人教版必修五含参不等式和恒成立问题(含答案)

含参不等式恒成立问题例题在数学的世界里，有一种“含参不等式恒成立”的问题，听起来有点复杂，但实际上就像生活中的一些小窍门，掌握了就能轻松应对。

想象一下，数学就像一场舞会，里面有各种各样的舞步，有的简单易学，有的则需要你慢慢去摸索。

这些含参不等式就像那些你在舞会里需要学的舞步，只要掌握了，你就能在任何场合中游刃有余。

先说说什么是“含参不等式”。

简单来说，就是不等式中有参数，这些参数就像是调味料，放多少，怎么放，都会影响最终的结果。

参数就像是调皮的小孩子，让不等式变得难以捉摸。

可是，只要你找到合适的调味方式，不论参数怎么变化，不等式都能保持“和谐”的状态，听起来是不是很神奇？拿一个简单的例子来说吧，想象一下你在做饭，盐、糖、醋，每一样都要掌握好分量，才能做出美味的菜肴。

如果你在一道菜里放了太多盐，那就惨了，味道会让人皱眉；可是如果放得刚刚好，哇，绝对让人回味无穷。

这就是不等式的精髓，参数调得好，一切都能顺理成章。

在这道问题中，我们会遇到一些技巧，比如要学会“化简”。

有些东西，表面上看起来复杂，实际上只要你用对了方法，往往就能简单明了。

就像你在穿衣服的时候，挑选一件合适的外套，有时候那件看似简单的衣服，搭配得当，反而能让你瞬间提升气场。

其实数学也有同样的道理，化繁为简，才能找到最优解。

还有一些不等式的常用形式，比如“阿莫尔不等式”，听起来很高大上，其实就像在说：“伙计，学会了这招，你就能在不等式的海洋中畅游无阻。

”它帮助我们理解不同参数之间的关系，打下坚实的基础。

就好比你在乐队里，如果每个人都能把自己的乐器演奏得当，那整个乐队就会和谐得像一首动人的交响曲。

哦，咱们得聊聊例子了。

举个例子吧，假如有一个不等式 (a + b geq 2sqrt{ab)，听上去像是个难题，但实际上它是在说：只要你把 (a) 和 (b) 搞得好，它们的和总是大于等于它们的几何平均。

