数值分析试题与答案

一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

1.设有节点012,,xxx，其对应的函数yfx的值分别为012,,yyy，则二次拉格朗日插值基函数0()lx为 。

2.设2fxx，则fx关于节点0120,1,3xxx的二阶向前差分为 。

3.设110111011A，233x，则1A＝ ，1x 。

4. 1n个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。

二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？

2. 什么是不动点迭代法？x满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于x的不动点？

3. 设n阶矩阵A具有n个特征值且满足123n，请简单说明求解矩阵A的主特征值和特征向量的算法及流程。

三．求一个次数不高于3的多项式3Px，满足下列插值条件：

ix 1 2

3

iy 2 4 12

iy 3

并估计误差。（10分）

四．试用1,2,4n的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011Idxx。（10分）

五．用Newton法求()cos0fxxx的近似解。（10分）

六．试用Doolittle分解法求解方程组：

12325610413191963630xxx （10分） 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530xxxxxxxxx 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）

八．就初值问题0(0)yyyy考察欧拉显式格式的收敛性。（10分）

《数值分析》（A）卷标准答案

（2009－2010－1）

一． 填空题（每小题3分，共12分）

1. 1200102()()()()xxxxlxxxxx； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。

二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

1. 解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。 （4分）

对于对称正定阵 A，从21iiiikkal可知对任意k  i 有||ikiila。即 L 的元素不会增大，误差可控，不需选主元，所以稳定。 （4分）

2. 解：（1）若**xx，则称*x为函数x的不动点。 （2分）

（2）x必须满足下列三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于x的不动点：

1）x是在其定义域内是连续函数； （2分）

2）x的值域是定义域的子集； （2分）

3）x在其定义域内满足李普希兹条件。 （2分）

3.解：参照幂法求解主特征值的流程 （8分）

步1：输入矩阵A，初始向量v0，误差限，最大迭代次数N;

步2：置k:=1,μ:=0，u0=v0/||v0||∞;

步3：计算vk=Auk-1;

步4：计算 1max;kkriinvv

并置mk:=[vk]r, uk:=vk/mk;

步5：若|mk- μ |< ，计算，输出mk,uk；否则，转6；

步6：若k

信息，停止

三． 解：（1）利用插值法加待定系数法：

设2px满足 22212,24,312,ppp则22376,pxxx（3分）

再设32123pxpxKxxx （3分）

2K （1分）

32329156pxxxx （1分）

（2）24311234!Rxfxxx （2分）

四．解：应用梯形公式得11012IIff （2分）

0.75 （1分）

应用辛普森公式得：21104162IIfff （2分）

0.69444444 （1分）

应用科特斯公式得：

41113703212327190424IIfffff （2分）

0.6931746 （2分）

五．解：由零点定理，cos0xx在(0,)2内有根。 （2分）

由牛顿迭代格式1cos0,1,......1sinnnnnnxxxxnx （4分）

取04x得，

12340.73936133;0.7390851780.7390851330.739085133xxxx （3分）

故取*40.739085133xx （1分）

六．解：对系数矩阵做三角分解：

11121321222331323325610041319106361uuuluullu （2分） 125621373414ALU （4分）

若Lyb，则12310,1,4yyy； （2分）

若Uxy，则(3,2,1)Tx。 （2分）

七．解：（1）对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为

00.50.51010.50.50B （2分）

其特征多项式为2det()1.25IB，且特征值为

1230,1.25,1.25ii （2分）

故有1.251B，因而雅可比迭代法不收敛。 （1分）

（2）对于方程组，Gauss-Seidel 迭代法迭代矩阵为

00.50.500.50.5000.5B （2分）

其特征值为1230,0.5 （2分）

故有0.51B，因而雅可比迭代法收敛。 （1分）

八．证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）

1. 证：该问题的精确解为0()xyxye （2分）

欧拉公式为1(1)iiiiyyhyhy （2分）

对任意固定的ixxih，

有/1/00(1)[(1)]iixhxhiyyhyh， （2分）

则0()ixiyeyx （1分）

2.证：牛顿迭代格式为125,0,1,2,66nnnxaxnx （3分） 因迭代函数为25,66xaxx而35,63axx又*3xa， （2分）

则

333510623aaa。

故此迭代格式是线性收敛的。 （2分）

《数值分析》参考解答

三．计算题（每小题7分，共42分）：

1. 设 xexf)(, 试构造基函数求)(xf的2次插值多项式 )(2xP,满足:

)1()1(),0(')0('),0()0(222fPfPfP.

解 设)(2xP的基函数为)(),(),(010xxx，则它们满足下列关系 （1分）

x 0 1 x 0

)(2xP 1 e )('2xP 1

)(0x1 0 )('0x 0

)(1x 0 1 )('1x 0

)(0x0 0 )('0x 1

（2分）

(1) 令00200)(cxbxax，则有0)0(0)1(1)0(0'0000000bcbac,

即1,0,1000cba. 所以1)(20xx.

或由0)1(0，先得))(1()(0lkxxx.

再由1)0(0，得1l，即1l. 由1)0(0，得0kl，即1lk.

所以1)1)(1()(20xxxx. （1分）

(2) 令11211)(cxbxax，则有0)0(1)1(0)0(1'1111111bcbac, 即0,0,1111cba. 所以21)(xx.

或由0)0()0(11,先得21)(kxx. 再由1)1(1，得1k.