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高二数学椭圆的简单几何性质

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教学内容：椭圆的简单几何性质

【基础知识精讲】

22ax+22by=1(a＞b＞0)；范围：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里；即｜x｜≤a；｜y｜≤b.

2.对称性：椭圆关于x轴；y轴和原点都是对称的.坐标轴为椭圆的对称轴；原点是椭圆的对称中心；即为椭圆的中心.

3.顶点：椭园与坐标轴的交点为椭圆的顶点为A1(-a；0)；A2(a；0)；B1(0；b)；B2(0；-b)

4.离心率：e=ac；(o＜e＜1)；e越接近于1；则椭圆越扁；e越接近于0；椭圆就越接近于圆.

5.椭圆的第二定义：平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e(0＜e＜1)的点的轨迹.定点即为椭圆的焦点；定直线为椭圆的准线.

6.椭圆的焦半径公式：设P(x0；y0)是椭圆22ax+22by=1(a＞b＞0)上的任意一点；F1、F2分别是椭圆的左、右焦点；则｜PF1｜=a+ex0；｜PF2｜=a-ex0.

sin)(cosbyax是参数

本节学习要求：

椭圆的几何性质内容多.它与直线的位置关系的确定离不开一元二次方程中的判别式及韦达定理.如椭圆中的弦长问题：若直线y=kx+b和二次曲线Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0相交；所得弦长可由下法求之；由两方程中消去y；得ax2+bx+c=0；记△=b2-4ac；则弦长=ak)1(2△;若弦过焦点；则用焦半径公式更为简洁.这要求大家针对具体的题目；灵活采用方法计算弦长或与焦半径有关的问题.

【重点难点解析】

通过“圆的方程”的学习我们知道；圆的几何性质问题用代数的方法解题简便；计算量小的特点；同样；椭圆也有类似的几何性质；那么在学习本节之前要复习椭圆的定义及标准方程；在此基础上来学习椭圆的几何性质；掌握椭圆的性质；标准方程；及椭圆的第二定义.

例1 设直线l过点P(-1；0)；倾角为3；求l被椭圆x2+2y2=4所截得的弦长.

解：直线l的方程为y=3x+3；代入椭圆方程；得7x2+12x+2=0；∵△=144-4×7×2=88

∴弦长=7)31(88=7224

例2 求椭圆252x+812y=1上的点到直线3x+4y-64=0的最长距离与最短距离.

解：设椭圆上的点为(5cosθ；9sinθ)；则

d=564sin36cos53=564cos15sin36

=564)125arctansin(39

∴dmax=564139

例3 已知椭圆42x+32y=1内有一点P(1；-1)；F是右焦点；M是椭圆上的动点；求|MP|+2|MF|的最小值；并求此时M的坐标.

解：过M作右准线x=4的垂线；垂足为M1；由椭圆第二定义；有1MMMF=21 ∴2｜MF｜=｜MM1｜

∴｜MP｜+2｜MF｜=｜MP｜+｜MM1｜

过P作右准线的垂线交椭圆于N；垂足为N1；垂线方程为y=-1.

显然｜MP｜+｜MM1｜≥｜NP｜+｜NN1｜(当M与N重合时等号成立)而｜NP｜+｜NN1｜=｜PN1｜=3

由方程组1124322yyx得N(362；-1)

∴｜MP｜+2｜MF｜的最小值是3；此时M的坐标是(362；-1)

【难题巧解点拨】

例1 P是椭圆方程为162y+92x=1上的任意一点；F1；F2是椭圆的两个焦点；试求｜PF1｜·｜PF2｜的取值范围.

解：设｜PF1｜=t；则t∈［a-c；a+c］；即t∈［4-7；4+7］且｜PF2｜=2a-t=8-t.

∴｜PF1｜·｜PF2｜=t(8-t)=-(t-4)2+16 t∈［4-7；4+7］

当t=4时；取最大值为16

当t=4±7时；取最小值为9.

∴所求范围为［9；16］

例2 F1、F2是椭圆的两个焦点；过F2作一条直线交椭圆于P、Q两点；使PF1⊥PQ；且｜PF1｜=｜PQ｜；求椭圆的离心率e.

解：如下图；设｜PF1｜=t；则｜PQ｜=t；｜F1Q｜=2t；由椭圆定义有：

｜PF1｜+｜PF2｜=｜QF1｜+｜QF2｜=2a

∴｜PF1｜+｜PQ｜+｜F1Q｜=4a 即(2+2)t=4a；t=(4-22)a

∴｜PF2｜=2a-t=(22-2)a

在Rt△PF1F2中；｜F1F1｜2=(2c)2

∴［(4-22)a］2+［(22-2)a］2=(2c)2

∴22ac=9-62 ∴e=ac=6-3 例3 已知P是椭圆22ax+22by=1(a＞b＞0)上的一点；F1F2为两焦点；且F1P⊥F2P；若P到两准线的距离分别为6和12；求此椭圆方程.

