微分求积法

格式：ppt
大小：624.50 KB
文档页数：22

下载文档原格式

/ 22

基于微分求积法及 V－变换的大规模动力系统快速数值计算方法

基于微分求积法及 V－变换的大规模动力系统快速数值计算方法汪芳宗;廖小兵【摘要】针对大规模动力系统动态响应的数值计算，传统的微分求积法通常在时间域上逐步离散、整体求解，存在“维数灾”问题。

在多级高阶时域微分求积法的基础上，提出了基于 V －变换的大规模动力系统动态响应的快速数值计算方法。

利用微分求积法的加权系数矩阵满足 V －变换这一重要特性，将离散后的雅可比矩阵方程进行解耦分块，推导形成了多级分块递推计算方法。

数值算例表明，即使采用相当于 Newmark 方法2s 倍的步长，微分求积法的计算精度仍比Newmark 方法要高出2～3个数量级。

进一步对3个不同规模的算例系统进行了测试，结果表明：相对于传统的数值计算方法，多级分块递推计算方法可以获得较大的加速比，能够显著提高大规模动力系统动态响应的计算效率。

%For numerical simulation of large-scale dynamic systems'response,the traditional differential quadrature method (DQM)usually adopts successively discrete and global solution in time domain,where there is the problem of“curse of dimensionality”.On the basis of the multi-stage high-order time domain differential quadrature method,a fast numerical calculation method for large-scale dynamic systems'response based on V-transformation was ing the V-transformation processed by the weighting coefficient matrix of DQM,the whole Jacobian matrix equations involved in the traditional approach of DQMwere decoupled into blocks,thus a multi-stage block recursive method was achieved.The numerical examples show that,even using a step size of 2s times that as high as in the Newmarkmethod,the calculation precision of the differential quadrature method is about 2 ~3 orders higher than that of the Newmark method.Furthermore, three different scale systems were used for computational efficiency test and the results show that the multi-stage block recursive method can obtain high speedup compared with the traditional numerical methods,which can significantly improve the computational efficiency of large-scale dynamic systems'response.【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2016(000)003【总页数】7页(P73-78,128)【关键词】大规模动力系统;快速计算;微分求积法;V -变换;多级分块递推方法【作者】汪芳宗;廖小兵【作者单位】三峡大学电气与新能源学院，湖北宜昌 443002;三峡大学电气与新能源学院，湖北宜昌 443002【正文语种】中文【中图分类】O241.8;O313.3大规模动力系统动态响应的数值仿真可以准确地描述动力系统的动态特性和每时每刻的运动状态，一直以来是人们研究的热点问题。

变厚度矩形板自由振动的广义微分求积法分析

ｖｒｙ，Ｎｉｇｂ３５１，Ｃｈｎｅｉｔｎｏ１２１ｉａ）
ＡｂｔａｔａｅｎｇｎｒｌｅｉｅｅｔｌｕｄａｕｅｔｏＧＤｓｒｃ：Ｂｓｄｏｅｅａｚｄｄｆｒｎｉａｒｔｒｈｄ（ＱＭ）ｈｏｅｎｎｉｅｅｔｌｑａｉｆａｑｍｅ，ｔｅｇｖｒｉｇｄｆｒｎｉｕ — ｆａｅ
ｔｏｎｉｆｒｎｏｎａｙｃｎｉｉｎｒｄｉｃｅｅａｄｔｅｆｅｕｎｙｃａａｔｒｓｉｓｗｅｅｓｕｉｄｉｎａｄｄｆｅｅｔｂｕｄｒｏｄｔｏｓｗｅｅｍａｅｄｓｒｔｎｈｒｑｅｃｈｒｃｅｉｔｃｒｔｄｅｆｒｔａｓｅｓｒｅｖｂａｉｎｏｅｔｎｕａｌｔｓｗｉａｉｂｅｔｉｋｅｓＢｓｎｕｒｃｌｏｕａｉｎ，ｏｒｎｖｒｅｆｅｉｒｔｏｆｃａｇｌｒｐａｅｔｖｒａｌｈｃｎｓ．ｙｕｉｇｎｍｅｉａｍｐｔｔｏｒｈｃｔｅｄｍｅｓｏｌｓｕｄｍｅｔｌｒｑｅｃｅｒｂａｎｄｆｒｔｅｅｐａｅｔｄｆｅｅｔａｐｃａｉｓａｄｖｒ— ｈｉｎｉｎｅｓｆｎａｎａｅｕｎｉｓｗｅｅｏｔｉｅｈｓｌｔｓａｉｆｒｎｓｅｔｒｔｎａｉｆｏｏａｌｈｃｎｓａａｔｒｎｅｉｌｕｐｒｅｒｃａｅｏｎａｙｃｎｉｉｎ．Ｃｏａｅｔｖｉ — ｂｅｔｉｋｅｓｐｒｍｅｅｓｕｄｒｓｍｐｙｓｐｏｔｄｏｌｍｐｄｂｕｄｒｏｄｔｓｏｍｐｒｄｗｉｈａａｌａ

