2020届上海市南洋模范中学高三上学期期中数学试题(解析版)
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第 1 页 共 17 页 2020届上海市南洋模范中学高三上学期期中数学试题
一、单选题
1．已知Ra，则“1a”是“11a”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】“a＞1”⇒“11a＜”，“11a＜”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．
【详解】
a∈R，则“a＞1”⇒“11a＜”，
“11a＜”⇒“a＞1或a＜0”，
∴“a＞1”是“11a＜”的充分非必要条件．
故选：A．
【点睛】
充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．
2．等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
2．已知函数()2sin(2)6fxx，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，关于函数，下列说法正确的是( )
A．在[,]42上是增函数
B．其图象关于直线4x对称
C．函数是奇函数
D．当[0,]3x时，函数的值域是[1,2]
【答案】D 第 2 页 共 17 页 【解析】试题分析：由题意得，()2sin[2()]2sin(2)2cos2662gxxxx，A：[,]42x时，2[,]2x，是减函数，故A错误；B：()2cos()042g，故B错误；C：()gx是偶函数，故C错误；D：[0,]3x时，22[0,]3x，值域为[1,2]，故D正确，故选D．
【考点】1．三角函数的图象变换；2．sin()yAx的图象和性质．
3．已知nN，xR ，则函数22()lim2nnnxfxx的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】讨论当|x|＞1，|x|＜1，当x＝1时和当x＝﹣1时，求出函数的极限即可得到f（x）的解析式，画出图象得到正确选项.
【详解】 第 3 页 共 17 页 当|x|＞1时，2222121lim22nnnnnnxxlimxxxx；
当|x|＜1时，222lim22nnnnxlimx1；
当x＝1时，22lim2nnnxx-1；
当x＝﹣1时，22lim2nnnxx不存在．
∴f（x）21111111.xxxxx＞或＜无意义＜
∴只有A选项符合f（x）大致图像，
故选A.
【点睛】
本题考查了函数解析式的求解及函数图像的识别，考查了不同的取值范围时数列的极限问题，属于中档题．
4．设M，N是抛物线2yx上的两个不同的点，O是坐标原点，若直线OM与ON的斜率之积为12，则（ ）
A.||||42OMON B.O到直线MN的距离不大于2
C.直线MN过抛物线2yx的焦点 D.MN为直径的圆的面积大于4
【答案】B
【解析】根据题意，M，N可看作直线MN与抛物线的交点,对直线MN进行分类讨论，当直线MN的斜率不存在时，设出M，N的坐标，可以求得M，N的坐标及直线MN的解析式；当直线的斜率存在时，利用斜截式设出直线MN的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，推出直线MN过定点2,0，结合选项得出答案.
【详解】
当直线MN的斜率不存在时，设， 第 4 页 共 17 页 由斜率之积为12，可得20112y，即202y，∴MN的直线方程为2x；
当直线的斜率存在时，设直线方程为ykxm，联立2ykxmyx，可得20kyym．
设1122(),,MxyNxy，，则，
∴121212OMONyykkkxxm，
即2mk．∴直线方程为22ykxkkx．
则直线MN过定点2,0．
则O到直线MN的距离不大于2．故选B．
【点睛】
圆锥曲线与方程是高考考查的核心之一，解题时不仅要掌握圆锥曲线的几何性质，还要重点掌握直线与圆锥曲线的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想，本题主要利用了设而不求的方法，在设直线方程时要注意斜率是否存在以进行分类讨论.
二、填空题
5．已知集合M=2,0,xyyxN=2|lg2xyxx,则MN=_______.
【答案】(1,2)
【解析】M=2,0xyyx=1,yyN=2|lg(2xyxx={|02}xx,
所以MN={|12}xx. 第 5 页 共 17 页 6．三阶行列式351236724中元素5的代数余子式的值为________.
【答案】34
【解析】根据行列式的代数余子式的定义进行计算．
【详解】
由题意，可知：
（﹣1）1+2•2674[2×4﹣（﹣6）×（﹣7）]＝34．
故答案为：34．
【点睛】
本题主要考查行列式的代数余子式的概念及根据行列式的代数余子式的定义进行计算．本题属基础题．
7．已知幂函数()yfx的图像过点12(,)22，则4log(2)f的值为________.
