微分求积法

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基于微分求积法及 V－变换的大规模动力系统快速数值计算方法

基于微分求积法及 V－变换的大规模动力系统快速数值计算方法汪芳宗;廖小兵【摘要】针对大规模动力系统动态响应的数值计算，传统的微分求积法通常在时间域上逐步离散、整体求解，存在“维数灾”问题。

在多级高阶时域微分求积法的基础上，提出了基于 V －变换的大规模动力系统动态响应的快速数值计算方法。

利用微分求积法的加权系数矩阵满足 V －变换这一重要特性，将离散后的雅可比矩阵方程进行解耦分块，推导形成了多级分块递推计算方法。

数值算例表明，即使采用相当于 Newmark 方法2s 倍的步长，微分求积法的计算精度仍比Newmark 方法要高出2～3个数量级。

进一步对3个不同规模的算例系统进行了测试，结果表明：相对于传统的数值计算方法，多级分块递推计算方法可以获得较大的加速比，能够显著提高大规模动力系统动态响应的计算效率。

%For numerical simulation of large-scale dynamic systems'response,the traditional differential quadrature method (DQM)usually adopts successively discrete and global solution in time domain,where there is the problem of“curse of dimensionality”.On the basis of the multi-stage high-order time domain differential quadrature method,a fast numerical calculation method for large-scale dynamic systems'response based on V-transformation was ing the V-transformation processed by the weighting coefficient matrix of DQM,the whole Jacobian matrix equations involved in the traditional approach of DQMwere decoupled into blocks,thus a multi-stage block recursive method was achieved.The numerical examples show that,even using a step size of 2s times that as high as in the Newmarkmethod,the calculation precision of the differential quadrature method is about 2 ~3 orders higher than that of the Newmark method.Furthermore, three different scale systems were used for computational efficiency test and the results show that the multi-stage block recursive method can obtain high speedup compared with the traditional numerical methods,which can significantly improve the computational efficiency of large-scale dynamic systems'response.【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2016(000)003【总页数】7页(P73-78,128)【关键词】大规模动力系统;快速计算;微分求积法;V -变换;多级分块递推方法【作者】汪芳宗;廖小兵【作者单位】三峡大学电气与新能源学院，湖北宜昌 443002;三峡大学电气与新能源学院，湖北宜昌 443002【正文语种】中文【中图分类】O241.8;O313.3大规模动力系统动态响应的数值仿真可以准确地描述动力系统的动态特性和每时每刻的运动状态，一直以来是人们研究的热点问题。

变厚度矩形板自由振动的广义微分求积法分析

ｖｒｙ，Ｎｉｇｂ３５１，Ｃｈｎｅｉｔｎｏ１２１ｉａ）
ＡｂｔａｔａｅｎｇｎｒｌｅｉｅｅｔｌｕｄａｕｅｔｏＧＤｓｒｃ：Ｂｓｄｏｅｅａｚｄｄｆｒｎｉａｒｔｒｈｄ（ＱＭ）ｈｏｅｎｎｉｅｅｔｌｑａｉｆａｑｍｅ，ｔｅｇｖｒｉｇｄｆｒｎｉｕ — ｆａｅ
ｔｏｎｉｆｒｎｏｎａｙｃｎｉｉｎｒｄｉｃｅｅａｄｔｅｆｅｕｎｙｃａａｔｒｓｉｓｗｅｅｓｕｉｄｉｎａｄｄｆｅｅｔｂｕｄｒｏｄｔｏｓｗｅｅｍａｅｄｓｒｔｎｈｒｑｅｃｈｒｃｅｉｔｃｒｔｄｅｆｒｔａｓｅｓｒｅｖｂａｉｎｏｅｔｎｕａｌｔｓｗｉａｉｂｅｔｉｋｅｓＢｓｎｕｒｃｌｏｕａｉｎ，ｏｒｎｖｒｅｆｅｉｒｔｏｆｃａｇｌｒｐａｅｔｖｒａｌｈｃｎｓ．ｙｕｉｇｎｍｅｉａｍｐｔｔｏｒｈｃｔｅｄｍｅｓｏｌｓｕｄｍｅｔｌｒｑｅｃｅｒｂａｎｄｆｒｔｅｅｐａｅｔｄｆｅｅｔａｐｃａｉｓａｄｖｒ— ｈｉｎｉｎｅｓｆｎａｎａｅｕｎｉｓｗｅｅｏｔｉｅｈｓｌｔｓａｉｆｒｎｓｅｔｒｔｎａｉｆｏｏａｌｈｃｎｓａａｔｒｎｅｉｌｕｐｒｅｒｃａｅｏｎａｙｃｎｉｉｎ．Ｃｏａｅｔｖｉ — ｂｅｔｉｋｅｓｐｒｍｅｅｓｕｄｒｓｍｐｙｓｐｏｔｄｏｌｍｐｄｂｕｄｒｏｄｔｓｏｍｐｒｄｗｉｈａａｌａ

