分式的乘方及乘方与乘除的混合运算教学设计

15.2.2 分式的加减第2课时 分式的混合运算一、 教学目标：1. 明确分式混合运算的顺序。

2.熟练地实行分式的混合运算。

二、重点、难点1．重点：明确分式的混合运算的顺序。

2．难点：熟练地实行分式的混合运算。

1.分式的加减法则2.分式的乘除法则4. 你能说出分数混合运算的顺序吗？5. 整数指数幂的性质：四、讲授新课（一）分式的混合运算1.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.（二）典例精析例1 计算例2 计算 221.4a ab b a b b ⎛⎫∙-÷⎪ -⎭⎝5242);23m m m m-++∙--（1）（222142.244x x x x xx x x +--⎛⎫-÷⎪--+⎝⎭（）（三）知识要点归纳1.分式的混合运算（1）实行混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左往右的方向，先算乘方，再算乘除，后算加减；（2）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，使用乘法的运算律实行灵活运算.2.混合运算的特点：是整式运算、因式分解、分式运算的综合使用，综合性强（四）当堂练习1. 计算 的结果是（ ） A.B. 232y x y -C . 323x yx - D. 32xy3. 化简 的结果是4.先化简 ，再求值： ，其中5. 先化简： 当b=3时，再从-2<a<2的范围内选择一个合适的整数a 代入求值.3321223xx y y y x-÷⋅2269y xy x -2. 化简 ()x y x y y x x --÷ 的结果是 . 22221369x y x y x y x xy y +--÷--+(3)(2)2x x x -++32x =-22222()a b ab b a a ab a-+÷+-(五)课堂小结本节课你有那些收获？（六）布置作业见课本习题练习1.2题。

分式的乘方及乘除、乘方混合运算教学目标1．理解并掌握分式乘方的运算法则．2．能熟练地进行分式的乘方、乘除混合运算．教学重点难点重点：熟练的进行分式的乘方运算．难点：进行分式的乘方、乘除混合运算的符号问题．教学设计一、情景导入，感受新知问题1：分式乘除法运算法则是什么？如何进行分式乘除混混合运算呢？问题2：小明同学在计算x y ÷y x ·x y 时，其过程如下：原式＝x y ÷1＝x y，你认为他的计算正确吗？说说你的理由，与同伴交流． 二、自学互研，生成新知【自主探究】 (一)阅读教材P 138例4【合作探究】计算：(1)a a －b ÷a2a2－2ab ＋b2·1a －b. 解：原式＝a a －b ×（a －b ）2a2×1a －b＝a －b a ×1a －b＝1a. (2)16－m216＋8m ＋m2÷m －42m ＋8·m －2m ＋2. 解：原式＝（4－m ）（4＋m ）（4＋m ）2·2（m ＋4）m －4·m －2m ＋2＝4－2m m ＋2. (二)阅读教材P 138思考完成下面的内容： 根据乘方的意义和分式乘法的法则，可得： ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＝a b ·a b ＝a ·a b ·b ＝a2b2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 10＝a b ·a b ·a b …a b ＝a10b10； ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝a b ·a b ·a b …a b ＝an bn ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝an bn . 归纳：分式乘方要把分子、分母分别乘方．师生活动①明了学情：学生自主学习，教师巡视全班．②差异指导：对于自学中遇到的问题适时点拨．③生生互助：先自学，对于困惑，同桌、小组交流．三、典例剖析，运用新知【合作探究】例1：计算：(1)(－2b2a3)3； (2)(c3a2b )÷(c4a3b )2÷(a c )4.【分析】第(1)题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号，再分别把分子、分母乘方．第(2)题是分式的乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序：先做乘方，再做乘除．解：(1)－8b6a9(2)原式＝c6a4b2÷c8a6b2÷a4c4＝c6a4b2·a6b2c8·c4a4＝c2a2. 例2：计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫bc －a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc a 3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc a 4；解：原式＝b2c2a2·－b3c3a3÷b4c4a4 ＝－b2c2a2·b3c3a3·a4b4c4＝－bc a； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3x24y 2·2y 3x2÷x 2y2. 解：原式＝9x416y2·2y 3x2·2y2x ＝3xy 4. 师生活动①明了学情：学生自主学习，教师巡视全班． ②差异指导：对于自学中遇到的问题适时点拨．③生生互助：先自学，对于困惑，同桌、小组交流．四、课堂小结，回顾新知本节课所学习的主要知识是什么？有哪些需要特别注意的地方？谈谈你的看法，并与同伴交流．五、检测反馈、落实新知1．下列分式运算结果正确的是( A )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫b3－a23＝－b9a6B ．a ÷b ·1b ＝a C .⎝ ⎛⎭⎪⎫2a a －b 2＝4a2a2－b2D .⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4y 3＝3x34y3 2．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫x3y z 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫xz y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫yz x23的结果是( B ) A .y2z3x2B ．xy 4z 2C ．xy 2z 4D ．y 5z3．计算：y2－4y ＋42y －6·1y ＋3÷12－6y 9－y2.解：原式＝（y －2）22（y －3）·1y ＋3·（3＋y ）（3－y ）6（2－y ）＝（y －2）22（y －3）·1y ＋3·（3＋y ）（y －3）6（y －2）＝y －212. 4．先化简，再求值：1x ＋1·x2－2x ＋1x2－1÷x －1x ＋1，其中x ＝2. 解：原式＝1x ＋1·（x －1）2（x ＋1）（x －1）·x ＋1x －1＝1x ＋1.当x ＝2时，原式＝12＋1＝13. 六、课后作业：巩固新知。

