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含参不等式恒成立问题的解法PPT课件

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含参不等式恒成立问题的解法

含参不等式恒成立问题的解法
成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使 问题获解。
当1-m<0时，即m>1, (*)式在x [-2,2]时恒成立的条
件为：
(1-m)•(-2)2+(m-1)•(-2)+ 3 >0
解得:
1<m<
3 2
综上可知: 适合条件的m的;
3 2
。
练习
3.若不等式x -kx+2>0,对 ∈[-3,3]恒成立，则 2 g(2)=-x2+x+3>0
（1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ；
（2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 .
解：(1)当1-m=0即m=1时， (*)式恒成立， 故m=1适合(*) ；
当1-m>0时，即m<1 ,(*)式在x [-2,2]时恒成立的条
件为：
△=(m-1)2-12(I-m)<0 ，解得: -11<m<1；
二、典型例题：
例1、若对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x
-2a+4的值恒为正数，则x的取值范围是( )
A.1<x<3
B.1<x<2
C.x<1,或x>2 D.x<1,或x>3
评注：含参数的恒成立问题中，哪个变量的范围已 知，就构造以该变量为自变量的函数.
练习：
1.当t∈[0,1]时，不等式xt>x-1恒成立， 求x的取值范围.
含参不等式恒成立问题的解法
一、基础知识点：
１、f(x)=ax+b,x[α,β]，则： f()>0 f(x)>0恒成立＜ ＞ f()>0

含参不等式恒成立问题的解法PPT完美课件

含参不等式恒成立问题的解法PPT完美课件
则a要大于右边式子在（1,4）的最大值
令t=2/x， t的范围则为（1/2，2） 则 2/x-2/x^2 = 2t-t^2/2 = -1/2(t-2)^2 + 2
这便是两次函数求最值 当t=2时 2t-2t^2 的最大值 为 2(但取不到) 所以a的范围是 [2, 正无穷﹚
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美 课件
恒成立 恒成立
又 令1+2t=m（m > 1），则
f(m)=
m 1(m21)2
m242mm5(m4m5)2
4 2 52
521(当且仅当m=
5 时等号成立)
∴ a ≥ [f (x)] max=
5 2*
1
即a
≥
5 1 2
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美 课件
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美 课件
b
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美 课件
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美 课件
(2) 0<b≤1时，对x ∈(0,1]，|f(x)|≤1 恒成立
(
bx-
1 x
)max ≤a ≤(bx+
)1xmin
此时
(
bx-
1 x
)max=b-1
(x=1时取得)
而
bx +
1 x
在(0,1]上递减
故
(
bx+
•
10保尔身上的人格特征或完美的精神 操守： 自我献 身的精 神、坚 定不移 的信念 、顽强 坚韧的 意志
•
11把记叙、描写、抒情和议论有机地 融合为 一体， 充满诗 情画意 。如描 写百草 园的景 致，绘 声绘色 ，令人 神往。
•

27用含参不等式恒成立问题的解法

27用含参不等式恒成立问题的解法

例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0
................
(*)
（1）当| x | ≤2，不等式恒成立，求实数m的取值范围 ；
求谁,谁就是参数; 另一个是自变量
（2）当| m | ≤2，不等式恒成立，求实数x的取值范围 .
变更“主元” 解(2) : 设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) （m∈[-2,2]）法
（Ⅱ）{a|a≥-4}
练 习
设f（x）=x2-2ax+2（a∈R），g（x）=lgf（x） （1）当x∈R时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围； （2）若g（x）的值域为R，求a的取值范围； （3）当x∈[-1，+∞）时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．
（1）{a|-2≤a≤1}； （2）{a|a≥ 或a≤2 }2
例1：已知关于x的不等式： (a-2)x2 + (a-2)x +1 ≥ 0恒成立， 试求a的取值范围.
解：由题意知： ①当a -2=0，即a =2时，不等式化为 1 ≥ 0，它恒成立，满足条件. ②当a -2≠0，即a ≠2时，原题等价于
a 2 0 2 ( a 2) 4( a 2) 0
练 已知不等式x2+mx＞4x+m-4． 习 （1）若对于0≤m≤4的所有实数m，不等式恒成立，求实数x的取值范围．
（2）若对于x≤1的所有实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围． （1）实数x的取值范围为：（-∞，0）∪（0，2）∪（2，+∞）； （2）实数m的取值范围是：{m|m＜4}． 求谁,谁就是参数; 另一个是自变量
f 0 ＞0 则 f 4 ＞0

