专题探究-含参数不等式恒成立问题.ppt.ppt

②当 a＞0 时，g′(x)＝a(x－ a)(x＋ a).
令 g′(x)＝0，得 x＝ a或 x＝－ a(舍去).
ⅰ)当 x∈[0,2]，0＜ a＜2 时，列表：
x
0 (0， a)
a
( a，2)
g′(x)
－
0
＋
g(x) 0
↘
－23a2 a
↗
∵g(0)＝0，g( a)＜0，
又∵0，23⊆A，
解：(1)由于 f(x)＝aln x－x－ax＋2a，其中 x>0， f′(x)＝ax－1＋xa2＝－x2＋x2ax＋a. ①当 a≤0 时，f′(x)<0 恒成立，于是 f(x)的单调递减区间 为(0，＋∞). ②当 a>0 时，由 f′(x)＝0，得 x＝a＋ a22＋4a(另一根舍去). 列表得
x
0，a＋
a2＋4a
2

a＋ a2＋4a 2
a＋

a22＋4a，＋∞
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
极大值
↘
于是 f(x)的单调递增区间为0，a＋ a22＋4a，单调递减区
间为a＋ a22＋4a，＋∞.
综上所述，当 a≤0 时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)； 当 a>0 时，f(x)的单调递增区间为0，a＋ a22＋4a，单调递减区 间为a＋ a22＋4a，＋∞.
解得 a>ln 2－1.∴ln 2－1<a≤12；
当 a>12时，函数 f(x)的单调递增区间为0，1a和(2，＋∞)，
单调递减区间为1a，2.
则 f(x)max＝f1a＝－2－21a－2ln a<0 恒成立.
所以

函 数 f(x)≤0 在 区 间 [1 ， ＋ ∞) 上 恒 成 立 ， 则 当 a> － 1 时 ，
f1＝lna＋1－e＋a≤0， fx0＝－x0－ex0＋a≤0.
①设 g(a)＝ln(a＋1)＋a－e，a∈(－1，＋
∞)，可知 g(a)在区间(－1，＋∞)上单调递增，又 g(e－1)＝ln(e－1＋1)
主题4 不等式
微专题3 不等式中的存在与恒成立问题 3.1 利用数形结合法求解不等式恒成立问题
内容索引
问题背景 思维模型 典型例题 自主探究
内容索引
不等式恒成立问题是近几年模拟考试、高考的热门考点，需要 学生熟练掌握求解此问题的三种常见方法(数形结合、分离参数、 构造函数)．而我们在利用常见方法求解此问题时，方法的合理选 择成为难点，合理的方法结合熟练的计算会让问题变得简单，不合 理的方法会导致简单问题复杂化，增加计算、思维等各方面的难 度．因此，选择合适的方法是能否顺利解决此类问题的关键．
0<x<12，logax≥x2，则只需
loga12≥14，即
1 loga2
1
≥logaa4，所以
a14≥12，即
a≥116，所以116≤a<1；当
x≥12时，
f(x)＝a1x≥x2，此时若对任意 x≥12，1ax≥x2，即 ln a1x≥ln x2，
即 lna1≥2lxn x，则只需 ln1a≥2lxn xmax.令 g(x)＝2lxn x，则 g′(x)＝2－x22ln x，当
内容索引
k(t)与曲线 g(t)相切时，设切点为(x0，y0)，则－e1t20－t10＝ba，且bat0＋4＝e1t0－ ln t0，整理，得 3＋ln t0＝e2t0，解得 t0＝1e，此时ba＝－2e.