解：(利用椭圆第二定义求解)

∵点P到两准线的距离分别是6和12

∴2·ca2 =6+12 即a2=9c

由椭圆第二定义知；e=11dPF=22dPF

∵d1=6；d2=12 ∴｜PF1｜=6e；｜PF2｜=12e

又∵PF1⊥PF2 ∴｜PF1｜2+｜PF2｜2=｜F1F2｜2

∴36e2+144e2=4c2 ∵e=ac ∴a2=45

又a2=9c ∴c=5 ∴b2=a2-c2=20

∴所求椭圆的方程的452x+202y=1

例4 在椭圆3x2+4y2=12上；是否存在相异的两点A、B关于直线y=4x+m对称并说明理由.

解：设A(x1；y1)；B(x2；y2)；AB的中点M(x0；y0)

直线AB：y=-41x+t；将AB的方程代入椭圆的方程消去y得；13x2-8tx+16t2-48=0

∴△=(-8t)2-4×13×(16t2-48)＞0

∴-213＜t＜213 ①且x1+x2=138t

又AB的中点M在直线y=4x+m上；

∴1312t=4×134t+m ∴t=-413m

代入①式得：

-13213＜m＜13213

解法二：设A(x1；y1)；B(x2；y2)是椭圆上关于直线l:y=4x+m对称的两点；则

421x+321y=1 ① 422x+322y=1 ②

①-②得42221xx+32221yy=0

∴2121xxyy=)(4)(32121yyxx 而KAB=2121xxyy =-41

故有)(4)(32121yyxx=-41

设AB的中点为(x；y)；则有x1+x2=2x；y1+y2=2y

代入即得AB中点的轨迹方程为y=3x.

由mymxmxyxy343

由于AB的中点在椭圆内部

∴4)(2m+3)3(2m＜1m2＜134

-13213＜m＜13213

故当m∈(-13213；13213)时；椭圆C上有不同的两点关于直线对称.

例5 椭圆92522yx=1上不同三点A(x1；y1)；B(4； 159)；C(x2；y2)与焦点F(4；0)的距离成等差数列.

(1)求证：x1+x2=8

(2)若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T；求直线BT的斜率k.

解：由题知a=5；b=3；c=4.

(1)由椭圆的第二定义知：

12xcaAF=ac｜AF｜=a-ac x1=5-54x1

同理有｜CF｜=5-54x2

∵｜AF｜+｜CF｜=2｜BF｜ 且｜BF｜=159

∴(5-54x1)+(5-54x2)=518

即x1+x2=8

(2)∵线段AC的中点为(4；221yy)

∴它的垂直平分线方程为y-221yy =1221yyxx(x-4) 又点T在x轴上；设其坐标为(x0；0)；代入上式得；x0-4=)(2212221xxyy ①

点A(x1；y1)；B(x2；y2)都在椭圆上

∴y21=259(25-x21)；y22=259 (25-x22)

∴y21-y22=-259(x1+x2)(x1-x2)

将此式代入①并利用x1+x2=8得

x0-4=-2536

∴kBT=04059x=45

【命题趋势分析】

1.熟练掌握椭圆的第二定义；两种形式的标准方程及几何性质；运用它们及参数间的关系解决相关问题.

2.必要时；椭圆方程可设为mx2+ny2=1(m＞0；n＞0)；这样计算简洁；还可避免对焦点位置的讨论.

3.遇到弦的中点问题时；常用点差法.

例1 椭圆31222yx=1的焦点为F1；F2；点P在椭圆上；如果线段PF1的中点在y轴上；那么｜PF1｜是｜PF2｜的( )

A.7倍 B.5倍 C.4倍

解：设F1(-3；0)；e=23；P(x0；y0)

∵线段PF1的中点的横坐标为0；∴230x=0 即x0=3

∴｜PF1｜=a+ex0=23+23×3=273

∴｜PF2｜=2a-｜PF1｜=43 -273 =23

∴｜PF1｜=7｜PF2｜ 故选A

例2 设椭圆的中心是坐标原点；长轴在x轴上；离心率e=23；已知点P(0；23)到这个椭圆上的点的最远距离为7；求这个椭圆方程；并求椭圆上到P的距离等于7的点的坐标.

