统一化的微分–积分求积法

微积分中积分的统一与运算孙玉泉;张文峰;杨小远【摘要】数学分析中研究的多种积分,都是通过分割、求和、取极限的过程建立的,它们在形式上差别很大但是其数学本质是一致的.在给出这些积分统一抽象表示的基础上分析了积分运算中的换元法与外微分之间的关系.最后讨论了使用微元法建立各种积分时微元选取的条件,并通过实例说明统一表示的方便.%All integrals in mathematical analysis are established by segmentation,summation,and taking limit.Although they vary widely in form, they have the same mathematical essence.This paper gives a unity representation of these integrals.Based on this representation,we analyze the relationship between substitution method and exterior differential.Finally we give the conditions of selecting approximation in using micro-element method and an example to illustrate the convenience of the uniform representation.【期刊名称】《河南科学》【年(卷),期】2011(029)004【总页数】6页(P391-396)【关键词】积分统一表示;积分换元;外微分;微元法【作者】孙玉泉;张文峰;杨小远【作者单位】北京航空航天大学数学与系统科学学院数学、信息与行为教育部重点实验室,北京,100191;北京航空航天大学电子信息工程学院,北京,100191;北京航空航天大学数学与系统科学学院数学、信息与行为教育部重点实验室,北京,100191【正文语种】中文【中图分类】O177.2积分学是高等数学中的重要基础内容，一般分为定积分、重积分、曲线积分、曲面积分等.这些积分在形式上差别很大，但是它们之间在本质上有着重要的联系.提取这些积分的本质特征，找出它们之间的联系，给出统一表示形式，能更好地掌握各种积分间的关系和深入理解积分的实质.定积分最直观的几何和物理意义是求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程.我们通过做分割得到小的曲边梯形或路程，然后求出每一小部分的近似值，对这些近似值求和来近似大的面积或总的路程.然后我们将分割无限加细，如果近似和的极限存在，就定义这个极限为一个定积分.其严格的定义如下[1]：函数f在区间［a，b］上有定义.如果实数I使得∀ε>0，存在δ>0，只要［a，b］的分割π 适合‖π‖<δ而不管ξixi-1，xi］（1≤i≤n）如何选择，都有成立时，称 f在［a，b］上（黎曼）可积，称 I是 f在［a，b］上的（黎曼）积分或定积分.因此定积分可以写为如下极限：其它积分形式也有类似结论[1]：二重积分：第一型曲线积分：第二型曲线积分：这些积分形式上差别很大，都对应不同的几何和物理意义，但是本质上都是一个求和、取极限的过程.积分的结果是无穷多个无穷小量之和.积分究其本质来说，就是偏差小于任何正数的近似，是“无穷小方法”[2].既然积分的本质是一样的，因此我们可以给出如下统一的定义：定义1 设D为一个区域，f为定义在D上的函数，π为D的一个分割，Δωi为分割的微元，分割的细度为‖π‖，任取ξi∈Δωi，若极限存在，则称f在D上可积.用A表示该极限，称其为f在D上的积分并记为其中“*”指的是变量与微元的某种合成关系.在这个表达式中，D可以是任何线性空间的一个域，f是这个域上的数量或向量函数，dω是相应的微元，关系“*”由函数和微元的具体意义决定，可以是乘积或向量点乘、叉乘，甚至是一些自定义的关系.例如当D为区间f为该区间上的函数，dω为区间微元则该积分就是定积分；如果D是三维空间中的曲线，f是该曲线上对应的数量函数，dω表示曲线上的弧长微元，则积分表示第一型曲线积分；若f是曲线上对应的向量函数，dω表示曲线上的向量微元，关系“*”表示点乘积，则积分表示第二型曲线积分.因此，积分的具体含义不但和积分区域有关，也和被积函数和微元类型及它们之间的运算有关，不同的运算关系有不同的几何或物理意义.更一般地我们把f*dω看作区域内的微元，设为dφ，则可以给出更一般的统一形式：定义2 设D为一个区域，f为定义在D上满足可积条件的函数，则我们可以将f在D上的积分表示为其中dφ为区域内的微元.有了积分的统一表示不但可以帮助我们理解积分的含义和各种积分间的关系，而且可以为解决实际问题提供方便.我们在运用积分的时候用到的第一个思想类似于物理中的量子的概念，我们把积分中取极限后的微元称为“粒子”，是无穷小量.按定义1，积分就是将某一空间中所有“粒子”（dω）所对应的变量（f）与该点按某种关系（*）结合后加在一起的总和.值得指出的是，在引入无穷小量的时候，所引入的无穷小量可能不是唯一的，例如在求不规则物体的体积的时候，我们有式子：式（1）和（2）中的f（x，y）dz与f（x）dydz都是正确的无穷小量.更多例子参见文献［3］.如果将我们要求的结果抽象为某一特殊空间的特殊体积，那么变量的因子或微元分解后的因子就代表一个维度，变量的维度加上微元因子的维度就是我们所求结果的维度.式（1）中f为二维，微元为一维；式（2）中f为一维，微元为二维.维数和均为三维，与体积的维数相符.如果使用定义2，则该无穷小量的表示方法唯一. 运用上述观点可以更加本质地刻画积分，在实际运用的时候，我们统一思想就是形成“粒子”，变量与“粒子”作用之后再累加.例1[1]求流速场F=（yz，zx，xy），流出曲面∑的流量，其中曲面∑是圆柱体：的表面.解∑可以看作由三个曲面组成，即圆柱体的侧面∑1和上，下表面在∑1上，有向面微元是（，0）dσ，其中dσ表示面的面积.故流量微元是故在∑1上的流量为由对称性知，Q1=0.同理可得Q2=0，Q3=0.因此Q=0.我们还可以将积分的统一表示推广到复变函数积分中.复变函数积分的定义[4]：若复变函数ω=f（z）定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑有向曲线.把曲线C分成任意n段弧段，设分点为 A=Z0，Z1，…，Zn=B，在弧段 Zk-1，Zk上任取一点ζk.若存在唯一有限极值，则称f（z）可积.因此积分的统一表示也可用于复变函数的积分.在具体的积分计算过程当中，计算结果往往和曲线、曲面的方向有关，上述统一的表示实际上是求和式的极限的抽象，这时将由定向和积分限变换带来的符号包含在微元当中.只有在引入了外微分的概念[5]之后，微元的符号会变得更加明确.在通常的积分中，微元只表示大小没有方向，因此在换元时，我们总是使用Jacobi行列式绝对值，它表示变换前后微元间的比例关系.下面我们分析Jacobi行列式本身的含义.以三维空间为例，介绍其中的外微分及其性质.用“∧”表示自变量的微分dx，dy，dz的外积运算，例如dx与dy的外积记为dx∧dy，它们满足以下运算法则：1）线性（adx）∧dy=a（dx∧dy）；2）加法分配律：dx∧（dy+dz）=dx∧dy+dx∧dz；3）反交换律：dx∧dy=-dy∧dz；4）自乘归零：dx∧dx=0；5）结合律：dx∧（dy∧dz）=（dx∧dy）∧dz；若将dx，dy，dz看作标量微元，则dxdy表示面积微元，dxdydz表示体积微元.若将dx，dy，dz看作矢量微元，则dx∧dy dx∧dy为有向面积微元，dx∧dy∧dz 为有向体积微元.现在我们看在外积表示下的三重积分换元的公式：该式说明对于矢量微元，换元之间比例为Jacobi行列式，Jacobi行列式的符号表示矢量微元之间方向的变化.根据前面分析，积分就是特殊空间中相应变量与微元结合后的累加，对于矢量微元dxi，它们的结合顺序与空间的性质有关.实际上积分可以看作空间中的某一体积，换元前后表示在不同空间中的体积的表示.而两个空间是有着同向、异向之分，这一点和微分外积有序相符.定义 3 给定 n 维线性空间 V 的一组有序基 e1，e2，…，en，称给出线性空间一个定向.若，是另一组有序基，且有，则当det（aij）>0时称两组基定向相同，当det（aij）<0时两组基定向相反.这样就得到线性空间V上两个不同的定向.换元前后的两组变量实际上就是给定了空间的两组有序基，显然，Jacobi行列式的符号代表两组基定向的异同.至此，换元中出现的Jacobi行列式已经有了明确的意义.空间中的两组变量x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn，它们间变换的Jacobi行列式的符号表示这两组变量确定的定向的异同.物理中用量子化的观点，一切物理因子都有最小尺度，如果每个最小因子都相等，那么它们累加之后整体也相等.对于积分的统一表示，看作是微元和.但数学中是没有最小尺度的概念，因此我们运用极限的观点来解决这个问题.在积分的实际应用中，要将整体分割成微元，然后将微元近似为易于表示和求解的形式，然后转化为一个积分进行计算.因此需要用到微元的近似表示.一个好的近似其和的极限和真实物理量相等，一个不好的近似则得不到正确的结果.例如在用极坐标计算曲线弧长时中，曲线微元上任一点的切线对应的线段和以坐标原点到该微元上一点的长度为半径的微圆弧都是曲线微元的近似，但我们知道后者不能用于计算弧长.下面我们就分析一下一个正确的近似该满足什么条件.我们首先来分析两种近似之间的差别.如图1所示，曲线s上的一段弧长记为l，对应的折线段长为d和其上一点的切线上对应的长度记为D.我们以d为微元作为曲线弧长的定义[6]，下面分析d与D之间的关系.取曲线的参数方程，不妨设曲线微元的端点参数为tn-1和tn，切线对应切点参数为t0.则折线段长度为这说明，在某一空间内如果各点处的近似微元与目标微元是等价无穷小的，那么用近似微元得到的积分是准确的.对于圆弧的近似，则以（x（t），y（t）），（t∈（tn-1，tn））到原点的距离为半径，介于角度之间的弧长为：当值不是恒为1，因此这不是一个符合要求的近似.上述分析说明，选取微元的近似时要选等价无穷小来进行近似.我们还可以用这个思想来解决重积分换元中雅克比行列式的问题.定义4[1]如果映射F适合式中A是一个m×n矩阵，它的元素不依赖于h，并且，则称映射F在点x0处可微.记作若F在点x0可微，则定义中的矩阵A恰为雅克比矩阵：将上述结论用在多重积分换元中，即换元前后两个空间之间的映射F可微，则换元前后微元间的关系为dω1=Jdω2+r（h），若微元表示的体积只有大小，因此使用等价无穷小近似得这一结果还可用外微分或拉梅系数[7]来证明.例2[8]如图2，电容两极板是边长为a的正方形，两极板夹角为θ，间距为d，试证明，当θ<<时，忽略边缘效应，电容器的电容为证明首先，作如图3所示的高斯面.由静电场中高斯定理有，上底面所处位置没有电场，侧面与电场方向平行，故两结果均为零：故σx=ε0Ex，Ex与两板电势差ΔU的关系为.式中lx为两板间x处弧形电场的线性长度.带入得此处微元可看作线微元dx与线电荷密度σxa之积，也可看作面电荷密度与板面微元adx之积.积分的本质就是无穷多个无穷小的总和.它的结果可以统一的认为是在求某一有序维度下的空间中的体积，换元可以认为是不同空间下的映射.微积分的创建就用到了数学函数在每一点处的无穷小量与实际问题无限细分时该处的无穷小量是等价无穷小这种思想.积分既然是无穷小的总和，只有当每一个无穷小都是等价的时候，总和才会相等.在实际应用中正是用了这种思想才能正确而符合逻辑的使用积分.积分的统一表示，可以方便分析积分间的运算规律，积分变量顺序之间的含义.这可使我们在深入理解积分本质的基础上，更好地运用它们解决实际问题.Key words：integral unity；integral substitution；exterior differential；micro-element method【相关文献】［1］常庚哲，史济怀.数学分析教程：上、下［M］.北京：高等教育出版社，2003.［2］袁相碗.微积分基本方法［M］.南京：南京大学出版社，2010.［3］ Giordano F W.托马斯微积分［M］.10版.北京：高等教育出版社，2003：421－487. ［4］西安交通大学高等数学教研室.复变函数［M］.4版.北京：高等教育出版社，2010：69－71. ［5］周建伟.微分几何讲义［M］.北京：科学出版社，2010：75－88.［6］华罗庚.高等数学引论：第二册［M］.北京：高等教育出版社，2009：1－4.［7］谢树艺.矢量分析与场论［M］.北京：高等教育出版社，2005：94－95.［8］题解编写组.大学通用物理教程：习题解答［M］.北京：北京大学出版社，2005：336－338.Abstract：All integrals in mathematical analysis are established by segmentation，summation，and taking limit.Although they vary widely in form，they have the same mathematical essence.This paper gives a unity representation of these integrals.Based on this representation，we analyze the relationship between substitution method and exterior differential.Finally we give the conditions of selecting approximation in using micro-element method and an example to illustrate the convenience of the uniform representation.。