这就像你和朋友一起出去玩，不论你们买了多少东西，只要快乐是最重要的。

不等式恒成立问题一、利用根的判别式1. 若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－1)C.⎝⎛⎭⎫－∞，－1311 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－1311∪(1，＋∞)2. 已知不等式22230ax ax a -++>的解集为R,则a 的取值范围是（ ）A.a ≥0B.a ＞0C.a ≥－3D.a ＞－33. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为__________.4. 若关于x 的不等式2224< 24ax ax x x +-+对一切x R ∈恒成立，则a 的取值范围是____．5. 若不等式x 2－4x ＋3m <0的解集为空集，则实数m 的取值范围是________．6. 若不等式x 2＋mx ＋m2>0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(0,2)7. 若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]8. 已知f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，如果对一切x ∈R ，f (x )＞0恒成立，求实数a 的取值范围．9. 已知函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1，是否存在实数m 对所有的实数x ，f (x )<0恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．10. 不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．11. 若函数f (x )＝log 2(x 2－2ax －a )的定义域为R ，则a 的取值范围为________．12. 定义在R 上的运算：()*1x y x y =-，若不等式()()*1x y x y -+<对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是______．13. 设0πα≤≤，不等式()288sin cos20x x αα-+≥对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为 .14. 已知函数)()lgf x x x =+，若不等式()()33920x x x f m f ⋅+--<对任意x ∈R恒成立，求实数m 的取值范围.二、转化为函数最值问题1. 若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为( )A ．1B ．－1C ．－3D ．32. 当x ∈(1,2)时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是_______________.3. 设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．4. 对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．5. 已知函数()221f x x ax =-+对任意0 1]x ∈（，恒有()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1 +∞，）B ．[1 2∞-+，）C ．1] -∞（，D ．12]∞--（，6. 当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．[]5,3--B ．96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]6,2--D ．[]4,3--7. 已知()()()()23 22x f x m x m x m g x =-++=-，．若任意() < 0x R f x ∈，或()< 0g x ，则m 的取值范围是________．三、变更主元1. 对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ≥0恒成立，求x 的取值范围．2. 已知函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4，对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立，试求x 的取值范围．3. 对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)4. 已知不等式mx 2－2x ＋m －2<0.(1)若对于所有的实数x 不等式恒成立，求m 的取值范围；(2)设不等式对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围．5. 设函数21f x mx mx =--（） （1）若对一切实数() < 0x f x ，恒成立，求m 的取值范围． （2）若对一切实数 2 [ 2]m ∈-，，()< 5f x m -+恒成立，求x 的取值范围．四、存在问题1. 存在实数x ，使得243< 0x bx b -+成立，则b 的取值范围是________．2. 若不存在整数x 使不等式()()2440kx k x <---成立，则实数k 的取值范围是____．3. 关于x 的不等式()21< 0x a x a -++的解集中恰有3个整数解，则a 的取值范围是________．4. 已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，是否存在实数a，使得对任意x∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立．若存在求出a的取值范围；若不存在说明理由．5. 已知函数f(x)＝2kxx2＋6k(k＞0)．(1)若f(x)＞m的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，求不等式5mx2＋kx＋3＞0的解集；(2)若存在x＞3，使得f(x)＞1成立，求k的取值范围．参考答案 不等式恒成立问题一、利用根的判别式1. 解析：选C ①当m ＝－1时，不等式为2x －6<0，即x <3，不符合题意．②当m ≠－1时，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ<0，解得m <－1311，符合题意．故实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－1311. 2. 【答案】A 【解析】由题意可知当时,符合题意；当时，要求解得.综上所述a 的取值范围是a ≥0.. 3.【解析】当时，不等式变形为，解集为，符合题意； 当时，依题意可得，综上可得．4. 【答案】]2 2-（，【解析】不等式2224< 24ax ax x x +-+，可化为()()22224< 0a x a x -+--， 当20a -=，即2a =时，恒成立，合题意．当20a -≠时，要使不等式恒成立， 需020a ∆<⎧⎨-<⎩，解得2< < 2a -．所以a 的取值范围为]2 2-（，．故答案为：]2 2-（，5. 解析：由题意，知x 2－4x ＋3m ≥0对一切实数x 恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m ≤0，解得m ≥43. 答案：⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 6. 解析：选D ∵不等式x 2＋mx ＋m2>0，对x ∈R 恒成立，∴Δ<0即m 2－2m <0，∴0<m <2.7. 解析：选D 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，解得－3<k <0. 综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．8. [解] 由题意可知，只有当二次函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4的图象与直角坐标系中的x 轴无交点时，才满足题意，则其相应方程x 2＋2(a －2)x ＋4＝0此时应满足Δ＜0，即4(a －2)2－16＜0，解得0＜a ＜4.故a 的取值范围是(0,4)．9. 已知函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1，是否存在实数m 对所有的实数x ，f (x )<0恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：f (x )＝mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方． 当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m－m ＜0，不等式组的解集为空集，即m 无解． 综上可知不存在这样的m .10. 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. ∴a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)11. 解析：已知函数定义域为R ，即x 2－2ax －a ＞0对任意x ∈R 恒成立．∴Δ＝(－2a )2＋4a ＜0. 解得－1＜a ＜0. 答案：(－1,0) 12.【答案】13 22⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】由已知()()()()*11x y x y x y x y -+=---<对一切实数x 恒成立， 所以2210x x y y --++>对一切实数x 恒成立，所以()21410y y ∆=--++<，所以1322y -<<． 13. 分析 根据开口向上的二次函数定义域为R 时函数值非负的条件()0∆≤列式直接运算求解.解析 由题意，要使()288sin cos20x x αα-+≥对x ∈R 恒成立，需264sin32cos20∆αα=-≤，化简得1cos 22α≥.又0πα≤≤，所以π5π0222π33αα或≤≤≤≤，解得π5π0π66αα或≤≤≤≤. 答案：0,π5π⎡⎤⎡⎤,π⎢⎥⎢⎥66⎣⎦⎣⎦. 14. 略二、转化为函数最值问题1. 解析：选C 由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立，又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，∴f (x )min ＝f (1)＝－3，∴m ≤－3. 2. (],5-∞-3. 解：要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6，则m ＜0.综上所述，m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，67. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1. 因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可． 因为m ≠0，所以m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，67.4. 解析：当x ＝0时，不等式恒成立，当x ≠0时，将问题转化为－a ≤1|x |＋|x |，由1|x |＋|x |≥2，故－a ≤2，即a ≥－2.所以实数a 的取值范围为[－2，＋∞)．答案：[－2，＋∞)5. 【答案】C【解析】解法一：依题意可得2440a ∆=-≤，或0(0)0202f a ∆>⎧⎪-⎪-⎨≤≥⎪⎪⎩或1(1)0202f a ∆>⎧⎪-⎪-⎨≥≥⎪⎪⎩，解得11a ≤≤-，或01 1 10a a a ><-⎧≥⎪≤⎪⎨⎩或或111 1 a a a a ><-⎧≤⎪≥⎪⎨⎩或，即有11a ≤≤-，或1a <-或a ∈∅，故实数a 的取值范围是：1] -∞（，． 解法二：()221f x x ax -=+对任意0 1]x ∈（，恒有()0f x ≥成立，即有12a x x≤+在0 1]x ∈（，恒成立，由于12x x+≥，当且仅当1x =取最小值2，则22a ≤，即有1a ≤．故选C ． 6. 略7.【答案】()4 0-，【解析】因为()22x g x =-，当1x ≥时，()0g x ≥，又因为任意x R ∈，()< 0f x 或()< 0g x ， 所以此时()()()230f x m x m x m =-++<在1x ≥时恒成立．若()0 0m f x ==，恒成立，不符合，0m ≠故， 则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在（1，0）的左面 则03121m m m <⎧⎪--<⎨⎪<⎩，所以40m -<<．故答案为： 4 0-（，）．三、变更主元1. 解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0， 解得x <1或x >3.故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．2. 解：原函数可化为g (a )＝2xa ＋x 2－4x ＋4，是关于a 的一元一次函数．要使对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧ g＜0，g －＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4＜0，x 2－10x ＋4＜0. 因为x 2－2x ＋4＜0的解集是空集，所以不存在实数x ，使函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4，对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立． 3. 解析：选B 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧ g ＝x 2－3x ＋2>0，g－＝x 2－5x ＋6>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2，x <2或x >3⇔x <1或x >3. 4. 解：(1)对所有实数x ，都有不等式mx 2－2x ＋m －2<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x ＋m －2的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，－2x －2<0，显然对任意x 不能恒成立； 当m ≠0时，由二次函数的图象可知有⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝4－4mm －，解得m <1－2，综上可知，m 的取值范围是(－∞，1－2)．(2)设g (m )＝(x 2＋1)m －2x －2，它是一个以m 为自变量的一次函数，由x 2＋1>0，知g (m )在[－2,2]上为增函数，则只需g (2)<0即可，即2x 2＋2－2x －2<0，解得0<x <1. 故x 的取值范围是(0,1)．5. 【答案】（1）]( 4 0-，；（2）()1 2-，． 【解析】（1）当0m =时，()211f x mx mx =--=-，对一切实数x ，()< 0f x 恒成立； 当0m ≠时，若对一切实数x ，()< 0f x 恒成立，则有2040m m m <⎧⎪⎨+<⎪⎩，所以4< < 0m -，综上，m 的取值范围是]( 4 0-，． （2）因为()< 5f x m -+，所以21< 5mx mx m ---+，所以()216< 0x x m -+-， 因为对一切实数 2 [ 2]m ∈-，，()< 5f x m -+恒成立，且21>0x x -+，所以只需()2216< 0x x -+-，解得1< < 2x -．所以x 的取值范围是()1 2-，．四、存在问题1. 【答案】3> < 04b b 或【解析】因为存在实数x ，使得243< 0x bx b -+成立的等价说法是：存在实数x ，使得函数243y x bx b =-+的图象在x 轴下方，即函数与x 轴有两个交点，故对应的()23443>0< 0>4b b b b ∆=--⨯⇒或．故答案为：< 0b 或3>4b ．2. 【答案】14k ≤≤【解析】设原不等式的解集为A ，当0k =时，则>4x ，不合题意，当>0k 且2k ≠时，原不等式化为[]44< 0x k x k -+-（）（），因为4>4k k+，所以44 ()A k k =+，，要使不存在整数x 使不等式()()244< 0kx k x ---成立，需45k k+≤，解得：14k ≤≤；当2k =时，A =∅，合题意；当< 0k 时，原不等式化为44>[]0x k x k-+-（）（），所以44 A k k=-∞++∞（，）（，），不合题意，故答案为：14k ≤≤．3. 【答案】 3 2 ]4 [5--，）（，【解析】由()21< 0x a x a -++，得()()1< 0x x a --，若1a =，则不等式无解． 若>1a ，则不等式的解为1< < x a ，此时要使不等式的解集中恰有3个整数解，则此时3个整数解为 2 3 4x =，，，则45a <≤．若1a <，则不等式的解为1a x <<，此时要使不等式的解集中恰有3个整数解，则此时3个整数解为0 1 2x =--，，，则3< 2a -≤-．综上，满足条件的a 的取值范围是 3 2 ]4 [5--，）（，．故答案为： 3 2 ]4 [5--，）（，．4. 解：若对任意，x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立，则满足题意的函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4的图象如图所示．由图象可知，此时a 应该满足⎩⎪⎨⎪⎧f－＜0，f ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧25－6a ＜0，1＋2a ＜0，解得⎩⎨⎧a ＞256，a ＜－12.这样的实数a 是不存在的，所以不存在实数a 满足：对任意x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立．5. 解：(1)由不等式f (x )＞m ⇔2kxx 2＋6k＞m ⇔mx 2－2kx ＋6km ＜0，∵不等式mx 2－2kx ＋6km ＜0的解集为{x |x ＜－3或x ＞－2}， ∴－3，－2是方程mx 2－2kx ＋6km ＝0的根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2k m ＝－5，6k ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，m ＝－25，故有5mx 2＋kx ＋3＞0⇔2x 2－x －3＜0⇔－1＜x ＜32， ∴不等式5mx 2＋kx ＋3＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，32. (2)f (x )＞1⇔2kxx 2＋6k＞1⇔x 2－2kx ＋6k ＜0⇔(2x －6)k ＞x 2.存在x ＞3，使得f (x )＞1成立，即存在x ＞3，使得k ＞x 22x －6成立．令g (x )＝x 22x －6，x ∈(3，＋∞)，则k ＞g (x )min .令2x －6＝t ，则x ＝t ＋62，则t ∈(0，＋∞)，y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋622t＝t 4＋9t＋3≥2 t 4·9t＋3＝6， 当且仅当t 4＝9t ，即t ＝6时等号成立．当t ＝6时，x ＝6，∴g (x )min ＝g (6)＝6，故k 的取值范围为(6，＋∞)．。