分部积分法表格计算法

分部积分法表格计算法
分部积分法是微积分中一种常用的求积方法，适用于含有乘积的函数的积分计算。

该方法通过将被积函数进行分解，并对其中的一部分进行积分，从而简化原积分式。

下面将介绍分部积分法的基本思想和计算步骤。

分部积分法的基本思想是，将被积函数分解为两个函数的乘积，然后对其中的一个函数进行求导，对另一个函数进行积分。

通过这样的分解和求导积分操作，原积分式的形式会得到简化，从而更容易进行求解。

分部积分法的计算步骤如下：
1. 首先选择一个函数作为“u”，另一个函数作为“dv”。

一般选择的原则是“u”越容易求导，而“dv”越容易积分。

2. 对“u”求导，并将其得到的导数记作“du”。

3. 对“dv”进行积分，并将其积分结果记作“v”。

4. 将“u”、“du”、“v”代入分部积分公式：∫u dv = uv - ∫v du，得到原积分式的简化形式。

5. 如果新得到的积分式仍然存在乘积项，重复以上步骤，直到得到不能再简化的积分式。

通过使用分部积分法，可以将原本复杂的积分式转化为简单的形式，从而更容易进行计算。

这种方法在求解含有乘积的函数的积分时
非常实用，尤其对于一些常见的函数形式，如多项式、指数函数、三角函数等，都能够有效地简化计算过程。

总之，分部积分法是一种常用的积分计算方法，通过将被积函数进行分解，对其中的一部分进行积分和求导，可以简化原积分式的形式，使得积分计算更加方便。

微积分计算公式

微积分计算公式微积分是研究可以量化连续变化的数学分支，主要包括积分、微分及函数的求导、求积等内容。

与其他的数学学科不同的是，微积分把求解过程和求解结果联系在一起，其结果可以表示为一个方程，即公式。

微积分公式是这一学科的核心内容，也是最重要的知识点，正确的掌握和应用公式是这一学科取得成功的关键所在。

首先，最基本的微积分公式，也就是微分的基本公式，是：f′(x)=limh→0f(x+h)f(x)h 。

这个公式表明，函数 f(x)点 x的导数，等于函数在点 x+h的取值与函数在点 x的取值的差值，除以此时的h。

在这个基本的微分公式之上，还有一些常用的微分公式，例如：微分 y= ax n公式为：Dy=nax n1 。

积分也是微分的一个重要方面，其最基本的公式是：∫f(x)dx=F(x)+C这里 F(x)示函数 f(x)积分，C示积分常数。

积分是用来求取函数的积分面积，而积分公式是进行函数求积的基本公式。

此外，还有许多其它的常用的微积分公式，例如积分微分公式，椭圆积分公式，余弦积分公式等。

积分微分公式是将微分操作和积分操作结合起来的公式，椭圆积分公式是根据椭圆来求解函数积分的公式，余弦积分公式是使用余弦函数求解函数积分的公式。

此外，微积分还有一种特殊情况，也是其重要分支，即积分变换。

积分变换是把分析问题变换成数学模型，并使用积分来求解这些模型的解决方案的一种方法。

积分变换的基本思想是，根据原始问题，利用积分的运算建立合适的模型，并解决这些模型，从而得到最终的结果。

总之，以上就是微积分中常用的公式。

对于学习微积分，要牢记这些公式，并熟练应用在实际的问题中，才能取得更好的学习成果。

统一化的微分–积分求积法

f
(15)
因此，可以利用微积分统一形式的权系数计算方法解决微分计算和积分计算。设插值基函数 l j ( x ) ，对于上述方法中 n = 1 的特殊情况，参看式(5)可知 f ( x ) 的积分为原函数 F ( x ) ，
li 为插值函数的系数矩阵，则有
= F ( xi ) = lij F j ∑
(i ≠ j )
(3)
149
刘曦，张铮
(k ) ∏ ( xi − xk ) 。已知一阶权系数，各高阶权系数 Aij 可由下式推出：
k
其中， = φ ( xi )
N
k 1,k ≠i =
( ) = Aij
= k 1= k 1