合肥学院论文求积分的若干方法姓名：陈涛学号：1506011005学院：合肥学院专业：机械设计制造及其自动化老师：左功武完成时间：2015年12月29日求积分的几种常规方法陈涛摘要:数学分析中，不定积分是求导问题的逆运算，而且是联系微分学和积分学的一条纽带。

为灵活运用积分方法求不定积分，本文介绍了求积分的几种重要方法和常用技巧，讨论和分析了求积分的几种方法：直接积分法，换元积分法，分部积分法以及有理函数积分的待定系数法，对于快速求不定积分有重要意义，适当的运用积分方法求不定积分，才可以简捷，准确。

关键词：定积分、不定积分、换元积分法、分部积分法、待定系数法引言数学分析是师范大学数学专业必修专业课，微分和积分都是数学分析的重点，而不定积分是积分学的基础，更是关键，直接关系到学习数学的重点。

其任务是掌握逻辑思维方法和提高使用数学手段解决问题的能力。

一般地，求不定积分要比求导数难很多，运用积分法则和积分公式只能解决一些简单的积分，更多的不定积分要因函数的不同形式和不同类型选用不同的方法，巧妙运用恰当的方法，可以化难为易，从而简单、快捷、准确的求出不定积分。

本文为解决求积分的困难问题给出了相应的解决方法，帮助理解不定积分。

1 积分的概念设F(x)为函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分(indefinite integral)。

记作∫f(x)dx。

其中∫叫做积分号(integral sign)，f(x)叫做被积函数(integrand)，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

1.1 不定积分积分还可以分为两部分。

第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，而若F(x)的导数是f(x)，那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x)，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)，C是任意的常数，所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的，我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。