专题-含参数不等式恒成立与存在性问题由任意性和存在性条件求参数的取值范围问题，一直是高考数学考试的重点和难点。

通过对近几年高考数学试题的研究，我们发现这类试题往往以压轴题的形式出现，所涉及的知识点内容覆盖面广，其中命题的核心在函数、方程、不等式等内容的交汇处。

下面就对这类问题进行详细的归类、归法，构建知识体系，希望对同学们有所帮助。

一、在不等式恒成立的条件下，求参数的取值范围问题在不等式恒成立条件下求参数的取值范围，一般原理是利用转化与化归思想将其转化为函数的最值或值域问题加以求解，方法可采用“分离参数法”或“不分离参数法”直接移项构造辅助函数的形式.类型1：对于一次函数，则有：],[,)(n m x b kx x f ∈+=（1）如果；()0()0()0f m f x f n >⎧>⇔⎨>⎩恒成立（2）如果.()0()0()0f m f x f n <⎧<⇔⎨<⎩恒成立例1、若不等式对满足的所有都成立，求的范围.)1(122->-x m x 22≤≤-m m x 解：我们可以用改变主元的办法，将视为主元，原不等式化为：，m 0)12()1(2<---x x m 令，则时，恒成立，所以只需)12()1()(2---=x x m m f 22≤≤-m 0)(<m f ⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即，所以的范围是.⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x x )231,271(++-∈x 说明：在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量看成是主元（未知数），而把另一个变x 量看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。

如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范a 围的变量看作参数，则可简化解题过程。

类型2：设，)0()(2≠++=a c bx ax x f R x ∈（1）上恒成立；R x x f ∈>在0)(00<∆>⇔且a （2）上恒成立.R x x f ∈<在0)(00<∆<⇔且a 例2、已知关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.x 2210mx mx ++>x R ∈m 解：当时，原不等式化为显然成立；0m =10>当时，则需要满足条件：；0m ≠201440m m m m >⎧⇒<<⎨∆=-<⎩综上，实数的取值范围是.m [0,1)类型3：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ],[βα∈x （1）当时，如果上恒成立；0>a ],[0)(βα∈>x x f 在⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf aba b f a b 或或当时，如果上恒成立.0>a ],[0)(βα∈<x x f 在⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当时，如果上恒成立；0<a ],[0)(βα∈>x x f 在⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f 当时，如果上恒成立.0<a ],[0)(βα∈<x x f 在⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a bab f a b 或或例3、若时，不等式恒成立，求的取值范围。

含参数恒成立问题1、若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（ ） A ． B ． C ． D ．2、若不等式的解集是R ，则的范围是A. B. C. D.3、若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 4、不等式的解集为R ，那么（ ） A ． B ． C ． D ．5、一元二次不等式对一切实数成立，则的取值范围是________．6、已知函数(1)若，解不等式；(2)若不等式的解集为，求实数的取值范围.7、已知不等式.（1）当时解此不等式；（2）若对于任意的实数，此不等式恒成立，求实数的取值范围。