含参数不等式恒成立问题的解题策略课件

含参数不等式恒成立问题的解题策略课件

问题1：用判别式法需注意什么？
变式一 若
f ( x) ax 2ax 4 ,当 x R 时， f ( x) 0 恒成立,则实数 a 的取值范围 。
2
解： (1)当a 0时，要使f ( x) 0恒成立，
2 则＝（－2a） 4a 4 0, 解得0 a 4
三、 思维拓展,直击高考
练习二： 已知 x 1是函数 f ( x) mx3 3(m 1) x2 nx 1的一个极值 点，其中 m, n R, m 0 ， （1）求 m 与 n 的关系式；
（2）当 x [1,1] 时，函数 y f ( x) 的图像上任意一点的
一、追根溯源,构建方法
例 1 （必修5 P115A第3题，B组第2题改编）若
f ( x) x 2ax 4 ,当 x R 时，f ( x) 0恒成立,求实数
2
a
的取值范围
归纳总结：
。
1.判别式法 设 f ( x) ax2 bx c(a 0) f ( x) 0在x R 上恒成立 a 0且 0 ； f ( x) 0在x R 上恒成立 a 0且 0 . 2.最值法（转化为求原函数的最值） f ( x) 0 恒成立 f ( x)min 0 ； f ( x) 0 恒成立 f ( x)max 0 .
提高题：
4.（2012年惠州调研）已知函数 f ( x) ax ln x(a R) （1）求 f ( x) 的单调区间；
（2）设 g ( x) x2 2x 2，若对任意 x1 (0, ) ,均存在 x2 [0,1] , 使得 f ( x1 ) g ( x2 ) ，求 a 的取值范围. x3 5．(2012广州调研理）已知函数 f ( x) ln 2ax 1 x 2 2ax （1）若 x 2 为的极值点，求实数 a 的值； （2）若 y f ( x) 在 3, 上为增函数，求实数 a 的取值范围；

《含参不等式专题》课件

《含参不等式专题》课件

几何法
总结词
通过几何意义和图形，将含参不等式问题转化为几何问题。
详细描述
几何法是一种直观的解含参不等式的方法，它通过几何意义和图形，将含参不等式问题转化为几何问题。这种方 法需要了解平面几何、解析几何等基础知识，能够根据不等式的几何意义画出图形，通过观察图形找到不等式的 解。
参数分离法
总结词
将含参不等式中的参数分离出来，转化为容易解决的不等式。
意事项
解题技巧
因式分解法
配方法
对于形如$ax^2 + bx + c > 0$的不等式，如果$a > 0$ ，则可以将不等式化为$(x
+ frac{b}{2a})^2 + frac{4ac - b^2}{4a} > 0$ 的形式，然后进行因式分解
。
对于形如$ax^2 + bx + c > 0$的不等式，如果$a < 0$， 则可以通过配方将其化为$(x + frac{b}{2a})^2 - frac{b^2 - 4ac}{4a^2} < 0$的形式，
在制定计划和决策时，含参不 等式可以用来解决资源分配、 成本预算等问题。
含参不等式在优化资源配置、 提高效率等方面发挥着重要作 用。
在其他学科中的应用
01
含参不等式在其他学科 中也有着重要的应用， 例如物理学、化学、生 物学等。
02
在物理学中，含参不等 式可以用来描述物理现 象和规律，如力学、热 学等。
03
在化学中，含参不等式 可以用来描述化学反应 和平衡状态。
04
在生物学中，含参不等 式可以用来描述生物种 群的增长和变化规律。
04
含参不等式的变式与拓展

