又B C ''⊥平面ACC A ''可推出B C A M '''⊥，即得A M '⊥平面AB C ''，于是AB A M ''⊥；（2）根据等积法，13A AMB B A MA A MA V V S BC '''''--∆''==⋅，即可求出．【详解】（1）证明：∵AA '⊥平面ABC ∴四边形ACC A ''是矩形∵M 为CC '中点，且AA CC ''==∴C M '=∵1BC =，30BAC ∠=︒，90ACB ∠=︒∴AC A C ''==C M A C A C AA '''='''∵MC A C A A ''''∠=∠，∴MC A ''∆与C A A ''∆相似 ∴C A M A AC ''''∠=∠，∴90A AC AA M '''∠+∠=︒ ∴A M AC ''⊥∵90ACB ∠=︒，∴BC ⊥平面ACC A ''， ∴B C ''⊥平面ACC A ''∵A M '⊂平面ACC A ''，∴B C A M '''⊥ ∴A M '⊥平面AB C ''，∴A M AB ''⊥（2）在ABC ∆中，1BC =，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒所以AC =1）知B C ''⊥平面ACC A ''由于四边形ACC A ''是矩形，所以1122MA A S AA AC '∆'=⋅==∴111332A AMB B A MA A MA V V S BC '''''--∆''==⋅==． 【点睛】本题主要考查利用线面垂直的判定定理，性质定理证明线线垂直，以及利用等积法求三棱锥的体积，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 20.已知函数().xf x e =（1）讨论函数()()g x f ax x a =--的单调性； （2）证明：()3ln f x xx ++>【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】【详解】试题分析: （1）对函数()g x 求导,按0a ≤和0a >分别判断导函数的正负,写出函数的单调性; （2）要证()3ln f x xx ++>()ln 30x x x e +->，由（1）可知当1a =时，10x e x --≥，即1x e x ≥+，当10x +>时，上式两边取以e 为底的对数，可得()ln 1(1)x x x +≤>-，用1x -代替x 可得ln 1(0)x x x ≤->，又可得11ln1(0)x x x ≤->，所以1ln 1(0)x x x≥->,将原不等式放缩,即可证得. 试题解析:（1）解：()()(),1axxg x f ax x a e x a g x ae =--=-='--， ①若0a ≤时，()()0,g x g x '<R 上单调递减；②若0a >时，当1ln x a a<-时，()()0,g x g x '<单调递减； 当1ln x a a>-时，()()0,g x g x '>单调递增； 综上，若0a ≤时，()g x 在R 上单调递减；若0a >时，()g x 在1,ln a a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减； 在1ln ,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）证明：要证()3ln f x xx ++>()ln 30xx x e +->， 由（1）可知当1a =时，10x e x --≥，即1x e x ≥+，当10x +>时，上式两边取以e 为底的对数，可得()ln 1(1)x x x +≤>-， 用1x -代替x 可得ln 1(0)x x x ≤->，又可得11ln 1(0)x x x≤->， 所以1ln 1(0)x x x≥->， ()1ln 3113x x x e x x x ⎛⎫+->-+++- ⎪⎝⎭()222211x x x =++-=+-(()22110≥-=≥，即原不等式成立.21.已知圆()22:11M x y ++=，圆()22:19N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程；（2）若直线()1y k x =-与曲线C 交于,R S 两点，问是否在x 轴上存在一点T ，使得当k 变动时总有OTS OTR ∠=∠？若存在，请说明理由.【答案】（1）()221243x y x +=≠-（2）()4,0T【解析】试题分析：（1）利用椭圆定义求轨迹方程：先由动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，得12PM R r PN r R =+=-，，从而124PM PN r r +=+=，再由椭圆的定义可知，曲线C 是以,M N 为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为的椭圆（左顶点除外），其方程为()221243x y x +=≠-（2）条件OTS OTR ∠=∠就是0TS TR k k +=，利用坐标化简得：设()()1122,,,R x y S x y ，则()()12122120x x t x x t -+++=，再联立直线方程与椭圆方程，消去y ，利用韦达定理得21222122834{41234k x x k k x x k +=+-=+，代入化简得4t =试题解析：（1）得圆M 的圆心为()1,0M -，半径11r =；圆N 的圆心()1,0N ，半径23r =.设圆P 的圆心为(),P x y ，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，所以12124PM PN R r r R r r +=++-=+=由椭圆的定义可知，曲线C 是以,M N 为左右焦点，长半轴长为2顶点除外），其方程为()221243x y x +=≠-（2）假设存在(),0T t 满足OTS OTR ∠=∠.