8、已知关于的不等式：，其中为参数.（1）若该不等式的解集为，求的取值范围；（2）当时，该不等式恒成立，求的取值范围.9、解关于的不等式.2220mx mx +-<x m (2,0)-(2,0]-(,0)-∞(,0]-∞()()21120m x m x -+-+>m [)1,9()1,9(](),19,-∞⋃+∞()(),19,-∞⋃+∞x 2210ax x ++>R a ()1,+∞()0,1(),1-∞()(),00,1-∞20(0)ax bx c a ++<≠0,0a <∆<0,0a <∆≤0,0a >∆≥0,0a >∆>2230kx kx +-<x k 2()(1)f x x m x m =+--2,m =()0f x <()1f x ≥-R m 210x x m --+>3=m x m x ()222ax x ax a R -≥-∈参考答案一、单项选择1、【答案】B2、【答案】A3、【答案】A4、【答案】A二、填空题5、【答案】.6、【答案】（1）（2）7、【答案】（1）；（2）（1）常系数一元二次不等式的求解，先解方程，再根据图象写出解集；（2）含参数的不等式的恒成立问题，不等式对任意实数恒成立等价于二次函数的图象恒在x 轴上方，即判别式，从而解得参数m 的取值范围.试题解析：（1）当m=3时，不等式为 方程的两根为2和-1，根据函数的图象可知不等式的解集为；（2）不等式对任意实数x 恒成立二次函数的图象恒在x 轴上方，即判别式，所以解得， 所以m 的取值范围是. 8、【答案】（1）；（2）试题分析：分析：（1）根据一元二次不等式的性质可得，解不等式即可；（2）利用分离参数思想得，求出不等式右端最小值即可. 详解：（1）由题意知，即，∴(3,0]-{|21}x x -<<31m -≤≤),2()1,(+∞⋃--∞3(,)4m ∈-∞1)(2+--=m x x x f 0<∆022>--x x 022=--x x 2)(2--=x x x f ),2()1,(+∞⋃--∞210x x m --+>⇔1)(2+--=m x x x f 0<∆0)1(41<+--=∆m 43<m )43,(-∞（2）当时，∵∴的取值范围是：点睛：本题考查一元二次方程与一元二次不等式的关系，考查了“分离参数法”，与基本不等式的运用解决恒成立的问题，属于基础题．9、【答案】当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.试题分析：将原不等式因式分解化为，对参数分5种情况讨论：，，，，，分别解不等式．详解：解：原不等式可化为，即， ①当时，原不等式化为，解得，②当时，原不等式化为， 解得或， ③当时，原不等式化为. 当，即时，解得； 当，即时，解得满足题意； 0a ={}|1x x ≤-0a >2{|x x a≥1}x ≤-20a -<<2{|1}x x a ≤≤-2a =-{}1-2a <-2{|1}x x a -≤≤()()210ax x -+≥a 0a =0a >20a -<<2a =-2a <-()2220ax a x +--≥()()210ax x -+≥0a =10x +≤1x ≤-0a >()210x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭2x a≥1x ≤-0a <()210x x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭21a >-2a <-21x a-≤≤21a=-2a =-1x =-当，即时，解得. 综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.【点睛】本题考查含参不等式的求解，求解时注意分类讨论思想的运用，对分类时要做到不重不漏的原则，同时最后记得把求得的结果进行综合表述.21a<-20a -<<21x a ≤≤-0a ={}|1x x ≤-0a >2{|x x a≥1}x ≤-20a -<<2{|1}x x a ≤≤-2a =-{}1-2a <-2{|1}x x a-≤≤a。