15.2.2分式的混合运算一、学习目标1．掌握分式加，减，乘，除，乘方的法则，并能熟练运用法则进行分式加减乘除法的计算．2. 掌握分式混合运算的顺序。

3．能够根据分式特征灵活运用运算律，乘法公式简化运算。

重点：掌握分式加，减，乘，除，乘方的法则，并能熟练运用法则进行分式加减乘除法的计算．难点：根据分式特征灵活运用运算律，乘法公式简化运算。

二、教学过程：1.复习引入活动（1）：法则记忆我最棒(分式的运算法则)乘法法则: ____________________除法法则：_______________________同分母加减法: ____________________异分母加减法：_______________________乘方: ____________________活动2：计算速度我最快2，例题1讲解（自主学1）请你快速计算这道题的，并总结思维上分为哪几步？ 又要注意什么？师生小结：1， 先看运算的种类2，确定运算顺序3，运用法则分别运算注意：运算符号，性质符号，结果要化为最简形式。

分式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的，同级运算从左到右依次进行.注意：计算结果要化为最简分式或整式．2214a a b b a b b --⎛⎫⋅÷ ⎪⎝⎭例题2讲解：（自主学习2）学生展示：（1）把整式看成一个整体，当成分母是“1”，注意符号的处理。

（2）当分子或分母是多项式时，应先因式分解，能约分时要约分，结果保留最简形式。

例3综合运用：（合作学习）观察分式特征，选择合适方法计算：（1）题:方法1：常规方法。

方法2：乘法分配律（2）题:方法1：常规方法方法2: 平方差公式方法3：换元法方法小结：善于观察题目特征，灵活运用运算律，，乘法公式可简化运算，提高速度.例4综合运用：（发展性学习）先化简，取一个你喜欢的m值代入求值.注意：（1），先把分式化成最简形式。

教学设计课题：15.2.1 第2课时分式的乘方一、教材分析《分式的乘方》是人教版新教材八年级上册第十五章第二节分式的乘除第二课时的内容。

主要是学习分式的乘方并运用于分式的乘方、乘除乘方混合运算。

通过本节课的学习可以对前面所学的分式的乘除和以及乘方的意义相关知识进一步巩固和深化，为分式的化简求值打下基础，是学业水平检测的内容之一。

二、学情分析分式部分内容代数较复杂，学生学起来比较抽象，计算量大，学生在前面在学习中已经学习了分式的定义、约分、通分和分式的乘除运算，但是考虑到八年级的认知结构和心理特征，加之，学生整体基础较差，底子较薄，学习习惯不是很好，因此，在教学过程中，还要注重学生对基础知识的掌握，让学生理解并掌握分式的乘方与分式乘除混合运算。