(1) ( k −1) ( 2 ) ( k −2 ) = Aik Akj = Aik Akj ∑ ∑
摘
要
传统微分求积法和势能原理相结合有助于解决具有局域特殊性的力学问题，因此，求解这类问题时不仅涉及微分计算，还涉及积分计算。为简化计算流程，提高计算效率，本文基于微分/积分求积法的思想，提出了统一化的微分/积分求积的权系数计算方法，从而形成统一化的微分–积分求积法，并将此计算方法得到的结果与解析解进行比较，验证了该方法在收敛速度、求解精度、稳定性、应用范围方面的优势。
关键词
微分求积法，积分求积分，势能原理，权系数
1. 引言
微分求积法(DQM) [1]具有计算逻辑简明、程序过程紧凑、计算量少、计算精度高等优点，近年来已经被广泛应用于众多研究领域[2] [3]。但是，DQM 在求解具有局域特殊性问题时，其计算收敛性和准确性受到很大影响，为了改善这一问题，一些研究者将 DQM 与势能原理相结合[4]，使得求解过程中同时存在数值微分和积分。对于势能泛函中的微分和积分计算，现有做法是利用微分求积法离散微分形式，利用 Gauss-Lobatto 求积、积分求积法[5]及其他求积方法来离散积分形式[6] [7]。由于微分和积分需要分开离散，且易受微积分计算节点不统一的约束，导致计算流程较为繁琐，计算效率降低。有鉴于此，本文提出了基于 DQM 和积分求积法(Integral Quadrature Method，简称 IQM)思想的统一化的微分–积分求积法(Differential-Integral Quadrature Method，简称 D-IQM)，建立计算微分求积法和积分求积法的权系数的统一方式，进一步提高了势能原理框架下的新型数值方法 D-IQM 的计算效率，从而有利于解决局域特殊性问题。

大型圆形贮液池力学分析中的微分求积法

大型圆形贮液池力学分析中的微分求积法
周凯红。曾韬。唐进元
（中南大学机电工程学院，湖南长沙４０７）１０５
摘要：对传统的大型圆形贮液池力学分析方法计算复杂、度不高的问题，用微分求积法对圆形贮液的线弹性静力针精运
维普资讯
第３卷第３期２００６年６月
铁道科学与工程学报
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＰＡｌ＼ｆＹＣＩＮＣＥＡＮＤＮＩＥＲＩＧＩ＾ＡＳＥｅ２
ｗｉｏｔｒｓｒｓｉｇｔｕｅｔｓｎｈｐｅ
ＺＵａ－ｏｇＺＮＧＴｏＴＮＧＪ－ｕｎＨＯＫｉｎ，Ｅａ，ＡｉＹａｈｎ
（ｏｅｅｏｅｈｎｃｌＥｅｔｃｌｎｉｅｉ，Ｃｎｒｏｔｎｖｒｔ，｝ｎｓａ４０７，ｈｎ）Ｃｌｇｆｃａｉ＆ｌｒａＥｇｅｒｇｅｔｌＳｕｈＵｉｓｙｃｌｇｈ１０５ＣｉｌＭａｃｉｎｎａｅｉａａ
ＡｂｔａｔＴｉｐｐｒｄａｓｗｔｅａｐｉａｉｎｏｅｄｆｒｎｉｕｄａｕｔｏｏｔｅｌｅｒｌｓｉｓｔｎｌｓｓｒｃ：ｈｓａｅｅｌｉｔｐｌｔｆｉｅｅｔｑａｒｔｒｍｅｄｔｉａａｔｔｉａａｙｉｈｈｃｏｈｔｌａｅｈｈｎｅｃａｃｓｏｉｕａｏｃｔｎｓｔｏｔｒｓｅｓｇＴｅｇｖｍｉｇｅｕｔｎｆｑｉｂｉｍ，ｉｒｆｔｓｓｔｎｓａｄｆｒｌｒｃｎｒｅｔｋｈｕｅｔｓｉ．ｃｃｅａｉｗｐｒｎｈｏｅｎｑａｉｓｏｕｌｒｏｅｉｕｎｔｍｓｏｒｓｒｕａｔｎｅｓｅｅｌｃｕｌ，ａｔｄｅｎｕｔｅｅａｉｅｉｐａｅｎｓｆｒｂｅｕｅｏｔｉｄｓｌｅｎｅａｉｎｈｐｄｏｐｅｓｒｓｉｄａｄｐｔｉｏｇｎｒｌｄｄｓｌｃｍｅｔｍｙｔｓｆｒｎ— ｉａｍｅｔｒｌｔｓｉｓａｅｕｎｚｏｈｓａｐｃｏｎｃｎｔｕｉｅｅｕｔｎ．Ｔｅｒｓｔｇｓｓｍａｏｖｄｙｍｅｎｆｔｅｄｆｒｎｉａｒｔｒｅｈｉｕｔｏｓｉｔｑａｉｓｈｕｉｙｔｓｒｓｌｅｂａｓｏｉｅｅｔｑｄａｅｔｃｎｑｅｗｈｔｖｏｅｌｎｅｅｈｌａｕｕｉｆｖｕａｌｒｃｓｎａｏｒｅｐｅｉｉ，ｗｈｃｏａｃｒｔｔｓａｔｍｓｂｏｉｈｔｃｕａｅｓｒｓｐｔｅｅ．Ｋｅｒｓｄｆｒｎｉａｒｔｅｔｉａａｙｉ；ｎｅｃｅｏｙｗｏｄ：ｉｅｔｑｄａｒ；ｓｔｌｓｅａｕｌｕａｃｎｓｕｒａｍｔｄｍｉｌｈ