解：设所求椭圆方程为22ax+22by=1(a＞b＞0)

由e2=22ac=222aba =1-22ab和e=23 得a=2b

设椭圆上的点(x；y)到P点的距离为d；则

d2=x2+(y-23)2=a2(1-22by)+y2-3y+49

=-3(y+21)2+4b2+3 (-b≤y≤b)

若b＜21时；则当y=-b时；d2(从而d)有最大值；由题设得(7)2=(b+23)2；由此得b=7 -23＞21与b＜21矛盾.

若b≥21时；当y=-21时；d2有最大值；从而d有最大值；有(7)2=4b2+3；∴b=1；a=2

∴所求椭圆方程为42x+y2=1；椭圆上的点(-3；-21)；点(3；-21)到P点的距离都是7.

说明：本题体现了数学的转化与函数思想；本题关键是讨论距离函数d2=-3(y+21 )2+4b2+3在区间［-b；b］上的最值；二次函数在区间上的最值问题要就对称轴与区间的关系来讨论.

例3 已知椭圆的中心在原点O；焦点在坐标轴上；直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q；且OP⊥OQ；｜PQ｜=210.求椭圆方程.

分析 设P(x1；y1)；Q(x2；y2；)由OP⊥OQ知x1x2+y1y2=0；再结合弦长公式与韦达定理求解.

解：设椭圆的方程为22ax+22by=1(a＞0；b＞0；a＞b或a＜b)；点P、Q的坐标别为P(x1；y1)；Q(x2；y2).

由112222xybyax消去y得

(a2+b2)x2+2a2x+a2-a2b2=0；

当△=(2a2)2-4(a2+b2)(a2-a2b2)＞0时由韦达定理得

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椭圆的简单几何性质高二说课稿

椭圆的简单几何性质高二说课稿

1 《椭圆的简单几何性质》说课稿

一、教材分析：

（一）教材的地位与作用

“椭圆的简单几何性质”是人教A版选修2-1第二章第二节的内容。本节课是在学习了椭圆的定义及其标准方程的基础上，第一次系统地按照椭圆方程来研究椭圆的简单几何性质，为后面研究双曲线、抛物线的几何性质提供了基本模式和理论基础，是高中数学的重要内容，也是高考的重点与热点内容。该内容分两个课时教学，本节课是第一课时，主要内容是：探究椭圆的简单几何性质及应用

（二）学情分析：

学生已熟悉和掌握椭圆定义及其标准方程，有亲历体验发现和探究的兴趣，但在动手操作，归纳猜想，逻辑推理的能力上尚有欠缺，为弥补个体学生的不足，所以在探究新知时多通过分组讨论、合作交流来完成。

（三）教学目标分析：

根据新课标要求以及对学生情况和教材的分析，我将本节课教学目标确定为:

1、知识与技能目标

(1) 学生掌握椭圆的性质, 掌握椭圆中a、b、c的几何意义及相互关系；

(2) 通过对椭圆标准方程的讨论，使学生知道在解析几何中是怎样用代数方法研究曲线性质的，逐步领会解析法（坐标法）的思想；

(3) 能利用椭圆的性质解决实际问题。

2、过程与方法目标

培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力。

3、情感、态度与价值观目标

(1)通过对问题的探究活动，亲历知识的建构过程，使学生领悟其中所蕴涵

的数学思想和数学方法，体验探索中的成功和快乐，使学生在探索中喜欢数学、欣赏数学；

(2)培养学生既能独立思考，又能积极与他人合作交流的意识和勇于探索创新的精神。

根据以上教学目标的分析，我将本节课的重点、难点确定为：

教学重点：掌握椭圆的简单几何性质，在教学过程中渗透类比、数形结合等思想方法

教学难点：由曲线方程来研究其几何性质，由几何性质研究曲线方程,用数形结合的思想方法研究离心率。

二、教法学法分析：

1、教法：根据教学内容并结合学生所具备的逻辑思维能力，为了体现学生的主体地位，遵循学生的认知规律，我采用了这样的教学方法：知问-导学-反思联动教学模式，了解学生预习问题，通过启发式讲解， 互动式讨论 ，研究式探索 ，反馈式评价，解决问题。

椭圆的简单几何性质

椭圆的简单几何性质

2.2 椭圆

2.2.2椭圆的简单几何性质

第一课时 椭圆的简单几何性质

【学习目标】

1、理解椭圆的范围、对称性、顶点、长轴长及短轴长；

2、掌握椭圆的离心率及cba,,的几何意义。

【重难点】

重点：椭圆的简单几何性质

难点：求椭圆的离心率

【学习过程】

复习引入：

1、椭圆的定义

我们把平面内与两个定点21,FF的距离的和等于常数（大于||21FF）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点21,FF叫做椭圆的焦点，两焦点21,FF间的距离||21FF叫做椭圆的焦距。