三、教学目标知识与技能目标：1.分式的乘方的运算法则；2.分式的乘除法以及与乘方的混合运算；3.分式乘方运算符号的确定。

过程与方法目标：经历探索分式的乘方运算法则的过程，并能结合具体情境说明其合理性。

情感、态度与价值观目标：教学中渗透类比转换思想，让学生在学知识的同时学到方法，受到思维训练。

四、教学重点分式的乘方运算法则，分式的乘除法以及与乘方的混合运算；五、教学难点分式的乘方、乘除混合运算，以及分式乘方运算符号的确定。

六、教学过程（一）情境导入 复习回顾：1.回顾分式的乘除法运算法则？乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.b c a d bcad⨯=除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.b d bd a a bc a c cd ⨯=÷= 2.乘方的意义？a n = a·a·a·····a (n 为正整数),n 个a3．回顾幂的运算法则：(1)a m ·a n ＝a m ＋n ； (2)a m ÷a n ＝a m －n ； (3)(a m )n ＝a mn;__ (4)(ab)n ＝a n b n ． 通过复习导入，引入课题活动1.自主学习——从特殊到一般 数的乘方根据乘方的意义计算下列各式：43=333381⨯⨯⨯=223⎛⎫= ⎪⎝⎭22224=33339⨯= 423⎛⎫= ⎪⎝⎭2222222216=3333333381⨯⨯⨯= 222=a a a a a b b b a b b b =⎛⎫=⎪⎝⎭333a a a a a a ab b b a b b b b b ⎛⎫=⎪⎝⎭== 110100a a a a aa ab b b a b b bb b⎛⎫= ⎪⎝⎭== 【教师活动】教师引导学生分析，思考、讨论、解答并注意引导学生按照乘方的意义进行推导。

分式的乘除乘方混合运算一、分式的乘除混合运算计算：〔1〕a2xy ay2z b2z2b2x2〔2〕x2x2 x3x2分式乘法法那么：9 4分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，如果得到的不是最简分式，应该通过约分实行化简。

分式除法法那么：分式除以分式，把除式的分子，分母颠倒位置后，与被除式相乘。

例4.计算：2x3x5x325x295x3小结：分式的乘除混合运算能够统一为乘法运算.乘除运算属于同级运算，应按照先出现的先算的原那么，不能交换运算顺序.当除写成乘的形式时，灵活的应用乘法交换律和结合律可起到简化运算的作用.运算结果必须写成整式或最简分式的形式.二、分式的乘除乘方混合运算怎样实行分式的乘方呢？a24？a3ab？？b ba a222a a aa ab bb bbbba aa22ab b22bb223a3a 3a a aa a33aa aab b a b a b a bb b b b33 b b bb b ba a a444a a a a a a aa a a ab b b b bbbb b b b3344a a a4b b b444乘方的意分式的乘法法乘方的意那么义义猜a n anb b n小结：分式的乘方等于分式的分子、分母分别乘方.即〔a〕n a b b n n例5.计算：〔1〕〔2a2b〕23c〔2〕〔a2b〕32a(c)2cd3d32a小结：分式的乘除乘方混合运算，优先实行乘方运算，其次实行乘除运算.课堂练习1、记算的结果是〔〕mA、nC、22-1nB、-m2D、-nmn2、计算：〔1〕2m2n5p2q5mnp3pq24mn23q16a2a4a2(2)8a162a8a2 a23、计算：〔1〕6m2n4(2n)23m(2)(3y)2(2x)32x3y3a2y2243mn(3)9m3n22mn(4)(y)2(x)3y23x y2x(5)(ab b2)b2a2aby x2x y2(6).x y y x4、先化简，再求值：(x2-y2)xy-y2x y其中x=2,y=-1.5、上海到北京的航线全程为s千米，飞行时间需a小时，铁路全长为航线长的m倍，乘车时间需 b小时。