三维壁板气动弹性颤振研究的微分求积方法

中图分类号：０３２２；Ｖ２１５．３文献标识码：Ａ
Ａｅｒｏｅｌａｓｔｉｃｌｕｔｆｔｅｒａｎａｌｙｓｉｓｏｆａｔｈｒｅｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｐａｎｅｌｗｉｔｈｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌｑｕａｄｒａｔｕｒｅｍｅｔｈｏｄ
ｌｏａｄｓｃｌｃａｕｌａｔｅｄｕｓｉｎｇｐｉｓｔｏｎｔｈｅｏｙ．Ａｒｎｅｗｍｅｔｈｏｄｃａｌｌｅｄｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｑｕａｄｒａｔｕｒｅｍｅｔｈｏｄ（ＤＱＭ）ｗａｓａｐｐｌｉｅｄｔｏｄｅａｌｗｉｔｈ
振第３２卷第３期
动
与
冲
击
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＶＩＢＲＡＴＩＯＮＡＮＤＳＨＯＣＫ
三维壁板气动弹性颤振研究的微分求院总体工程研究所，四川绵阳６２１９００）
摘要：考虑几何非线性，采用活塞理论计算气动力，基于ＶｏｎＫａｒｍａｎ薄板理论和线弹性应力应变关系，建立三维
ＣＨＥＮＤａ — ｌｉｎ，ＷＡＮＧＪｕｎ
（ＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＳｙｓｔｅｍｓＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＣＡＥＰ，Ｍｉａｎｙａｎｇ６２１９００，Ｃｈｉｎａ）
ｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ａｎｄｔｈｅＤＱＭａｌｇｏｒｉｔｈｍｏｆｔｈｅａｅｒｏｅｌａｓｔｉｃｄｙｎａｍｉｃｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｗａｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｔｈｅｓｙｓｔｅｍ’ Ｓ

改进余弦微分求积法数值求解RLW方程

ｅｑｕａｔｉｏｎ；ＲＬＷｅｑｕａｔｉｏｎ；ｎｕｍｅｒｉｅａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓ
微分求积法（ＤＱＭ）［１自提出以来已成功用于许多工程物理问题的求解，也被许多学者用于非线
散点处的函数值与一组测试函数５（ｚ）的线性组合构造一个逼近函数口（），即：
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｉｍｐｒｏｖｅｄｃｏｓｉｎｅｅｘｐａｎｓｉｏｎ— ｂａｓｅｄｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｑｕａｄｒａｔｕｒｅｍｅｔｈｏｄ；ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ — ｃｏｎｖｅｃｔｉｏｎ
改进余弦微分求积法数值求解ＲＬＷ方程
孙建安，吴广智，贾伟
（西北师范大学物理与电子工程学院，甘肃兰州７３００７０）
摘要：采用将节点分为单双号的方法对余弦微分求积法（ＣＤＱＭ）进行了改进，并用改进后的算法构造了求解对流方程与ＲＬＷ方程的数值格式，求得了４个算例的数值解．通过与原余弦微分求积法所得数值解的比较，表明改进后的算
第４９卷２０１３年第６期
Ｖｏ１．４９２０１３Ｎｏ．６
西