分部积分法表格计算法

分部积分法表格计算法
分部积分法是微积分中一种常用的求积方法，适用于含有乘积的函数的积分计算。

该方法通过将被积函数进行分解，并对其中的一部分进行积分，从而简化原积分式。

下面将介绍分部积分法的基本思想和计算步骤。

分部积分法的基本思想是，将被积函数分解为两个函数的乘积，然后对其中的一个函数进行求导，对另一个函数进行积分。

通过这样的分解和求导积分操作，原积分式的形式会得到简化，从而更容易进行求解。

分部积分法的计算步骤如下：
1. 首先选择一个函数作为“u”，另一个函数作为“dv”。

一般选择的原则是“u”越容易求导，而“dv”越容易积分。

2. 对“u”求导，并将其得到的导数记作“du”。

3. 对“dv”进行积分，并将其积分结果记作“v”。

4. 将“u”、“du”、“v”代入分部积分公式：∫u dv = uv - ∫v du，得到原积分式的简化形式。

5. 如果新得到的积分式仍然存在乘积项，重复以上步骤，直到得到不能再简化的积分式。

通过使用分部积分法，可以将原本复杂的积分式转化为简单的形式，从而更容易进行计算。

这种方法在求解含有乘积的函数的积分时
非常实用，尤其对于一些常见的函数形式，如多项式、指数函数、三角函数等，都能够有效地简化计算过程。

总之，分部积分法是一种常用的积分计算方法，通过将被积函数进行分解，对其中的一部分进行积分和求导，可以简化原积分式的形式，使得积分计算更加方便。

微积分计算公式

微积分计算公式微积分是研究可以量化连续变化的数学分支，主要包括积分、微分及函数的求导、求积等内容。

与其他的数学学科不同的是，微积分把求解过程和求解结果联系在一起，其结果可以表示为一个方程，即公式。

微积分公式是这一学科的核心内容，也是最重要的知识点，正确的掌握和应用公式是这一学科取得成功的关键所在。

首先，最基本的微积分公式，也就是微分的基本公式，是：f′(x)=limh→0f(x+h)f(x)h 。

这个公式表明，函数 f(x)点 x的导数，等于函数在点 x+h的取值与函数在点 x的取值的差值，除以此时的h。

在这个基本的微分公式之上，还有一些常用的微分公式，例如：微分 y= ax n公式为：Dy=nax n1 。

积分也是微分的一个重要方面，其最基本的公式是：∫f(x)dx=F(x)+C这里 F(x)示函数 f(x)积分，C示积分常数。

积分是用来求取函数的积分面积，而积分公式是进行函数求积的基本公式。

此外，还有许多其它的常用的微积分公式，例如积分微分公式，椭圆积分公式，余弦积分公式等。

积分微分公式是将微分操作和积分操作结合起来的公式，椭圆积分公式是根据椭圆来求解函数积分的公式，余弦积分公式是使用余弦函数求解函数积分的公式。

此外，微积分还有一种特殊情况，也是其重要分支，即积分变换。

积分变换是把分析问题变换成数学模型，并使用积分来求解这些模型的解决方案的一种方法。

积分变换的基本思想是，根据原始问题，利用积分的运算建立合适的模型，并解决这些模型，从而得到最终的结果。

总之，以上就是微积分中常用的公式。

对于学习微积分，要牢记这些公式，并熟练应用在实际的问题中，才能取得更好的学习成果。

统一化的微分–积分求积法

f
(15)
因此，可以利用微积分统一形式的权系数计算方法解决微分计算和积分计算。设插值基函数 l j ( x ) ，对于上述方法中 n = 1 的特殊情况，参看式(5)可知 f ( x ) 的积分为原函数 F ( x ) ，
li 为插值函数的系数矩阵，则有
= F ( xi ) = lij F j ∑
(i ≠ j )
(3)
149
刘曦，张铮
(k ) ∏ ( xi − xk ) 。已知一阶权系数，各高阶权系数 Aij 可由下式推出：
k
其中， = φ ( xi )
N
k 1,k ≠i =
( ) = Aij
= k 1= k 1
(1) ( k −1) ( 2 ) ( k −2 ) = Aik Akj = Aik Akj ∑ ∑
摘
要
传统微分求积法和势能原理相结合有助于解决具有局域特殊性的力学问题，因此，求解这类问题时不仅涉及微分计算，还涉及积分计算。为简化计算流程，提高计算效率，本文基于微分/积分求积法的思想，提出了统一化的微分/积分求积的权系数计算方法，从而形成统一化的微分–积分求积法，并将此计算方法得到的结果与解析解进行比较，验证了该方法在收敛速度、求解精度、稳定性、应用范围方面的优势。
关键词
微分求积法，积分求积分，势能原理，权系数
1. 引言
微分求积法(DQM) [1]具有计算逻辑简明、程序过程紧凑、计算量少、计算精度高等优点，近年来已经被广泛应用于众多研究领域[2] [3]。但是，DQM 在求解具有局域特殊性问题时，其计算收敛性和准确性受到很大影响，为了改善这一问题，一些研究者将 DQM 与势能原理相结合[4]，使得求解过程中同时存在数值微分和积分。对于势能泛函中的微分和积分计算，现有做法是利用微分求积法离散微分形式，利用 Gauss-Lobatto 求积、积分求积法[5]及其他求积方法来离散积分形式[6] [7]。由于微分和积分需要分开离散，且易受微积分计算节点不统一的约束，导致计算流程较为繁琐，计算效率降低。有鉴于此，本文提出了基于 DQM 和积分求积法(Integral Quadrature Method，简称 IQM)思想的统一化的微分–积分求积法(Differential-Integral Quadrature Method，简称 D-IQM)，建立计算微分求积法和积分求积法的权系数的统一方式，进一步提高了势能原理框架下的新型数值方法 D-IQM 的计算效率，从而有利于解决局域特殊性问题。

大型圆形贮液池力学分析中的微分求积法

大型圆形贮液池力学分析中的微分求积法
周凯红。曾韬。唐进元
（中南大学机电工程学院，湖南长沙４０７）１０５
摘要：对传统的大型圆形贮液池力学分析方法计算复杂、度不高的问题，用微分求积法对圆形贮液的线弹性静力针精运
维普资讯
第３卷第３期２００６年６月
铁道科学与工程学报
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＰＡｌ＼ｆＹＣＩＮＣＥＡＮＤＮＩＥＲＩＧＩ＾ＡＳＥｅ２
ｗｉｏｔｒｓｒｓｉｇｔｕｅｔｓｎｈｐｅ
ＺＵａ－ｏｇＺＮＧＴｏＴＮＧＪ－ｕｎＨＯＫｉｎ，Ｅａ，ＡｉＹａｈｎ
（ｏｅｅｏｅｈｎｃｌＥｅｔｃｌｎｉｅｉ，Ｃｎｒｏｔｎｖｒｔ，｝ｎｓａ４０７，ｈｎ）Ｃｌｇｆｃａｉ＆ｌｒａＥｇｅｒｇｅｔｌＳｕｈＵｉｓｙｃｌｇｈ１０５ＣｉｌＭａｃｉｎｎａｅｉａａ
ＡｂｔａｔＴｉｐｐｒｄａｓｗｔｅａｐｉａｉｎｏｅｄｆｒｎｉｕｄａｕｔｏｏｔｅｌｅｒｌｓｉｓｔｎｌｓｓｒｃ：ｈｓａｅｅｌｉｔｐｌｔｆｉｅｅｔｑａｒｔｒｍｅｄｔｉａａｔｔｉａａｙｉｈｈｃｏｈｔｌａｅｈｈｎｅｃａｃｓｏｉｕａｏｃｔｎｓｔｏｔｒｓｅｓｇＴｅｇｖｍｉｇｅｕｔｎｆｑｉｂｉｍ，ｉｒｆｔｓｓｔｎｓａｄｆｒｌｒｃｎｒｅｔｋｈｕｅｔｓｉ．ｃｃｅａｉｗｐｒｎｈｏｅｎｑａｉｓｏｕｌｒｏｅｉｕｎｔｍｓｏｒｓｒｕａｔｎｅｓｅｅｌｃｕｌ，ａｔｄｅｎｕｔｅｅａｉｅｉｐａｅｎｓｆｒｂｅｕｅｏｔｉｄｓｌｅｎｅａｉｎｈｐｄｏｐｅｓｒｓｉｄａｄｐｔｉｏｇｎｒｌｄｄｓｌｃｍｅｔｍｙｔｓｆｒｎ— ｉａｍｅｔｒｌｔｓｉｓａｅｕｎｚｏｈｓａｐｃｏｎｃｎｔｕｉｅｅｕｔｎ．Ｔｅｒｓｔｇｓｓｍａｏｖｄｙｍｅｎｆｔｅｄｆｒｎｉａｒｔｒｅｈｉｕｔｏｓｉｔｑａｉｓｈｕｉｙｔｓｒｓｌｅｂａｓｏｉｅｅｔｑｄａｅｔｃｎｑｅｗｈｔｖｏｅｌｎｅｅｈｌａｕｕｉｆｖｕａｌｒｃｓｎａｏｒｅｐｅｉｉ，ｗｈｃｏａｃｒｔｔｓａｔｍｓｂｏｉｈｔｃｕａｅｓｒｓｐｔｅｅ．Ｋｅｒｓｄｆｒｎｉａｒｔｅｔｉａａｙｉ；ｎｅｃｅｏｙｗｏｄ：ｉｅｔｑｄａｒ；ｓｔｌｓｅａｕｌｕａｃｎｓｕｒａｍｔｄｍｉｌｈ