设()()1122,,,R x y S x y联立()221{34120y k x x y =-+-=得()22223484120k x k x k +-+-=，由韦达定理有 21222122834{41234k x x k k x x k +=+-=+①，其中0∆>恒成立， 由OTS OTR ∠=∠（显然,TS TR 的斜率存在），故0TS TR k k +=，即12120y yx t x t+=--②， 由,R S 两点在直线()1y k x =-上，故()()11221,1y k x y k x =-=-代入②得：()()()()()()()()()()121212************k x x t x x t k x x t k x x t x t x t x t x t ⎡⎤-+++--+--⎣⎦==----即有()()12122120x x t x x t -+++=③将①代入③即有：()()222228241823462403434k t k t k t k k --+++-==++④，要使得④与k 的取值无关，当且仅当“4t =”时成立，综上所述存在()4,0T ，使得当k 变化时，总有OTS OTR ∠=∠考点：利用椭圆定义求轨迹方程，直线与椭圆位置关系 【方法点睛】1.求定值问题常见的方法有两种（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定点的探索与证明问题（1）探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b 、k 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．（2）从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线cos ,:sin x t C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，0t >）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cos 4l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围； （2）若曲线C 上存在点到lt 的值. 【答案】(1)(；. 【解析】试题分析：（1）将曲线与直线转为直角坐标系方程，然后联立直线与方程组求得结果（2）利用三角函数求出点到直线的距离表达式d =，结合题目求得结果解析：（1）因为直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即cos sin 2ρθρθ+=，所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=；因为,x tcos y sin αα=⎧⎨=⎩（α参数，0t >）所以曲线C 的普通方程为2221x y t+=，由2222,1,x y x y t+=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得，()2221440t y y t +-+-=， 所以()()22164140t t ∆=-+-<，解得0t <<故t的取值范围为(.（2）由（1）知直线l 的直角坐标方程为20x y +-=， 故曲线C 上的点()cos ,sin t αα到l的距离d =，故d=解得t =. 又因为0t >，所以t =.点睛：本题考查了参数方程的知识点，先将参数方程或者极坐标方程转化为直角坐标系的方程，然后根据在直角坐标系的方法求得结果，在计算点到线的距离时，由三角函数的方法在计算中更为简单23.已知函数()21f x x =-，x ∈R . (1)解不等式()1f x x <+； (2)若对x ，y ∈R ，有113x y --≤，1216y +≤，求证：()1f x <. 【答案】（1）{x |0<x <2}．（2）见解析 【解析】 【分析】(1)分段讨论求解不等式即可.(2)利用1x y --与21y +拼凑出21x -再利用三角不等式证明即可. 【详解】(1)∵()1f x x <+,∴|2x －1|<|x |＋1,即12211x x x ⎧≥⎪⎨⎪-<+⎩ 或102121x x x ⎧<<⎪⎨⎪-<+⎩或0121x x x ≤⎧⎨-<-+⎩ 得122x ≤<或102x <<或无解． 故不等式()1f x x <+的解集为{x |0<x <2}．(2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1| ＝2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤11521366⨯+=<. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解方法以及拼凑利用三角不等式证明不等式的方法.属于中等题型.。

又 ,且当 趋近于零时, 趋近于正无穷；
对函数 ,当 时， ；
根据题意,对 ， 且 ，使得 成立，
只需 ,
即可得 ,
解得 .
故选：D.
【点睛】本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题,涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13。设向量 , ，若 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
由向量垂直得 的方程求解即可
【详解】依题意, ,即 ，解得 。
故答案为
【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，考查运算求解能力以及化归与转化思想.