微积分计算公式微积分是研究可以量化连续变化的数学分支，主要包括积分、微分及函数的求导、求积等内容。

与其他的数学学科不同的是，微积分把求解过程和求解结果联系在一起，其结果可以表示为一个方程，即公式。

微积分公式是这一学科的核心内容，也是最重要的知识点，正确的掌握和应用公式是这一学科取得成功的关键所在。

首先，最基本的微积分公式，也就是微分的基本公式，是：f′(x)=limh→0f(x+h)f(x)h 。

这个公式表明，函数 f(x)点 x的导数，等于函数在点 x+h的取值与函数在点 x的取值的差值，除以此时的h。

在这个基本的微分公式之上，还有一些常用的微分公式，例如：微分 y= ax n公式为：Dy=nax n1 。

积分也是微分的一个重要方面，其最基本的公式是：∫f(x)dx=F(x)+C这里 F(x)示函数 f(x)积分，C示积分常数。

积分是用来求取函数的积分面积，而积分公式是进行函数求积的基本公式。

此外，还有许多其它的常用的微积分公式，例如积分微分公式，椭圆积分公式，余弦积分公式等。

积分微分公式是将微分操作和积分操作结合起来的公式，椭圆积分公式是根据椭圆来求解函数积分的公式，余弦积分公式是使用余弦函数求解函数积分的公式。

此外，微积分还有一种特殊情况，也是其重要分支，即积分变换。

积分变换是把分析问题变换成数学模型，并使用积分来求解这些模型的解决方案的一种方法。

积分变换的基本思想是，根据原始问题，利用积分的运算建立合适的模型，并解决这些模型，从而得到最终的结果。

总之，以上就是微积分中常用的公式。

对于学习微积分，要牢记这些公式，并熟练应用在实际的问题中，才能取得更好的学习成果。

微积分教程微积分（Calculus）是高等数学中研讨函数的微分.积分以及有关概念和应用的数学分支.它是数学的一个基本学科.内容重要包含极限.微分学.积分学及其应用.微分学包含求导数的运算,是一套关于变更率的理论.它使得函数.速度.加快度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行评论辩论.积分学,包含求积分的运算,为界说和盘算面积.体积等供给一套通用的办法.微积分的根本介绍微积分学根本定理指出,求不定积分与求导函数互为逆运算[把高低限代入不定积分即得到积分值,而微分则是导数值与自变量增量的乘积],这也是两种理论被同一成微积分学的原因.我们可以以两者中随意率性一者为起点来评论辩论微积分学,但是在教授教养中,微分学一般会先被引入.微积分学是微分学和积分学的总称.它是一种数学思惟,‘无穷细分’就是微分,‘无穷乞降’就是积分.十七世纪后半叶,牛顿和莱布尼茨完成了很多半学家都介入过预备的工作,分离自力地树立了微积分学.他们树立微积分的动身点是直不雅的无穷小量,但是理论基本是不稳定的.因为“无穷”的概念是无法用已经失去的代数公式进行演算,所以,直到十九世纪,柯西和维尔斯特拉斯树立了极限理论,康托尔等树立了严厉的实数理论,这门学科才得以周密化.进修微积分学,重要的一步就是要懂得到,“极限”引入的须要性：因为,代数是人们已经熟习的概念,但是,代数无法处理“无穷”的概念.所以,必须要应用代数处理代表无穷的量,这时就精心结构了“极限”的概念.在“极限”的界说中,我们可以知道,这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦,相反引入了一个进程随意率性小量.就是说,除的数不是零,所以有意义,同时,这个小量可以取随意率性小,只要知足在德尔塔区间,都小于该随意率性小量,我们就说他的极限为该数——你可以以为这是投契取巧,但是,他的实用性证实,如许的界说还算比较完美,给出了准确推论的可能性.这个概念是成功的.微积分是与实际应用接洽着成长起来的,它在天文学.力学.化学.生物学.工程学.经济学等天然科学.社会科学及应用科学等多个分支中,有越来越普遍的应用.特别是盘算机的创造更有助于这些应用的不竭成长.客不雅世界的一切事物,小至粒子,大至宇宙,始终都在活动和变更着.是以在数学中引入了变量的概念后,就有可能把活动现象用数学来加以描写了.因为函数概念的产生和应用的加深,也因为科学技巧成长的须要,一门新的数学分支就继解析几何之后产生了,这就是微积分学.微积分学这门学科在数学成长中的地位是十分重要的,可以说它是继欧氏几何后,全体数学中的最大的一个创造.微积分的本质【参考文献】刘里鹏.《从割圆术走向无穷小——揭秘微积分》,长沙：湖南科学技巧出版社,1．用文字表述：增量无穷趋近于零,割线无穷趋近于切线,曲线无穷趋近于直线,从而以直代曲,以线性化的办法解决非线性问题,这就是微积分理论的精华地点.2．用式子暗示：微积分的根本办法微积分的基起源基本理告知我们微分和积分是互逆的运算,微积分的精华告知我们我们之所以可以解决很多非线性问题,本质的原因在于我们化曲为直了,实际生涯中我们会碰到很多非线性问题,那么解决如许的问题有没有同一的办法呢？经由研讨思虑和总结,笔者以为,微积分的根本办法在于：先微分,后积分.笔者所看到的是,如今的教材没有留意对这些根本问题的总结,根本上所有的教材每讲到积分时都还反复前人无穷细分取极限的思惟,讲到弧长时取极限,讲到面积时又取极限,最后用一个约等号打发曩昔.如许一来不但让学生听得看得满头雾水,并且很有牵强附会之嫌,其实懂得微积分的本质和根本办法后根本不须要再那么反复.微积分学的树立从微积分成为一门学科来说,是在十七世纪,但是,微分和积分的思惟在古代就已经产生了.公元前三世纪,古希腊的阿基米德在研讨解决抛物弓形的面积.球和球冠面积.螺线下面积和扭转双曲体的体积的问题中,就隐含着近代积分学的思惟.作为微分学基本的极限理论来说,早在古代以有比较清楚的阐述.比方我国的庄周所著的《庄子》一书的“世界篇”中,记有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.三国时代的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细,所掉弥小,割之又割,以至于不成割,则与圆周和体而无所掉矣.”这些都是朴实的.也是很典范的极限概念.到了十七世纪,有很多科学问题须要解决,这些问题也就成了促使微积分产生的身分.归结起来,大约有四种重要类型的问题：第一类是研讨活动的时刻直接消失的,也就是求即时速度的问题.第二类问题是求曲线的切线的问题.第三类问题是求函数的最大值和最小值问题.第四类问题是求曲线长.曲线围成的面积.曲面围成的体积.物体的重心.一个别积相当大的物体感化于另一物体上的引力.十七世纪的很多有名的数学家.天文学家.物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研讨工作,如法国的费马.笛卡尔.罗伯瓦.笛沙格;英国的巴罗.瓦里士;德国的开普勒;意大利的卡瓦列利等人都提出很多很有建树的理论.为微积分的创立做出了进献.十七世纪下半叶,在前人工作的基本上,英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分离在本身的国家里独自研讨和完成了微积分的创立工作,固然这只是十分初步的工作.他们的最大功劳是把两个貌似毫不相干的问题接洽在一路,一个是切线问题（微分学的中间问题）,一个是求积问题(积分学的中间问题).牛顿和莱布尼茨树立微积分的动身点是直不雅的无穷小量,是以这门学科早期也称为无穷小剖析,这恰是如今数学中剖析学这一大分支名称的起源.牛顿研讨微积分侧重于从活动学来斟酌,莱布尼茨倒是侧重于几何学来斟酌的.牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》,这本书直到1736年才出版,它在这本书里指出,变量是由点.线.面的中断活动产生的,否认了以前本身以为的变量是无穷小元素的静止聚集.