三维壁板气动弹性颤振研究的微分求积方法

中图分类号：０３２２；Ｖ２１５．３文献标识码：Ａ
Ａｅｒｏｅｌａｓｔｉｃｌｕｔｆｔｅｒａｎａｌｙｓｉｓｏｆａｔｈｒｅｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｐａｎｅｌｗｉｔｈｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌｑｕａｄｒａｔｕｒｅｍｅｔｈｏｄ
ｌｏａｄｓｃｌｃａｕｌａｔｅｄｕｓｉｎｇｐｉｓｔｏｎｔｈｅｏｙ．Ａｒｎｅｗｍｅｔｈｏｄｃａｌｌｅｄｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｑｕａｄｒａｔｕｒｅｍｅｔｈｏｄ（ＤＱＭ）ｗａｓａｐｐｌｉｅｄｔｏｄｅａｌｗｉｔｈ
振第３２卷第３期
动
与
冲
击
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＶＩＢＲＡＴＩＯＮＡＮＤＳＨＯＣＫ
三维壁板气动弹性颤振研究的微分求院总体工程研究所，四川绵阳６２１９００）
摘要：考虑几何非线性，采用活塞理论计算气动力，基于ＶｏｎＫａｒｍａｎ薄板理论和线弹性应力应变关系，建立三维
ＣＨＥＮＤａ — ｌｉｎ，ＷＡＮＧＪｕｎ
（ＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＳｙｓｔｅｍｓＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＣＡＥＰ，Ｍｉａｎｙａｎｇ６２１９００，Ｃｈｉｎａ）
ｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ａｎｄｔｈｅＤＱＭａｌｇｏｒｉｔｈｍｏｆｔｈｅａｅｒｏｅｌａｓｔｉｃｄｙｎａｍｉｃｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｗａｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｔｈｅｓｙｓｔｅｍ’ Ｓ

改进余弦微分求积法数值求解RLW方程

ｅｑｕａｔｉｏｎ；ＲＬＷｅｑｕａｔｉｏｎ；ｎｕｍｅｒｉｅａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓ
微分求积法（ＤＱＭ）［１自提出以来已成功用于许多工程物理问题的求解，也被许多学者用于非线
散点处的函数值与一组测试函数５（ｚ）的线性组合构造一个逼近函数口（），即：
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｉｍｐｒｏｖｅｄｃｏｓｉｎｅｅｘｐａｎｓｉｏｎ— ｂａｓｅｄｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｑｕａｄｒａｔｕｒｅｍｅｔｈｏｄ；ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ — ｃｏｎｖｅｃｔｉｏｎ
改进余弦微分求积法数值求解ＲＬＷ方程
孙建安，吴广智，贾伟
（西北师范大学物理与电子工程学院，甘肃兰州７３００７０）
摘要：采用将节点分为单双号的方法对余弦微分求积法（ＣＤＱＭ）进行了改进，并用改进后的算法构造了求解对流方程与ＲＬＷ方程的数值格式，求得了４个算例的数值解．通过与原余弦微分求积法所得数值解的比较，表明改进后的算
第４９卷２０１３年第６期
Ｖｏ１．４９２０１３Ｎｏ．６
西

北
师
范
大
学
学
报（自然科学版）

矩形薄板线性弯曲挠度的微分求积法研究

（４）
ｇ（（，ｊ ∑－ｍｇ（ｉＹ）ｘＹ）ｇｃ）Ｘ＂ｋｉ：式、（３）式带入（４）式、（式，确定出加权系数ｃ，（’ ５） ’ 如下：ｃ－ｍ
ｃ一）＿— 一弹ｆＫ ≠足
（２）
Ｎ
Ｎ
（＝ＸＸ兀（－）
』ｌ＝
Ｍ‘ｊ＝兀（一ｃｃ ’ （）＿ｊ）
』ｌｆ＝，≠』
（）３
ｇ）ｘ（，在节点（，ｊ＇Ｙ）
（）与（）ｊ形式完全相同，ｃ于是，；Ｎｌ￣２
收稿日期：２０ —５１０６０ —０
２ｏｏ７年２月
处的值，ｇｘｙＸｙ的阶偏导数ｇ（，在节点（，』处的值为：（，），－Ｙ＇ ’ ）Ｙ）
ＮＪ
ｇ（，）∑ ’ （，）＿Ｙ＝』ｇｔ』ｘＹ
止＝ｌ
ｎｌ・１＝，一２… Ｎ
，：１， …，一１，，… ｌ２ＪＶ
ｇｘｙＸｘ的，（，）￣ｚ
作者简介：袁玉全（９５），男，四川泸州人，讲师，２０１７一０４级硕士研究生，主要从事计算物理与计算固体力学方面的研究。
维普资讯
ｌ００
ｖ）理工学院学报（自然科学版）￣ｌｒｌｔ
文章编号：１７ — ５９（０７）ｌ０９ — ５６３１４２００一０９０
矩形薄板线性弯曲挠度的微分求积法研究
袁玉全，彭建设
（．１四川理工学院物理系，四川自贡６３０；．师范大学物理与电子信息学院，川南充６７０４００２西华四３０２）

管路设计中固有频率的快速工程计算方法

管路设计中固有频率的快速工程计算方法作者：马玉壮来源：《科技探索》2013年第05期摘要：管路系统在土木工程，城市建设，航空航天﹑海底输油﹑动力水能等工程上有着广泛的应用。