则a要大于右边式子在（1,4）的最大值
令t=2/x， t的范围则为（1/2，2） 则 2/x-2/x^2 = 2t-t^2/2 = -1/2(t-2)^2 + 2
这便是两次函数求最值 当t=2时 2t-2t^2 的最大值 为 2(但取不到) 所以a的范围是 [2, 正无穷﹚
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美 课件
恒成立 恒成立
又 令1+2t=m（m > 1），则
f(m)=
m 1(m21)2
m242mm5(m4m5)2
4 2 52
521(当且仅当m=
5 时等号成立)
∴ a ≥ [f (x)] max=
5 2*
1
即a
≥
5 1 2
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美 课件
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b
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(2) 0<b≤1时，对x ∈(0,1]，|f(x)|≤1 恒成立
(
bx-
1 x
)max ≤a ≤(bx+
)1xmin
此时
(
bx-
1 x
)max=b-1
(x=1时取得)
而
bx +
1 x
在(0,1]上递减
故
(
bx+
•
10保尔身上的人格特征或完美的精神 操守： 自我献 身的精 神、坚 定不移 的信念 、顽强 坚韧的 意志
•
11把记叙、描写、抒情和议论有机地 融合为 一体， 充满诗 情画意 。如描 写百草 园的景 致，绘 声绘色 ，令人 神往。
•

问题1：用判别式法需注意什么？
变式一 若
f ( x) ax 2ax 4 ,当 x R 时， f ( x) 0 恒成立,则实数 a 的取值范围 。
2
解： (1)当a 0时，要使f ( x) 0恒成立，
2 则＝（－2a） 4a 4 0, 解得0 a 4
三、 思维拓展,直击高考
练习二： 已知 x 1是函数 f ( x) mx3 3(m 1) x2 nx 1的一个极值 点，其中 m, n R, m 0 ， （1）求 m 与 n 的关系式；
（2）当 x [1,1] 时，函数 y f ( x) 的图像上任意一点的
一、追根溯源,构建方法
例 1 （必修5 P115A第3题，B组第2题改编）若
f ( x) x 2ax 4 ,当 x R 时，f ( x) 0恒成立,求实数
2
a
的取值范围
归纳总结：
。
1.判别式法 设 f ( x) ax2 bx c(a 0) f ( x) 0在x R 上恒成立 a 0且 0 ； f ( x) 0在x R 上恒成立 a 0且 0 . 2.最值法（转化为求原函数的最值） f ( x) 0 恒成立 f ( x)min 0 ； f ( x) 0 恒成立 f ( x)max 0 .
提高题：
4.（2012年惠州调研）已知函数 f ( x) ax ln x(a R) （1）求 f ( x) 的单调区间；
（2）设 g ( x) x2 2x 2，若对任意 x1 (0, ) ,均存在 x2 [0,1] , 使得 f ( x1 ) g ( x2 ) ，求 a 的取值范围. x3 5．(2012广州调研理）已知函数 f ( x) ln 2ax 1 x 2 2ax （1）若 x 2 为的极值点，求实数 a 的值； （2）若 y f ( x) 在 3, 上为增函数，求实数 a 的取值范围；

小结
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课后练习
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策略与方法
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例题精讲
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不等式中的恒成立问题
策略与方法
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策略与方法
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策略与方法
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例题精讲
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故 （*）式成立的充要条件为: b-1≤a≤b+1
（2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 .
解：(1)当1-m=0即m=1时， (*)式恒成立， 故m=1适合(*) ；
当1-m>0时，即m<1 ,(*)式在x [-2,2]时恒成立的充
要条件为： △=(m-1)2-12(I-m)<0 解，得: -11<m<1；
当1-m<0时，即m>1, (*)式在x [-2,2]时恒成立的充
1
一、方法引入：
１.数形结合法 : (1）若f(x)=ax+b,x ∈[α,β]，
则：
f()>0
f(x)>0恒成立 f()>0
f(x)<0恒成立 y
f()<0 f()<0
α
o
βx
2
（2）ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是：
a=b=0 或 a>0 C>0_________Δ_=_b_2_-_4_a_c__<_0___。
≤a
≤
1 x
+bx
∵ x ∈(0,1]， b>1
∴
bx+
1 x
≥
2
b (x=
1时取等号
b
)
又
bx
-
1 x
在(0,1]上递增
∴ ( bx- 1x)max=b-1 (x=1时取得 )
故 x ∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为:
又 x=0时，|f(x)|≤1恒成立
∴ x ∈[0,1]时原式恒成立的充要条件为:
_____________;