他把中断变量叫做流淌量,把这些流淌量的导数叫做流数.牛顿在流数术中所提出的中间问题是：已知中断活动的路径,求给准时刻的速度（微分法）;已知活动的速度求给准时光内经由的旅程(积分法).德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者,1684年,他揭橥了如今世界上以为是最早的微积分文献,这篇文章有一个很长并且很怪僻的名字《一种求极大微小和切线的新办法,它也实用于分式和无理量,以及这种新办法的奥妙类型的盘算》.就是如许一篇说理也颇暧昧的文章,却有划时代的意义.它已含有现代的微分符号和根本微分轨则.1686年,莱布尼茨揭橥了第一篇积分学的文献.他是汗青上最巨大的符号学者之一,他所创设的微积分符号,远远优于牛顿的符号,这对微积分的成长有极大的影响.如今我们应用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的.微积分学的创立,极大地推进了数学的成长,曩昔很多初等数学一筹莫展的问题,应用微积分,往往水到渠成,显示出微积分学的不凡威力.前面已经提到,一门科学的创立决不是某一小我的事迹,他肯定是经由若干人的尽力后,在积聚了大量成果的基本上,最后由某小我或几小我总结完成的.微积分也是如许.不幸的是,因为人们在观赏微积分的雄伟功能之余,在提出谁是这门学科的创立者的时刻,竟然引起了一场悍然大波,造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对峙.英国数学在一个时代里闭关锁国,囿于平易近族成见,过于拘泥在牛顿的“流数术”中留步不前,因而数学成长整整落伍了一百年.其实,牛顿和莱布尼茨分离是本身自力研讨,在大体上邻近的时光里先后完成的.比较特别的是牛顿创立微积分要比莱布尼茨早10年阁下,但是正式公开揭橥微积分这一理论,莱布尼茨却要比牛顿揭橥早三年.他们的研讨各有长处,也都各有短处.那时刻,因为平易近族成见,关于创造优先权的争辩竟从1699年始延续了一百多年.应当指出,这是和汗青上任何一项重大理论的完成都要阅历一段时光一样,牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完美的.他们在无穷和无穷小量这个问题上,其说不一,十分暧昧.牛顿的无穷小量,有时刻是零,有时刻不是零而是有限的小量;莱布尼茨的也不克不及自圆其说.这些基本方面的缺点,最终导致了第二次数学危机的产生.直到19世纪初,法国科学学院的科学家以柯西为首,对微积分的理论进行了卖力研讨,树立了极限理论,后来又经由德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严厉化,使极限理论成为了微积分的果断基本.才使微积分进一步的成长开来.任何新兴的.具有无量前程的科学成就都吸引着宽大的科学工作者.在微积分的汗青上也闪耀着如许的一些明星：瑞士的雅科布•贝努利和他的兄弟约翰•贝努利.欧拉.法国的拉格朗日.柯西……欧氏几何也好,上古和中世纪的代数学也好,都是一种常量数学,微积分才是真正的变量数学,是数学中的大革命.微积分是高等数学的重要分支,不只是局限在解决力学中的变速问题,它驰骋在近代和现代科学技巧场地里,树立了数不清的丰功伟绩.微积分的根本内容研讨函数,从量的方面研讨事物活动变更是微积分的根本办法.这种办法叫做数学剖析.本来从广义上说,数学剖析包含微积分.函数论等很多分支学科,但是如今一般已习惯于把数学剖析和微积分等同起来,数学剖析成了微积分的同义词,一提数学剖析就知道是指微积分.微积分的根本概念和内容包含微分学和积分学.微分学的重要内容包含：极限理论.导数.微分等.积分学的重要内容包含：定积分.不定积分等.微积分是与科学应用接洽着成长起来的.最初,牛顿应用微积分学及微分方程对第谷浩瀚的天文不雅测数据进行了剖析运算,得到了万有引力定律,并进一步导出了开普勒行星活动三定律.此后,微积分学成了推进近代数学成长壮大的引擎,同时也极大的推进了天文学.物理学.化学.生物学.工程学.经济学等天然科学.社会科学及应用科学各个分支中的成长.并在这些学科中有越来越普遍的应用,特别是盘算机的消失更有助于这些应用的不竭成长.一元微分界说：设函数y = f(x)在某区间内有界说,x0及x0 + Δx 在此区间内.假如函数的增量Δy = f(x0 + Δx) – f(x0)可暗示为Δy = AΔx0 + o(Δx0)（个中A是不依附于Δx的常数）,而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小,那么称函数f(x)在点x0是可微的,且AΔx称作函数在点x0响应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即dy = Adx.平日把自变量x的增量Δx称为自变量的微分,记作dx,即dx = Δx.于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx.函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数.是以,导数也叫做微商.几何意义设Δx曲直线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量,Δy曲直线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy曲直线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量.当|Δx|很小时,|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小),是以在点M邻近,我们可以用切线段来近似代替曲线段.多元微分多元微分又叫全微分,是由两个自变量的偏导数相对应的一元微分的增量暗示的.ΔZ=A*ΔX+B*ΔY+ο(ρ)为函数Z在点（x.y)处的全增量,（个中A.B不依附于ΔX和ΔY,而只与x.y有关,ρ=[（x∧2+y∧2)]∧(1\2),A*ΔX+B*ΔY等于Z在点的全微分.总的来说,微分学的焦点思惟等于以直代曲,即在渺小的邻域内,可以用一段切线段来代替曲线以简化盘算进程.积分有两种：定积分和不定积分.定积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求原函数.在应用上,定积分感化不但如斯,它被大量应用于乞降,通俗的说是求曲边三角形的面积,这奇妙的求解办法是积分特别的性质决议的.一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数,这一族函数的导函数恰为前一函数.个中：[F(x) + C]' = f(x)一个实变函数在区间[a,b]上的定积分,是一个实数.它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值.定积分和不定积分的界说迥然不合,定积分是求图形的面积,等于求微元元素的累加和,而不定积分则是求其原函数,它们又为何通称为积分呢？这要靠牛顿和莱布尼茨的进献了,把本来毫不相干的两个事物慎密的接洽起来了.详见牛顿——莱布尼茨公式.一阶微分与高阶微分函数一阶导数对应的微分称为一阶微分;一阶微分的微分称为二阶微分;.......n阶微分的微分称为(n+1)阶微分即:d(n)y=f(n)(x)*dx^n (f(n)(x)指n阶导数,d(n)y指n阶微分,dx^n指dx的n次方)含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt, D2yt,…的函数方程,称为常差分方程(简称差分方程);出如今差分方程中的差分的最高阶数,称为差分方程的阶.n阶差分方程的一般情势为F(t,yt,Dyt,…, Dnyt)=0,个中F是t,yt, Dyt,…, Dnyt的已知函数,且Dnyt必定要在方程中消失.