本文提出了一种新型的管路固有参数的计算方法-微分求积方法计算管路的固有频率和稳定性的判断方法。

该方法适用于各种边界条件和各种质量比管路系统的计算。

该计算方法可编写通用计算程序，其结果准确性高并且计算耗时非常小。

关键词：管路系统固有频率微分求积法中图分类号： TH 文献标识码：A 文章编号：1007-0745（2013）05-0387-020.引言管路系统在土木工程，城市建设，航空航天﹑海底输油﹑动力水能等工程上有着广泛的应用。

由于在工程中设计管路时，需要充分考虑管路中的流体对管路的影响，所以其动力学参数的计算是管道设计的基础问题[1]。

但是管路系统固有参数的精确计算需要通过动力学建模和合理的离散化处理，再通过分解特征值的办法来实现，而这些通常在工程中显得十分繁琐，而工程师们更希望有一种通用程序可以快速计算该参数来合理设计管路。

而且，通常工程中出现的管路，其安装的边界条件经常变化，这就需要工程设计者不断的重复推导计算过程，这是十分耗时的。

而且对于输送高速流动的流体的时候，管路系统的安全是至关重要的，通常机械设计手册的计算方法并不十分准确。

所以本文作者针对该问题提出了一种专门的计算方法并编写了通用程序，其准确性和简便性为工程设计提供了一种简单快捷的解决方案。

1.运动方程1. 微分求积法基本原理2.两端铰支管道的微分求积法计算3.计算结果及准确性验证图1中，实线表示本文利用微分求积法得到计算结果，而圆圈表示利用动力学原理分解特征值的结果。

从结果可以看出，本文计算结果很准确，对任何质量比的管路系统都适用。

然而，本文的计算方法可编制成通用的计算机程序，大大节省了计算时间。

比如，在图1中，每个数据点的分解特征值需要计算15秒-20秒。

而本文程序可以在2秒内完成至少25个数据点的计算工作。

基于微分求积法的变密度印刷纸带振动特性分析

１变面密度运动纸带的振动方程
图ｌａ、１ｂ分别示出了变密度纸带的数学模（）图（）型和密度变化规律。纸带沿方向的运动速度为，横
向振动位移为ｗ（Ｙｔ，带面密度为Ｐ（）假设，，）纸Ｙ，
詈叼舌詈ｃ √，，，，＝
ｒ一
√ｏＡ』ｒＤ，＝，＝ｎ詈Ｐ
（嚣
— 一Ａ－— ‘ ＝０ａ‘ ∈ ／８
一
方程（）１化为无量纲形式：
胶印机有待解决的关键问题。本文采用微分求积法分
向运动速度、度系数之间的关系。密
影响印刷质量。薄膜的振动尤其是横向振动的研究具有重要应用价值，引起众多专家、者的关注。已学Ｃａｇｏｈｎｈ１研究了轴向运动均质薄膜的纵向和横向振动的动态行为，用扩展的哈密顿原理，立了薄膜的应建运动微分方程。Ｍｒｎｗｋ２用二维流变学理论建ａｙｏｓｉｌ应
（钾，＝Ｗ（＇）Ｊ，），／ｅｒ（３）
第一作者武吉梅女，博士，教授，９３年１１６０月生
第３期
武吉梅等：基于微分求积法的变密度印刷纸带振动特性分析
ｌｌ０
将式（）３代人式（）得变面密度轴向运动纸带的２，横向振型微分方程：
睿
７０４）１０８
７０４；．西安理工大学理学院，１０８２西安