∴ x ∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为: 0 ＜a≤ b+1
又 x=0时，|f(x)|≤1恒成立
∴ x ∈[0,1]时原式恒成立的充要条件为: 0 ＜a≤ b+1
又 a>0
*故 ( bx+ )min =b+1
*
三、课时小结：
2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问 题，分类讨论。
例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 ................ (*) （1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ；（2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 .
*则 g(m)>0恒成立g(-2)=3x2-3x+343;px+1>2x+p恒成立，则实数x的取值范围是： ——————————。
*２、ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是：a=b=
*
二、典型例题：例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 ................ (*) （1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ；（2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 .
x<-1或x>3
小结：1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。
2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问 题，分类讨论。
*练习1:x<-1或x>3小结：2、二次函数型问题，结合抛物
*
y=kx
②解：原不等式可化为：x2+2>kx
在同一坐标系下作它们的图象如右图:

的导数 f (x) 0 恒成立，则实数 a 的
取值范围是 {a|a≥9}
回归课本 提炼方法
变式 1 （2009 重庆理第 5 题）不等 式 x 3 x 1 a2 3a 对任意实数 x 恒成
立，则实数 a 的取值范围为（ A ）（新课
标选修 4-5 第 20 页第 9 题改编）
A．(, 1] [4, ) B．(, 2] [5, )
由 ex 1 x(x 0) 可得 ex 1 x(x 0) .从而当 a 1 时， 2
f '(x) ex 1 2a(ex 1) ex (ex 1)(ex 2a) ，
故 当 x (0, ln 2a) 时 ， f '(x) 0 ， 而 f (0) 0 ， 于 是 当 x (0, ln 2a) 时， f (x) 0 . 综合得 a 的取值范围为 (, 1] .
范围.
解 ： 由 题 意 ， f (x) 0 在 区 间 (1,1) 恒 成 立 。
ekx (1 kx) 0 在区间 (1,1) 恒成立。因为 ekx 0 ，即
1 kx 0 在区间 (1,1) 恒成立。
答案：1, 0
方法 1 (1 kx)min 0 ， x (1,1)
0,1
方法 2 分离变量 kx 1, x (1,1)
了解高考，把握热点
08 安徽理第20题 文第21题 全国II文第21题理第22题
陕西理文第22题理第21题 辽宁理第22题 全国I理第19题
39 湖南理第21题文第21题 天津理第20题 文第21题
套
有12套
09 重庆理第5题
浙江文第21题理第22题 上海理第11题
辽宁理第21题 江西理第15，17题 湖北文理21题
C．[1, 2]

分析 :即不等式 x2 mx 2m 3 0的解集为R.
解 :由题意可得,
m2 42m 3 m2 8m 12 0,
解得 6 m 2,
{m 6 m 2}.
2. 分离参数最值法
例2已知 x 1,不等式 x2 ax x2 2恒成立,求实数 a的取值范围.
a 2x2 2 x
解: 当 x＝0时, x2＋a|x|＋1＝1 ≥ 0 成立. 当 x≠0 时，a|x|≥－(x2＋1)，a≥－ |x|＋|1x| 恒成立.
∵ |x|＋|1x| ≥ 2 (当且仅当 |x|＝1 时, 等号成立), ∴－|x|＋|1x|≤－2, ∴a≥－2.
2. 分离参数最值法
练习2 : 若不等式a2 b2 2 ( 1)(a b) 对任意的正数 a, b 恒成立, 求实数 的取值范围.
例题选讲
例1不等式(a 2)x2 2(a 2)x 4 0 对一切 x R 恒
成立,求实数 a的取值范围.
a 2, 2.
1. 判别式法, 必须具备以下两个条件:
(1) 能转化成关于 x 的一元二次不等式; (2) 不等式对任意 x R的恒成立.
1. 判别式法
练习:已知不等式 x2 mx 2m 3 0的解集为, 求实数 m的取值范围.
4. 更换主元法
例4若对任意 a [1,1],函数 f (x) x2+(a 4)x 4 2a
的值恒大于零, 则 x的取值范围是( C )
A.(,1) (2, ) B.(1, 2) C.(,1) (3, ) D.(1,3)
方法一: 更换主元 +图象法;
方法二 : 参变分离最值法.
恒成立求参数范围常用的有三种方法:
0
x
x
x1,或x