上海市南洋模范中学2020届高三数学三模考试试题(含解析)

上海市南洋模范中学2020届高三数学三模考试试题（含解析）

一、填空题

1.若集合310,12AxxBx，则ABI_____．

【答案】1,33

【解析】

【分析】

分别求出AB，集合的x的范围，求交集即可。

【详解】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．

【解答】解：A＝{x|3x+1＞0}＝{x|x＞﹣13}，

B＝{|x﹣1|＜2}＝{x|﹣2＜x﹣1＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}，

则A∩B＝{x|﹣13＜x＜3}，

故答案为：（﹣13，3）．

【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键，属于简单题目。

2.若复数z满足1iiz，其中i为虚数单位，则z_____．

【答案】1i

【解析】

【分析】

先求出z=1+i，则1zi。

【详解】利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，则可求．

【解答】解：由1iz＝﹣i，得21i(1i)iz1iii，

∴1zi．

故答案为：1﹣i．

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的概念，是基础题．

3.若函数11+02fxx的反函数为1fx，则不等式12fx的解集为_____．

【答案】31,2

【解析】

【分析】

先求出11()1fxxx，即121x求解即可。

【详解】∵1()1fxx，

∴有11()(1)1fxxx，

则121x，必有x﹣1＞0，

∴2（x﹣1）＜1，解得1＜x32．

故答案为：31,2．

【点睛】本题考查了反函数的求法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

4.试写出71xx的展开式中系数最大的项_____．

【答案】35x

【解析】

【分析】

Tr+1＝（﹣1）rr7Cx7﹣2r，r必须为偶数，分别令r＝0，2，4，6，经过比较即可得出

【详解】7721711rrrrrrTxxx﹣＝C＝（﹣），

r必须偶数，分别令r＝0，2，4，6，

其系数分别为：1， 27C,47C,67C

经过比较可得：r＝4时满足条件， 415735TCxx

故答案为：35x． 【点睛】35x本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

5.若2423yxx最小值为a，最大值为b，则2lim34nnnnnabab_____．

【答案】12

【解析】

【分析】

先求函数的定义，求出函数的最大值a和最小值b，代入求极限。

【详解】y＝4﹣223xx，定义域为[﹣1，3]

当x＝1时，y取最小值为2，当x＝3或﹣1时，y取最大值为4，

故a＝2，b＝4；

1 i m234nnnnabnab＝1 im 2243244nnnnn＝122lim1342nnn＝12．

故答案为：12．

【点睛】本题考查求函数的定义域，根据定义域求函数的最值及求极限，属于中档题．

6.已知平面上三点A、B、C满足3,522ABBCCAuuuvuuuvuuuv，则ABBCBCCACAABuuuruuuruuuruuuruuuruuur的值等于_____．

【答案】8

【解析】

分析】

由三边的平方和的关系，可得△ABC为直角三角形，由0ABBCCAuuuruuuruuurr，两边平方结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值

【详解】由|4B|＝2，|Bi|＝5，|CAuuur|＝22，可得：

222ABBCCAuuuruuuruuur 即有△ABC为直角三角形，

由0ABBCCAuuuruuuruuurr两边平方可得，

222ABBCBCCACAAB2()0ABBCCAuuuruuuuuuruuuruuurruuuruuuruuuruuur

即有ABBCBCCACAABuuuruuuruuuruuuruuuruuur

222||+||+||1=-2ABBCCAuuuruuuruuur（）

＝﹣12×（3+5+8）＝﹣8．

故答案为：﹣8．

【点睛】本题考查向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，注意平方法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

7.设P是曲线2sec(2tanxy为参数）上的一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹的普通方程为_____．

【答案】22841xy

【解析】

【分析】

由sec2θ﹣tan2θ＝1，可得曲线的方程为2x2﹣y2＝1，设P（x0，y0），M（x，y），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程．