一元二次不等式的解法(含参不等式-恒成立问题及根的分布)PPT课件

一元二次不等式的解法(含参不等式-恒成立问题及根的分布)PPT课件

0
x
1
x
2
b a
0
x
1
x
2
c a
0
0
x
1
x
2
b a
0
x
1
x
2
c a
0
0
x
1
x
2
c a
0
0
x
1
x
2
b a
0
x
1
x
2
c a
0
.
14
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分
布
两个根都小于k 两个根都大于k 一个根小于k,一个根
大于k
y
y
y
o k x ko
k
x
o
第一级讨论：
二次项系数a，一般分为a>0,a=0,a<0进行讨论； 第二级讨论：
方程根的判别式△，一般分为△>0,△=0, △<0进行讨论；
第三级讨论：
对应方程根的大小，若x1,x2分别是方程ax2+bx+c=0的 两根，一般分为x1>x2, x1=x2 , x1<x2 进行讨论.
若某级已确定，可直接进入下一级讨论.
.
6
题型与解法
变式训练1
(1)已知不等式 (m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0
恒成立，求实数m的取值范围.
[1,19)
.
7
题型与解法
变式训练2
函数
f(x) kx26kxk8
的定义域为R，则实数k的取值
范围是
.
.
8

含参一元二次不等式解法及恒成立 高中数学课件

含参一元二次不等式解法及恒成立 高中数学课件

3 m
,
1 m
课堂小结
• 本节课重点学习了含参一元二次不等式的解法及与一元二次不等式有关 的恒成立问题，能正确进行分类讨论（确定分类讨论的原因和标准）及确 立参数的取值范围是本节重难点，正确书写不等式的解集，掌握分类讨论 和数形结合的方法。
• 活动三：课堂检测
• 1.若不等式 a 2 x2 2a 2 x 4 0 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的
取值范围.
2, 2
• 2.设 m R，解关于 x 的不等式 m2x2 2mx 3 0.
当m=0时，原不等式的解集为R
当m&l>0时，原不等式的解集为
R
• （3） x2 6x 9 0
3
• （4） (x 1)(3 2x) 0
1,
3 2
教学过程
• 活动一：掌握含参数不等式的解法
• 1.解关于x 的不等式 x a x 1 0 a R.
解：当a=1时，原不等式解集为
当a>1时，原不等式解集为1, a
当a<1时，原不等式解集为a,1
• 2.解关于x的不等式 x 2ax 2 0. aR
解：当a 0时，原不等式的解集为,2
当a 1时，原不等式的解集为,2 2,
当a
0时，原不等式的解集为
2 a
, 2
当0 a 1时，原不等式的解集为,2
a2,
当 a 1时 ， 原 不 等 式 的 解 集 为 , 2 2 ,
含参一元二次不 等式的解法及恒成立问题
教学目标
• 1.复习巩固一元二次不等式的解法； • 2.掌握含参一元二次不等式解法 （重点）； • 3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题 （难点） .
复习巩固

含参不等式的恒成立问题PPT19页

含参不等式的恒成立问题PPT19页
含参不等式的恒成立问题
1、纪律是管理关系的形式。——不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
45、自己的饭量自己知道。——苏联
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬

高中数学 含参不等式恒成立问题的求解策略课件

高中数学 含参不等式恒成立问题的求解策略课件
的导数 f (x) 0 恒成立，则实数 a 的
取值范围是 {a|a≥9}
回归课本 提炼方法
变式 1 （2009 重庆理第 5 题）不等 式 x 3 x 1 a2 3a 对任意实数 x 恒成
立，则实数 a 的取值范围为（ A ）（新课
标选修 4-5 第 20 页第 9 题改编）
A．(, 1] [4, ) B．(, 2] [5, )
由 ex 1 x(x 0) 可得 ex 1 x(x 0) .从而当 a 1 时， 2
f '(x) ex 1 2a(ex 1) ex (ex 1)(ex 2a) ，
故 当 x (0, ln 2a) 时 ， f '(x) 0 ， 而 f (0) 0 ， 于 是 当 x (0, ln 2a) 时， f (x) 0 . 综合得 a 的取值范围为 (, 1] .
范围.
解 ： 由 题 意 ， f (x) 0 在 区 间 (1,1) 恒 成 立 。
ekx (1 kx) 0 在区间 (1,1) 恒成立。因为 ekx 0 ，即
1 kx 0 在区间 (1,1) 恒成立。
答案：1, 0
方法 1 (1 kx)min 0 ， x (1,1)
0,1
方法 2 分离变量 kx 1, x (1,1)
了解高考，把握热点
08 安徽理第20题 文第21题 全国II文第21题理第22题
陕西理文第22题理第21题 辽宁理第22题 全国I理第19题
39 湖南理第21题文第21题 天津理第20题 文第21题
套
有12套
09 重庆理第5题
浙江文第21题理第22题 上海理第11题
辽宁理第21题 江西理第15，17题 湖北文理21题
C．[1, 2]

含参不等式恒成立问题

含参不等式恒成立问题

含参不等式恒成立问题“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。

另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。

恒成立问题解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。

（一）判别式法对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有： （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a例1：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。

解：（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意； （2）当01≠-m 时，只需⎩⎨⎧<---=∆>-0)1(8)1(012m m m ，所以，)9,1[∈m 。

注：若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。

一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有： 1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ; 2）0)(<x f 对R x ∈恒成立.0⎩⎨⎧<∆<⇔a例2．已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

解：由题设可将问题转化为不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立， 即有04)1(22<--=∆a a 解得311>-<a a 或。