不等式恒成立问题一、利用根的判别式1. 若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－1)C.D.∪(1，＋∞)(－∞，－1311)(－∞，－1311)2. 已知不等式的解集为R,则a 的取值范围是（ ）22230ax ax a -++>A.a ≥0 B.a ＞0C.a ≥－3 D.a ＞－33. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为__________.4. 若关于的不等式对一切恒成立，则的取值范围是____．x 2224< 24ax ax x x +-+x R ∈a 5. 若不等式x 2－4x ＋3m <0的解集为空集，则实数m 的取值范围是________．6. 若不等式x 2＋mx ＋>0恒成立，则实数m 的取值范围是( )m2A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(0,2)7. 若不等式2kx 2＋kx －<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )38A ．(－3,0) B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]8. 已知f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，如果对一切x ∈R ，f (x )＞0恒成立，求实数a 的取值范围．9.已知函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1，是否存在实数m 对所有的实数x ，f (x )<0恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．10. 不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．11. 若函数f (x )＝log 2(x 2－2ax －a )的定义域为R ，则a 的取值范围为________．12.定义在上的运算：，若不等式对一切实数恒成立，则R ()*1x y x y =-()()*1x y x y -+<x 实数的取值范围是______．y 13. 设，不等式对恒成0πα≤≤()288sin cos20x x αα-+≥x ∈R 立，则的取值范围为 .α14.已知函数，若不等式对任意x ∈R 恒)()lgf x x x =+()()33920x x x f m f ⋅+--<成立，求实数m 的取值范围.二、转化为函数最值问题1. 若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为( )A ．1B ．－1C ．－3D ．32. 当x ∈(1,2)时，不等式恒成立，则m 的取值范围是_______________.240x mx ++<3.设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．4. 对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．5.已知函数对任意恒有成立，则实数的取值范围是（ ()221f x x ax =-+0 1]x ∈（，()0f x ≥a ）A ．B ．[1 +∞，）[12∞-+，）C ．D ．1]-∞（，12]∞--（，6. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）.[2,1]x ∈-32430ax x x -++≥a A ． B ． C ． D ．[]5,3--96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦[]6,2--[]4,3--7. 已知．若任意或，则()()()()23 22x f x m x m x m g x =-++=-，() < 0x R f x ∈，()< 0g x 的取值范围是________．m三、变更主元1. 对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ≥0恒成立，求x 的取值范围．2. 已知函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4，对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立，试求x 的取值范围．3. 对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)4. 已知不等式mx 2－2x ＋m －2<0.(1)若对于所有的实数x 不等式恒成立，求m 的取值范围；(2)设不等式对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围．5. 设函数21f x mx mx =--（）（1）若对一切实数恒成立，求的取值范围．() < 0x f x ，m （2）若对一切实数，恒成立，求的取值范围．2 [ 2]m ∈-，()< 5f x m -+x 四、存在问题1. 存在实数，使得成立，则的取值范围是________．x 243< 0x bx b -+b 2. 若不存在整数使不等式成立，则实数的取值范围是____．x ()()2440kx k x <---k3.关于的不等式的解集中恰有3个整数解，则的取值范围是________x ()21< 0x a x a -++a ．4.已知f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，是否存在实数a ，使得对任意x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立．若存在求出a 的取值范围；若不存在说明理由．5. 已知函数f (x )＝(k ＞0)．2kxx 2＋6k (1)若f (x )＞m 的解集为{x |x ＜－3或x ＞－2}，求不等式5mx 2＋kx ＋3＞0的解集；(2)若存在x ＞3，使得f (x )＞1成立，求k 的取值范围．参考答案不等式恒成立问题一、利用根的判别式1. 解析：选C ①当m ＝－1时，不等式为2x －6<0，即x <3，不符合题意．②当m ≠－1时，则Error!解得m <－，符合题意．1311故实数m 的取值范围为.(－∞，－1311)2. 【答案】A【解析】由题意可知当时,符合题意；当时，要求解得.综上所述a 的取值范围是a ≥0.. 3.【解析】当时，不等式变形为，解集为，符合题意；当时，依题意可得，综上可得．4. 【答案】]2 2-（，【解析】不等式，可化为，2224< 24ax ax x x +-+()()22224< 0a x a x -+--当，即时，恒成立，合题意．当时，要使不等式恒成立，20a -=2a =20a -≠需，解得．所以的取值范围为．故答案为：020a ∆<⎧⎨-<⎩2< < 2a -a ]2 2-（，]2 2-（，5. 解析：由题意，知x 2－4x ＋3m ≥0对一切实数x 恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m ≤0，解得m ≥.43答案：[43，＋∞)6. 解析：选D ∵不等式x 2＋mx ＋>0，对x ∈R 恒成立，∴Δ<0即m 2－2m <0，∴0<m <2.m27.解析：选D 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －<0对一切实数x 都成立，38则Error!解得－3<k <0.综上，满足不等式2kx 2＋kx －<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．388.[解]　由题意可知，只有当二次函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4的图象与直角坐标系中的x 轴无交点时，才满足题意，则其相应方程x 2＋2(a －2)x ＋4＝0此时应满足Δ＜0，即4(a －2)2－16＜0，解得0＜a ＜4.故a 的取值范围是(0,4)．9.已知函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1，是否存在实数m 对所有的实数x ，f (x )<0恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：f (x )＝mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞，不满足题意；12当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即Error!不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的m .10. 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16.∴a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)11. 解析：已知函数定义域为R ，即x 2－2ax －a ＞0对任意x ∈R 恒成立．∴Δ＝(－2a )2＋4a ＜0.解得－1＜a ＜0.答案：(－1,0)12.【答案】13 22⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】由已知对一切实数x 恒成立，()()()()*11x y x y x y x y -+=---<所以对一切实数x 恒成立，所以，所以2210x x y y --++>()21410y y ∆=--++<．