【详解】曲线（θ为参数），即有

sec2tanxy，

由sec2θ﹣tan2θ＝1，可得曲线的方程为2x2﹣y2＝1，

设P（x0，y0），M（x，y），

可得0022xxyy

，代入曲线方程，可得 2x02﹣y02＝1，即为2（2x）2﹣（2y）2＝1，

即为8x2﹣4y2＝1．

故答案为：8x2﹣4y2＝1．

【点睛】本题考查中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法和中点坐标公式，考查参数方程和普通方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．

8.在等差数列na中，首项13a，公差2d，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为

．

【答案】200

【解析】

试题分析：等差数列na中的连续10项为*+129,,,,,()xxxxaaaaxN，遗漏的项为*+,xnanN且19,n则9()10(18)10(2)22xxxxxnxaaaaaan，化简得4494352xn，所以5x，511a，则连续10项的和为(1111+18)10=2002.

考点：等差数列.

9.从集合1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A中任取两个数，欲使取到的一个数大于k，另一个数小于k（其中kA）的概率是25，则k__.

【答案】4或7.

【解析】

【分析】

先求出所有的基本事件有45种，再求出取到的一个数大于k，另一个数小于k的基本事件有(1)(10)kk种，根据古典概型概率公式即可得到关于k的方程解得即可.

【详解】从集合1,2,3,4,5,6,7,8,9,10中任取两个数的基本事件有21045C种，

取到的一个数大于k，另一个数小于k，

比k小的数有1k个，比k大的数有10k个， 故一共有11110(1)(10)kkCCkk个基本事件，

由题意可得(1)(10)2455kk，

即(1)(10)18kk，整理得211280kk，

解得4k或7k，

故答案是：4或7.

【点睛】该题考查的是有关古典概型概率求解问题，涉及到的知识点有实验对应的基本事件数的求解，古典概型概率公式，属于简单题目.

10.已知数列na的通项公式为*12nnnannN，则这个数列的前n项和nS_____．

【答案】1152,242,2nnnnnSnn为奇数为偶数

【解析】

【分析】

分n为奇数、偶数两种情况讨论，利用分组求和法计算即得结论．

【详解】当n为偶数时，Sn＝[（﹣1+2）+（﹣3+4）+…+（﹣n+1+n）]+（2+22+…+2n）

＝212212nn

＝2n+1+2n﹣2；

当n为奇数时，Sn＝[（﹣1+2）+（﹣3+4）+…+（﹣n+2+n﹣1）﹣n]+（2+22+…+2n）

＝12n﹣n+21212n

＝2n+1﹣2n﹣52； 综上所述，Sn＝1152,242,2nnnnnn为奇数为偶数

【点睛】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查分组求和法，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．

11.已知函数1()fxxx，数列{}na是公比大于0的等比数列，且61a，1239101()()()()()fafafafafaa，则1a_______.

【答案】22

【解析】

【分析】

由于na是等比数列，所以1na也是等比数列.根据题目所给条件列方程，解方程求得1a的值.

【详解】设数列na的公比为0q，则1na是首项为11a，公比为1q的等比数列，由1239101fafafafafaa得121011210111aaaaaaaLL，即10101111111111aqaqaqq①，由61a，得511aq②，联立①②解得122a.

【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列的前n项和公式，考查运算求解能力，属于中档题.

12.定义在R上的奇函数fx，当0x时, 12log(1),[0,1)13,[1,)xxfxxx

则函数01Fxfxaa的所有零点之和为_____．

【答案】12x

【解析】

【分析】

函数F（x）＝f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y＝f（x），y＝a的图象交点的横坐标；作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．

【详解】∵当x≥0时，

f（x）＝12log(1),[0,1)13,[1,)xxxx

即x∈[0，1）时，f（x）＝12log（x+1）∈（﹣1，0]；

x∈[1，3]时，f（x）＝x﹣2∈[﹣1，1]；

x∈（3，+∞）时，f（x）＝4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；

画出x≥0时f（x）的图象，

再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；

则直线y＝a，与y＝f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a＝0共有五个实根，

最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，

∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），