利用微分算子巧解一类常系数非齐次线性微分方程的特解

利用微分算子巧解一类常系数非齐次线性微分方程的特解齐新社!王利娟!$西安通信学院!西安!#$"$"*%摘!要!给出了利用微分算子求解C ’Q (G +B -J ’-!C ’Q (G +J C G ’-!’B ’"’%(&"型微分方程特解的一个普遍适用的简便方法!得到了更一般的结论"关键词!微分算子&特解中图分类号!8$#)K $+文献标识码)<常系数非齐次线性微分方程特解的求法有许多种!针对不同的方程!各种方法的难易程度也有所不同"利用微分算子求解常系数非齐次线性微分方程的特解是一种有效的手段!具有重要的地位!如果能够熟练掌握#灵活应用!会起到事半功倍的效果"解题时以下两个公式会经常用到)’$($B ’Q %(B -J ’-+$B ’"’%(!’B ’"’%(&"("’%($B ’Q %(J C G ’-+$B ’"’%(J C G ’-!’B ’"’%(&"("王柔怀和伍卓群所著的*常微分方程讲义+中指出!微分算子多项式B ’Q (必须是关于Q %的多项式’即B ’Q %((时才可以应用!例如例$+求’Q %"$(G+J C G -H B -J %-的一个特解"解!G+$Q %"$’J C G -H B -J %-(+$Q %"$J C G -H $Q %"$B -J %-+"$%J C G -"$)B -J %-"但微分算子多项式B ’Q (是关于Q %的多项式的情形很少!更普遍的是B ’Q (是关于Q 的多项式!此时公式就不能直接运用!本文旨在将上面的公式加以推广!得到了更一般的有意义的结果"以教材中的一道例题来进行说明"例%+求’Q %"!QH %(G+B -J %-的一个特解"原教材中给出了如下的解法"解法$)!由于Q %"!QH %不是Q %的多项式!因此不能直接利用公式’$("考虑辅助方程’Q %"!QH %(G+E 5%-其一特解为)G+$Q %"!QH %E 5%-+E 5%-$’%5(%"!’%5(H %+E 5%-$"%"*5+E 5%-"%H *5&"+$%"’"$H !5(’B -J %-H5J C G %-(+"$%"B -J %-"!%"J C G %-H5!%"B -J %-"$%"J C G %()-"该式的实部"$%"’B -J %-H !J C G %-(便是原方程的一个特解!即G+"$%"’B -J %-H !J C G %-(便是原方程的一个特解!即G+"$%"’B -J %-H !J C G %-("#!,-./(!0-/!++++++++++++++++高等数学研究;>?/!%"")++++++++++++12345615078996:6;<2=6;<2571万方数据整个解题过程相当繁琐!下面从微分算子Q 的性质入手寻找更简便的方法"由于/Q %8H(’Q (0B -J ’-+/’"$(8’%8H(’Q(0B -J ’-所以$Q %8H(’Q (B -J ’-+$’"$(8’%8H(’Q (B -J ’-!其中(’Q (不是关于Q %的多项式!根据这一点我们可以简化微分算子多项式B ’Q (中的高次算子项!同理可得$Q %8H(’Q (J C G ’-+$’"$(8’%8H(’Q (J C G ’-"而对于Q %8H $这样的算子!同样也可以得到)$Q %8H $H(’Q (B -J ’-+$Q Q %8H(’Q (B -J ’-+$’"$(8’%8QH(’Q (B -J ’-"$Q %8H $H(’Q (JC G ’-+$Q Q %8H(’Q (J C G ’-+$’"$(8’%8QH(’Q (J C G ’-"反复运用上面这几组公式就可以将微分算子Q 的次数降为一次!再利用平方差公式将算子Q的次数升为二次’Q %(后!直接利用公式’$(和’%(即可求解"下面利用此法求解例%"解法%+G+$Q %"!QH %B -J %-+$"&"!QH %B -J %-+"$!QH %B -J %-+"!Q"%’!QH %(’!Q"%(B -J %-+"!Q"%’’Q %"&(B -J %-+’!Q"%(B -J %-&"+B -J %-H !JC G %-%""例!+求’Q )"Q &H %Q !HQ %"!QH %(G+J C G %-的一个特解"解!G+$Q )"Q &H %Q !HQ %"!QH %J C G %-+$Q Q &"Q &H %Q Q %HQ %"!QH %J C G %-+$$*Q"$*"(Q"&"!QH %J C G %-+$)Q"$(J C G %-+)QH $(’)Q"$((’)QH $((J C G %-+)QH $(’%)Q %"!%&(J C G %-+"’)QH $((J C G %-&%&+)B -J %-H ’J C G %-%$%"小结#综上所述!当微分算子多项式B ’Q (不是关于Q %的多项式时!我们可以利用上面的公式将算子多项式B ’Q (的次数降为Q 的一次!然后再根据平方差公式将算子Q 的次数升为二次!再次利用上面的公式即可简便地求出此类微分方程的一个特解!方法简单可行"参考文献/$0!王柔怀#伍卓群$常微分方程讲义/;0$北京)人民教育出版社!$’#("""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""’上接$#页(!!十二月份!数学大师陈省身先生逝世!巧合的是本期摘登了*陈省身传+的一节!建议!期刊以后适当地登载一些有关的纪念文章!寄托哀思"另外!陈先生所题刊名建议长期保留"南京航空航天大学倪勤教授%"")年!月$(日就本刊%""&年第)期评论指出)读了这一期特刊!使我对*高等数学研究+这一刊物有了很深的了解!我感到!这一刊物对热心数学教育的老师是非常有益的!我将非常乐意向我的同事推荐这本刊物"(!++高等数学研究+++++++++++++++%"")年)月万方数据利用微分算子巧解一类常系数非齐次线性微分方程的特解作者：齐新社，王利娟作者单位：西安通信学院,西安,710106刊名：高等数学研究英文刊名：STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS年，卷(期)：2005，8(3)被引用次数：1次1.王柔怀.伍卓群常微分方程讲义 19781.期刊论文李绍刚.徐安农.LI Shao-gang.XU An-nong二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法-桂林电子科技大学学报2008,28(4)微分算子法是求解常系数非齐次线性微分方程特解的有效方法,基于算子多项式的理论,针对二阶常系数线性微分方程,论文给出了非线性项为指数函数、三角函数、幂函数及其混合函数的微分算子特解公式,实例表明特解公式在解题中具有可应用性、有效性和简捷性.2.期刊论文王欣欣.郑秉文用微分算子求常微分方程特解的注记-吉林师范大学学报(自然科学版) 2003,24(3)本文给出常系数线性微分方程最简特解的定义,论证了常系数线性微分方程最简特解的形式,同时给出了用微分算子求常系数线性微分方程最简特解的方法.3.期刊论文周展宏求常系数线性非齐次微分方程特解的微分算子级数法-高等数学研究2004,7(3)介绍一种简单、快速的求常系数线性非齐次微分方程特解的方法--微分算子级数法.并介绍其原理、公式和实例.4.期刊论文陈华喜.CHEN Hua-xi高阶常系数线性非齐次微分方程几种解法-河南城建学院学报2010,19(5)关于高阶常系数非齐次线性微分方程特解的求法,国内的<常微分方程>教材大多采用待定系数法进行求解,当方程的阶数较高时此方法较为繁琐.文章除了介绍高阶方程的待定系数法外,还介绍了常数变易法、拉普拉斯变换法、微分算子法,分析了各种解法的优缺点及适合的方程类型.5.期刊论文柯红路.谢和熙.Ke Honglu.Xie Hexi线性微分方程的微分算子级数解法-应用数学和力学1999,20(8)介绍了微分算子级数法及其求解线性常微分方程通解、特解的原理、方法和实例.这个方法和其它解法的差别,在于不借助其它学科知识的启示,直接通过方程中微分算子的运算求出方程的特解或通解.6.期刊论文陈新明.杨逢建用逆微分算子法求n阶常系数线性一般非齐次微分方程特解公式-数学的实践与认识2004,34(3)本文利用逆微分算子及其线性性质,给出了求n阶常系数线性一般非齐次项微分方程特解公式。

基于四元函数全微分求积研究

１四元函数全微分求积
１１四维空间曲线积分与路径无关的定义．定义１设Ｇ是一个四维空间区域，ｘｙｈ，，，，）Ｒ（，，，）和日（ｙｚｈＰ（，，，）Ｑ（ｙｚｈ，ｘｙｚｈ，，，）在区域Ｇ
内具有一阶连续的偏导数，满足下列条件之一都可成立：（）１如果对于Ｇ内任意指定的２点Ａ以及Ｇ内从点Ａ到点的任意２曲线，。等式，条，
Ｊｄｘ＋Ｑｙ＋ｄ＋１ｈ＝０ＰｄＲｚ１ｄ；
收稿日期：０１００２１ — ６— ７
作者简介：张勇军（９７一，，１７）男陕西渭南人，大学信息科学技术学院讲师，士海南硕
３０１
海南大学学报自然科学版
２１年０１
Ｊ１ ’ ｊ
于是
Ｉｄ＋ｄ＋ｄ＋ｘＱｙＲｚ圳＝Ｊｄ＋ｄＲｚ删ＰｘＱｙ＋ｄ＋．Ｐ
』’ １』
即曲线积分与路径无关．（）（）取一定点（。Ｙ，，。 ∈ ，２３：，ｈ）Ｇ作函数ｏ。
，
（ｙＺ＾，，，）
法、全微分方程的分部微分法中的凑微分法和拆微分法．关键词：四元函数；全微分；求积
中图分类号：０１２７文献标志码：Ａ
全微分是多元函数微分学中一个非常重要的概念，反映了多元函数函数值的增量与各自变量的增量以及偏导数之间的一种关系．通过多元函数的全微分，在一定的条件下可以求得满足一定关系的函数解析式，从而得出各个变量之间的关系，对于求解全微分方程所建立的数学模型是一种行之有效的方法．文