14。在 中任取一实数作为 ，则使得不等式 成立的概率为______。
【答案】
【解析】
【分析】
（1）求 ；
(2）求 面积。
【答案】（1) （2)
【解析】
【分析】
(1)通过正弦定理实现边角转化,再应用余弦定理，可求出 ．
(2)根据已知条件可以确定 ，并求出它们的表达式，在 中,运用外角与内角的关系、正弦定理,可求出 ， 的大小，最后求出面积．
【详解】解（1） ，由 得 ，
由余弦定理得 ，
， ：
解对数不等式求得 的取值范围，根据几何概型概率计算公式计算出所求的概率。
【详解】依题意， ，故所求概率 。故答案为 。
【点睛】本小题主要考查对数不等式的解法，考查几何概型概率计算方法，属于基础题.
15。已知抛物线 经过点 ，直线 与抛物线交于相异两点 ， ,若 的内切圆圆心为 ，则直线 的斜率为______。
7.在四棱锥 中，所有侧棱都为 ，底面是边长为 的正方形, 是 在平面 内的射影， 是 的中点，则异面直线 与 所成角为（ ）

2020年春四川省泸县第五中学高三三诊模拟考试文科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷 选择题(60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}220A x x x =-≤,集合10,2x B x x N x ⎧⎫+=≤∈⎨⎬-⎩⎭,则A B =( )A.[]0,2B.[)0,2C.{}1D.{}0,1【参考答案】D 【试题解析】求得集合{|02}A x x =≤≤,{0,1}B =,结合集合的交集运算,即可求解. 【详细解答】由题意,集合{}220{|02}A x x x x x =-≤=≤≤,集合{}10,0,12x B x x N x ⎧⎫+=≤∈=⎨⎬-⎩⎭,所以A B ={}0,1.故选:D.本题主要考查了集合的交集运算,其中解答中正确求解集合,A B ,结合集合的交集的运算是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.2.在复平面内,复数z 在复平面所对应点为()1,1-,则2z =( )A.22C.2i -D.22i -【参考答案】C 【试题解析】由复数的几何表示方法,求得1z i =-+,再结合复数的运算,可求解.【详细解答】由题意,复数z 在复平面所对应点为()1,1-,即1z i =-+, 所以22(1)2z i i =-+=-. 故选:C.本题主要考查了复数的几何表示,以及复数的运算,其中解答中熟记复数的几何表示方法,以及复数的乘法运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 3.命题:(0,)p x ∀∈+∞,1135x x =,则p ⌝为( )A.(0,)x ∃∈+∞,1135x x ≠ B.(0,)x ∀∈+∞,1135x x ≠ C.(,0)x ∃∈-∞,1135x x ≠D.(,0)x ∀∈-∞,1135x x ≠【参考答案】A 【试题解析】根据全称命题的否定直接判断选择. 【详细解答】:(0,)p x ∀∈+∞,1135x x =,p ∴⌝:(0,)x ∃∈+∞,1135x x ≠故选:A本题考查全称命题的否定,考查基本分析判断能力,属基础题.4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若11a =,34222S a S =+,则8a =( ) A.8B.9C.16D.15【参考答案】D 【试题解析】根据等差数列的通项公式和前n 项和公式,求得公差2d =,再由等差数列的通项公式,即可求解． 【详细解答】由题意,因为11a =,34222S a S =+, 即111322(3)2(3)22a d a d a d ⨯⨯+=+++,解得2d =, 所以81717215a a d =+=+⨯=,故选D ．本题主要考查了等差数列的通项公式,以及前n 项和公式的应用,其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n 项和公式,准确计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题．5.在下列区间中,函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为( )A.1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C.11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D.13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【参考答案】C 【试题解析】先判断函数()f x 在R 上单调递增,由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详细解答】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增,且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内,故选C. 