含有两个或两个以上函数值yt,yt+1,…的函数方程,称为(常)差分方程,出如今差分方程中未知函数下标的最大差,称为差分方程的阶.n阶差分方程的一般情势为F(t,yt,yt+1,…,yt+n)=0,个中F为t,yt,yt+1,…,yt+n的已知函数,且yt和yt+n必定要在差分方程中消失.常微分方程与偏微分方程的总称.含自变量.未知函数和它的微商（或偏微商）的方程称为常（或偏）微分方程.未知函数为一元函数的微分方程,称为常微分方程.未知函数为多元函,从而消失多元函数的偏导数的方程,称为偏微分方程.微积分的诞生及其重要意义微积分的诞生是继Euclid几何树立之后,数学成长的又一个里程碑式的事宜.微积分诞生之前,人类根本上还处在农耕文明时代.解析几何的诞生是新时代到来的序曲,但还不是新时代的开端.它对旧数学作了总结,使代数与几何融为一体,并激发出变量的概念.变量,这是一个全新的概念,它为研讨活动供给了基本推导出大量的宇宙定律必须等待如许的时代的到来,预备好这方面的思惟,产生像牛顿.莱布尼茨.拉普拉斯如许一批可以或许首创将来,为科学活动供给办法,指出偏向的首脑,但也必须等待创立一个必不成少的对象——微积分,没有微积分,推导宇宙定律是不成能的.在17世纪的天才们开辟的所有常识宝库中,这一范畴是最丰富的,微积分为创立很多新的学科供给了源泉.微积分的树立是人类脑筋最巨大的创造之一,一部微积分成长史,是人类一步一步倔强地熟习客不雅事物的汗青,是人类理性思维的结晶.它给出一整套的科学办法,首创了科学的新纪元,并是以增强与加深了数学的感化.恩格斯说：“在一切理论成就中,未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精力的最高成功了.假如在某个地方我们看到人类精力的纯粹的和惟一的功劳,那就恰是在这里.”有了微积分,人类才有才能掌控活动和进程.有了微积分,就有了工业革命,有了大工业临盆,也就有了现代化的社会.航天飞机.宇宙飞船等现代化交通对象都是微积分的直接效果.在微积分的帮忙下,万有引力定律发清楚明了,牛顿用同一个公式来描写太阳对行星的感化,以及地球对它邻近物体的感化.从最小的尘埃到最遥远的天体的活动行动.宇宙中没有哪一个角落不在这些定律的所包含规模内.这是人类熟习史上的一次空前的飞跃,不但具有巨大的科学意义,并且具有深远的社会影响.它强有力地证清楚明了宇宙的数学设计,摧毁了覆盖在天体上的神秘主义.迷信和神学.一场空前巨大的.囊括近代世界的科学活动开端了.毫无疑问,微积分的发明是世界近代科学的开端.微积分优先权大争辩汗青上,微积分是由两位科学家,牛顿和莱布尼茨几乎同时发明的.在创立微积分方面,莱布尼茨与牛顿功劳相当.这两位数学家在微积分学范畴中的卓著进献归纳综合起来就是：他们总结出处理各类有关问题的一般办法,熟习到求积问题与切线问题互逆的特点,并揭示出微分学与积分学之间的本质接洽;他们都各自树立了微积分学根本定理,他们给出微积分的概念.轨则.公式和符号理论为今后的微积分学的进一步成长奠定了坚实而重要的基本.总之,他们创立了作为一门自力学科的微积分学.微积分这种数学剖析办法正式诞生今后,因为解决了很多以往靠初等数学无法作答的实际问题,所以逐渐引起科学家和社会人士的看重.同时,也带来了关于“谁先树立微积分”问题的争辩.从牛顿和莱布尼茨还活着时就开端消失这种争辩,英国和欧洲大陆列国很多科学家都卷入这场空费时日的.尖利而庞杂的论战.这场论战中断了100多年的时光.就创造与揭橥的年月比较,牛顿创造微积分根本定理比莱布尼茨更早.前者奠定于1665—1667年,后者则是1672—1676年,但莱布尼茨比牛顿更早揭橥微积分的成果.故创造微积分的声誉应属于他们两人.第二次数学危机及微积分逻辑上的严厉化微积分诞生之后,数学迎来了一次空前繁华的时代.对18世纪的数学产生了重要而深远的影响.但是牛顿和莱布尼茨的微积分都缺少清楚的.严谨的逻辑基本,这在初创时代是不成防止的.科学上的巨大须要克服了逻辑上的忌惮.他们须要做的工作太多了,他们急于去牟取新的成果.根本问题只好先放一放.正如达朗贝尔所说的：“向进步,你就会产生信念！”数学史的成长几回再三证实自由创造老是领先于情势化和逻辑基本.于是在微积分的成长进程中,消失了如许的局势：一方面是微积分创立之后立刻在科学技巧上获得应用,从而敏捷地成长;另一方面是微积分学的理论在当时是不周密的,消失了越来越多的悖论和谬论.数学的成长又碰到了深刻的令人不安的危机.例如,有时把无穷小量看作不为零的有限量而从等式两头消去,而有时却又令无穷小量为零而疏忽不计.因为这些抵触,引起了数学界的极大争辩.如当时爱尔兰主教.唯心主义哲学家贝克莱嘲笑“无穷小量”是“已逝世的鬼魂”.贝克莱对牛顿导数的界说进行了批评.当时牛顿对导数的界说为：当x增加为x+o时,x的立方（记为x^3）成为（x+o）的立方（记为(x+o）^3).即x^3+3 x^2o+ 3x o^2+ o^3.x与x^3的增量分离为o和3 x^2o+ 3x o^2+ o^3.这两个增量与x的增量的比分离为1和3 x^2+ 3x o+ o^2,然后让增量消掉,则它们的最后比为1与3 x^2.我们知道这个成果是准确的,但是推导进程确切消失着显著的掉包假设的错误：在论证的前一部分假设o是不为0的,而在论证的后一部分又被取为0.那么o到底是不是0呢？这就是有名的贝克莱悖论.这种微积分的基本所激发的危机在数学史上称为第二次数学危机,而此次危机的激发与牛顿有直接关系.汗青请求给微积分以严厉的基本.第一个为解救第二次数学危机提出真正有看法的看法的是达朗贝尔.他在1754年指出,必须用靠得住的理论去代替当时应用的光滑的极限理论.但是他本身未能供给如许的理论.最早使微积分严厉化的是拉格朗日.为了防止应用无穷小推理和当时还不明白的极限概念,拉格朗日曾试图把全部微积分树立在泰勒睁开式的基本上.但是,如许一来,斟酌的函数规模太窄了,并且不必极限概念也无法评论辩论无穷级数的收敛问题,所以,拉格朗日的以幂级数为对象的代数办法也未能解决微积分的奠定问题.到了19世纪,消失了一批出色的数学家,他们积极为微积分的奠定工作而尽力,个中包含了捷克的哲学家 B.Bolzano.曾著有《无穷的悖论》,明白地提出了级数收敛的概念,并对极限.中断和变量有了较深刻的懂得.剖析学的奠定人,法国数学家柯西在1821—1823年间出版的《剖析教程》和《无穷小盘算课本》是数学史上划时代的著作.在那边他给出了数学剖析一系列的根本概念和准确界说.对剖析基本做更深一步的懂得的请求产生在1874年.那时的德国数学家外尔斯特拉斯结构了一个没有导数的中断函数,即结构了一条没有切线的中断曲线,这与直不雅概念是抵触的.它使人们熟习到极限概念.中断性.可微性和收敛性对实数系的依附比人们想象的要深邃得多.黎曼发明,柯西没有须要把他的定积分限制于中断函数.黎曼证清楚明了,被积函数不中断,其定积分也可能消失.也就是将柯西积分改良为Riemann积分.这些事实使我们明白,在为剖析树立一个完美的基本方面,还须要再深挖一步：懂得实数系更深刻的性质.这项工作最终由外尔斯特拉斯完成,使得数学剖析完整由实数系导出,离开了知觉懂得和几何直不雅.如许一来,数学剖析所有的根本概念都可以经由过程实数和它们的根本运算表述出来.微积分严厉化的工作终于接近封顶,只有关于无穷的概念没有完整弄清楚,在这个范畴,德国数学家Cantor做出了出色的进献.总之,第二次数学危机和焦点是微积分的基本不稳定.柯西的进献在于,将微积分树立在极限论的基本上.外尔斯特拉斯的进献在于逻辑地结构了实数论.为此,树立剖析基本的逻辑次序是实数系——极限论——微积分。