加筋圆柱曲板稳定性的微分求积单元法分析

展的工作却非常少, 最近 Zeng 和 B ert [ 5 ] 首先将 [6 ] DQM 用于了加筋板的自由振动分析, 戴承伟等首次应用DQ EM 求解了加筋板的屈曲问题。考虑到目前尚无用DQ EM 求解加筋圆柱曲板的文献报道, 本文首次尝试用DQ EM 来分析加筋圆柱曲板的稳定性问题, 给出圆柱曲板单元的微分求积列式和DQ EM 的分析过程, 拓展其应用范围。分析在均匀轴压和均匀侧压作用下, 加筋圆柱曲板的稳定性特性, 将部分结果与现有文献的结果进行了对比来
+ B
ij
x i, N x + 1
(w x ) 1 l + B
x i, N x + 2
(w x ) N x l (w y ) iN y ( 2d )
Λ
∑B
j= 1
w
+ B
y l, N y + 1
(w y ) i1 + B
y l, N y + 2 y
co s
( i - 1) Π (N - 1) 2 ( i - 1) Π (N - 1) 2 ( 5)
(M x ) il = - D Q
N x
∑A
j= 1
x ij
u jl + Λ Q
∑A
j= 1
y lj
v ij -
3 算例与分析
编写了Fo rt ran 程序。以下算例中令N x = N y =
N , 并采用如下的非均匀节点分布 a 1xi= b 1yi =
∑B
j= 1 N y
x ij
w
y lj
jl
加筋圆柱曲板稳定性的微分求积单元法分析
蒋凌海王永亮

弹塑性扭转问题的局部微分求积耦合法

ｖｒａｉｎｌｉｅｕａｉｉｓａｔｏａｎｑｌｔｅｉ
０引言
杆的弹塑性扭转问题是一类自由边界问题，它在物理、力学等学科中具有广泛的应用．这类问题的数学描述形式多采用变分不等式，常见的数值方法集中于有限元法（Ｅ、限差分法（Ｄ等］无网其ＦＭ）有ＦＭ）．
同的局部ＲＦ微分求积法＂等．Ｂ为叙述方便，里选取Ｌｇａｇ这ａｒｎｅ型插值基函数］．本文安排如下，１中介绍了弹塑性扭转问题；２中简述了ＬＱ方法及求解弹塑性扭转问题的Ｕａａ节节Ｄｚｗ．
ＬＱ耦合方法；３给出了数值算例和结论．Ｄ节
收稿日期：００一叭一５２１０
基金项目：国家自然科学基金（０００６１６２１）１２１２，０７１１
作者简介：魏学润（９６一）男，１８，山东潍坊人，硕士，主要从事计算力学研究
弹塑性扭转问题的局部微分求积耦合法
魏学润，丁睿
２５０）１０６
（州大学数学科学学院，苏苏州苏江
摘
要：研究了由椭圆变分不等式描述的弹塑性扭转问题，构造了Ｕａａ与局部微分求积法的耦合算法，ｚｗ通过
（ｃｏｌｆ￣ｍｔｃｅｃ，Ｓｚｏｎｖ，ｕｈｕ２５０ＣｉａＳｈｏｏｅａｉＳｉｅｕｈｕＵｉ．Ｓｚｏ１０６，ｈｎ）Ｍａｃｎ
Ａｂｔａｔｎｔｓｐｐｒ．ｗｅｄｓｕｓｔｅｅａｔｃｐａｔｏｓｏｒｂｌｍｓｔｐｅｅｔｅｍｅｈｆｅｓｒｃ：Ｉｈｉａｅｉｃｓｈｌｓｉ－ｌｓｉｔｒｉｎｐｏｅ．Ｉｒｓｎｓａｎｗｓ —ｒｅｃｌｏｉｈｂｏｐｌａｇｒｔｍｙｃｕｉｈａｔｏｎｈｏａｉｆｒｎｉｌｑｕｄａｕｒｔｏｎｇｔｅＵｚｗａｍｅｈｄａｄｔｅｌｃｌｄｆｅｅｔａａｒｔｅｍｅｈｄ．Ｂｙｎｕｍｅｃｌｉｒａｅａｌｓ，ｔｓｏｈｆｃｅｃｆｏｒｍｅｈｏｘｍｐｅｉｈｗｓｔｅｅｉｎｙｏｕｔｄ．ｉＫｅｒｙｗｏｄｓ：ｅａｔ — ａｔｃｔｒｉｎｐｒｂｅ；ｌｃｌｄｆｅｅｔｌｑｄａｕｅｍｅｈｄ；Ｕｚｗａｍｅｈｄ；ｌｓｉｐｌｓｉｏｓｏｏｌｍｓｏａｉｆｒｎｉｕａｒｔｒｔｏｃａａｔｏ

轴向运动梁横向振动固有频率微分求积法研究

０
Ｋ：＝
（一１Ｂ２＋）２
；
０
２２
（２）２一）Ｄ２～））—１Ｂ（１｝（１，Ｎ＋Ｎ
（－１Ｂ（一）一））Ｎ１Ｎ１＋Ｄ（～） — ）（Ｎ１Ｎ１（
０
０
０
０
０（２ＩＢＮ１＋ｖ一）７－）（）｝一２Ｄｍ１２
引入固有频率和模态函数，设式（）假１的解为［３］
ｖｘ，）一（） “ ＋ ≠ ）－（ｚｅ（ｅ“ （）５
其中，分别表示系统的第阶固有频率和相对西应的第阶模态函数。将（）代人（）５式４式得
将（Ｏ式代人（），１）７式将连续微分方程离散
一
０２Ａ（一】７ Ⅳ ｌ２
０Ｏ
２，Ｎ１Ｎ１ ’ Ａ（ — ）一）（
０
＋［批 ∑２＋∑（一）＋∑锄１
１０；０Ｏ０源自ＯＯ０
Ｏ
０
关键词：轴向运动梁；微分求积法；固有频率中图分类号：３２０２文献标识码：Ａ文章编号：０８０１２１３１６３１０ —６２（０１０ —０２ —０Ｊ
轴向运动梁可作为动力传送带、电梯缆绳、中空
缆车索道等多种工程系统元件的力学模型，因此，轴向运动梁的研究有着广泛的工程应用前景。在空气
一０
式中横向运动的位移Ｖ为轴向坐标Ｘ及时间Ｔ的