所以实数a 的取值范围为),31()1,(+∞--∞ 。

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-1≤ax-bx2≤1
bx2-1≤ ax ≤1+bx2
bx
-
1 x
≤a ≤
1x+bx
∵ x ∈(0,1]， bHale Waihona Puke 1∴bx+
1 x≥
2
b(x=
1时取等号
b
)
又
bx
-
1 x
在(0,1]上递增
∴
( bx-
1 x
)max=b-1
(x=1时取得 )
故 x ∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为: b-1≤a≤2 b
11
例４、已知a>0，函数f (x)=ax-bx2， （1）当b>1，证明对任意的x ∈[0,1]，|f(x)|≤1充要条件是:
b-1≤a≤2 b；
（2）当0<b≤1，讨论：对任意的x ∈[0,1]，|f(x)|≤1充要条件。
2020年10月2日
12
解:(1) b>1时,对x ∈(0,1],|f(x)|≤1
值范围是 ————————————。
②若不等式x2-kx+2>0,对x [-3,3]恒成立，则实数k的
取值范围是 —-—2—2——<k—<—2——2— 。
②解：原不等式可化为：x2+2>kx
设 y1= x2+2 (x[-3,3])
y2= kx
y y=x2+2
11
y=2 2 x
y=kx
在同一坐标系下作它们的图 象如右图:
2020年10月2日
3
二、典型例题：
例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 ................ (*)
（1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ；
（2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 . 解：(1)当1-m=0即m=1时， (*)式恒成立， 故m=1适合(*) ；
由图易得: -2 2 <k<2 2
2020年10月2日
2
-３ - 2 0 2 ３
x
y= - 2 2 x8
小结:
3、对于f(x)≥g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数
图象的关系再处理。
练习2、
若 x ≤ kx-1 对x [1,+ ) 恒成立，则实数k的取值范
围是：__k_≥__2________。
-11<m
<
3 2
。
4
例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 ................ (*) （1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ； （2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 .
解(2) : 设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) （m[-2,2]）
练习1:
对于一切 |p| ≤2，p∈R，不等式x2+px+1>2x+p 恒成立，则实数x的取值范围是： —x—<—-—1—或—x—>—3——。
2020年10月2日
6
例取2值、范①围若不是等—16式1—x—≤2—a<—l＜o—1g—ax—对。x（0,12 ）恒成立，则实数a的 ②若不等式x2-kx+2>0,对x [-3,3]恒成立，则实数k
当1-m>0时，即m<1 ,(*)式在x [-2,2]时恒成立的充
要条件为： △=(m-1)2-12(I-m)<0 ，解得: -11<m<1；
当1-m<0时，即m>1, (*)式在x [-2,2]时恒成立的充
要条件为：(1-m)•(-2)2+(m-1)•(-2)+ 3 >0
解得:
1<m<
3 2
综20上20年可10月知2日: 适合条件的m的范围是:
1 x
在(0,1]上递减
故
(
bx+
1 x
)min =b+1
(x=1时取得)
……（*）
故 （*）式成立的充要条件为: b-1≤a≤b+1
又 a>0
∴ x ∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为: 0 ＜a≤ b+1
的取值范围是
——————————
。
y
①解：设
y1= x2
(x
(0,
1 2
))
y2= logax
在同一坐标系下作它们
y=x2 1
的图象如右图:
4
x
由图易得:
0
1 2
1 y=log 1 x
16
161 ≤a 2020年10月2日 ＜1
7
例2、①若不等式x2 <logax对x（0,12 ）恒成立，则实数a的取
m242mm5
4 (mm5)2
4 2 52
521(当且仅当m=
5 时等号成立)
∴ a 2020年10月2日 ≥ [f (x)] max=
5 2
1
即a
≥
5 1 2
10
小结： 4、 通过分离参数，将问题转化为ａ≥f(x)
（或ａ≤f(x)）恒成立，再运用不等式知识或求 函数最值的方法，使 问题获解。
2020年10月2日
ax2+bx+c<0在R上恒成立的充要条件是：
a=b=0 或 a<0 __C_<_0________Δ_=_b_2_-4__a_c_<_0_。
３、ａ≥f(x)恒成立的充要条件是：__ａ__≥_[f_(_x_)]_m_a_x __; ａ≤f(x)恒成立的充要条件是：__ａ__≤__[f_(_x)_]_m_in__。
又 x=0时，|f(x)|≤1恒成立
b 2020∴年10x月2∈日 [0,1]时原式恒成立的充要条件为: b-1≤a≤2 13
(2) 0<b≤1时，对x ∈(0,1]，|f(x)|≤1 恒成立
(
bx-
1 x
)max ≤a ≤(bx+
)1xmin
此时
(
bx-
1 x
)max=b-1
(x=1时取得)
而
bx +
g(-2)=3x2-3x+3>0 则 g(m)>0恒成立
g(2)=-x2+x+3>0
x R
即
1 13 2
< x <1 213
∴
x
（
1 13 2
，1
13 2
）
2020年10月2日
5
小结： 1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。
2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问 题，分类讨论。
2020年10月2日
9
例3、若不等式x +2 xy ≤a(x+y)对一切正数x、y恒成
立解，: 分则令离实参数数xya得的t:取（a值t ≥>范0x）围,x是则2—a—yx≥——y11——2t 2—t1—（1—t。2> 0xy）xy
恒成立 恒成立
又 令1+2t=m（m > 1），则
f(m)=
m 1(m21)2
2020年10月2日
1
一、基础知识点：
１、f(x)=ax+b,x [α,β]，则：
f(x)>0恒成立＜ ＞
f()>0 f()>0
f(x)<0恒成立＜ ＞ y
f()<0 f()<0
α
o
βx
2020年10月2日
2
２、ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是：
a=b=0 或 a>0 __C_>_0________Δ_=_b_2_-4__a_c_<_0_。