1322y -<<13. 分析根据开口向上的二次函数定义域为时函数值非负的条件列式直接运算求解.R ()0∆≤解析 由题意，要使对恒成立，()288sin cos 20x x αα-+≥x ∈R 需，化简得.又，264sin32cos 20∆αα=-≤1cos 22α≥0πα≤≤所以，解得.π5π0222π33αα或≤≤≤≤π5π0π66αα或≤≤≤≤答案：.0,π5π⎡⎤⎡⎤,π⎢⎥⎢⎥66⎣⎦⎣⎦ 14. 略二、转化为函数最值问题1.解析：选C 由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立，又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，∴f (x )min ＝f (1)＝－3，∴m ≤－3.2. (],5-∞-3. 解：要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m 2＋m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．(x －12)34有以下两种方法：法一：令g (x )＝m2＋m －6，x ∈[1,3]．(x －12)34当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0.所以m ＜，则0＜m ＜.6767当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0.所以m ＜6，则m ＜0.综上所述，m 的取值范围是(－∞，0)∪.(0，67)法二：因为x 2－x ＋1＝2＋＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜.(x －12)346x 2－x ＋1因为函数y ＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m ＜即可．6x 2－x ＋16(x －12)2＋346767因为m ≠0，所以m 的取值范围是(－∞，0)∪.(0，67)4.解析：当x ＝0时，不等式恒成立，当x ≠0时，将问题转化为－a ≤＋|x |，由＋|x |≥2，故－1|x |1|x |a ≤2，即a ≥－2.所以实数a 的取值范围为[－2，＋∞)．答案：[－2，＋∞)5. 【答案】C【解析】解法一：依题意可得，或或，2440a ∆=-≤0(0)0202f a ∆>⎧⎪-⎪-⎨≤≥⎪⎪⎩1(1)0202f a ∆>⎧⎪-⎪-⎨≥≥⎪⎪⎩解得，或或，11a ≤≤-011 10a a a ><-⎧≥⎪≤⎪⎨⎩或111 1 a a a a ><-⎧≤⎪≥⎪⎨⎩或即有，或或a ∈∅，故实数a 的取值范围是：．11a ≤≤-1a <-1] -∞（，解法二：对任意恒有成立，即有在()221f x x ax -=+0 1]x ∈（，()0f x ≥12a x x≤+0 1]x ∈（，恒成立，由于，当且仅当取最小值2，则，即有．故选C ．12x x+≥1x =22a ≤1a ≤6. 略7.【答案】()4 0-，【解析】因为，当时，，又因为任意，或，()22x g x =-1x ≥()0g x ≥x R ∈()< 0f x ()< 0g x 所以此时在时恒成立．()()()230f x m x m x m =-++<1x ≥若恒成立，不符合，，()0 0m f x ==，0m ≠故则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与轴交点都在（1，0）的左面x 则，所以．故答案为：．03121m m m <⎧⎪--<⎨⎪<⎩40m -<< 4 0-（，）三、变更主元1. 解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴Error!解得x <1或x >3.故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．2. 解：原函数可化为g (a )＝2xa ＋x 2－4x ＋4，是关于a 的一元一次函数．要使对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立，只需满足Error!即Error!因为x 2－2x ＋4＜0的解集是空集，所以不存在实数x ，使函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4，对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立．3. 解析：选B 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]⇔Error!⇔Error!⇔x <1或x >3.4.解：(1)对所有实数x ，都有不等式mx 2－2x ＋m －2<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x ＋m －2的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，－2x －2<0，显然对任意x 不能恒成立；当m ≠0时，由二次函数的图象可知有Error!解得m <1－，2综上可知，m 的取值范围是(－∞，1－)．2(2)设g (m )＝(x 2＋1)m －2x －2，它是一个以m 为自变量的一次函数，由x 2＋1>0，知g (m )在[－2,2]上为增函数，则只需g (2)<0即可，即2x 2＋2－2x －2<0，解得0<x <1.故x 的取值范围是(0,1)．5. 【答案】（1）；（2）．](4 0-，()1 2-，【解析】（1）当时，，对一切实数，恒成立；0m =()211f x mx mx =--=-x ()< 0f x 当时，若对一切实数，恒成立，则有，所以，0m ≠x ()< 0f x 2040m m m <⎧⎪⎨+<⎪⎩4< < 0m -综上，的取值范围是．m ](4 0-，（2）因为，所以，所以，()< 5f x m -+21< 5mx mx m ---+()216< 0x x m -+-因为对一切实数，恒成立，且，2 [ 2]m ∈-，()< 5f x m -+21>0x x -+所以只需，解得．所以的取值范围是．()2216< 0x x -+-1< < 2x -x ()1 2-，四、存在问题1. 【答案】3> < 04b b 或【解析】因为存在实数，使得成立的等价说法是：存在实数，使得函x 243< 0x bx b -+x 数的图象在轴下方，即函数与轴有两个交点，故对应的243y x bx b =-+x x ．故答案为：或．()23443>0< 0>4b b b b ∆=--⨯⇒或< 0b 3>4b 2. 【答案】14k ≤≤【解析】设原不等式的解集为，当时，则，不合题意，A 0k =>4x 当且时，原不等式化为，因为，所以>0k 2k ≠[]44< 0x k x k -+-（）（）4>4k k+，要使不存在整数使不等式成立，需，解44 ()A k k =+，x ()()244< 0kx k x ---45k k+≤得：；14k ≤≤当时，，合题意；当时，原不等式化为，2k =A =∅< 0k 44>[]0x k x k-+-（）（）所以，不合题意，故答案为：．4 4 A k k=-∞++∞ （，）（，）14k ≤≤3. 【答案】 3 2 ]4 [5-- ，）（，【解析】由，得，若，则不等式无解．()21< 0x a x a -++()()1< 0x x a --1a =若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有3个整数解，则此时3个>1a 1< < x a 整数解为，则．2 3 4x =，，45a <≤若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有3个整数解，则此时3个1a <1a x <<整数解为，则．0 1 2x =--，，3< 2a -≤-综上，满足条件的的取值范围是．故答案为：．a 3 2 ]4 [5-- ，）（， 3 2 ]4 [5-- ，）（，4. 解：若对任意，x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立，则满足题意的函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4的图象如图所示．由图象可知，此时a 应该满足Error!即Error!解得Error!这样的实数a 是不存在的，所以不存在实数a 满足：对任意x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立．5. 解：(1)由不等式f (x )＞m ⇔＞m ⇔mx 2－2kx ＋6km ＜0，2kxx 2＋6k ∵不等式mx 2－2kx ＋6km ＜0的解集为{x |x ＜－3或x ＞－2}，∴－3，－2是方程mx 2－2kx ＋6km ＝0的根，∴Error!解得Error!，故有5mx 2＋kx ＋3＞0⇔2x 2－x －3＜0⇔－1＜x ＜，32∴不等式5mx 2＋kx ＋3＞0的解集为.(－1，32)(2)f (x )＞1⇔＞1⇔x 2－2kx ＋6k ＜0⇔(2x －6)k ＞x 2.2kx x 2＋6k 存在x ＞3，使得f (x )＞1成立，即存在x ＞3，使得k ＞成立．x 22x －6令g (x )＝，x ∈(3，＋∞)，则k ＞g (x )min .x 22x －6令2x －6＝t ，则x ＝，则t ∈(0，＋∞)，y ＝＝＋＋3≥2 ＋3＝6，t ＋62(t ＋62)2t t 49t t 4·9t 当且仅当＝，即t ＝6时等号成立．当t ＝6时，x ＝6，∴g (x )min ＝g (6)＝6，t 49t 故k 的取值范围为(6，＋∞)．。

