数值分析习题与答案

习题一

1.1 求下列各数的具有四位有效数字的近似值, 并指出其绝对误差限和相对误差限

)1.0ln(,121,1011,1014321xxxx

1.2 下列各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似值, 指出它们的绝对误差限、相对误差限和有效数字的位数。

3*5*4*3*2*1100.5,5000,50.31,3015.0,0315.0xxxxx

1.3 为了使31的近似值的相对误差不超过0.1%, 问应取几位有效数字?

1.4 怎样计算下列各题才能使得结果比较精确?

(1) xxsin)sin(,其中充分小

(2) 121NNxdx,其中N是充分大的正数

(3) xxsincos1,其中x充分小

(4) o1cos1

(5) 1001.0e

(6) )11010ln(84

1.5 求方程01562xx的两个根, 使至少具有四位有效数字。

习题二

2.1 证明方程043xx在区间[1,2]内有且仅有一个根。如果用二分法求它具有五位有效数字的根，试问需对分多少次？(不必求根)

2.2 用二分法求方程0134xx在[0.3, 0.4]内的一个根, 精度要求21021。

2.3 找出下列方程的有根区间，选择适当的初始点用二分法求方程的根，精度要求210。

(1) 02xx；

(2) 06cos2xexx；

(3) 01tanxx；

(4) 0sin2xex。

2.4 考虑方程032xex，将其改写为3xex，取00x，用两种迭代公式迭代，分别收敛到1.0和-0.5附近的两个根(取精度要求310)。

2.5 为求方程0123xx在5.1x附近的一个根，建立下列形式的迭代公式：

(1) 2121111kkxxxx，；

(2) 3212311kkxxxx，；

习题一

1.1 求下列各数的具有四位有效数字的近似值, 并指出其绝对误差限和相对误差限

)1.0ln(,121,1011,1014321xxxx

1.2 下列各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似值, 指出它们的绝对误差限、相对误差限和有效数字的位数。

3*5*4*3*2*1100.5,5000,50.31,3015.0,0315.0xxxxx

1.3 为了使31的近似值的相对误差不超过0.1%, 问应取几位有效数字?

1.4 怎样计算下列各题才能使得结果比较精确?

(1) xxsin)sin(,其中充分小

(2) 121NNxdx,其中N是充分大的正数

(3) xxsincos1,其中x充分小

(4) o1cos1

(5) 1001.0e

(6) )11010ln(84

1.5 求方程01562xx的两个根, 使至少具有四位有效数字。

习题二

2.1 证明方程043xx在区间[1,2]内有且仅有一个根。如果用二分法求它具有五位有效数字的根，试问需对分多少次？(不必求根)

2.2 用二分法求方程0134xx在[0.3, 0.4]内的一个根, 精度要求21021。

2.3 找出下列方程的有根区间，选择适当的初始点用二分法求方程的根，精度要求210。

(1) 02xx；

(2) 06cos2xexx；

(3) 01tanxx；

(4) 0sin2xex。

2.4 考虑方程032xex，将其改写为3xex，取00x，用两种迭代公式迭代，分别收敛到1.0和-0.5附近的两个根(取精度要求310)。 2.5 为求方程0123xx在5.1x附近的一个根，建立下列形式的迭代公式：

(1) 2121111kkxxxx，；

(2) 3212311kkxxxx，；

第一章

题12给定节点01x=−

，11x=

，23x=

，34x=

，试分别对下列函数导出拉格朗日插

值余项：

（1）（1）3()432fxxx=−+

（2）（2）43()2fxxx=−

解（1）(4)()0fx=，由拉格朗日插值余项得(4)

0123()

()()()()()()0

4!f

fxpxxxxxxxxxξ

−=−−−−=

；

（2）(4)()4!fx=由拉格朗日插值余项得

01234!

()()()()()()

4!fxpxxxxxxxxx−=−−−−

(1)(1)(3)(4)xxxx=+−−−.

题15证明：对于()fx以0x

，1x

为节点的一次插值多项式()px，插值误差

012

10()

()()max()

8xxxxx

fxpxfx

≤≤−′′−≤

.

证由拉格朗日插值余项得01()

()()()()

2!f

fxpxxxxxξ′′

−=−−

，其中01xxξ≤≤，

010101max()()

()()()()()()

2!2!xxxfxf

fxpxxxxxxxxxξ≤≤′′′′

−=−−≤−−

012

10()

max()

8xxxxx

fx

≤≤−′′≤

.

题22采用下列方法构造满足条件(0)(0)0pp′==，(1)(1)1pp′==的插值多项式

()px：

（1）（1）用待定系数法；

（2）（2）利用承袭性，先考察插值条件(0)(0)0pp′==，(1)1p=的插值多项式

()px.

解（1）有四个插值条件，故设23

0123()pxaaxaxax=+++，2

123()23pxaaxax′=++，

代入得方程组0

0123

1

1230

1

0

231a

aaaa

a

aaa=⎧

⎪+++=⎪

⎨=⎪

⎪++=⎩

解之，得0

1

2

30

0

2

1a

a

a

a=⎧

⎪=⎪

⎨=⎪

⎪=−⎩23()2pxxx∴=−；

（2）先求满足插值条件(0)(0)0pp′==，(1)1p=的插值多项式()px，由0为二重零点，

可设2()pxax=，代入(1)1p=，得1a=，2()pxx∴=；

再求满足插值条件(0)(0)0pp′==，(1)(1)1pp′==的插值多项式()px，可设

1第一章 习题解答

1 设x>0

，x

的相对误差限为δ

，求 ln x

的误差。

解：设 x

的准确值为x*

，则有

( | x – x* | /|x*

| )

≤ δ

所以

e(ln x)=| ln x – ln x* | =| x – x* | ×| (ln x)’|

x=ξ

·≈ ( | x – x* | / | x*

| )

≤ δ

另解：

e(ln x)=| ln x – ln x* | =| ln (x / x*) | = | ln (( x – x*

+ x*

)/ x*) |

= | ln (( x – x*

)/ x*

+ 1) |

≤( | x – x* | /|x*

| )

≤ δ

2 设 x = –

2.18 和 y =

2.1200

都是由准确值经四舍五入而得到的近似值。求绝对误差限

ε( x )

和 ε( y )

。

解：| e(x) | = |e(–

2.18)|

≤ 0.005，| e(y) | = |e(

2.1200)|

≤ 0.00005，所以

ε( x )=

0.005， ε( y ) =

0.00005。

3 下近似值的绝对误差限都是 0.005，问各近似值有几位有效数字

x

1=

1.38，x

2= –

0.0312，x

3=

0.00086

解：根据有效数字定义，绝对误差限不超过末位数半个单位。由题设知，x

1，x

2， x

3有效

数末位数均为小数点后第二位。故x

1具有三位有效数字，x

2具有一位有效数字，x

3具有零

位有效数字。

4 已知近似数x

有两位有效数字，试求其相对误差限。

解：| e

r(x) |

≤ 5 × 10– 2

。

5 设 y

0 =

28，按递推公式 y

n = y

n-1

– 783/ 100 ( n = 1，2，…)

计算到y

100。若取

≈783

27.982 （五位有效数字），试问，计算 y

100 将有多大的误差？

解：由于初值 y

0 = 28

没有误差，误差是由≈783

27.982所引起。记 x =