微分求积方法在弹性力学空间轴对称问题中的应用

２Ｓｈｏｏｉｃｓｌｒｌｉｎｅｓｙｓ肌．ｃｏｌｆｃｅｅ，ＳａｇａＵｉｒｔ，ｈＳｎｌＩＩｖｉ２０４，ｒｃｌｏｄｅｅｔｌｕｄａｒｍｔｄ（Ｑ，ｅＱｄｃｔａｏｕｔｎｆｂｔｃ：ａｅｎｔｉｉｅｆｉｒｉａｒｕｅｏＤＭ）ｔｉｒｉｔｎｅａｏｓｒｈｐｎｐｆｎａｑｔｅｈｈＤｓｅｚｉｑｉｏ
ｏｔｉｅｒｍＥＭｓｏａｅｄｆｅｎａｕｄａｕｔｏａｏｒｔｕｈａｉｈｒａｃｒｔｂａｎｄｆｏＦｈｗｓｔｔｔｉｒｔｑａｒｔｒｍｅｄｈｓｍｅｍｅｓｓｃｈｈｅｉｌｅｈｓｉｓｈｇｅｕａｅ，ｃ
通常，多常微分方程或者偏微分方程的初．许边值问题难以得到精确解或解析解，因此，广泛采用数值方法求解数值解，如有限单元法、限差分法、例有边界单元法、网格法等．无一般采用这些方法计算出高精度的结果需要采用大量的网格点，此，算因计
ｓａｅａｉｙｐｃｘａｓｍｍｅｒｒｂｅｎｅａｔｃｔｎｔａｅｆｓａｉｔｔｎｒｅ￣ｂｉｏｒｄｒｖｄ，ａｄｌｔｙｐｏｌｍｓｉｌｓｉｉｉｗｏｃｓｏｔｔｓａｅａｄｆｅｙｓｃｍｔｎａｅｅｅｉｎｎｍｅｃａｃｌｔｏｓａｅｉｌｍｅｔｄｉｈｒｓｎａｅ．Ｔｈｆｃｆｓａｉｇｐｉｔｎｔｅｎｍｅｃｕｒａｃｕａｉｎｒｍｐｅｎｅｎｔｅｐｅｔｐｐｒｉｌｌｅｅｅｅｔｏｐｃｎｏｎｓｏｕｒａｈｉｌｅｕｔｓｃｎｉｅｅｅｉｅｔｐｃｎｏｎｓａｅａｏｔｄ．Ｃｍｐｒｓｎｅｗｅｎｔｅｒｓｌｄｔｏｅｒｓｌｓｉｏｓｄｒｄｗｈｎｄｆｒｎｓａｉｇｐｉｔｒｄｐｅｅｏａｉｏｂｔｅｕｔａｓｈｅｓｎｈ

【国家自然科学基金】_微分求积法_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140729

2011年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
2011年科研热词推荐指数微分求积法 9 局部微分求积法 4 非线性边界条件 2 机械求积法 2 弹塑性 2 屈曲 2 功能梯度材料 2 newton迭代法 2 helmholtz方程 2 颤振 1 非线性薛定谔方程 1 非粘滞阻尼 1 非保守功能梯度材料斜板 1 长度系数 1 迎风机制 1 轴向运动梁 1 精确解 1 第二粘性 1 稳定性 1 矩形板 1 矩形厚板 1 激波 1 滑动轴承 1 时程积分 1 斜板 1 数值解 1 数值模拟 1 指数型阻尼 1 径向基函数 1 弹性 1 弹塑性扭转问题 1 弯曲 1 孤立波 1 固有频率 1 变刚度梁 1 变分不等式 1 动力特性系数 1 刚度 1 余弦微分求积法 1 人工粘性 1 中间铰支 1 uzawa方法 1 timoshenko模型 1 stokes假定 1 rlw方程 1 reynolds方程 1 navier-stokes方程 1 mindlin板理论 1
科研热词微分求积法颤振活塞理论截锥壳随从力运动纸带稳定性点支承横向振动极限环数值解摄动振动特性弹塑性扭转问题屈曲局部微分求积法变面密度变截面梁变截面变分不等式压电片半解析法动态特性功能梯度材料功能梯度斜板刚度 uzawa方法 beck杆
推荐指数 6 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
科研热词微分求积法混沌数值解轴向运动梁改进余弦微分求积法对流方程分岔 rlw方程黏弹性高耸结构高精度方法高效率颤振面内自由振动面内平动板非线性振动非线性偏微分方程非均匀分布逐步微分积分法近似边界条件边界融入法轴向约束跳跃谱元法调和微分求积法计算精度计算效率精度箱梁简支斜板稳态波动横向振动曲梁无量纲频率数值方法插值节点振动特性振动与波拐点截面参数微电力学特性微分求积单元法弹塑性地震反应分析屈曲临界载荷大变形多尺度法声辐射问题圆环板圆柱阵吸合受迫振动功能梯度材料