2、椭圆的标准方程

焦点在x轴上：12222byax)0(ba 焦点在y轴上：12222aybx)0(ba

3、重要结论：222cba

知识点一：椭圆的简单几何性质

1、范围

由图形及椭圆的标准方程12222byax可知，122ax且122by，即

bybaxa

故椭圆12222byax位于直线ax和by所形成的矩形框里。

2、对称性

观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。

在椭圆12222byax中，用y代替y，方程不变，所以椭圆关于x轴对称；用x代替x，方程不变，所以椭圆关于y轴对称；用x代替x，用y代替y，方程不变，所以椭圆关于原点对称。

结论：椭圆关于x轴和y轴都对称，所以x轴、y轴叫做椭圆的对称轴；对称轴的交点原点，叫做椭圆的对称中心。 3、顶点

椭圆与对称轴的交点，叫做椭圆的顶点。显然12222byax有四个顶点，其中在x轴上有)0,(),0,(21aAaA，在y轴上有),0(),,0(21bBbB。

线段2121,BBAA分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别和a2和b2，ba,分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4、离心率

椭圆的焦距与长轴长的比ac称为椭圆的离心率，用e表示，即ace，且)1,0(e

椭圆的简单几何性质 2

椭圆的简单几何性质 2

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椭圆的简单几何性质

作者：唐毓国

来源：《新校园·中旬刊》2013年第08期

摘 要：本教案的设计遵循启发式的教学原则，培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力。

关键词：椭圆；几何性质；教学案例

一、教学目标

通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，并能正确作出图形；培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力；培养学生的创新意识和创新思维，培养学生的合作意识；通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求。

二、教材分析及处理与学情分析及对策

本课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。按照学生的认知特点，在教学中适当对教材中原有安排顺序做了一些变动，引导学生从观察课前布置的预习所作的图形入手，从分析对称开始，循序渐进地进行探究。对于学生来说，利用曲线方程研究曲线性质这是第一次接触，因此教学中教师要注意对学生的引导和及时的点拨。

重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程。

难点：利用双曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出过程。

德育点：在研究性质的过程中，引导学生大胆猜想，敢于发表个人见解，培养学生喜欢探究的情感和态度。通过对椭圆对称性的体验，使学生得到美的感受。

创新点：一是教学中不拘泥于教材，改变教材的安排，有利于学生进行探究。在范围这一性质的教学中，鼓励用多种方法推导，培养学生的创新思维。二是在反馈训练中，让学生自己编拟方程并研究其性质。三是留研究性作业，鼓励学生进一步探索。

空白点：一是研究性质过程中多处留白，鼓励学生大胆猜想并根据方程给予论证。二是反思性小结中设计表格留空白，调动学生积极参与。

椭圆的简单几何性质 学案

椭圆的简单几何性质 学案

1 §2.2.2 椭圆的简单几何性质

学习目标：

1.通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质;

2.能够根据椭圆的标准方程求范围、顶点坐标、离心率;

3.培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备.

学习重点:椭圆的几何性质.

学习难点:椭圆离心率的概念的理解.

预习案

一．复习：

1.椭圆的定义，标准方程.

2.椭圆中的a、b、c三者的关系.

二．阅读课本P65—P66，并完成以下内容：

关于椭圆2211612xy的几何性质

1.范围：x： ，y ：

2.对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称；

3.顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）；长轴长为 ；短轴长为 ；

4离心率： cea= ．刻画椭圆 程度．

探究案

一、新课导学：

探究 椭圆的简单几何性质

1.顶点：

问题1：我们研究曲线，常常需要根据曲线上特殊点的位置来确定曲线的

位置。你认为椭圆上哪几个点比较特殊？

2 问题2：能根据方程确定这四个顶点的坐标吗？

注意：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别是2a和2b ,其中a和b分别叫椭圆的长半轴长和短半轴长.

2. 范围

问题3：观察椭圆，如果分别过A1、A2作x轴的平行线，过B1、B2作y轴的平行线，你能发现什么？

问题4：能否利用标准方程22ax+22by=1(a>b>0)来证明这一结论正确性。

3．对称性

问题4：椭圆的图形给人们以视觉上的美感，如果我们沿焦点所在的直线上下对折，沿两焦点连线的垂直平分线左右对折，大家猜想椭圆可能有什么性质？