含参不等式中恒成立问题在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。

恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。

类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a bab f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f（2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a bab f a b 或或 类型3：αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切。

类型4：)()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>⇔∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切 恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。

一、用一次函数的性质对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。

教学内容:人教A版必修五第三章《不等式》复习参考题（第二课时）课题——含参不等式恒成立问题一．【教学目标】（1）理解恒成立问题的充要条件，掌握解决此类问题的基本方法；（2）培养分析、解决问题的能力，体验函数思想、分类讨论的思想、数形结合与转化思想；（3）通过问题的探究，体验成功的喜悦教学内容分析：．．．．．．．本章的重点是通过具体情境，感受现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；并通过一元二次不等式的解法和基本不等式，体会不等式、方程、函数之间的内在联系。

课本在82页习题3.2A(3)、B(2)，103页复习参考题A组（3）、B组（1）（3）都涉及到含参不等式恒成立问题问题。

这些问题把不等式、函数、方程内容有机的结合起来，内涵丰富，对学生的转化能力有较高的要求，在解决此类问题时，又涉及“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等重要数学思想，因此有必要对学生做一个系统的复习。

本节课是复习课的第二课时，是在学生掌握了三个二次的内在联系，熟练掌握基本不等式的基础上进行的。

教学设计的重要目标是“解决学生化归难．．．——大．．．——难以将不等式恒成立问题化归成函数问题；表达难部分学生有想法，却不能很好的进行等价转化，本专题力求培养学生规范、科学的数学表达，通过学生口述、板演、解题过程错解投影展示等方式，充分暴露学生的思维过程，促使学生在错误中成长，在反思中进步；下笔难．．．——很多同学对这部分内容心生怯意，无从下手。

归其因是知识没有系统，方法凌乱、知识间没有建立恰当的联系。

本专题力求将分散的方法集中、归纳，形成解决一类问题的方法体系，以系统掌握方法、思想为主线，查漏补缺，提高分析问题、解决问题的能力。

二．【教学重、难点】【教学重点】理解解决恒成立问题的实质，有效掌握恒成立问题的基本技能【教学难点】利用转化思想，通过函数性质和图像化归至最值问题来处理恒成立问题三．【学情分析】经过全章的系统学习，学生对恒成立问题都有所涉及，但缺乏系统的归纳整理。

不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用一、不等式恒成立问题的处理方法1、转换求函数的最值：（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，⇔()f x 的下界大于A（2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。

例2、已知(),22x ax x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围;例3、R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，有()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.例4、已知函数)0(ln)(44>-+=xcbxxaxxf在1=x处取得极值3c--，其中a、b为常数.（1）试确定a、b的值；（2）讨论函数)(xf的单调区间；（3）若对任意0>x，不等式22)(cxf-≥恒成立，求c的取值范围。

2、主参换位法例5、若不等式a10x-<对[]1,2x∈恒成立，求实数a的取值范围例6、若对于任意1a≤，不等式2(4)420x a x a+-+->恒成立，求实数x的取值范围例7、已知函数323()(1)132af x x x a x=-+++，其中a为实数．若不等式2()1f x x x a'--+＞对任意(0)a∈+∞，都成立，求实数x的取值范围．3、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为()()g f xλ≥（或()()g f xλ≤）恒成立的形式；（2）求()f x在x D∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()max()g f xλ≥(或()()ming f xλ≤)，得λ的取值范围。