本题主要考查零点存在定理的应用,属于简单题.应用零点存在定理解题时,要注意两点:(1)函数是否为单调函数；(2)函数是否连续.6.已知直线1:70l x my ++=和()2:2320l m x y m -++=互相平行,则实数m =( ) A.3m =- B.1m =-C.1m =-或3D.1m =或3m =-【参考答案】C 【试题解析】根据直线平行充要关系得等式,解得结果. 【详细解答】由题意得17232m m m=≠∴- 1m =-或3,选C. 本题考查直线平行位置关系,考查基本转化求解能力,属基础题. 7.已知133a =,122b =,3log 2c =,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A.a b c << B.b a c << C.c a b << D.c b a <<【参考答案】D【试题解析】根据幂函数、对数函数的单调性判断三个数大小. 【详细解答】11111066613629,28,981138a b a b ===>>=∴>=>33log 2log 311c a b c =<=∴>>>故选:D本题考查利用幂函数、对数函数单调性比较大小,考查基本分析判断能力,属基础题. 8.将函数sin(3)4y x π=+的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,再向右平移2π个单位,再向上平移1个单位,得到的新函数的一个对称中心是( ) A.(,1)2πB.(,1)9πC.(,0)2πD.π(,1)4【参考答案】D 【试题解析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式,再根据三角函数的性质求出函数的对称中心,确定选项．【详细解答】解:函数sin(3)4y x π=+的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为sin()4y x π=+再向右平移2π个单位得到图象的解析式为sin[()]sin 2(4)4y x x πππ=-+=-再向上平移1个单位得到图象的解析式为sin()14y x π=-+,令()4x k k Z ππ-=∈解得()4x k k Z ππ=+∈,故函数的对称中心为(),41k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭当0k =时对称中心为,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数sin()14y x π=-+的一个对称中心．故选:D ．本题考查了三角函数图象变换规律,三角函数图象、性质．是三角函数中的重点知识,在试题中出现的频率相当高．9.已知a ,b 为两条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平面,则下列说法中正确的是( ) ①若//a α,//αβ,则//a β ②若//αβ,//βγ,则//αγ③若a α⊥,b α⊥,则//a b ④若αγ⊥,βγ⊥,则αβ⊥ A.①③ B.②③C.①②③D.②③④【参考答案】B 【试题解析】根据线面位置关系逐一判断,即可选择.【详细解答】若a ∥α,α∥β,得a ⊆β或//a β；所以①不正确； 若α∥β,β∥γ,则α∥γ；所以②正确； 若a ⊥α,b ⊥α,则a ∥b ；所以③正确；若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β或α∥β或相交；所以④不正确； 故选:B本题考查线面有关命题判断,考查基本分析判断能力,属于基础题.10.某珠宝店丢了一件珍贵珠宝,以下四人中只有一人说真话,只有一人偷了珠宝．甲:“我没有偷”；乙:“丙是小偷”；丙:“丁是小偷”；丁:“我没有偷”．根据以上条件,可以判断偷珠宝的人是( ) A.甲B.乙C.丙D.丁【参考答案】A 【试题解析】【详细解答】试题分析:若甲说的是真话,则乙、丙、丁都是说假话,所以丁偷了珠宝,所以,丙说的也是真话,与只有一个人说真话相矛盾,所以甲说的假话,偷珠宝的人是甲． 【知识点】:推理与证明．11.设函数()32cos 4132f x x x x θθ=++- ,其中 50,6πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则导数()'1f - 的取值范围是 ( )A.[]36，B.3⎡⎣，C.⎡⎤⎣⎦D.⎡⎣【参考答案】A 【试题解析】先对原函数进行求导可得到()f x '的解析式,将1x =-代入可求取值范围．【详细解答】解:32cos ()412f x x x θ=++-∴2()cos 4f x x x θθ'=++∴(1)cos 42sin()46f πθθθ'--+=-+5[0,]6πθ∈∴21[,]sin()[,1]66362ππππθθ-∈-∴-∈- []6(1)3f ∴'-∈, 故选:A ．本题主要考查函数求导和三角函数求值域的问题．这两个方面都是高考中必考内容,难度不大． 12.