【答案】14
【解析】先利用待定系数法将点的坐标代入解析式求出函数解析式，再将x用2代替求出函数值．
【详解】
由设f（x）＝xa，图象过点（12，22），
∴（12）a22，解得a12，
∴log4f（2）＝log412124．
故答案为：14
【点睛】
本题考查利用待定系数法求函数解析式、知函数解析式求函数值．
8．已知向量1,3a，3,bm且b在a上的投影为3，则a与b的夹角为______.
【答案】π6.
【解析】根据向量数量积的几何意义求得m的值，然后再求出两向量的夹角． 第 6 页 共 17 页 【详解】
设a，b的夹角为，
则||236ababcos，
又1,33,33abmm，
∴336m，
解得3m．
∴632||223.abcosab，
又0，
∴6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查向量数量积的几何意义和夹角的计算，解题的关键是熟悉有关的计算公式，用几何意义计算向量的数量积也是解答本题的关键，属于基础题．
9．满足不等式arccos2arccos(1)xx的x的取值范围为________
【答案】11(,]32
【解析】反余弦函数的定义域为1,1，且函数在定义域内单调递减，则不等式等价于：
12111121xxxx，求解不等式有：11220213xxx，
综上可得，不等式的解集为11,32.
10．函数log(3)1(01)ayxaa且的图像恒过定点A，若A在直线10mxny，其中,0mn均大于，则12mn的最小值_________
【答案】8
【解析】试题分析：由已知可得定点2,1，代入直线方程可得21mn，从而第 7 页 共 17 页 1212()(2)mnmnmn444248nmnmmnmn.
【考点】1、函数的定点；2、重要不等式.
【易错点晴】本题主要考查的重要不等式，属于容易题.但是本题比较容易犯错，使用该公式是一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图像，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.
11．设无穷等比数列{}na的公比为q，若{}na的各项和等于q，则首项1a的取值范围是____.
【答案】1(2,0)(0,]4U
【解析】由题意易得11aqq，可得a1＝﹣（q12）214，由二次函数和等比数列的性质可得．
【详解】
∵无穷等比数列{an}的各项和等于公比q，
∴|q|＜1，且11aqq，
∴a1＝q（1﹣q）＝﹣q2+q＝﹣（q12）214，
由二次函数可知a1＝﹣（q12）21144，
又等比数列的项和公比均不为0，
∴由二次函数区间的值域可得：
首项a1的取值范围为：﹣2＜a114且a1≠0
故答案为：1(2,0)(0,]4U
【点睛】
本题考查等比数列的各项和，涉及二次函数的最值，属基础题．
12．已知函数2()fxx，[1,2]x的反函数为1()fx，则121[()](2)fxfx的值域是____.
【答案】[12,4]
【解析】依题意，f﹣1（x）x，（x∈[1，4]），得函数y＝[f﹣1（x）]2+f﹣1（2x）＝x2x，第 8 页 共 17 页 由y＝x2x为[1，2]上的增函数，可得y的值域．
【详解】
依题意，f﹣1（x）x，（x∈[1，4]），
所以函数y＝[f﹣1（x）]2+f﹣1（2x）＝x2x，其中x满足14124xx，即1≤x≤2，
又y＝x2x为[1，2]上的增函数，
所以函数y＝[f﹣1（x）]2+f﹣1（2x）的值域是[12，4]，
故答案为：[12,4]
【点睛】
本题考查了简单函数的反函数的求法，函数的定义域，值域，属于基础题．解题时注意定义域优先的原则．
13．在平面直角坐标系中，记曲线C为点(2cos1,2sin1)P的轨迹，直线20xty与曲线C交于A、B两点，则||AB的最小值为________.
【答案】22
【解析】由2121xcosysin消去θ得（x+1）2+（y﹣1）2＝4，得曲线C的轨迹是以C（﹣1，1）为圆心，2为半径的圆，再根据勾股定理以及圆的性质可得弦长的最小值．
【详解】
由2121xcosysin消去θ得（x+1）2+（y﹣1）2＝4，
∴曲线C的轨迹是以C（﹣1，1）为圆心，2为半径的圆，
又直线20xty恒过点D2,0，且此点在圆内部
故当CDAB时|AB|最短，
∴|AB|＝224CD22，
故答案为：22．
【点睛】
本题考查了简单曲线的参数方程，考查圆的弦长公式，准确计算是关键，属中档题．
14．设等差数列{}na满足：22222233363645sincoscoscossinsin1sin()aaaaaaaa，公差