积分的性质与计算方法积分是微积分中的重要概念，它在数学、物理、工程和经济等领域中都有广泛的应用。

本文将介绍积分的性质以及常见的计算方法，帮助读者更好地理解和应用积分。

一、积分的性质1. 定义性质积分是求解曲线下面的面积的方法。

给定一个函数f(x)，在区间[a, b]上的积分可以表示为∫[a, b]f(x)dx。

它表示了函数f(x)在区间[a, b]上面积的大小。

2. 可加性性质积分具有可加性。

如果在区间[a, b]上有两个函数f(x)和g(x)，则积分的性质可以表示为∫[a, b] (f(x)+ g(x)) dx = ∫[a, b] f(x) dx + ∫[a, b] g(x) dx。

这意味着对于一个区间上的函数和可以将其分解为多个部分进行积分计算。

3. 线性性质积分具有线性性质。

对于任意常数c，积分的性质可以表示为∫[a, b] c * f(x) dx = c * ∫[a, b] f(x) dx。

这意味着可以将常数提取到积分符号的外面。

4. 区间可任意分割性质积分的计算可以通过将区间[a, b]进行任意分割，然后对每个小区间计算积分，最后将结果相加。

这是积分计算的基本思想，也是一种常用的计算方法。

二、积分的计算方法1. 不定积分不定积分用于求取函数f(x)的原函数F(x)，通常记作∫f(x)dx = F(x) + C，其中C是常数。

不定积分的计算方法包括反函数的求导、函数的性质和定义式的运用等多种方法。

2. 定积分定积分用于求解曲线下面的面积，可以表示为∫[a, b]f(x)dx。

定积分的计算可以通过区间的分割和取极限的方法进行。

常用的积分计算方法包括：(1) 替换法：通过变量替换，将不易处理的积分转化为简单的形式进行计算。

(2) 分部积分法：利用导数的乘积法则，将积分分解为两个函数的乘积的积分。

(3) 三角函数代换法：通过三角函数的相关性质，将积分转化为三角函数的积分。

(4) 分式分解法：通过将积分中的分式进行分解，将其转化为简单的形式进行计算。

微积分基本公式16个1. 微分：微分是数学中最重要的概念之一，它指的是在一定时间内几何形状的变化率。

可以理解为小步长地移动拟合函数，接近曲线本身。

可以表示为\frac{dy}{dx} 或f'(x) 。

2. 泰勒公式：泰勒公式是一个重要的微积分工具，它可以在某一特定点附近对任意连续函数进行展开，也就是说任意设定一个位置x0，可以根据它附近的数值向量求出函数在该位置的平均值。

可以用公式表示为：f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!} + \frac{f^{n}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} + ...3. 高斯积分公式：高斯积分是指将函数抽象为一次多项式曲线，采用指数型或线性型积分方法求解积分。

它可以用公式f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i 表示，其中a_i为积分下限、上限和积分点x_i处函数值相乘所得到的系数。

4. 黎曼积分：黎曼积分是一种常用的积分方法，它通过对连续函数求和，来确定函数在给定区间上的定积分。

可以用公式表示为：\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i ,其中n为梯形的节点数。

5. Stokes公式：Stokes公式是一种将多变量函数投影到多方向进行积分的方法，可以用公式表示为：\int_{\Omega}\nabla\times{\bf F} dA =\int_{\partial\Omega}{\bf F}\cdot{\bf n}dS，其中\nabla\times{\bf F} 为梯度矢量场，\partial\Omega 为边界，{\bfn}dS 为单位向量与边界面积的乘积。

6. Γ函数：Γ函数是一种重要的数学函数，通常用来表示非负整数的排列组合，也可以表示实数的阶乘，可以用公式表示为：\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt7. 方阵的行列式：方阵的行列式是指一个n阶矩阵的行列式，可以用公式表示为：D= |a_{i,j}| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n} \end{vmatrix} ，其中a_{i,j} 为矩阵中的元素。

微积分中的积分公式与应用微积分是数学的重要分支，其中的积分公式与应用是微积分的核心内容之一。

积分公式是计算曲线与坐标轴围成的面积、求解定积分等问题的关键工具，广泛应用于物理、工程学、经济学等领域。

一、不定积分与积分公式在微积分中，不定积分是对函数进行积分运算的一种形式。

不定积分的结果是一个新的函数，称为原函数或不定积分。

不定积分通常用符号∫表示，函数f(x)的不定积分可以表示为∫f(x)dx。

不定积分的运算有一些基本法则，其中就包括了一些常见的积分公式。

这些积分公式是通过对特定函数进行积分运算得到的，能够简化积分的计算过程。

常见的积分公式包括：幂函数的积分公式、三角函数的积分公式、指数函数的积分公式、对数函数的积分公式等等。

这些公式的应用范围广泛，能够解决各种不同类型的积分问题。

二、定积分与积分公式定积分是对函数某一区间上的积分运算，结果是一个具体的数值。

定积分的计算可以通过积分公式来实现，其中最常用的就是牛顿-莱布尼茨公式。

牛顿-莱布尼茨公式是描述定积分与不定积分之间关系的一种公式。

该公式表明，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么函数f(x)在区间[a, b]上的定积分可以表示为F(b) - F(a)。

这个公式的应用非常广泛，可以用来计算曲线与坐标轴围成的面积，求解物体的质量、质心等物理学问题，以及计算经济学模型中的定积分问题等。

三、积分公式的应用举例1. 计算曲线与坐标轴围成的面积积分公式可以用来计算曲线与坐标轴之间的面积。

以曲线y = f(x)、x轴以及直线x = a 和 x = b为边界的区域所包围的面积可以通过以下公式计算：∫[a, b] |f(x)| dx这个公式可以用来求解各种曲线的面积，例如圆的面积、椭圆的面积等。