北
师
范
大
学
学
报（自然科学版）

矩形薄板线性弯曲挠度的微分求积法研究

（４）
ｇ（（，ｊ ∑－ｍｇ（ｉＹ）ｘＹ）ｇｃ）Ｘ＂ｋｉ：式、（３）式带入（４）式、（式，确定出加权系数ｃ，（’ ５） ’ 如下：ｃ－ｍ
ｃ一）＿— 一弹ｆＫ ≠足
（２）
Ｎ
Ｎ
（＝ＸＸ兀（－）
』ｌ＝
Ｍ‘ｊ＝兀（一ｃｃ ’ （）＿ｊ）
』ｌｆ＝，≠』
（）３
ｇ）ｘ（，在节点（，ｊ＇Ｙ）
（）与（）ｊ形式完全相同，ｃ于是，；Ｎｌ￣２
收稿日期：２０ —５１０６０ —０
２ｏｏ７年２月
处的值，ｇｘｙＸｙ的阶偏导数ｇ（，在节点（，』处的值为：（，），－Ｙ＇ ’ ）Ｙ）
ＮＪ
ｇ（，）∑ ’ （，）＿Ｙ＝』ｇｔ』ｘＹ
止＝ｌ
ｎｌ・１＝，一２… Ｎ
，：１， …，一１，，… ｌ２ＪＶ
ｇｘｙＸｘ的，（，）￣ｚ
作者简介：袁玉全（９５），男，四川泸州人，讲师，２０１７一０４级硕士研究生，主要从事计算物理与计算固体力学方面的研究。
维普资讯
ｌ００
ｖ）理工学院学报（自然科学版）￣ｌｒｌｔ
文章编号：１７ — ５９（０７）ｌ０９ — ５６３１４２００一０９０
矩形薄板线性弯曲挠度的微分求积法研究
袁玉全，彭建设
（．１四川理工学院物理系，四川自贡６３０；．师范大学物理与电子信息学院，川南充６７０４００２西华四３０２）

管路设计中固有频率的快速工程计算方法

管路设计中固有频率的快速工程计算方法作者：马玉壮来源：《科技探索》2013年第05期摘要：管路系统在土木工程，城市建设，航空航天﹑海底输油﹑动力水能等工程上有着广泛的应用。

本文提出了一种新型的管路固有参数的计算方法-微分求积方法计算管路的固有频率和稳定性的判断方法。

该方法适用于各种边界条件和各种质量比管路系统的计算。

该计算方法可编写通用计算程序，其结果准确性高并且计算耗时非常小。

关键词：管路系统固有频率微分求积法中图分类号： TH 文献标识码：A 文章编号：1007-0745（2013）05-0387-020.引言管路系统在土木工程，城市建设，航空航天﹑海底输油﹑动力水能等工程上有着广泛的应用。

由于在工程中设计管路时，需要充分考虑管路中的流体对管路的影响，所以其动力学参数的计算是管道设计的基础问题[1]。

但是管路系统固有参数的精确计算需要通过动力学建模和合理的离散化处理，再通过分解特征值的办法来实现，而这些通常在工程中显得十分繁琐，而工程师们更希望有一种通用程序可以快速计算该参数来合理设计管路。

而且，通常工程中出现的管路，其安装的边界条件经常变化，这就需要工程设计者不断的重复推导计算过程，这是十分耗时的。

而且对于输送高速流动的流体的时候，管路系统的安全是至关重要的，通常机械设计手册的计算方法并不十分准确。

所以本文作者针对该问题提出了一种专门的计算方法并编写了通用程序，其准确性和简便性为工程设计提供了一种简单快捷的解决方案。

1.运动方程1. 微分求积法基本原理2.两端铰支管道的微分求积法计算3.计算结果及准确性验证图1中，实线表示本文利用微分求积法得到计算结果，而圆圈表示利用动力学原理分解特征值的结果。