已知函数()f x 的定义域为R 的奇函数,当[]0,1x ∈时, ()3f x x =,且x R ∀∈, ()()2f x f x =-,则()2017.5f = A.18- B.18C.0D.1【参考答案】B 【试题解析】根据函数定义域及函数对称轴,求出函数的周期,进而化简求得函数值即可． 【详细解答】因为()()2f x f x =-,所以函数图像关于1x = 对称 因为()f x 的定义域为R 的奇函数,所以函数的周期为T=4 所以()()()2017.55044 1.5 1.5f f f =⨯+= 因为函数图像关于1x = 对称所以()()1.50.5f f ==18所以选B本题考查了函数的对称性及周期性,掌握函数的基本性质是解决这类问题的关键,属于中档题．第II 卷 非选择题(90分)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若变量x ,y 满足约束条件2242x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥-⎩,则z x y=-最大值为___________.【参考答案】2 【试题解析】画出不等式组对应的可行域,平移动直线可得z 的最大值. 【详细解答】不等式组对应的可行域如图所示:平移动直线0x y z --=至A 时,z 有最大值,又224y x y x =-+⎧⎨=-⎩得()2,0A ,故max 2z =,故填2.二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题,常通过线性规划来求最值,求最值时往往要考二元函数的几何意义,比如34x y +表示动直线340x y z +-=的横截距的三倍 ,而21y x +-则表示动点(),P x y 与()1,2-的连线的斜率．14.平面向量a 与b 的夹角为4π,()1,1a =-,1b =,则2a b +=__________________． 10 【试题解析】由222(2)a b a b +=+计算模． 【详细解答】由题意2a =,2cos 21142a b a b π⋅==⨯=, ∴222(2)a b a b +=+222244(2)414110a a b b =+⋅+=+⨯+⨯=, ∴2a b +=10．故答案为本题考查求向量的模,考查向量的数量积．求向量的模一般转化为数量积运算,即由公式22a a =转化即可．15.在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若sin cos cos sin sin sin ab Ca Bb A a A b Bc C+=+-,且3a b +=,则c 的取值范围为________________．【参考答案】3[,3)2. 【试题解析】先由三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式以及正弦定理证明cos cos a B b A c +=,再利用正弦定理、余弦定理化简原等式可得293c ab =-,利用基本不等式求得27304ab -≤-<,从而可得结果. 【详细解答】因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ 所以由正弦定理可得cos cos a B b A c +=, 又因为sin cos cos sin sin sin ab Ca Bb A a A b Bc C+=+-,所以由正弦定理可得222abcc a b c=+-, 即222a b c ab +-=,所以222c a b =+-2()3ab a b ab =+-, 因为3a b +=,所以293c ab =-,因为29()24a b ab +≤=, 当且仅当32a b ==时取等号,所以27304ab -≤-<, 所以99394ab ≤-<,即2994c ≤<,所以332c ≤<,故c 的取值范围为3[,3)2．解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到．16.在四面体ABCD 中,若1AD DC AC CB ====,则当四面体ABCD 的体积最大时,其外接球的表面积为________.【参考答案】73π 【试题解析】先根据底面ACD 面积为定值,确定四面体ABCD 的体积最大时,CB ⊥平面ACD ,再确定外接球球心位置,解得球半径,代入球的表面积公式得结果.【详细解答】因为1AD DC AC ===,所以底面ACD 面积为定值, 因此当CB ⊥平面ACD 时,四面体ABCD 的体积最大.设ACD △外接圆圆心为1O ,则四面体ABCD 的外接球的球心O 满足1OO //BC ,且112OO =, 因此外接球的半径R 满足222137()212R =+= 从而外接球的表面积为2743R ππ= 故答案为:73π 本题考查四面体外接球的表面积,考查综合分析求解能力,属中档题.三.解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.17.