分式的乘除-分式的乘除及乘方的混合运算23()(n m-÷-1111+⨯-x x[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。

在今后的教学中，我会不断的钻研探索，使我的课堂真正成为学生学习的乐园。

本节课的教学活动，主要是让学生通过观察、动手操作，熟悉长方体、正方体的展开图以及图形折叠后的形状。

教学时，我让每个学生带长方体或正方体的纸盒，每个学生都剪一剪，并展示所剪图形的形状。

由于剪的方法不同，展开图的形状也可能是不同的。

学生在剪、拆盒子过程中，很容易把盒子拆散了，无法形成完整的展开图，就要求适当进行指导。

通过动手操作，动脑思考，集体交流，不仅提高了学生的空间思维能力，而且在情感上每位学生都获得了成功的体验，建立自信心。

24.1 圆 (第3课时)教学内容1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半． 推论：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用． 教学目标1．了解圆周角的概念．2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．理解圆周角定理的推论：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径．4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．重难点、关键1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．3．关键：探究圆周角的定理的存在．教学过程一、复习引入〔学生活动〕请同学们口答下面两个问题．1．什么叫圆心角？2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？老师点评：〔1〕我们把顶点在圆心的角叫圆心角．〔2〕在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对的其余各组量都分别相等．刚刚讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探索新知能在EF 问题：如下图的⊙O ，我们在射门游戏中，设E 、F 是球门，•设球员们只所在的⊙O 其它位置射门，如下图的A 、B 、C 点．通过观察，我们可以发现像∠EAF 、∠课后反思O B A C EBF 、∠ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．现在通过圆周角的概念和度量的方法答复下面的问题．1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？ 〔学生分组讨论〕提问二、三位同学代表发言．老师点评： 1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的． 3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且 它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．〞〔1〕设圆周角∠ABC 的一边BC 是⊙O 的直径，如下图 ∵∠AOC 是△ABO 的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO∵OA=OB∴∠ABO=∠BAO∴∠AOC=∠ABO∴∠ABC=12∠AOC 〔2〕如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的两侧，那么∠ABC=12∠AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．老师点评：连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO ，∠DOC=2∠CBO ，因此∠AOC=2∠ABC ．〔3〕如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的同侧，那么∠ABC=12∠AOC 吗？请同学们独立完成证明．老师点评：连结OA 、OC ，连结BO 并延长交⊙O 于D ，那么∠AOD=2∠ABD ，∠COD=2∠CBO ，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=12∠AOD-12∠COD=12∠AOC 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB ′C ，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．从〔1〕、〔2〕、〔3〕，我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．例1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD与CD 的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可．解：BD=CD理由是：如图24-30，连接AD∵AB 是⊙O 的直径∴∠ADB=90°即AD ⊥BC又∵AC=AB∴BD=CD三、稳固练习1．教材P92 思考题．2．教材P93 练习．OB AC D四、应用拓展例2．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别设为a ，b ，c ，⊙O 半径为R ，求证：sin a A =sin b B =sin c C =2R ． 分析：要证明sin a A =sin b B =sin c C =2R ，只要证明sin a A =2R ，sin b B =2R ，sin c C =2R ，即sinA=2a R，sinB=2b R ，sinC=2c R，因此，十清楚显要在直角三角形中进行． 证明：连接CO 并延长交⊙O 于D ，连接DB∵CD 是直径∴∠DBC=90°又∵∠A=∠D在Rt △DBC 中，sinD=BC DC ，即2R=sin a A同理可证：sin b B =2R ，sin c C=2R ∴sin a A =sin b B =sin c C =2R 五、归纳小结〔学生归纳，老师点评〕本节课应掌握：1．圆周角的概念；2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；3．半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题．六、布置作业1．教材P95 综合运用9、10、[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。