从结果可以看出，本文计算结果很准确，对任何质量比的管路系统都适用。

然而，本文的计算方法可编制成通用的计算机程序，大大节省了计算时间。

比如，在图1中，每个数据点的分解特征值需要计算15秒-20秒。

而本文程序可以在2秒内完成至少25个数据点的计算工作。

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dξ β − α = ，由式（1.14）可知 dx a − b
l j ( x ) = l，因此 j (ξ )
l 'j ( x ) = l 'j (ξ )
dξ β − α ' = ll (ξ ) dx b − a
2
β − α '' d ξ β − α '' l ''j ( x ) = = lj l j (ξ ) b − a dx b − a
m =1 n =1
这样原方程化为如下代数方程组：
∑B
m =1
M
i m mj
T + ∑ B j nTin = xi y j
n =1
N
每个节点对应一条方程，共MN条方程。对于边界上：
T1 j = Ti1 = TMj = TiN = 0
下面计算相应的二阶加权系数：
Bi m =
∑A
k =1
M
x ik
A x km
加权系数取决于基函数的选取以及节点的划分
如果采用如下形式的插值基函数：
则（1.14）式写作：
采用这种形式的插值基函数的方法称为调和微分求积法。由此可以导出一阶加权系数的表达式为：
Aij = l ' j ( xi )
高阶加权系数可有一阶系数由递推关系得到。
下面我们从另外一个角度来计算加权系数：由微分求积法的定义（1.2）式，如果我们需要对未知函数求N阶导数，我们需要保证其N-1阶导数连续，只要满足这个条件，我们可以选取任意函数簇f（x）来导出权系数。
, y) 对于二维函数 g ( x，通常可以用一维函数的积来表示，即
g ( x, y ) = h ( x ) p ( y )
（1.7）
两个一维函数在节点的k阶导数值可以由节点的函数值表示：
hi = ∑ Φ hl
l =1
M
[k ]
N
[k ]
il
k
（1.8）
p j = ∑ψ [jm]p m
m =1
[k ]
X ij = W j ( x) |x = xi = l j
[k ]
[k ]
[k ]
( xi )
[ − ∑ lm ] ( xi )
k m =1 m≠i
N
(i ≠ j )
式（1.19）对微分求积法适用，这样，当一阶导数的权系数确定后，求高阶导数的权系数有两种方法可供选择：既可用递推公式（1.5），也可以用公式（1.19）。
f ( x ) = x k −1 ( k = 1, 2, ⋯, N )
(k − 1) x
k −2 i
(i, k = 1, 2,⋯ , N )
（1.20）
= ∑ Aij x k −1 j
n =1
N
将方程（1.20）写成矩阵形式，得到
[G ] = [ A][V ]
所以
（1.21）
[ A] = [G ][V ]
（1.23）
1 x1 1 x2 [V ] = ⋮ ⋮ 1 xN
⋯ x1N −1 N ⋯ x2 −1 ⋱ ⋮ N ⋯ xN −1 N × N
（1.24）
3、不同求解域权系数的转换关系
实际应用中为了避免对不同的求解区域多次编程计算，我们可以采用变量代换的方法将新变量转换为已有变量。对于变量 x ∈ [ a, b ] ，与变量 ξ ∈ [α , β ] 常采用线性变换关系
−1
（1.22）
(k − 1) x
k −2 i
= ∑ Aij x k −1 j
n =1
N
0 0 G] = [ ⋮ 0
1 2 x1 1 2 x2 ⋮ ⋮ 1 2 xN
⋯ ( N − 1) x1N − 2 N ⋯ ( N − 1) x2 − 2 ⋱ ⋮ N ⋯ ( N − 1) xN − 2 N × N
（1.10）
M M ∂kg k [k ] [k] = h i p j = ∑ Ψ jm p m h i = ∑ Ψ [jm]g m ∂y k ij m =1 m =1
N M N M ∂ r+s g s] [ r ] [s ] [r] [s ] [r] = h i p j = ∑ Φ il h l ∑ Ψ jm p m = ∑ Φ il ∑ Ψ [jm g lm ∂x r ∂ys ij l =1 m =1 l =1 m =1
(2i − 1)π xi = − cos 2N ( N − i )π xi = cos ( N − 1)
xi = ( N − 2)个Gauss-Legendre积分点
xi = − cos
( 2i − 3) π 2 ( N − 2)
4、算例
对于二维温场分布所满足的泊松方程
∇ 2T ( x, y ) = xy x ∈ [−1,1], y ∈ [−0.5, 0.5] 矩形边界区域T=0。
若
，并记
f (x) =
'
，f = f ( x ) j j
∑W
j =1
N
(注意函数f ( x)的任意性，这就要求
j
(x) f j
权函数W j(x)只与节点值xi 有关，而与节点处的函数值无关，也就是说对应于相同节点的不同函数我们可
（1.2）（1.3）
fi =
'
∑
N
N
j =1
Aij f j
同理：
N
（1.9）
式（1.8）和（1.9）中的 N，M分别为x和y方向划分的节点数。由上述两式可以导出二维函数g（x，y）在节点 ( x i，y的各阶偏 j) 导数的求值公式：
N N ∂kg k [k ] [k ] = h i p j = ∑ Φ il h l p j = ∑ Φ[il ]g lj ∂x k ij l =1 l =1
微分求积法基本原理
• 目录
• • • • 微分求积法的定义权系数的确定不同求解域权系数的转换关系一个算例
1.定义
不失一般性，考虑一维函数f(x),它在区间[a,b]上连续可微，则有 (1.1)
式中L是线性微分算子；是插值基函数，为N个互异节点中第j节点的坐标值。
对于定义在D上的连续函数，将全域上各点的函数值加权求和来表示各节点处的导数值的方法称为微分求积法。若将函数值看做基函数，可以理解为对插值基函数加权求和。
（1.11）