2. 物理学中的应用积分公式在物理学中有广泛的应用。

例如，可以利用积分公式来计算物体的质量、质心等物理特性。

假设有一根均匀的细杆，长度为L，质量为m。

利用积分公式可以求解细杆的质量、质心位置等问题。

分部积分法求积分引言分部积分法是微积分中常用的一种方法，用于求解不定积分。

它基于积分运算中的乘法法则，通过将原始积分转化为一个乘积的形式，然后再进行求解，从而简化求积分的过程。

在本文中，我们将详细探讨分部积分法的原理、应用以及一些常见的示例。

原理分部积分法是基于乘法法则的一个应用，乘法法则的公式表达为：(uv)′=u′v+uv′其中，u和v都是可微函数。

通过对上述等式进行重排，我们可以得到以下等式：∫u′v dx=uv−∫uv′dx分部积分法的步骤使用分部积分法求解不定积分需要遵循以下步骤：1.选择一个适合的分部函数，将原始积分表示为乘积的形式。

2.计算分部函数的导数，即u′和v′。

3.使用原始积分的形式，将结果表示为uv的形式。

4.计算另一个不定积分，即∫uv′dx。

5.将上述结果代入分部积分法的公式，得到最终结果。

可行的分部函数选择在选择分部函数时，通常有一些常见的模式可以参考，包括：•选择含有代数函数的u，如多项式、指数函数等。

•选择含有三角函数的u，如正弦函数、余弦函数等。

•选择含有对数函数或反三角函数的u。

示例1：求解∫xcos(x)dx我们将使用分部积分法求解∫xcos(x)dx，其中u为x，v′为cos(x)。

步骤1：选择分部函数u和v′。

此处选择u=x，v′=cos(x)。

步骤2：计算u′和v′。

因为u=x，所以u′=1；因为v′=cos(x)，所以v=sin(x)。

步骤3：将结果表示为uv的形式。

即uv=x⋅sin(x)。

步骤4：计算∫uv′dx。

由于v=sin(x)，所以∫uv′dx=∫xsin(x)dx。

步骤5：将结果代入分部积分法的公式，得到最终结果：∫xcos(x)dx=xsin(x)−∫xsin(x)dx我们可以继续应用分部积分法来计算∫xsin(x)dx，以求得最终结果。

示例2：求解∫ln(x)dx在一些特殊情况下，我们可以选择对数函数作为分部函数。

步骤1：选择分部函数u和v′。

三个函数的分部积分分部积分是微积分中一种重要的求积方法，能够将一个函数的积分转化为另一个函数的积分。

其中，最常用的是三个函数的分部积分法。

本文将详细介绍这三个函数的分部积分法。

首先，我们需要了解分部积分法的基本思想，即“乘减积”。

设有两个函数f(x)和g(x)，根据分部积分公式，可以得到：∫f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-∫F(x)g'(x)dx其中，F(x)是f(x)的不定积分，g'(x)是g(x)的导数。

这样，我们就将原函数的积分转化为了另一个函数的积分。

而在三个函数的分部积分中，我们需要再次应用这个公式。

三个函数的分部积分法可以表示为：∫f(x)g(x)h(x)dx=F(x)g(x)h(x)-∫F(x)g'(x)h(x)dx-∫F(x)g(x)h'(x)dx上述公式中，F(x)是f(x)的不定积分。

通过这个公式，我们可以将三个函数的积分转化为两个函数的积分，并且可以继续应用分部积分法。

接下来，我们来看一个具体的例子。

假设我们需要求解∫xsin(x)cos(x)dx。

根据三个函数的分部积分法，我们可以设f(x) =x，g(x)=sin(x)，h(x)=cos(x)。

那么，我们可以得到：∫xsin(x)cos(x)dx=F(x)g(x)h(x)-∫F(x)g'(x)h(x)dx-∫F(x)g(x)h'(x)dx其中，F(x)是f(x)的不定积分。

我们可以取F(x)=1/2x^2，那么它的导数就是f(x)。

带入上述公式，可以得到：∫xsin(x)cos(x)dx=1/2x^2sin(x)cos(x)-∫(1/2x^2cos(x)-1/2∫x^2sin(x)dx)cos(x)dx接下来，我们可以继续对剩下的两个积分应用分部积分法，直到最后得到一个可以直接求解的积分。

通过三个函数的分部积分法，我们可以将原本复杂的积分转化为逐步求解的简单积分。

这种方法在解决一些特定的积分问题时非常有效。

积分微分公式积分微分公式是数学中一个重要的工具，广泛应用于各种科学和工程领域。

它主要包括两类：积分公式和微分公式。

本文将介绍积分微分公式的基本概念、应用场景、计算方法以及在实际问题中的案例分析。

一、积分微分公式的基本概念1.积分公式：给定一个函数f(x)，求其在区间[a, b]上的定积分，记作∫[a,b]f(x)dx。

积分公式是微分公式的基础，可以理解为对微分公式中自变量x的上下限进行求和。

2.微分公式：给定一个函数f(x)，求其在某一点x=a的导数，记作f"(a)或df(x)/dx|_{x=a}。

微分公式是积分公式的基础，可以理解为对积分区间内的函数变化率进行求和。

二、积分微分公式的应用场景1.求解面积和体积：利用积分公式可以求解曲线围成的平面图形面积，以及曲面围成的空间体积。

2.求解变化率：利用微分公式可以求解函数在某一点的变化率，从而分析函数的增长或减少速度。

3.求解平均值：利用积分公式可以求解函数在某一区间上的平均值，从而分析函数的整体走势。

4.求解方程的解：将微分方程转化为积分方程，利用积分公式求解。

三、积分微分公式的计算方法1.数值积分法：通过将积分区间划分为若干子区间，对每个子区间进行求和，从而逼近积分值。

2.数值微分法：通过差分法求解微分公式，得到函数在某一点的近似导数值。

四、积分微分公式在实际问题中的案例分析1.抛物线面积问题：给定抛物线y=ax^2+bx+c，求其在x轴上方的面积。

可以通过积分公式求解。

2.物体自由落体问题：给定物体从高度h自由落体，求其在落地过程中的平均速度。

可以通过微分公式求解。

五、总结与展望积分微分公式在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用，是高等数学中的重要内容。

掌握积分微分公式的基本概念、计算方法和应用场景，有助于解决实际问题。

积分积法公式
积分积法公式是微积分中的一种求积方法，也称为换元积分法或积分代换法。

它是通过对被积函数进行适当的代换，将原来的积分转化为一个更简单的积分，从而求得结果。

积分积法公式的一般形式为：
∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du
其中，f(u)是原函数f(g(x))在代换u=g(x)下的形式，g'(x)是代换的导数，dx表示积分变量。

应用积分积法公式的步骤如下：
1. 选择适当的代换u=g(x)，使得f(g(x))g'(x)dx在代换后的形式更简单。

2. 计算代换后的积分∫f(u)du。

3. 将代换后的积分结果重新转换回原来的自变量x。

需要注意的是，在选择代换时，需要考虑代换的可行性和方便性，以及确保代换后的积分能够更容易求解。

此外，还需要注意计算代换的导数和积分的边界条件。

积分积法是求解一些特定类型的积分非常有用的方法，可以简化积分的计算过程，并且适用于一些复杂的函数形式。

但是对于一些特殊的函数或者特定的积分问题，可能需要采用其他方法来求解积分。

积分的基本公式和法则积分公式是普遍用于积分问题的公式方法，有许多同学想了解积分常用公式有哪些?下面是由小编为大家整理的“积分的基本公式和法则”，仅供参考，欢迎大家阅读。