含参不等式恒成立问题的求解王丹+谢伟含参不等式恒成立问题在高考试题中如同一颗璀璨的明珠夺人眼球，与函数、方程、数列、导数等知识结合，演奏出了一曲曲优美的乐章. 解决这类问题需要运用换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，下面举例介绍这类问题的求解策略.数形结合法有些含参不等式恒成立问题，从数的角度很难切入；但从形的角度入手，可以利用恒成立条件的几何意义直观求解.例1 若对任意[x∈]R，不等式[x≥ax]恒成立，则实数[a]的取值范围是（）A. [a-1]B. [a≤1]C. [a1]D. [a≥1]解析如图，其几何意义是[f（x）=x，][x∈R]的图象不低于[g （x）=ax，x∈R]的图象. 因此，[a≤1].答案B例2 若不等式[3x2-logax0]在[x∈0，13]上恒成立，则实数[a]的取值范围是________.解析由题意知，不等式[3x2 p如图，其几何意义是在区间[0，13]上函数[f（x）=logax]的图象在函数[g（x）=3x2]的图象的上方.若[a1]，则函数[f（x）=logax]的图象在函数[g（x）=3x2]的图象的下方，不合题意.若[0则[loga13≥13]，解得，[a≥127].所以，[127≤a1].综上所述，实数a的取值范围是[127，1].答案[127，1]点评对于具有明显几何意义的含参不等式恒成立问题，可以利用其几何意义建立关于参数的不等式，进而求出参数的取值范围.不等式解集法若不等式[f（x）0]的解集是集合[B]，则不等式[f（x）0]在集合[A]中恒成立等价于集合[A]是集合[B]的子集. 利用[A?B]建立关于参数的不等式，即可求出参数的取值范围.例3 已知[f（x）=x+a+__2]，若[f（x）≤__4]在[[1，2]]上恒成立，则实数a的取值范围是________.解析由题意知，[x+a+__2≤__4]在[[1，2]]上恒成立，也就是[x+a+2__≤4__]，即[x+a≤2]在[[1，2]]上恒成立.因为不等式[x+a≤2]的解集为[-2-a，2-a]，所以[[1，2]][?-2-a，2-a].从而[-2-a≤1，2-a≥2，]解得，[-3≤a≤0].答案[-3，0]例4 设[f（x）]是定义在R上的偶函数，且当[x≥0]时，[f（x）=2x]. 若对任意的[x∈[a，a+2]]，不等式[f（x+a）][≥f2（x）]恒成立，则实数[a]的取值范围是________.解析由题意知，[f（x）=2x].则[f（x+a）≥f2（x）]，即[2x+a≥2x2].亦即[x+a≥2x]对任意的[x∈[a，a+2]]恒成立.也就是[3x2-2a__a2≤0]对任意的[x∈[a，a+2]]恒成立.（1）当[a0]时，不等式[3x2-2a__a2≤0]的解集为[a，-a3].则[[a，a+2]][?a，-a3].从而[a0，-a3≥a+2，]解得，[a≤-32].（2）当[a=0]时，不等式[3x2-2a__a2≤0]的解集为.则[[a，a+2]][?0]，这是不可能的，所以[a∈?].（3）当[a0]时，不等式[3x2-2a__a2≤0]的解集为[-a3，a].则[[a，a+2]][?-a3，a]，这是不可能的，所以[a∈?].综上所述，实数[a]的取值范围是[-∞，-32].答案[-∞，-32]点评对于容易求出不等式的解集的含参不等式恒成立问题，可以根据给定恒成立区间是不等式解集的子集列出关于参数的不等式（组），从而求得参数的取值范围.函数最值法含参不等式恒成立问题中至少含有两个变量，根据条件构造函数，并用求函数最值的方式解题. 一般有两种解题策略.（1）分离参数法. 先分离参数[k]得，[kf（x）]，或[k f（x）]恒成立[?kf（x）max]；②[kp（2）不分离参数法. 不分离参数[k]，直接构造含参数[k]的函数[y=g（x）]，通过求含参数[k]的函数[y=g（x）]的最值，建立关于[k]的不等式，再求参数[k]的取值范围.例5 若不等式[x2+ax+1≥0]对[x∈0，0.5]恒成立，则实数a 的最小值是（）A. 0B. -2C. -2.5D. -3解析两种转化策略：（1）分离参数法，将不等式转化为[a≥__+1x]. 由题意知，它对[x∈0，0.5]恒成立，构造不含参数的函数[g（x）=__+1x]，[x∈0，0.5]并求出最值，只需[a≥g（x）max]. （2）不分离参数法，直接构造含参数[a]的函数[f（x）=x2+ax+1]，[x∈0，0.5]，并用参数[a]表示出最小值[h（a）]，只需[h（a）≥0]. 1]，由图可知，函数[f（x）=logax]的圖象必须经过点[a13，13]，或在[a]点的上方.方法一：将不等式转化为[a≥__+1x]，由题意知，它对[x∈0，0.5]恒成立.构造函数[g（x）=__+1x，x∈0，0.5].因为[y=g（x）=__+1x]在[0，0.5]上是增函数，所以[g（x）max=g（0.5）=-2.5].所以[a≥-2.5].所以实数[a]的取值范围是[{a|a≥-2.5}].方法二：构造函数[y=f（x）=x2+ax+1]，[x∈0，0.5.]①当[a≥0]时，[y=f（x）]在[0，0.5]上是增函数.则[f（x）1]，所以[a≥0]符合题意.②当[-1由题意得，[-1所以[-1③当[a≤-1]时，[y=f（x）]在[0，0.5]上是減函数.则[ymin=f（0.5）=1.25+0.5a].由题意得，[a≤-1，1.25+0.5a≥0.]所以[-2.5≤a≤-1].综上所述，实数[a]的取值范围是[aa≥-2.5].点评一般选择恒成立的变量和区间作为构造函数的自变量和定义域. 如例5中选择[x]而不是[a]作为自变量，选择[0，0.5]而不是其他范围作为定义域. 而且，通常用到一次函数、二次函数、[y=x+kx（k0）]型等函数的性质，以及利用导数的性质求函数的最值.例6 已知函数[f（x）=xln__ax2]在[x∈1e2，+∞]上是单调增函数，求实数a的取值范围.解析方法一：依题意得，[f（x）=ln__2ax+1≥0]对[x∈1e2，+∞]恒成立，即[2a≤lnx+1x]对[x∈1e2，+∞]恒成立.令[gx=lnx+1x]，则[gx=-ln__2].所以g（x）在[1e2，1]上单调递增，在（1，+∞）上单调递减.又当x→+∞时，g（x）→0，且[g1e2=-e2]，故[gxmin=g1e2=-e2].所以[2a≤-e2]，即[a≤-e22].所以实数[a]的取值范围是[-∞，-e22].方法二：依题意得，[f（x）=ln__2ax+1≥0]对[x∈1e2，+∞]恒成立.令[h（x）=ln__2ax+1，x∈1e2，+∞]，则[h（x）=ln__2ax+1≥0]对[x∈1e2，+∞]恒成立.则[h（x）=1__2a=-2ax+1x].①当[a≤0]时，[h′（x）0]，[h（x）]在区间[1e2，+∞]上单调递增.则[h（x）min=h1e2=-2ae2-1≥0].则[a≤0，-2ae2-1≥0.]解得，[a≤-e22].②当[a]0时，由[h′（x）0]得，[x=12a].当[1e212a]，即[0当[x→+∞]时，[g（x）→-∞]，故不合题意.当[1e212a]，即[ae22]时，h（x）在区间[1e2，+∞]上单调递减.当[x→+∞]时，[g（x）→-∞]，故不合题意.综上所述，实数[a]的取值范围是[-∞，-e22].点评两种解题策略的区别在于：构造的函数是否含有参数，而参数会对求最值产生影响. 一般优先选择分离参数法，如果分离参数比较困难，再选择不分离参数法. 0].0，1-a24≥0.]0]时，[ymin=f（-a2）=1-a24].。

姓名: 班级: 组别: 组名:【学习目标】1﹑理解有关恒成立问题成立的充要条件，并掌握解决此类问题的基本技能2﹑培养分析、解决问题的能力，体验函数思想、分类讨论思想、转化与化归思想．【重点难点】▲重点：理解解决恒成立问题的实质，有效掌握恒成立问题的基本技能．▲难点：利用转化思想，通过函数的性质化归至最值问题来处理恒成立问题．【知识链接】1、三个“二次”之间的关系2、一元二次不等式的解法【学习过程】题型一 形如02>++c bx ax （或<0）对R x ∈恒成立例1﹑若关于x 的不等式0222>++ax x 在R 上恒成立，求a 的取值范围.变式：若关于x 的不等式0422<-+ax ax 在R 上恒成立，求a 的取值范围.例2、已知xa x x x f ++=2)(2对任意[)0)(,,1≥+∞∈x f x 恒成立，求a 的取值范围.变式： 对任意0>x 都有a x x x ≤++132恒成立，求a 的取值范围 .小结：形如“a x f >)(对∈x 区间I 恒成立”问题⇔________________________________ 形如“a x f <)(对∈x 区间I 恒成立”问题⇔________________________________【基础达标】B1、当a 为何值时，不等式01)1(2)1(22<--+-x a x a 的解集为全体实数?C2、关于x 的不等式:0122>+-ax x 对[]2,1∈x 恒成立，其中0>a ，求实数a 的取值范围.C3、关于x 的不等式:0122>+-ax x 对(]0,∞-∈x 恒成立，求实数a 的取值范围.【小结】【当堂检测】B1﹑若关于x 的不等式0222>++x ax 对R x ∈恒成立，求a 的取值范围.【课后反思】本节课我最大的收获是我还存在的疑惑是我对导学案的建议是。