已知数列{}n a 是公比为q 的正项等比数列,{}n b 是公差d 为负数的等差数列,满足23111da a a -=,12321b b b ++=,123315b b b =. (1)求数列{}n a 的公比q 与数列{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n b 的前10项和10S 【参考答案】(1)1,1122n q b n ==-(2)1050S =【试题解析】(1)利用等差数列的性质,求得2b ,然后利用123315b b b =列方程求得d 的值,进而求得1,n b b .利用基本元的思想化简232112a a a --=,求得q 的值.(2)先找到0n b ≥的分界点,先对正项部分求和,然后利用等差数列前n 项和公式,求得负项的绝对值的和,由此求得10S 的值.【详细解答】(1)由已知,3122321b b b b ++==,得27b =又()()()()21232227773437315bb b b d b b d d d d =-+=-⋅+=-=⋅⋅⋅得:2d =-或2(舍),1729,211n b b n =+==-+于是232112a a a --=, 又{}n a 是公比为q 的等比数列,故2111112a q a q a --= 所以,2210,1q q q +==--(舍)或12综上,1,2,1122n q d b n ==-=-. (2)设{}n b 的前n 项和为n T ;令01120n b n ≥-≥，,得5n ≤ 于是,15555()S =T ==252b b + 易知,6n >时,671067106710|, |)0(n b b b b b b b b b b <++⋯⋯+=---⋯⋯-=-++⋯⋯+()()10502525T T =--=--=所以,1050S =本小题主要考查等差数列的性质,考查等差数列前n 项和公式,考查含有绝对值的数列求和的方法,属于中档题.18.工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y 进行检测,一共抽取了48件产品,并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y 有关,具体见下表.(1)以每个区间的中点值作为每组指标的代表,用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y 的平均值(保留两位小数)；(2)用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品,再从6件产品中随机抽取2件产品,求这2件产品的指标Y 都在[]9.8?10.2，内的概率； (3)已知该厂产品的维护费用为300元/次,工厂现推出一项服务:若消费者在购买该厂产品时每件多加100元,该产品即可一年内免费维护一次.将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用.假设这48件产品每件都购买该服务,或者每件都不购买该服务,就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用,并以此为决策依据,判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？ 【参考答案】(1)1007．；(2)15；(3)该服务值得购买 【试题解析】(1)由样本数据能估计该厂产品的质量指标Y 的平均值指标．(2)由分层抽样法知,先抽取的件产品中,指标Y 在[9.8,10.2]内的有3件,记为A 1,A 2,A 3,指标Y 在(10.2,10.6]内的有2件,记为B 1,B 2,指标Y 在[9.4,9.8)内的有1件,记为C,从6件产品中,随机抽取2件产品,共有基本事件15个,由此能求出指标Y 都在[9.8,10.2]内的概率．(3)不妨设每件产品的售价为x 元,假设这48件样品每件都不购买该服务,则购买支出为48x 元,其中有16件产品一年内的维护费用为300元/件,有8件产品一年内的维护费用为600元/件,由此能求出结果．【详细解答】(1)指标Y 的平均值＝13296101041007666．．．⨯+⨯+⨯≈ (2)由分层抽样法知,先抽取的6件产品中,指标Y 在[9.4,9.8)内的有3件,记为123A A A 、、；指标Y 在(10.2,10.6]内的有2件,记为12B B 、:指标Y 在[9.4,9.8)内的有1件,记为C ．从6件产品中随机抽取2件产品,共有基本事件15个()12,A A 、()13,A A 、()11,A B 、()12,AB 、()1,AC 、()23,A A 、()21,A B 、()22,A B 、()2,A C 、()31,A B 、()32,A B 、()3,A C 、()12,B B 、()1,B C 、()2,B C .其中,指标Y 都在[]9.8,10.2内的基本事件有3个:()12,A A 、()13,A A 、()23,A A 所以由古典概型可知,2件产品的指标Y 都在[]9.8,10.2内的概率为31155P ==. (3)不妨设每件产品的售价为x 元,假设这48件样品每件都不购买该服务,则购买支出为48x 元．