积分的基本公式和法则设是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C(C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分，记作，即∫f(x)dx=F(x)+C。

其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

积分的运算法则积分的运算法则，别称积分的性质。

积分是线性的。

如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。

如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。

通常意义：积分都满足一些基本的性质。

以下的I在黎曼积分意义上表示一个区间，在勒贝格积分意义下表示一个可测集合。

线性：积分是线性的。

如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。

如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。

保号性：如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。

那么它在这个区间上的积分也大于等于零。

如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。

作为推论，如果两个I上的可积函数f和g相比，f(几乎)总是小于等于g，那么f 的(勒贝格)积分也小于等于g的(勒贝格)积分。

如果黎曼可积的非负函数f在I上的积分等于0，那么除了有限个点以外，f=0。

如果勒贝格可积的非负函数f在I上的积分等于0，那么f几乎处处为0。

如果F中元素A的测度μ(A)等于0，那么任何可积函数在A上的积分等于0。

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。

对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。

对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。

如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。

微积分的基本介绍微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算[把上下限代入不定积分即得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积]，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。

我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。

微积分学是微分学和积分学的总称。

它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。

十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。

他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。

因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。

学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。

所以，必须要利用代数处理代表无限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。

在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，相反引入了一个过程任意小量。

就是说，除的数不是零，所以有意义，同时，这个小量可以取任意小，只要满足在德尔塔区间，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能性。

这个概念是成功的。

微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。

特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。

客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。

因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。

由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。

微分积分公式微分积分公式是一种可以用来分析函数的数学工具，它起源于17世纪中期英国数学家费马等人的研究。

微分和积分可以说是数学分析的基础，是初等函数求和的基础，广泛应用于各个领域，如物理、工程、经济、天文学等。

微分是用于确定函数的变化速率的数学工具，其具体形式表示为：d/dx(x)=f'(x)，其中f'(x)表示函数f(x)的一阶导函数的值，其含义是指函数f(x)在x处的变化速率。

而积分则是计算函数变化量的工具，它的具体形式表示为：∫f(x)dx，即将函数f(x)的曲线上的面积计算出来。

因此，微分积分公式是微积分的基础，它将微分和积分结合起来求解函数f(x)的问题，可以简化函数f(x)的变化过程，以更简洁的形式表示出来。

常见的微分积分公式有：1. 一阶微分积分公式：∫f'(x)dx = f(x) + C；2. 二阶微分积分公式：∫f''(x)dx = f'(x) + C；3. 三阶微分积分公式：∫f'''(x)dx = f''(x) + C；4. n阶微分积分公式：∫f^n (x)dx = f^(n-1) (x) + C；5. 全微分积分公式：∫[f(x)+g(x)]dx=F(x)+G(x)+C；6. 导数量积公式：d/dx[f(x)g(x)]=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；7. 不定积分公式：∫f(x)dx = F(x) + C；8. 定积分公式：∫b [f(x)]dx = F(b)-F(a)；9. 双重积分公式：∫∫f(x,y)dxdy = F(x,y) + C。

以上就是微分积分公式的常用形式，它们在计算函数的变化趋势及变化量方面都发挥了强大的作用，是数学分析中一个十分重要的工具。

全微分求积全微分是微积分中一个重要的概念，在物理、工程、经济学等领域有着广泛的应用。

全微分的概念和求积方法对于理解函数的变化规律、优化问题的解决以及误差的估计具有重要的指导意义。

本文将从概念、求积方法以及应用等方面介绍全微分的相关知识。

首先，我们来简单了解一下全微分是什么。

在微积分中，全微分是指函数沿着某个变化方向的微小增量所引起的函数值变化。

也就是说，对于函数f(x)，当自变量x发生微小变化dx时，函数值f(x)发生的微小变化df(x)可以用全微分dy来表示。

全微分dy可以表示为dy=f'(x)dx，其中f'(x)为函数f(x)的导数。

接下来，我们来讨论一下全微分的求积方法。

对于一个函数f(x,y)，我们可以通过对其自变量x和y分别求偏导数，然后将各个偏导数乘以dx和dy，并求和得到全微分dF，即dF=f'x(x,y)dx+f'y(x,y)dy。

这样，通过将函数的各个自变量的微小变化分别乘以其对应的偏导数，再求和，就得到了函数值的全微分。

在实际应用中，全微分在很多场景下都能发挥重要作用。

比如在物理学中，当我们需要描述一个物理量随着多个变量的变化而变化时，就可以利用全微分来进行模型的建立和分析。

在工程学中，全微分经常用于近似计算，通过求取全微分来估计函数值的变化范围和误差。

在经济学中，全微分可以用于描述产品的生产函数和效用函数的变化规律，帮助决策者做出最优决策。

总结起来，全微分是微积分中一个重要的概念，可以用来描述函数值在自变量微小变化时的变化情况。

通过求取全微分，我们可以深入理解函数的变化规律，并且可以在实际应用中进行模型的构建和求解。

全微分的求积方法可以通过对各个自变量的偏导数进行求解得到。

全微分在物理、工程、经济学等领域都有广泛的应用，对于研究问题、优化问题和误差估计等具有重要的指导意义。

希望通过本文的介绍，读者们可以对全微分有更深入的理解，并且能够将其运用到实际问题中去。

全微分求积格林公式. 奥高公式. 格林斯托克斯计算关系与应用格林公式。

Pdx +Qdy =⎰⎰(D ∂D ∂Q ∂P -) dxdy ∂x ∂y 。

这个公式具有非常重要的应用，即通过进行这两种不同积分形式的相互转化，而简化积分计算。

所谓线积分的路径无关性就是指如果一种曲线积分，在确定曲线的起点与终点后，积分值就是唯一的了，而与具体的起点与终点之间的曲线形状，或者说积分路径无关，我们就说这种曲线积分具有线积分的路径无关性。

一种曲线积分具有线积分的路径无关性的充要条件是：设P （x ，y ）和Q （x ，y ）是在平面区域D 上的具有各个一阶连续偏导数的函数，那么曲线积分LC ⎰P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy ，在D 内具有线积分的路径无关性的充要条件为 Pdx +Qdy =0其中C 为D 内的任意一条闭曲线。

在实际问题当中，为了方便判断上面的充要条件，需要单连通区域的概念：所谓连通区域就是指一个区域内任意两点的连线都全部是属于这个区域。

而单连通区域则是对于任意区域内的闭合曲线都可以连续地收缩为一点。

可以想象，这种区域不允许在区域内部存在空洞。

而存在空洞的这类不是单连通的连通区域称为复连通区域。

这样我们可以针对单连通区域得到更为方便的，判断一种曲线积分具有线积分的路径无关性的充要条件如下：设P （x ，y ）和Q （x ，y ）是在单连通区域D 上的具有各个一阶连续偏导数的函数，那么曲线积分L ⎰P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy 在D 内具有线积分的路径无关性的充要条件为∂P ∂Q =∂y ∂x 。

这样判断一种曲线积分是否具有线积分的路径无关性，就更为方便了，而对于具有线积分的路径无关性的曲线积分，不妨写成⎰A Pdx +Qdy ，其中A 和B 为曲线的起点和终点。

判断一种曲线积分具有线积分的路径无关性，能够极大地简化这种曲线积分的计算，因为我们有可能通过选择合适的路径，使得积分计算变得非常简单。