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

dξ β − α = ，由式（1.14）可知 dx a − b
l j ( x ) = l，因此 j (ξ )
l 'j ( x ) = l 'j (ξ )
dξ β − α ' = ll (ξ ) dx b − a
2
β − α '' d ξ β − α '' l ''j ( x ) = = lj l j (ξ ) b − a dx b − a
m =1 n =1
这样原方程化为如下代数方程组：
∑B
m =1
M
i m mj
T + ∑ B j nTin = xi y j
n =1
N
每个节点对应一条方程，共MN条方程。对于边界上：
T1 j = Ti1 = TMj = TiN = 0
下面计算相应的二阶加权系数：
Bi m =
∑A
k =1
M
x ik
A x km
加权系数取决于基函数的选取以及节点的划分
如果采用如下形式的插值基函数：
则（1.14）式写作：
采用这种形式的插值基函数的方法称为调和微分求积法。由此可以导出一阶加权系数的表达式为：
Aij = l ' j ( xi )
高阶加权系数可有一阶系数由递推关系得到。
下面我们从另外一个角度来计算加权系数：由微分求积法的定义（1.2）式，如果我们需要对未知函数求N阶导数，我们需要保证其N-1阶导数连续，只要满足这个条件，我们可以选取任意函数簇f（x）来导出权系数。
, y) 对于二维函数 g ( x，通常可以用一维函数的积来表示，即
g ( x, y ) = h ( x ) p ( y )
（1.7）
两个一维函数在节点的k阶导数值可以由节点的函数值表示：
hi = ∑ Φ hl
l =1
M
[k ]
N
[k ]
il
k
（1.8）
p j = ∑ψ [jm]p m
m =1
[k ]
X ij = W j ( x) |x = xi = l j
[k ]
[k ]
[k ]
( xi )
[ − ∑ lm ] ( xi )
k m =1 m≠i
N
(i ≠ j )
式（1.19）对微分求积法适用，这样，当一阶导数的权系数确定后，求高阶导数的权系数有两种方法可供选择：既可用递推公式（1.5），也可以用公式（1.19）。
f ( x ) = x k −1 ( k = 1, 2, ⋯, N )
(k − 1) x
k −2 i
(i, k = 1, 2,⋯ , N )
（1.20）
= ∑ Aij x k −1 j
n =1
N
将方程（1.20）写成矩阵形式，得到
[G ] = [ A][V ]
所以
（1.21）
[ A] = [G ][V ]
（1.23）
1 x1 1 x2 [V ] = ⋮ ⋮ 1 xN
⋯ x1N −1 N ⋯ x2 −1 ⋱ ⋮ N ⋯ xN −1 N × N
（1.24）
3、不同求解域权系数的转换关系
实际应用中为了避免对不同的求解区域多次编程计算，我们可以采用变量代换的方法将新变量转换为已有变量。对于变量 x ∈ [ a, b ] ，与变量 ξ ∈ [α , β ] 常采用线性变换关系
−1
（1.22）
(k − 1) x
k −2 i
= ∑ Aij x k −1 j
n =1
N
0 0 G] = [ ⋮ 0
1 2 x1 1 2 x2 ⋮ ⋮ 1 2 xN
⋯ ( N − 1) x1N − 2 N ⋯ ( N − 1) x2 − 2 ⋱ ⋮ N ⋯ ( N − 1) xN − 2 N × N
（1.10）
M M ∂kg k [k ] [k] = h i p j = ∑ Ψ jm p m h i = ∑ Ψ [jm]g m ∂y k ij m =1 m =1
N M N M ∂ r+s g s] [ r ] [s ] [r] [s ] [r] = h i p j = ∑ Φ il h l ∑ Ψ jm p m = ∑ Φ il ∑ Ψ [jm g lm ∂x r ∂ys ij l =1 m =1 l =1 m =1
(2i − 1)π xi = − cos 2N ( N − i )π xi = cos ( N − 1)
xi = ( N − 2)个Gauss-Legendre积分点
xi = − cos
( 2i − 3) π 2 ( N − 2)
4、算例
对于二维温场分布所满足的泊松方程
∇ 2T ( x, y ) = xy x ∈ [−1,1], y ∈ [−0.5, 0.5] 矩形边界区域T=0。
若
，并记
f (x) =
'
，f = f ( x ) j j
∑W
j =1
N
(注意函数f ( x)的任意性，这就要求
j
(x) f j
权函数W j(x)只与节点值xi 有关，而与节点处的函数值无关，也就是说对应于相同节点的不同函数我们可
（1.2）（1.3）
fi =
'
∑
N
N
j =1
Aij f j
同理：
N
（1.9）
式（1.8）和（1.9）中的 N，M分别为x和y方向划分的节点数。由上述两式可以导出二维函数g（x，y）在节点 ( x i，y的各阶偏 j) 导数的求值公式：
N N ∂kg k [k ] [k ] = h i p j = ∑ Φ il h l p j = ∑ Φ[il ]g lj ∂x k ij l =1 l =1
微分求积法基本原理
• 目录
• • • • 微分求积法的定义权系数的确定不同求解域权系数的转换关系一个算例
1.定义
不失一般性，考虑一维函数f(x),它在区间[a,b]上连续可微，则有 (1.1)
式中L是线性微分算子；是插值基函数，为N个互异节点中第j节点的坐标值。
对于定义在D上的连续函数，将全域上各点的函数值加权求和来表示各节点处的导数值的方法称为微分求积法。若将函数值看做基函数，可以理解为对插值基函数加权求和。
（1.11）

（1.12） 1.12
各阶偏导数的加权系数都出自一维函数的加权系数，因此我们对一维函数的加权系数进行详细地讨论。
2.权系数的确定
对于n个离散点，我们可以用拉格朗日插值函数来近似代替他们所满足的函数关系。定义：
l j ( xi ) = δ ij f ( x) = ∑ l j ( x) f ( x j )
（1.26）
⋮
β − α [k ] l j ( x) = l j (ξ ) b−a
[k ]
k
当节点 ξ i 对应于正则化区域，即 ξi ∈ [ −1,1] ，时，式（1.25）简化为
b−a b+a xi = ξi + 2 2
（1.27）
对于任意一维有限区域[a,b],只需要按上式划分N个互异节点，就可以通过公式（1.26）将正则化区域的权系数转换为当前要求的权系数。权系数可以转换的特性，给编程带来很大的方便。通常情况下，我们只要预先计算一次正则化区域的权系数，并予以保存。在求解具体问题时，只须将已有的权系数按式（1.26）进行变换，而无须重新计算。
j =1 N
（1.13）
式中 l j ( x ) 称为拉格朗日插值多项式，其形式为
x − xk l j ( x) = ∏ k =1 x j − xk
N k≠ j
（1.14）
由式（1.13）对f（x）求一阶导数，得到
f
从而有
'
( x ) = ∑ l 'j ( x ) f j
j =1
N
（1.15）
fi ' = f ' ( xi ) = ∑ l 'j ( xi ) f j
对应于节点（ xi , y j ），有：
∂ 2Tij ∂x ∂y T
'' ij 2
= ∑ Bim X mY j = ∑ BimTmj
m =1 N m =1 N
M
M
∂ 2Tij
2
= ∑ B j nYn X i = ∑ B j nTin
n =1 n =1 M N
= ∑ Bi mTmj + ∑ B j nTin
= ∑ Aik X n kj
k =1
N
（1.5）
实际应用中，我们一般最高求导为四阶，我们写出（1.4）式和（1.5）式的前面四项：
N ' f i = ∑ Aij f j j =1 [ 2] N f i = ∑ Bij f j j =1 N [3] f = C f ∑ ij j i j =1 N f [ 4] = D f ∑ ij j i j =1
x= b−a α +β ξ− 2 β −α a+b + 2
（1.25）
则区间[a,b]上N个互异节点 a = x1 < x2 < ⋯ < xN = b ，可以一一确定出区间[α,β] 上对应的N个节点 α = ξ1 < ξ 2 < ⋯ < ξ N = β 。由式（1.25）可得
∑A
k =1
N
y jk
A y kn
A y ij
N N ∏ ( yi − y k ) ∏ ( y j − y k ) (i ≠ j ) k =1 k =1, j k≠ j k ≠i ' = l j ( yi ) = N 1 ∏ ( y − y ) (i = j ) k =1 j k k ≠i