其中有16件产品一年内的维护费用为300元／件,有8件产品一年内的维护费用为600元／件,此时平均每件产品的消费费用为()14816300860020048x x η=⨯+⨯+⨯=+元； 假设为这48件产品每件产品都购买该项服务,则购买支出为()48100x +元,一年内只有8件产品要花费维护,需支出83002400⨯=元,平均每件产品的消费费用()148100830015048x x ξ⎡⎤=⨯++⨯=+⎣⎦元. 所以该服务值得消费者购买.本题考查平均值、概率、平均每件产品的消费费用的求法,考查列举法、古典概型等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题．19.已知菱形ABCD 的边长为2,60ABC ∠=︒,对角线AC 、BD 交于点O ,平面外一点P 在平面ABCD 内的射影为O ,PB 与平面ABCD 所成角为30°.(1)求证:BD PA ⊥；(2)点N 在线段PB 上,且3N PCD V -=,求PN PB 的值.【参考答案】(1)证明见解析 (2)14PN PB = 【试题解析】(1)由PO ⊥面ABCD 得PO BD ⊥,然后证明出BD ⊥面PAC 即可(2)由PO ⊥面ABCD 得PB 与平面ABCD 所成角为30PBO ∠=︒,然后利用D PBC P DBC V V --=算出点D 到平面PCB 的距离为2217,然后利用N PCD D PCN V V --=即可算出答案.【详细解答】(1)由题意PO ⊥面ABCD ,∴PO BD ⊥, 菱形ABCD 中,AC BD ⊥,又PO AC O =,则BD ⊥面PAC ,所以BD PA ⊥；(2)因为PO ⊥面ABCD ,所以PB 与平面ABCD 所成角为30PBO ∠=︒,又菱形边长为2,60ABC ∠=︒,所以BO =,1PO =,2PB =,1CO =,PC =所以cos4BPC ∠==,sin BPC ∠=. 设||||2PN PB λλ==,点D 到平面PCB 的距离为d 由D PBC P DBC V V --=得1133BCD PBC S PO S d ⋅=⋅△△,即111122sin120123232d ⨯⨯⨯⨯︒⨯=⨯⨯,解得d =所以D 到平面PNC .所以11123247124N PCD D PCN V V λλ--==⨯⨯=⇒=. 所以14PN PB =. 常用等体积法求点到平面的距离. 20.设函数()(m )=-xf x x e (1)求函数()f x 的极值；(2)当0x >时,()4<+f x x 恒成立,求整数m 的最大值.(参考数值 2.7183e ≈,32 4.4817e ≈) 【参考答案】(1) 1()=m f x e -极大值,无极小值;(2)整数m 的最大值为2【试题解析】(1)求出函数的定义域、导函数,即可求出函数的单调区间,则极值可求. (2)题目转化为4(0)x x m x x e +<+>恒成立,构造函数设4()x x g x x e+=+,求出导函数,设()(3)x h x e x =-+,判断()h x 的零点所在区间,可得()g x 的单调性,即可表示出的()g x 最小值,分析得到min 4916()185<<g x ,推出结果．【详细解答】解:(1)()f x 的定义域为R ,'()(m 1)=--x f x x e 令'()0f x >,解得1x m <-；令'()0f x <,解得1x m >- 当(,1)∈-∞-x m 时,()f x 单调递增, 当(1,)∈-+∞x m 时,()f x 单调递减,1()=(1)极大值-∴-=m f x f m e ；无极小值.(2)()4-<+xm x e x ,因为0x e >,所以4+<+x x m x e(0x >)恒成立 设4g()+=+x x x x e ,则 33g'()1+--=-+=x x xx e x x e e设h()3=--xx e x 则'()1xh x e =-0> 所以()h x 在(0,)+∞上单调递增,又23(1)40,() 4.4817 4.50,(2)52=-<≈-<=-h e h h e 所以存在03(,2)2∈x 使得0()0h x =,当()01,x x ∈时,()0h x <；当()0,x x ∈+∞时,()0h x > 所以()g x 在()01,x 上单调递减,()0,x +∞上单调递增 所以 00min 04g()+=+x x x x e 又0()0h x =,3=+x e x 所以000min 00000441g()133++=+=+=++++x x x x x x x e x x 令13t()1,(,2)32=++∈+x x x x 则'()0t x >,所以()t x 在3(,2)2上单调递增,所以3()()(2)2<<t t x t ,即min 4916()185<<g x因为m Z ∈,所以2m ≤,所以m 的最大值为2本题考查函数的导数的应用,构造法的应用,二次导数以及函数的最值的求法,考查转化思想以及计算能力,是难题．21.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点(2,2)A ,点B 在抛物线C 上,且满足2OF FB FA =-(O为坐标原点).