（1.12） 1.12
各阶偏导数的加权系数都出自一维函数的加权系数，因此我们对一维函数的加权系数进行详细地讨论。
2.权系数的确定
对于n个离散点，我们可以用拉格朗日插值函数来近似代替他们所满足的函数关系。定义：
l j ( xi ) = δ ij f ( x) = ∑ l j ( x) f ( x j )
（1.26）
⋮
β − α [k ] l j ( x) = l j (ξ ) b−a
[k ]
k
当节点 ξ i 对应于正则化区域，即 ξi ∈ [ −1,1] ，时，式（1.25）简化为
b−a b+a xi = ξi + 2 2
（1.27）
对于任意一维有限区域[a,b],只需要按上式划分N个互异节点，就可以通过公式（1.26）将正则化区域的权系数转换为当前要求的权系数。权系数可以转换的特性，给编程带来很大的方便。通常情况下，我们只要预先计算一次正则化区域的权系数，并予以保存。在求解具体问题时，只须将已有的权系数按式（1.26）进行变换，而无须重新计算。
j =1 N
（1.13）
式中 l j ( x ) 称为拉格朗日插值多项式，其形式为
x − xk l j ( x) = ∏ k =1 x j − xk
N k≠ j
（1.14）
由式（1.13）对f（x）求一阶导数，得到
f
从而有
'
( x ) = ∑ l 'j ( x ) f j
j =1
N
（1.15）
fi ' = f ' ( xi ) = ∑ l 'j ( xi ) f j
对应于节点（ xi , y j ），有：
∂ 2Tij ∂x ∂y T
'' ij 2
= ∑ Bim X mY j = ∑ BimTmj
m =1 N m =1 N
M
M
∂ 2Tij
2
= ∑ B j nYn X i = ∑ B j nTin
n =1 n =1 M N
= ∑ Bi mTmj + ∑ B j nTin
= ∑ Aik X n kj
k =1
N
（1.5）
实际应用中，我们一般最高求导为四阶，我们写出（1.4）式和（1.5）式的前面四项：
N ' f i = ∑ Aij f j j =1 [ 2] N f i = ∑ Bij f j j =1 N [3] f = C f ∑ ij j i j =1 N f [ 4] = D f ∑ ij j i j =1
x= b−a α +β ξ− 2 β −α a+b + 2
（1.25）
则区间[a,b]上N个互异节点 a = x1 < x2 < ⋯ < xN = b ，可以一一确定出区间[α,β] 上对应的N个节点 α = ξ1 < ξ 2 < ⋯ < ξ N = β 。由式（1.25）可得
∑A
k =1
N
y jk
A y kn
A y ij
N N ∏ ( yi − y k ) ∏ ( y j − y k ) (i ≠ j ) k =1 k =1, j k≠ j k ≠i ' = l j ( yi ) = N 1 ∏ ( y − y ) (i = j ) k =1 j k k ≠i