(1)求抛物线C 的方程；(2)过焦点F 任作两条相互垂直的直线l 与l D ',直线l 与抛物线C 交于P ,Q 两点,直线l D '与抛物线C 交于M ,N 两点,OPQ △的面积记为1S ,OMN 的面积记为2S ,求证:221211S S +为定值. 【参考答案】(1)24y x =(2)见解析 【试题解析】(1)先根据条件解得B 点坐标,代入抛物线方程解得p ,即得结果；(2)先设直线方程,与抛物线方程联立,利用韦达定理以及弦长公式求得1S 与2S ,最后代入化简221211S S +得结果.【详细解答】(1)设11(,)B x y 11(,0),2(,0)(4,4)222p p pF OF FB FA x p y ∴=-⇒=--+- 11114,404,422p px p y x y =--+-=∴== 因为点B 在抛物线C 上,2242424p p y x ∴=⋅∴=∴=(2)由题意得直线l的斜率存在且不为零,设:1l x my =+,代入24y x =得2440y my --=,所以1212124,4||y y m y y y y +==-∴-==因此1211||1S 2y y =-⨯=同理可得2S =因此22222212211111114(1)4(1)4(1)44(1)m S S m m m m+=+=+=++++ 点睛】本题考查抛物线方程以及直线与抛物线位置关系,考查综合分析求解能力,属中档题. (二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线:4cos C ρθ=,直线l 的参数方程为:321x ty t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数),直线l 与曲线C 分别交于M ,N 两点.(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程；(2)若点(3,1)P -,求11||||PM PN -的值. 【参考答案】(1)22(2)4x y -+=,250x y --=；(2) 【试题解析】(1)根据极坐标与直角坐标方程间的转换公式可求出曲线C 的普通方程,再利用消元法消去参数可得到直线l 的普通方程;(2)先将直线参数方程化为标准形式,再将之代入曲线C 的普通方程中,最后利用参数的几何意义,结合韦达定理求解即可. 【详细解答】(1)4cos ρθ=,24cos ρρθ∴=将222cos x y xρρθ⎧=+⎨=⎩代入上式,可得224x y x +=, 因此曲线C 的普通方程为:22(2)4x y -+=,又直线l 的参数方程为:321x ty t=+⎧⎨=-+⎩(t 为参数),因此直线l 的普通方程为:250x y --=;(2)由题知直线l 的参数方程为:321x ty t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数),故其参数方程标准形式为:3515x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数),将之代入22(2)4x y -+=中,整理后可得220t +-=, 设,PM PN 对应的参数分别为12,t t ,则12122t t t t +==-,2121121212||||||1111||||||||||||||5t t t t PM PN t t t t t t -+∴-=-==±=±. 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程,参数方程化为普通方程,考查了直线参数方程的应用,难度不大.23.设函数()f x x a =-．(1)当2a =时,解不等式()71f x x ≥--； (2)若()2f x ≤的解集为[]1,3-,()110,02a m n m n+=>>,求证:43m n +≥． 【参考答案】(1)(][),25,-∞-+∞(2)43m n +≥(当且仅当21,4m n +==时取等号) 【试题解析】(1)由零点分区间的方法,去掉绝对值,分情况解不等式即可；(2)原不等式转化为2a x x a -≤≤+,即2123a a -=-⎧⎨+=⎩解得a 值即可,再由1的妙用,结合均值不等式得到结果. 【详细解答】(1)当2a =时,不等式为217x x -+-≥,∴1217x x x <⎧⎨-+-≥⎩或12217x x x ≤≤⎧⎨-+-≥⎩或2217x x x >⎧⎨-+-≥⎩,∴2x ≤-或5x ≥．∴∴不等式的解集为(][),25,-∞-⋃+∞．(2)()2f x ≤即2x a -≤,解得22a x a -≤≤+,而()2f x ≤解集是[]1,3-,∴2123a a -=-⎧⎨+=⎩,解得1a =,所以()110,02a m n m n +=>>, ∴()114443322n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭．(当且仅当21,4m n +==时取等号) 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．解决二元的范围或者最值问题,常用的方法有:不等式的应用,二元化一元的应用,线性规划的应用,等.。